06实验六：窄带随机信号仿真与分析
讨论主题-窄带随机信号
ˆ(t ) sin 2π f t xc (t ) = ξ (t ) cos 2π f 0 t + ξ 0 ˆ xs (t ) = ξ (t ) sin 2π f 0 t − ξ (t ) cos 2π f 0 t
由此可得：
ξ (t ) = xc (t ) cos 2π f 0 t + xs (t ) sin 2π f 0 t ˆ ξ (t ) = xc (t ) sin 2π f 0 t − xs (t ) cos 2π f 0 t
c
τ = t1 − t 2
) = E{x s (t1 ) x s (t 2 )} =
s
= Rξ (τ ) cos 2π f 0τ − Rξξˆ (τ ) sin 2π f 0τ = Rx (τ )
s
τ = t1 − t 2
因为 S ξ ( f ) 没有直流分量， 因此 E{ξ (t )} = 0
同理可以求得：
Rx x (t1 , t 2 ) = − Rξ (τ ) sin 2π f 0τ − Rξξˆ (τ ) cos 2π f 0τ = Rx x (τ )
c s c s
Rx x (t1 , t 2 ) = Rξ (τ ) sin 2π f 0τ + Rξξˆ (τ ) cos 2π f 0τ = Rx x (τ )
+∞
2009－2010 年度秋季学期讨论课 孙应飞
=
1 ⋅ j[ Sξ ( f − f 0 ) + S ξ ( f + f 0 ) − 2 − sgn( f − f 0 ) S ξ ( f − f 0 ) − sgn( f + f 0 ) Sξ ( f + f 0 )]
j[ Sξ ( f − f 0 ) − S ξ ( f + f 0 )], = 0,
随机信号分析实验报告
随机信号分析实验报告引言：随机信号是指信号在时间或空间上的其中一种特性是不确定的，不能准确地预测其未来行为的一类信号。
随机信号是一种具有随机性的信号，其值在一段时间内可能是不确定的，但是可以通过概率论和统计学的方法来描述和分析。
实验目的：通过实验，学习了解随机信号的基本概念和特性，学习了解和掌握常见的随机信号分析方法。
实验原理：随机信号可以分为离散随机信号和连续随机信号。
离散随机信号是信号在离散时间点上，在该时间点上具有一定的随机性；而连续随机信号是信号在连续时间上具有随机性。
常见的随机信号分析方法包括概率密度函数、功率谱密度函数等。
实验器材：计算机、MATLAB软件、随机信号产生器、示波器、电缆、电阻等。
实验步骤：1.配置实验仪器：将随机信号产生器和示波器与计算机连接。
2.生成随机信号：调节随机信号产生器的参数，产生所需的随机信号。
3.采集数据：使用示波器采集随机信号的样本数据，并将数据导入MATLAB软件。
4.绘制直方图：使用MATLAB软件绘制样本数据的直方图，并计算概率密度函数。
5.计算统计特性：计算随机信号的均值、方差等统计特性。
6.绘制功率谱密度函数：使用MATLAB软件绘制随机信号的功率谱密度函数。
实验结果和讨论：我们采集了一段长度为N的随机信号样本数据，并进行了相应的分析。
通过绘制直方图和计算概率密度函数，我们可以看出随机信号的概率分布情况。
通过计算统计特性，我们可以得到随机信号的均值、方差等重要参数。
通过绘制功率谱密度函数，我们可以分析随机信号的频谱特性。
结论：本实验通过对随机信号的分析，加深了对随机信号的理解。
通过绘制直方图、计算概率密度函数、计算统计特性和绘制功率谱密度函数等方法，我们可以对随机信号进行全面的分析和描述，从而更好地理解随机信号的特性和行为。
2.王五,赵六.随机信号分析方法.物理学报,2024,30(2):120-130.。
随机信号分析实验报告
实验一 随机噪声的产生与性能测试一、实验内容1．产生满足均匀分布、高斯分布、指数分布、瑞利分布的随机数,长度为N=1024，并计算这些数的均值、方差、自相关函数、概率密度函数、概率分布函数、功率谱密度，画出时域、频域特性曲线; 2．编程分别确定当五个均匀分布过程和5个指数分布分别叠加时,结果是否是高斯分布; 3．采用幅度为2, 频率为25Hz 的正弦信号为原信号,在其中加入均值为2 ， 方差为0.04 的高斯噪声得到混合随机信号()X t ，编程求 0()()tY t X d ττ=⎰的均值、相关函数、协方差函数和方差，并与计算结果进行比较分析。
二、实验步骤 1.程序N=1024； fs=1000； n=0:N —1;signal=chi2rnd （2，1，N); ％rand(1,N)均匀分布 ,randn(1,N ）高斯分布，exprnd(2,1，N ）指数分布,raylrnd （2，1,N)瑞利分布，chi2rnd(2，1，N ）卡方分布 signal_mean=mean(signal ）； signal_var=var （signal ）；signal_corr=xcorr(signal,signal ，'unbiased ’)； signal_density=unifpdf(signal ，0，1); signal_power=fft(signal_corr); ％[s,w]=periodogram （signal); [k1,n1］=ksdensity(signal)；[k2,n2］=ksdensity （signal,’function ’，'cdf ’）; figure ；hist(signal)；title （’频数直方图’）; figure ；plot （signal)；title(’均匀分布随机信号曲线’）; f=n ＊fs/N ； ％频率序列 figure;plot(abs （signal_power)）; title('功率幅频’); figure;plot(angle （signal_power)）； title （'功率相频'); figure;plot （1:2047,signal_corr)； title （'自相关函数’）; figure;plot(n1，k1）；title('概率密度’）；figure；plot(n2,k2);title（'分布函数’)；结果（1）均匀分布(2）高斯分布（3）指数分布（4)瑞利分布（5）卡方分布2.程序N=1024；signal_1=rand(1,N);signal_2=rand(1，N）；signal_3=rand(1,N);signal_4=rand（1，N）;signal_5=rand(1,N)；signal=signal_1+signal_2+signal_3+signal_4+signal_5; [k1,n1］=ksdensity(signal）；figure(1）subplot(1，2，1）;hist(signal);title（'叠加均匀分布随机数直方图');subplot(1,2，2);plot（n1,k1）；title(’叠加均匀分布的概率密度'）；结果指数分布叠加均匀分布叠加结果：五个均匀分布过程和五个指数分布分别叠加时，结果是高斯分布。
随机信号分析上机实验指导书(金科院新版)
目录实验1 随机信号的计算机仿真（验证性实验） (1)实验2 随机信号平稳性分析(验证性实验) (5)实验3 高斯白噪声通过线性系统分析(综合实验) (6)实验4 窄带随机过程仿真分析 (验证性实验) (13)实验1 随机信号的计算机仿真（验证性实验）一、实验目的（1）掌握均匀分布随机信号产生的常用方法。
（2）掌握高斯分布随机信号的仿真，并对其数字特征进行估计。
（3）了解随机过程特征估计的基本概念和方法，学会运用 Matlab 函数对随机过程进行特征估计，并且通过实验了解不同估计方法所估计出来结果之间的差异。
二、实验原理无论是系统数学模型的建立，还是原始实验数据的产生，最基本的需求就是产生一个所需分布的随机变量。
各种分布的随机变量的基础是均匀分布的随机变量。
有了均匀分布的随机变量，就可以用函数变换等方法得到其他分布的随机变量。
1．均匀分布随机信号的产生利用混合同余法产生均匀分布的随机数，并显示所有的样本。
(mod )n n y ay c M =+ 11n n x y M +=+ 2．高斯分布随机信号的仿真若X 是分布函数为F(x)的随机变量，且分布函数F(x)为严格单调升函数，令Y=F(x)，则Y 必是在[0，1]上均匀分布的随机变量。
反之，若Y 是在[0，1]上均匀分布的随机变量，那么1()X F Y -= （1）就是分布函数为F(x)的随机变量。
这样，欲求某个分布的随机变量，先产生[0,1]区间上的均匀分布随机数，在经过（1）的变换，便可以求得所需要分布的随机数。
利用函数变换法产生高斯分布的随机数的方法：如果X1、X2是两个互相独立的均匀分布随机数，那么下式给出的Y1、Y2就是数学期望为m ，方差为2s 的高斯分布随机数m X X Y +-=)2cos(ln 2211πσ m X X Y +-=)2s i n (ln 2212πσ 3．均值的估计11ˆN x n n m x N -==å 4．方差的估计方差估计有两种情况，如果均值x m 已知，则()12201ˆN xn x n x m N s -==-å 如果均值未知，那么()12201ˆˆ1N xn x n x m N s -==--å5. 相关函数估计11ˆ()N m xn m n n R m x x N m--+==-å6. 功率谱估计功率谱的估计有几种方法，此处介绍自相关法： 先求相关函数的估计，11ˆ()N m xn m n n R m x x N m--+==-å然后对估计的相关函数做傅立叶变换，1(1)ˆ()()N jm xx m N G R m e ww +-=--=åMATLAB 有许多估计数字特征的统计函数： （1）均值与方差mean(A)，返回序列的均值，序列用矢量 A 表示。
窄带随机过程的模拟与分析
实验报告实验题目：窄带随机过程的模拟窄带随机过程的模拟一、实验目的（1）了解具有任意功率谱（低频）的正态随机过程的模拟； （2）了解窄带随机过程的模拟方法。
二、实验原理（1）任意功率谱的正态随机过程的模拟假定需要产生一个持续时间为d T 的高斯随机过程的一个样本()X t ，要求功率谱满足()X G f 。
为此，可以先将()X t 进行周期延拓，得到一个周期信号，然后对周期信号进行傅里叶级数展开。
即0201()()j f k k k dXt X e f T π∞=-∞==∑由于傅里叶级数是k X 的线性组合，所以，如果k X 是零均值的高斯随机变量，那么()X t 也是零均值高斯过程，如果{}()Xt 是两两正交的序列，则周期信号的功率谱为线谱。
即 2220()()(())kk k X k G f g f kf gE X δ∞=-∞=- =∑通过选择k g 就可以得到期望的功率谱。
假定()X G f 是带限的，即()0()X G f f B = >那么，{}2k g 只有有限项，共21M +项，与此对应的傅里叶级数也是21M +项。
因此，只需产生21M +个互相正交的零均值高斯随机变量{}11,,,,M M M M X X X X --+- 。
然后据此构造时域样本函数即可，有02()[]()Mj f k i t k k MX i X i t X e π∆=-=∆=∑其中t ∆为任意小的时间间隔。
（2）窄带随机过程的模拟对于窄带系统，当系统输入白噪声或宽带噪声时，输出可以表示为0()()cos[()]Y t A t t t ω=+Φ其中0ω为中心频率，()A t 和()t Φ是满变化的随机过程，对上式展开得00()()cos ()sin c s Y t A t t A t t ωω=-其中，()()cos (),()()sin ()c s A t A t t A t A t t =Φ=Φ，是慢变化的随机过程，分别称为窄带随机过程的同向分量和正交分量。
6.窄带随机过程的产生 - 随机信号分析实验报告
计算机与信息工程学院综合性实验报告一、实验目的1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。
2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、概率密度函数、相关函数及功率谱密度等。
3、掌握窄带随机过程的分析方法。
二、实验仪器或设备1、一台计算机2、MATLAB r2013a 三、实验内容及实验原理基于随机过程的莱斯表达式00()()cos ()sin y t a t t b t t ωω=- (3.1)实验过程框图如下：理想低通滤波器如图所示：图1 理想低通滤波器()20AH ∆ω⎧ω≤⎪ω=⎨⎪⎩其它(3.2) 设白噪声的物理谱0=X G N ω（）,则系统输出的物理谱为 220=()=20Y X N AG H G ∆ω⎧0≤ω≤⎪ωωω⎨⎪⎩（）（）其它(3.3) 输出的自相关函数为:01()()cos 2Y Y R G d τωωτωπ∞=⎰ /221cos 2N A d ωωτωπ∆=⎰ (3.4) 20sin 242N A ωτωωτπ∆∆=⋅∆ 可知输出的自相关函数()Y R τ是一个振荡函数。
计算高斯白噪声x(t)、限带白噪声()a t 、()b t 及窄带随机过程()y t 的均值，并绘出随机过程各个随机过程的自相关函数，功率谱密度图形。
四、MATLAB 实验程序function random(p,R,C) %产生一个p 个点的随机过程%--------------------------高斯窄带随机过程代码--------------------------% n=1:p;w=linspace(-pi,pi,p); wn=1/2*pi*R*C;[b,a]=butter(1,wn,'low'); %产生低通滤波器Xt=randn(1,p); %产生p 个点均值为0方差为1的随机数，即高斯白噪声 at=filter(b,a,Xt); %让高斯白噪声通过低通滤波器y_at=at.*cos(w.*n); %产生随机过程a（t）y_bt=at.*sin(w.*n); %产生随机过程b（t）yt=y_at-y_bt; %产生一个p个点的高斯窄带随机过程subplot(211)plot(yt)title('高斯窄带随机过程y(t)')subplot(212)pdf_ft=ksdensity(yt) ;plot(pdf_ft)title('y(t)的概率密度图')disp('均值如下')E_Xt=mean(y_at)E_at=mean(y_at)E_bt=mean(y_bt)E_ft=mean(yt)%-----------------------自相关函数代码如下--------------------------% figure(2)R_Xt=xcorr(Xt); %高斯白噪声X(t)的自相关函数R_at=xcorr(at); %限带白噪声的自相关函数R_y_at=xcorr(y_at); %随机过程a(t).coswt的自相关函数R_y_bt=xcorr(y_bt); %随机过程b(t).coswt的自相关函数R_ft=xcorr(yt);subplot(2,2,1);plot(R_Xt);title('高斯白噪声的自相关函数R_Xt'); %并绘制图形subplot(2,2,2)plot(R_at);title('限带白噪声的自相关函数R_a_bx'); %并绘制图形subplot(2,2,3)plot(R_y_bt);title('随机过程b(t)的自相关函数R_y_bt');subplot(2,2,4)plot(R_ft);title('高斯窄带随机过程y(t)的自相关函数R_yt');%------------------------功率谱密度代码如下---------------------------% figure(3)subplot(1,2,1)periodogram(Xt);title('高斯白噪声功率谱密度S_Xt');subplot(1,2,2)periodogram(at);title('限带白噪声功率谱密度S_a_bt');figure(4)subplot(3,1,1)periodogram(y_at);title('随机过程a(t).coswt概率密度概率密度S_y_at');subplot(3,1,2)periodogram(y_bt);title('随机过程b(t).sinwt功率谱密度S_y_bt');subplot(3,1,3);periodogram(yt);title('高斯窄带随机过程y(t)的功率谱密度S_yt');五、实验结果将上述random 函数放在Path 中后，在Commaod Window 中输入：random(1000,10,0.001)时，输出结果如下：01002003004005006007008009001000-0.50.5高斯窄带随机过程y(t)0102030405060708090100246y(t)的概率密度图0500100015002000-50005001000高斯白噪声的自相关函数R X t 0500100015002000-101020限带白噪声的自相关函数R ab x 0500100015002000-50510随机过程b(t)的自相关函数R yb t 0500100015002000-101020高斯窄带随机过程y(t)的自相关函数R y t00.51-40-30-20-10010Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )高斯白噪声功率谱密度S X t 00.51-80-60-40-200Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )限带白噪声功率谱密度S ab t0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-80-60-40-200Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )随机过程a(t).coswt 概率密度概率密度S ya t00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-60-40-200Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )随机过程b(t).sinwt 功率谱密度S yb t0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-50-40-30-20-10Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )高斯窄带随机过程y(t)的功率谱密度S y t在Commaod Window 中输出的结果如下：E_Xt = 0.0020 E_at= 0.0020 E_bt= -0.0020 E_ft = 0.0040六、实验结果分析：1、由于高斯白噪声Xt是标准正态的，所以均值趋近于零，而at，bt是由Xt通过一个线性系统（低通滤波器）得到的，所以输出均值不变，仍为零，从程序运行结果可以看出，Xt，at，bt均值都趋近于零。
Matlab仿真窄带随机过程
随机过程数学建模分析任何通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，即输出信噪比，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。
一、窄带随机过程。
一个实平稳随机过程X(t)，若它的功率谱密度具有下述性质：中心频率为ωc，带宽为△ω=2ω0，当△ω<<ωc时，就可认为满足窄带条件。
若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。
若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。
随机过程通过窄带滤波器传输之后变成窄带随机过程。
图1 为典型窄带随机过程的功率谱密度图。
若用一示波器来观测次波形，则可看到，它接近于一个正弦波，但此正弦波的幅度和相位都在缓慢地随机变化，图2所示为窄带随机过程的一个样本函数。
图1 典型窄带随机过程的功率谱密度图图2 窄带随机过程的一个样本函数二、窄带随机过程的数学表示1、用包络和相位的变化表示由窄带条件可知,窄带过程是功率谱限制在ωc附近的很窄范围内的一个随机过程,从示波器观察(或由理论上可以推知):这个过程中的一个样本函数(一个实现)的波形是一个频率为ƒc且幅度和相位都做缓慢变化的余弦波。
写成包络函数和随机相位函数的形式：X(t)=A(t)*cos[ωc t+ Φ(t)]其中:A(t)称作X(t)的包络函数; Φ(t)称作X(t)的随机相位函数。
包络随时间做缓慢变化，看起来比较直观，相位的变化，则看不出来。
2、莱斯（Rice）表示式任何一个实平稳随机过程X(t)都可以表示为：X(t)=A c(t) cosωc t-A S(t) sinωc t其中同相分量：A c(t)= X(t) cosφt= X(t) cosωc t＋sinωc t=LP[X(t) *2cosωc t]正交分量：A S(t) = X(t)sinφt=cosωc t— X(t) sinωc t= LP[-X(t) *2sinωc t]（LP[A]表示取A的低频部分）。
窄带随机过程ppt课件
表达式(二)： Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
其中：
X (t ) B(t )cos (t ) Y (t ) B(t )sin(t )
B(t ) X 2 (t ) Y 2 (t ), tan (t) Y (t) / X (t)
由于 cos 0t 与 sin0t正交，故称 X( t )-----Z( t )的同相分量， Y( t )-----Z( t )的正交分量。
Fourier 变换
S ()
时域复信号。
问题：如何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号?
10
2．解析信号的构造
对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为
z(t) s(t) jsˆ(t)
其中，sˆ(t ) 为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为，
s( t )
h( t )
ˆs( t )
即， z(t ) s(t ) js(t ) h(t)
引入表达式 2 的目的是将Z( t )分解成两个相互正交的分量，
以便于分别分析。 6
表达式 1 和表达式 2 两者间的几何关系： 表达式1：Z(t) B(t)cos[0t (t)], B(t) 0 表达式2：Z(t ) X (t )cos 0t Y (t )sin0t
B( t ) Y(t )
令 0
RZ (0) RX (0) RY (0)
即: X(t),Y(t),Z(t) 的平均功率相同
∵ 前面假设窄带平稳随机过程的均值为零， ∴
2 Z
2 X
2 Y
24
性质性质4证明:
Z (t) X (t) cos0t Y (t) sin 0t Z (t) X (t) sin 0t Y (t) cos0t
随机信号分析仿真
随机信号分析原理大作业报告专业：水声工程姓名： xxx学号：xxxxxxxxxx精选文档题目要求：给定一个白噪声信号，它的均值和方差自定。
1.设计一个线性滤波器，使该滤波器的输出为一个窄带信号。
并给出该窄带信号在不同的3个典型中心频率和带宽时的波形。
2.对该滤波器输出的上述窄带信号，用莱斯表示法对其进行建模，画出)(t a和)(t b的波形。
3.计算上述3种窄带信号对应的瞬时频率和瞬时相位，并进行包络检测。
1 窄带信号的生成 1.1 高斯白噪声的产生若)(t N 为一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度均匀分布在（-）整个频率区间，即021)(N w S n =(1) 其中，0N 为一个正实常数，则称)(t N 为白噪声。
白噪声的自相关函数为)(21)(0τδτN R N =(2) 白噪声在任意两个相邻时刻（不管这两个时刻多么的近）的取值都是不相关的，这意味着白噪声过程随时间的起伏很快，过程的功率谱极宽。
这种形式定义的白噪声只是一种理想化的模型，实际上这种白噪声是不存在的，因为按照定义，白噪声的均方值为无限大，而物理上存在的随机过程，其均方值总是有限的。
在实际工作中，当所研究的随机过程通过某一系统时，只要过程的功率谱密度在一个比系统宽大的多的频率范围内近似均匀分布，就可以把它作为白噪声来处理。
现产生一均值为0，方差为3高斯白噪声，如图1所示：式中滤波器2：中心频率f0=700Hz，带通：650～750 Hz。
滤波器2的幅度相位图以及滤波器2输出信号波形如下：图6 滤波器2输出信号的时域波形附件一滤波器1输出信号仿真程序clear allclose allclc%产生高斯白噪声N=25000; %序列长度my_var = 2;noise = sqrt(my_var)*randn(1,N);%均值为0，方差为2figure(1)plot(noise)title('均值为0方差为2的高斯白噪声')grid onfs = 25000;%采样频率f0 = 1000;%中心频率%滤波器f_pass = [900 1100];omega_pass = 2*f_pass/fs;b = fir1(192,omega_pass);figure(2)freqz(b,1,1024)%滤波器幅度和相位图像grid on%噪声通过窄带滤波器filter_outpu = filter(b,1,noise);figure(3)plot(filter_outpu)title('窄带信号在时域的波形')grid on%做fft变换Nfft = fs;fft_x = fft(filter_outpu,Nfft);ff = 0:fs/Nfft:fs-fs/Nfft;figure(4)plot(ff,20*log10(abs(fft_x)))%窄带信号的频谱title('窄带信号的频谱')xlabel('频率 Hz')ylabel('幅度 dB')grid on%窄带信号在时域的波形X_t = filter_outpu;t = 0:1/fs:1-1/fs;figure(5)plot(t,X_t)title('窄带信号在时域的波形')xlabel('t / s')grid on%莱斯表示法h_X = hilbert(X_t,Nfft) ;%希尔伯特变换omega0 = 2*pi*f0;A_t = X_t.*cos(omega0*t)+h_X.*sin(omega0*t);B_t = -1*X_t.*sin(omega0*t)+h_X.*cos(omega0*t); figure(6)subplot(2,1,1);plot(t,A_t)grid onhold onsubplot(2,1,2);plot(t,B_t)grid on%瞬时频率瞬时相位theta_t = atan(h_X./X_t);xh1=unwrap(angle(h_X));omega_t=fs*diff(xh1)/(2*pi);figure(7)plot(omega_t);title('瞬时频率')omega_t = diff(theta_t);figure(8)plot(t,theta_t)title('瞬时相位')grid on%包络检测am = abs(h_X);figure(9)plot(t,X_t,t,am,'r') %包络title('窄带信号的包络')grid on（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）精选文档。
第6章 窄带随机信号
,
r2
=
a2 2σ 2
1
fAt (a t ) ≈
1 2πσ
exp
而所有样本函数的总体---窄带随机信号 X (t) ，则可写成：
6-1
《随机信号分析基础》第六章：窄带随机信号分析
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X (t ) = A(t ) cos ⎡⎣ω0t + Φ (t )⎤⎦ 上式就是窄带随机信号常用的数学模型。由于 ak (t ) ，ϕk ( t ) 相对 cosω0t 来说是慢变化的时
上式中， cosω0t ， sinω0t 都是确定函数。其中
Ac(t) = A(t) cos Φ(t) 同相分量(In-phase Component)
As(t) = A(t) sin Φ(t) 正交分量(Quadrature Component,书上称为几何“垂直”分量)
A(t ) = Ac2 (t ) + As2 (t )
G
X
(ω) Δω
x k (t)
a k (t)
−ω 0 0
0 ω0 ω
t cos[ω 0t + ϕk (t)]
(a)窄带随机信号的功率谱密度
(b)窄带随机信号的样本函数波形
图 6.1 窄带随机信号
6.1.2 窄带随机信号的数学模型与表示
1.窄带随机信号的数学模型
随机信号 X(t) 的样本函数可写成：
xk (t ) = ak (t ) cos ⎡⎣ω0t + ϕk ( t )⎤⎦ ξk ∈ Ω (k = 1, 2, )
说明 X (t)与同相分量 Ac(t) 、正交分量 As (t) 具有相同的方差，即平均功率相等。
⑸ Ac (t) 、 As (t) 的概率分布
实验四 窄带信号的仿真和分析
实验四 窄带信号的仿真和分析一、实验目的1熟悉窄带随机过程的定义，了解窄带随机过程产生的原理与方法。
2估计实验产生的窄带随机过程的功率谱。
二、实验仪器1计算机一台。
2 MATLAB 软件。
三、实验原理如果带通信号的带宽与中心频率相比非常小，即|ω2-ω1|<<ω0(或ωm<<ω0)，则称它为窄带信号或准单频信号。
222000002022()cos[()]()()()()()cos()()sin()()()cos()()sin()()cos ()()()cos ()()(;/),0n v v v n n v n v n r A r n n s t A t t v t s t n t v t i t t q t t n t i t t q t t i t A t i t q t A t q t r rA f r t e I r σωωωωωϕσσ+=+Φ=+=-=-=Φ+=Φ+⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭只有噪声时，输出噪声幅度服从正态分布，而包络服从瑞利分布。
四 实验内容本实验模拟产生一个窄带随机过程。
首先产生两个相互独立的随机过程 Ac(t)和As(t)， 并将用两个正交载波 cos 2πf0t 和 sin 2πf0t 进行调制，如下图所示，然后进行抽样得到窄带过程的抽样。
πf 0tnTπf 0nT4.1 窄带随机过程的产生实验步骤：步骤一，理解窄带随机过程产生的框图，如图所示。
步骤二，根据所设计框图，产生两个独立的白噪声，并设计一个低通滤波器（本实验选择为）。
白噪声通过同一个低通滤波器产生两个相互独立的随机过程Ac(t)和As(t)的抽样Ac(n)和As(n)；步骤三，用两个正交载波cos2πf0nT和sin2πf0nT（T为抽样间隔，假定T=1，f0=1000/π）分别对Ac(n)和As(n)进行调制，然后通过两者相减得到窄带随机过程的抽样值；步骤四，根据计算相关函数和功率谱的数学表达式估计其值；步骤五，MATLAB编程完成上述内容。
随机信号分析资料报告实验
实验一 随机序列的产生及数字特征估计一、实验目的1、学习和掌握随机数的产生方法；2、实现随机序列的数字特征估计。
二、实验原理1. 随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。
进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。
在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。
伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。
伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。
(0，1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。
(0，1)均匀分布指的是在[0，1]区间上的均匀分布，即U(0，1)。
实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0，1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：Ny x N ky Mod y y n n n n /))((110===-， （1.1）序列{}n x 为产生的(0，1)均匀分布随机数。
下面给出了上式的3组常用参数：(1) 7101057k 10⨯≈==，周期，N ；(2) （IBM 随机数发生器）8163110532k 2⨯≈+==，周期，N ； (3) （ran0）95311027k 12⨯≈=-=，周期，N ；由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。
定理1.1 若随机变量X 具有连续分布函数F X (x)，而R 为(0，1)均匀分布随机变量，则有)(1R F X x -= （1.2）由这一定理可知，分布函数为F X (x)的随机数可以由(0，1)均匀分布随机数按上式进行变换得到。
2. MATLAB 中产生随机序列的函数(1) (0，1)均匀分布的随机序列 函数：rand用法：x = rand(m,n)功能：产生m ×n 的均匀分布随机数矩阵。
(2) 正态分布的随机序列 函数：randn用法：x = randn(m,n)功能：产生m ×n 的标准正态分布随机数矩阵。
概率论第六章 窄带随机过程
pB (
ut )
1
2
2
exp(
ut
2
2
)
ut 0
可见，窄带高斯过程包络平方的一维概率密度函数 为指数分布。一个重要的特例是σ2=1的情况，此时有
pu (ut )
1 exp( ut ),
2
2
ut
0
其均值为E[ut]=2,方差为D[ut]=4.
§6.5余弦信号与窄带高斯过程之 和的概率分布
一、余弦信号加窄带高斯过程的包络和相位概率分布
类似地，如果一个随机过程的功率谱密度，只分 布在高频载波ω0附近的一个窄频率范围Δω内，在 此范围之外全为零，且满足ω0>>Δω时，则称之为 窄带过程。
一、窄带过程的物理模型和数学模型
一个典型的确定性窄带信号可表示为
x(t) a(t) cos[0t (t)]
其中，a(t)为幅度调制或包络调制信号，Ф(t)为 相位调制信号，它们相对于载频ω0而言都是慢变化的。
根据希尔伯特变换的性质： RXˆ ( ) RX ( )
RXˆX ( ) RXXˆ ( ) RˆX ( )
整理，得 RX ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
同理可以证明 RY ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
RX ( ) RY ( )
窄带过程性质的证明
第六章 窄带随机过程
6.1 窄带随机过程的一般概念 6.2希尔伯特变换 6.3 窄带随机过程的性质 6.4窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布 6.5余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布
§ 6.1 窄带随机过程的一般概念
窄带信号的频率或窄带系统的频率响应被限制在 中心频率ω0附近一个比较窄的范围内，而中心频率ω0 又离开零频足够远。
随机信号分析实验报告(基于MATLAB语言)
随机信号分析实验报告(基于MATLAB语言)随机信号分析实验报告——基于MATLAB语言姓名： _班级： _学号：专业：目录实验一随机序列的产生及数字特征估计 .. 2 实验目的 (2)实验原理 (2)实验内容及实验结果 (3)实验小结 (6)实验二随机过程的模拟与数字特征 (7)实验目的 (7)实验原理 (7)实验内容及实验结果 (8)实验小结 (11)实验三随机过程通过线性系统的分析 (12)实验目的 (12)实验原理 (12)实验内容及实验结果 (13)实验小结 (17)实验四窄带随机过程的产生及其性能测试18 实验目的 (18)实验原理 (18)实验内容及实验结果 (18)实验小结 (23)实验总结 (23)实验一随机序列的产生及数字特征估计实验目的1.学习和掌握随机数的产生方法。
2.实现随机序列的数字特征估计。
实验原理1.随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。
进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。
在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。
伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。
伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。
(0,1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。
(0,1)均匀分布指的是在[0,1]区间上的均匀分布， U(0,1)。
即实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0,1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：序列为产生的(0,1)均匀分布随机数。
定理 1.1 若随机变量X 具有连续分布函数，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有2.M ATLAB中产生随机序列的函数(1)(0,1)均匀分布的随机序列函数：rand用法：x = rand(m,n)功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。
窄带随机过程的模拟
实验报告实验题目：窄带随机过程的模拟一、实验目的了解随机过程特征估计的基本概念和方法，学会运用MATLAB软件产生各种随机过程，对随机过程的特征进行估计，并通过实验了解不同估计方法所估计出来的结果之间的差异。
二、实验原理（1）高斯白噪声的产生提示：利用MATLAB函数randn产生（2）自相关函数的估计111()()ˆ()1ˆ()N m n x N m x n m n n x n m x n N R m R m x x N m --=--+=⎧+⎪⎪=⎨⎪=⎪-⎩∑∑对有偏估计对无偏估计提示：MATLAB 自带的函数为xcorr()，阐述xcorr 的用法（3）功率谱的估计利用周期图方法估计功率谱，21ˆ()()xG X N=ωω 其它谱估计方法：…….提示：MATLAB 自带的函数为periodogram()，阐述periodogram()的用法;阐述其它谱估计方法的用法。
（4）均值的估计111ˆ()N x n mx n N -==∑ 提示：MATLAB 自带的函数为mean()（5）方差的估计12211ˆ[()]N xn x n x N -==-∑σ提示：MATLAB 自带的函数为var()(6) AR(1)模型的理论自相关函数和理论功率谱对于AR(1)模型()(1)()X n aX n W n =-+，自相关函数为2||2()1m X a R m a =-σ ，其功率谱为22()(1)X j G aeωσω-=-。
三、实验内容1. 相关高斯随机序列的产生按如下模型产生一组随机序列()(1)()x n ax n w n =-+，其中()w n 为均值为1，方差为4的正态分布白噪声序列。
（1）产生并画出a=0.8和a=0.2的x(n)的波形； （2）估计x(n)的均值和方差；（3）估计x(n)的自相关函数，并画出相关函数的图形。
2. 两个具有不同频率的正弦信号的识别设信号为12()sin(2)2cos(2)()x n f n f n w n ππ=++，1,2,,n N = ，其中()w n 为零均值正态白噪声，方差为2σ。
6.窄带与正弦波加窄带随机过程
窄带
f
－fc
S( f )
S( f )
O (a) 缓慢 变化的包 络[a (t)]
f
fc
f
随机
O t
频率 近似为 fc (b)
图2-6 窄带过程的频谱和波形示意
•窄带随机过程ξ(t)可用下式表示:
ξ(t)=aξ(t) cos［ωct+φξ(t)］, aξ(t)≥0 (3.5 - 1)
0
n
瑞利分布；大信噪比时，它
A
z－
(a)
接近于高斯分布；在一般情
况下它是莱斯分布
图 2 – 7 正弦波加窄带高斯过程的包络分布
关于信号加噪声的合成波相位分布f(φ)，
n关f (z)于信号加噪声的合成波相
位分布f(φ)，r由＝0 于比较复杂， 这 0里.5 就不再演算了。不难推想，f(φ) 0也.4 与信噪比有关。小信噪r＞比＞ 1时，
由式（3.5 - 1）至(3.5 - 4)看出，ξ(t)的统计特性可由aξ(t)， φξ(t)或ξc(t),ξs(t))的统计特性确定。反之，如果已知ξ(t)的统计 特性则可确定aξ(t),φξ(t)以及ξc(t)，ξs(t)的统计特性。
3.5.1 窄带过程的同相和正交分量的统计特性
设窄带过程ξ(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零， 方差 为σ2。下面将证明它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是零均 值的平稳高斯过程，而且与ξ(t)具有相同的方差。
进一步分析， 式（3.5 - 9）和式（3.5 - 10）应同时成立，
故有
Rc(τ)=Rs(τ) Rcs(τ)=-Rsc(τ)
随机信号分析_窄带随机信号6.4
2
，则
2，n个自由度的 变量的均值E[V]=n,方差D[v]=2n
2
非中心
No Image
分布
当窄带过程为余弦函数与窄带高斯噪声之和时，则加法器输出的就是非中 心 函数
No Image
1，信号包络为常数的情况
( t ) n ( t ) cos t n ( t ) sin t 得 带入 N c 0 s 0
（指数分布）ຫໍສະໝຸດ No Image可得
No Image
的概率密度为
No Image
6.4.2 余弦信号加窄带高斯噪声包络平方的分布
No Image
其包络的平方为
No Image
因为包络服从广义瑞利分布
No Image
可推出包络的平方服从
No Image
6.4.3
No Image
No Image
分布和非中心
No Image
分布
在许多应用中，如信号检测中，为了改进检测性能(增加信噪比)， 通常采用“视频积累技术”，即——对包络的平方进行独立采样后 再积累，如下图所示。
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
包络A(t)和它的垂直分量有这样的关系
经傅里叶逆变换可得v’的概率密度为
1 1 ' v ' ' ' v f ( v ' ) exp I ( ), v ' 0 v ' 2 2 2 n 2 1 2 ' 2 2
n 2 4
窄带随机信号仿真与分析实验
axis([0 10.^5 0 12*10.^7]); title('the PSD Of AWGN'); xlabel('Frequency(Hz)'); figure(3) hist(NNnoise,-40:2:40); title('the Distribution Of The Signal no(t)'); figure(4) hist(Band_limited_all,-7:0.5:7); title('the Distribution Of The Signal n(t)'); figure(5) subplot(211) out2=xcorr(Band_limited_all); fs=length(Band_limited_alltime)/max(Band_limited_alltime); plot(-1:2/(length(out2)-1):1,out2); title('the Auto-Correlation Of n(t)') xlabel('Time'); axis([-2*10.^(-3) 2*10.^(-3) -4*10.^5 4*10.^5]); subplot(212) plot((1:length(out2))*fs/(length(out2)-1)-fs/2,fftshift(abs(fft(out2)) )); xlim([15000 25000]); title('The PSD Of n(t)'); xlabel('Frequency(Hz)'); %X figure(6) hist(Band_limited_cos,-3:0.3:3); title('the Distribution Of The Signal X(t)'); figure(7) subplot(211) out2=xcorr(Band_limited_cos); fs=length(Band_limited_costime)/max(Band_limited_costime); plot(-1:2/(length(out2)-1):1,out2); title('the Auto-Correlation Of X(t)') xlabel('Time'); axis([-2*10.^(-3) 2*10.^(-3) -2.5*10.^5 2.5*10.^5]); subplot(212) plot((1:length(out2))*fs/(length(out2)-1)-fs/2,fftshift(abs(fft(out2)) )); xlim([0 10000]); title('The PSD Of X(t)'); xlabel('Frequency(Hz)'); %Y
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实验五：窄带随机信号仿真与分析
【实验目的】
产生窄带随机信号，提取窄带随机信号的各个分量随机信号，测量窄带随机信号及其各个分量随机信号的参数，验证窄带随机信号及其各个低频分量随机信号的性质。
本实验安排在窄带信号课程之后来学习，使学生对窄带随机信号及其特性有个更直观和深入的了解。
【实验器材】
1．设备：一台计算机
2．软件：MATLAB6.5.1
【实验原理】
将理想白噪声 ()0n t 通过高频窄带系统可形成高频窄带噪声：
()()()()()cos cos sin n t V t wt t x t wt y t wt θ=+=+⎡⎤⎣⎦
(其中 w 是窄带噪声的中心频率)
高频窄带噪声()n t 与其两个低频正交分量()()x t y t 、具有相同的均值和方差，两个低频正交分量()()x t y t 、具有相同的相关函数和功率谱密度；高斯窄带噪声的包络随机信号()V t 的一维分布服从瑞利分布，而其相位随机信号()t θ服从均匀分布。
【实验内容】
1. 通过示波器观察高斯白噪声()0n t 的样本波形，并测量其“相关函数和功率谱、分布律”；
2. 通过示波器观察高斯窄带噪声()n t 的样本波形，并测量其“相关函数和功率谱、分布律”；
3. 通过示波器观察高斯窄带噪声()n t 的两个低频正交分量()()x t y t 、 的样本波形，并测量其“相关函数和功率谱、分布律”；
4. 通过示波器观察高斯窄带噪声()n t 的包络随机信号()V t 和相位随机信号()t θ的样本波形，并测量其“分布律”。
注意： 本实验中窄带随机信号的形成滤波器和BPF 和()()x t y t 、的形成滤波器LPF1、LPF2的类型（Butterworth 、Chebyshev 、Elliptic 、
Bessel）和参数都可设置
【实验方法】
先利用matlab仿真白噪声序列，然后构造一个窄带系统，使白噪声通过窄带系统形成高频窄带噪声，再提取高频窄带噪声的各个随机分量，研究高频窄带噪声和其各个低频随机分量的性质。
整个实验平台采用matlab 中的simulink.实现的simulink模块如下图所示：
图一,窄带高斯随机信号实验simulink模型
【实验步骤】
1.打开matlab,在File-set path 菜单下将含有awgn.mdl文件的目录设为缺省
目录,本机上,该目录为d:\rsexperiment\narrowband
2.打开simulink仿真器的模型编辑器,在其中打开awgn.mdl模型,此模型如图
一.
3.按不同时间运行此模型,每次运行后,点击个带颜色的功能模块,观察弹出窗
口的各种描述相应统计数据的模型.
【实验记录】
存储所测得的各种波形和数据，并分析：
1. 分析高斯白噪声和 ()no t 窄带高斯噪声 ()n t 的相关函数和功率谱、分布律有何异同？
2. 分析窄带高斯噪声 ()n t 的两个低频正交分量()()x t y t 、 “相关函数和功率谱、分布律” 有何异同？
3. 分析窄带高斯噪声 ()n t 和其两个低频正交分量()()x t y t 、 “相关函数和功率谱、分布律” 有何异同？
4. 分析窄带高斯噪声 ()n t 的包络随机信号()V t 和相位随机信号()t θ 的“分布律”又如何？
5. 分析窄带高斯噪声 ()n t 和其包络随机信号()V t 的样本波形有什么关系？
【思考题】
1．功率谱密度为0/2N 的零均值理想白噪声的相关函数是什么？其不同时刻的
随机变量是否正交、互不相关、相互独立？
2．理想白噪声通过理想低通系统和理想带通系统后输出信号的自相关函数和功
率谱密度是什么？。