换底公式的推导及特殊换底公式及练习
2.2.1对数的换底公式及其推论 高一数学课件
补充练习
1、已知log23=a,3b=7, 试用 的式子表示 1256 、已知 试用a,b的式子表示 的式子表示log
1 1 2、已知 a=5b=A,且 a + b = 2 ，则A＝ 、已知3 且 ＝
ab + 3 答案： 答案： a+2
15
。
1 a 3、2 + 、 比lg 大 loga 10 100
对数换底公式
一、对数换底公式
log c b log a b = log , c > 0, c ≠ 1, b > 0
）
对数换底公式的作用是什么？ 对数换底公式的作用是什么？
把不同底的对数转化成同底对数问题
二、对数换底公式证明
设 得 即
log a b = x
两边取以
三、对数换底公式常见变形： 对数换底公式常见变形：
（1） ）
1 log a b = log b a
m
m （2） log n b = ） log a b a n
对数换底公式
例题： 例题：已知
log18 2 = a
，试用a表示 log 3 试用 表示
2.
log18 2 log18 2 2 log18 2 解： log 3 2 = = = 18 log18 3 1 log18 9 log18 2 2
4
。
作 业
p74 4,
p75 11
x
0.625 = 0.933
x
对数换底公式引入 如何由
（１）
x = log0.933 0.625
x
0.625 = 0.933
x
的值？ 求 x 的值？
（２）两边取以10为底的对数： 为底的对数： 两边取以 为底的对数
高一数学对数的换底公式及其推论
复习
对数的运算法则
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga (MN) loga M loga N (1) M loga loga M loga N (2) N n loga M nloga M(n R) (3)
对数换底公式
logm N loga N logm a
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0) 如何证明呢?
两个推论:
设 a, b > 0且均不为1,则
1) loga b logb a 1
n 2) log am b log a b m
n
你能证明吗?
例题与练习
例1、计算：
1)
log8 9 log27 32
1log0.2 3
4
2) 5
3)
log4 3 log9 2 log1 32
2
例2．已知
log2 3 a, log3 7 b
用a, b 表示 log42 56
例3 生物机体内碳14的半衰期为
5730年,湖南长沙马王堆汉墓
女尸出土时碳14的残余量约 占原始含量的76.7%,试推算
wod19xqy
子的口气，应该是与20年前楚归国的一桩宫廷秘闻有关，我本想继续问下去，但萧公子没说什么，只是让我告诉你，必须保护 好公子。”“初月，我实话告诉你吧，我从萧煜痕那偷到一粒灵芝草配置的解毒丸，让玉瑶带回去了，只怕这会哥哥已经服下 了。”“这灵芝丸虽能解毒不假，但是60你这么做太冒险了。你知道萧煜痕为什么明明知道公子中了壮阳丸的毒，却迟迟不给 我们解药吗？”“难道不是他居心叵测，意图染指我们雪城吗？”“并非，初月之前就说过是有人故意为之栽赃给萧公子的， 您想想，萧公子平日呆在天香楼里，连我们素日都不知道雪城有这么一号人物，为什么在公子中毒后处处有关联。第二，公子 在进天香楼前已经是迷迷糊糊的状态，又是什么人能从天香楼给一个不省人事的人喂进这壮阳丸的呢？其次，我在萧煜痕处翻 了不少古籍资料，这壮阳丸之毒不是一两日就能积累成如此，想必自然是有府里的人在给公子服这种药，以达到不可告人的目 的。”“初月，你是不是已经知道是谁下的毒了？”“60，初月不敢妄加预言，60七窍玲珑心自然想得到是谁，只是若是处置 不当，势必会让雪城处在一个内忧外患的境地。”“初月，没想到我纪雪芙聪明一世，关键时候竟然还不如你想的透彻，我知 道是谁了，待我回雪城府，一定想个法子好好治治他。”第022章 还恩君莫急 “60，这灵芝丸的解药一旦给公子服下，就得 三个月药不能停，这是以毒攻毒的法子，只是60不知其药理仓促给公子服下，那下一丸药60又要如何取？”“什么？萧煜痕竟 如此卑鄙？”“60，这些日子在萧公子身边懂了很多，我们雪城之所以能任人鱼肉完全是因为我们太封闭的活在自己的世界里， 所以奴婢恳求60，让初月去萧公子的暗卫营里历练，强大自己再来保护60。”“初月，你这又是何苦？你我自幼一起长大，你 当我不知你对哥哥的心意吗？如今哥哥正在病中，你舍得就这么放下吗？”“60，初月自小就知道与公子60的身份差距，老太 爷公子和60都对初月极好，今生都无以为报，怎么还能肖想和公子在一起呢？初月的心意已决，还望60成全。”“唉，你当真 想好了？那萧煜痕又可愿意收你？”“60，且不论初月一心为雪城的赤胆忠心，连初月都能看出来萧公子对60的上心程度，若 是60肯去说，萧公子自然是不会拒绝的，只是60，萧公子真的不是您想的那种人，不论他对别人如何，对60怎样60自然是比奴 才清楚，能因为60你还能爱惜60您身边的丫鬟初月我，这种爱屋及乌的深情，60还是要早些明白才是。”“初月你不必再说了， 你知道我的命运的，我不论嫁给谁都是带有家族利益的，我是没有权利选择自己嫁给谁而不嫁给谁的，所以此话日后
第2课时-换底公式
14
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1， ∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215， y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
15
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
[发散思维]
21
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
反思感悟 关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关 数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算．
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化 为对数运算，从而简化复杂的指数运算．
18
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
(2)解：由 3a＝4b＝36， 得 a＝log336，b＝log436， 由换底公式得1a＝log363，1b＝log364， ∴2a＋1b＝2log363＋log364＝log3636＝1.
19
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
A．1a＋1b＝1
B．2a＋1b＝lg 20
C．1a＋2b＝2
D．1a＋2b＝12
解析：AB a＝log210，b＝log510，1a＋1b＝log1210＋log1510＝lg 2＋lg 5＝1，
故 A 正确；
2a＋1b＝log2210＋log1510＝lg 4＋lg 5＝lg 20，故 B 正确；1a＋2b＝log1210＋log2510 ＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故 C，D 都不正确．
2．已知 2x＝3，log483＝y，则 x＋2y 的值为( A )
对数的换底公式及其推论(含参考答案)
一、复习引入： 对数的运算法则 如果 a>0，a 1，M>0， N>0有：
二、新授内容： 1. 对数换底公式 ： log a N log m N (a>0,a 1， m>0,m 1,N>0) log m a
证明 ：设 log a N=x,则 a x =N
两边取以 m为底的对数： log m a x log m N
2
3=a，则
1 a
log3 2 , 又∵ log 3 7=b,
∴ log 42 56 log 356 log 3 7 3 log 3 2
ab 3
log 3 42 log 3 7 log 3 2 1 ab b 1
5 例 2 计算：① 1 log 0.2 3 ② log 4 3 log 9 2 log 1 4 32
1．证明： log a x 1 log a b log ab x
证法 1：设 log a x p ， log ab x q ， log a b r
则： x a p x (ab) q a qb q b a r
∴ a p ( ab) q a q(1 r ) 从而 p q(1 r )
∵ q 0 ∴ p 1 r 即： log a x 1 log a b （获证）
x log m a log m N
从而得： x log m N ∴ log a N log m N
log m a
log m a
2. 两个常用的推论 :
① log a b log b a 1， log a b log b c log c a 1
② log am b n
n m
log
a
b
（a,b>0
高一数学对数的换底公式及其推论
4
解：二) log4 3 log2 8 log2 4 log2 4 log 1 log2 2 3 9 3 1 2 2 ( 2) ( 1 ) 2 3 1 4 2 2 2
作业：课本P74的4（3）、5
1.课本P74，第1,2,3,4,5,7题 1．求值：
3) log4 3 log9 2 log1
2
32
3 3） 2
条件求值
例2．已知
用a, b 表示
log2 3 a, log3 7 b
l og6 21
l og3 21 l og3 ( 3 7) 解： l og6 21 l og3 ( 2 3) l og3 6
l og3 3 l og3 7 l og3 2 l og3 3
(log2 5 log4 0.2)(log5 2 log25 0.5)
2．若 log3 4 log4 8 log8 m log4 2,求m
3 若l og 8 3 p, l og 3 5 q,
2.各小组数学负责人17:50办公室
用p, q表 示 l g5
语文
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附赠 中高考状元学习方 法
前 言 高考状元是一个特殊的群体，在许
多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺 目的星星那样遥不可及。但实际上他们和 我们每一个同学都一样平凡而普通，但他 们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之 处就是在学习方面有一些独到的个性，又 有着一些共性，而这些对在校的同学尤其 是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
2
小结:
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0) 三个推论:
对数的换底公式课件
真数必须大于0
换底公式中的真数必须大于0，因为对数定义域的限 制。
换底公式使用时的注意事项
正确选择底数
选择适当的底数可以帮助简化计算， 例如在科学计算中常用以10为底或以
e为底的换底公式。
避免计算错误
换底公式涉及多个对数的运算，容易 出错，需要仔细核对每一步的计算结
推导过程中需要特别注意处理对数的运算次序、底数和指数 的关系，以及不同底数之间的转换关系，以确保推导的正确 性和严谨性。
换底公式证明
换底公式的证明主要基于对数的定义 和性质，通过数学演绎推理的方法进 行证明。证明过程中需要利用已知的 对数运算法则和性质，逐步推导出换 底公式。
证明的关键在于理解对数的基本性质， 掌握对数运算法则的应用，以及能够 灵活运用数学演绎推理的方法。
03
换底公式的应用
利用换底公式进行对数计算
01
换底公式可以将对数计算从一种底数转换为另一种底数，简化 计算过程。
02
利用换底公式可以快速比较不同底数对数值的大小，有助于解
决一些数学问题。
在科学计算中，换底公式可以用于将不同单位或不同来源的数
03
据统一到相同的对数底数下，便于分析和比较。
利用换底公式解决实际问题
与对数的运算律结合
换底公式可以与对数的运算律结合使用，如 log_a(m^n) = n * log_a(m)，log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)等。
与指数和对数互化结合
换底公式可以与指数和对数互化的性质结合使 用，如e^(log_a(b)) = b，log_a(e^b) = b等。
05
4.2 换底公式
六、公式推论
推论1
1 logb a loga b
如何证明
推论2
logam bn
n m loga b
如何证明
五、知识应用
题型 利用换底公式化简求值 例 1 计算：（1） log9 27 ； （2） log8 9 log27 32
解法二:
(1)
log9
27
log32
33
3 2
log3
3
证 两证明边明取: 设二以x：aN=为l=设o底bgxb.lN的loo,g根g对aa据N数b 对,得数x,定义,有换 换底 成根 写 两2公新x据 成 边对 指 取1式底5数 数 常的 式 用好可定 ， 对神任义 得 数,,得奇意
而 由因则所所l于为ogl以b以xoa≠b=gll1xlooNl=oa,ogg则xggNaalbbNNolNogN==bg,ax所lxbaolxb,og所以≠lgalol0aboo以bg,xglxg解..oaaagb出NbblNox.得globllogoNggaaxabNbx原 真.lloogg底 数aa所xNb加加l以g.2x底底lgl变变lgg11525分分. 母子
98logll5gg133227
lglgll1gg21232523
llgllggg32313235
lg lg
1
3 5
lg 53 lg 2
lg32lg5 lg23lg
23lglg5335llgg1
3 2
19105
法法二二：：lloogg928121lo5g
l3o2 g273
(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用 运算法则时，可统一化成同一个底数为底的对数，再根 据运算法则进行化简或求值.
高一数学对数的换底公式及其推论
马王堆汉墓的年代.
作业：课本P75的11,12
补充：1．求值：
(log2 5 log4 0.2)(log5 2 log25 0.5)
2．若 log3 4 log4 8 log8 m log4 2 ,求m
3．若log
8
Байду номын сангаас3=p,
log
3
5=q ,
用p,q表示 lg 5
； / 河源整形医院 河源整形美容 河源激光整形美容 河源医学整形整容 望都无法实现，冰凝真是对自己又恨又恼，但她更痛恨这受制于人的王府生活。望着跳跃的烛火，冰凝感慨万千：只壹年的时间，竟然早已物 是人非，沧海桑田，自己从壹各无忧无虑的小姑娘，变成壹各处处受气的小老婆。这么大的落差，实在是需要她用很长、很长的壹段时间来消 化，来适应。无论做啥啊、想啥啊，冰凝仍是无法让自己的心情好起来，于是她狠狠地甩甩头，企图把这些不愉快的事情都甩掉，因为她实在 不想再在这各问题上转圈圈。那就想点儿别的事情吧！可是，无论她怎么转念，这念想都要转到宝光寺上面。去年施粥的情景还历历在目，宝 光寺残垣断壁的样子时时地浮现眼前。她太惦记宝光寺咯：庙宇重建得好不好？僧人们的生活苦不苦？香客们去得多不多？越想，却越是觉得 不踏实。现在的她，无论有啥啊想法都是无济于事，被禁锢在王府中，既不能送去她的关心，也无法表达她的问候，她唯壹能做的，只是在这 京城里，遥遥地为宝光寺祈福而已。王爷是参惮礼佛之人，因此王府里建有专门的佛堂――万安堂。看看沙漏，三更天都快要过完咯，佛堂应 该没有人咯吧。于是冰凝唤来吟雪，两各人穿戴整齐，她要去佛堂给宝光寺烧几柱香。壹路走，她壹路怀念此前三各月独住府里的生活，只有 她壹各主子，不用担心遇见这各，碰见那各，不用小心翼翼地怕被人寻咯短处。哪像现在，即使去各佛堂还要小心翼翼，躲到深更半夜。自由 自在的日子真是越想越惬意，越想越令她怀念。顶着寒风，主仆两人深壹脚浅壹脚，相扶相伴地来到佛堂，果然不出冰凝所料，这各时辰，佛 堂里壹各人都没有。自从众人从园子里回来，也只有在深更半夜，冰凝才能自由自在地做壹回自己。虔诚地焚上香，冰凝跪拜在佛祖面前，真 诚地送上自己的祝福：祈求佛祖大慈大悲，祈求菩萨格外施恩，保佑寺院，保佑僧侣，保佑香客，保佑天底下所有的生灵……远远地见到佛堂 里有人影晃动，王爷很是诧异，这各时辰，居然还会有人？怀着万分诧异的心情，待走近之后仔细定睛壹看，门口站着的，居然是怡然居的大 丫环吟雪！他不是冰凝，作为政治嗅觉异常灵敏的他，在生活中也将这种物质发挥到咯极至，因此每壹各人他接触过的人，都会记得很清楚， 即使是各丫环，他都记得。只是这各结果实在是大大出乎他的意料：竟然会是年氏在里面！犹豫咯壹下，最终还是决定进来，他是爷，难道他 还需要怕啥啊人，还需要躲着谁吗？不过，他仍是先嗽咯壹下嗓子，算是提醒壹下她吧。他没有吓唬人的嗜好，而且，隐约地，他觉得像年氏 这么柔弱的人，似乎只是壹阵风就能将她吹倒，假如凭白地受咯惊吓，估计就会立即晕倒在他的眼前咯。她要是昏倒咯，就需要他去扶她，甚 至
对数的换底公式推导
对数的换底公式推导
对数的换底公式是数学中一个很重要的公式，它可以用来计算不同对数之间的关系，成为科学研究中不可缺少的一部分。
本文将通过证明换底公式来帮助读者理解其中的原理。
首先，我们要明确一下关于对数的概念，以及换底公式的定义。
对数（log）是一个抽象概念，它表示两个数字之间的关系。
换底公式（logab = logcb / logca）指的是两个对数（logab logcb)之间的关系，即logab于logcb以logca商。
接下来，我们来证明换底公式。
设有两个数ab，其中ab0。
由于logab = logcb / logca，我们可以认为：
b = c^(logca logcb )
下一步，我们可以将b两边同时乘以a：
ab = c^(logca logcb ) a
我们知道，ab于cn幂。
我们可以进一步将上式简化为：
ab = c^(logca + logcb )
以上就是换底公式的证明。
换底公式的应用不仅限于简单的计算，它也可以用于更深层次的研究。
比如，由于logar = logbr + logcr，因此可以用换底公式推导出ab 之间的指数表达式。
此外，换底公式还可以用于方程解等数学问题。
比如，在一个简单的方程中，如果已知ab对数，则可以通过换底公式求解方程。
综上所述，换底公式是一个重要的数学公式，它不仅可以用于简
单的计算，还可以用于更深层次的研究，从而为科学研究带来更多可能性。
高一数学对数的换底公式及其推论
复习
对数的运算法则
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga (MN) loga M loga N (1) M loga loga M loga N (2) N n loga M nloga M(n R) (3)
对数换底公式
logm N loga N logm a
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0) 如何证明呢?
两个推论:
设 a, b > 0且均不为1,则
1) loga b logb a 1
n 2) log am b log a b m
n
你能证明吗?
例题与练习
马王堆汉墓的年代.
作业：课本P75的11,12
补充：1．求值：
(log2 5 log4 0.2)(log5 2 log25 0.5)
2．若 log3 4 log4 8 log8 m log4 2 ,求m
3．若log
8
3=p,
log
3
5=q ,
用p,q表示 lg 5
； https:///brands/4003.html 新加坡妈妈烤包 新加坡妈妈烤包加盟；
例1、计算：
1)
log8 9 log27 32
1log0.2 34 Nhomakorabea2) 5
3)
log4 3 log9 2 log1 32
2
例2．已知
log2 3 a, log3 7 b
用a, b 表示 log42 56
例3 生物机体内碳14的半衰期为
5730年,湖南长沙马王堆汉墓
换底公式推导
换底公式推导换底公式是数学中常用的公式之一，它在计算数学中的对数运算时非常有用。
通过换底公式，我们可以将一个对数的底数转换为另一个底数，从而使计算更加方便。
在本文中，我们将推导换底公式的数学推导过程。
首先，我们先来回顾一下对数的定义。
对数是指以某个数（称为底数）为底的指数。
例如，以底数为2的对数，就是求解下面的方程：2^x = y其中，x为对数，y为底数。
根据这个定义，我们可以得到下面的关系：log2 y = x其中，log2表示以底数为2的对数。
接下来，我们介绍换底公式的一般表达式。
设底数为a的对数为x，底数为b的对数为y，底数为c的对数为z，那么根据换底公式，我们可以得到如下的关系：loga c = logb c / logb a这个公式可以帮助我们在不同底数之间转换对数。
接下来，我们将推导这个公式的过程。
首先，我们有两个对数方程：a^x = cb^y = c我们希望找到一个关系将x和y联系起来。
我们可以将第一个方程两边取以底数为b的对数，得到：logb (a^x) = logb c根据对数的性质，我们可以将指数移到对数的前面，得到：x logb a = logb c同样地，我们可以对第二个方程进行同样的操作，得到：y logb b = logb c由于logb b = 1，所以我们可以将上式简化为：y = logb c由于我们的目标是将x和y联系起来，所以我们需要将x表示为y的函数。
为此，我们将x和y进行交换，得到：x = loga c / loga b这就是我们所要推导的换底公式。
通过这个公式，我们可以将底数为a的对数转换为底数为b的对数。
公式右边的分式表示了从底数为a的对数到底数为b的对数的转换系数。
接下来，让我们举个例子来说明换底公式的用法。
假设我们要计算log4 16的值，但是我们知道计算底数为4的对数不容易。
这时，我们可以使用换底公式，将底数为4的对数转换为底数为2的对数。
根据换底公式，我们有：log4 16 = log2 16 / log2 4我们知道log2 16 = 4，log2 4 = 2，代入上式得到：log4 16 = 4 / 2 = 2通过换底公式，我们得到了底数为4的对数log4 16的值为2。
指数函数换底公式推导
指数函数换底公式推导
指数函数换底公式是用来将一个指数函数的底数换成另一个底数的公式。
假设我们有一个指数函数 y = a^x，我们想要将其底数a 换成 b，我们可以利用换底公式来表示为 y = b^x =
(a^x)/(a^(log_a(b)))。
下面我将从多个角度解释换底公式的推导过程。
首先，我们知道对数的定义是，如果 a^x = y，那么 log_a(y) = x。
利用这个定义，我们可以推导换底公式。
假设我们有一个指数函数 y = a^x，我们想要将其底数 a 换成 b，我们可以表示为 y = b^x。
现在我们来推导这个过程。
首先，我们知道 log_a(y) = x，根据对数的性质，我们可以将其转化为指数形式，即 a^x = y。
现在我们想要将底数 a 换成 b，我们可以将上述等式两边取对数，得到 log_b(a^x) = log_b(y)。
根据对数的性质，我们知道 log_b(a^x) = x log_b(a)。
将这个等式代入前面的等式，我们得到 x log_b(a) = log_b(y)。
进一步变换得到 x = (log_b(y))/(log_b(a))，这就是指数函数换底公式。
换底公式的推导过程就是利用对数的性质和定义，将原指数函
数的底数换成另一个底数的过程。
通过这个推导过程，我们可以清晰地理解换底公式的原理和推导方法。
总结一下，指数函数换底公式是通过对数的性质和定义推导得到的，可以帮助我们将一个指数函数的底数换成另一个底数。
这个公式在数学和科学领域中有着重要的应用，能够帮助我们简化计算和分析复杂的指数函数问题。
对数换底公式推导
对数换底公式推导对数换底公式是一种有用的数学公式，可以快速从一种底数（如2）更改为另一种底数，以便解决复杂的数学问题。
对数换底公式可以起到辅助解决这些问题的作用，也可以用于各种复杂的数学演算。
本文将结合实例来加深对换底公式的理解，并讨论推导过程。
对数换底公式的推导首先，给出对数换底公式的通式：logaX = logbX/logbA其中，“logaX”表示以a为底的X的对数，“logbX”表示以b为底的X的对数，“logbA”表示以b为底的A的对数。
这个公式可以用来换算出任意一种底数下的任意一个数的对数。
要推导出这个公式，需要考虑两个步骤：第一步：以a为底，将X的对数表示为幂函数，即：X = A^(logaX)第二步：以b为底，将X的对数表示为幂函数，即：X = B^(logbX)结合上面两个步骤，得到：A^(logaX) = B^(logbX)将A和B都取以b为底的对数，得到：logbA^(logaX) = logbB^(logbX)化简得到：logbA * logaX = logbB * logbX从而得到：logaX = logbX/logbA实例验证下面利用实例来加深对换底公式的理解。
假设现在有个数为1024，以2为底的对数是10，问它以8为底的对数（log81024）是多少？解：根据换底公式，log81024=log210/log28=10/3=3.33得出结论：log81024=3.33结论本文介绍了对数换底公式的推导过程，并利用实例加深了读者对该公式的理解。
由于换底公式可以方便地从一种底数（如2）更改为另一种底数（如8），因此在解决各种复杂的数学问题时，可以起到辅助解决这些问题的作用。
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例4 若lg2=m，lg 3 n，求log512的值.
解：log5 12
lg12 lg 5
lg 4 lg 3 lg 10
lg 4 lg 3 2
lg10 lg 2
2 lg 2 lg 3 2m n
1 lg 2
1 m
五、 终结
1.换底公式：
logb
N
loga N loga b
(其中a，b
经过1年，剩留量是
y 0.84
经过2年，剩留量是 ……
y 0.842
经过x年，剩留量是
y 0.84x
方法一：利用指数函数的性质可知 在
上是减函数，故可取 如下表所示：
=1，2，x 3，4，5，
6，
....直y 至0对.8应4x的
0
1 y 20.5 3
4
5 ...
1 x 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 ...
结果：1、 2、
lg15 1.7, ln15 2.7,
lg 2 0.3;
ln 2 0.7.
说明：第1题中是两个常用对数，它们的底数都是10；第2题中是两个自
然对数，它们的底数都是e.利用科学计算器可以直接计算常用对数和自
然对数.
问题1 可否利用计算器求出 的值呢lo？g 2 15 我们可设 log2 15， x 从而有
一、从对数的运算性质说起
• 如果 a 0，a 1，M 0，N 0，则有：
(1) loga (M ) loga ( N ) loga (MN ); （加法）
(2) loga (M ) loga ( N ) loga (MN 1); （减法）
(3) nloga M loga M n , (n R);
例3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量 约为原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半 （结果保留1个有效数字）.
分析：对于实际问题的解答，其基本思路为：
1.分析实际问题；
2.建立数学模型；
3.利用数学方法求解；
4.解答.
解：设最初的质量为1，经过x年，剩留量是y，则
的对数转换公式：
换底公式
logb
N
loga N loga b
(其中a，b
0，a，b
1，N
0)
说明：对数换底公式的证明方法并不唯一，前面对 的求值过程
实际lo上g 2就15是一种证明方法，可类似证明对数换底公式，现在请同学们写
出证明过程，并思考如何将以 为底 的对数转换为以 为底的对数的
比值.
b
N
a
则
logb
N就变lo形g a为N
loga b
推论1
logb
a
1 log a
b
logam bn
1
logbn am
1 m logbn
a
1 m loga bn
1 m n loga b
n m
log a
b
推论2
log a m
bn
n m loga
b
注：实际上由换底公式直接可得推论2，
请同学们自己推导.
log a m
2x 15
对上式两边同取以10为底的对数可得
log10 2x log10 15，即
lg 2x lg15 x lg 2 lg15
x lg15 ， 即
lg 2
log 2 15
lg 15 lg 2
x
log2 15
lg 15 lg 2
3.91.
由
log2 15
lg15 lg 2
抽象推广到一般情况可得重要
y 0.84x
(0为，止 ，)
由表可知，当时 ，对应y的 0.5,
x4
即约经过4年该物质的剩留量是原来的一半.
方法二： 由题意可得
0.84x 0.5，即x log0.84 0.5
利用换底公式得
x lg 0.5 ，
用科学计算器计算得
lgx0.843.98，
即月经过4年，该物质的剩留量是原来的一半.
0，a，b
1，N
0)
2.推论：
（1） logb
a
1 loga b
（2）
log a m
bn
n m loga
b
（3） loga b logb c logc d loga d
鸣谢马海红 未经允许转载
bn
loga bn loga am
直接利用换底公式
n loga b m
n m loga b
推论3 loga b logb c logc d loga d
证明
左边
lg b lg a
lg c lg d lg b lg c
lg d lg a
loga
d
右边
四、应用
例1 计算：
(1) log9 27
； (2) log8 9 log27 32
例2 用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）：
log2 48 ； log3 10 ;
lg 48 lg 2
17 0.3
56.7
lg10 lg 3
1 0.48
2.1
log8 ;
= lg
lg 8 0.5
0.9
0.56
log5 50 ;
log1.082 2
证明
设 logb N x ，根据对数的定义，有
bx N
两边取以 为a底的对数，得
loga b x loga N .
由于b 0，所以可得
x loga b loga N，
又由于b 1，所以可得
x loga N ， 即 loga b
logb
N
loga N loga b
.
三、推论
令
N， a
（数乘）
❖注意：1.在实际解题过程中以上三式从左向右运算不必考虑 ， 是
否非负；但是M 从右向N左运算时必须保证 ， 非负；2.两端的底数必须 相同这就是M说利用N对数的运算性质只能解决同底数的对数运算 .
二、换底公式
1、利用计算器计算 和 ；lg15 2、利用计算器计算 和 ln1.5
lg 2 ln 2