高中数学选修(理科)常用公式(全国1卷版)
数学公式高中理科
数学公式高中理科在高中理科学习中,数学公式是必不可少的重要内容之一。
数学公式的掌握对于理科学生来说至关重要,因为它们是解决数学问题的关键工具。
下面将介绍一些高中理科中常见的数学公式及其应用。
1. 三角函数公式三角函数是高中数学中重要的内容之一,常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们之间的关系可以用以下公式表示:•正弦函数公式:sin2A+cos2A=1;•余弦函数公式:cos2A=1−sin2A;•正切函数公式:tanA=sinA。
cosA这些三角函数公式在解决三角形相关问题时具有重要的作用,例如计算三角形的边长、角度等。
2. 初等代数公式在代数学习中,初等代数公式是基础而重要的内容。
常见的初等代数公式包括:•二次方程求根公式:x=−b±√b2−4ac;2a•因式分解公式:a2−b2=(a−b)(a+b);•完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2。
这些代数公式在解决方程、因式分解等代数问题时非常有效。
3. 几何公式几何学是高中数学中的另一个重要分支,而几何公式在解决空间和平面几何问题时起着至关重要的作用。
常见的几何公式包括:•长方形面积公式:S=l×w,其中S表示面积,l表示长,w表示宽;•圆的周长公式:C=2πr,其中C表示周长,r表示半径;•三角形面积公式:S=1bℎ,其中S表示面积,b表示底边长,ℎ表示高。
2这些几何公式在计算几何图形的周长、面积等方面具有重要意义。
综上所述,数学公式在高中理科学习中扮演着不可或缺的角色。
掌握各种数学公式,熟练运用它们解决各类数学问题,对于提高学生的数学素养和解题能力具有重要意义。
希望同学们能够深入学习各种数学公式,并在实际问题中灵活运用,进一步提升数学水平。
全国通用版高中数学选修一知识点总结归纳完整版
(名师选题)全国通用版高中数学选修一知识点总结归纳完整版单选题1、点P(2,0)关于直线l:x +y +1=0的对称点Q 的坐标为( ) A .(−1,−3)B .(−1,−4)C .(4,1)D .(2,3) 答案:A分析:根据点关于线对称的特点,利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解. 设点P(2,0)关于直线x +y +1=0的对称点的坐标为(a,b),则{b−0a−2×(−1)=−1a+22+b 2+1=0,解得{a =−1b =−3. 所以点Q 的坐标为(−1,−3) 故选:A.2、已知空间三点A (−2,0,8),P (m,m,m ),B (4,−4,6),若向量PA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的夹角为60°,则实数m =( ) A .1B .2C .−1D .−2 答案:B分析:直接由空间向量的夹角公式计算即可 ∵A (−2,0,8),P (m,m,m ),B (4,−4,6),∴PA⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2−m,−m,8−m ),PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4−m,−4−m,6−m ) 由题意有cos60°=|PA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ||PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ||PB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√3m 2−12m+68√3m 2−12m+68即3m 2−12m+68=3m 2−12m +40,解得m =2 故选:B3、若圆C 1:x 2+y 2−2ay =0(a >0)与圆C 2:x 2+y 2−4x +3=0相外切,则a 的值为( ) A .12B .23C .1D .32 答案:D分析:确定出两圆的圆心和半径,然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.由x 2+y 2−2ay =0(a >0)可得x 2+(y −a )2=a 2,所以圆C 1的圆心为(0,a ),半径为a , 由x 2+y 2−4x +3=0可得(x −2)2+y 2=1,所以圆C 2的圆心为(2,0),半径为1, 因为两圆相外切,所以√4+a 2=a +1,解得a =32,故选:D4、已知直线l 过定点A (2,3,1),且方向向量为s =(0,1,1),则点P (4,3,2)到l 的距离为( ) A .3√22B .√22C .√102D .√2 答案:A分析:本题首先可根据题意得出AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ,然后求出|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |与|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅s|s||,最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果.因为A (2,3,1),P (4,3,2),所以AP⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,1), 则|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√5,|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅s |s||=√22, 由点到直线的距离公式得d =√|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅s|s ||2=3√22, 故选:A.5、过点(1,−2),且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是( ) A .y 2=4x B .y 2=−4x C .x 2=−12y D .x 2=12y分析:设抛物线方程为x 2=my ,代入点的坐标,即可求出m 的值,即可得解; 解:依题意设抛物线方程为x 2=my ,因为抛物线过点(1,−2), 所以12=m ×(−2),解得m =−12,所以抛物线方程为x 2=−12y ;故选:C6、已知点P 是抛物线y 2=2x 上的动点,点P 在y 轴上的射影是M ,点A(72,4),则|PA |+|PM |的最小值是( )A .5B .92C .4D .32答案:B分析:先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程,延长PM 交准线于H 点推断出|PA |=|PH |,进而表示出|PM |,问题转化为求|PF |+|PA |的最小值,由三角形两边长大于第三边得到|PF |+|PA |的最小值,则|PA |+|PM |的最小值可得.依题意可知焦点F (12,0),准线 x =−12,延长PM 交准线于H 点. 则|PF |=|PH |,∴|PM |=|PH |−12=|PF |−12∴|PM |+|PA |=|PF |+|PA |−12,∴要使|PM |+|PA |当且仅当|PF |+|PA |最小.由三角形两边长大于第三边可知,|PF |+|PA |≥|FA |,① 当P 与线段AF 与抛物线的交点P 0重合时取到最小值,. 由A (72,4),可得|FA |=√(72−12)2+42=5. 则所求为(|PM |+|PA |)min =5−12=92. 故选:B .7、已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线C2:x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0)有公共焦点F1,F2,且两条曲线在第一象限的交点为P.若△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,曲线C1,C2的离心率分别为e1和e2,则1e1−1e2=()A.1B.2C.3D.4答案:B分析:设曲线C1,C2的焦距为2c,则可得|PF2|=|F1F2|=2c,然后结合椭圆和双曲线的定义可求出a1,a2,c 的关系,变形后可得结果.设曲线C1,C2的焦距为2c.△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,则|PF2|=|F1F2|=2c.由点P在第一象限,知|PF1|=2a1−|PF2|=2a2+|PF2|,即2a1−2c=2a2+2c,即a1−a2=2c,即1e1−1e2=2.故选:B8、设F1,F2是椭圆x212+y224=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且cos∠F1PF2=13.则△PF1F2的面积为()A.6B.6√2C.8D.8√2分析:利用椭圆的几何性质,得到|PF 1|+|PF 2|=2a =4√6,|F 1F 2|=2c =4√3,进而利用cos∠F 1PF 2=13得出|PF 1|⋅|PF 2|=18,进而可求出S △PF 1F 2 解:由椭圆x 212+y 224=1的方程可得a 2=24,b 2=12,所以c 2=a 2−b 2=12,得a =2√6,c =2√3 且|PF 1|+|PF 2|=2a =4√6,|F 1F 2|=2c =4√3, 在△PF 1F 2中,由余弦定理可得 cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(|PF 1|+|PF 2|)2−2|PF 1||PF 2|−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=4a 2−4c 2−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|=4b 2−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|=4×12−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|,而cos∠F 1PF 2=13,所以,|PF 1|⋅|PF 2|=18, 又因为,cos∠F 1PF 2=13,所以sin∠F 1PF 2=2√23, 所以,S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|⋅sin∠F 1PF 2=12×18×2√23=6√2故选:B9、过点P(√3,−2√3)且倾斜角为135∘的直线方程为( ) A .3x −y −4√3=0B .x −y −√3=0 C .x +y −√3=0D .x +y +√3=0 答案:D分析:由倾斜角为135∘求出直线的斜率,再利用点斜式可求出直线方程 解:因为直线的倾斜角为135∘,所以直线的斜率为k =tan135°=−1, 所以直线方程为y +2√3=−(x −√3),即x +y +√3=0, 故选:D10、已知边长为2的等边三角形ABC ,D 是平面ABC 内一点,且满足DB:DC =2:1,则三角形ABD 面积的最小A .43(√3−1)B .43(√3+1)C .4√33D .√33答案:A分析:建立直角坐标系,设D(x,y),写出A,B,C 的坐标,利用DB:DC =2:1列式得关于x,y 的等式,可得点D 的轨迹为以(53,0)为圆心,以43为半径的圆,写出直线AB 的方程,计算|AB |和点D 距离直线AB 的最小距离d −r ,代入三角形面积公式计算.以BC 的中点O 为原点,建立如图所示的直角坐标系,则A(0,√3),B (−1,0),C (1,0), 设D (x,y ),因为DB:DC =2:1,所以(x +1)2+y 2=4(x −1)2+4y 2,得(x −53)2+y 2=169,所以点D 的轨迹为以(53,0)为圆心,以43为半径的圆,当点D 距离直线AB 距离最大时,△ABD 面积最大,已知直线AB 的方程为:√3x −y +√3=0,|AB |=2,点D 距离直线AB 的最小距离为:d −r =|5√33+√3|2−43=4√33−43,所以△ABD 面积的最小值为S △ABD =12×2×(4√33−43)=43(√3−1).故选:A11、如果复数z 满足|z +1−i |=2,那么|z −2+i |的最大值是( ) A .√13+2B .2+√3 C .√13+√2D .√13+4分析:复数z 满足|z +1−i|=2,表示以C(−1,1)为圆心,2为半径的圆.|z −2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离,求出|CM|即可得出.复数z 满足|z +1−i|=2,表示以C(−1,1)为圆心,2为半径的圆. |z −2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离. ∵|CM|=√32+22=√13. ∴|z −2+i|的最大值是√13+2. 故选:A .小提示:本题考查复数的几何意义、圆的方程,求解时注意方程|z +1−i|=2表示的圆的半径为2,而不是√2.12、如图,在直三棱柱ABC −AB 1C 1中,AC =3,BC =4,CC 1=3,∠ACB =90∘ ,则BC 1与A 1C 所成的角的余弦值为( )A . 3√210B . √33C . √24D . √55 答案:A分析:建立空间直角坐标系,写出CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标,由夹角公式可得结果. 如图,以C 为坐标原点,CA ,CB ,CC 1分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则C (0,0,0),A 1(3,0,3),B (0,4,0),C 1(0,0,3), 所以CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,0,3),BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−4,3),所以cos⟨CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩=CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |CA1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=3√2×5=3√210, 所以直线BC 1与A 1C 所成角的余弦值为3√210. 故选:A. 填空题13、已知椭圆x 24+y 2=1,过P(1,12)点作直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,且点P 是AB 的中点,则直线l 的方程是__________. 答案:x +2y −2=0分析:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出. 解:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 12+4y 12=4,x 22+4y 22=4,∴(x 1+x 2)(x 1−x 2)+4(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0.∵P(1,12)恰为线段AB 的中点,即有x 1+x 2=2,y 1+y 2=1, ∴(x 1−x 2)+2(y 1−y 2)=0,∴直线AB的方程为y−12=−12(x−1),即x+2y−2=0.由于P在椭圆内,故成立.所以答案是:x+2y−2=0.14、设m∈R,圆M:x2+y2−2x−6y=0,若动直线l1:x+my−2−m=0与圆M交于点A、C,动直线l2:mx−y−2m+1=0与圆M交于点B、D,则|AC|+|BD|的最大值是________.答案:2√30分析:求出圆的圆心和半径,求出两条直线位置关系和经过的定点,作出图像,设圆心到其中一条直线的距离为d,根据几何关系表示出|AC|+|BD|,利用基本不等式即可求出其最大值.x2+y2−2x−6y=0⇒(x−1)2+(y−3)2=10,圆心M(1,3),半径r=√10,x+my−2−m=0⇒x−2+m(y−1)=0⇒l1过定点E(2,1),mx−y−2m+1=0⇒m(x−2)−y+1=0⇒l2过定点E(2,1),且l1⊥l2,如图,设AC和BD中点分别为F、G,则四边形EFMG为矩形,设|MF|=d,0≤d≤|ME|=√5,则|MG|=√|ME|2−|EG|2=√|ME|2−|MF|2=√5−d2,⩽2√2(10−d 2+5+d 2)= 2√30,当且仅当10−d 2=5+d 2即d =√102时取等号. 所以答案是:2√30.15、如图,已知点F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点过点F 且斜率存在的直线交抛物线C 于A ,B 两点,点D 为准线l 与x 轴的交点,则△DAB 的面积S 的取值范围为______.答案:(4,+∞)分析:设A, B 坐标和直线AB 的方程,让直线AB 方程与抛物线进行联立可得x 1+x 2=2+4k 2,x 1x 2=1,接着利用弦长公式求出|AB |,再求出点D 到直线AB 的距离,最后利用三角形的面积公式即可求出答案 由抛物线C:y 2=4x 可得焦点F (1,0),准线方程为x =−1,D (−1,0), 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的方程为y =k (x −1)(k ≠0),由{y =k (x −1)y 2=4x,可得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0,则x 1+x 2=2+4k 2,x 1x 2=1, 所以|AB |=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(2+4k 2)2−4=4(1+k 2)k 2,直线AB 的一般方程为kx −y −k =0, 点D (−1,0)到直线AB 的距离d =√k 2+1,所以S =12d ⋅|AB |=√1+k24(1+k 2)k 2=4√1k 2+1>4,所以△DAB 的面积S 的取值范围为(4,+∞), 所以答案是:(4,+∞)该桥的高度为5m,跨径为12m,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m.##3.6答案:185分析:首先建立直角坐标系,再根据抛物线所过的点求标准方程,进而得到抛物线的焦点到准线的距离.以抛物线的最高点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的解析式为x2=−2py,p>0,,因为抛物线过点(6,−5),所以36=10p,可得p=185m.所以抛物线的焦点到准线的距离为185所以答案是:18517、已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP,若|FQ|=6,则C的准线方程为______.答案:x=−32分析:先用坐标表示P,Q,再根据向量垂直坐标表示列方程,解得p,即得结果.,0),抛物线C:y2=2px (p>0)的焦点F(p2∵P为C上一点,PF与x轴垂直,,代入抛物线方程求得P的纵坐标为±p,所以P的横坐标为p2,p),不妨设P(p2因为Q 为x 轴上一点,且PQ ⊥OP ,所以Q 在F 的右侧,又∵|FQ|=6,∴Q(6+p 2,0),∴PQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =(6,−p) 因为PQ ⊥OP ,所以PQ ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OP ⃑⃑⃑⃑⃑ = p 2×6−p 2=0, ∵p >0,∴p =3,所以C 的准线方程为x =−32 所以答案是:x =−32.小提示:利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.解答题18、在直角坐标系xOy 中,已知点A(−2,2),B(2,2),直线AD ,BD 交于D ,且它们的斜率满足:k AD −k BD =−2.(1)求点D 的轨迹C 的方程;(2)设过点(0,2)的直线l 交曲线C 于P ,Q 两点,直线OP 与OQ 分别交直线y =−1 于点M ,N ,是否存在常数入,使S △OPQ =λS △OMN ,若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.答案:(1)x 2=2y (x ≠±2);(2)存在,λ的值为4.分析:(1)设出点D 的坐标,根据给定条件列式、化简整理即可作答.(2)设出直线l 的方程,与轨迹C 的方程联立,借助韦达定理计算三角形面积即可判断作答.(1)设D(x,y),而点A(−2,2),B(2,2),则k AD =y−2x+2,k BD =y−2x−2,又k AD −k BD =−2,于是得y−2x+2−y−2x−2=−2,化简整理得:x 2=2y (x ≠±2),所以点D 的轨迹C 的方程是:x 2=2y (x ≠±2).(2)存在常数λ=4,使S △OPQ =λS △OMN ,如图,依题意,直线l 的斜率存在且不为0,设直线l :y =kx +2,P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),由{y =kx +2x 2=2y消去y 得:x 2−2kx −4=0,则x 1+x 2=2k ,x 1x 2=−4, |x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4k 2+16=2√k 2+4,则S △OPQ =12×2×|x 1−x 2|=2√k 2+4, 直线OP :y =y 1x 1x ,取y =−1,得点M 横坐标x M =−x 1y 1,同理得点N 的横坐标x N =−x2y 2, 则|x M −x N |=|x 2y 2−x 1y 1|=|x 2y 1−x 1y 2y 1y 2|=|x 2(kx 1+2)−x 1(kx 2+2)||(kx 1+2)(kx 2+2)| =|2(x 2−x 1)||k 2⋅x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4|=4√k 2+44=√k 2+4,因此有S △OMN =12×1×|x M −x N |=√k 2+42, 于是得S △OPQ =4S △OMN ,所以存在常数λ=4,使S △OPQ =λS △OMN .19、已知直线l :5ax −5y −a +3=0.(1)求证:不论a 为何值,直线l 总经过第一象限;(2)为使直线l 不经过第二象限,求a 的取值范围.答案:(1)证明见解析;(2)a ≥3.分析:(1)将直线方程整理得到a (5x −1)+(−5y +3)=0,求出直线所过定点,即可证明结论成立;(2)根据直线的特征,列出不等式求解,即可得出结果.(1)∵直线l 为5ax −5y −a +3=0,即a (5x −1)+(−5y +3)=0,∴{5x −1=0−5y +3=0 ,解得{x =15y =35, ∴不论a 为何值,直线l 总过第一象限的点(15,35), 即直线l 过第一象限;(2)因为直线5ax −5y −a +3=0的斜率显然存在,又直线l 不经过第二象限,直线l 过第一象限,所以斜率只能为正,且直线与y 轴不能交于正半轴;因此{a >0−a+35≤0 ;解得a ≥3,∴a 的取值范围是a ≥3.20、如图,已知空间四边形ABCD ,点E ,H 分别是AB ,AD 的中点,点F ,G 分别是CB ,CD 上的点,且CF⃑⃑⃑⃑⃑ =23CB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,CG ⃑⃑⃑⃑⃑ =23CD ⃑⃑⃑⃑⃑ .用向量法求证:四边形EFGH 是梯形.答案:证明见解析.分析:根据题意得出EH ∥BD ,利用空间向量共线定理证明即可.证明:连接BD.∵点E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,且CF ⃑⃑⃑⃑⃑ =23CB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,CG ⃑⃑⃑⃑⃑ =23CD ⃑⃑⃑⃑⃑ , ∴ EH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(CD ⃑⃑⃑⃑⃑ −CB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=12(32CG ⃑⃑⃑⃑⃑ −32CF ⃑⃑⃑⃑⃑ )=34(CG ⃑⃑⃑⃑⃑ −CF ⃑⃑⃑⃑⃑ )=34FG ⃑⃑⃑⃑⃑ , ∴ EH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥FG ⃑⃑⃑⃑⃑ 且|EH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=34|FG ⃑⃑⃑⃑⃑ |≠|FG ⃑⃑⃑⃑⃑ |.又F 不在EH 上,∴四边形EFGH 是梯形.。
高考理科生必备的数学公式大全
高考理科生必备的数学公式大全高考理科生必备的数学公式大全导语:听到老师的赞扬,我的心中充溢了欢乐。
学习是欢乐的,要不,孔子怎么会说:"学而时习之,不亦悦乎?'下面是为大家整理的,数学学习方法。
希望对大家有所帮助,欢迎阅读,仅供参考,更多相关的学问,请关注CNFLA 学习网!高考数学公式大全:集合与常用逻辑用语性质:(1)奇函数的图象关于原点对称;(2)奇函数在x0和x0上具有相同的单调区间;(3)定义在R上的奇函数,有f(0)=0.偶函数:在前提条件下,若有f(-x)=f(x),则f(x)就是偶函数。
性质:(1)偶函数的图象关于y轴对称;(2)偶函数在x0和x0上具有相反的单调区间;奇偶函数间的关系:(1)奇函数偶函数=奇函数;奇函数奇函数=偶函数;(2)偶奇函数偶函数=偶函数;偶函数偶函数=偶函数;奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,假如一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;假如一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.4函数的周期性:周期函数几种常见的表述形式:11幂函数:幂函数在第一象限的状况:(1)全部的图形都通过(1,1)这点,a大于0,函数过(0,0);(2)当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数。
7定积分的性质:三角函数的图像:8余弦定理:(4)等差数列的判定方法:③通项公式法:(是不为零常数)是等差数列七、不等式:八、立体几何:1线线平行的推断:①假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
②假如两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
③垂直于同一平面的两直线平行。
2线线垂直的推断:①在平面内的一条直线,假如和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
②在平面内的一条直线,假如和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直。
全国版高中数学选修一知识点总结归纳
全国版高中数学选修一知识点总结归纳高中数学选修一是进一步拓宽和深化学生对数学知识的学习,为进一步学习数学奠定基础。
下面是全国版高中数学选修一的知识点总结归纳:1.函数-函数的概念:自变量、因变量、定义域、值域、函数图像。
-初等函数:常数函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等。
2.二次函数-二次函数的定义与性质:顶点、对称轴、增减性、最值、零点。
-二次函数的图像与方程:平移、对称变换。
-二次函数的应用:最优化问题、几何问题、物理问题等。
3.三角函数-弧度制与角度制:弧度与角度的相互转换。
-正弦函数、余弦函数与正切函数:定义、性质、图像、周期、幅值。
-三角函数的图像与变换:平移、倍数、反函数。
-三角函数的应用:角的计算、几何问题、物理问题等。
4.数列与数列的极限-数列的概念:递推公式、通项公式。
-等差数列:通项公式、前n项和、公差与项数之间的关系。
-等比数列:通项公式、前n项和、初项与公比之间的关系。
-数列的极限:数列的有界性、数列的单调性、数列极限的概念与判定。
5.极坐标系与参数方程-极坐标系:坐标系的概念、极坐标的表示、平面上点的极坐标、点的极坐标与直角坐标的转换。
-极坐标与参数方程的图形:心形线、阿基米德螺线、渐开线等。
6.矩阵与行列式-矩阵的概念与运算:矩阵的表示、矩阵的运算(加法、数乘、乘法)。
-矩阵的初等变换与逆矩阵:初等行变换、初等列变换、矩阵的秩、矩阵的逆。
-行列式的定义与性质:二阶与三阶行列式的计算。
-线性方程组与矩阵方程:线性方程组的解法、齐次与非齐次线性方程组。
7.向量与坐标-向量的概念与运算:向量的表示、向量的运算(加法、数乘、数量积、向量积)。
-向量的坐标表示与相互关系:向量与坐标的转换、数量积、向量积与坐标的关系。
-平面向量的线性变换与应用:向量的平移、旋转、反射等。
8.空间几何-空间直线的表示与性质:点向式、对称式、规范式、平行与垂直关系。
-空间平面的表示与性质:点法式、方向向量、平行与垂直关系、点与平面的距离。
2014高考数学理科知识要点归纳(理科选修系列)
2014高考数学理科选修系列知识要点概括(理科专用)一、排列组合.本节公式(1)排列数公式)1()3)(2)(1(+-⋅⋅⋅---=m n n n n n A mn(这里m、n∈*N ,且m≤n)(2)组合数公式n m n n n n n A A C m mm n mn)1()3)(2)(1(+-⋅⋅⋅---==(这里m、n∈*N ,且m≤n)(3)组合数的两个性质mn nm n C C -= 二、二项式定理1.二项式定理:*222110,)(N n b C b a C b a C b a C a C b a nn n r r n r n n n n n n n n ∈+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=+---上列公式所表示的定理叫做二项式定理.右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式,它一共有n+1项.其中各项的系数),,2,1,0(n r C rn ⋅⋅⋅=叫做二项式系数. 式中的r r n r n b a C -叫做二项展开式的通项,用1+r T 表示,即1+r T =rr n r n b a C -.2.二项式系数的性质:(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上,这一性质可直接由公式mn nm n C C -=得到. (3)各二项式系数的和.)!(!m n n A m n -=)!(!!m n m n C m n -=n b a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于n 2.4.二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即131202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n n n n n C C C C三、离散型随机变量分布列1、 离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为12i x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅、ξ取每一个值()1,2,i x i =⋅⋅⋅的概率为()i i P x p ξ==,则称表ξ1x 2x … i x …P1p2p…i p …为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列2、数学期望: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ x 1 x 2 … x n … Pp 1p 2…p n…则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望,简称期望3、方差:对于离散型随机变量ξ,如果它所有可能取的值是1x ,2x ,…,n x ,…,且取这些值的概率分别是1p ,2p ,…,n p ,…,那么,ξD =121)(p E x ⋅-ξ+222)(p E x ⋅-ξ+…+n n p E x ⋅-2)(ξ+…称为随机变量ξ 的均方差,简称为方差,式中的ξE 是随机变量ξ的期望. 4、标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差,记作σξ四、矩阵与变换1、定义:规定二阶矩阵A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,与向量x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的乘积为ax by A cx dy α→+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦,即A α→=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ax by cx dy +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦2、单位矩阵:1001M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,3、矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量 (1).矩阵的逆矩阵设A 是一个二阶矩阵,如果存在二阶矩阵B ,使得BA =AB =E ,则称矩阵A可逆,或称矩阵A 是可逆矩阵,并且称B 是A 的逆矩阵.(性质1)设A 是一个二阶矩阵,如果A 是可逆的,则A 的逆矩阵是唯一的.A 的逆矩阵记为A -1.(性质2)设A ,B 是二阶矩阵,如果A ,B 都可逆,则AB 也可逆,且(AB )-1=B -1A -1. (2).二阶矩阵的特征值和特征向量(1) 特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵,如果对于实数λ,存在一个非零向量α,使得Aα=λα,那么λ称为A 的一个特征值,α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量.(2) 特征多项式设λ是二阶矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的一个特征值,它的一个特征向量为α=⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ,则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ,即⎩⎨⎧ ax +by =λx ,cx +dy =λy ,也即⎩⎨⎧(λ-a )x -by =0,-cx +(λ-d )y =0.(*) 定义:设A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 是一个二阶矩阵,λ∈R , 我们把行列式f (λ)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ-a -b -c λ-d =λ2-(a +d )λ+ad -bc,称为A 的特征多项式.(3) 矩阵的特征值与特征向量的求法如果λ是二阶矩阵A 的特征值,则λ一定是二阶矩阵A 的特征多项式的一个根,即f (λ)=0,此时,将λ代入二元一次方程组(*),就可得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0,于是非零向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0即为A 的属于λ的一个特征向量五、选修不等式证明 1、基本不等式①()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22.2a b ab +≤②(基本不等式)2a bab +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: 2a b ab +≥ 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭2、柯西不等式(重点记忆内容)(1),二维形式的柯西不等式:22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时,等号成立.(2)三维形式的柯西不等式:2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++ (3),一般形式的柯西不等式:2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++。
高中数学选修(理科)常用公式-精选教学文档
高中(理科)数学选修部分常用公式(全国卷版)一、常用逻辑用语 1.四种命题:(1)原命题:若p 则q (2)逆命题: 若q 则p(3)否命题:若p ⌝则q ⌝ (4)逆否命题:若q ⌝则p ⌝(互为逆否关系的两个命题同真假:原命题与逆否命题,逆命题与否命题同真假) 2.如果p q ⇒,那么p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件注意:(1)小范围⇒大范围,大范围⇒小范围,(2)“p 的充分不必要条件是q ”⇔“q 是p 的充分不必要条件” 3.复合命题p q ∧、p q ∨、p ⌝的真假性(p ⌝即命题的否定):(1)当p 和q 为一真一假时,p q ∧为假,p q ∨为真; (2)p 和p ⌝的真假性相反 4.全称命题与特称命题. 若p :,()x M q x ∀∈成立,则p ⌝:00,()x M q x ∃∈⌝成立 二、圆锥曲线22221x y a b +=(0)a b >> a x a -≤≤,b y b -≤≤(,0)c ±2c 2.双曲线12AB x x =-= 快速公式:AB =12AB y y =-= 快速公式:AB = (其中A 是指消去y 或x 后得到一元二次方程中的二次项系数) 3.抛物线1. 概念:)(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商)000000()()()limlimx x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆. 瞬时速度()v s t '=. 瞬时加速度()a v t '=.(注意这个物理意义)2. 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-.3. 几种常见函数的导数(1)0='C (C 为常数).(2)1()nn x nx -'=.(3)x x cos )(sin ='.(4)x x sin )(cos -='.(5)x x 1)(ln =';1(log )ln a x x a'=. (6)x x e e =')(;a a a xx ln )(='. 最好记住这三条常用的公式:211()x x '=- '= (l n )1l n x x x '=+4. 导数的运算法则:(1)[()]()Cf x Cf x ''= (2)[()()]()()f x g x f x g x '''±=±(3)[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+ (4)2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''-'= 5. 复合函数的求导法则:若)(g ),(x u u f y ==,则()()x y f u g x '''=6. 函数的单调性:设函数)(x f y =在某个区间(,)a b 可导,若()0f x '>,则)(x f y =在(,)a b 上单调递增;若()0f x '<,则)(x f y =在(,)a b 上单调递减. 逆命题:若()f x 在(,)a b 上是增函数,则'()0f x ≥; 在(,)a b 上是减函数,则'()0f x ≤. 7. 求函数)(x f y =极值的方法与步骤:(1)求导数()f x '; (2)求方程()0f x '=的根;(3)画出x 、()f x '、()f x 的分布表格,并判断极大值、极小值四、推理与证明 1. 推理(1)合情推理:包含归纳推理(由特殊到一般的推理)和类比推理(由特殊到特殊的推理). (2)演绎推理:三段论(大前提、小前提和结论),由一般到特殊的推理. (3)合情推理得到的结论不一定正确,需要证明.演绎推理得到的结论一定正确(大前提和小前提正确的情况下). 2. 证明(1)直接证明:综合法(条件⇒结论)与分析法(结论⇒条件(恒成立)) (2)间接证明:反证法(反设⇒矛盾⇒推翻反设) (3)数学归纳法:① 证明当n 取第一个值0n (0n ∈*N )时结论成立.② 假设当n k =(k ∈*N ,且0k n ≥)时结论成立,证明当1n k =+时结论也成立.由①②可知,对任意0n n ≥,且n ∈*N 时,结论都成立. 五、计数原理1. 排列数:!(1)(2)(1)()!mn n A n n n n m n m =---+=-2. 组合数:(1)(2)(1)!!!()!mn n n n n m n C m m n m ---+==-3. 组合数的性质:(1)m n mn n C C -=;(2)11m m m n n n C C C -+=+ (3)0122n n n n n n C C C C ++++=; 13502412n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=(4)11mm n n n C C m --=; 1231232nn nn n n C C C nC n -++++=⋅(5)1121r r r r r r r r n n C C C C C ++++++++=;4. 二项式定理:011()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++(1)展开式中的通项(第1r +项):1r n r rr n T C a b -+=(2)二项式系数:rn C (1,2,,r n =), 若n 为偶数,则展开式的中间一项12n T +的二项式系数最大;若n 为奇数,则展开式的中间两项12n T +与112n T ++的二项式系数最大;(3)二项式系数和与各项系数和二项式系数和:2n各项系数和的计算方法:令()na b +中的变量等于1例如:41(2)x+的二项式系数和为4216=,各项系数和为441(2)3811+==(令1x =)六、概率1. 古典概型与几何概型(1)古典概型的概率()mP A n=,基本事件有限,每个基本事件出现的可能性相同. m 表示事件A 包含的基本事件数,n 表示所有基本事件数.(2)几何概型的概率()AP A μμ=,基本事件无限,每个基本事件出现的可能性相同. A μ表示事件A 发生区域的几何度量,μ表示总区域的几何度量(如长度、面积、体积)2. 互斥事件与对立事件(1)概念理解:互斥事件——A B =∅; 对立事件——A B =∅且()()1P A P B +=. (2)关系:对立的两个事件一定互斥,互斥的两个事件不一定对立. (3)概率加法公式:若事件A 与B 互斥,则()()()P A B P A P B =+. 3. 相互独立事件,A B 及其同时发生的概率:()()()P AB P A P B =. 4. 条件概率:设A 与B 为两个事件,且()0P A >,则()(|)()P AB P B A P A =, 其中(|)P B A 表示事件A 发生的条件下事件B 发生的概率.5. 离散型随机变量及其分布列 (1)分布列性质:0i p ≥,1211nin i pp p p ==+++=∑.(2)随机变量X 的数学期望(均值):11221ni in n i EX x px p x p x p ===+++∑.(3)随机变量X 的方差:21()ni i i DX x EX p ==-∑2221122()()()n n x EX p x EX p x EX p =-+-++-.(4)随机变量X 的均值与方差的性质:()E aX b aEX b +=+; 2()D aX b a DX +=. (5)二项分布(独立重复实验):~(,)X B n p ,EX np =,(1)DX np p =-在n 次试验中恰好成功k 次的概率()(1)k k n kn P X k C p p -==-,0,1,,k n =注意:X 表示试验成功的次数(6)超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品数,则()k n k M N MnNC C P X k C --==,其中,n N M N ≤≤ 6. 正态分布:2~(,)X N μσ,其中μ表示总体平均值,σ表示标准差 (1)正态总体函数()22()2x f x μσ--= ,(),x ∈-∞+∞ ①在正态分布中,当0μ=,1=时,叫做标准正态分布,记作~(0,1)X N .②函数()f x 的图象关于x μ=对称,()0f x >,()max f x =③函数()f x 的图象与x 轴围成的总面积为1,()()0.5P X P X μμ≤=>=④σ越大,函数()f x 的图象越“矮肥”;σ越小,函数()f x 的图象越“高瘦”(2)几个重要的概率:七、数系的扩充与复数的引入 1. 数系:*N N Z Q R C ⊆⊆⊆⊆⊆2. 复数的概念:形如a bi +(,)a b R ∈的数叫做复数,其中i 叫做虚数单位,21i =-,a 与b 分别叫做复数a bi +的实部和虚部.3. 复数a bi c di +=+的充要条件是a c =且b d =. 特例0a bi +=⇔0a b ==.4. 对于复数a bi +,当0b =时,它是实数;当0a =且0b ≠时,它是纯虚数.5. 复数的模:向量OZ 的模,叫做复数z a bi =+的模,即z a bi =+=6. 复数所在象限的确定:z a bi =+对应点(,)a b ,判断点(,)a b 所在的象限.7. 共轭复数:z a bi =+的共轭复数为z a bi =-.8. 复数加、减法法则:(a bi +)±(c di +)=()()a c b d i ±+±. 9. 复数乘、除法法则:(a bi +)(c di +)=()()ac bd bc ad i -++. 八、统计案例1. 回归直线方程为ˆˆˆybx a =+用最小二乘法求得的线性回归方程系数公式: 1122211()()ˆˆˆ()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yba y bx x x xnx====---==---∑∑∑∑=,(ˆˆˆy bx a =+必过样本中心点(),x y )2. 残差公式:ˆˆi i i ey y =-;衡量模型拟合效果的一个指标:相关指数22121ˆ)1)niii nii y yR y y ==-=--∑∑((残差平方和21ˆ)nii i yy=-∑(越小,2R (201R ≤≤)越接近于1,回归效果越好. 2R 与r 的区别:2R 为相关指数,r 为相关系数,0r <时为负相关,0r >时为正相关, 11r -≤≤,r 越接近于1,变量间的相关性就越强.3. 独立性检验的解题步骤: (1)写出列联表;(2)据公式代数求解2K 的值;(3)根据观测值2K 查表,如果20K k ≥,就推断两变量有关系,犯错误概率不超过P (即有1P -的把握推断两变量有关系);否则就认为在犯错误的概率不超过P 的前提下不能推断两变量有关系2(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++,(上表中的概率P 是指犯错误...的概率) 九、坐标系与参数方程选讲1. 极坐标系的公式:222cos ,sin ,,tan (0)yx y x y x xρθρθρθ===+=≠. (θ表示极点O 和曲线上的点的连线与极轴的正方向所成的角) 2. 参数方程:(1)圆222()()x a y b r -+-=的参数方程:cos sin x a r y b r αα=+⎧⎨=+⎩(α为参数);(α表示圆心和曲线上的点的连线与x 轴的正方向所成的角)(2)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程:cos sin x a y b αα=⎧⎨=⎩ (α为参数);*(3)抛物线22y px =的参数方程:222x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数);*(4)双曲线22221x y a b -=的参数方程:sec tan x a y b αα=⎧⎨=⎩(θ为参数).(1sec cos αα=);(5)直线00tan ()y y x x α-=-的参数方程:00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数).(t 表示点()00,P x y 到直线l 上的任意一点(,)M x y 的有向距离) 圆心和曲线上的点的连线与x 轴的正方向所成的角)3. 空间直角坐标系:已知向量a =111(,,)x y z ,b =222(,,)x y z (1)空间向量的平行与垂直:a ∥b ⇔111222x y z x y z ==(222,,0x y z ≠) (2)空间向量的模、距离公式:a=AB =(3)点(,,)x y z 关于x 轴对称的点为(,,)x y z --,关于y 轴对称的点为(,,)x y z --关于z 轴对称的点为(,,)x y z --,关于原点(0,0)对称的点为(,,)x y z --- 关于平面xOy 对称的点为(,,)x y z -,关于平面yOz 对称的点为(,,)x y z -, 关于平面xOz 对称的点为(,,)x y z -,十、空间的角与空间的距离(向量法):设直线a 与b 的方向向量分别为,a b ,平面α与β的法向量分别为12,n n (1)异面直线a 与b 所成的角θ:则cos θ⋅=⋅a b a b,(0,]2πθ∈(2)直线a 与平面α所成的角θ:111sin cos ,θ⋅=<>=⋅ a n a n a n ,[0,]2πθ∈ (3)二面角l αβ--的平面角θ:1212cos θ⋅=⋅n nn n ,[0,]θπ∈注意:二面角的平面角需要根据实际图形,判断“锐角”还是“钝角” (4)点P 到平面α的距离:11PA d ⋅=n n ,其中A α∈十一、补充公式与定理1. 斜率k 、比率λ、离心率e ,11e λλ-=+(焦点在x 轴上的所有圆锥曲线都成立,若焦点在y 轴,则改为11e λλ-=+ 2. 斜率12k k 为定值的两个定理:椭圆()222210x y a b a b+=>>上的关于原点对称的两定点为,A B ,点M 是椭圆上的动点,直线PQ 交椭圆于,P Q 两点,点N 是PQ 的中点,则22MA MB b k k a =-,22PQ ON b k k a=-;双曲线()222210,0x y a b a b-=>>关于原点对称的两定点为,A B ,点M 是双曲线上的动点,直线PQ 交双曲线于,P Q 两点,点N 是PQ 的中点,则22MA MB b k k a =,22PQ ON b k k a=.(以上两个定理若把椭圆和双曲线的焦点改在y 轴上,则,a b 的位置互换)3. 神奇的置换缔造完美的切线(适用于圆和圆锥曲线) (1)曲线上任意一点()11,P x y 的切线方程为:将原曲线方程按照以下方式“21x x x →,21y y y →,()()()21x a x a x a -→--,()()()21y b y b y b -→--,12x x x +→,12y y y +→”置换得到. (2)过曲线外任意一点()00,P x y 引曲线的两条切线,切点A ,B 所在的直线方程为:将原曲线方程按照以下方式“20x x x →,20y y y →,()()()20x a x a x a -→--,()()()20y b y b y b -→--,02x x x +→,02y y y +→”置换得到. 4. 求点A 关于直线0x y m ++=(0x y m -+=)的对称点A '可以用“x ,y 交叉置换法”快速求解. 例如求()3,2A 关于30x y -+=的对称点()00,A x y ',①把30x y -+=进行交叉置换0033x y y x =-⎧⎨=+⎩,②()3,2A 代入即可求得()00,A x y '为()1,6A '-.(注意:当对称轴的斜率1k =±时才可以用此绝技,否则只能用传统的解方程组的方法). 5. 复杂的导数问题常考“整体法”,关键是要想到整体函数()g x ,常见的()g x 有。
高中选修数学公式整理 (1)[4页]
1. 隨機變數的期望值(P2) 2.一組數據的變異數及標準差(P3) 3.隨機變數的變異數與標準差(P4)
1-1隨機的意義
1.隨機變數的期望值 若隨機變數 X 的機率分布如下表:
X x1 x2 … xk … xn px p1 p2 … pk … pn
則隨機變數 X 的期望值為
n
E( X ) xk pk x1 p1 x2 Tpo2uch m.e.. xn pn. k 1
1-1隨機的意義
2.一組數據的變異數及標準差 若一組數據 x1﹐x2﹐⋯﹐xn 的平均數為 μ ﹐則這組數據的
(1)變異數為
2 1 n
x1 2 x2Touch m2e ... xn 2
1 n
n
T(oxukchme) 2 .
k 1
(2)標準差為
1 n
n
Tou(cxhkme)2 .
k 1
1-1隨機的意義
3.隨機變數的變異數與標準差 若隨機變數 X 的機率分布如下表:
X x1 x2 … xk … xn
px p1 p2 … pk … pn 則隨機變數 X 的
n
(1)變異數為 Var( X ) Tou(cxhkmeE( X ))2 pk . k 1
(2)標準差為 TVouacrh(mXe ).
2023年高考全国乙卷数学(理)真题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题1.设z =2+i1+i 2+i5,则z =()A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i【答案】B 【解析】【分析】由题意首先计算复数z 的值,然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得z =2+i 1+i 2+i 5=2+i 1-1+i =i 2+i i2=2i -1-1=1-2i ,则z=1+2i.故选:B .2.设集合U =R ,集合M =x x <1 ,N =x -1<x <2 ,则x x ≥2 =()A.∁U M ∪NB.N ∪∁U MC.∁U M ∩ND.M ∪∁U N【答案】A 【解析】【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为x |x ≥2 即可.【详解】由题意可得M ∪N =x |x <2 ,则∁U M ∪N =x |x ≥2 ,选项A 正确;∁U M =x |x ≥1 ,则N ∪∁U M =x |x >-1 ,选项B 错误;M ∩N =x |-1<x <1 ,则∁U M ∩N =x |x ≤-1 或x ≥1 ,选项C 错误;∁U N =x |x ≤-1 或x ≥2 ,则M ∪∁U N =x |x <1 或x ≥2 ,选项D 错误;故选:A .3.如图,网格纸上绘制的一个零件的三视图,网格小正方形的边长为1,则该零件的表面积为()A.24B.26C.28D.30【答案】D 【解析】【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体,然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.【详解】如图所示,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =BC =2,AA 1=3,点H ,I ,J ,K 为所在棱上靠近点B 1,C 1,D 1,A 1的三等分点,O ,L ,M ,N 为所在棱的中点,则三视图所对应的几何体为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1去掉长方体ONIC 1-LMHB 1之后所得的几何体,该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形,其表面积为:2×2×2 +4×2×3 -2×1×1 =30.故选:D .4.已知f (x )=xe xe ax -1是偶函数,则a =()A.-2B.-1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为f x =xe x e ax-1为偶函数,则f x -f -x =xexe ax -1--x e-xe -ax -1=x e x -e a -1xe ax -1=0,又因为x 不恒为0,可得e x -e a -1 x=0,即e x =e a -1x,则x =a -1 x ,即1=a -1,解得a =2.故选:D .5.设O 为平面坐标系的坐标原点,在区域x ,y 1≤x 2+y 2≤4 内随机取一点,记该点为A ,则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为()A.18B.16C.14D.12【解析】【分析】根据题意分析区域的几何意义,结合几何概型运算求解.【详解】因为区域x ,y |1≤x 2+y 2≤4 表示以O 0,0 圆心,外圆半径R =2,内圆半径r =1的圆环,则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示,在第一象限部分对应的圆心角∠MON =π4,结合对称性可得所求概率P =2×π42π=14.故选:C .6.已知函数f (x )=sin (ωx +φ)在区间π6,2π3 单调递增,直线x =π6和x =2π3为函数y =f x 的图像的两条对称轴,则f -5π12 =()A.-32B.-12C.12D.32【答案】D 【解析】【分析】根据题意分别求出其周期,再根据其最小值求出初相,代入x =-5π12即可得到答案.【详解】因为f (x )=sin (ωx +φ)在区间π6,2π3单调递增,所以T 2=2π3-π6=π2,且ω>0,则T =π,w =2πT =2,当x =π6时,f x 取得最小值,则2⋅π6+φ=2k π-π2,k ∈Z ,则φ=2k π-5π6,k ∈Z ,不妨取k =0,则f x =sin 2x -5π6 ,则f -5π12 =sin -5π3 =32,7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A.30种B.60种C.120种D.240种【答案】C 【解析】【分析】相同读物有6种情况,剩余两种读物的选择再进行排列,最后根据分步乘法公式即可得到答案.【详解】首先确定相同得读物,共有C 16种情况,然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里,选出两种进行排列,共有A 25种,根据分步乘法公式则共有C 16⋅A 25=120种,故选:C .8.已知圆锥PO 的底面半径为3,O 为底面圆心,PA ,PB 为圆锥的母线,∠AOB =120°,若△PAB 的面积等于934,则该圆锥的体积为()A.πB.6πC.3πD.36π【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件,利用三角形面积公式求出圆锥的母线长,进而求出圆锥的高,求出体积作答.【详解】在△AOB 中,∠AOB =120°,而OA =OB =3,取AC 中点C ,连接OC ,PC ,有OC ⊥AB ,PC ⊥AB ,如图,∠ABO =30°,OC =32,AB =2BC =3,由△PAB 的面积为934,得12×3×PC =934,解得PC =332,于是PO =PC 2-OC 2=332 2-32 2=6,所以圆锥的体积V =13π×OA 2×PO =13π×(3)2×6=6π.9.已知△ABC 为等腰直角三角形,AB 为斜边,△ABD 为等边三角形,若二面角C -AB -D 为150°,则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为()A.15B.25C.35D.25【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件,推导确定线面角,再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取AB 的中点E ,连接CE ,DE ,因为△ABC 是等腰直角三角形,且AB 为斜边,则有CE ⊥AB ,又△ABD 是等边三角形,则DE ⊥AB ,从而∠CED 为二面角C -AB -D 的平面角,即∠CED =150°,显然CE ∩DE =E ,CE ,DE ⊂平面CDE ,于是AB ⊥平面CDE ,又AB ⊂平面ABC ,因此平面CDE ⊥平面ABC ,显然平面CDE ∩平面ABC =CE ,直线CD ⊂平面CDE ,则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ,从而∠DCE 为直线CD 与平面ABC 所成的角,令AB =2,则CE =1,DE =3,在△CDE 中,由余弦定理得:CD =CE 2+DE 2-2CE ⋅DE cos ∠CED =1+3-2×1×3×-32=7,由正弦定理得DE sin ∠DCE =CDsin ∠CED,即sin ∠DCE =3sin150°7=327,显然∠DCE 是锐角,cos ∠DCE =1-sin 2∠DCE =1-3272=527,所以直线CD 与平面ABC 所成的角的正切为35.故选:C10.已知等差数列a n 的公差为2π3,集合S =cos a n n ∈N * ,若S =a ,b ,则ab =()A.-1B.-12C.0D.12【解析】【分析】根据给定的等差数列,写出通项公式,再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意,等差数列{a n }中,a n =a 1+(n -1)⋅2π3=2π3n +a 1-2π3,显然函数y =cos 2π3n +a 1-2π3的周期为3,而n ∈N ∗,即cos a n 最多3个不同取值,又{cos a n |n ∈N ∗}={a ,b },则在cos a 1,cos a 2,cos a 3中,cos a 1=cos a 2≠cos a 3或cos a 1≠cos a 2=cos a 3,于是有cos θ=cos θ+2π3 ,即有θ+θ+2π3 =2k π,k ∈Z ,解得θ=k π-π3,k ∈Z ,所以k ∈Z ,ab =cos k π-π3 cos k π-π3 +4π3 =-cos k π-π3 cos k π=-cos 2k πcos π3=-12.故选:B11.设A ,B 为双曲线x 2-y 29=1上两点,下列四个点中,可为线段AB 中点的是()A.1,1B.-1,2C.1,3D.-1,-4【答案】D 【解析】【分析】根据点差法分析可得k AB ⋅k =9,对于A 、B 、D :通过联立方程判断交点个数,逐项分析判断;对于C :结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则AB 的中点M x 1+x 22,y 1+y 22,可得k AB =y 1-y 2x 1-x 2,k =y 1+y 22x 1+x 22=y 1+y 2x 1+x 2,因为A ,B 在双曲线上,则x 21-y 219=1x 22-y 229=1,两式相减得x 21-x 22-y 21-y 229=0,所以k AB ⋅k =y 21-y 22x 21-x 22=9.对于选项A :可得k =1,k AB =9,则AB :y =9x -8,联立方程y =9x -8x 2-y 29=1 ,消去y 得72x 2-2×72x +73=0,此时Δ=-2×72 2-4×72×73=-288<0,所以直线AB 与双曲线没有交点,故A 错误;对于选项B :可得k =-2,k AB =-92,则AB :y =-92x -52,联立方程y =-92x -52x 2-y 29=1,消去y 得45x 2+2×45x +61=0,此时Δ=2×45 2-4×45×61=-4×45×16<0,所以直线AB 与双曲线没有交点,故B 错误;对于选项C :可得k =3,k AB =3,则AB :y =3x由双曲线方程可得a =1,b =3,则AB :y =3x 为双曲线的渐近线,所以直线AB 与双曲线没有交点,故C 错误;对于选项D :k =4,k AB =94,则AB :y =94x -74,联立方程y =94x -74x 2-y 29=1,消去y 得63x 2+126x -193=0,此时Δ=1262+4×63×193>0,故直线AB 与双曲线有交两个交点,故D 正确;故选:D .12.已知⊙O 的半径为1,直线PA 与⊙O 相切于点A ,直线PB 与⊙O 交于B ,C 两点,D 为BC 的中点,若PO =2,则PA ⋅PD的最大值为()A.1+22B.1+222C.1+2D.2+2【答案】A 【解析】【分析】由题意作出示意图,然后分类讨论,利用平面向量的数量积定义可得PA ⋅PD =12-22sin 2α-π4 ,或PA ⋅PD =12+22sin 2α+π4 然后结合三角函数的性质即可确定PA ⋅PD的最大值.【详解】如图所示,OA =1,OP =2,则由题意可知:∠APO =45°,由勾股定理可得PA =OP 2-OA 2=1当点A ,D 位于直线PO 异侧时,设∠OPC =α,0≤α≤π4,则:PA ⋅PD =|PA |⋅|PD |cos α+π4=1×2cos αcos α+π4=2cos α22cos α-22sin α =cos 2α-sin αcos α=1+cos2α2-12sin2α=12-22sin 2α-π4 0≤α≤π4,则-π4≤2α-π4≤π4∴当2α-π4=-π4时,PA ⋅PD 有最大值1.当点A ,D 位于直线PO 同侧时,设∠OPC =α,0≤α≤π4,则:PA ⋅PD =|PA |⋅|PD |cos α-π4=1×2cos αcos α-π4=2cos α22cos α+22sin α =cos 2α+sin αcos α=1+cos2α2+12sin2α=12+22sin 2α+π40≤α≤π4,则π4≤2α+π4≤π2∴当2α+π4=π2时,PA ⋅PD 有最大值1+22.综上可得,PA ⋅PD 的最大值为1+22.【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图,然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题,考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.二、填空题13.已知点A 1,5 在抛物线C :y 2=2px 上,则A 到C 的准线的距离为.【答案】94【解析】【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程,然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为x =-54,最后利用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.【详解】由题意可得:5 2=2p ×1,则2p =5,抛物线的方程为y 2=5x ,准线方程为x =-54,点A 到C 的准线的距离为1--54 =94.故答案为:94.14.若x ,y 满足约束条件x -3y ≤-1x +2y ≤93x +y ≥7,则z =2x -y 的最大值为.【答案】8【解析】【分析】作出可行域,转化为截距最值讨论即可.详解】作出可行域如下图所示:z =2x -y ,移项得y =2x -z ,联立有x -3y =-1x +2y =9,解得x =5y =2,设A 5,2 ,显然平移直线y =2x 使其经过点A ,此时截距-z 最小,则z 最大,代入得z =8,故答案为:8.15.已知a n 为等比数列,a 2a 4a 5=a 3a 6,a 9a 10=-8,则a 7=.【解析】【分析】根据等比数列公式对a 2a 4a 5=a 3a 6化简得a 1q =1,联立a 9a 10=-8求出q 3=-2,最后得a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2.【详解】设a n 的公比为q q ≠0 ,则a 2a 4a 5=a 3a 6=a 2q ⋅a 5q ,显然a n ≠0,则a 4=q 2,即a 1q 3=q 2,则a 1q =1,因为a 9a 10=-8,则a 1q 8⋅a 1q 9=-8,则q 15=q 5 3=-8=-2 3,则q 3=-2,则a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2,故答案为:-2.16.设a ∈0,1 ,若函数f x =a x +1+a x 在0,+∞ 上单调递增,则a 的取值范围是.【答案】5-12,1 【解析】【分析】原问题等价于f x =a x ln a +1+a x ln 1+a ≥0恒成立,据此将所得的不等式进行恒等变形,可得1+a a x ≥-ln aln 1+a ,由右侧函数的单调性可得实数a 的二次不等式,求解二次不等式后可确定实数a 的取值范围.【详解】由函数的解析式可得f x =a x ln a +1+a x ln 1+a ≥0在区间0,+∞ 上恒成立,则1+a x ln 1+a ≥-a x ln a ,即1+a a x ≥-ln aln 1+a在区间0,+∞ 上恒成立,故1+a a 0=1≥-ln aln 1+a,而a +1∈1,2 ,故ln 1+a >0,故ln a +1 ≥-ln a 0<a <1即a a +1 ≥10<a <1 ,故5-12≤a <1,结合题意可得实数a 的取值范围是5-12,1.故答案为:5-12,1.三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x i ,y i (i =1,2,⋅⋅⋅10),试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率x i545355525754545659545312541868伸缩率y i536527543530560533522550576536记z i =x i -y i (i =1,2,⋯,10),记z 1,z 2,⋯,z 10的样本平均数为z,样本方差为s 2,(1)求z ,s 2;(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z ≥2s 210,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高).【答案】(1)z =11,s 2=61;(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】【分析】(1)直接利用平均数公式即可计算出x ,y ,再得到所有的z i 值,最后计算出方差即可;(2)根据公式计算出2s 210的值,和z 比较大小即可.【小问1详解】x =545+533+551+522+575+544+541+568+596+54810=552.3,y =536+527+543+530+560+533+522+550+576+53610=541.3,z =x -y=552.3-541.3=11,z i =x i -y i 的值分别为:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,故s 2=(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-110=61【小问2详解】由(1)知:z=11,2s 210=2 6.1=24.4,故有z ≥2s 210,所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.在△ABC 中,已知∠BAC =120°,AB =2,AC =1.(1)求sin ∠ABC ;(2)若D 为BC 上一点,且∠BAD =90°,求△ADC 的面积.【答案】(1)21 14;(2)310.【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BC=7,然后由余弦定理可得cos B=5714,最后由同角三角函数基本关系可得sin B=21 14;(2)由题意可得S△ABDS△ACD=4,则S△ACD=15S△ABC,据此即可求得△ADC的面积.【小问1详解】由余弦定理可得:BC2=a2=b2+c2-2bc cos A=4+1-2×2×1×cos120°=7,则BC=7,cos B=a2+c2-b22ac=7+4-12×2×7=5714,sin B=1-cos2B=1-2528=2114.【小问2详解】由三角形面积公式可得S△ABDS△ACD=12×AB×AD×sin90°12×AC×AD×sin30°=4,则S△ACD=15S△ABC=15×12×2×1×sin120°=310.19.如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=22,PB=PC=6,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=5DO,点F在AC上,BF⊥AO.(1)证明:EF⎳平面ADO;(2)证明:平面ADO⊥平面BEF;(3)求二面角D-AO-C的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)22.【解析】【分析】(1)根据给定条件,证明四边形ODEF 为平行四边形,再利用线面平行判定推理作答.(2)由(1)的信息,结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.(3)由(2)的信息作出并证明二面角的平面角,再结合三角形重心及余弦定理求解作答.【小问1详解】连接DE ,OF ,设AF =tAC ,则BF =BA +AF =(1-t )BA +tBC ,AO =-BA +12BC ,BF ⊥AO ,则BF ⋅AO =[(1-t )BA +tBC ]⋅-BA +12BC =(t -1)BA 2+12tBC 2=4(t -1)+4t =0,解得t =12,则F 为AC 的中点,由D ,E ,O ,F 分别为PB ,PA ,BC ,AC 的中点,于是DE ⎳AB ,DE =12AB ,OF ⎳AB ,OF =12AB ,即DE ⎳OF ,DE =OF ,则四边形ODEF 为平行四边形,EF ⎳DO ,EF =DO ,又EF ⊄平面ADO ,DO ⊂平面ADO ,所以EF ⎳平面ADO .ABCDEO P【小问2详解】由(1)可知EF ⎳OD ,则AO =6,DO =62,得AD =5DO =302,因此OD 2+AO 2=AD 2=152,则OD ⊥AO ,有EF ⊥AO ,又AO ⊥BF ,BF ∩EF =F ,BF ,EF ⊂平面BEF ,则有AO ⊥平面BEF ,又AO ⊂平面ADO ,所以平面ADO ⊥平面BEF .【小问3详解】过点O 作OH ⎳BF 交AC 于点H ,设AD ∩BE =G ,由AO ⊥BF ,得HO ⊥AO ,且FH =13AH ,又由(2)知,OD ⊥AO ,则∠DOH 为二面角D -AO -C 的平面角,因为D ,E 分别为PB ,PA 的中点,因此G 为△PAB 的重心,即有DG =13AD ,GE =13BE ,又FH =13 AH ,即有DH =32GF ,cos ∠ABD =4+32-1522×2×62=4+6-PA 22×2×6,解得PA =14,同理得BE =62,于是BE 2+EF 2=BF 2=3,即有BE ⊥EF ,则GF 2=13×622+622=53,从而GF =153,DH =32×153=152,在△DOH 中,OH =12BF =32,OD =62,DH =152,于是cos ∠DOH =64+34-1542×62×32=-22,sin ∠DOH =1--222=22,所以二面角D -AO -C 的正弦值为22.ABCD EFGH OP20.已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 的离心率为53,点A -2,0 在C 上.(1)求C 的方程;(2)过点-2,3 的直线交C 于点P ,Q 两点,直线AP ,AQ 与y 轴的交点分别为M ,N ,证明:线段MN 的中点为定点.【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解【解析】【分析】(1)根据题意列式求解a ,b ,c ,进而可得结果;(2)设直线PQ 的方程,进而可求点M ,N 的坐标,结合韦达定理验证y M +y N2为定值即可.【小问1详解】由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53,解得a =3b =2c =5,所以椭圆方程为y 29+x 24=1.【小问2详解】由题意可知:直线PQ 的斜率存在,设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1,消去y 得:4k 2+9 x 2+8k 2k +3 x +16k 2+3k =0,则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0,解得k <0,可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9,因为A -2,0 ,则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ,令x =0,解得y =2y 1x 1+2,即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2,则2y 1x 1+2+2y 2x 2+22=k x 1+2 +3x 1+2+k x 2+2 +3x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2 x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +316k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3,所以线段PQ 的中点是定点0,3 .【点睛】方法点睛:求解定值问题的三个步骤(1)由特例得出一个值,此值一般就是定值;(2)证明定值,有时可直接证明定值,有时将问题转化为代数式,可证明该代数式与参数(某些变量)无关;也可令系数等于零,得出定值;(3)得出结论.21.已知函数f(x)=1x +aln(1+x).(1)当a=-1时,求曲线y=f x 在点1,f1处的切线方程;(2)是否存在a,b,使得曲线y=f1x关于直线x=b对称,若存在,求a,b的值,若不存在,说明理由.(3)若f x 在0,+∞存在极值,求a的取值范围.【答案】(1)ln2x+y-ln2=0;(2)存在a=12,b=-12满足题意,理由见解析.(3)0,12.【解析】【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式,然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标,最后求解切线方程即可;(2)首先求得函数的定义域,由函数的定义域可确定实数b的值,进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数a的方程,解方程可得实数a的值,最后检验所得的a,b是否正确即可;(3)原问题等价于导函数有变号的零点,据此构造新函数g x =ax2+x-x+1ln x+1,然后对函数求导,利用切线放缩研究导函数的性质,分类讨论a≤0,a≥12和0<a<12三中情况即可求得实数a的取值范围.【小问1详解】当a=-1时,f x =1x-1ln x+1,则f x =-1x2×ln x+1+1x-1×1x+1,据此可得f1 =0,f 1 =-ln2,函数在1,f1处的切线方程为y-0=-ln2x-1,即ln2x+y-ln2=0.【小问2详解】由函数的解析式可得f1x=x+aln1x+1,函数的定义域满足1x+1=x+1x>0,即函数的定义域为-∞,-1∪0,+∞,定义域关于直线x=-12对称,由题意可得b=-12,由对称性可知f-12+m=f-12-mm>12,取m=32可得f1 =f-2,即a+1ln2=a-2ln 12,则a+1=2-a,解得a=12,经检验a=12,b=-12满足题意,故a=12,b=-12.即存在a=12,b=-12满足题意.【小问3详解】由函数的解析式可得f x =-1 x2ln x+1+1x+a1x+1,由f x 在区间0,+∞存在极值点,则f x 在区间0,+∞上存在变号零点;令-1 x2ln x+1+1x+a1x+1=0,则-x+1ln x+1+x+ax2=0,令g x =ax2+x-x+1ln x+1,f x 在区间0,+∞存在极值点,等价于g x 在区间0,+∞上存在变号零点,g x =2ax-ln x+1,g x =2a-1 x+1当a≤0时,g x <0,g x 在区间0,+∞上单调递减,此时g x <g0 =0,g x 在区间0,+∞上无零点,不合题意;当a≥12,2a≥1时,由于1x+1<1,所以g x >0,g x 在区间0,+∞上单调递增,所以g x >g 0 =0,g x 在区间0,+∞上单调递增,g x >g0 =0,所以g x 在区间0,+∞上无零点,不符合题意;当0<a<12时,由gx =2a-1x+1=0可得x=12a-1,当x∈0,12a-1时,g x <0,g x 单调递减,当x∈12a-1,+∞时,g x >0,g x 单调递增,故g x 的最小值为g12a-1=1-2a+ln2a,令m x =1-x+ln x0<x<1,则m x =-x+1x>0,函数m x 在定义域内单调递增,m x <m1 =0,据此可得1-x+ln x<0恒成立,则g 12a-1=1-2a +ln2a <0,令h x =ln x -x 2+x x >0 ,则hx =-2x 2+x +1x ,当x ∈0,1 时,h x >0,h x 单调递增,当x ∈1,+∞ 时,h x <0,h x 单调递减,故h x ≤h 1 =0,即ln x ≤x 2-x (取等条件为x =1),所以g x =2ax -ln x +1 >2ax -x +1 2-x +1 =2ax -x 2+x ,g 2a -1 >2a 2a -1 -2a -1 2+2a -1 =0,且注意到g 0 =0,根据零点存在性定理可知:g x 在区间0,+∞ 上存在唯一零点x 0.当x ∈0,x 0 时,g x <0,g x 单调减,当x ∈x 0,+∞ 时,g x >0,g x 单调递增,所以g x 0 <g 0 =0.令n x =ln x -12x -1x ,则n x =1x -121+1x 2=-x -1 22x2≤0,则n x 单调递减,注意到n 1 =0,故当x ∈1,+∞ 时,ln x -12x -1x <0,从而有ln x <12x -1x,所以g x =ax 2+x -x +1 ln x +1 >ax 2+x -x +1 ×12x +1 -1x +1=a -12 x 2+12,令a -12 x 2+12=0得x 2=11-2a,所以g 11-2a>0,所以函数g x区间0,+∞ 上存在变号零点,符合题意.综合上面可知:实数a 得取值范围是0,12.【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率,求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导,合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领:①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.四、选做题【选修4-4】(10分)22.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sin θπ4≤θ≤π2,曲线C 2:x =2cos αy =2sin α (α为参数,π2<α<π).(1)写出C 1的直角坐标方程;(2)若直线y =x +m 既与C 1没有公共点,也与C 2没有公共点,求m 的取值范围.【答案】(1)x 2+y -1 2=1,x ∈0,1 ,y ∈1,2 (2)-∞,0 ∪22,+∞ 【解析】【分析】(1)根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解,注意x ,y 的取值范围;(2)根据曲线C 1,C 2的方程,结合图形通过平移直线y =x +m 分析相应的临界位置,结合点到直线的距离公式运算求解即可.【小问1详解】因为ρ=2sin θ,即ρ2=2ρsin θ,可得x 2+y 2=2y ,整理得x 2+y -1 2=1,表示以0,1 为圆心,半径为1的圆,又因为x =ρcos θ=2sin θcos θ=sin2θ,y =ρsin θ=2sin 2θ=1-cos2θ,且π4≤θ≤π2,则π2≤2θ≤π,则x =sin2θ∈0,1 ,y =1-cos2θ∈1,2 ,故C 1:x 2+y -1 2=1,x ∈0,1 ,y ∈1,2 .【小问2详解】因为C 2:x =2cos αy =2sin α(α为参数,π2<α<π),整理得x 2+y 2=4,表示圆心为O 0,0 ,半径为2,且位于第二象限的圆弧,如图所示,若直线y =x +m 过1,1 ,则1=1+m ,解得m =0;若直线y =x +m ,即x -y +m =0与C 2相切,则m2=2m >0 ,解得m =22,若直线y=x +m 与C 1,C 2均没有公共点,则m >22或m <0,即实数m 的取值范围-∞,0 ∪22,+∞ .【选修4-5】(10分)23.已知f x =2x +x -2 .(1)求不等式f x ≤6-x 的解集;(2)在直角坐标系xOy 中,求不等式组f (x )≤yx +y -6≤0所确定的平面区域的面积.【答案】(1)[-2,2];(2)6.【解析】【分析】(1)分段去绝对值符号求解不等式作答.(2)作出不等式组表示的平面区域,再求出面积作答.【小问1详解】依题意,f (x )=3x -2,x >2x +2,0≤x ≤2-3x +2,x <0,不等式f (x )≤6-x 化为:x >23x -2≤6-x或0≤x ≤2x +2≤6-x 或x <0-3x +2≤6-x ,解x >23x -2≤6-x,得无解;解0≤x ≤2x +2≤6-x ,得0≤x ≤2,解x <0-3x +2≤6-x ,得-2≤x <0,因此-2≤x ≤2,所以原不等式的解集为:[-2,2]小问2详解】作出不等式组f (x )≤yx +y -6≤0表示的平面区域,如图中阴影△ABC,由y =-3x +2x +y =6,解得A (-2,8),由y =x +2x +y =6 , 解得C (2,4),又B (0,2),D (0,6),所以△ABC 的面积S △ABC =12|BD |×x C -x A =12|6-2|×|2-(-2)|=8.。
新高考数学选择性必修一常用公式(一)精选全文
可编辑修改精选全文完整版第一章空间向量1、非零向量a ,b 的数量积a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉.2.空间向量的坐标表示及其应用 设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3).向量表示 坐标表示 数量积 a ·b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 共线 a =λb (b ≠0) a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3垂直 a ·b =0(a ≠0,b ≠0)a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0模 |a | a 21+a 22+a 23夹角 〈a ,b 〉(a ≠0,b ≠0) cos 〈a ,b 〉=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3a 21+a 22+a 23·b 21+b 22+b 233.在平面中A ,B ,C 三点共线的充要条件是:OA →=xOB →+yOC →(其中x +y =1),O 为平面内任意一点.4.在空间中P ,A ,B ,C 四点共面的充要条件是:OP →=xOA →+yOB →+zOC →(其中x +y +z =1),O 为空间中任意一点. 5.空间位置关系的向量表示位置关系 向量表示直线l 1,l 2的方向向量分别为n 1,n 2 l 1∥l 2n 1∥n 2⇒n 1=λn 2 l 1⊥l 2 n 1⊥n 2⇔n 2·n 2=0直线l 的方向向量为n ,平面α的法向量为m l ∥αn ⊥m ⇔m ·n =0 l ⊥α n ∥m ⇔n =λm平面α、β的法向量分别为n 、m α∥βn ∥m ⇔n =λm α⊥β n ⊥m ⇔n ·m =06.两条异面直线所成角的求法两条异面直线a ,b 的方向向量分别为a ,b ,其夹角为θ,则cos φ=|cos θ|=|a ·b ||a ||b |(其中φ为异面直线a ,b 所成的角).7.直线和平面所成角的求法 如图所示,设直线l 的方向向量为e ,平面α的法向量为n ,直线l 与平面α所成的角为φ,向量e 与n 的夹角为θ,则有sin φ=|cos θ|=|n ·e ||n ||e |.8.求二面角的大小θ如图②③,n 1,n 分别是二面角α-l -β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小满足|cos θ|=cos <n 1,n 2 >,二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角).9.利用空间向量求距离:线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.如图所示,已知AB 为平面α的一条斜线段,n 为平面α的法向量,则B 到平面α的距离为d =|AB →·n ||n |.10.直线的方向向量的确定:A ,B 是l 上任意两点,则AB →及与AB →平行的非零向量均为直线l 的方向向量.11.平面的法向量的确定:设a ,b 是平面α内两不共线向量,n 为平面α的法向量,则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a =0,n ·b =0.第二章 解析几何1.直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角α的__正切值___叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k =__tan α___,倾斜角是90°的直线斜率不存在.(2)过两点的直线的斜率公式:经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k =__y 2-y 1x 2-x 1___.2.直线方程的五种形式3.平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合___三种情况. (1)两条直线平行对于直线l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,l 1∥l 2⇔k 1=k 2,且b 1≠b 2. 对于直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,l 1∥l 2⇔A 1B 2-A 2B 1=0,且B 1C 2-B 2C 1≠0(或A 1C 2-A 2C 1≠0). (2)两条直线垂直对于直线l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1.对于直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,l 1⊥l 2⇔__A 1A 2+B 1B 2=0___. 4.两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解.5.三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2. 特别地,原点O (0,0)与任一点P (x ,y )的距离|OP |=x 2+y 2.(2)点P (x 0,y 0)到直线l :Ax +By +C =0的距离d =|Ax 0+By 0+C |A 2+B 2.(3)两条平行线Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 2=0间的距离为d =|C 1-C 2|A 2+B 2.6.7.d 为圆心(a ,b )到直线l Δ.8.291.当两圆相交(切)时,两圆方程(x 2,y 2项的系数相同)相减便可得公共弦(内公切线)所在的直线方程. 2.过圆x 2+y 2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程为x 0x +y 0y =r 2.3.过圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程为(x 0-a )(x -a )+(y 0-b )(y -b )=r 2.4.过圆x 2+y 2=r 2外一点M (x 0,y 0)作圆的两条切线,则两切点所在的直线方程为x 0x +y 0y =r 2.5.直线与圆相交时,弦心距d ,半径r ,弦长的一半12l 满足关系式r 2=d 2+(12l )2.。
高中理科数学公式大全(完整版)
高中数学公式大全(最新整理版)§01. 集合与简易逻辑 1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B=⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-.5.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n个;真子集有2n–1个;非空子集有2n–1个;非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.一元二次方程的实根分布依据:若()()0f m f n <,则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 .设q px x x f ++=2)(,则(1)方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩;(2)方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或⎩⎨⎧>=0)(0)(n f m f 或⎩⎨⎧>=0)(0)(m f n f ; (3)方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .8.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L (形如[]βα,,(]β,∞-,[)+∞,α不同)上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩. 9.10.四种命题的相互关系原命题:与逆命题互逆,与否命题互否,与逆否命题互为逆否;逆命题:与原命题互逆,与逆否命题互否,与否命题互为逆否;否命题:与原命题互否,与逆命题互为逆否,与逆否命题互逆;逆否命题:与逆命题互否,与否命题互逆,与原命题互为逆否;15.充要条件(1)充分条件:若p q ⇒,则p 是q 充分条件.(2)必要条件:若q p ⇒,则p 是q 必要条件. (3)充要条件:若p q ⇒,且q p ⇒,则p 是q 充要条件.注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.§02. 函数11.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数;[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ,则)(x f 为减函数.12.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.13.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数.14.若函数)(x f y =是偶函数,则)()(a x f a x f --=+;若函数)(a x f y +=是偶函数,则)()(a x f a x f +-=+.15.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称.16若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称;若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.17.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=- (2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.18.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.19.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位,得到函数b a x f y +-=)(的图象;若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位,得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.20.互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.21.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数.22.几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =,()()()()()f x y f x f y g x g y -=+,0()(0)1,lim 1x g x f x→==.23.几个函数方程的周期(约定a>0)(1))()(a x f x f +=,则)(x f 的周期T=a ; (2)0)()(=+=a x f x f ,或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f , 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ;(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ,则)(x f 的周期T=3a ;(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<,则)(x f 的周期T=4a ;(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ;(6))()()(a x f x f a x f +-=+,则)(x f 的周期T=6a.24.分数指数幂(1)m na=(0,,a m n N *>∈,且1n >).(2)1m nm naa-=(0,,a m n N *>∈,且1n >).25.根式的性质 (1)n a =.(2)当na =; 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.26.有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)rr rab a b a b r Q =>>∈.注: 若a >0,p 是一个无理数,则a p表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.27.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.28.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).29.对数的四则运算法则若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log a a a MM N N =-;(3)log log ()na a M n M n R =∈.§03. 数 列30. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ,平均增长率为p ,则对于时间x 的总产值y ,有(1)xy N p =+.31.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).32.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈;其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 33.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈; 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s qna q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩. 34.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩;其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩.§04. 三角函数35.常见三角不等式 (1)若(0,)2x π∈,则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈,则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.36.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=,tan θ=θθcos sin ,tan 1cot θθ⋅=.37.正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩38.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).39.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.40.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+,x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+,x ∈R(A,ω,ϕ为常数,且A ≠0,ω>0)的周期2T πω=;函数tan()y x ωϕ=+,,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数,且A ≠0,ω>0)的周期T πω=. 41.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 42.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.43.面积定理(1)111222a b c S ah bh ch ===(a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高).(2)111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===. (3)22(||||)()OABS OA OB OA OB ∆=⋅-⋅. 44.三角形内角和定理在△ABC 中,有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 45.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数,那么(1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb. 46.向量的数量积的运算律: (1) a ·b= b ·a (交换律); (2)(λa )·b= λ(a ·b )=λa ·b= a ·(λb ); (3)(a +b )·c= a ·c +b ·c. 47.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e 1+λ2e 2.不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.48.向量平行的坐标表示设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ,且b ≠0,则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.49. a 与b 的数量积(或内积) a ·b=|a ||b|cos θ. 50. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积.51.平面向量的坐标运算(1)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ,则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ,则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a=(,),x y R λ∈,则λa=(,)x y λλ. (5)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ,则a ·b=1212()x x y y +.52.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b=22(,)x y ).53.平面两点间的距离公式 ,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ,B 22(,)x y ).54.向量的平行与垂直设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ,且b ≠0,则 A||b ⇔b=λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 55.线段的定比分公式 设111(,)P x y ,222(,)P x y ,(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数,且12PP PP λ=,则 121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+-(11t λ=+). 56.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.57.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ,y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ,且'PP 的坐标为(,)h k . 58.“按向量平移”的几个结论(1)点(,)P x y 按向量a=(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m=(,)x y 按向量a=(,)h k 平移后得到的向量仍然为m=(,)x y .59. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,则(1)O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. (2)O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=. (3)O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.(4)O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.(5)O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.§06. 不 等 式60.常用不等式:(1),a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a =b 时取“=”号).(2),a b R+∈⇒2a b+≥(当且仅当a =b 时取“=”号).(3)3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> (4)柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈(5)b a b a b a +≤+≤-.61.极值定理已知y x ,都是正数,则有(1)若积xy 是定值p ,则当y x =时和y x +有最小值p 2;(2)若和y x +是定值s ,则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,,则有xy y x y x 2)()(22+-=+(1)若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大;当||y x -最小时,||y x +最小.(2)若和||y x +是定值,则当||y x -最大时,||xy 最小;当||y x -最小时, ||xy 最大.62.含有绝对值的不等式 当a> 0时,有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.63.无理不等式(1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩.(2)2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. (32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩.64.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩§07. 直线和圆的方程65.斜率公式2121y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ).66.直线的五种方程(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ).(2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).(3)两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y(12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、)(5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).67.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠; ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=;68.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时,直线l 1与l 2的夹角是2π. 69. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时,直线l 1到l 2的角是2π. 70.四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数.(2)共点直线系方程:经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l ),其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程:直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时,表示平行直线系方程.与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠),λ是参变量.(4)垂直直线系方程:与直线0Ax By C ++= (A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量.71.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l :Ax By +).72. 圆的四种方程(1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).(3)圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.(4)圆的直径式方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).73. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数.(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数.(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数.74.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.75.直线与圆的位置关系 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.76.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .77.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=. ①若已知切点00(,)x y 在圆上,则切线只有一条,其方程是0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=表示过两个切点的切点弦方程.②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-,再利用相切条件求k ,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y 轴的切线.③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+,再利用相切条件求b ,必有两条切线.(2)已知圆222x y r +=.①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±.§08. 圆锥曲线方程78.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩. 79.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=,)(22x ca e PF -=.80.椭圆的的内外部(1)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的内部2200221x y a b⇔+<.(2)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b⇔+>.81. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b +=.(2)过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. (3)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+,22|()|a PF e x c=-.82.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<.83.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程:22220x y a b -=⇔x ab y ±=. (2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-by a x 有公共渐近线,可设为λ=-2222by a x (0>λ,焦点在x 轴上,0<λ,焦点在y 轴上).84. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x ya b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.(2)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y ya b-=. (3)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 85.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ,其中 22y px =.86.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线:(1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a--;(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+-;(3)准线方程是2414ac b y a--=.87.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>.(2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->.(3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>.(4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->.88. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.(2)过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.(3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.89.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.90.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =或1212|||AB x x y y ==-=-(弦端点A ),(),,(2211y x B y x ,由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y 消去y 得到02=++c bx ax ,0∆>,α为直线AB 的倾斜角,k 为直线的斜率). 91.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=.(2)曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是 22222()2()(,)0A Ax By CB Ax ByC F x y A B A B ++++--=++.92.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=,用0x x 代2x ,用0y y 代2y ,用002x y xy +代xy ,用02x x +代x ,用02y y +代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中点方程均是此方程得到.§09. 立体几何93.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行.94.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行;(3)转化为面面平行.95.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行;(3)转化为线面垂直.96.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直.97.证明直线与平面垂直的思考途径(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 98.证明平面与平面的垂直的思考途径(1)转化为判断二面角是直二面角;(2)转化为线面垂直. 99.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律:a +b=b +a .(2)加法结合律:(a +b)+c=a +(b +c). (3)数乘分配律:λ(a +b)=λa +λb . 100.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 101.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 ),a ∥b ⇔存在实数λ使a=λb . P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+. ||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.102.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+. 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+,或对空间任一定点O ,有序实数对,x y ,使OP OM xMA yMB =++.103.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ,满足OP xOA yOB zOC =++(x y z k ++=),则当1k =时,对于空间任一点O ,总有P 、A 、B 、C 四点共面;当1k ≠时,若O ∈平面ABC ,则P 、A 、B 、C 四点共面;若O ∉平面ABC ,则P 、A 、B 、C 四点不共面.C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD xAB yAC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++(O ∉平面ABC ).104.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组x ,y ,z ,使p =xa +yb +zc .推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点,则对空间任一点P ,都存在唯一的三个有序实数x ,y ,z ,使OP xOA yOB zOC =++.105.向量的直角坐标运算设a =123(,,)a a a ,b =123(,,)b b b 则 (1)a +b =112233(,,)a b a b a b +++; (2)a -b =112233(,,)a b a b a b ---; (3)λa =123(,,)a a a λλλ (λ∈R); (4)a ·b =112233a b a b a b ++; 106.设A 111(,,)x y z ,B 222(,,)x y z ,则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.107.空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =,222(,,)b x y z =,则a b ⇔(0)a b b λ=≠⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩;a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.109.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ,B 222(,,)x y z ,则,A B d =||AB AB AB=⋅=110.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上,直线l 的方向向量a=PA ,向量b=PQ ).111.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线,其公垂向量为n ,C D 、分别是12,l l 上任一点,d 为12,l l 间的距离).112.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=(n 为平面α的法向量,AB 是经过面α的一条斜线,A α∈).113.异面直线上两点距离公式22cos d mn θ=.',d EA AF =.d =('E AAF ϕ=--).(两条异面直线a 、b 所成的角为θ,其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ,'A E m =,AF n =,EF d =).已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.114.球的半径是R ,则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=.115.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a a ,外. 116.柱体、锥体的体积13V Sh =柱体(S 是柱体的底面积、h 是柱体的高).13V Sh =锥体(S 是锥体的底面积、h 是锥体的高).§10. 排列组合二项定理117.分类计数原理(加法原理) 12n N m m m =+++. 118.分步计数原理(乘法原理) 12n N m m m =⨯⨯⨯. 119.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =!!)(m n n -.(n ,m ∈文案大全N *,且m n ≤).注:规定1!0=. 120.排列恒等式(1)1(1)mm nnA n m A -=-+; (2)1mmn n n A A n m -=-; (3)11m m n n A nA --=;(4)11n n n n n n nA A A ++=-;(5)11m m m n n nAA mA-+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.121.组合数公式m n C =m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=!!!)(m n m n -⋅(n ∈N *,m N ∈,且m n ≤).122.组合数的两个性质 (1)m n C =mn nC- ; (2) m n C+1-m n C =mn C1+.注:规定10=n C .123.组合恒等式(1)11mm n n n m C C m --+=; (2)1m mn n n C C n m -=-; (3)11mm n n n C C m--=;(4)∑=nr r n C 0=n 2;(5)1121++++=++++r n r n r r r r r rC C C C C . (6)nn n r n n n n C C C C C 2210=++++++负整数解有 11n m n C +--个. 124.二项式定理nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ;二项展开式的通项公式rrn rnr b aC T -+=1)210(n r ,,,=.§11、12. 概率与统计125.等可能性事件的概率()m P A n=. 126.互斥事件A ,B 分别发生的概率的和 P(A +B)=P(A)+P(B).127.n 个互斥事件分别发生的概率的和P(A 1+A 2+…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ).128.独立事件A ,B 同时发生的概率P(A ·B)= P(A)·P(B).129.n 个独立事件同时发生的概率P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n ).130.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k k n kn n P k C P P -=- 131.离散型随机变量的分布列的两个性质(1)0(1,2,)i P i ≥=; (2)121P P ++=.132.数学期望1122n n E x P x P x P ξ=++++133.数学期望的性质(1)()()E a b aE b ξξ+=+. (2)若ξ~(,)B n p ,则E np ξ=. (3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===,则1E pξ=. 134.方差()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+135.标准差σξ=ξD .136.方差的性质(1)()2D a b a D ξξ+=;(2)若ξ~(,)B n p ,则(1)D np p ξ=-.(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===,则2q D p ξ=. 137.方差与期望的关系()22D E E ξξξ=-.138.正态分布密度函数()()()2226,,x f x x μ--=∈-∞+∞,式中的实数μ,σ(σ>0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差.139.标准正态分布密度函数()()22,,x f x x -=∈-∞+∞..140.回归直线方程y a bx =+,其中文案大全()()()1122211n ni i i i i i n ni i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=-⎩∑∑∑∑. 141.相关系数()()niix x y y r --=∑()()niix x y y --=∑|r|≤1,且|r|越接近于1,相关程度越大;|r|越接近于0,相关程度越小.§13. 极 限142.特殊数列的极限(1)0||1lim 11||11nn q q q q q →∞<⎧⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或.(2)1101100()lim ()()k k k k t t t n t t kk t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩不存在 . (3)()111lim11nn a q a S qq→∞-==--(S 无穷等比数列}{11n a q - (||1q <)的和).143. 函数的极限定理lim ()x x f x a →=⇔0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.144.函数的夹逼性定理如果函数f(x),g(x),h(x)在点x 0的附近满足: (1)()()()g x f x h x ≤≤;(2)0lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==(常数),则lim ()x x f x a →=.本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立. 145.几个常用极限 (1)1lim0n n →∞=,lim 0n n a →∞=(||1a <); (2)00lim x x x x →=,0011limx x x x →=. 146.两个重要的极限 (1)0sin lim1x xx→=;(2)1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=2.718281845…).147.函数极限的四则运算法则若0lim ()x x f x a →=,0lim ()x x g x b →=,则(1)()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦;(2)()()0lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦;(3)()()()0lim0x x f x ab g x b→=≠. 148.数列极限的四则运算法则 若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==,则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±;(2)()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅;(3)()lim0n n na ab b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数).§14. 导 数149.)(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商)000000()()()lim limx x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆.150.瞬时速度00()()()limlimt t s s t t s t s t t tυ∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 151.瞬时加速度00()()()limlimt t v v t t v t a v t t t∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 152.)(x f 在),(b a 的导数()dy dff x y dx dx''===00()()lim lim x x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-==∆∆. 153. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.154.几种常见函数的导数文案大全(1) 0='C (C 为常数). (2) '1()()n n x nx n Q -=∈. (3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln =';e a xx a log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a xx ln )(='.155.导数的运算法则(1)'''()u v u v ±=±. (2)'''()uv u v uv =+.(3)'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 156.复合函数的求导法则设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=,函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =,则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数,且'''x u xy y u =⋅,或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.§15. 复 数157.复数的相等,a bi c di a c b d +=+⇔==.(,,,a b c d R ∈) 158.复数z a bi =+的模(或绝对值) ||z =||a bi +159.复数的四则运算法则(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++; (2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-; (3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++; (4)2222()()(0)ac bd bc ada bi c di i c di c d c d+-+÷+=++≠++. 160.复数的乘法的运算律对于任何123,,z z z C ∈,有 交换律:1221z z z z ⋅=⋅.结合律:123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅. 分配律:1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅ . 161.复平面上的两点间的距离公式12||d z z =-=(111z x y i =+,222z x y i =+).162.向量的垂直非零复数1z a bi =+,2z c di =+对应的向量分别是1OZ ,2OZ ,则12OZ OZ ⊥⇔12z z ⋅的实部为零⇔21z z 为纯虚数⇔2221212||||||z z z z +=+⇔2221212||||||z z z z -=+⇔1212||||z z z z +=-⇔0ac bd +=⇔12z iz λ= (λ为非零实数).163.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程20ax bx c ++=,①若240b ac ∆=->,则1,2x =②若240b ac ∆=-=,则122b x x a==-;③若240b ac ∆=-<,它在实数集R 内没有实数根;在复数集C内有且仅有两个共轭复数根240)x b ac =-<.。
高中理科数学公式大全完整版
高中理科数学公式大全完整版高中理科数学公式大全完整版一、数学公式1、圆的面积 S=πR²2、圆周长 C=2πR3、圆柱体 V=πR²h4、圆锥体 V=πR²h/35、圆周角 a=∠C×π6、勾股定理 c²=a²+b²7、正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R8、余弦定理 b²=a²+c²-2accosB9、弧长公式 l=n/180×π×r²10、扇形面积 s=n/360×π×r²11、弓形面积 s=[(b-a)×h]/212、三角形面积 s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中 p=(a+b+c)/213、重心定理三条中线的交点叫重心,重心分中线为2:1(顶点到重心)14、平行四边形性质:平行四边形对边相等;平行四边形对角相等;平行四边形对角线互相平分;平行四边形内角和外角和都为360度。
15、平行四边形判定:一组对边平行且相等的四边形为平行四边形;两组对边分别相等的四边形为平行四边形;对角线互相平分的四边形为平行四边形;两组对角分别相等的四边形为平行四边形。
16、菱形性质:菱形四边都相等;菱形对角线互相垂直;菱形内角和都为360度;菱形是轴对称图形,有四条对称轴。
17、菱形判定:一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四条边都相等的四边形是菱形;两条对角线分别平分各自对角的四边形为菱形。
18、正方形性质:正方形的四边都相等;正方形的四个角都是直角;正方形的对角线相等并互相垂直平分;正方形的邻边互相垂直;正方形的内角和外角和都为360度。
19、正方形判定:邻边相等的矩形是正方形;有一个角是直角的菱形是正方形;对角线互相垂直的矩形是正方形。
20、等腰梯形性质:等腰梯形两腰相等;等腰梯形两底角相等;等腰梯形的两条对角线相等。
高考数学公式理科总结
高考数学公式理科总结高考数学公式理科总结数学作为高考的一门科目,深受大多数理科生的青睐。
因为无论是数学的思维锻炼还是需要掌握的数学公式,都是高考备考不可或缺的一部分。
今天,我们就来总结一下理科数学中常用的数学公式及其应用。
一、代数部分1.一元二次方程公式:ax²+bx+c=0,求根公式为x=(-b±√b²-4ac)/2a。
应用:用于求解一元二次方程,例如求解公路修建所需要的材料和成本等。
2.等比数列公式:an=a1q^(n-1)(其中a1为首项,q为公比,an为第n项)。
应用:用于解决各种与成长或增长相关的问题,如人口增长、利润的增长等。
3.排列组合公式:排列公式为A(n,m)=n!/(n-m)!,组合公式为C(n,m)=n!/m!(n-m)!。
应用:用于处理不同的复杂问题,例如排列组合问题、选择问题、不重复随机抽样问题等。
二、几何部分1.三角函数公式:sinθ=对边/斜边,cosθ=邻边/斜边,tanθ=对边/邻边。
应用:用于三角函数问题,例如角度求解、三角函数值等。
2.圆公式:圆的面积公式为A=πr²,圆的周长公式为C=2πr。
应用:用于解决圆形问题,例如圆周运动、圆的切线、圆的切点等。
3.立体几何公式:三棱锥表面积公式为S=ab+a√(a²+b²+c²-2abcosA),三棱锥体积公式为V=1/3abh。
应用:用于解决空间几何问题,例如三棱锥表面积和体积的计算等。
三、概率统计部分1.样本调查公式:样本调查中常用的统计量有平均数、中位数、众数、方差、标准差、相关系数、回归方程等。
应用:用于处理随机事件、样本调查、统计数据等问题。
2.基本概率公式:P(A)=m/n,其中m表示事件A的样本点个数,n表示整个样本点个数。
应用:用于基本的统计概率问题,例如计算事件发生的概率等。
3.正态分布公式:正态分布的概率密度函数为f(x)=1/σ√2πexp(-(x-μ)²/(2σ²))。
高中理科数学公式大全(完整版)
高中理科数学公式大全(完整版)l高中数学公式大全(最新整理版)§01. 集合与简易逻辑1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I .3.包含关系A B A A B B=⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦI U C A B R ⇔=U4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-U I .5.集合12{,,,}n a a a L 子集个数共有2n个;真子集有2n–1个;非空子集有2n–1个;非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.一元二次方程的实根分布依据:若()()0f m f n <,则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 .设q px x x f ++=2)(,则(1)方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩;(2)方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或⎩⎨⎧>=0)(0)(n f m f 或⎩⎨⎧>=0)(0)(m f n f ; (3)方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .8.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L (形如[]βα,,(]β,∞-,[)+∞,α不同)上含参数二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩. 9.10.四种命题的相互关系原命题:与逆命题互逆,与否命题互否,与逆否命题互为逆否;逆命题:与原命题互逆,与逆否命题互否,与否命题互为逆否;否命题:与原命题互否,与逆命题互为逆否,与逆否命题互逆;逆否命题:与逆命题互否,与否命题互逆,与原命题互为逆否;15.充要条件(1)充分条件:若p q ⇒,则p 是q 充分条件.(2)必要条件:若q p ⇒,则p 是q 必要条件. (3)充要条件:若p q ⇒,且q p ⇒,则p 是q 充要条件.注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.§02. 函数11.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数;[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ,则)(x f为减函数.12.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.13.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数.14.若函数)(x f y =是偶函数,则)()(a x f a x f --=+;若函数)(a x f y +=是偶函数,则)()(a x f a x f +-=+.15.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称.16若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称;若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.17.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=- (2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.18.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.19.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位,得到函数b a x f y +-=)(的图象;若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位,得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.20.互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.21.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数.22.几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =,()()()()()f x y f x f y g x g y -=+,0()(0)1,lim 1x g x f x→==.23.几个函数方程的周期(约定a>0)(1))()(a x f x f +=,则)(x f 的周期T=a ; (2)0)()(=+=a x f x f ,或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f , 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ;(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ,则)(x f 的周期T=3a ;(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<,则)(x f 的周期T=4a ;(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ;(6))()()(a x f x f a x f +-=+,则)(x f 的周期T=6a.24.分数指数幂(1)m na =(0,,a m n N *>∈,且1n >). (2)1m nm naa-=(0,,a m n N *>∈,且1n >).25.根式的性质 (1)n a =.(2)当na =;当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.26.有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)rr rab a b a b r Q =>>∈.注: 若a >0,p 是一个无理数,则a p表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.27.指数式与对数式的互化式log ba Nb a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.28.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).29.对数的四则运算法则若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log a a a MM N N =-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.§03. 数 列30. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ,平均增长率为p ,则对于时间x 的总产值y ,有(1)xy N p =+.31.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ).32.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈;其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 33.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈; 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s qna q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.34.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩;其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩.§04. 三角函数35.常见三角不等式 (1)若(0,)2x π∈,则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈,则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.36.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=,tan θ=θθcos sin ,tan 1cot θθ⋅=.37.正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s,s()2(1)sin,nnconcoαπαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩38.和角与差角公式sin()sin cos cos sinαβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sinαβαβαβ±=m;tan tantan()1tan tanαβαβαβ±±=m.22sin()sin()sin sinαβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sinαβαβαβ+-=-.sin cosa bαα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b的象限决定,tanbaϕ= ).39.二倍角公式sin2sin cosααα=.2222cos2cos sin2cos112sinααααα=-=-=-.22tantan21tanααα=-.40.三角函数的周期公式函数sin()y xωϕ=+,x∈R及函数cos()y xωϕ=+,x∈R(A,ω,ϕ为常数,且A≠0,ω>0)的周期2Tπω=;函数tan()y xωϕ=+,,2x k k Zππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数,且A≠0,ω>0)的周期Tπω=.41.正弦定理2sin sin sina b cRA B C===.42.余弦定理2222cosa b c bc A=+-;2222cosb c a ca B=+-;2222cosc a b ab C=+-.43.面积定理(1)111222a b cS ah bh ch===(a b ch h h、、分别表示a、b、c边上的高).(2)111sin sin sin222S ab C bc A ca B===.(3)OABS∆=44.三角形内角和定理在△ABC中,有()A B C C A Bππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A Bπ⇔=-+.45.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数,那么(1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb.46.向量的数量积的运算律:(1) a·b= b·a(交换律);(2)(λa)·b= λ(a·b)=λa·b= a·(λb);(3)(a+b)·c= a·c +b·c.47.平面向量基本定理如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e1+λ2e2.不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.48.向量平行的坐标表示设a=11(,)x y,b=22(,)x y,且b≠0,则a P b(b≠0)12210x y x y⇔-=.49. a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ.50. a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.51.平面向量的坐标运算(1)设a=11(,)x y,b=22(,)x y,则a+b=1212(,)x x y y++.(2)设a=11(,)x y,b=22(,)x y,则a-b=1212(,)x x y y--.(3)设A11(,)x y,B22(,)x y,则2121(,)AB OB OA x x y y=-=--u u u r u u u r u u u r.(4)设a=(,),x y Rλ∈,则λa=(,)x yλλ.(5)设a=11(,)x y,b=22(,)x y,则a·b=1212()x x y y+.52.两向量的夹角公式cosθ=(a=11(,)x y,b=22(,)x y).53.平面两点间的距离公式,A Bd=||AB=u u u r=11(,)x y,B22(,)x y).54.向量的平行与垂直设a=11(,)x y,b=22(,)x y,且b≠0,则A||b ⇔b=λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 55.线段的定比分公式 设111(,)P x y ,222(,)P x y ,(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数,且12PP PP λ=u u u r u u u r,则 121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+u u u r u u u r u u u r ⇔12(1)OP tOP t OP =+-u u u r u u u r u u u r (11t λ=+). 56.三角形重心坐标公式△ABC 三个顶点坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.57.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+u u u r u u u r u u u r . 注:图形F 上的任意一点P(x ,y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ,且'PP u u u r的坐标为(,)h k .58.“按向量平移”的几个结论(1)点(,)P x y 按向量a=(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m=(,)x y 按向量a=(,)h k 平移后得到的向量仍然为m=(,)x y .59. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,则(1)O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==u u u r u u u r u u u r .(2)O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=u u u r u u u r u u u r r. (3)O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .(4)O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=u u u r u u u r u u u r r .(5)O 为ABC ∆的A ∠旁心aOA bOB cOC ⇔=+u u u r u u u r u u u r.§06. 不 等 式60.常用不等式:(1),a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a =b 时取“=”号).(2),a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a =b 时取“=”号).(3)3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> (4)柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈(5)b a b a b a +≤+≤-.61.极值定理已知y x ,都是正数,则有(1)若积xy 是定值p ,则当y x =时和y x +有最小值p 2;(2)若和y x +是定值s ,则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,,则有xy y x y x 2)()(22+-=+(1)若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大;当||y x -最小时,||y x +最小.(2)若和||y x +是定值,则当||y x -最大时,||xy 最小;当||y x -最小时, ||xy 最大.62.含有绝对值的不等式 当a> 0时,有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.63.无理不等式 (1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩.(2)2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或.(32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩. 64.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩§07. 直线和圆的方程65.斜率公式2121y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ).66.直线的五种方程(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ).(2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).(3)两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y(12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、)(5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).67.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B Cl l A B C ⇔=≠;②1212120l l A A B B ⊥⇔+=; 68.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时,直线l 1与l 2的夹角是2π. 69. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时,直线l 1到l 2的角是2π. 70.四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数.(2)共点直线系方程:经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l ),其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程:直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时,表示平行直线系方程.与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠),λ是参变量.(4)垂直直线系方程:与直线0Ax By C ++= (A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量.71.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l :Ax By +).72. 圆的四种方程(1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).(3)圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.(4)圆的直径式方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).73. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数.(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数.(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数.74.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.75.直线与圆的位置关系 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.76.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .77.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=. ①若已知切点00(,)x y 在圆上,则切线只有一条,其方程是0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=表示过两个切点的切点弦方程.②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-,再利用相切条件求k ,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y 轴的切线.③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+,再利用相切条件求b ,必有两条切线.(2)已知圆222x y r +=.①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±. §08. 圆锥曲线方程78.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩. 79.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=,)(22x ca e PF -=.80.椭圆的的内外部(1)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的内部2200221x y a b⇔+<.(2)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b⇔+>.81. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b +=.(2)过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线切点弦方程是 00221x x y ya b+=. (3)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+,22|()|a PF e x c=-.82.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<. 83.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程:22220x y a b -=⇔x ab y ±=. (2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-by a x 有公共渐近线,可设为λ=-2222b y a x (0>λ,焦点在x 轴上,0<λ,焦点在y 轴上).84. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.(2)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y ya b-=. (3)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=焦半径公式 抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 85.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2οοy py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y o o ,其中 22y px =o o .86.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线:(1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a--;(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+-;(3)准线方程是2414ac b y a--=.87.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>.(2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->.(3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>.(4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->.88. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.(2)过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.(3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 89.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线. 90.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =或1212|||AB x x y y ==-=-(弦端点A ),(),,(2211y x B y x ,由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y 消去y 得到02=++c bx ax ,0∆>,α为直线AB 的倾斜角,k 为直线的斜率).91.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=.(2)曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是 22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++.92.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=,用0x x 代2x ,用0y y 代2y ,用002x y xy +代xy ,用02x x +代x ,用02y y +代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中点方程均是此方程得到.§09. 立体几何93.证明直线与直线的平行的思考途径(1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行;(3)转化为线面平行;(4)转化为线面垂直;(5)转化为面面平行. 94.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点;(2)转化为线线平行;(3)转化为面面平行. 95.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点;(2)转化为线面平行;(3)转化为线面垂直.96.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直.97.证明直线与平面垂直的思考途径(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 98.证明平面与平面的垂直的思考途径(1)转化为判断二面角是直二面角;(2)转化为线面垂直.99.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a +b=b +a .(2)加法结合律:(a +b)+c=a +(b +c). (3)数乘分配律:λ(a +b)=λa +λb .100.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 101.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 ),a ∥b ⇔存在实数λ使a=λb . P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =u u u r u u u r ⇔(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r . ||AB CD ⇔AB u u u r 、CD u u u r共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =u u u r u u u r 且AB CD 、不共线.102.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+. 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r ,或对空间任一定点O ,有序实数对,x y ,使OP OM xMA yMB =++u u u r u u u u r u u u r u u u r .103.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ,满足OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r(x y z k ++=),则当1k =时,对于空间任一点O ,总有P 、A 、B 、C 四点共面;当1k ≠时,若O ∈平面ABC ,则P 、A 、B 、C 四点共面;若O ∉平面ABC ,则P 、A 、B 、C 四点不共面.C A B 、、、D 四点共面⇔AD u u u r 与AB u u u r 、AC u u u r共面⇔AD xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r⇔ (1)OD x y OA xOB yOC =--++u u u r u u u r u u u r u u u r(O ∉平面ABC ).104.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组x ,y ,z ,使p =xa +yb +zc .推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点,则对空间任一点P ,都存在唯一的三个有序实数x ,y ,z ,使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r .105.向量直角坐标运算设a =123(,,)a a a ,b =123(,,)b b b 则 (1)a +b =112233(,,)a b a b a b +++; (2)a -b =112233(,,)a b a b a b ---; (3)λa =123(,,)a a a λλλ (λ∈R); (4)a ·b =112233a b a b a b ++; 106.设A 111(,,)x y z ,B 222(,,)x y z ,则 AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r= 212121(,,)x x y y z z ---.107.空间线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ,222(,,)b x y z =r,则 a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩;a b ⊥r r⇔0a b ⋅=r r ⇔1212120x x y y z z ++=.109.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ,B 222(,,)x y z ,则,A B d=||AB =u u u r=110.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上,直线l 的方向向量a=PA uu u r ,向量b=PQ u u u r).111.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=u u u r u u r r (12,l l 是两异面直线,其公垂向量为n r,C D 、分别是12,l l 上任一点,d 为12,l l 间的距离).112.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=u u u r u u r r (n r 为平面α的法向量,AB 是经过面α的一条斜线,A α∈).113.异面直线上两点距离公式d =.d =d =('E AAF ϕ=--).(两条异面直线a 、b 所成的角为θ,其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ,'A E m =,AF n =,EF d =).已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.114.球的半径是R ,则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=.115.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为aa ,外. 116.柱体、锥体的体积13V Sh =柱体(S 是柱体的底面积、h 是柱体的高).13V Sh =锥体(S 是锥体的底面积、h 是锥体的高).§10. 排列组合二项定理117.分类计数原理(加法原理)12n N m m m =+++L . 118.分步计数原理(乘法原理) 12n N m m m =⨯⨯⨯L . 119.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n Λ=!!)(m n n -.(n ,m ∈N *,且m n ≤).注:规定1!0=. 120.排列恒等式(1)1(1)m m n nA n m A -=-+; (2)1mmn n n A A n m -=-; (3)11m m n n A nA --=;(4)11n n n n n n nA A A ++=-; (5)11m m m n n nA A mA -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-L . 121.组合数公式m n C =m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+--ΛΛ21)1()1(=!!!)(m n m n -⋅(n ∈N *,m N ∈,且m n ≤).122.组合数的两个性质(1)mn C =mn n C - ;(2) mn C +1-m n C =mn C 1+.注:规定10=nC . 123.组合恒等式(1)11mm n n n m C C m --+=; (2)1m mn n n C C n m -=-; (3)11mm n n n C C m--=;(4)∑=nr r nC0=n2;(5)1121++++=++++r n r nr r r r r rCC CC C Λ.(6)nn n r n n n n C C C C C 2210=++++++ΛΛ负整数解有 11n m n C +--个. 124.二项式定理n n n rrn r nn nn nnnnb C b aC b aC b aC a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( ;二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ,,,Λ=.§11、12. 概率与统计125.等可能性事件的概率()mP A n=. 126.互斥事件A ,B 分别发生的概率的和 P(A +B)=P(A)+P(B).127.n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A 1+A 2+…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ).128.独立事件A ,B 同时发生的概率 P(A ·B)= P(A)·P(B).129.n 个独立事件同时发生的概率P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n ).130.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k k n kn n P k C P P -=- 131.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1)0(1,2,)i P i ≥=L ; (2)121P P ++=L . 132.数学期望1122n n E x P x P x P ξ=++++L L133.数学期望的性质(1)()()E a b aE b ξξ+=+. (2)若ξ~(,)B n p ,则E np ξ=. (3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===,则1E pξ=. 134.方差()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+L L135.标准差σξ=ξD .136.方差的性质(1)()2D a b a D ξξ+=;(2)若ξ~(,)B n p ,则(1)D np p ξ=-.(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===,则2qD pξ=. 137.方差与期望的关系()22D E E ξξξ=-. 138.正态分布密度函数()()()2226,,x f x x μ--=∈-∞+∞,式中的实数μ,σ(σ>0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差.139.标准正态分布密度函数()()22,,x f x x -=∈-∞+∞..140.回归直线方程$y a bx =+,其中()()()1122211n ni i i i i i n ni ii i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=-⎩∑∑∑∑. 141.相关系数()()niix x y y r --=∑()()niix x y y --=∑|r|≤1,且|r|越接近于1,相关程度越大;|r|越接近于0,相关程度越小.§13. 极 限142.特殊数列的极限(1)0||1lim 11||11nn q q q q q →∞<⎧⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或.(2)1101100()lim ()()k k k k t t t n t t kk t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩L L 不存在 . (3)()111lim11nn a q a S qq→∞-==--(S 无穷等比数列}{11n a q - (||1q <)的和).143. 函数的极限定理lim ()x x f x a →=⇔0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.144.函数的夹逼性定理如果函数f(x),g(x),h(x)在点x 0的附近满足: (1)()()()g x f x h x ≤≤;(2)0lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==(常数),则lim ()x x f x a →=.本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立. 145.几个常用极限(1)1lim0n n →∞=,lim 0n n a →∞=(||1a <); (2)00lim x x x x →=,0011lim x x x x →=.146.两个重要的极限 (1)0sin lim1x xx→=;(2)1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=2.718281845…).147.函数极限的四则运算法则若0lim ()x x f x a →=,0lim ()x x g x b →=,则(1)()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦;(2)()()0lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦;(3)()()()0lim0x x f x ab g x b→=≠. 148.数列极限的四则运算法则 若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==,则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±;(2)()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅;(3)()lim0n n na ab b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数).§14. 导 数149.)(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商)000000()()()lim limx x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆.150.瞬时速度00()()()limlim t t s s t t s t s t t tυ∆→∆→∆+∆-'===∆∆.151.瞬时加速度00()()()limlimt t v v t t v t a v t t t∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 152.)(x f 在),(b a 的导数()dy dff x y dx dx''===00()()lim limx x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-==∆∆. 153. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.154.几种常见函数的导数 (1) 0='C (C 为常数). (2) '1()()n n x nx n Q -=∈. (3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln =';e a xx a log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a xx ln )(='.155.导数的运算法则(1)'''()u v u v ±=±. (2)'''()uv u v uv =+.(3)'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 156.复合函数的求导法则设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=,函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =,则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数,且'''x u xy y u =⋅,或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.§15. 复 数157.复数的相等,a bi c di a c b d +=+⇔==.(,,,a b c d R ∈)158.复数z a bi =+的模(或绝对值) ||z =||a bi +159.复数四则运算法则(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++; (2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-; (3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++; (4)2222()()(0)ac bd bc ada bi c di i c di c d c d+-+÷+=++≠++. 160.复数乘法的运算律对于任何123,,z z z C ∈,有 交换律:1221z z z z ⋅=⋅.结合律:123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅. 分配律:1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅ . 161.复平面上的两点间的距离公式12||d z z =-=(111z x y i =+,222z x y i =+).162.向量的垂直非零复数1z a bi =+,2z c di =+对应的向量分别是1OZ u u u u r ,2OZ u u u u r,则12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r ⇔12z z ⋅的实部为零⇔21zz 为纯虚数⇔2221212||||||z z z z +=+⇔2221212||||||z z z z -=+⇔1212||||z z z z +=-⇔0ac bd +=⇔12z iz λ= (λ为非零实数).163.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程20ax bx c ++=,①若240b ac ∆=->,则1,22b x a -=;②若240b ac ∆=-=,则122b x x a==-;③若240b ac ∆=-<,它在实数集R 内没有实数根;在复数集C内有且仅有两个共轭复数根240)x b ac =-<.。
数学选修一公式汇总
数学选修一公式汇总
以下是数学选修一的部分公式汇总:
1. 弧长公式:l = αr,其中α是弧对应的圆心角,r是圆的半径。
2. 圆的周长公式:C = 2πr,其中r是圆的半径。
3. 圆的面积公式:S = πr^2,其中r是圆的半径。
4. 球的表面积公式:S = 4πr^2,其中r是球的半径。
5. 球的体积公式:V = (4/3)πr^3,其中r是球的半径。
6. 圆锥的侧面积公式:S = πrl,其中r是底面圆的半径,l是母线长。
7. 圆锥的全面积公式:S = πr^2 + πrl,其中r是底面圆的半径,l是母线长。
8. 圆柱的侧面积公式:S = 2πrh,其中r是底面圆的半径,h是高。
9. 圆柱的全面积公式:S = 2πrh + 2πr^2,其中r是底面圆的半径,h是高。
10. 正弦定理:a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R为外接圆半径)。
11. 余弦定理:a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosA。
12. 射影定理:a = (bcosa)/cosB。
这些公式都是解决相应数学问题的重要工具,需要熟练掌握。
高中数学选修(理科)常用公式_(全国1卷版)
⾼中数学选修(理科)常⽤公式_(全国1卷版)⾼中(理科)数学选修部分常⽤公式(全国卷版)⼀、常⽤逻辑⽤语 1.四种命题:(1)原命题:若p 则q (2)逆命题:若q 则p(3)否命题:若p ?则q ? (4)逆否命题:若q ?则p ?(互为逆否关系的两个命题同真假:原命题与逆否命题,逆命题与否命题同真假) 2.如果p q ?,那么p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件注意:(1)⼩围?⼤围,⼤围?⼩围,(2)“p 的充分不必要条件是q ”?“q 是p 的充分不必要条件”“q p ,p q ?” 3.复合命题p q ∧、p q ∨、p ?的真假性(p ?即命题的否定):(1)当p 和q 为⼀真⼀假时,p q ∧为假,p q ∨为真;(2)p 和p ?的真假性相反 4.全称命题与特称命题. 若p :,()x M q x ∈成⽴,则p ?:00,()x M q x ?∈?成⽴⼆、圆锥曲线定义动点M 到两定点12,F F 的距离之和为2a (122F F a <),即:122MF MF a +=,(c a <)图形标准⽅程 22221x y a b +=(0)a b >> 22221y x a b+=(0)a b >> 围 a x a -≤≤,b y b -≤≤b x b -≤≤,a y a -≤≤长轴长 2a 短轴长 2b焦点、焦距 (,0)c ±、2c (0,)c ±、2c 顶点 (,0)a ±,(0,)b ±(,0)b ±,(0,)a ±离⼼率 ce a=(01e <<)准线 2a x c=±2a y c=±焦半径12MF F ?⾯积公式 122tan2MF F S b α=(其中12F MF α=∠)通径的长22b a2.双曲线注意:直线与圆锥曲线相交的弦长公式:(和韦达定理结合使⽤)12AB x x =-= 快速公式:AB =12AB y y =-= 快速公式:AB = (其中A 是指消去y 或x 后得到⼀元⼆次⽅程中的⼆次项系数)1. 概念:)(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商)000000()()()limlimx x x x f x x f x yf x y x x=?→?→+?-?''===??. 瞬时速度()v s t '=. 瞬时加速度()a v t '=.(注意这个物理意义)2. 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线⽅程是000()()()y f x f x x x '-=-.3. ⼏种常见函数的导数(1)0='C (C 为常数).(2)1(5)x x 1)(ln =';1(log )ln a x x a'=. (6)xx e e =')(;a a a x x ln )(='. 最好记住这三条常⽤的公式:211()x x '=- '= (ln )1ln x x x '=+4. 导数的运算法则:(1)[()]()Cf x Cf x ''= (2)[()()]()()f x g x f x g x '''±=±(3)[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+ (4)2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''-'=5. 复合函数的求导法则:若)(g ),(x u u f y ==,则()()x y f u g x '''=6. 函数的单调性:设函数)(x f y =在某个区间(,)a b 可导,若()0f x '>,则)(x f y =在(,)a b 上单调递增;若()0f x '<,则)(x f y =在(,)a b 上单调递减.逆命题:若()f x 在(,)a b 上是增函数,则'()0f x ≥;在(,)a b 上是减函数,则'()0f x ≤. 7. 求函数)(x f y =极值的⽅法与步骤:(1)求导数()f x ';(2)求⽅程()0f x '=的根;(3)画出x 、()f x '、()f x 的分布表格,并判断极⼤值、极⼩值四、推理与证明 1. 推理(1)合情推理:包含归纳推理(由特殊到⼀般的推理)和类⽐推理(由特殊到特殊的推理). (2)演绎推理:三段论(⼤前提、⼩前提和结论),由⼀般到特殊的推理. (3)合情推理得到的结论不⼀定正确,需要证明.演绎推理得到的结论⼀定正确(⼤前提和⼩前提正确的情况下). 2. 证明(1)直接证明:综合法(条件?结论)与分析法(结论?条件(恒成⽴))(2)间接证明:反证法(反设?⽭盾?推翻反设)(3)数学归纳法:①证明当n 取第⼀个值0n (0n ∈*N )时结论成⽴.②假设当n k =(k ∈*N ,且0k n ≥)时结论成⽴,证明当1n k =+时结论也成⽴.由①②可知,对任意0n n ≥,且n ∈*N 时,结论都成⽴. 五、计数原理1. 排列数:!(1)(2)(1)()!mn n A n n n n m n m =---+=-L2. 组合数:(1)(2)(1)()!3. 组合数的性质:(1)m n mn n C C -=;(2)11m m m n n n C C C -+=+(3)0122n n n n n n C C C C ++++=L ; 13502412n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=L L(4)11mm n n n C C m --=; 1231232nn nn n n C C C nC n -++++=?L (5)1121r r r r r r r r n n C C C C C ++++++++=L ;4. ⼆项式定理:011()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++L L (1)展开式中的通项(第1r +项):1r n r r r n T C a b -+=(2)⼆项式系数:rn C (1,2,,r n =L ),若n 为偶数,则展开式的中间⼀项12n T +的⼆项式系数最⼤;若n 为奇数,则展开式的中间两项12n T +与112n T ++的⼆项式系数最⼤;(3)⼆项式系数和与各项系数和⼆项式系数和:2n各项系数和的计算⽅法:令()na b +中的变量等于1例如:41(2)x+的⼆项式系数和为4216=,各项系数和为441(2)3811+==(令1x =)六、概率P A n=,基本事件有限,每个基本事件出现的可能性相同. m 表⽰事件A 包含的基本事件数,n 表⽰所有基本事件数.(2)⼏何概型的概率()A P A µµ=,基本事件⽆限,每个基本事件出现的可能性相同.A µ表⽰事件A 发⽣区域的⼏何度量,µ表⽰总区域的⼏何度量(如长度、⾯积、体积)2. 互斥事件与对⽴事件(1)概念理解:互斥事件——A B =?I ;对⽴事件——A B =?I 且()()1P A P B +=. (2)关系:对⽴的两个事件⼀定互斥,互斥的两个事件不⼀定对⽴. (3)概率加法公式:若事件A 与B 互斥,则()()()P A B P A P B =+U . 3. 相互独⽴事件,A B 及其同时发⽣的概率:()()()P AB P A P B =. 4. 条件概率:设A 与B 为两个事件,且()0P A >,则()(|)()P AB P B A P A =,其中(|)P B A 表⽰事件A 发⽣的条件下事件B 发⽣的概率.5. 离散型随机变量及其分布列(1)分布列性质:0i p ≥,1211nin i pp p p ==+++=∑L .(2)随机变量X 的数学期望(均值):11221ni in n i EX x px p x p x p ===+++∑L .(3)随机变量X 的⽅差:21()ni i i DX x EX p ==-∑2221122()()()n n x EX p x EX p x EX p =-+-++-L .(4)随机变量X 的均值与⽅差的性质:()E aX b aEX b +=+; 2()D aX b a DX +=. (5)⼆项分布(独⽴重复实验):~(,)X B n p ,EX np =,(1)DX np p =-在n 次试验中恰好成功k 次的概率()(1)k k n k(6)超⼏何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品数,则()k n k M N MnNC C P X k C --==,其中,n N M N ≤≤ 6. 正态分布:2~(,)X N µσ,其中µ表⽰总体平均值,σ表⽰标准差(1)正态总体函数()22()2x f x µσ--= ,(),x ∈-∞+∞ ①在正态分布中,当0µ=,1=时,叫做标准正态分布,记作~(0,1)X N .②函数()f x 的图象关于x µ=对称,()0f x >,()max f x =③函数()f x 的图象与x 轴围成的总⾯积为1,()()0.5P X P X µµ≤=>=④σ越⼤,函数()f x 的图象越“矮肥”;σ越⼩,函数()f x 的图象越“⾼瘦”(2)⼏个重要的概率:()0.6826P X µσµσ-<<+= (22)0.9544P X µσµσ-<<+= (33)0.9974P X µσµσ-<<+=七、数系的扩充与复数的引⼊ 1. 数系:*N N Z Q R C2. 复数的概念:形如a bi +(,)a b R ∈的数叫做复数,其中i 叫做虚数单位,21i =-,a 与b 分别叫做复数a bi +的实部和虚部.3. 复数a bi c di +=+的充要条件是a c =且b d =. 特例0a bi +=?0a b ==.4. 对于复数a bi +,当0b =时,它是实数;当0a =且0b ≠时,它是纯虚数.5. 复数的模:向量OZ uuu r的模,叫做复数z a bi =+的模,即z a bi =+= 6. 复数所在象限的确定:z a bi =+对应点(,)a b ,判断点(,)a b 所在的象限.7. 共轭复数:z a bi =+的共轭复数为z a bi =-.8. 复数加、减法法则:(a bi +)±(c di +)=()()a c b d i ±+±. 9. 复数乘、除法法则:(a bi +)(c di +)=()()ac bd bc ad i -++.a bi c di ac bd bc ad ic di c di cd +-++-=+-+. ⼋、统计案例1. 回归直线⽅程为ybx a =+⽤最⼩⼆乘法求得的线性回归⽅程系数公式: 1 122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yba y bx x x xnx====---==---∑∑∑∑=,(y bx a =+必过样本中⼼点(),x y )2. 残差公式:??i i i ey y =-;衡量模型拟合效果的⼀个指标:相关指数22121)1)ii nii y yR y y ==-=--∑∑((残差平⽅和21)niii y y=-∑(越⼩,2R (201R ≤≤)越接近于1,回归效果越好.2R 与r 的区别:2R 为相关指数,r 为相关系数,0r <时为负相关,0r >时为正相关,11r -≤≤,r 越接近于1,变量间的相关性就越强.3. 独⽴性检验的解题步骤:(1)写出列联表;(2)据公式代数求解2K 的值;(3)根据观测值2K 查表,如果20K k ≥,就推断两变量有关系,犯错误概率不超过P (即有1P -的把握推断两变量有关系);否则就认为在犯错误的概率不超过P 的前提下不能推断两变量有关系2(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++,(上表中的概率P 是指犯错误...的概率)九、坐标系与参数⽅程选讲1. 极坐标系的公式:222cos ,sin ,,tan (0)yx y x y x xρθρθρθ===+=≠. (θ表⽰极点O 和曲线上的点的连线与极轴的正⽅向所成的⾓) 2. 参数⽅程:(1)圆2()()x a y b r -+-=的参数⽅程:cos sin x a r y b r αα=+??=+?(α为参数);(α表⽰圆⼼和曲线上的点的连线与x 轴的正⽅向所成的⾓)(2)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数⽅程:cos sin x a y b αα=??=? (α为参数);*(3)抛物线22y px =的参数⽅程:222x pt y pt ?=?=?(t 为参数);*(4)双曲线22221x y a b -=的参数⽅程:sec tan x a y b αα=??=?(θ为参数).(1sec cos αα=);(5)直线00tan ()y y x x α-=-的参数⽅程:00cos sin x x t y y t αα=+??=+?(t 为参数).(t 表⽰点()00,P x y 到直线l 上的任意⼀点(,)M x y 的有向距离)圆⼼和曲线上的点的连线与x 轴的正⽅向所成的⾓)3. 空间直⾓坐标系:已知向量a =111(,,)x y z ,b =222(,,)x y z(1)空间向量的平⾏与垂直:a ∥b ?111222x y zx y z ==(222,,0x y z ≠)a ⊥b ?a g b 0=?1212120x x y y z z ++=(2)空间向量的模、距离公式:a=AB =(3)点(,,)x y z 关于x 轴对称的点为(,,)x y z --,关于y 轴对称的点为(,,)x y z --关于z 轴对称的点为(,,)x y z --,关于原点(0,0)对称的点为(,,)x y z --- 关于平⾯xOy 对称的点为(,,)x y z -,关于平⾯yOz 对称的点为(,,)x y z -,关于平⾯xOz 对称的点为(,,)x y z -,⼗、空间的⾓与空间的距离(向量法):设直线a 与b 的⽅向向量分别为,a b ,平⾯α与β的法向量分别为12,n n (1)异⾯直线a 与b 所成的⾓θ:则cos θ?=a b a b,(0,]2πsin cos ,θ?=<>=? a n a n a n ,[0,]2πθ∈(3)⼆⾯⾓l αβ--的平⾯⾓θ:1212cos θ?=n n n n ,[0,]θπ∈注意:⼆⾯⾓的平⾯⾓需要根据实际图形,判断“锐⾓”还是“钝⾓” (4)点P 到平⾯α的距离:11PA d ?=u u u r n n ,其中A α∈⼗⼀、补充公式与定理1. 斜率k 、⽐率λ、离⼼率e,11e λλ-=+(焦点在x 轴上的所有圆锥曲线都成⽴,若焦点在y轴,则改为11e λλ-=+2. 斜率12k k 为定值的两个定理:椭圆()222210x y a b a b+=>>上的关于原点对称的两定点为,A B ,点M 是椭圆上的动点,直线PQ 交椭圆于,P Q 两点,点N 是PQ 的中点,则22MA MB b k k a =-,22PQ ON b k k a=-;双曲线()222210,0x y a b a b-=>>关于原点对称的两定点为,A B ,点M 是双曲线上的动点,直线PQ 交双曲线于,P Q 两点,点N 是PQ 的中点,则22MA MB b k k a =,22PQ ON b k k a=.(以上两个定理若把椭圆和双曲线的焦点改在y 轴上,则,a b 的位置互换)3. 神奇的置换缔造完美的切线(适⽤于圆和圆锥曲线)(1)曲线上任意⼀点()11,P x y 的切线⽅程为:将原曲线⽅程按照以下⽅式“21x x x →,2()()()21y b y b y b -→--,12x x x +→,12y y y +→”置换得到. (2)过曲线外任意⼀点()00,P x y 引曲线的两条切线,切点A ,B 所在的直线⽅程为:将原曲线⽅程按照以下⽅式“20x x x →,20y y y →,()()()20x a x a x a -→--,()()()20y b y b y b -→--,02x x x +→,02y y y +→”置换得到.4. 求点A 关于直线0x y m ++=(0x y m -+=)的对称点A '可以⽤“x ,y 交叉置换法”快速求解. 例如求()3,2A 关于30x y -+=的对称点()00,A x y ',①把30x y -+=进⾏交叉置换0033x y y x =-??=+?,②()3,2A 代⼊即可求得()00,A x y '为()1,6A '-.(注意:当对称轴的斜率1k =±时才可以⽤此绝技,否则只能⽤传统的解⽅程组的⽅法).5. 复杂的导数问题常考“整体法”,关键是要想到整体函数()g x ,常见的()g x 有()()()()()g x xf x g x xf x f x ''=?=+;()()()()()2f x xf x f xg x g x x x '-'=?=;()()()()()()()2222g x f x x g x x f x xf x x xf x f x '''=??=+=+; ()()()()()x x g x e f x g x e f x f x ''=?=+; ()()()()()x xf x f x f xg x g x e e '-'=?=.。
高考必考理科数学必背公式
高考必考理科数学必背公式高考必考理科数学必背公式一、正余弦定理正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆的半径余弦定理:a2=b2+c2-2bc_cosA二、诱导公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系:sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα六:π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-ta nαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin (3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinα三、两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAt anB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-c tgA)四、倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a五、半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))六、和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin ((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB七、某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+ 82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1_2+2_3+3_4+4_5+5_6+6 _7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3高中数学学习方法1、课前预习:上课前要做预习,课前预习能提前了解将要学习的知识。
高中数学选修一公式大全
以下是高中数学选修一(人教版)的部分公式:
1. 静电力公式:$F = k\frac{Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}$
2. 电场力公式:$F = Eq$
3. 安培力公式:$F = \theta$(θ为B与L的倾角,当L⊥B时:$F =
BIL$,B//L时:$F = 0$)
4. 洛仑兹力公式:$f = \theta$(θ为B与V的倾角,当V⊥B时:$f = qVB$,V//B时:$f = 0$)
5. 圆的标准方程:(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 (a,b)是圆心坐标;圆的面积公式:S=πr^2;圆的周长公式:C=2πr。
6. 椭圆周长公式:l=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴,长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。
7. 椭圆面积公式:s=πab 椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。
8. 正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (R为三角形外接圆的半径);余弦定理:a^2=b^2+c^2-2bc*cosA。
9. 诱导公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k ∈Z)cot(2kπ+α)=cotα。
10. 诱导公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα。
这些是高中数学选修一的部分公式,建议查阅教辅书获取更多信息。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
高中(理科)数学选修部分常用公式(全国卷版)一、常用逻辑用语1.四种命题:(1)原命题:若p 则q (2)逆命题: 若q 则p(3)否命题:若p ⌝则q ⌝ (4)逆否命题:若q ⌝则p ⌝(互为逆否关系的两个命题同真假:原命题与逆否命题,逆命题与否命题同真假) 2.如果p q ⇒,那么p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件 注意:(1)小范围⇒大范围,大范围⇒小范围,(2)“p 的充分不必要条件是q ”⇔“q 是p 的充分不必要条件”⇔“q p ⇒,p q ⇒”3.复合命题p q ∧、p q ∨、p ⌝的真假性(p ⌝即命题的否定):(1)当p 和q 为一真一假时,p q ∧为假,p q ∨为真; (2)p 和p ⌝的真假性相反 4.全称命题与特称命题. 若p :,()x M q x ∀∈成立,则p ⌝:00,()x M q x ∃∈⌝成立 二、圆锥曲线 1.椭圆定义动点M 到两定点12,F F 的距离之和为2a (122F F a <), 即:122MF MF a +=,(c a <) 图形标准方程22221x y a b +=(0)a b >> 22221y x a b +=(0)a b >> 范围 a x a -≤≤,b y b -≤≤b x b -≤≤,a y a -≤≤长轴长 2a 短轴长 2b焦点、焦距 (,0)c ±、2c (0,)c ±、2c 顶点(,0)a ±,(0,)b ±(,0)b ±,(0,)a ±离心率ce a=(01e <<) 准线2a x c=±2a y c=±焦半径10MF a ex =+,20MF a ex =-10MF a ey =+,20MF a ey =-12MF F ∆面积公式 122tan2MF F S b α∆=(其中12F MF α=∠)通径的长 22b a2.双曲线定义动点M 到两定点12,F F 的距离之差的绝对值为2a (122F F a >)即:122F F M M a -=(c a >)图形标准方程22221x y a b -= 22221y x a b -= 范围 x a ≤-或x a ≥,y ∈Rx ∈R ,y a ≤-或y a ≥实轴长 2a 虚轴长 2b焦点、焦距 (,0)c ±、2c (0,)c ±、2c 顶点 (,0)a ±(0,)a ±渐近线 by x a=±a y x b=±离心率ce a=(1e >) 准线2a x c =±2a y c=±焦半径10F e M x a =+,20F e M x a =-10F e M y a =+,20F e M y a =-12MF F ∆面积公式122tan2MF F b S α∆=(其中12F MF α=∠)通径的长22b a小秘密焦点到渐近线的距离为b ;双曲线上的点到两渐近线的距离之积为2ab c ⎛⎫⎪⎝⎭注意:直线与圆锥曲线相交的弦长公式:(和韦达定理结合使用)22212121211()4AB k x x k x x x x =+⋅-=+⋅+- 快速公式:21AB k ∆=+A2121212221111()4AB y y y y y y k k=+⋅-=+⋅+- 快速公式:211AB k ∆=+A (其中A 是指消去y 或x 后得到一元二次方程中的二次项系数) 定义 动点P 到定点F 的距离等于到定直线l 的距离即:PF PP '=,(F 到l 的距离为p )标准 方程22y px =(0)p > 22y px =-(0)p > 22x py =(0)p > 22x py =-(0)p >图形范围 0x ≥0x ≤0y ≥ 0y ≤对称轴 x 轴y 轴焦点 准线(,0)2p (,0)2p- (0,)2p(0,)2p -三、导数及其应用1. 概念:)(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商)000000()()()limlimx x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆. 瞬时速度()v s t '=. 瞬时加速度()a v t '=.(注意这个物理意义)2. 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-.3. 几种常见函数的导数(1)0='C (C 为常数).(2)1()nn x nx -'=.(3)x x cos )(sin ='.(4)x x sin )(cos -='.(5)x x 1)(ln =';1(log )ln a x x a'=. (6)xx e e =')(;a a a x x ln )(='. 最好记住这三条常用的公式:211()x x '=- '= (ln )1ln x x x '=+4. 导数的运算法则:(1)[()]()Cf x Cf x ''= (2)[()()]()()f x g x f x g x '''±=±(3)[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+ (4)2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 5. 复合函数的求导法则:若)(g ),(x u u f y ==,则()()x y f u g x '''=6. 函数的单调性:设函数)(x f y =在某个区间(,)a b 可导,若()0f x '>,则)(x f y =在(,)a b 上单调递增;若()0f x '<,则)(x f y =在(,)a b 上单调递减.逆命题:若()f x 在(,)a b 上是增函数,则'()0f x ≥; 在(,)a b 上是减函数,则'()0f x ≤. 7. 求函数)(x f y =极值的方法与步骤:(1)求导数()f x '; (2)求方程()0f x '=的根;(3)画出x 、()f x '、()f x 的分布表格,并判断极大值、极小值 四、推理与证明 1. 推理(1)合情推理:包含归纳推理(由特殊到一般的推理)和类比推理(由特殊到特殊的推理). (2)演绎推理:三段论(大前提、小前提和结论),由一般到特殊的推理. (3)合情推理得到的结论不一定正确,需要证明.演绎推理得到的结论一定正确(大前提和小前提正确的情况下). 2. 证明(1)直接证明:综合法(条件⇒结论)与分析法(结论⇒条件(恒成立)) (2)间接证明:反证法(反设⇒矛盾⇒推翻反设) (3)数学归纳法:① 证明当n 取第一个值0n (0n ∈*N )时结论成立.② 假设当n k =(k ∈*N ,且0k n ≥)时结论成立,证明当1n k =+时结论也成立.由①②可知,对任意0n n ≥,且n ∈*N 时,结论都成立. 五、计数原理1. 排列数:!(1)(2)(1)()!mn n A n n n n m n m =---+=-2. 组合数:(1)(2)(1)!!!()!mn n n n n m n C m m n m ---+==-3. 组合数的性质:(1)m n mn n C C -=; (2)11m m m n n n C C C -+=+ (3)0122n n n n n n C C C C ++++=; 13502412n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=(4)11mm n n n C C m--=; 1231232nn nn n n C C C nC n -++++=⋅(5)1121r r rr r r r r n n C C C C C ++++++++=;4. 二项式定理:011()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++(1)展开式中的通项(第1r +项):1r n r rr n T C a b -+=(2)二项式系数:rn C (1,2,,r n =), 若n 为偶数,则展开式的中间一项12n T +的二项式系数最大;若n 为奇数,则展开式的中间两项12n T +与112n T ++的二项式系数最大;(3)二项式系数和与各项系数和二项式系数和:2n 各项系数和的计算方法:令()na b +中的变量等于1例如:41(2)x+的二项式系数和为4216=,各项系数和为441(2)3811+==(令1x =) 六、概率1. 古典概型与几何概型 (1)古典概型的概率()mP A n=,基本事件有限,每个基本事件出现的可能性相同. m 表示事件A 包含的基本事件数,n 表示所有基本事件数.(2)几何概型的概率()AP A μμ=,基本事件无限,每个基本事件出现的可能性相同. A μ表示事件A 发生区域的几何度量,μ表示总区域的几何度量(如长度、面积、体积)2. 互斥事件与对立事件 (1)概念理解:互斥事件——AB =∅; 对立事件——A B =∅且()()1P A P B +=.(2)关系:对立的两个事件一定互斥,互斥的两个事件不一定对立. (3)概率加法公式:若事件A 与B 互斥,则()()()P AB P A P B =+.3. 相互独立事件,A B 及其同时发生的概率:()()()P AB P A P B =.4. 条件概率:设A 与B 为两个事件,且()0P A >,则()(|)()P AB P B A P A =, 其中(|)P B A 表示事件A 发生的条件下事件B 发生的概率.5. 离散型随机变量及其分布列 (1)分布列性质:0i p ≥,1211nin i pp p p ==+++=∑.(2)随机变量X 的数学期望(均值):11221ni in n i EX x px p x p x p ===+++∑.(3)随机变量X 的方差:21()ni i i DX x EX p ==-∑2221122()()()n n x EX p x EX p x EX p =-+-++-.(4)随机变量X 的均值与方差的性质:()E aX b aEX b +=+; 2()D aX b a DX +=. (5)二项分布(独立重复实验):~(,)X B n p ,EX np =,(1)DX np p =-在n 次试验中恰好成功k 次的概率()(1)k k n kn P X k C p p -==-,0,1,,k n =注意:X 表示试验成功的次数(6)超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品数,则()k n k M N MnNC C P X k C --==,其中,n N M N ≤≤ 6. 正态分布:2~(,)X N μσ,其中μ表示总体平均值,σ表示标准差(1)正态总体函数()22()2x f x μσ--= ,(),x ∈-∞+∞①在正态分布中,当0μ=,1σ=时,叫做标准正态分布,记作~(0,1)X N . ②函数()f x 的图象关于x μ=对称,()0f x >,()max f x =③函数()f x 的图象与x 轴围成的总面积为1,()()0.5P X P X μμ≤=>= ④σ越大,函数()f x 的图象越“矮肥”;σ越小,函数()f x 的图象越“高瘦” (2)几个重要的概率:()0.6826P X μσμσ-<<+= (22)0.9544P X μσμσ-<<+= (33)0.9974P X μσμσ-<<+=七、数系的扩充与复数的引入 1. 数系:*N N Z Q R C ⊆⊆⊆⊆⊆2. 复数的概念:形如a bi +(,)a b R ∈的数叫做复数,其中i 叫做虚数单位,21i =-,a 与b 分别叫做复数a bi +的实部和虚部.3. 复数a bi c di +=+的充要条件是a c =且b d =. 特例0a bi +=⇔0a b ==.4. 对于复数a bi +,当0b =时,它是实数;当0a =且0b ≠时,它是纯虚数.5. 复数的模:向量OZ 的模,叫做复数z a bi =+的模,即z a bi =+=6. 复数所在象限的确定:z a bi =+对应点(,)a b ,判断点(,)a b 所在的象限.7. 共轭复数:z a bi =+的共轭复数为z a bi =-.8. 复数加、减法法则:(a bi +)±(c di +)=()()a c b d i ±+±.9. 复数乘、除法法则:(a bi +)(c di +)=()()ac bd bc ad i -++.a bi c di +=+22()()()()()()a bi c di ac bd bc ad ic di c di cd +-++-=+-+. 八、统计案例1. 回归直线方程为ˆˆˆybx a =+用最小二乘法求得的线性回归方程系数公式: 1122211()()ˆˆˆ()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yba y bx x x xnx====---==---∑∑∑∑=,(ˆˆˆy bx a =+必过样本中心点(),x y )2. 残差公式:ˆˆi i i ey y =-;衡量模型拟合效果的一个指标:相关指数22121ˆ)1)niii nii y yR y y ==-=--∑∑((残差平方和21ˆ)niii y y=-∑(越小,2R (201R ≤≤)越接近于1,回归效果越好.2R 与r 的区别:2R 为相关指数,r 为相关系数,0r <时为负相关,0r >时为正相关, 11r -≤≤,r 越接近于1,变量间的相关性就越强.3. 独立性检验的解题步骤: (1)写出列联表;(2)据公式代数求解2K 的值;(3)根据观测值2K 查表,如果20K k ≥,就推断两变量有关系,犯错误概率不超过P (即有1P -的把握推断两变量有关系);否则就认为在犯错误的概率不超过P 的前提下不能推断两变量有关系22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++,(上表中的概率P 是指犯.错误..的概率) 九、坐标系与参数方程选讲1. 极坐标系的公式:222cos ,sin ,,tan (0)yx y x y x xρθρθρθ===+=≠. (θ表示极点O 和曲线上的点的连线与极轴的正方向所成的角) 2. 参数方程:(1)圆222()()x a y b r -+-=的参数方程:cos sin x a r y b r αα=+⎧⎨=+⎩(α为参数);(α表示圆心和曲线上的点的连线与x 轴的正方向所成的角)(2)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程:cos sin x a y b αα=⎧⎨=⎩ (α为参数);*(3)抛物线22y px =的参数方程:222x pt y pt⎧=⎨=⎩(t 为参数);*(4)双曲线22221x y a b -=的参数方程:sec tan x a y b αα=⎧⎨=⎩(θ为参数).(1sec cos αα=);(5)直线00tan ()y y x x α-=-的参数方程:00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数).(t 表示点()00,P x y 到直线l 上的任意一点(,)M x y 的有向距离) 圆心和曲线上的点的连线与x 轴的正方向所成的角)3. 空间直角坐标系:已知向量a =111(,,)x y z ,b =222(,,)x y z (1)空间向量的平行与垂直:a ∥b ⇔111222x y z x y z ==(222,,0x y z ≠) a ⊥b ⇔a b 0=⇔1212120x x y y z z ++=(2)空间向量的模、距离公式:a=AB =(3)点(,,)x y z 关于x 轴对称的点为(,,)x y z --,关于y 轴对称的点为(,,)x y z --关于z 轴对称的点为(,,)x y z --,关于原点(0,0)对称的点为(,,)x y z --- 关于平面xOy 对称的点为(,,)x y z -,关于平面yOz 对称的点为(,,)x y z -, 关于平面xOz 对称的点为(,,)x y z -,十、空间的角与空间的距离(向量法):设直线a 与b 的方向向量分别为,a b ,平面α与β的法向量分别为12,n n (1)异面直线a 与b 所成的角θ:则cos θ⋅=⋅a b a b,(0,]2πθ∈(2)直线a 与平面α所成的角θ:111sin cos ,θ⋅=<>=⋅ a n a n a n ,[0,]2πθ∈(3)二面角l αβ--的平面角θ:1212cos θ⋅=⋅n n n n ,[0,]θπ∈注意:二面角的平面角需要根据实际图形,判断“锐角”还是“钝角” (4)点P 到平面α的距离:11PA d ⋅=n n ,其中Aα∈十一、补充公式与定理1. 斜率k 、比率λ、离心率e ,11e λλ-=+(焦点在x 轴上的所有圆锥曲线都成立,若焦点在y 轴,则改为11e λλ-=+2. 斜率12k k 为定值的两个定理:椭圆()222210x y a b a b+=>>上的关于原点对称的两定点为,A B ,点M 是椭圆上的动点,直线PQ 交椭圆于,P Q 两点,点N 是PQ 的中点,则22MA MBb k k a =-,22PQ ON b k k a=-;双曲线()222210,0x y a b a b-=>>关于原点对称的两定点为,A B ,点M 是双曲线上的动点,直线PQ 交双曲线于,P Q 两点,点N 是PQ 的中点,则22MA MBb k k a =,22PQ ON b k k a=. (以上两个定理若把椭圆和双曲线的焦点改在y 轴上,则,a b 的位置互换)3. 神奇的置换缔造完美的切线(适用于圆和圆锥曲线) (1)曲线上任意一点()11,P x y 的切线方程为:将原曲线方程按照以下方式“21x x x →,21y y y →,()()()21x a x a x a -→--,()()()21y b y b y b -→--,12x x x +→,12y y y +→”置换得到. (2)过曲线外任意一点()00,P x y 引曲线的两条切线,切点A ,B 所在的直线方程为:将原曲线方程按照以下方式“20x x x →,20y y y →,()()()20x a x a x a -→--,()()()20y b y b y b -→--,02x x x +→,02y y y +→”置换得到. 4. 求点A 关于直线0x y m ++=(0x y m -+=)的对称点A '可以用“x ,y 交叉置换法”快速求解. 例如求()3,2A 关于30x y -+=的对称点()00,A x y ',①把30x y -+=进行交叉置换0033x y y x =-⎧⎨=+⎩,②()3,2A 代入即可求得()00,A x y '为()1,6A '-. (注意:当对称轴的斜率1k =±时才可以用此绝技,否则只能用传统的解方程组的方法).5. 复杂的导数问题常考“整体法”,关键是要想到整体函数()g x ,常见的()g x 有 ()()()()()g x xf x g x xf x f x ''=⇒=+;()()()()()2f x xf x f xg x g x x x '-'=⇒=; ()()()()()()()2222g x f x x g x x f x xf x x xf x f x '''=⋅⇒=+=+⎡⎤⎣⎦;()()()()()x x g x e f x g x e f x f x ''=⇒=+⎡⎤⎣⎦;()()()()()x x f x f x f x g x g x e e '-'=⇒=.。