121函数的概念(1)
高一数学必修1作业本答案
7.{-2}.8.{x|x>6,或 x≤2}.9.A={2,3,5,7},B={2,4,6,8}.
10.A,B
的
可
能
情
形
有:A={1,2,3},B={3,4};A={1,2,4},B={3,4};A={1,2,3,4},B={3,4}.
11.a=4,b=2.提示:∵A∩綂 UB={2}，∴2∈A，∴4+2a-12=0a=4， ∴A={x|x2+4x-12=0}={2,-6},∵A∩綂 UB={2}，∴-6 綂 UB，∴-6∈B， 将 x=-6 代 入 B, 得 b2-6b+8=0b=2, 或 b=4.① 当 b=2 时,B={x|x2+2x-24=0}={-6,4},∴-6 綂 UB，而 2∈綂 UB，满足条件 A∩ 綂 UB={2}.②当 b=4 时,B={x|x2+4x-12=0}={-6,2},
精心整理 高一数学必修 1 作业本答案 为大家整理的高一数学必修 1 作业本答案文章,供大家学习参考！更 多最新信息请点击高一考试网 第一章集合与函数概念 1.1 集合 111 集合的含义与表示
10.列举法表示为{(-1,1),(2,4)},描述法的表示方法不,如可表 示为(x,y)|y=x+2,
精心整理 y=x2. 11.-1,12,2. 112 集合间UB={2}矛盾.
精心整理 1.2 函数及其表示 121 函数的概念(一)
10.(1)略.(2)72.11.-12,234. 121 函数的概念(二)
7.-15,-13,-12,13.8.(1)y|y≠25.(2)[-2,+∞).
精心整理 9.(0,1].10.A∩B=-2,12;A∪B=[-2,+∞).11.[-1,0).
高中数学第一章集合与函数概念121函数的概念课件新人教A版必修1
A．11
B．12
C．13
D．10
【答案】C
【解析】f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.
4.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1 和 y＝xx2＋－11
B．y＝x0 和 y＝1
C．f(x)＝x2 和 g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝
xx2和 g(x)＝
x x2
【答案】D
【答案】B 【解析】根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B不 正确.
2.函数 f(x)＝ xx－－21的定义域为(
)
A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1,2)
D．[1，＋∞)
【答案】A 【解析】由题意可知，要使函数有意义，需满足xx－－21≠≥00，，
即 x≥1 且 x≠2.
3.已知f(x)＝x2＋x＋1，则f[f(1)]的值是( )
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休 睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对 哦~
2.(1)y＝x＋x＋120； (2)y＝ 2x＋3－ 21－x＋1x. 【解析】(1)由于 00 无意义，故 x＋1≠0，即 x≠－1. 又 x＋2>0，x>－2，所以 x>－2 且 x≠－1. 所以函数 y＝x＋x＋120的定义域为{x|x>－2 且 x≠－1}.
求函数的定义域
【例 2】求下列函数的定义域： (1)y＝2x＋3；(2)f(x)＝x＋1 1； (3)y＝ x－1＋ 1－x；(4)y＝xx2＋－11. 【解题探究】求函数的定义域，即是求使函数有意义的那 些自变量 x 的取值集合.
【解析】(1)函数 y＝2x＋3 的定义域为{x|x∈R}. (2)要使函数有意义，即分式有意义，则 x＋1≠0，x≠－1. 故函数的定义域为{x|x≠－1}. (3)要使函数有意义，则1x－－1x≥≥00，， 即xx≥≤11，， 所以 x＝1， 从而函数的定义域为{x|x＝1}. (4)因为当 x2－1≠0，即 x≠±1 时，xx2＋－11有意义，所以原函 数的定义域是{x|x≠±1}.
121常数项级数的概念和性质课件
5 n(n
1)
1 2n
5
1
6.
性质 3 若级数 un 收敛,则 un 也收敛
n1
n k 1
(k 1).且其逆亦真.
证明 uk1 uk2 ukn n uk1 uk2 ukn
snk sk ,
则
lim
n
n
lim
n
sn
k
lim
n
sk
s
sk
.
类似地可以证明在级数前面加上（或去掉）
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
lim
n
sn不存在
发散
综上
n0
aq
n
当q 当q
1时,收敛 1时, 发散
例 2 判别无穷级数 22n31n 的收敛性.
n1
解
un 22n31n
4
4 3
n1
,
已知级数为等比级数，公比q 4 , 3
| q | 1, 原级数发散.
例 3 判别无穷级数
1(4) 39
1 (4)2 39
Байду номын сангаас
1 (4)n2 ]} 39
n 2,3,
于是有
lim
n
Pn
1
lim
n
An
A1
(1
1
3
4
)
A1
(1
3) 5
2 3. 5
9
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
例7. 利用柯西审敛原理判别级数
解: 对任意 p Z , 有
§1.2.1函数的概念(第1课时) 集体备课
§1.2.1函数的概念(第一课时)一、教学目标1. 通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；2. 了解构成函数的要素；3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合；二、教学重点与难点：重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；难点：符号“y=f(x)”的含义，区间表示；三、学法与教学用具1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标 .2、教学用具：电脑投影仪 .四、教学思路（一）复习引入1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；（先提问后放幻灯片设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数；2、阅读引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：引例1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位:s)变化的规律是：h=130t-5t2 (*)（板书）这里，炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B ={h|0≤h≤845}.从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系(*)，在数集B中都有唯一的高度h和它对应。
引例2：近几十年来，大气中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题。
下图中的曲线显示了南极上空臭氧空洞的面积从1979~2001年的变化情况：（板书）根据下图中的曲线可知，时间t的变化范围是数集A ={t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S 的变化范围是数集B ={S|0≤S≤26}.并且，对于数集A中的每一个时刻t，按照图中的曲线，在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.引例3：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。
高中数学第2章函数1函数概念课件必修1高一必修1数学课件
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
探究四
易错辨析
求函数的定义域
【例1】 求下列函数的定义域:
(1)f(x)=x2-x;
(2)f(x)=(x+2)0;
(3)f(x)=
+1
;
-2
(4)f(x)= + 4 + 1-(x∈Z).
分析:若只给出函数的关系式,而没有指明它的定义域,则函数的定义域就是
对定义域内同一个自变量,根据表达式,都能得到同一函数值,因此二者为
同一函数.
故以上各对函数中,(1)(4)表示同一函数,(2)(3)表示的不是同一函数.
解:对于(1),在公共定义域R上,f(x)=x和φ(x)=
定义域和对应关系是确定一个函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定
义域和对应关系分别相同时,这两个函数才是同一函数.
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)三
探究四
易错辨析
变式训练1(1)求下列函数的定义域:
1
①f(x)= ;
-2
②f(x)= 3 + 2;
③f(x)= - 2 + 2(x∈Z).
(2)求函数 y= 2 + 3 −
1
2-
1
+ 的定义域.
第十二页，共三十五页。
探究(tànjiū)一
第十八页，共三十五页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
探究四
易错辨析
变式训练3下列各组函数:
2 -
①f(x)= ,g(x)=x-1;
函数的概念与性质(公式、定理、结论图表)高考数学必背知识手册
第三章函数的概念与性质（公式、定理、结论图表）1．函数的概念定义一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数三要素对应关系y ＝f (x )，x ∈A定义域自变量x 的取值范围值域与x 的值相对应的y 的函数值的集合{f (x )|x ∈A }思考1：(1)有人认为“y ＝f (x )”表示的是“y 等于f 与x 的乘积”，这种看法对吗？(2)f (x )与f (a )有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y ＝f (x )是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为x 是自变量，它是关系所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y 是自变量的函数，当x 允许取某一具体值时，相应的y 值为与该自变量值对应的函数值．y ＝f (x )仅仅是函数符号，不表示“y 等于f 与x 的乘积”．在研究函数时，除用符号f (x )外，还常用g (x )，F (x )，G (x )等来表示函数．(2)f (x )与f (a )的区别与联系：f (a )表示当x ＝a 时，函数f (x )的值，是一个常量，而f (x )是自变量x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a )是f (x )的一个特殊值，如一次函数f (x )＝3x ＋4，当x ＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示设a ，b ∈R ，且a <b ，规定如下：定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示定义R{x |x ≥a }{x |x ＞a }{x |x ≤a }{x |x ＜a }符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．3.函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x 0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．4.分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．5．增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ：如果∀x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时都有f (x 1)＜f (x 2)都有f (x 1)＞f (x 2)结论那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图示思考1：增(减)函数定义中的x 1，x 2有什么特征？提示：定义中的x 1，x 2有以下3个特征：(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2；(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．思考2：函数y ＝1x在定义域上是减函数吗？提示：不是．y ＝1x 在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．6.函数最大值与最小值最大值最小值条件设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：∀x ∈I ，都有f (x )≤Mf (x )≥M∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 是函数y ＝f (x )的最大值M 是函数y ＝f (x )的最小值几何意义f (x )图象上最高点的纵坐标f (x )图象上最低点的纵坐标思考：若函数f (x )≤M ，则M 一定是函数的最大值吗？提示：不一定，只有定义域内存在一点x 0，使f (x 0)＝M 时，M 才是函数的最大值，否则不是．7.函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I结论f (－x )＝f (x )f (－x )＝－f (x )图象特点关于y 轴对称关于原点对称思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？提示：定义域关于原点对称．8．幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．9．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象如图所示：10．幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x ∈[0，＋∞)时，增函数x ∈(－∞，0]时，减函数增函数增函数x ∈(0，＋∞)时，减函数x ∈(－∞，0)时，减函数11.常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)分段函数模型f(x)＝f1(x)，x∈D1f2(x)，x∈D2……fn(x)，x∈D n<解题方法与技巧>1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．典例1：(1)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(1)C[①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与g(x)＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.](2)[解]①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．]3.函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.典例2：设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．[思路点拨](1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．[解](1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝1x＋2，所以g(a)＋g(0)＝1a＋2＋10＋2＝1a＋2＋12(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝110＋2＝112.(2)g(f(x))＝1f(x)＋2＝12x2＋2＋2＝12x2＋4.4.求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.典例3：1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f(x)＝x＋1x2－1.倘若先化简，则f(x)＝1x－1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y ＝f(x)的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．5.分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x))的形式时，应从内到外依次求值．6.．已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．典例4：求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝(x＋1)2x＋1－1－x.[思路点拨]要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．[解](1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数f(x)＝2＋3x－2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．x－1≠0，2x＋1≥0，x＋1≠0，解得x>－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．3－x≥0，x－1≥0，解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x x＋1≠0，1－x≥0，解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．已知函数f(x x＋1，x≤－2，x2＋2x，－2<x<2，2x－1，x≥2.(1)求f(－5)，f(－3)，f f －52的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值．[解](1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3.∵f －52＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2，∴f f －52－32＝－32＋2×－32＝94－3＝－34.(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去．当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.∴(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意．当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.7.利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号.(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.典例5：证明函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．[思路点拨]设元0<x 1<x 2<1―→作差：f (x 1)－f (x 2)――→变形判号：f (x 1)>f (x 2)――→结论减函数[证明]设x 1，x 2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1x 2＋1x 2＝(x 1－x 21x 1－1x 2x 1－x 2)＋x 2－x1x 1x 2＝(x 1－x 2)1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0，∴(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．8.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.典例6：(1)若函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，则实数x 的取值范围为________．[思路点拨](1)分析f (x )的对称轴与区间的关系――→数形结合建立关于a 的不等式――→求a 的范围(2)f (2x －3)>f (5x －6)――――――――――――――――→f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数建立关于x 的不等式――→求x 的范围(1)(－∞，－4](2)(－∞，1)[(1)∵f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的开口向下，要使f (x )在(－∞，3]上是增函数，只需－(a ＋1)≥3，即a ≤－4.∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，∴2x －3>5x －6，即x <1.∴实数x 的取值范围为(－∞，1)．]9．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，则f (x )在区间[a ，b ]上的最小(大)值是f (a )，最大(小)值是f (b )．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，在区间[b ，c ]上是减(增)函数，则f (x )在区间[a ，c ]上的最大(小)值是f (b )，最小(大)值是f (a )与f (c )中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．典例7：已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解](1)f (x )在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0⇒f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)由(1)知f (x )在[2,4]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)＝2×2＋12＋1＝53，最大值f(4)＝2×4＋14＋1＝95.10.解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系.(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式.(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围).(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案.典例8：一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？[解](1)当0<x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x.故y －x2＋32x－100，0<x≤20，160－x，x>20(x∈N*)．(2)当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x>20时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．11.巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.典例9：已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．[解](1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．12.比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上.(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.典例10：函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是()A．f (1)<f 52<72B．f 72<f (1)<52C．f 72<f 52f (1)D．f 52<f (1)<72[思路点拨]y ＝f (x ＋2)是偶函数―→f (x )的图象关于x ＝2对称――→[0，2]上递增比较大小B [∵函数f (x ＋2)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴52f 32f 72＝12，又f (x )在[0,2]上单调递增，∴f 12<f (1)<3272f (1)<5213.判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.典例11：(1)在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为()A．0B．1C．2D．3(2)若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f 12(1)B (2)13[(1)∵y ＝1x2＝x －2，∴是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．(2)设f (x )＝x α，∵f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log 23，∴12＝12log 23＝13.]14.解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x 12或y＝x3)来判断.典例12：点(2，2)与点－2，－12f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．[解]设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．。
高中数学必修一教案§121函数的概念
课题：函数的概念一．课题：1.2.1函数的概念.（人教版必修一）.二．教学目标1.知识目标：理解函数的概念，明确函数是两个变量之间的一种依赖关系；掌握求定义域、函数值的方法；理解函数的三要素及符号)y .f(x2.能力目标：会求分式型和偶次根式型函数的定义域；通过给定的自变量x值，能求出函数值；能利用函数的思想辩证法考虑实际问题.3.情感目标：通过学习函数概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学生学习数学的兴趣和抽象概括能力；通过课堂活动培养学生团队意识，明确团队的力量依赖于每一个人的智慧，揭示函数之间的依赖关系；在函数概念深化的过程中，体会数学形成和发展的一般规律，由函数所揭示的因果关系，培养学生的辨证思想.三．教材分析1.教学重点：正确理解函数的概念.2.教学难点：函数定义域和值域的求法以及用区间表示.3.关键：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言来刻画函数，函数的思想方法将贯穿于高中数学课程的始终.四．课型与教法1.课型：讲授课.2.教法：通过学生熟悉的函数知识引入课题，为概念学习创设情境，拉近未知与已知的距离，通过搭建新概念与学生原有认识结构间的桥梁，使学生心理上得到认同，建立新的认识结构.五．教学过程1.创设情景，揭示课题.在初中我们已经学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系.初中学过的函数的传统定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于每一个x 值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值范围的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.初中已经学过的函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等. 2.互动交流，研讨新知.（1）一枚炮弹发射后，经过s 26落到地面击中目标.炮弹的射高（指斜抛运动中物 体飞行轨迹最高点的高度）为m 845，且炮弹距地面的高度h （单位m ）随时间t （单位s ）变化的规律是25130t t h -=.提出问题：你能得出炮弹飞行s 5、s 10、s 20时距地面多高吗？其中，时间t 的变化范围是什么？炮弹距离地面高度h 的变化范围是什么？s 5时距地面高度为m 525，s 10时距地面高度为m 800，s 20时距地面高度为m 600，根据题意可知炮弹飞行时间t 的变化范围是数集}260{≤≤=t t A ，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集}8450{≤≤=h h B .从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系25130t t h -=,在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应，满足函数定义，应为函数，发现解析式可以用来刻画函数.（2）近十几年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题.图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.提出问题：观察分析图中曲线，时间t 的变化范围是多少？臭氧层空洞面积s 的变化范围是多少？尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系.根据图中曲线可知，时间t 的变化范围是数集}20011979{≤≤=t t A ，臭氧层空洞面积s 的变化范围是数集}260{≤≤=S S B .引导学生看图启发，从图中明显得知，对于数集A 中的每一个时刻t 在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积s 与之对应，满足函数定义，也应为函数，发现图像也可以来刻画函数.（3）国际上常用恩格尔系数（食物支出金额/总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.表11-中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.时间(年) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001城镇居民家庭 恩格尔系数(%)53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9表11-提出问题：恩格尔系数与时间（年）之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这个关系？请仿照（1）（2）描述表中恩格尔系数和时间（年）的关系.根据上表，可知时间t 的变化范围是数集},20011991{*∈≤≤=N t t t A ，恩格尔系数y 的变化范围是数集}8.539.37{≤≤=y y B .引导学生探讨交流发现，对于表格中的任意一个时间t 都有唯一确定的恩格尔系数与之对应，即在数集A 中的任意一个时间t 在数集B 中都有唯一确定的恩格尔系数与之对应，满足函数定义，应为函数，发现表格也可以用来刻画函数. 3．问题探讨，归纳概括.（1）以上三个实例有什么不同点和共同点？归纳以上三个实例，可看出其不同点是：实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图像刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系.其共同点是：①都有两个非空数集A ，B ；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 值和它对应. 记作B A f →:.引导学生思考：在三个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数，你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？ （2）函数的概念.一般地，设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫做函数的值域.显然，值域是集合B 的子集. （3）我们所熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域、对应关系分别是什么？①．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R ； ②．反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ； ③．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R ，值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2.（4）设a ，b 是两个实数，而且b a <.我们规定：①满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为],[b a ； ②满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为),(b a ；③满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为),[b a ，],(b a .这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点.用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点. 实数集R 可以用区间表示为),(+∞-∞，“∞”读作“无穷大”，“∞-”读作“负无穷大”，“∞+”读作“正无穷大”.我们可以把满足a x ≥，a x >，b x ≤，b x <的实数集合分别表示为),[+∞a ，),(+∞a ，],(b -∞，),(b -∞.定义域和值域可以用集合表示，也可以用区间表示. 4.质疑答辩，排难解惑. 例1.已知函数213)(+++=x x x f ， （1）求函数的定义域；（2）求)3(-f ，)32(f 的值；（3）当0>a 时，求)(a f ，)1(-a f 的值.解：（1）定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域.使根式3+x 有意义的实数x 的集合是}{3-≥x x ，使分式21+x 有意义的实数x 的集合是}{2-≠x x .所以，这个函数的定义域就是 }{}{23-≠-≥x x x x I {3-≥=x x ，且}2-≠x . （2）123133)3(-=+-++-=-f ； 333832321332)32(+=+++=f .（3）因为0>a ，所以)(a f ，)1(-a f 有意义. 213)(+++=a a a f ； 11221131)1(+++=+-++-=-a a a a a f . 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，对应关系完全一致，我们就称两个函数相等.例2.下列函数中哪个与函数x y =相等？（1）2)(x y =； （2）33x y =；（3）2x y =； （4）xx y 2=.解：（1）)0()(2≥==x x x y ，这个函数与函数)(R x x y ∈=虽然对应关系相同，但是定义域不相同.所以，这个函数与函数)(R x x y ∈=不相等.（2）)(33R x x x y ∈==，这个函数与函数)(R x x y ∈=不仅对应关系相同，而且定义域相同.所以，这个函数与函数)(R x x y ∈=相等.（3）⎩⎨⎧<-≥===.0,,0,2x x x x x x y 这个函数与函数)(R x x y ∈=的定义域都是实数集R ，但是当0<x 时，它的对应关系与函数)(R x x y ∈=不相同.所以，这个函数与函数)(R x x y ∈=不相等.（4）xx y 2=的定义域是}{0≠x x ，与函数)(R x x y ∈=的对应关系相同但定义域不相同.所以这个函数与函数)(R x x y ∈=不相等.小结：函数的概念是一般地，设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(.定义域和值域是x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫做函数的值域.区间是①满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为],[b a ；②满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为),(b a ；③满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为),[b a ，],(b a .5.布置作业.（1）举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、对应关系和值域. （2）课本19P 习题1、2、3 六．板书设计。
121 函数(解析版)-2021-2022学年八年级数学上册同步教与学全指导(沪科版)
课时训练1．函数2()()(0)y x a x b a b =--<<，则函数的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据题意，分两种情况讨论：当x ＞b ，x ≤b 时y 的符号变化确定图象即可．【详解】解：当x ＞b 时，（x -a ）2＞0，x -b ＞0，所以y ＞0，此时图象在x轴的上方；当x≤b时，（x-a）2≥0，x-b≤0，所以y≤0，此时图象在x轴的下方；所以排除A，B，D，综上所述，函数的图象大致为C选项．故选：C．2．汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】试题分析：由题意可知,1小时以前的速度是60千米/时,而1小时之后的速度是100千米/时,速度越大倾斜角度越大,故选C3．一水池蓄水20 m3，打开阀门后每小时流出5 m3，放水后池内剩余的水量Q(m3)与放水时间t(时)的函数关系用图象表示为()A．（A）B．（B）C．（C）D．（D）【答案】D【分析】由生活经验可知：水池里的水，打开阀门后，会随着时间的延续，而随着减少．池内剩下的水的立方数6．设路程为s（km），速度为v（km/h），时间为t（h），当s=60时，v=60t，在这个函数关系式中（）A．s是常量，t是s的函数B．v是常量，t是v的函数C．t是常量，v是t的函数D．s是常量，t是自变量，v是t的函数【答案】D【分析】利用函数的概念对各选项进行判断．【详解】在函数关系式v=60t中，t为自变量，v为t的函数，60为常量．故选：D．7．下列图像中，y不是x的函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】函数的定义：在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则x叫自变量，y是x的函数．根据定义再结合图象观察就可以得出结论．【详解】根据函数定义，如果在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应．而C中的y的值不具有唯一性，所以不是函数图象．8．下列各式中，自变量x的取值范围是x≥2的是( )A．y＝x－2B．y＝12 x-C．y＝2x+·2x-D．y＝x2－4【答案】C根据函数、二次根式以及分式有意义的条件，逐一求解，即可判定.【详解】A 选项，自变量x 的取值没有限制，不符合题意；B 选项，自变量x 的取值范围是2x ＞，不符合题意；C 选项，自变量x 的取值范围是x ≥2，符合题意；D 选项，自变量x 的取值没有限制，不符合题意；故选：C.9．下列图象中，表示y 不是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】依据函数的定义即可判断．【详解】选项B 中，当x ＞0时对每个x 值都有两个y 值与之对应，不满足函数定义中的“唯一性”，而选项A 、C 、D 对每个x 值都有唯一y 值与之对应．故选B ．10．函数1y x =-中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．1x ≤B ．1x <C ．1≥xD ．1x >【答案】A【分析】根据二次根式的性质的意义，被开方数大于或等于0，可以求出x 的范围．【详解】。
函数的概念-PPT课件
1
1
-1
2 -2
4
3
-3
9
现在(xiànzài)，我们从一个新的高度来认识一下函数的
概念。先比较这3个对应有什么共同特点
第五页，共17页。
A
乘2
B
1
1
2
2
3 4
3
5 6
A 求倒数 B
1
1
2
1/2
3
1/3
A 求平方 B
(píngfāng)
1
1
-1
2
-2
4
3
-3
9
共同特点：对于集合(jíhé)A 中的任意一个数，集合 B都有唯一的数和它对应
当x=1时， y=2 当x=2时，y=4 当x=3时， y=6
A 乘2 B
y=2x
1
1
2
2
3
4
3
5
6
第四页，共17页。
研究 函数y=x2 (yánjiū)
当X=1时， y=1 当X= -1时，y=1 当X=2时， y=4 当X= -2时，y=4 当X=3时， y=9 当X= -3时，y=9
A 求平方 B
七、布置 作业 (bùzhì)
第十五页，共17页。
第十六页，共17页。
内容(nèiróng)总结
函 数。初中时学过函数的概念，它是怎样(zěnyàng)叙述的。设在一个变化过程中，有两个变量x和y ，如果。对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应。现在，我们从一个新的高度来认识一下函数的。设 A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应。关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中。——对于 函数定义域中每一个x，值域中都有。从集合的观点出发，函数的实质就是从非空数。集A到非空数集B的 一个特殊的对应。定义域是{x|x≠0}
高中数学第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念课件新人教A版必修1
(2){x|x>1,且 x≠2}用区间表示为
解析:(1){x|2<x≤4}用区间表示为(2,4].
(2){x|x>1,且 x≠2}用区间表示为(1,2)∪(2,+∞).
答案:(1)(2,4] (2)(1,2)∪(2,+∞)
第七页，共29页。
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面(hòu mian)的括号内画“√”,
非正数
y
1
-1
A.
x
0
奇数
偶数
y
1
0
-1
B.
x
有理数
无理数
y
1
-1
C.
x
自然数 整数
有理数
y
1
0
-1
D.
第二十四页，共29页。
2
3
4
5
1
2
3
4
5
解析:A中,当x=0时,y=±1;B中0是偶数,当x=0时,y=0或y=-1;D中自然数、整数、
有理数之间存在(cúnzài)包含关系,如x=1∈N(Z,Q),故y的值不唯一,故A,B,D
即(x-2)(x+3)≠0,
所以 x-2≠0 或 x+3≠0,即 x≠2 或 x≠-3.
故所求函数的定义域为{x|x≠2,或 x≠-3}.
第二十一页，共29页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
第二十二页，共29页。
探究(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)二
即
-1 ≠ 0,
≤ 4,
中职数学基础模块上册《函数的概念》
f : y 2x 1
（ 4） A R , B R ，对应法则
f : y
1 x
（ 5） A x 0 x 1, B y 1 y 1 ，对应法则
f : y
x
练习： 已知集合 M x 0 x 4 , P y 0 y 2 ,下列M到P 的各种对应中，不是函数的是（ B ）
§3.1函数的概念
初中我们学过哪些函数？
正比例函数：y kx(k 0)
反比例函数：y k x (k 0)
一次函数：y kx b(k 0)
二次函数：y ax bx c(a 0)
2
初中函数定义：
设在一个变化过程中有两个变量x和y， 如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与 它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自 变量，y叫因变量.
（1）各个函数关系中自变量取值的集合分别是什么？ 其中有空集吗？ （2）各个函数关系中对于自变量的每一个取值，按什 么规则找到唯一的因变量与之对应？
某种茶杯每个5元， 买x个茶杯用去y元， 则y=5x, y=5x,
气压／105 Pa
0.5 81
1.0
2.0 121
5.0 152
10 179
x=1,2,3,4,5…
设函数 y f x , x 0 , 则它的图像与直 线 x a 的交点个数为( C ) A.0 B.1 C.0或1
D.2
例3：判断下列函数组表示同一个函数的是( D )
A. f x x , g ( x )
2
x
2
B. f x x, g ( x)
引例 探究
请你说明：在每个函数关系中，自变量和因 变量分别是什么？
天津高中数学必修 选修全部知识点精华归纳总结(新课标人教A版)
高三第一轮复习资料（个人汇编请注意保密）引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3：算法初步、统计、概率。
必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。
必修5：解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。
不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。
此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。
选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。
选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。
选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。
选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。
系列3：由6个专题组成。
选修3—1：数学史选讲。
选修3—2：信息安全与密码。
选修3—3：球面上的几何。
选修3—4：对称与群。
选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。
选修3—6：三等分角与数域扩充。
系列4：由10个专题组成。
选修4—1：几何证明选讲。
选修4—2：矩阵与变换。
选修4—3：数列与差分。
选修4—4：坐标系与参数方程。
选修4—5：不等式选讲。
选修4—6：初等数论初步。
选修4—7：优选法与试验设计初步。
选修4—8：统筹法与图论初步。
选修4—9：风险与决策。
选修4—10：开关电路与布尔代数。
2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：复数的概念与运算必修1数学知识点第一章：集合与函数概念§1.1.1、集合1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
第四讲：函数的概念、函数关系的建立(教师)
第四讲：函数的概念、函数关系的建立【知识点】1、函数的概念及函数的三要素：强调：一个自变量x 只有一个函数值y 与之对应；函数的三要素：定义域，值域，对应法则（1）若两函数的定义域与对应法则相同，则它们的值域相同；（2）若两函数的值域与对应法则相同，则它们的定义域相同？否反例：函数2y x =的值域为[0,4]，则它的定义域可为[0,2],[1,2]......-。
两个函数的定义域和对应法则相同，则这两个函数叫做同一函数。
辨析：221x y +=是不是函数？y =2、函数的表示方法（1）解析式法：用一个等式把函数值与自变量的关系表达出来（且把函数值“显性”地表达出来，如()y f x =），这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系。
（3）图象法：就是用函数图象来表示两个变量的函数关系。
加深解析式法（对应法则）的理解：如22222()23,(2)2223,(21)(21)2(21)3,[()][()]2()3,[()][()]2()3f x x x f f x x x f g x g x g x f f x f x f x =-+=-⨯+-=--⨯-+=-⨯+=-⨯+则3、函数的图象是“有序实数对”集{(,)|(),}x y y f x x D =∈在直角坐标系内对应的点集（图形），其中x 为自变量，D 是定义域，y 是x 的函数值，且自变量在横轴上取值，函数值在纵轴上取值。
函数的图象有以下特征，经过函数定义域中任何一个点x 作垂直于x 轴的直线，它与函数的图象恰有一个交点。
（画几个图象，判断那些是函数的图象）4、分段函数：若函数在其定义域的不同子集上对应法则有所不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数，它是一类重要函数。
如1,01,0|1|,0,01,01,0x x x y x y x x x x >⎧-≥⎧⎪=-===⎨⎨-+<⎩⎪-<⎩，图象要分段画出。
高中数学 第一章 集合与函数概念 12 函数及其表示 121 函数的概念学案(含解析)新人教版必修1
§1.2函数及其表示1.2.1 函数的概念学习目标 1.理解函数的概念(重点、难点).2.了解构成函数的三要素(重点).3.正确使用函数、区间符号(易错点).知识点1 函数的概念(1)函数的概念概念设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值X围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合.( )(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( )(3)在函数的定义中，集合B是函数的值域.( )提示(1)×函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1；(2)×根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一确定的y与之对应；(3)×在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集.知识点2 区间及有关概念(1)一般区间的表示.设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义 名称 符号 数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a <x <b }开区间 (a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间 [a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示. 定义 R {x |x ≥a } {x |x >a } {x |x ≤a } {x |x <a } 符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )【预习评价】已知全集U ＝R ，A ＝{x |1<x ≤3}，则∁U A 用区间表示为________. 解析 ∁U A ＝{x |x ≤1或x >3}，用区间可表示为(－∞，1]∪(3，＋∞). 答案 (－∞，1]∪(3，＋∞)题型一 函数关系的判定【例1】 (1)下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是( )(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ①f ：把x 对应到3x ＋1；②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1x；④r ：把x 对应到x .(1)解析 任作一条垂直于x 轴的直线x ＝a ，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点.结合选项可知D 不满足要求，因此不表示函数关系. 答案 D(2)解 ①是实数集R 上的一个函数.它的对应关系f 是：把x 乘3再加1，对于任意x ∈R ，3x ＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x ＝－1时，有3x ＋1＝－2与之对应. 同理，②也是实数集R 上的一个函数. ③不是实数集R x ＝0时，1x的值不存在.④不是实数集R x <0时，x 的值不存在.(1)任取一条垂直于x 轴的直线l ； (2)在定义域内平行移动直线l ；(3)若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.【训练1】 设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )解析 ①错，x ＝2时，在N 中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯一性.③错，x ＝2时，对应元素y ＝3∉N ，不满足任意性.④错，x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性. 答案 B题型二 相等函数【例2】(1)下列各组函数：①f (x )＝x 2－xx，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x；③f (x )＝（x ＋3）2，g (x )＝x ＋3； ④f (x )＝x ＋1，g (x )＝x ＋x 0；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5).其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号).(2)试判断函数y ＝x －1·x ＋1与函数y ＝（x ＋1）（x －1）是否相等，并说明理由. (1)解析 ①f (x )与g (x )的定义域不同，不是相等函数；②f (x )与g (x )的解析式不同，不是相等函数；③f (x )＝|x ＋3|，与g (x )的解析式不同，不是相等函数；④f (x )与g (x )的定义域不同，不是相等函数；⑤f (t )与g (x )的定义域、值域、对应关系皆相同，故是相等函数. 答案 ⑤y ＝x －1·x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋1≥0，解得x ≥1，故定义域为{x |x ≥1}，对于函数y ＝（x ＋1）（x －1），由(x ＋1)(x －1)≥0解得x ≥1或x ≤－1，故定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是相等函数. 规律方法 判断两个函数为相等函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相等函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相等函数.(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (3)在化简解析式时，必须是等价变形.【训练2】 判断以下各组函数是否表示相等函数： (1)f (x )＝(x )2；g (x )＝x 2.(2)f (x )＝x 2－2x －1；g (t )＝t 2－2t －1.解 (1)由于函数f (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，而g (x )＝x 2的定义域为{x |x ∈R }，它们的定义域不同，所以它们不表示相等函数.(2)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示相等函数. 题型三 求函数值【例3】 已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ).(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (3))的值.解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f (g (3))＝f (11)＝11＋11＝112. 规律方法 求函数值的方法及关注点(1)方法：①已知f (x )的解析式时，只需用a 替换解析式中的x 即得f (a )的值；②求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则.(2)关注点：用来替换解析式中x 的数a 必须是函数定义域内的值，否则函数无意义. 【训练3】 已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2. (1)求f (2)；(2)求f (f (1)). 解 (1)∵f (x )＝x ＋1x ＋2，∴f (2)＝2＋12＋2＝34. (2)f (1)＝1＋11＋2＝23，f (f (1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋123＋2＝58.【例4－1】 求下列函数的定义域： (1)y ＝（x ＋1）2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x |x |－3.解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0.解得x ≤1，且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}.(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}. 规律方法 求函数定义域的实质及结果要求(1)求函数的定义域实质是解不等式(组)，即将满足的条件转化为解不等式(组)的问题，要求把满足条件的不等式列全.(2)结果要求：定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式. 方向2 求抽象函数的定义域【例4－2】 (1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？ (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？ 解 (1)f (x ＋1)＝x ＋1.令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以f (x ＋1)＝x ＋1的定义域为[－1，＋∞).(2)函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，所以令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－1，＋∞).【例4－3】 若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1，2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1，2]”是指谁的取值X 围？使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的X 围是什么？函数y ＝f (x )的定义域是什么？解 这里的“[1，2]”是自变量xx ∈[1，2]，所以x ＋1∈[2，3]，所以使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的X 围是[2，3]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[2，3].【例4－4】 (1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域； (2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2，3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域.解 (1)因为函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，即x ∈[－2，3]，函数y ＝f (2x －3)中2x －3的X 围与函数y ＝f (x )中x 的X 围相同，所以－2≤2x －3≤3，解得12≤x ≤3，所以函数y ＝f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. (2)因为x ∈[－2，3]，所以2x －3∈[－7，3]，即函数y ＝f (x )的定义域为[－7，3]. 令－7≤x ＋2≤3，解得－9≤x ≤1，所以函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[－9，1]. 规律方法 两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域：若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值集合即为f (g (x ))的定义域.(2)已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域：若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，即a ≤x ≤b ，求得g (x )的取值X 围，g (x )的值域即为f (x )的定义域.课堂达标1.下列图象中表示函数图象的是( )解析 根据函数的定义，对定义域中任意的一个x 都存在唯一的y 与之对应，而A ，B ，D 都存在一对多，只有C 满足函数的定义.故选C. 答案 C2.下列各组函数中表示相等函数的是( ) A.f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B.f (x )＝|x |与g (x )＝x (x >0)C.f (x )＝2x －1与g (x )＝2x ＋1(x ∈N *)D.f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1(x ≠1)解析 选项A ，B ，C 中两个函数的定义域均不相同，故选D. 答案 Df (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________.解析 ∵函数f (x )＝x －4＋1x －5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，x －5≠0，解得x ≥4，且x ≠5.∴函数f (x )的定义域是[4，5)∪(5，＋∞). 答案 [4，5)∪(5，＋∞)f (x )的定义域为(0，2)，则f (x －1)的定义域为________.解析 由题意知0<x －1<2，解得1<x <3，故f (x －1)的定义域为(1，3). 答案 (1，3)f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；(2)若f (x )＝5，求x 的值. 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1x－1＝1＋x －x 2x 2.(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0， ∴x ＝2或x ＝－3.课堂小结1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应法则一样即可.2.f (x )是函数符号，f 表示对应关系，f (x )表示x 对应的函数值，绝对不能理解为f 与xff (x )表示外，还可用g (x )，F (x )等表示.基础过关1.下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A.y ＝(x )2B.y ＝x 2C.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0－x ，x <0D.y ＝3x 3解析 函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.答案 D2.下列四个图象中，是函数图象的是( )A.①B.①③④C.①②③D.③④解析 由每一个自变量x 对应唯一一个f (x )可知②不是函数图象，①③④是函数图象. 答案 By ＝1－x ＋x 的定义域为( )A.{x |x ≤1}B.{x |x ≥0}C.{x |x ≥1或x ≤0}D.{x |0≤x ≤1}解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.答案 Df (x )＝2x －1，g (x )＝x 2，则g (f (2)－1)＝________.解析 f (2)－1＝2×2－1－1＝2，所以g (f (2)－1)＝g (2)＝22＝4. 答案 45.用区间表示下列集合： (1){x |－12≤x <5}＝________；(2){x |x <1或2<x ≤3}＝________.解析 (1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x |－12≤x <5}＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5. (2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x |x <1或2<x ≤3}＝(－∞，1)∪(2，3].答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5 (2)(－∞，1)∪(2，3]f (x )＝x ＋5＋1x －2.(1)求函数的定义域；(2)求f (－4)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值. 解 (1)使根式x ＋5有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≥－5}，使分式1x －2有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≠2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－5}∩{x |x ≠2}＝{x |x ≥－5且x ≠2}. (2)f (－4)＝－4＋5＋1－4－2＝1－16＝56. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋5＋123－2＝173－34＝513－34.f (x )＝x 21＋x2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值； (2)求证f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值.(1)解 ∵f (x )＝x 21＋x2， ∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1. f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)证明 f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. 能力提升f (x )＝ax 2－1，a 为一个正常数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( )A.1B.0解析 f (－1)＝a ·(－1)2－1＝a －1，f (f (－1))＝a ·(a －1)2－1＝a 3－2a 2＋a －1＝－1. ∴a 3－2a 2＋a ＝0，∴a ＝1或a ＝0(舍去). 答案 Af (x )＝x －4mx 2＋4x ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值X 围是( )A.(－∞，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，43 解析 (1)当m ＝0时，分母为4x ＋3，此时定义域不为R ，故m ＝0不符合题意.(2)当m ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16－4×3m <0，解得m >43. 由(1)(2)知，实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 答案 Cf (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域是________. 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2.从而0<x <2， 于是函数g (x )的定义域为(0，2).答案 (0，2)f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，则f (175)＝________.解析 ∵f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，∴把x ＝5，y ＝7代入得f (5)＋f (7)＝f (35)，∴m ＋n ＝f (35)，把x ＝5，y ＝35代入得f (5)＋f (35)＝f (175)，∴m ＋m ＋n ＝f (175)，即2m ＋n ＝f (175)，∴f (175)＝2m ＋n .答案 2m ＋n数的定义域：(1)y ＝（x ＋1）0x ＋2； (2)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x . 解 (1)由于00无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1.又x ＋2>0，x >－2，所以x >－2且x ≠－1.所以函数y ＝（x ＋1）0x ＋2的定义域为{x |x >－2，且x ≠－1}. (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x <2，且x ≠0. 13.(选做题)已知甲地到乙地的高速公路长1 500 km ，现有一辆汽车以100 km/h 的速度从甲地驶往乙地，写出汽车离开甲地的距离s (单位：km)与时间t (单位：h)的函数解析式，并求出函数的定义域.解 ∵汽车在甲、乙两地之间匀速行驶，∴s ＝100 t .∵汽车行驶速度为100 km/h ，两地之间的距离为1 500 km ，∴从甲地到乙地所用时间为15小时.∴所求函数解析式为s ＝100t ，0≤t ≤15.。
高中数学第一章集合与函数概念121函数的概念训练卷1试题
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日函数的概念制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日姓 名： 班 级：〔 〕 得 分：模块一 函数的概念〔每空2分，一共50分〕1、由函数的定义可知，一个函数构成的三要素为： 、 、 ；由于值域是由： 和 决定的，所以，假如两个函数的 一样，并且 完全一致，我们就称这两个函数相等。
2、设b a ,是两个实数，而且b a <，规定：（1）满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做 区间，表示为；（2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做 区间，表示为；（3) 满足不等式b x a <≤或者b x a ≤<的实数x 的集合叫做 区间，分别表示为 、 。
3、实数集R 用区间可表示为 ，""∞读作“ 〞，""+∞读作“ 〞，""-∞读作“ 〞。
4、满足b x b x a x a x <≤>≥,,,的实数x 的集合表示成区间分别为：， ， ， 。
5、判断以下函数是不是同一函数〔填“是〞或者“不是〞〕：（1）2)(x x f =与2)()(x x g = 〔 〕（2）12)(2+-=x x x f 与12)(2+-=t t x g 〔 〕6、设11)(22+-=x x x f ，那么 =)1(f ， 〔理〕=)21()2(f f 。
模块二 函数的定义域〔每一小题4分，一共16分〕 求以下函数的定义域1、 21)(-=x x f 2、xx x f -+-=211)(3、;113xy --= 3、〔理〕;31)(-=x x f4、)4(2-x f 的定义域为[2,3]，分别求)5(),(+x f x f 的定义域；模块三 函数的值域〔每一小题4分，一共16分〕求以下函数的值域1、 )(11)(2R x x x f ∈+=； 2、12--=x x y3、3252++=x x y ； 4、22++-=x x y4、〔理〕 6322+++=x x x y模块四 函数的值 求函数的值 1、函数,62)(-+=x x x f 〔9分) （1）点〔3,14)在)(x f 的图像上吗？（2）当x=4时，求)(x f 的值； （3）当2)(=x f 时，求x 的值；2、函数,(11)(R x xx f ∈+=且).(2)(),12R x x x g x ∈+=≠ 〔1〕求)2(),2(g f 的值； 〔4分〕 〔2〕求)]2([g f 的值；〔5分〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
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函数的概念
问题1：1998—2003年，我国普通高等学校招生人数
情况如下：
年份
人数（万人）
1998
108.4
1999
159.7
2000
220
2001
268.3
2002
320
2003
335
试回答下列问题： （1）2000年我国普通高等学校招生人数为多少？ （2）哪一年的招生人数为320万？ （3）2003年的招生人数与2002年相比增加了多少？
函数的概念
2014.09.01
1.2.1 函数的概念(1)
函数的概念
清晨，太阳从东方冉冉升起； 随着二氧化碳的大量排放，地球正在逐渐变暖； 中国的国内生产总值在逐年增长．
想一想： 上述三个现象中，从数学的角度看,你认为有哪些 共同特点？
函数的概念
清晨，太阳从东方冉冉升起； 随着二氧化碳的大量排放，地球正在逐渐变暖； 中国的国内生产总值在逐年增长．
记作： y＝f (x)，xA
函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应 关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称f： A→B为从集合A到集合B的一个函数, 记作： y＝f (x)，xA
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫
做函数的定义域；
函数的概念
1. 定义 设A、B是非空的数集，如果按照某
个确定的对应关系f，使对于集合A中的 任意一个数x，在集合B中都有唯一确定 的数 f(x)和它对应，那么就称f：A→B为 从集合A到集合B的一个函数
函数的概念
1. 定义 设A、B是非空的数集，如果按照某
个确定的对应关系f，使对于集合A中的 任意一个数x，在集合B中都有唯一确定 的数 f(x)和它对应，那么就称f：A→B为 从集合A到集合B的一个函数
159.7 220
｛1998,1999 ,2000,2001,2002,2003｝｛108.4,159.7,220,268.3,320,335｝
2001
268.3
2002
320
2003
335
一个物体在490米高的位置从静止开 始下落，下落的距离y(m)与时间x(s)
{x|0≤x≤10}
的关系．( y＝4.9x2 ）
函数的概念
问题2：一物体在490米高的位置从静止开始下落， 下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关 系式y＝4.9x2． 若一物体下落2s，你能求出下落的距离吗？
函数的概念
问题3：某市一天24小时的气温变化图：
4时的气温是多少？全天的最高气温是多少？
函数的概念
在上面的三个问题中，是否确定了函数关系？ 为什么？
{y|0≤y≤490}
{x|0≤x≤24}
{t|-2≤t≤9}
对于集合A中的每一个元素 x，在集合B中都有惟一的元素 y 和它对应,
记作： f：A→B
函数的概念
1. 定义 设A、B是非空的数集，如果按照某
个确定的对应关系f，使对于集合A中的 任意一个数x，在集合B中都有唯一确定 的数 f(x)和它对应，那么就称f：A→B为 从集合A到集合B的一个函数
在这些变化着的现象中，都存在着两个变量， 当一个变量变化时，另一个变量随之发生变化．
在初中数学中有没有学过类似的知识？ 函数
函数的概念
初中函数的概念
设在一个变化过程中有两个变量x与y, 如果对 于x的每一个值, y都有惟一的值与它对应, 那么就 说 y是 x的函数, x叫做自变量.
请同学们举一些函数的例子．
函数的概念
1. 定义 设A、B是非空的数集，如果按照某
个确定的对应关系f，使对于集合A中的 任意一个数x，在集合B中都有唯一确定 的数 f(x)和它对应，那么就称f：A→B为 从集合A到集合B的一个函数
函数的概念
1. 定义 设A、B是非空的数集，如果按照某
个确定的对应关系f，使对于集合A中的 任意一个数x，在集合B中都有唯一确定 的数 f(x)和它对应，那么就称f：A→B为 从集合A到集合B的一个函数
人数（万人） 108.4 159.7 220 268.3 320 335
B
108.4
(1)会不会出现某个年份没
159.7 220
有与之对应的人数？
268.3 320
(2)会不会出现某个年份有
335 两个人数与之对应？
函数的概念
年份 人数（万人）
非空数集A
非空数集B
1998
108.4
1999 2000
函数的概念
能否用集合语言来阐述这三个问题的共同特点？
年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003
人数（万人） 108.4 159.7 220 268.3 320 335
一个物体在490米高的位置从静止 开始下落，下落的距离y(m)与时间 x(s)的关系．( y＝4.9x2 ）
函数的概念
年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003
人数（万人） 108.4 159.7 220 268.3 320 335
一个物体在490米高的位置从静止 开始下落，下落的距离y(m)与时间 x(s)的关系．( y＝4.9x2 ）
函数的概念
在上述的每一个问题中都含有两个变 量，当一个变量的取值确定后，另一个变 量的值随之惟一确定，每一个问题确定了 一个函数关系．
x
定义域{x|x≠0}，值域{y|y≠0}.
函数的概念
2.已学函数的定义域和值域
⑶二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)
定义域：R，
值域：当a＞0时， y
y
4ac 4a
b
2
;
当a＜0时， y
y
4ac b2 4a
.
函数的概念
例1.结合函数的定义ห้องสมุดไป่ตู้判断下列对应是不是从数
年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003
人数（万人） 110088..44 115599..77 222200 226688..33 332200 333355
函数的概念
年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003
A
1998 1999 2000 2001 2002 2003
与x值相对应的y的值叫做函数值，
函数值的集合{ f (x) | x A}叫做函数
的值域.
函数的概念
思考:
• 一次函数，反比例函数、二次函数 的定义域、值域各是什么？
函数的概念
2.已学函数的定义域和值域
⑴ 一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0) 定义域R，值域R.
⑵ 反比例函数f (x) k (k 0)