有理数系不存在确界原理
1.1实数,1.2数集.确界原理
例1 证明数集 S {2n | n N } 无上界, 有下界. 证 取 L = 1, 则 x 2n S, x L, 故 S 有下界.
M R, 若 M 1, 取 x0 21 M;若 M 1,
取 x0 2[M ]1 [M ] 1 M , 因此 S 无上界.
数学分析研究的对象是实 数集上 定义的函数, 因此我们首先要掌握实 数的基本概念与性质.
记号与术语
R : 实数集 R+ : 正实数集 R :负实数集 Q : 有理数集 Z : 整数集
N :自然数集(包含0)
N+ : 正整数集 : 任意 : 存在
一、实数的十进制小数表示
1. 任何一个实数都可以用十进制小数表示. 若 x R+ , 则 x a0 .a1a2 an ; x R , 则 x a0 .a1a2 an . 其中 a0 N, an {0, 1, 2, , 9}, n 1, 2,.
满足 x r y.
证明 因为 x y,由命题存在非负整数 n 使得，
xn yn,显然 xn，yn 均为有理数，令
r
1
2
xn
yn ,
则 r 是有理数，且
x
xn
1 2
xn
yn
r
yn
y.
即 x y.
四、实数的四则运算
有理数集 Q 对加、减、乘、除（除数不为 0）是 封闭的. 实数集 R 对加、减、乘、除（除数不为 0）亦是 封闭的. 实数的四则运算与大小关系, 还满足:
(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S,使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S,使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S, 使得 | x0 | M .
确界原理的证明
§2 数集. 确界原理(一) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上、下界，上确界和下确界；确界原理难 点： 上、下确界定义的理解、数集确界的证明 二) 教学目的：1）正确使用区间和邻域概念，掌握集合的有界性的证明； 2）初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。
（三）基本要求：1）掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，能指出其确界；2）能用定义证明集合A 的上确界为ξ．即：Ax ∈∀有ξ≤x ，且 ,,00A x ∈∃>∀ε使得 εξ->0x ．(三) 教学建议：(1) 此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明具体集合的确界的习题．(2) 此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习题．一 区间与邻域: 区间邻 域设a 与δ是两个实数，且0>δ，称点集 }|||{δ<-=a x x E 为点 a 的δ邻域，记作)(a U δ称点集 }|{}|{)(δδδ+<<<<-=a x a x a x a x a U 为点 a 的去心δ邻域 记作)(0a U δ.δδa 的右δ邻域 }|{)(δδ+<≤=+a x a x a Ua 的右δ空心邻域 }|{)(0δδ+<<=+a x a x a Ua 的左δ邻域 }|{)(a x a x a U ≤<-=-δδa 的左δ空心邻域 }|{)(0a x a x a U <<-=-δδ∞邻域 }|||{)(M x x U >=∞∞+ 邻域 }|{)(M x x U >=∞∞- 邻域 }|{)(M x x U -<=∞二 有界数集 . 确界原理: 1. 有界数集:定义(上、下有界, 有界) 设 S 为实数R 上的一个数集，若存在一个数M （ L ）, 使得对一切 S x ∈ 都有 )(L x M x ≥≤，则称S 为有上界(下界)的数集。
数集·确界原理
设 2）不成立，则 0 0, 使得 x E ，均有 x M 0 ，与 M 是上确界矛盾.
充分性， 用反证法.设 M 不是 E 的上确界，即 M 是上界，但 M M .令 M M 0 ，
x E ， 由 2） ， 使得 x M M ， 与M 是E
例4 设 A, B为非空数集,满足: x A, y B有x y.
证: 由假设,数集B中任一数 y 都是数集A的上界,
A中任一数 x 都是B的下界, 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.
y B, y是数集A的一个上界,而由上确界的定义知
试证明:
x inf A
即
或
x inf B. x min inf A , inf B .
min inf A , inf B 是数集 S 的下界,
inf S min inf A , inf B .
3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释.
(a, b) (a, b 为有限数） a, b 、 、 邻域等都是有界数集； 集合 E y y sin x, x ( , )也是有界数集.
( , ) , ( , 0 ) , ( 0 , ) 等都是无界数集,
1 例1 证明集合 E y y , x ( 0 , 1 ) x 是无界数集. 1 (0, 1) , 证明： 对任意的M 0，x M 1 1
supA 是数集A的最小上界, 故有 supA y.
而此式又表明数
supA 是数集B的一个下界,
故由下确界的定义证得
sup A inf B.
例5
A 和 B 为非空数集, S A B.
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(课后习题 实数的完备性)【圣才出品】
§1 关于实数集完备性的基本定理1．证明数集有且只有两个聚点和解：令数集数列则数列都是各项互异的数列，根据定义2，1和－1是S的两个聚点．对任意且令由得取，则当n＞N时，或者有或者有总之由定义2知x0不是S的聚点，故数集有且只有1和－1两个聚点．2．证明：任何有限数集都没有聚点．证明：用反证法．设S是一个有限数集．假设ζ是S的一个聚点，按照定义2，在ζ的任何邻域内都含有S中无穷多个点，这个条件是不可能满足的，因为S是一个有限集．故任何有限集都没有聚点．3．设是一个严格开区间套，即满足且证明：存在惟一的一点ξ，使得证明：由题设知，是一个闭区间套．由区间套定理知，存在惟一的点ξ，使n以…，即4．试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立．解：（1）设则S是有界集，并且但故有理数集S在Q内无上、下确界，即确界原理在有理数集内不成立．（2）由的不足近似值形成数列这个数列是单调有上界的，2是它的一个上界．它的上确界为于是它在有理数集内没有上确界．因此，单调有界原理在有理数集内不成立．（3）设M是由的所有不足近似值组成的集合．则1.4是M的一个下界，2是M 的一个上界．即M是一个有界无限集，但它只有一个聚点故在有理数集内不存在聚点．因此，聚点定理在有理数集内不成立．（4）的不足近似值形成的数列满足柯西条件（因为当m，n＞N时，但其极限是而不是有理数，于是这个满足柯西条件的数列在有理数集内没有极限．因此，柯西收敛准则在有理数集内不成立．5．设问（1）H能否覆盖（0，1）？（2）能否从H中选出有限个开区间覆盖（i）解：（1）有有所以即故H 能覆盖（0，1）．（2）设从H 中选出m 个开区间，它们是令则并集的下确界为于是的子集，实际上故不能从H 中选出有限个开区间来覆盖从H 中选出98个开区间因为所以这些开区间覆盖了故可以从H 中选出有限个开区间覆盖6．证明：闭区间的全体聚点的集合是本身．证明：设的全体聚点的集合是M ．设不妨设则由实数集的稠密性知，集合中有无穷多个实数，故a 是的一个聚点．同理，b也是的一个聚点．设不妨设则故x 0的任意邻域内都含有中的无穷多个点，故x 0为的一个聚点．总之设令则即不是的聚点，即故M．综上所述，M＝，即闭区间的全体聚点的集合是本身．7．设为单调数列．证明：若存在聚点，则必是惟一的，且为的确界．证明：设是一个单调递增数列．假设ξ，η是它的两个不相等的聚点，不妨设ξ＜η．令δ＝η－ξ，则δ＞0，按聚点的定义，中含有无穷多个中的点，设则当n＞n1时，x n 于是中只能含有{x n }中有穷多个点，这与ξ是聚点矛盾．因此，若存在聚点，则必是惟一的．假设无界，则即任给M＞0，存在正整数N，当n＞N时，x n＞M，于是小于M 的只有有限项，因此不可能存在聚点，这与已知题设矛盾，故有界．对任给的ε＞0，由聚点定义，必存在x N，使按上确界定义知综上，若有聚点，必惟一，恰为的确界．8．试用有限覆盖定理证明聚点定理．证明：设S 是实轴上的一个有界无限点集，并且假设S没有聚点，则任意都不是S 的聚点，于是存在正数使得中只含有S中有穷多个点．而开区间集是的一个开覆盖．由有限覆盖定理知，存在的一个有限覆盖，设为它们也是S的一个覆盖．因为每一个中只含有S 中有穷多个点，故S 是一个有限点集．这与题设矛盾．故实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点．9．试用聚点定理证明柯西收敛准则．证明：设收敛，令于是，对任给的ε＞0，存在正整数N，使得当n，m ＞N时，有于是设数列满足柯西收敛准则的条件．如果集合只含有有限多个不同的实数，则从某一项起这个数列的项为常数，否则柯西条件不会成立．此时，这个常数就是数列的极限．如果集合含有无限多个不同的实数，则由柯西条件容易得知它是有界的．于是由聚点定理，集合至少有一个聚点假如有两个不等的聚点ξ，η，不妨设η＞ξ，令δ＝η－ξ，则与都含有集合中无限多个点．这与取，存在正整数N ，当n ，m ＞N 时，有矛盾．故的聚点是惟一的，记之为ξ．对于任意ε＞0，存在N ，使得当n ，m ＞N 时，又因为ξ是的聚点，所以存在n0＞N ，使得因而，当n ＞N 时，故数列收敛于ξ．10．用有限覆盖定理证明根的存在性定理．证明：根的存在定理：若函数f 在闭区间上连续，且f （a ）与f （b ）异号，则至少存在一点，使得f （x 0）＝0．假设方程f （x ）＝0在（a ，b ）内无实根，则对每一点有由连续函数的局部保号性知，对每一点存在x 的一个邻域，使得f （x ）在内保持与f （x ）相同的符号．于是，所有的形成的一个开覆盖．根据有限覆盖定理，从中可以选出有限个开区间来覆盖．把这些开区间的集合记为S ，则点a 属于S 的某个开区间，设为它的右端点x 1＋δ1又属于S的另一个开区间，设为以此类推，经过有限次地向右移动，得到开区间，使得δn ）这n 个开区间显然就是的一个开覆盖．f （x ）在每一个内保持同一个符号．在内f （x ）与f （a ）具有相同的符号．因为所以f （x ）在内也具有f （a ）的符号．以此类推，f （b ）与f （a ）具有相同的符号．这与f （a ）与f （b ）异号矛盾．故至少存在一点，使得f （x 0）＝0．11．用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理．证明：一致连续性定理：若函数f 在闭区间上连续，则f 在上一致连续．因为f 在上连续，所以任绐任意ε＞0，存在对任意有取．则H 是的无限开覆盖．由有限覆盖定理，从中可以选出有限个开区间来覆盖不妨设选出的这有限个开区间为取对任意不妨设，即当时，由于因此由一致连续定义，f 在上一致连续．§2 上极限和下极限1．求以下数列的上、下极限。
什么叫有理数集有理数的由来
什么叫有理数集有理数的由来很多同学都学习了有理数，那么什么是有理数？什么是有理数集？大家一起来看看吧。
有理数集简介数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比，例如3/8，通则为a/b。
0也是有理数。
有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。
有理数与分数的区别，分数是一种比值的记法。
可以是无理数，例如根号2/2。
有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。
不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
有理数集，即由所有有理数所构成的集合，用黑体字母Q表示。
有理数集是实数集的子集。
有理数名字的由来有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》，前6卷时的底本是拉丁文，他们将这个词的拉丁文( 即“logos”) 译为“理”，这个“理”在文言文中的意思是“比值”。
明末时期日本落后于我们，常常派使者来我国，这个有理数的概念也被他们拿走了，但是当时的日本学者对我国的文言文理解不够，直接将在文言文中表示“比值”的“理”直译成了“道理”的“理”，没文化真坑人呀！直到清朝中期我国对有理数的翻译并没有错，可是到了清末，那时候中国落后于日本，于是清朝派留学生去日本，居然又将此名词重新传回中国，并且一直沿用至今。
以致于现在中日两国都用“有理数”和“无理数”这一错误的说法。
所以说现在对“有理数”名称的理解的疑惑是历史原因造成的。
有理数大小的比较由正有理数的大小排列我们可以知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，于是规定“数轴上右边的点所表示的数大于左边的点所表示的数。
”根据这个规定，可以知道：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。
对于两个正数的大小，小学时我们已经知道。
关于两个负数的比较大小，我们虽然已经可以根据它们在数轴上的位置确定，但是我们希望把它们转化为正数来进行比较，这样会使计算简便。
如|－3|=3，|－2|=2，因为3>2，所以|－3|>|－2|而由数轴可知－3<－2，即“两个负数，绝对值大的反而小”。
1-02-数集与确界原理
( −∞ , b ) = { x x < b}
无限区间
x o
b
x
区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度 称为区间的长度 两端点间的距离 线段的长度)称为区间的长度 线段的长度 称为区间的长度.
3.邻域: 设a与δ是两个实数 , 且δ > 0. .邻域:
数集{ x x − a < δ }称为点a的δ邻域 ,
中的一个数集， 满足： 定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数ξ 满足： 的下界） （1）对一切 x ∈ S , 有 x ≥ ξ （即ξ 是 S 的下界） ） ； 存在 （2） ） 对任何β>ξ ,存在 x0 ∈ S , 使得 x0 < β （即ξ 是 S 的下界中最大的一个）则称数 ξ 为数集 S 的下 的下界中最大的一个） ， 确界， 确界，记作 ξ = inf S .
∴sup S ≤ max{sup A,sup B} ; 同理又有sup B ≤ sup S. ∴sup S ≥ max{sup A,sup B} ; ∴sup S = max{sup A,sup B} . 从而有x ≤ max{sup A,sup B} , 又: ∀x ∈ A, x ∈ S ⇒ x ≤ sup S ⇒sup A ≤ sup S,
数集S有上界 数集 有上界 ⇔ ∃M ∈ R, ∀x ∈ S有x ≤ M. 数集S无上界 数集 无上界 ⇔ ∀M ∈ R, ∃x0 ∈ S有x0 > M. 数集S有下界 数集 有下界 数集S无下界 数集 无下界
[ a , b ] , ( a , b ),(a , b 为有限数）是有界数集 为有限数）是有界数集;
+
Β为非空数集 满足: 为非空数集, 例4 设 Α, Β为非空数集,满足: ∀x ∈ A, ∀y ∈ B有 ≤ y x 证明: 有上确界, 有下确界,且 证明:数集 A有上确界 数集 有下确界 且sup A ≤ inf B 有上确界 数集B有下确界 由假设,数集 数集B中任一数 都是数集A的上界 的上界, 证: 由假设 数集 中任一数 y 都是数集 的上界 A中任一数 x 都是 的下界 中任一数 都是B的下界 的下界, 故由确界原理知,数集A有上确界 数集 有下确界 有上确界,数集 有下确界. 故由确界原理知 数集 有上确界 数集B有下确界 确界原理 是数集A的一个上界 的一个上界,而由上确界的定义知 ∀y∈B, y是数集 的一个上界 而由上确界的定义知 是数集A的最小上界, supA 是数集 的最小上界, 故有 supA ≤ y 是数集Β的一个下界, 而此式又表明数 supA 是数集Β的一个下界, 故由下确界的定义证得
关于实数完备性的6个基本定理
其极限为无理数e,从而任一子列均收敛于e。
故{xn}在有理数域内没有收敛的子列。
6. 柯西收敛准则
在实数系中， {an}收敛
0,N ,m,n N ,有an am .
反例： {(1 1 )n }是满足Cauchy条件的有理数列， n
但其极限是无理数e. 即柯西收敛准则在有理数域不成立。
任取H的有限个元素，构成集合H *,
H * {( x1 r1, x1 r1 ),( x2 r2 , x2 r2 )( xn rn , xn rn )}
由于H *中的开区间都不含 2，且2n个端点都是有理数， 设这2n个有理数中与 2最靠近的数为 r, 则在r与 2之间所有有理数都在上述n个区间之外。 即H的任意有限覆盖不能盖住[1,2]Q .
n 但其极限是无理数e.
即数列的单调有界定理在有理数域不成立。
3. 区间套定理
若{[ an,bn ]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点
,使 [an,bn],n 1,2,
反例：取单调递增有理数列{an},使an 2, 取单调递减有理数列{bn},使bn 2,
则 有理数域内构成闭区间套 [an ,bn ]Q， 其在实数系内唯一的公共点为 2 Q.
在有理数系中这六个命题不成立 。
1. 确界原理 在实数系中，任意非空有上（下）界的数集
必有上（下）确界。
反例：S {x | x2 2, x Q},sup S 2, inf S 2, 即S在有理数集没有确界。确界原理在有理数域不成立。
2. 单调有界定理； 在实数系中，单调有界数列必有极限。 反例：{(1 1)n }是单调有界有理数列，
实数完备性基本定理的等价性
实数基本定理等价性的路线 : 证明按以 下三条路线进行:
第6节 实数的连续性：上确界下确界存在定理
证明：
x A , y B， x su p A , y su p B， 有 xy su p A su p B
因 此 sup AB sup A sup B
0, 1, x 0 A , x 0 sup A 0, 1, y 0 B , y 0 sup B
在 [ a N , b N ]中必有 E 中点 x N , 使得
( lim a n )
n
xN aN
sup E
aN
●
xN
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
bN
确界原理 注１：
单调有界原理
设 证明： a n 单调增，有上界，
则 a n 有上确界 sup a n a 且 an a
2
2
'
x y inf X inf Y
inf( X Y ) inf X inf Y
⑵ 显然有
inf X sup X , inf Y sup Y
inf X sup Y inf( X Y ) inf X inf Y sup X inf Y
3, x Q , E2
,
E1
x 0 x
x
3 x , x Q ， 3， 因 此 有 理 数
集 合 E 1的 上 界 为
3， E 2 集 合 的 下 确 界 为
集合确界定理不存在.
0, a N , 使 a N a
n N时
an a N a an a an a
lim a n a sup a n
n
关于“无穷大”之有理数、无理数,无限循环小数、无限不循环小数等概念的逻辑关系
关于“无穷大”之有理数、无理数，无限循环小数、无限不循环小数等概念的逻辑关系1 万物皆数：有理数的前身。
毕达哥拉斯学派：任何两个量都是可公度的。
推出：任何数都可以表示成两个整数之比。
这与其叫做“数”的定义，不如叫做“数”的性质。
当然这个性质是经验的产物，并不是逐一验证的先天结论，所以，有可能是不正确的。
2 √2：无理数的发现√2这个数，它不满足上述定义。
所以，“数”的概念必须要扩大，以包含这类数。
此时把后发现的这类不满足上述定义的、“不能合理度量”的数定义为「无理数」；先前那类数定义为「有理数」。
定义的规则是：能否表示成两个整数之比。
至此，有理数、无理数的定义完成。
数字的定义是一种人为的划分:具有某些特征的那些被分组在一起。
所以某一个数不叫自然数，而是按照一定的原理归类为某一个数。
3 有理数有理数的特点:必须表示为两个整数的比值，即必须用分量数的形式表示。
至此，有理数、无理数的定义与“分数”这一概念相关，与“小数”的概念无关。
4 小数数的概念是人为划分：形式上，带分子分母的表达形式为“分数”、带小数点的表达形式即为“小数”。
这与“有理数”、“无理数”的划分是两个不同的角度。
那么，一个小数到底是有理数还是无理数？原理只有一个:这个小数是否可以表示为两个整数的比值。
即能否转化为分量数形式。
5 小数与分数的转化小数最初是整数除法计算的产物，不能“整除”就得到小数形式。
进而发现，“除尽”了，就得到位数有限的小数，“除不尽”，就得到一个位数无限的小数。
两个整数相除的结果只有3种：1.整数(划分到有限小数)2.位数有限的小数3.位数无限、且循环的小数所以：{有理数}={有限小数}+{无限循环小数}6 小数的形态小数有几种形式？从数字的角度来看，可以分为有限和无限1 位数有限2 位数无限2.1 无限循环2.2无限不循环假设❶所有的有理数与无理数都可以用小数表示，假设❷无限循环小数存在，则无限不循环小数也可能存在，故有：{实数}={有理数}+{无理数}={有限小数}+{无限小数}， {无限小数}={无限循环小数}+{无限不循环小数} ， {有理数}={有限小数}+{无限不循环小数} ⇒ {无理数}={无限不循环小数}无限不循环小数并不是人们根据某一类数的特征定义的，因为无法直接验证无限位是否不循环或不循环。
§2数集·确界原理有界集确界确界的存在性定理
有界集
确界
确界的存在性定理
非正常 确界
第四讲 确界原理
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
§2 数集·确界原理
有界集
确界
确界存在性定理
确界的存在性定理
非正常 确界
定理1.1（确界原理）
设S R, S . 若 S 有上界, 则 S 必有上确界;
若 S 有下界, 则 S 必有下确界.
证 (i) x a S a, 其中 x S, 必有 x sup S,
于是
x a sup S a.
0,
且 因此
x0 S, 使 x0 sup S , 从而
x0 a S a,
x0 a (sup S a) ,
sup( S a) sup S a.
数学分析 第一章 实数集与函数
该定理作为公理,不予证明.
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
§2 数集·确界原理
有界集
确界
确界的存在性定理
例1 设 A, B 为非空数集. 满足 :
x A, y B,有 x y.
非正常 确界
证明：数集 A 有上确界，数集 B 有下确界， 且 sup A inf B.
证 由假设, B 中任一数 y 都是 A 的上界, A 中的任
一数 x 都是 B 的下界. 因此由确界原理, A 有上确
界, B 有下确界. 由定义, 上确界 sup A 是最小的上界, 因此, 任意
yB; sup A y. 这样, sup A 又是 B 的一个下界, 而 inf B 是最大的下界, 因此 sup A inf B.
数学分析 第一章 实数集与函数
令
1 M
第二节--数集--确界原理ppt课件
若S没有上界或没有下界，则称S为无界集。
7
若 S有 上 ( 下 ) 界 ， 则 一 定 有 无 限 多 个 上 ( 下 ) 界 。
若对于任意的数M，都存在一个
∈S,使得 >M, 则称S是一个无上
界的数集。
请同学写出“S是无下界的数集”的定义。
8
有下界(可取1)，无上界。 下界可取1/2，上界可取1。
28
作业 p9. 2,
4 (1) (3).
29
18
证： 仅证上确界的结论。 不妨设S有非负数。由于S有上界，故可找
到非负整数n,使得： (1)对于任何x ∈S,有x<n+1；
对[n,n+1)作10等分，分点为n.1,n.2,…,n.9, 则存在0 ，1 ，2, … , 9中的一个数 ，使
19
则存在0 ，1 ，2, … , 9中的一个数 ，使
3
邻域:
4
右邻域： 左邻域：
5
二、有界集、确界原理 定义1 设S是实数集R中的一个数集，若存在
数M，使得对一切的x ∈S, 都有
则称S为有上界的数集，称M为S的一个上
界。
6
定义2 设S是实数集R中的一个数集，若
存在数L，使得对一切的x ∈S, 都有
x L,则称S为有下界的数集，称L为S的一个 下界。
继续下去，则对任意的k=1,2,3,…,存在 0,1,2,3,…,9中的一个数 ，使
20
现在证明 = supS. 为此要证：
21
从而于是(ⅠBiblioteka 得证 。矛盾！22
于是(Ⅱ)得证。
从而
23
例4：求A={x|x>0, <2, x 是有理数}的上下 确界，并证明上确界不属于有理数集.
确界原理内容
确界原理内容
确界原理是数学中的一个重要概念，它指的是在实数集中，任何一个有上界的集合都有一个上确界。
这个原理是由德国数学家魏尔斯特拉斯提出的，它为我们提供了一个判断一个集合的上确界存在的方法。
在实数集中，如果我们有一个集合，它有一个上界，那么我们可以找到一个数，它小于或等于集合中的每一个元素，并且大于或等于集合的上界。
这个数就是集合的上确界。
例如，在实数集中，如果我们有一个集合{1, 3, 5, 7, ...}，它是一个有上界的集合，因为它的上界是无穷大。
根据确界原理，我们可以找到一个数，它小于或等于集合中的每一个元素，并且大于或等于集合的上界。
这个数就是集合的上确界。
在这种情况下，集合的上确界是无穷大。
除了在实数集中，确界原理还可以应用于其他数学领域。
例如，在分析学中，我们可以使用确界原理来证明一些函数的极限存在。
总之，确界原理是一个重要的数学概念，它为我们提供了一个判断一个集合的上确界存在的方法，并且在许多数学领域中都有广泛的应用。
§2--数集-·-确界原理--数学分析(华师大-四版)课件-高教社ppt-华东师大教材配套课件
一、有界集二、确界三、确界的存在性定理四、非正常确界*点击以上标题可直接前往对应内容记号与术语(;){|||}:U a x x a a δδδ=-<点的邻域；(;){|0||}:U a x x a a δδδ=<-<点的空心邻域； (;){|0}:U a x x a a δδδ+=≤-<点的右邻域； (;){|0}:U a x a x a δδδ-=≤-<点的左邻域； (;){|||}:U M x x M M ∞=>∞的邻域；(;){|}:U M x x M M +∞=>+∞的邻域； (;){|}:U M x x M M -∞=<-∞的邻域；. ； max :S S 数集的最大值min:S S 数集的最小值后退 前进 目录 退出定义1 有界集R,.S S 设⊂≠∅(1)R,,,M x S x M M 若使得则称为∃∈∀∈≤,.S S 的一个上界称为有上界的数集(2)R,,,L x S x L L 若使得则称为∃∈∀∈≥,.S S 的一个下界称为有下界的数集.S 则称为有界集(3),S 若既有上界又有下界:0,,||.M x S x M ∃>∀∈≤其充要条件为使有(1),,S S '若不是有上界的数集则称无上界00R,,.M x S x M ∀∈∃∈>使得(2),,S S '若不是有下界的数集则称无下界00R,,.L x S x L ∀∈∃∈<使得(3),,S S '若不是有界的数集则称无界集000,,||.M x S x M ∀>∃∈>使得即 即 即[]102[]1,M x M M +=>+>取证 取 L = 1, {2|N },.nS n +=∈证明数集无上界有下界例1 例2 2+31N .2n S n n ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭证明数集有界证 2+31N ,2n n n -∀∈.S 因此有界,,2L x S x n ≥∈=∀则故 S 有下界. 因此 S 无上界.,1,<∈∀M R M 若;210M x >=取，若1≥M 233122n n n ≤+111,22≤+=定义2确界:R . R,满足若设∈≠⊂η∅S S .sup ,S S =ηη记为的上确界是则称;,)i (η≤∈∀x S x ,,(ii)0S x ∈∃<∀ηα0,x α>使得若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其中 最小的一个具有重要的作用. 确界. 确界.最小的上界称为上 同样，若S 有下界，则最大的下界称为下定义3R,.R :S S ξ设若满足⊂≠∅∈(i),;x S x ξ∀∈≥00(ii),,;x S x βξβ∀>∃∈<.inf ,S S =ξξ记为的下确界是则称00,.x S x εξε∀>∃∈<+0,(ii)下确界定义中的亦可换成注2 注1 由定义,下确界是最大的下界.注4 (ii)显然,条件亦可换成:00,.x S x εηε∀>∃∈>-0,注3 条件(i) 说明 是 的一个上界, S η比 小的数都不是 的上界,从而是最小的上界 S ηη界, 条件(ii )说明即上确界是最小的上界.证 先证 sup S =1.;111,i)(≤-=∈∀n x S x .,211000αα>∈-=≤x S x ，则取若(ii) 1.α<设例3 11,1,2,,S x x n n ⎧⎫==-=⎨⎬⎩⎭设证明.0inf 1sup ==S S ，.1sup =S 因此，00,10,,,n αεα若令由阿基米德性>=->∃01.n ε使得<00011,1.x S x n εα取则=-∈>-=.0inf =S 因此.0inf =S 再证00(ii)0,0,.x S x αα∀>∃=∈<;011,)i (≥-=∈∀nx S x 以下确界原理作为公理,不予证明.虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的 存在性, 不一定有最小值, 例如 (0, ∞) 无最小值.这是由于上界集是无限集, 而无限数集确界存在性定理定理1.1（确界原理）设若有上界则必有上确界⊂≠∅S S S SR,.,;若有下界则必有下确界,.S S.,,y x B y A x ≤∈∀∈∀有:.,满足为非空数集设B A 例4 .inf sup B A ≤且证明：数集 A 有上确界，数集 B 有下确界，由定义, 上确界 sup A 是最小的上界, 因此, 任意 证 由假设, B 中任一数 y 都是 A 的上界, A 中的任界, B 有下确界.y ∈B ; sup A ≤ y . 而 inf B 是最大的下界, 因此 sup A ≤inf B.一数 x 都是 B 的下界.因此由确界原理, A 有上确 这样, sup A 又是 B 的一个下界,例5 ,R 中非空有上界的数集是设S (i)R,{|},a S a x a x S ∈+=+∈若定义则sup {}sup ;S a S a +=+=∈(ii)>0,{|},b bS bx x S 若定义则sup {}sup .bS b S =⋅证 ,)i (a S a x +∈+∀,S x ∈其中必有 ,sup S x ≤于是 .sup a S a x +≤+,,00S x ∈∃>∀ε对于使 ,sup 0ε->S x 从而,0a S a x +∈+且 ,)(sup 0ε-+>+a S a x 因此.sup )sup(a S a S +=+,)ii (bS bx ∈∀其中 ,S x ∈必有 ,sup S x ≤于是.sup S b bx ≤0,0,b εεε'∀>=>令则存在 ,0S x ∈使 0sup ,x S ε'>-因此 0sup sup .bx b S b b S εε'>-=-这就证明了.sup }sup{S b bS =非正常确界;R,)i (.1+∞<<∞-∈∀a a 规定supN ,inf{2|N }.nn +=+∞-∈=-∞2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界. .sup ,)ii (+∞=S S 记无上界若.inf ,-∞=S S 记无下界若例2 设数集 1R ,.A B x A x +⎧⎫⊂=∈⎨⎬⎩⎭求证:sup inf 0.A B 的充要条件是=+∞=例1,M ε1令=001,,.x B x M εε=∃∈<令于是0001,.y A y M x 且=∈>证 设 sup .A 若=+∞,0.x B x ∀∈>显然0,ε∀>于是 0001,.y B y x ε=∈<且因此 inf 0.B =sup .A 因此=+∞反之,若 inf 0,B =则0,M ∀>求证:sup inf 0.A B 的充要条件是=+∞=sup ,A =+∞则由于00,.x A x M ∃∈>复习思考题2. 1212,,S S S S ⊂和都是数集且21sup sup S S 和比较.inf inf 21的大小和及S S .sup S a =其中形式一定为,),[∞+a 1. 数集 S 有上界，则 S 的所有上界组成的集合是否 3. 在上确界的定义中， 00(ii),,x S x αηα使∀<∃∈>能否改为 00(ii ),,?x S x αηα'∀<∃∈≥使或改为 00(ii ),,?x S x αηα使''∀≤∃∈≥。
数学分析1.2数集与确界原理
第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。
(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。
设a∈R，δ>0。
满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。
若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。
若S不是有界集，则称S为无界集。
例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。
证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。
§1.2确界
《数学分析》(1)
§1.2 数集 确界原理
四、非正常确界
1. 规定 (i ) a R, a ; (ii )若 S 无上界, 记 sup S . 若 S 无下界, 记 inf S .
2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界.
例1 sup N , inf{2n | n N } .
a
a
x
点a的去心的邻域 :
U (a； ) { x | 0 x a }
o
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2017年11月29日星期三
4
《数学分析》(1)
§1.2 数集 确界原理
右邻域： U (a; ) [a, a ) 左邻域： U (a; ) (a , a]
• 对下确界有类似的结论.
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17
《数学分析》(1)
§1.2 数集 确界原理
定理1.1
(确界原理)
设S R, S . 若 S 有上界, 则 S 必有上确界; 若 S 有下界, 则 S 必有下确界.
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上确界 M 上界
M1
M2
同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为S的下确界.
下界 m2 m1 m
下确界
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《数学分析》(1)
§1.2 数集 确界原理
1. 是 上 界 ； 最小上界的定义2. 小 一 点 不 再 是 上 界 .
定义2 设 S R, S . 若 R满足:
14
《数学分析》(1)
对有理数和无理数的认识
对有理数和无理数的认识摘要：本文将对有理数和无理数的由来、概念及性质作一介绍，试图对数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
关键词：有理数 无理数 代数无理数与超越无理数一、 有理数1、有理数的由来在远古时候人们的生活经历探索，由模型到符号的演变发展成现在数及其符号，算术运算和早期代数也随之发展起来，在这里不做详细说明(大家可以参考由［英国］ 蒂莫西·高尔斯的《数学史》译:刘熙文献)，今日的算术和维叶塔以前的算术的区别在于对“不可能”到可能“可能”态度的转变，17世纪以前的代数家赋予这个名词有绝对的意义，认定了自然数是一切算术运算的特有数域，他们把可能性或者说，限制了的可能性，视为这些运算的内在性质。
也既是算术的直接运算乘法(ab)、加法（a+b ）、自乘(ba )在自然数域中是全可能的，然而逆运算除法（ba ），减法（a-b ）、开方（b a ）要在只在有限制的条件下成立。
维塔娜以前的代数学家只满足于陈述这些事实，他们不能对这些问题做更深入的分析。
然而算术直接运算之所以全可能，是因为这些运算只不过是一系列重复运算，一步步深入到自然数中，然自然数我们先验假定为无限。
若要除去这个假定，我们把算术域限于一个有限集合（比如1000以内自然数）因此998+456>1000、600 X 50>1000就变的没意义了，然而相对式子也就失去意义。
或者限于奇数，对乘法还是全可能(奇数之积任为奇数)，然而加法就不成立了。
因此在自然数域中算术运算是全可能的。
那么问题来了，能否把把数域扩大使得算术逆运算也成立，然而对于减法，我们只要把负数和0加进去就可以了。
对于除法，只要把正负分数加进去就使得除法也全可能。
因此由正负整数，正负分数和0组成的数域称为有理数域。
（希腊文称为λογος，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。
确界习题课件
解法二 因为maxS=1, minS=0,
故 sup S 1, inf S 0.
P 9. 3.
解
S { y | y 2 x , x R}
2
显然， x 2 2, 2
y S , 有 y 2,
即S有上界2。 若S有下界L, 则L<2,
即2 x L,
2
即y S , 有y L,
2 0
取x0 2 L, 则 x 2 L,
y0 2 x 2 ( 2 L) L, 矛盾！
2 0
故S无下界。
P 9. 4（3）. S { x | x为(0, 1)内的无理数 } 解
（2）inf Sห้องสมุดไป่ตู้ 3. x S , x 3. 即 3是S的一个下界。
3a a 3. 取x0 2 （或取x0为 3和a之间的任何实数） ,
则x0 3且x0 a ,
即x 0 S , x 0 a .
故 inf S 3.
1 1） （ 2、 S { x | x ,n N } n
n
解
2 2 2 2 S {0, ,0, ,0, ,0, ,} 2 4 6 8
sup S 1, inf S 0. （1）sup S 1.
x S , x 1,
a 1, 取x0 1 S , 则x0 a .
故supS 1.
(2) inf S 0.
x S , x 0,
解 (1)
inf f ( x ) m , sup f ( x ) M ,
x , x I , 有m f ( x ) M , M f ( x ) m ,
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性 （即 完 备 性 ）是 实 数 系特 有 的 性 质 ，有 理 数 系和 无 理 数 系均 不 具 有 ．
关 键 词 有 理 数 系 ；确 界 ；存 在 性 ；离散 性
中 图分 类 号 Ｏ１７１
文 献 标 识 码 Ａ
文章 编 号 １００８—１３９９（２０１８）０１—０１１０—０２
记 为 ｓｕｐＴ一 ，其 中 ， ＥＮ ，（ ， ）＝１．则有
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一
夕＋ １，其 中 户为 非 完全 平 方 数 ，所 以
ｍ＠ｇ：ｐ，从而ｐ一１＜ ｍ２＜户或 ＜ ｍ２＜户＋１．
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（１）考 虑 ｐ一１＜ ｍ２＜ｐ的情形
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第 ２１卷 第 １期
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定理 （正 有 理 数 无 限 集确 界 的 不 存 在 性 ） 由 小 于任 意 给 定 正 无 理 数 所 构 成 的 正 有 理 数 无 限集 必无 上确 界 ；由大 于任 意给 定正 无 理数 所 构成 的正 有理 数无 限集 必元 下确 界．
黄 晓 鑫 ，张 海 亮
（浙 江 海 洋 大 学 数 学 系 ，浙 江 舟 山 ３１６０２２）
摘 要 本 文举 例 论 证 了有 理 数 集 不 存 在 确 界 原 理 ．先 给 出 了正 有 理 数 系无 限 集确 界 不存 在 的 严 格 证 明 ，进 而 论 述 了有 理 数 无 限 集 和 无 理 数 无 限 集 确 界 的 不 存 在 性 ． 由此 可 得 有 理 数 系是 离散 的 ，无 理 数 系也 是 离散 的 ，而 连 续
命题 １ 设 Ｔ－｛ｚ Ｉ 。＜ｐ，ｚ∈Ｑ ，ｐＥ Ｎ ，Ｐ 为非 完 全 平 方 数 ），那 么 集 合 ，ｒ 在 Ｑ 内 没 有 上 确 界．
些 有界 的有 理数 集是 有确 界 的 ，有些 有 界 的有 理 数
证 明 反 证 法．假 设 集 合 Ｔ 有 上 确 界 ｓｕｐＴ，
集 却是 无确 界 的．本文将 通 过下 列 ２个 命 题来 论 证 有 理数 系确 界 的不 存 在 性 和离 散 性 ．文 中涉 及 的 符 号 Ｑ，Ｑ ，Ｑ一，Ｎ ，（ ， ）一１，分 别 表 示有 理 数
收 稿 日期 ：２０１７—０４—２５ 修 改 日期 ：２０１７一Ｏ６—１３ 作 者 简 介 ：黄 晓 鑫 （１９９６一），男 ，广 东 汕 头 人 ，本 科 ，从 事 基 础 数 学
研 究 工 作 ．Ｅｍａｉｌ：９６４５２７８６８＠ ｑｑ．ｃｏ１３３． 张 海 亮 （１９６７一 ），男 ，山西 吕梁 人 ，教 授 ，从 事 数 学 教 学 和 研 究 ．Ｅｍａｉｌ：ｈｌｚｈａｎｇ８８ｗｙ＿＠１６３．ＣＯＩＴＩ．
黄 晓 鑫 ，张 海 亮 ；有 理 数 系不 存 在 确 界 原 理
再令 ｒ一 ｍ ，则
２ｒ 一番 ｔ＜
特别 说 明 ，上述命 题 中 Ｐ取一般 的正实数 结 论 也成 立．利用 命 题 １和命 题 ２，我 们 立 刻 可 得 下 面 的正有 理 数无 限集 的确界 的不 存在 性定 理．
Ｒａｔｉｏｎａｌ Ｎｕｍ ｂｅｒ Ｓｙｓｔｅｍ Ｄｏｅｓ Ｎｏｔ Ｈ ａｖｅ Ｓｕｐｒｅｍ ｕｍ Ｐｒｏｐｅｒｔｙ
Ｈ Ｕ ＡＮＧ Ｘｉａｏｘｉｎ ａｎｄ ＺＨ ＡＮＧ Ｈ ａｉｌｉａｎｇ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｚｈ＠ ａｎｇ Ｏｃｅａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｏｕｓｈａｎ ３１６０２２，ＰＲＣ）
众所 周 知 ，确 界 存 在 定 理 又 称 实 数 连 续 性 定 集 ，正有 理 数 集 ，负 有 理 数 集 ，正 整 数 集 ，ｍ 与 咒
理 ，体 现 了实数 系 的连 续 性．本文 受 此 启 发 ，证 明 互 质．
了有 理数 无 限集 确界 的不存 在 性 ，从 而 导 出 了有 理 数 系 的不连 续 性 ，或者 说 适 合 实 数 集 的“有 界 必 有 确 界，，的确 界原 理 ，并不 适合 有理 数集 ．原 因是 ，有
第 ２１卷 第 １期 ２０１８年 １月
高 等 数 学 研 究
ＳＴＵ ＤＩＥＳ ＩＮ ＣＯＬＬＥＧ Ｅ Ｍ Ａ ＴＨ ＥＭ Ａ ＴＩＣＳ
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８－１３９９．２０１８．０１．０２８
Ｖ ０１．２１，Ｎ ｏ．Ｉ Ｊａｎ．，２０１８
有 理数 系不存 在 确 界原 理
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｓｈｏｗｓ，ｂｙ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ，ｔｈａｔ ｒａｔｉｏｎａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｓｙｓｔｅｍ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｈａｖｅ ｓｕｐｒｅｍ ｕｍ （ｉＭ ｉ— ｍｕｍ ）ｐｒｏｐｅｒｔｙ．Ｓｉｍ ｉｌａｒｌｙ，ｉｒｒａｔｉｏｎａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｅｉｔｈｅｒ． Ｗ ｅ ｃｏｎｃｌｕｄｅ ｔｈａｔ ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｒａｔｉｏｎａｌ ａｎｄ ｔｈｅ ｉｒｒａｔｉｏｎａｌ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱｕｍｂｅｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ａｒｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｒａｔｉｏｎａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｓｙｓｔｅｍ ，ｓｕｐｒｅｍｕｍ ａｎｄ ｉｎｆｉｍ ｕｍ ，ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ，ｄｉｓｃｒｅｔｅｎｅｓｓ
ｒＥＴ，则 不是 Ｔ 的上 界 ，更不 是 Ｔ的 上确 界．从 们 不妨 将此 推论 称 为有理数 离散 性定 理 ．
而 知这 种 情形 下假 设不 成立 ．
（２）考 虑 夕＜ ｍ２＜户＋１的情形
由于 Ｑ 与 Ｑ一地 位 对 等 ，仅 仅 是 相 差 一 个 负 号 ，所 以上述 正有 理数无 限集 的确 界存 在性 定 理 可
肿 ｒ （ｐ一 ）∈ ．詈＋ｒＥＱ＋Ｒｍ ＋ 以推广 到有 理 数 域 ，从 而 得 到 下 面 的推 论．另 外 ， 实 数集 确界 存在 性定 理 ，又 名实 数 连续 性 定 理 ，我