第三章圆的进一步认识复习

如：优弧BAC
劣弧BC
A
●
O
B
3、顶点在圆心的角叫圆心角
C B
如：∠AOB
●
O
A
4、 顶点在圆上,并且两边都和
圆相交的角叫圆周角. ① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
B
A
特征：
O C
.
5、圆心相同，半径不等的圆叫同心圆
● ●
O
6、能够互相重合的两个圆叫等圆
◆同圆或等圆的半径相等 A
A
B
C
五、圆中的计算问题
1、圆的周长公式
2、圆的面积公式
C=2πr
n nr l 2r 360 180
2 S=πr
3、弧长的计算公式 4、扇形面积计算公式
n 1 2 s r 或s lr 360
5、圆柱的展开图: A h
D
B
r
C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
4 ；若PA=a， （1）若PA=2，则△PDE的周长为____ 则△PDE的周长为_____。2a
（2）连结OD 、OE，若∠P=40 °，则 ∠DOE=_____; 70 °
(180 k) 若∠P=k,∠DOE=___________ 2
度。
D
C
P
O B
E
4、判断。 1、三角形的外心到三角形各边的距离相等； （ × ） 2、直角三角形的外心是斜边的中点． （ √ ） 5、填空： 1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆 半径 6.5cm ，内切圆半径 2cm ； 2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比 2:1 ． 6、选择题： 下列命题正确的是（ C ） A、三角形外心到三边距离相等 B、三角形的内心不一定在三角形的内部 C、等边三角形的内心、外心重合 D、三角形一定有一个外切圆 7、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径 30cm² 为2cm,则这个三角形的面积为______ ．
(错 )
D
例1已知圆O的半径为5cm,弦AB∥弦CD,AB=6cm,CD=8cm, 则AB与CD距离是 cm. 解: 当两条弦在圆心的两侧时 F 4 4 D 过O作OE⊥AB于E点,连接OB, C 3 O 5 由垂径定理得:AE=BE=0.5AB=3 4 5 OB=5,由勾股定理得:OE=4 延长EO交CD于F,连接OC A B 3 E 3 又∵AB∥CD ∴OF⊥CD 由垂径定理得: CF=DF=0.5CD=4 OC=5,由勾股定理得:OF=3 则EF=OE+OF=7 O C D 5 当两条弦在圆心的同侧时 5 4 F EF=OE-OF=1
● ●
A
E
3
B
1、已知 ⊙ O中，弦AB垂直于直径CD，垂足为P， 5 AB=6，CP=1，则 ⊙ O的半径为 -------------。 2、已知 ⊙ O的直径为10cm,A是⊙ O内一点，且
8 OA=3cm,则 ⊙ O中过点A的最短弦长=------------cm 。
3、两圆相交于C、B，AC=100， A C O P B D O A A C E
D、4∶2∶1∶3
4、 有两个同心圆，半径分别为Ｒ和r， Ｐ是圆环内一点，则ＯＰ的取值 r<OP<R . 范围是＿＿＿＿＿
O
P
三角形的外接圆
经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．
经过三角形三个顶点的圆叫做三 角形的外接圆。 三角形外接圆的圆心叫做这个 三角形的外心。
A
●
O
C 这个三角形叫做这个圆的 内接三角形。 三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分 线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
6.圆锥的展开图:
a h r S侧 =πr a S全=πr a+ π r2 底面 a 侧面
1、如图，把Rt△ABC的斜边放在直线 l 上，按顺
B
C
6.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为 3 ，那么 这条弦所对的圆周角为 ( D ) A.60° B.120° C.45° D.60°或120° 7. 如 图 ， 四 边 形 ABCD 内 接 于 ⊙ O ， 若 它 的 一 个 外 角 ∠DCE=70°，则∠BOD=( D ) A．35° B.70° C．110° D.140°
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等
提 供了新的方法。
与三角形各边都相切的 圆
叫做三角形的内切圆
三角形内切圆的圆心叫做三角 形的内心 A D I B ┐ E F 这个三角形叫做圆的外切三角形 三角形的内心就是三角形的三个内 角角平分线的交点 三角形的内心到三角形的三边的距 离相等
C
三角形的外接圆和内切圆：
解：设大圆半径R=3xcm,小圆半径r=2xcm 依题意得：3x-2x=8 解，得：x=8 ∴ R=24cm，r=16cm
∵ 两圆相交:R-r<d<R+r ∴ 8cm<d<40cm
2、这是一块铁板，上面有A、B、C三个点， 经测量，AB=9cm,BC=13cm,CA=14cm,以 各顶点为圆心的三个圆两两外切。求各圆的 半径。
A A
O C B B
I
C
实质 三角形的 外心 三角形的 内心
性质
三角形三边垂直 到三角形各顶 平分线的交点 点的距离相等 三角形三内角角 到三角形各边 平分线的交点 的距离相等
特别的: 等边三角形的外心与内心重合. 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2. A
O
B
D
C
例3：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm， BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。 x E A x O F 9﹣ x B D 13﹣x C
延长AB，AC分别交
D
50 ⊙ O于D、E，则 E= -------------B
4.如图所示，已知RtΔ ABC中，∠C=90°, AC= 2 ,BC=1,若以C为圆心，CB为半径的圆交
3 AB于P，则AP＝ 3
。
D
2、圆心角、弧、弦、弦心距的关系
(1)在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两
● ● ●B
C
● ●
●
D
O1
O2
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧
圆的基本性质
1.圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合,即圆具 有旋转不变性.
．
2、垂径定理
(1）.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且 平分弦所的两条弧.
第三章圆的进一步认识
一、圆认识 1、弦的定义： 连接圆上任意两点的线段叫弦
如：CD D
C
经过圆心的弦叫直径
如：AB
A
●
2、圆上任意两点间的部分叫 圆弧 以A、D为端点的弧记作AD,读 作“弧AB”
O
B
圆的任意直径的两个端点分圆 成两个弧，每个弧都叫半圆， 大于半圆的叫做优弧，小于半 C 圆的叫做劣弧
8.如图所示，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在
AmB上,则∠C= 30° 。
二、点和圆的位置关系
.o .p r
Op＜r 内 Op=r Op＞r
.o
.p
.o .p
点p在⊙o 点p在⊙o上 点p在⊙o外
1、⊙O 2 的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分 别是方程x－6x＋8＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是 （D）
90°的圆周角所对的弦是 直径 . 判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等. (×) (2)相等的圆周角所对的弧相等. (×) (√) (3) 等弧所对的圆周角相等.
A
1、如图1，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为60°， 40 20 3 OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AB=_____，BC=_____ ；
C E B
A
. O
切线长定理的推论
从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点 的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点 所成的弧。
A
·C
B
p
o
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 B 条切线的夹角。
。
1 2
P
O
几何语言:
A
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠1=∠2
条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
D
A
●
B
O ①∠AOB=∠A′O′B′
可推出
┏ A′ D′ B′ 如由条件: ③AB=A′B′
②AB=A′B′
⌒ ⌒
④ OD=O′D′
（2)圆周角定理及推论
D C
C
O
B
●
O C
E A
●
BA
●
O
B
定理: 同弧或等弧所对的圆周角相等,都 等于这弧所对的圆心角的一半. 推论:直径所对的圆周角是 直角 .
四、两圆位置关系
位置
外离 相离 相交 外切 相切 内含
图形
交点个数
0 2 1
外离 相交
d与R、r的关系
d＞R+r 0≦d＜R-r R-r ＜d＜R+r
d=R+r
d=R-r
内切
内含
内切
R-r
R+r
外切
1、两个圆的半径的比为2 : 3 ,内切时圆 心距等于8cm,那么这两圆相交时,圆心距d 的取值范围是多少?
2、已知、同圆的两段弧，且弧AB等于2倍弧AC，则弦AB与 AC之间的关系为（B）； A.AB=2AC B.AB<2AC C.AB>2AC D.不能确定
3、 如图2，⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，那 么∠BOC等于 ( C )； A．150° C B．130°
D A O B
C．120°
B
一个三角形的外接圆有几个？ 一个圆的内接三角形有几个？
三角形的外心是否一定在三角形的内部？
A
A
●
A
●
O C B
┐
O
●
O C
B
C
B
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.
三.直线与圆的位置关系
r r
●
●
O ┐d
O
r
●
O
相交
d ┐ 相切
例2、△ABC中，以AB为直径的⊙O，交边 BC于P， BP=PC, PE⊥AC于E。 求证:PE是⊙O的切线。 证明：连结OP。 ∵ AB为直径 ∴ OB=OA，BP=PC， ∴OP∥AC。 又∵ PE⊥AC， ∴PE⊥OP。 ∴PE为⊙0的切线。
A O
B
P
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E C
如图,AB是圆O的直径,圆O过AC的 中点D,DE⊥BC于E． 证明:DE是圆O的切线. D

d
┐ 相离
1、直线和圆相交
d < r; d = r; d > r.
2、直线和圆相切 3、直线和圆相离

切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
∵CD切⊙O于Ａ, OA是⊙O的 半径
●
O D
∴CD⊥OA.
C
A
切线的判定定理

定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线.
如图 ∵OA是⊙O的半径, 且CD⊥OA, ∴ CD是⊙O的切线.
C
●
O
A
D
（１）定义
（２）圆心到直线的距离d＝圆的半径r （３）切线的判定定理：经过半径的外端, 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定定理的两种应用
1、如果已知直线与圆有交点，往往要作 出过这一点的半径，再证明直线垂直于这 条半径即可； 2、如果不明确直线与圆的交点，往往要作 出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线 段等于半径即可．
A．点A在⊙O内部 C．点A在⊙O外部 B．点A在⊙O上 D．点A不在⊙O上
2、M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为10 3 cm. cm，最短的弦长为8 cm，则OM= _____ 3、圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可 以是（ D ）
A、1∶2∶3∶4
C、4∶2∶3∶1
B、1∶3∶2∶4
C
A
M└
●
B O
若 ① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
D
重视：模型“垂径定理直角三角形”
(2）垂径定理以及推论
C
(1)直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； (3) 平分弦 ； (4)平分劣弧；
A
M└
●
B O
(5)平分优弧.
知二得三
注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗?
D．60°
图1
图2
4.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心 60 度 30或150 角是＿＿＿, 圆周角是＿＿＿＿＿＿ . 度
O
A
B
5：已知ABC三点在圆O上，连接ABCO， 如果∠ AOC=140 °，求∠ B的度数． D 解：在优弧AC上定一点D，连结AD、 CD. ∵ ∠ AOC=140 ° O A ∴ ∠ D=70 ° ∴ ∠ B=180 ° －70 ° =110 °
13﹣x
9﹣ x
如图，△ABC 中,∠C =90º ,它 的 内切圆O分别与边 AB、BC、CA相切 于点D、E、F，且 BD=12，AD=8， 求⊙O的半径r.
A
D
O
B
F
E
C
如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线，分别 切⊙O于A 、B，在AB上任取一点C作⊙O的切线 分别交PA 、PB于D 、E