有理数系不存在确界原理
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收 稿 日期 ：２０１７—０４—２５ 修 改 日期 ：２０１７一Ｏ６—１３ 作 者 简 介 ：黄 晓 鑫 （１９９６一），男 ，广 东 汕 头 人 ，本 科 ，从 事 基 础 数 学
研 究 工 作 ．Ｅｍａｉｌ：９６４５２７８６８＠ ｑｑ．ｃｏ１３３． 张 海 亮 （１９６７一 ），男 ，山西 吕梁 人 ，教 授 ，从 事 数 学 教 学 和 研 究 ．Ｅｍａｉｌ：ｈｌｚｈａｎｇ８８ｗｙ＿＠１６３．ＣＯＩＴＩ．
黄 晓 鑫 ，张 海 亮 ；有 理 数 系不 存 在 确 界 原 理
再令 ｒ一 ｍ ，则
２ｒ 一番 ｔ＜
特别 说 明 ，上述命 题 中 Ｐ取一般 的正实数 结 论 也成 立．利用 命 题 １和命 题 ２，我 们 立 刻 可 得 下 面 的正有 理 数无 限集 的确界 的不 存在 性定 理．
记 为 ｓｕｐＴ一 ，其 中 ， ＥＮ ，（ ， ）＝１．则有
１＜ ｍ ２＜
一
夕＋ １，其 中 户为 非 完全 平 方 数 ，所 以
ｍ＠ｇ：ｐ，从而ｐ一１＜ ｍ２＜户或 ＜ ｍ２＜户＋１．
ｎ
（１）考 虑 ｐ一１＜ ｍ２＜ｐ的情形
．
令
一 ｍ２
，
则有
０＜ ￡＜１．
第 ２１卷 第 １期
性 （即 完 备 性 ）是 实 数 系特 有 的 性 质 ，有 理 数 系和 无 理 数 系均 不 具 有 ．
关 键 词 有 理 数 系 ；确 界 ；存 在 性 ；离散 性
中 图分 类 号 Ｏ１７１
文 献 标 识 码 Ａ
文章 编 号 １００８—１３９９（２０１８）０１—０１１０—０２
黄 晓 鑫 ，张 海 亮
（浙 江 海 洋 大 学 数 学 系 ，浙 江 舟 山 ３１６０２２）
摘 要 本 文举 例 论 证 了有 理 数 集 不 存 在 确 界 原 理 ．先 给 出 了正 有 理 数 系无 限 集确 界 不存 在 的 严 格 证 明 ，进 而 论 述 了有 理 数 无 限 集 和 无 理 数 无 限 集 确 界 的 不 存 在 性 ． 由此 可 得 有 理 数 系是 离散 的 ，无 理 数 系也 是 离散 的 ，而 连 续
众所 周 知 ，确 界 存 在 定 理 又 称 实 数 连 续 性 定 集 ，正有 理 数 集 ，负 有 理 数 集 ，正 整 数 集 ，ｍ 与 咒
理 ，体 现 了实数 系 的连 续 性．本文 受 此 启 发 ，证 明 互 质．
了有 理数 无 限集 确界 的不存 在 性 ，从 而 导 出 了有 理 数 系 的不连 续 性 ，或者 说 适 合 实 数 集 的“有 界 必 有 确 界，，的确 界原 理 ，并不 适合 有理 数集 ．原 因是 ，有
ｒＥＴ，则 不是 Ｔ 的上 界 ，更不 是 Ｔ的 上确 界．从 们 不妨 将此 推论 称 为有理数 离散 性定 理 ．
而 知这 种 情形 下假 设不 成立 ．
（２）考 虑 夕＜ ｍ２＜户＋１的情形
命题 １ 设 Ｔ－｛ｚ Ｉ 。＜ｐ，ｚ∈Ｑ ，ｐＥ Ｎ ，Ｐ 为非 完 全 平 方 数 ），那 么 集 合 ，ｒ 在 Ｑ 内 没 有 上 确 界．
些 有界 的有 理数 集是 有确 界 的 ，有些 有 界 的有 理 数
证 明 反 证 法．假 设 集 合 Ｔ 有 上 确 界 ｓｕｐＴ，
集 却是 无确 界 的．本文将 通 过下 列 ２个 命 题来 论 证 有 理数 系确 界 的不 存 在 性 和离 散 性 ．文 中涉 及 的 符 号 Ｑ，Ｑ ，Ｑ一，Ｎ ，（ ， ）一１，分 别 表 示有 理 数
由于 Ｑ 与 Ｑ一地 位 对 等 ，仅 仅 是 相 差 一 个 负 号 ，所 以上述 正有 理数无 限集 的确 界存 在性 定 理 可
肿 ｒ （ｐ一 ）∈ ．詈＋ｒＥＱ＋Ｒｍ ＋ 以推广 到有 理 数 域 ，从 而 得 到 下 面 的推 论．另 外 ， 实 数集 确界 存在 性定 理 ，又 名实 数 连续 性 定 理 ，我
Ｒａｔｉｏｎａｌ Ｎｕｍ ｂｅｒ Ｓｙｓｔｅｍ Ｄｏｅｓ Ｎｏｔ Ｈ ａｖｅ Ｓｕｐｒｅｍ ｕｍ Ｐｒｏｐｅｒｔｙ
Ｈ Ｕ ＡＮＧ Ｘｉａｏｘｉｎ ａｎｄ ＺＨ ＡＮＧ Ｈ ａｉｌｉａｎｇ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｚｈ＠ ａｎｇ Ｏｃｅａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｏｕｓｈａｎ ３１６０２２，ＰＲＣ）
第 ２１卷 第 １期 ２０１８年 １月
高 等 数 学 研 究
ＳＴＵ ＤＩＥＳ ＩＮ ＣＯＬＬＥＧ Ｅ Ｍ Ａ ＴＨ ＥＭ Ａ ＴＩＣＳ
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８－１３９９．２０１８．０１．０２８
Ｖ ０１．２１，Ｎ ｏ．Ｉ Ｊａｎ．，２０１８
有 理数 系不存 在 确 界原 理
研ｍ２ ＜ ＜ 素． ‘
从 而
（ ＋ｒ ２ ￣ ＾ｍ－ｏ一户
一一ｔ＋２ ｒｅ ＋ｒ２＜ 一￡＋ ｔ十而ｔ＜ ０．
１Leabharlann Baidu
定理 （正 有 理 数 无 限 集确 界 的 不 存 在 性 ） 由 小 于任 意 给 定 正 无 理 数 所 构 成 的 正 有 理 数 无 限集 必无 上确 界 ；由大 于任 意给 定正 无 理数 所 构成 的正 有理 数无 限集 必元 下确 界．
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｓｈｏｗｓ，ｂｙ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ，ｔｈａｔ ｒａｔｉｏｎａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｓｙｓｔｅｍ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｈａｖｅ ｓｕｐｒｅｍ ｕｍ （ｉＭ ｉ— ｍｕｍ ）ｐｒｏｐｅｒｔｙ．Ｓｉｍ ｉｌａｒｌｙ，ｉｒｒａｔｉｏｎａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｅｉｔｈｅｒ． Ｗ ｅ ｃｏｎｃｌｕｄｅ ｔｈａｔ ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｒａｔｉｏｎａｌ ａｎｄ ｔｈｅ ｉｒｒａｔｉｏｎａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ａｒｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｒａｔｉｏｎａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｓｙｓｔｅｍ ，ｓｕｐｒｅｍｕｍ ａｎｄ ｉｎｆｉｍ ｕｍ ，ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ，ｄｉｓｃｒｅｔｅｎｅｓｓ
研 究 工 作 ．Ｅｍａｉｌ：９６４５２７８６８＠ ｑｑ．ｃｏ１３３． 张 海 亮 （１９６７一 ），男 ，山西 吕梁 人 ，教 授 ，从 事 数 学 教 学 和 研 究 ．Ｅｍａｉｌ：ｈｌｚｈａｎｇ８８ｗｙ＿＠１６３．ＣＯＩＴＩ．
黄 晓 鑫 ，张 海 亮 ；有 理 数 系不 存 在 确 界 原 理
再令 ｒ一 ｍ ，则
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特别 说 明 ，上述命 题 中 Ｐ取一般 的正实数 结 论 也成 立．利用 命 题 １和命 题 ２，我 们 立 刻 可 得 下 面 的正有 理 数无 限集 的确界 的不 存在 性定 理．
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第 ２１卷 第 １期
性 （即 完 备 性 ）是 实 数 系特 有 的 性 质 ，有 理 数 系和 无 理 数 系均 不 具 有 ．
关 键 词 有 理 数 系 ；确 界 ；存 在 性 ；离散 性
中 图分 类 号 Ｏ１７１
文 献 标 识 码 Ａ
文章 编 号 １００８—１３９９（２０１８）０１—０１１０—０２
黄 晓 鑫 ，张 海 亮
（浙 江 海 洋 大 学 数 学 系 ，浙 江 舟 山 ３１６０２２）
摘 要 本 文举 例 论 证 了有 理 数 集 不 存 在 确 界 原 理 ．先 给 出 了正 有 理 数 系无 限 集确 界 不存 在 的 严 格 证 明 ，进 而 论 述 了有 理 数 无 限 集 和 无 理 数 无 限 集 确 界 的 不 存 在 性 ． 由此 可 得 有 理 数 系是 离散 的 ，无 理 数 系也 是 离散 的 ，而 连 续
众所 周 知 ，确 界 存 在 定 理 又 称 实 数 连 续 性 定 集 ，正有 理 数 集 ，负 有 理 数 集 ，正 整 数 集 ，ｍ 与 咒
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（２）考 虑 夕＜ ｍ２＜户＋１的情形
命题 １ 设 Ｔ－｛ｚ Ｉ 。＜ｐ，ｚ∈Ｑ ，ｐＥ Ｎ ，Ｐ 为非 完 全 平 方 数 ），那 么 集 合 ，ｒ 在 Ｑ 内 没 有 上 确 界．
些 有界 的有 理数 集是 有确 界 的 ，有些 有 界 的有 理 数
证 明 反 证 法．假 设 集 合 Ｔ 有 上 确 界 ｓｕｐＴ，
集 却是 无确 界 的．本文将 通 过下 列 ２个 命 题来 论 证 有 理数 系确 界 的不 存 在 性 和离 散 性 ．文 中涉 及 的 符 号 Ｑ，Ｑ ，Ｑ一，Ｎ ，（ ， ）一１，分 别 表 示有 理 数
由于 Ｑ 与 Ｑ一地 位 对 等 ，仅 仅 是 相 差 一 个 负 号 ，所 以上述 正有 理数无 限集 的确 界存 在性 定 理 可
肿 ｒ （ｐ一 ）∈ ．詈＋ｒＥＱ＋Ｒｍ ＋ 以推广 到有 理 数 域 ，从 而 得 到 下 面 的推 论．另 外 ， 实 数集 确界 存在 性定 理 ，又 名实 数 连续 性 定 理 ，我
Ｒａｔｉｏｎａｌ Ｎｕｍ ｂｅｒ Ｓｙｓｔｅｍ Ｄｏｅｓ Ｎｏｔ Ｈ ａｖｅ Ｓｕｐｒｅｍ ｕｍ Ｐｒｏｐｅｒｔｙ
Ｈ Ｕ ＡＮＧ Ｘｉａｏｘｉｎ ａｎｄ ＺＨ ＡＮＧ Ｈ ａｉｌｉａｎｇ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｚｈ＠ ａｎｇ Ｏｃｅａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｏｕｓｈａｎ ３１６０２２，ＰＲＣ）
第 ２１卷 第 １期 ２０１８年 １月
高 等 数 学 研 究
ＳＴＵ ＤＩＥＳ ＩＮ ＣＯＬＬＥＧ Ｅ Ｍ Ａ ＴＨ ＥＭ Ａ ＴＩＣＳ
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８－１３９９．２０１８．０１．０２８
Ｖ ０１．２１，Ｎ ｏ．Ｉ Ｊａｎ．，２０１８
有 理数 系不存 在 确 界原 理
研ｍ２ ＜ ＜ 素． ‘
从 而
（ ＋ｒ ２ ￣ ＾ｍ－ｏ一户
一一ｔ＋２ ｒｅ ＋ｒ２＜ 一￡＋ ｔ十而ｔ＜ ０．
１Leabharlann Baidu
定理 （正 有 理 数 无 限 集确 界 的 不 存 在 性 ） 由 小 于任 意 给 定 正 无 理 数 所 构 成 的 正 有 理 数 无 限集 必无 上确 界 ；由大 于任 意给 定正 无 理数 所 构成 的正 有理 数无 限集 必元 下确 界．
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｓｈｏｗｓ，ｂｙ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ，ｔｈａｔ ｒａｔｉｏｎａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｓｙｓｔｅｍ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｈａｖｅ ｓｕｐｒｅｍ ｕｍ （ｉＭ ｉ— ｍｕｍ ）ｐｒｏｐｅｒｔｙ．Ｓｉｍ ｉｌａｒｌｙ，ｉｒｒａｔｉｏｎａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｅｉｔｈｅｒ． Ｗ ｅ ｃｏｎｃｌｕｄｅ ｔｈａｔ ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｒａｔｉｏｎａｌ ａｎｄ ｔｈｅ ｉｒｒａｔｉｏｎａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ａｒｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｒａｔｉｏｎａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｓｙｓｔｅｍ ，ｓｕｐｒｅｍｕｍ ａｎｄ ｉｎｆｉｍ ｕｍ ，ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ，ｄｉｓｃｒｅｔｅｎｅｓｓ