Chapter1_命题逻辑3(4等价证明)
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Chapter 1 命题逻辑 - 4--证明理论
“I will study discrete math.”
“Therefore, I will study discrete math or I will visit Las Vegas.”
Simplification
Corresponding Tautology: (p∧q) →p
Example: Let p be “I will study discrete math.” Let q be “I will study English literature.” “I will study discrete math and English literature”
正确的结论：是在正确的前提下，经过有效的证明或推理
所得到有效结论。
形式证明的形成
为了证明C是前提H1，H2，…,Hn的结论, 即需证明:
当前提H1，H2，…,Hn均为真时，C必为真。
通过构造一个命题序列，来描述这一推理过程。
例如：
H1，Q1，H2，Q2，Hi ，Q3 ，…，C 其中的Qi就是推理过程中的中间结论
Disjunctive Syllogism(析取三段论)
Corresponding Tautology: (¬ p∧(p ∨q))→q
Example: Let p be “I will study discrete math.” Let q be “I will study English literature.” “I will study discrete math or I will study English literature.” “I will not study discrete math.” “Therefore , I will study English literature.”
离散数学第一章命题逻辑PPT课件
P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
P→Q 1 1 0 1
如： P:雪是黑的。
Q:太阳从东方升起 。
P → Q:如果雪是黑的，则太阳从东方升起 。
命题P→Q是假, 当且仅当P是真而Q是假。
11/20/2020
chapter1
14
1.2 联结词
条件与汉语中“如果…，就…”相类似，但有所区别: (1)自然语言中，“如果P则Q”，往往P和Q有一定的因果 关系，而条件复合命题P→Q中 P和Q 可以完全不相关。 (2)自然语言中，“如果P则Q”，当P为0、Q为1时，整个 句子真值难以确定；而条件复合命题P→Q中，当P为0时， 复合命题的真值为1。 P则Q的逻辑含义:P是Q的充分条件,的表示 命题变元——常用P、Q、R、S等大写字母或加下标的大 写字母P1, Q2, R10, ……表示来表示一个命题，称为命题 变元。 如： P:巴黎在法国。
Q:煤是白色的。
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1.1 命题及其表示法
3、命题相关概念 简单命题（原子命题）——不能再分解的命题。 复合命题——由若干个简单命题复合而成的命题。 真值表——把组成复合命题的各命题变元的真值的所有 组合及其相对应的复合命题的真值列成表，称为真值表。
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6
1.1 命题及其表示法
【例3 】求公式 (P→R)∨(Q→R)的真值表。 解：∵公式含有３个命题变元P、Q、R,
∴真值表有２3=8行。其真值表如下表 所示：
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7
1.2 联结词
命题和原子命题常可通过一些联结词构成新命题, 这
1-3 逻辑等价式和永真蕴含式
作业（离散数学书 ）：P18(2,3,4,5,7,10)
§1.3.1 逻辑等价式
西安电子科技大学 软件学院
§1.3.1 逻辑等价式
西安电子科技大学 软件学院
§1.3.1 逻辑等价式
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§1.3.1 逻辑等价式
替换规则
西安电子科技大学 软件学院
【定理】将命题式A中的某个子公式B用与B等 价的另一个命题公式C置换，所得命题公式A′ 与A逻辑等价。 例如： R ∧ ( P → Q ) ⇔ R ∧ (¬ P ∨ Q)
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§Hale Waihona Puke .3.2 永真蕴含式西安电子科技大学 软件学院
假定¬Q∧(P→Q)为T，则有¬Q为T且P→Q为T. 由P→Q为T，可得¬Q→¬P为T. 又¬Q为T，可得¬P为T. 故有¬Q ∧(P→Q)⇒¬P.
§1.3.2 永真蕴含式
西安电子科技大学 软件学院
依据：P→Q ⇔ ¬ P → ¬ Q 假定¬P为F，则有P为T. 下面对Q的真值进行讨论： （1）Q为T，可得¬Q为F，则有¬Q∧(P→Q)为F; （2）Q为F，P → Q为F，则有¬Q∧(P→Q)为F; 所以当¬P为F时，恒有¬Q∧(P→Q)为F。 故有¬Q∧(P→Q)⇒¬P.
§1.3.2 永真蕴含式
西安电子科技大学 软件学院
§1.3.3
相关性质
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证明： A⇔ B当且仅当A↔ B为重言式. A↔ B当且仅当( A→ B ) ∧ (B → A)为重言式 当且仅当A→ B 且B → A为重言式，即A⇒B且 B⇒A
§1.3.3
相关性质
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例如： P ∧ Q ⇔Q ∧ P
§1.3.1 逻辑等价式
西安电子科技大学 软件学院
§1.3.1 逻辑等价式
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§1.3.1 逻辑等价式
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§1.3.1 逻辑等价式
替换规则
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【定理】将命题式A中的某个子公式B用与B等 价的另一个命题公式C置换，所得命题公式A′ 与A逻辑等价。 例如： R ∧ ( P → Q ) ⇔ R ∧ (¬ P ∨ Q)
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§Hale Waihona Puke .3.2 永真蕴含式西安电子科技大学 软件学院
假定¬Q∧(P→Q)为T，则有¬Q为T且P→Q为T. 由P→Q为T，可得¬Q→¬P为T. 又¬Q为T，可得¬P为T. 故有¬Q ∧(P→Q)⇒¬P.
§1.3.2 永真蕴含式
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依据：P→Q ⇔ ¬ P → ¬ Q 假定¬P为F，则有P为T. 下面对Q的真值进行讨论： （1）Q为T，可得¬Q为F，则有¬Q∧(P→Q)为F; （2）Q为F，P → Q为F，则有¬Q∧(P→Q)为F; 所以当¬P为F时，恒有¬Q∧(P→Q)为F。 故有¬Q∧(P→Q)⇒¬P.
§1.3.2 永真蕴含式
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§1.3.3
相关性质
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证明： A⇔ B当且仅当A↔ B为重言式. A↔ B当且仅当( A→ B ) ∧ (B → A)为重言式 当且仅当A→ B 且B → A为重言式，即A⇒B且 B⇒A
§1.3.3
相关性质
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例如： P ∧ Q ⇔Q ∧ P
Chapter1(命题逻辑篇)
(2)把一个合式公式翻译成自然语言的语句时， 要尽量使之符合人们日常生活的习惯，必要 时可将命题联结词用其他连词代替，或省略 某些部分，只要实际上没有改变就成．
1.3命题形式与翻译
例: 考虑命题“小张或小李都可以办好这件事”。
令P为“小张可以办好这件事”,Q为“小李可以办好 这件事”,则原命题F(P,Q)的真值表是：
1.3命题形式与翻译
• 为方便计，对于圆括号的使用做如下约 定：
• ①公式最外层的圆括号可省略． • ②只作用于邻接后的原子命题变元，如
可把(¬P)∨Q写成¬P∨Q． 定义1.3.2 如果A1是公式A的一部分，且A1
是一个公式，称A1是A的子公式．
1.3命题形式与翻译
2.命题的翻译 • 把一个用文字叙述的命题相应地写成由命题
1.1 命题
2.命题标识符 • 在科学领域中，每门科学为描述它的概念和
论证其有关定理，都拥有自己的语言符号以 及所使用的规则． • 在Ls中，采用一种形式语言，形式语言与我们 通常使用的自然语言不同，它由特定意义的 符号和规则组成，其特征是有确定的含义．
• 一个原子命题，一般用大写字母或带下标的 大写字母，如P,Q,R,…,或Pi,Qi,Ri,…,等表示， 把表示原子命题的符号，称为命题标识符， 简称命题符．
假．
1.1 命题与联结词
• 因此，在数理逻辑中，不能去纠缠各种具体 命题的真假问题，而是将命题当成数学概念 来处理，看成一个抽象的形式化的概念，把 命题定义成非真必假的陈述句．
• 此时所关心的并不仅仅是这些陈述句究竟是 真还是假，更关心的是它可以被赋予真或假 的可能性，以便被规定真值后它与其他命题 发生的联系．
1.2 逻辑联词
• 联结词是逻辑联结词或命题联结词的简 称，它是自然语言中连词的逻辑抽象. 有了联结词，便可以用它和原子命题构 成复合命题．常用联结词有以下5种．
1.3命题形式与翻译
例: 考虑命题“小张或小李都可以办好这件事”。
令P为“小张可以办好这件事”,Q为“小李可以办好 这件事”,则原命题F(P,Q)的真值表是：
1.3命题形式与翻译
• 为方便计，对于圆括号的使用做如下约 定：
• ①公式最外层的圆括号可省略． • ②只作用于邻接后的原子命题变元，如
可把(¬P)∨Q写成¬P∨Q． 定义1.3.2 如果A1是公式A的一部分，且A1
是一个公式，称A1是A的子公式．
1.3命题形式与翻译
2.命题的翻译 • 把一个用文字叙述的命题相应地写成由命题
1.1 命题
2.命题标识符 • 在科学领域中，每门科学为描述它的概念和
论证其有关定理，都拥有自己的语言符号以 及所使用的规则． • 在Ls中，采用一种形式语言，形式语言与我们 通常使用的自然语言不同，它由特定意义的 符号和规则组成，其特征是有确定的含义．
• 一个原子命题，一般用大写字母或带下标的 大写字母，如P,Q,R,…,或Pi,Qi,Ri,…,等表示， 把表示原子命题的符号，称为命题标识符， 简称命题符．
假．
1.1 命题与联结词
• 因此，在数理逻辑中，不能去纠缠各种具体 命题的真假问题，而是将命题当成数学概念 来处理，看成一个抽象的形式化的概念，把 命题定义成非真必假的陈述句．
• 此时所关心的并不仅仅是这些陈述句究竟是 真还是假，更关心的是它可以被赋予真或假 的可能性，以便被规定真值后它与其他命题 发生的联系．
1.2 逻辑联词
• 联结词是逻辑联结词或命题联结词的简 称，它是自然语言中连词的逻辑抽象. 有了联结词，便可以用它和原子命题构 成复合命题．常用联结词有以下5种．
最新左孝凌离散数学课件1.3命题公式与翻译1.4真值表与等价公式PPT课件
• 例2. 证明: PQ (P→Q)(Q→P)
P Q PQ Q→P P→Q (P→Q)(Q→P)
00 1 1 1
1
01 0 0 1
0
10 0 1 0
0
11 1 1 1
1
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
➢ 2. 等值演算法(Equivalent Caculation)（利用P15表1-4.8)
• 定义1.4.4 子公式：如果X是wff A的一部分,且X本身也是wff， 则称X是A的子公式。 例如, P(PQ)为Q (P(PQ))的子公式。
• 定理1.4.1 置换定理：设X是wff A的子公式，若XY，则若将A 中的X用Y来置换，所得公式B与A等价，即AB。
• 定义1.4.5 等值演算：根据已知的等价公式,推演出另外一些等 价公式的过程称为等值演算.
(P∧Q)∨(┐P∧┐Q) T F F T
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.2 等价公式
• 定义1.4.3: 给定两个命题公式A和B,设P1 , P2 ,…,Pn为出现
于真A值和指B派中, 的A和所B有的原真子值变都元相,若同给,则P称1 ,AP和2 ,B…是,P等n任价一. 组 记作A B。
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.2 等价公式
从真值表中可以看到，有些命题公式在分量的不同指派 下，其对应的真值与另一命题公式完全相同，如┐P∨Q与 P→Q的对应真值相同，如表1-4.5所示。
表1-4.5
我们说┐P∨Q和P→Q 是等价的，这在以 后的推理中特别有 用。
第一章 命题逻辑(1.3-1.4)
（Ｑ∨ Ｑ）∨ ＰΛ（Ｑ∨Ｒ）⇔（Ｐ Ｑ）∨（Ｐ Ｒ）； （Ｑ Ｒ）⇔（ＰΛＱ） （ＰΛＲ）； （ＱΛＲ） （Ｐ∨Ｑ）Λ（Ｐ Ｒ）⇔ （Ｐ∨ Ｐ∨（Ｑ Ｒ）⇔（Ｐ∨Ｑ） （Ｐ∨Ｒ）
§1.4 真值表与等价公式
３、命题公式的永真式、永假式和可满足式 命题公式的永真式、
[定义] 定义] 对于任一公式A，凡使得A为真的指派， 对于任一公式A 凡使得A为真的指派，
不管是完全指派还是部分指派，都称为A的成真 不管是完全指派还是部分指派，都称为A 指派，凡使得A为假的指派， 指派，凡使得A为假的指派，也不管是完全指派 还是部分指派，都称为A 成假指派。 还是部分指派，都称为A的成假指派。
§1.3 命题公式与翻译
例如， (P∧Q)，P→(P∨Q)等都是命题公 例如，¬(P∧Q)，P→(P∨Q)等都是命题公 (P→)，(P∨¬) R→P等不是命题公 式，而(P→)，(P∨ ) ，∧R→P等不是命题公 式。
2、命题符号化（翻译） 命题符号化（翻译）
命题逻辑里讨论的对象是命题公式， 命题逻辑里讨论的对象是命题公式，而日 常生活中的推理问题是用自然语言描述的， 常生活中的推理问题是用自然语言描述的， 因此要进行推理演算必须先把自然语言符号 因此要进行推理演算必须先把自然语言符号 或形式化）成逻辑语言，即命题公式。 化（或形式化）成逻辑语言，即命题公式。 然后再根据逻辑演算规律进行推理演算。 然后再根据逻辑演算规律进行推理演算。
T
F
F
T
F
T
T
T
F
T
F
T
T
F
T
T
F
F
F
T
T
T
T
T
§1.4 真值表与等价公式
§1.4 真值表与等价公式
３、命题公式的永真式、永假式和可满足式 命题公式的永真式、
[定义] 定义] 对于任一公式A，凡使得A为真的指派， 对于任一公式A 凡使得A为真的指派，
不管是完全指派还是部分指派，都称为A的成真 不管是完全指派还是部分指派，都称为A 指派，凡使得A为假的指派， 指派，凡使得A为假的指派，也不管是完全指派 还是部分指派，都称为A 成假指派。 还是部分指派，都称为A的成假指派。
§1.3 命题公式与翻译
例如， (P∧Q)，P→(P∨Q)等都是命题公 例如，¬(P∧Q)，P→(P∨Q)等都是命题公 (P→)，(P∨¬) R→P等不是命题公 式，而(P→)，(P∨ ) ，∧R→P等不是命题公 式。
2、命题符号化（翻译） 命题符号化（翻译）
命题逻辑里讨论的对象是命题公式， 命题逻辑里讨论的对象是命题公式，而日 常生活中的推理问题是用自然语言描述的， 常生活中的推理问题是用自然语言描述的， 因此要进行推理演算必须先把自然语言符号 因此要进行推理演算必须先把自然语言符号 或形式化）成逻辑语言，即命题公式。 化（或形式化）成逻辑语言，即命题公式。 然后再根据逻辑演算规律进行推理演算。 然后再根据逻辑演算规律进行推理演算。
T
F
F
T
F
T
T
T
F
T
F
T
T
F
T
T
F
F
F
T
T
T
T
T
§1.4 真值表与等价公式
1-4真值表与等价公式
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
10
2、等价公式－证明(真值表法)
例题 5 证明 PQ(PQ)(QP)
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
11
2、等价公式－汇总
下面的命题定理（表1-4.8）都可以用真值表 予以验证:
对合律 等幂律 结合律 交换律 分配律 吸收律 德·摩根律 同一律 零律 否定律
从真值表可见，上述两个命题公式在分量的不同 指派下，其对应的真值与另一命题公式完全相同。
同理如： (PQ)(PQ)与PQ。
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
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2、等价公式－概念
定义：1-4.2 给定两个命题公式A和B，设P1， P2，…，Pn为所有出现于A和B中的原子变元， 若给P1，P2，…，Pn任一组真值指派， A和B的 真值都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等。 记作AB。
PQ F F F T
(PQ) (PQ) T F F T
6
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
1、真值表
例题4 给出(PQ)(PQ)的真值表 公式不论命题变元做何种指派，其真值永为真， 我们把这类公式记为T。
P Q PQ (PQ) P Q PQ T T T F F T F F T F F F F T T T F F T T F T F T F T T T (PQ)( PQ) T T T T
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
18
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
16
小结
真值表
完整性
等价公式
等价公式表1-4.8 等价置换
命题公式（合式公式）证明方法
列真值表法 利用等价公式
Chapter1.1-Propositional_logic1(Propositions and Connectives)
数理逻辑的任务不在于研究某个具体命题的真假问题而在于它可以赋予真或假的可能性特别是研究各命题规定其真值后它们之间的联系
Discrete Mathematics
Henan Polytechnic University School of Computer Science and Technology
Statements or propositional variables can be combined by logical connectives（逻辑联结词） to obtain compound statements(复合命题).
p and q: The sun is shining and it is cold.
Logical Connectives（逻辑联结词）
Unary
Negaton（合取） Disjunction （析取） Exclusive OR （异或） Implication （蕴涵） Biconditional （等价，双条件命题）
注意： 一个语句本身是否能分辨真假与我们是否知 道它的真假是两回事。也就是说，对于一个句子， 2050年元旦是晴天。 有时我们可能无法判定它的真假，但它本身却是 有真假的，那么这个语句是命题，否则就不是命 题。 悖论不是命题。
判断下列语句是否是命题，如果是，判断真假。 eg1：我第一次接触《离散数学》，我就立刻 喜欢 上它了。
Foundations of Logic: Overview
Propositional logic:
Basic definitions. Equivalence rules & derivations.
Predicate logic
Discrete Mathematics
Henan Polytechnic University School of Computer Science and Technology
Statements or propositional variables can be combined by logical connectives（逻辑联结词） to obtain compound statements(复合命题).
p and q: The sun is shining and it is cold.
Logical Connectives（逻辑联结词）
Unary
Negaton（合取） Disjunction （析取） Exclusive OR （异或） Implication （蕴涵） Biconditional （等价，双条件命题）
注意： 一个语句本身是否能分辨真假与我们是否知 道它的真假是两回事。也就是说，对于一个句子， 2050年元旦是晴天。 有时我们可能无法判定它的真假，但它本身却是 有真假的，那么这个语句是命题，否则就不是命 题。 悖论不是命题。
判断下列语句是否是命题，如果是，判断真假。 eg1：我第一次接触《离散数学》，我就立刻 喜欢 上它了。
Foundations of Logic: Overview
Propositional logic:
Basic definitions. Equivalence rules & derivations.
Predicate logic
4-第一章命题逻辑PPT课件
1.1 命题及其表示法 1.2 联结词 1.3 命题公式与翻译 1.4 真值表与等价公式 1.5 重言式与蕴含式 1.7对偶与范式 1.8推理理论
第一章 命题逻辑
Propositional Logic
1.1 命题及其表示法 1.2 联结词 1.3 命题公式与翻译 1.4 真值表与等价公式 1.5 重言式与蕴含式 1.7对偶与范式 1.8推理理论
三、主范式 (2)主合取范式 每个合取项中所有变元都要出现 每个变元只出现一次（命题变元或其否定） 主合取范式的化归步骤：见书上38页
例7:试求 (PQ )( PR)的主合取范式。 例8:试求 P ( ( P Q ) ( Q P ) )主合取范式。
大连大学
信息工程学院
9
第20页
1.6 对偶与范式
大连大学
信息工程学院
5
第20页
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.6 对偶与范式 （复习）
三、主范式 (1)主析取范式 每个析取项中所有变元都要出现 每个变元只出现一次（命题变元或其否定）
主析取范式的化归步骤：见书上36页
例5:试求 P Q 和 (PQ) 的主析取范式。
例6:试求 P ( ( P Q ) ( Q P ) )主析取范式。
分别都是什
（3）若C不去，则A或B可以去。 么？
大连大学
信息工程学院
11
第21页
第一章 命题逻辑
Propositional Logic
1.6 对偶与范式（复习）
二、范式 定义1-7.2 一个命题公式称为合取范式，当且仅当 它具有型式：
A 1A 2A n(n1 ) 其中 A1,A2, ,An 都是由命题变元或其否定所组成
的析取式。
合取范式的特点：
第一章 命题逻辑
Propositional Logic
1.1 命题及其表示法 1.2 联结词 1.3 命题公式与翻译 1.4 真值表与等价公式 1.5 重言式与蕴含式 1.7对偶与范式 1.8推理理论
三、主范式 (2)主合取范式 每个合取项中所有变元都要出现 每个变元只出现一次（命题变元或其否定） 主合取范式的化归步骤：见书上38页
例7:试求 (PQ )( PR)的主合取范式。 例8:试求 P ( ( P Q ) ( Q P ) )主合取范式。
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9
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1.6 对偶与范式
大连大学
信息工程学院
5
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.6 对偶与范式 （复习）
三、主范式 (1)主析取范式 每个析取项中所有变元都要出现 每个变元只出现一次（命题变元或其否定）
主析取范式的化归步骤：见书上36页
例5:试求 P Q 和 (PQ) 的主析取范式。
例6:试求 P ( ( P Q ) ( Q P ) )主析取范式。
分别都是什
（3）若C不去，则A或B可以去。 么？
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11
第21页
第一章 命题逻辑
Propositional Logic
1.6 对偶与范式（复习）
二、范式 定义1-7.2 一个命题公式称为合取范式，当且仅当 它具有型式：
A 1A 2A n(n1 ) 其中 A1,A2, ,An 都是由命题变元或其否定所组成
的析取式。
合取范式的特点：
1-3命题公式与翻译1-4真值表与等价公式解析
PQR TTT TTF TFT TFF FTT FTF FFT FFF
Q∨R T T T F T T T F
P → (Q∨R) T T T F T T T T
P17(1) (C) (P ∨Q) (Q ∨P)
PQ TT TF FT FF
P ∨Q T T T F
Q ∨P T T T F
(P ∨Q) (Q ∨P) T T T T
命题符号化步骤： ❖(1)分成原子命题 ❖(2)用大写字母代替命题 ❖(3)按题意用联结词
自然语言的语句用Wff 形式化注意方面：
① 要准确确定原子命题，并将其形式化。 ② 要选用恰当的联结词，尤其要善于识别自然语 言中的联结词（有时它们被省略），否定词的位置要 放准确。
③ 必要时可以进行改述，即改变原来的叙述方式， 但要保证表达意思一致。
FF T
T
F
T
T
T
❖ 可以看出，有一类公式不论命题变元作何种 指派，其真值永为真(假)，记为T(F)。
❖ 在真值表中，命题公式真值的取值数目，决 定于分量的个数。一般说来，n个命题变元组 成的命题公式共有2n种真值情况。
练习 17页（1）a, c, e 18页（6）
P17 (1)求下列复合命题的真值表 (a) P → (Q∨R)
若设 P：你努力。 Q：你失败。 本命题可表示为：
┐P→Q
例题6 张三或李四都可以做这件事。
解 这个命题的意义是： 张三可以做这件事，并且李四也可以做这件事。 若设
P：张三可以做这事。 Q：李四可以做这 事。 本命题可表示为：
P∧Q
例题7 （1）2是素数，这是假的。
（2） 2与4都是素数，这是不对的。 解 若设
④ 需要的括号不能省略，而可以省略的括号， 在需要提高公式可读性时亦可不省略。
Chapter 1 命题逻辑 - 1
数理逻辑的内容：
古典数理逻辑： 命题逻辑、谓词逻辑 现代数理逻辑： 公理化集合论、递归论、模型论、证明论
9
逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早由 古希腊学者亚里士多德创建的。用数学的方法研究关于推理 、证明等问题的学科就叫做数理逻辑，也叫做符号逻辑。 利用计算的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程，这 种想法早在十七世纪就有人提出过。
p
T T F F
q
T F T F
p ⊕q
F T T F
设P、Q是两个命题，P异或Q是一个复合命题，记作P ⊕ Q Exclusive OR 。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P⊕Q 0 1 1 0
例7
今天晚上我在家看电视或去剧场看戏。
令P：今天晚上我在家看电视。
Q：今天晚上我去剧场看戏 例7中的命题可表示为P ⊕ Q（异或），或者表示 为（P∧¬ Q)∨(¬ P∧Q)。 由于“⊕”可用“∨”，“ ∧”和“ ¬ ”表示，故 我们不把它当作基本联结词。
例5 设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
注意:一个命题只可能有两个真值0或1. 两个命题在进行运算时,并不在乎其 实际命题之间是否有联系. 只想是把两个真值进行运算. 不用考虑实际含义.
3. 析取“∨” Disjunction inclusive ‘or’
4. 蕴含“→” Implication
由命题P和Q利用“→”组成的复合命题，称为蕴 含式复合命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P→Q 1 1 0 1
命题逻辑的等值和推理演算.ppt
4. 分配律 P∨(Q∧R) = (P∨Q)∧(P∨R) P∧(Q∨R) = (P∧Q)∨(P∧R) P(QR) = (PQ)(PR)
5. 等幂律(恒等律) P∨P = P P∧P = P PP = T PP = T
6. 吸收律 P∨(P∧Q) = P P∧(P∨Q) = P
7. 摩根律 (P∨Q) = P∧Q (P∧Q) = P∨Q
定理: 对公式A的子公式, 用与之等值的公式来代换 便称置换。 置换规则 公式A的子公式置换后A化为公式B, 必有A = B。 当A是重言式时, 置换后的公式B必也是重言式。
置换与代入是有区别的。置换只要求A的某一 子公式作代换, 不必对所有同一的子公式都作代 换。
2.2.4 等值演算举例
例1: 证明(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R) = R
16. PQ =Biblioteka (PQ)∧(QP)这表明PQ成立, 等价于正定理PQ和逆 定理QP都成立。
17. P(QR) = Q(PR)
前提条件P、Q可交换次序。
18. (PR) ∧(QR)=(P∨Q)R
左端说明的是由P而且由Q都有R成立。 从而可以说由P或Q就有R成立, 这就是等 式右端。
2.2.3 置换规则
严格的形式化的讨论见第三章所建立的公 理系统。
2.1 等值定理
若把初等数学里的＋、－、×、÷等运算符看作 是数与数之间的联结词，那么由这些联结词所表 达的代数式之间，可建立许多等值式如下： x2－y2 = (x＋y)(x－y) (x＋y)2 = x2＋2xy＋y2 sin2x＋cos2x = 1 ……
PP = P PP = P PP = F
所有这些公式，都可使用直值表加以验证。
Venn图
若使用Venn图也容易理解这些等值式, 这 种图是将P、Q理解为某总体论域上的子集 合, 而规定P∧Q为两集合的公共部分(交集 合), P∨Q为两集合的全部(并集合), P为 总体论域(如矩形域)中P的余集。
5. 等幂律(恒等律) P∨P = P P∧P = P PP = T PP = T
6. 吸收律 P∨(P∧Q) = P P∧(P∨Q) = P
7. 摩根律 (P∨Q) = P∧Q (P∧Q) = P∨Q
定理: 对公式A的子公式, 用与之等值的公式来代换 便称置换。 置换规则 公式A的子公式置换后A化为公式B, 必有A = B。 当A是重言式时, 置换后的公式B必也是重言式。
置换与代入是有区别的。置换只要求A的某一 子公式作代换, 不必对所有同一的子公式都作代 换。
2.2.4 等值演算举例
例1: 证明(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R) = R
16. PQ =Biblioteka (PQ)∧(QP)这表明PQ成立, 等价于正定理PQ和逆 定理QP都成立。
17. P(QR) = Q(PR)
前提条件P、Q可交换次序。
18. (PR) ∧(QR)=(P∨Q)R
左端说明的是由P而且由Q都有R成立。 从而可以说由P或Q就有R成立, 这就是等 式右端。
2.2.3 置换规则
严格的形式化的讨论见第三章所建立的公 理系统。
2.1 等值定理
若把初等数学里的＋、－、×、÷等运算符看作 是数与数之间的联结词，那么由这些联结词所表 达的代数式之间，可建立许多等值式如下： x2－y2 = (x＋y)(x－y) (x＋y)2 = x2＋2xy＋y2 sin2x＋cos2x = 1 ……
PP = P PP = P PP = F
所有这些公式，都可使用直值表加以验证。
Venn图
若使用Venn图也容易理解这些等值式, 这 种图是将P、Q理解为某总体论域上的子集 合, 而规定P∧Q为两集合的公共部分(交集 合), P∨Q为两集合的全部(并集合), P为 总体论域(如矩形域)中P的余集。
离散数学-1-4真值表与等价公式
如表1所示。
表1 (┐P∧Q)→┐R的真值表
从表1可知，公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是 成真赋值。
9
三、真值表
公式(2)是含2个命题变项的3层合式公式，它的真值表如表2 所示。
表2 (P∧┐P) (Q∧┐Q)的真值表
从表2可以看出，该公式的4个赋值全是成真赋值，即无成
假赋值。
10
(┐P∨Q)→R ┐(┐P∨Q)∨R
23
六、等值演算
如果再用德摩根律及置换规则，又会得到 ┐(┐P∨Q)∨R (P∧┐Q)∨R
再用分配律及置换规则，又会得到 (P∧┐Q)∨R (P∨R)∧(┐Q∨R)
将以上过程连在一起，可得到 (P→Q)→R (┐P∨Q) → R ┐(┐P∨Q)∨R (P∧┐Q)∨R (P∨R)∧(┐Q∨R) *上述演算中得到的5个公式彼此之间都是等值的， 在演算的每一步都用到了等价置换规则
28
15
五、公式置换
在一命题公式中，如果用公式置换命题的 某个部分，一般地会产生某种新的公式， 例如Q→（P∨（P∧Q））中以（ ┐P →Q）取代 （P∧Q），则Q→（P∨ （ ┐P →Q））就与原 式不同。为了保证取代后的公式与原式等 价（即真值相同），需要对置换作出一些 规定。
16
五、公式置换
定义 1-4.3 如果X是合式公式A的一部分， 且X本身也是一个合式公式，则称X为公式A 的子公式。 定理 1-4.1 设X是合式公式A的子公式，若 X Y，如果将A中的X用Y来置换，所得到 公式B与公式A等价，即A B。 证明 书P16 *满足定理1-4.1条件的置换称为等价置换（等 价代换）
7
三、真值表
(2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次。
(3) 对应各个赋值计算出各层次的真值，直到最后计 算出公式的真值。 例 求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋 值。
表1 (┐P∧Q)→┐R的真值表
从表1可知，公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是 成真赋值。
9
三、真值表
公式(2)是含2个命题变项的3层合式公式，它的真值表如表2 所示。
表2 (P∧┐P) (Q∧┐Q)的真值表
从表2可以看出，该公式的4个赋值全是成真赋值，即无成
假赋值。
10
(┐P∨Q)→R ┐(┐P∨Q)∨R
23
六、等值演算
如果再用德摩根律及置换规则，又会得到 ┐(┐P∨Q)∨R (P∧┐Q)∨R
再用分配律及置换规则，又会得到 (P∧┐Q)∨R (P∨R)∧(┐Q∨R)
将以上过程连在一起，可得到 (P→Q)→R (┐P∨Q) → R ┐(┐P∨Q)∨R (P∧┐Q)∨R (P∨R)∧(┐Q∨R) *上述演算中得到的5个公式彼此之间都是等值的， 在演算的每一步都用到了等价置换规则
28
15
五、公式置换
在一命题公式中，如果用公式置换命题的 某个部分，一般地会产生某种新的公式， 例如Q→（P∨（P∧Q））中以（ ┐P →Q）取代 （P∧Q），则Q→（P∨ （ ┐P →Q））就与原 式不同。为了保证取代后的公式与原式等 价（即真值相同），需要对置换作出一些 规定。
16
五、公式置换
定义 1-4.3 如果X是合式公式A的一部分， 且X本身也是一个合式公式，则称X为公式A 的子公式。 定理 1-4.1 设X是合式公式A的子公式，若 X Y，如果将A中的X用Y来置换，所得到 公式B与公式A等价，即A B。 证明 书P16 *满足定理1-4.1条件的置换称为等价置换（等 价代换）
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三、真值表
(2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次。
(3) 对应各个赋值计算出各层次的真值，直到最后计 算出公式的真值。 例 求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋 值。
命题逻辑的等价命题与逻辑等价性
命题逻辑的等价命题与逻辑等价性命题逻辑是逻辑学中的一个重要分支，研究命题之间的关系和推理规律。
命题逻辑中的等价命题和逻辑等价性是其中的重要概念，本文将详细探讨这两个概念的含义、性质及其在逻辑学中的应用。
一、等价命题的定义与性质等价命题是指在逻辑上具有相同真值的两个或多个命题。
如果两个命题无论真假都相同，那么它们是等价的。
等价命题之间可以通过推理规则进行转化，不影响语义上的等价性。
等价命题具有以下性质：1. 真值表等价性：对于等价命题的真值表，它们的真值列完全相同。
即无论命题变元的取值是什么，等价命题的真值都相同。
2. 逻辑等价性：等价命题在逻辑上等价，即它们在逻辑推理中可以互相替代。
3. 双向蕴含：等价命题之间存在双向蕴含的关系。
如果命题P和Q是等价的，那么P蕴含Q且Q蕴含P。
二、逻辑等价性的证明方法要判断两个命题是否逻辑等价，可以采用以下几种方法进行证明：1. 真值表证明：列出两个命题的真值表，逐个对比它们的真值列。
如果两个命题的真值列完全一致，那么它们是逻辑等价的。
2. 推理规则证明：利用推理规则进行转化和推导。
如果可以通过一系列推理规则将一个命题转化为另一个命题，那么它们是逻辑等价的。
3. 形式推理证明：利用等价命题的性质进行推理。
通过利用等价命题的传递性、合成性、分解性等等，将一个命题逐步转化为另一个命题，从而证明它们的逻辑等价性。
三、等价命题的应用等价命题的概念及其性质在逻辑学中有广泛的应用，包括以下几个方面：1. 逻辑推理：在逻辑推理中，等价命题可用于简化命题的形式、转化复杂的命题为等价的简单命题、简化推理过程中的条件等。
2. 逻辑运算：等价命题对于逻辑运算的理解和应用具有重要意义。
例如，等价命题的互斥运算（非运算）和合取运算（与运算）等。
3. 命题证明：在命题证明中，等价命题的证明可以通过转化、推导和逻辑运算等方法来进行。
4. 逻辑谬误：理解等价命题有助于识别和纠正逻辑推理中的谬误，提高思维的逻辑严谨性和准确性。
1-3命题公式与翻译1-4真值表与等价公式
定义1-3.1 命题演算的合式公式(wff)，规定为：
(1)单个命题变元（常元）本身是一个合式公式。
(2)如果A是合式公式，那么┐A是合式公式。
(3)如果A和B是合式公式，那么(A∧B)，(A∨B)， (A→B）和(A B)都是合式公式。 (4)当且仅当能够有限次地应用(1)、(2)、(3)所得到 的包含命题变元，联结词和括号的符号串是合式公 式。
P17(1) (C) (P ∨Q) P T T F F Q T F T F P ∨Q T T T F Q ∨P T T T F
(Q ∨P)
(P ∨Q) (Q ∨P)
T T T T
P17(1) (e) (P →(Q→R) )→((P→Q) →(P→R)) 设S (P →(Q→R) )→((P→Q) →(P→R))
离散数学
Discrete Mathematics
课程回顾
命题：命题的定义、真值、分类及其表示。 命题联结词： 否定、合取、析取、条件、双条件。
P Q ┐P P∧Q P∨Q P→Q P Q
T T
T F F T
F
F T
T
F F
T
T T
T
F T
T
F F
F F
T
F
F
T
T
第一章 命题逻辑第2讲
1—3 命题公式与翻译 1—4 真值表与等价公式 要求：理解合式公式及两个合式公式等价 的定义，熟悉真值表与命题定律，会证明 等价公式。 重点：合式公式的定义，两个合式公式等价 的定义，命题定律。 难点：推证等价公式。
例题4
给出┐(P∧Q） （┐P∨┐Q）的真值表。
解
P Q ┐P T T T F F T F F F F T T ┐Q F T F T P∧Q T F F F ┐(P∧Q) ┐P∨┐Q F T T T F T T T ┐(P∧Q） T T T T ┐P∨┐Q）
1-34 真值表与等价公式
1-3.1 命题公式
注：这是一个递归方式的定义（递归定义） 这是一个递归方式的定义（递归定义） （1）是递归定义的基础 ） ）、（3） （2）、（ ）是归纳 ）、（ （4）是递归的界限 ） 例： →(P∨Q)就不是合式公式 ∨ 就不是合式公式 联结词的运算次序： 联结词的运算次序： (1) 使用括号 (2) 规定运算符运算优先次序：¬, ∧, ∨, →, 规定运算符运算优先次序：
1-3.2 翻译
除非你努力，否则你将失败。 例1. 除非你努力，否则你将失败。 解：设P：你努力。 ：你努力。 Q：你将失败。 ：你将失败。 原命题可以符号化为： 原命题可以符号化为： ¬ P → Q 除非(仅当 我有时间，我才去看电影。 仅当)我有时间 例2. 除非 仅当 我有时间，我才去看电影。 解：设P：我有时间。 ：我有时间。 Q：我去看电影。 ：我去看电影。 原命题可以符号化为： 原命题可以符号化为： ¬ P → ¬ Q 或化为： → 或化为：Q→P
如果你和他都不固执己见的话， 例3. 如果你和他都不固执己见的话，那么不愉快 的事也不会发生了。 的事也不会发生了。 解：设P：你固执己见。 ：你固执己见。 Q：他固执己见。 ：他固执己见。 R：不愉快的事也不会发生了 ： 原命题可以符号化为：（ ∧¬ ：（¬ ∧¬Q） 原命题可以符号化为：（¬P∧¬ ）→R 如果你和他不都是固执己见的话， 例4. 如果你和他不都是固执己见的话，那么不愉 快的事也不会发生了。 快的事也不会发生了。 解：设P：你固执己见。 ：你固执己见。 Q：他固执己见。 ：他固执己见。 R：不愉快的事也不会发生了 ： 原命题可以符号化为： 原命题可以符号化为： ¬（P∧Q）→R ∧ ）
1-3命题公式与翻译 命题公式与翻译
1-3.1 命题公式
逻辑等价命题
逻辑等价命题摘要：1.逻辑等价命题的定义与特点2.逻辑等价命题的分类3.逻辑等价命题的应用4.提高逻辑思维能力，判断逻辑等价命题正文：逻辑等价命题是逻辑学中一个重要的概念，它指的是在逻辑结构上相同或相似的两个或多个命题。
逻辑等价命题具有以下特点：相互之间具有相同的逻辑结构，用相同的逻辑运算符连接，且具有相同数量的命题变量。
在形式上，逻辑等价命题可以表示为：P1 → P2 → P3 → ...→ Pn。
根据逻辑等价命题的内涵和形式，我们可以将其分为以下几类：1.充分条件等价命题：如果P1成立，那么P2、P3、...、Pn也一定成立。
例如：若A，则B、C、D。
2.必要条件等价命题：如果P1不成立，那么P2、P3、...、Pn也都不成立。
例如：若非A，则非B、非C、非D。
3.充分必要条件等价命题：P1与P2、P3、...、Pn互为充分条件，即彼此成立。
例如：A当且仅当B、C、D。
4.混合条件等价命题：包含充分条件和必要条件的复合命题。
例如：若A 且B，则C或D。
逻辑等价命题在实际应用中具有广泛的价值，例如在计算机科学中的命题逻辑表示、数学中的逻辑推理、哲学中的论证分析等领域。
掌握逻辑等价命题的知识，有助于提高我们的逻辑思维能力，更好地分析和解决实际问题。
要判断两个命题是否为逻辑等价命题，我们可以采用以下方法：1.对比命题的形式，观察是否具有相同的逻辑结构和运算符。
2.分析命题的内涵，检查变量之间的关系是否相同。
3.通过真值表或逻辑推理，验证两个命题在所有可能情况下是否具有相同的真值。
通过以上方法，我们可以较为准确地判断两个命题是否为逻辑等价命题，从而更好地运用这一重要概念于实际问题中。
总之，逻辑等价命题是逻辑学的基本概念，掌握其定义、分类和应用，有助于提高我们的逻辑思维能力。
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第一章 命题逻辑
9
ex2:
构造公式 ┐(PQ)∧Q真值表。
P
0 0
Q
0 1
(P Q) ┐(PQ)
1 1 0 0
┐(PQ)∧Q
0 0
1 1
0 1
0 1
1 0
0 0Leabharlann 第一章 命题逻辑10等价公式
1. 例子 看下面三个公式的真值表 P Q PQ P∨Q F F T T F T T T T F F F T T T T
公式E16 ： PQP∨Q
第一章 命题逻辑 17
等价置换的基本思路
• 1. 遇到→ 先消去此运算符 • 2. 注意公式的倒推的应用 • 3. 化简时一定是最简的
第一章 命题逻辑 18
• 例题3.化简(P∧Q)→(P∨(P∨Q)) 解 原公式 (P∧Q)∨((P∨P)∨Q) (E11,结合) (P∧Q)∨(P∨Q) (对合律，幂等律) (P∧Q)∨(Q∨P) (交换律) ((P∧Q)∨Q)∨P (结合律) Q∨P (吸收律) 公式E11 ： PQP∨Q
第一章 命题逻辑 13
⑾条件转化律 PQP∨Q QP ⑿双条件转化律 PQ (PQ)∧(QP)(P∨Q)∧(P∨Q) (P∧Q)∨(P∧Q )
(13)输出律 (A∧B)CA(BC)
(14)归谬律 (AB)∧(AB)A
第一章 命题逻辑14
4. 等价公式的证明方法 • 方法1：用列真值表。（不再举例） • 方法2：用公式的等价变换.(用置换定律) • 置换定律:A是一个命题公式，X是A中的一 部分且也是合式公式，如果XY，用Y代 替A中的X得到公式B，则AB。 • 应用置换定律以及前面列出的等价公式 可以对给定公式进行等价变换。
第一章 命题逻辑 15
• 例题1. 求证吸收律 P∧(P∨Q)P • 证明 P∧(P∨Q) • (P∨F)∧(P∨Q) (同一律) • P∨(F∧Q) (分配律) • P∨F (零律) • P (同一律)
第一章 命题逻辑 16
• 例题2. 求证 (P∨Q)→(P∧Q) P • 证明 (P∨Q)→(P∧Q) • (P∨Q)∨(P∧Q) (公式E16) • (P∧Q)∨(P∧Q) (摩根定律) • (P∧Q)∨(P∧Q) (对合律) • P∧(Q∨Q) (分配律) • P∧T (互补律) • P (同一律)
第一章 命题逻辑 26
定义1.7.1:设命题公式A仅含有联结词┐,,,在 A中将,，F，T分别换以，，T，F得出公 式A*，则A*称为A的对偶公式。 说明:(A*)*=A 例1.(┐P(QR))*=┐P(QR) ((PQ)1)*=((PQ)0) 由 P↑Q ┐(P∧Q) 和 P↓Q ┐(P∨Q) 可知 (P↑Q)*= P↓Q
关于对偶式我们有如下两个定理: 定理1.7.1:设A，A*是对偶式， P1 , P2 ,…,Pn是出现于 A和A*中的所有原子变元,则 (1) ┐A(P1 , P2 ,…,Pn )A*（┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn） (2) A(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn)┐A*（P1 , P2 ,…,Pn） 证明:因为 ┐(PQ)(┐P┐Q) ┐(PQ)┐P┐Q 所以┐A(P1 , P2 ,…,Pn )A*（┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn） 同理 ┐A*(P1 , P2 ,…,Pn )A（┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn）
a (( A B ) ( B A )) C ) (( A B ) ( B A )) C
T C C
c ( A B C ) ( A B C ) ) ( A A ) ( B C )
T (B C ) B C
第一章 命题逻辑 29
⑶对偶原理(定理1-7.2)： 令A(P1,P2,…,Pn) 、B(P1,P2,…,Pn)是只含有联 结词、∨、∧的命题公式，则如果 A(P1,P2,…,Pn)B(P1,P2,…,Pn) 则 A*(P1,P2,…,Pn)B*(P1,P2,…, Pn) 证明：因为 A(P1,P2,…,Pn)B(P1,P2,…,Pn) 故 A(P1,P2,…,Pn)B(P1,P2,…,Pn) 而 A(P1,P2,…,Pn)A*(P1,P2,…,Pn) B(P1,P2,…,Pn)B*(P1,P2,…,Pn) 故 A*(P1,P2,…,Pn) B*(P1,P2,…,Pn) 所以 A*(P1,P2,…,Pn)B*(P1, P2,…, Pn)
QP T T F T
从真值表可以看出，不论对P、Q作何指 派，都使得PQ、P∨Q和QP的真值相 同，表明它们之间彼此等价。
第一章 命题逻辑
11
2. 定义：A、B是含有命题变元P1,P2,…, Pn的命题公式， 如不论对P1, P2 , …, Pn作任何指派，都使得A和B的真 值相同，则称之为A与B等价，记作AB。 显然 PQP∨QQP 3. 重要的等价公式 ⑴ 对合律/双重否定律 PP ⑵ 幂等律/恒等律 P∨PP P∧PP ⑶ 结合律 P∨(Q∨R)(P∨Q)∨R P∧(Q∧R)(P∧Q)∧R (P Q) R P (Q R) ⑷交换律 P∨QQ∨P P∧QQ∧P PQQP
第一章 命题逻辑 32
预习 预习: 1.5, 1.6
第一章 命题逻辑 33
作业：第19页 (7) f) g) , (8) c)
作业：A、B、C、D四人进行百米竞赛，观众甲、乙、丙预报
比赛的名次为甲：C第一、B第二；乙：C第二、D第三；丙： A第二、D第四。比赛结束后发现甲、乙、丙每人报告的情况 都是各对一半，试问实际名次如何(假如无并列者)？
结论： P Q P Q。
第一章 命题逻辑
8
ex1:
画出P Q、P Q、（P Q） （P Q）这 三者的真值表。
P Q
P Q
P Q
( P Q ) ( P Q )
1 1 0 0
1 0 1 0
0 1 1 0
0 1 1 0
0 1 1 0
结论：PQ P Q (P Q) ( P Q).
第一章 命题逻辑 24
对偶式与对偶原理(Dualistic Formula & Duality PrinciPle) 在第四节(1.4)中我们给出了命题定律, 其中多数 等价公式都是成对出现的, 每一对公式的不同之处是将与互换,我们把 这样的公式称为是对偶的.
⑴对偶式：在一个只含有联结词 、∨、∧的公式 A中，将∨换成∧，∧换成∨，T换成F，F换成T ，其余部分不变，得到另一个公式A*，称A与A* 互为对偶式。 例如:： A A* P P Q∧R Q∨R (P∨T)∧Q (P∧F)∨Q
•离散数学
• Discrete Mathematics
第一章 命题逻辑
1
回顾
• 1.命题及其判断 • 2.五大联结词
– 注意点：析取，条件…
• 3.合式公式及判断 • 4.命题符号化的方法 • 5.作业
第一章 命题逻辑
2
§1.4 真傎表与等价公式、对偶式
一、真值表
——对一个命题公式而言，将对于其分 量的各种可能的真值指派汇聚成的表。
推论1：用对偶式求公式的否定 推论2: A(P1,P2,…,Pn)A*(P1,P2,…,Pn)
第一章 命题逻辑 28
定理 1.7.2( 对偶原理 ): 设 A,B 为两个仅含有联结词 ┐ ,, 的 命题公式, 若AB，则A*B*. 证：设P1 , P2 ,…,Pn是出现于A和B中的所有原子变元. 因为 A(P1 , P2 ,…,Pn)B(P1 , P2 ,…,Pn) 则 A(P1 , P2 ,…,Pn)B(P1 , P2 ,…,Pn)永真. 故 A(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn)B(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn) 永真. 由定理1.7.1得 ┐A*(P1 , P2 ,…,Pn)┐B*(P1 , P2 ,…,Pn ) 因此 A*B* .
第一章 命题逻辑
4
对公式A构造真值表的具体步骤为： （1）找出公式中所有命题变元 P1 , P2 ,…,Pn , 列出全部的2n组赋值。 （2）按从小到大的顺序列出对命题变元P1 , P2 ,…,Pn ,的全部2n组赋值。 （ 3 ）对应各组赋值计算出公式 A 的真值，并 将其列在对应赋值的后面。
第一章 命题逻辑
5
eg1. 画出┐P VQ及P→Q的真值表。
P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 ┐P ┐P VQ P→Q
0 0 1 1
1 0 1 1
1 0 1 1
第一章 命题逻辑
6
eg2.画出 ┐(PΛQ)及┐P V ┐Q的真值表。
P Q ┐(PΛQ) ┐ P V ┐Q
1 1 0 0
1 0 1 0
第一章 命题逻辑22
eg:课本P19.（9）
如 果A C B C， 是 否 有 A B？ 如 果 A C B C， 是 否 有 A B？ 如 果 A B 是否有 A B？
解答：
①.否，反例：C=T。
②.否，反例：C=F。
③.是。
第一章 命题逻辑23
5. 性质 1).有自反性：任何命题公式A，有AA。 2).有对称性：若AB，则BA 3).有传递性：若AB且BC，则AC 4).如果A(P1,P2,…,Pn)B(P1,P2,…,Pn)，则 A(P1,P2,…,Pn)B(P1,P2,…,Pn) 例 A(P,Q)P→Q B(P,Q)P∨Q 有 A(P,Q)B(P,Q) A(P,Q)P→Q B(P, Q)P∨Q 可见A(P,Q)B(P, Q)
( P Q ) ( P Q) ((P Q ) ( P Q )) ( P Q ) ( P Q )
等价置换法
( P Q ) ( P Q )
(Q P ) ( P Q )
右式
第一章 命题逻辑21
9
ex2:
构造公式 ┐(PQ)∧Q真值表。
P
0 0
Q
0 1
(P Q) ┐(PQ)
1 1 0 0
┐(PQ)∧Q
0 0
1 1
0 1
0 1
1 0
0 0Leabharlann 第一章 命题逻辑10等价公式
1. 例子 看下面三个公式的真值表 P Q PQ P∨Q F F T T F T T T T F F F T T T T
公式E16 ： PQP∨Q
第一章 命题逻辑 17
等价置换的基本思路
• 1. 遇到→ 先消去此运算符 • 2. 注意公式的倒推的应用 • 3. 化简时一定是最简的
第一章 命题逻辑 18
• 例题3.化简(P∧Q)→(P∨(P∨Q)) 解 原公式 (P∧Q)∨((P∨P)∨Q) (E11,结合) (P∧Q)∨(P∨Q) (对合律，幂等律) (P∧Q)∨(Q∨P) (交换律) ((P∧Q)∨Q)∨P (结合律) Q∨P (吸收律) 公式E11 ： PQP∨Q
第一章 命题逻辑 13
⑾条件转化律 PQP∨Q QP ⑿双条件转化律 PQ (PQ)∧(QP)(P∨Q)∧(P∨Q) (P∧Q)∨(P∧Q )
(13)输出律 (A∧B)CA(BC)
(14)归谬律 (AB)∧(AB)A
第一章 命题逻辑14
4. 等价公式的证明方法 • 方法1：用列真值表。（不再举例） • 方法2：用公式的等价变换.(用置换定律) • 置换定律:A是一个命题公式，X是A中的一 部分且也是合式公式，如果XY，用Y代 替A中的X得到公式B，则AB。 • 应用置换定律以及前面列出的等价公式 可以对给定公式进行等价变换。
第一章 命题逻辑 15
• 例题1. 求证吸收律 P∧(P∨Q)P • 证明 P∧(P∨Q) • (P∨F)∧(P∨Q) (同一律) • P∨(F∧Q) (分配律) • P∨F (零律) • P (同一律)
第一章 命题逻辑 16
• 例题2. 求证 (P∨Q)→(P∧Q) P • 证明 (P∨Q)→(P∧Q) • (P∨Q)∨(P∧Q) (公式E16) • (P∧Q)∨(P∧Q) (摩根定律) • (P∧Q)∨(P∧Q) (对合律) • P∧(Q∨Q) (分配律) • P∧T (互补律) • P (同一律)
第一章 命题逻辑 26
定义1.7.1:设命题公式A仅含有联结词┐,,,在 A中将,，F，T分别换以，，T，F得出公 式A*，则A*称为A的对偶公式。 说明:(A*)*=A 例1.(┐P(QR))*=┐P(QR) ((PQ)1)*=((PQ)0) 由 P↑Q ┐(P∧Q) 和 P↓Q ┐(P∨Q) 可知 (P↑Q)*= P↓Q
关于对偶式我们有如下两个定理: 定理1.7.1:设A，A*是对偶式， P1 , P2 ,…,Pn是出现于 A和A*中的所有原子变元,则 (1) ┐A(P1 , P2 ,…,Pn )A*（┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn） (2) A(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn)┐A*（P1 , P2 ,…,Pn） 证明:因为 ┐(PQ)(┐P┐Q) ┐(PQ)┐P┐Q 所以┐A(P1 , P2 ,…,Pn )A*（┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn） 同理 ┐A*(P1 , P2 ,…,Pn )A（┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn）
a (( A B ) ( B A )) C ) (( A B ) ( B A )) C
T C C
c ( A B C ) ( A B C ) ) ( A A ) ( B C )
T (B C ) B C
第一章 命题逻辑 29
⑶对偶原理(定理1-7.2)： 令A(P1,P2,…,Pn) 、B(P1,P2,…,Pn)是只含有联 结词、∨、∧的命题公式，则如果 A(P1,P2,…,Pn)B(P1,P2,…,Pn) 则 A*(P1,P2,…,Pn)B*(P1,P2,…, Pn) 证明：因为 A(P1,P2,…,Pn)B(P1,P2,…,Pn) 故 A(P1,P2,…,Pn)B(P1,P2,…,Pn) 而 A(P1,P2,…,Pn)A*(P1,P2,…,Pn) B(P1,P2,…,Pn)B*(P1,P2,…,Pn) 故 A*(P1,P2,…,Pn) B*(P1,P2,…,Pn) 所以 A*(P1,P2,…,Pn)B*(P1, P2,…, Pn)
QP T T F T
从真值表可以看出，不论对P、Q作何指 派，都使得PQ、P∨Q和QP的真值相 同，表明它们之间彼此等价。
第一章 命题逻辑
11
2. 定义：A、B是含有命题变元P1,P2,…, Pn的命题公式， 如不论对P1, P2 , …, Pn作任何指派，都使得A和B的真 值相同，则称之为A与B等价，记作AB。 显然 PQP∨QQP 3. 重要的等价公式 ⑴ 对合律/双重否定律 PP ⑵ 幂等律/恒等律 P∨PP P∧PP ⑶ 结合律 P∨(Q∨R)(P∨Q)∨R P∧(Q∧R)(P∧Q)∧R (P Q) R P (Q R) ⑷交换律 P∨QQ∨P P∧QQ∧P PQQP
第一章 命题逻辑 32
预习 预习: 1.5, 1.6
第一章 命题逻辑 33
作业：第19页 (7) f) g) , (8) c)
作业：A、B、C、D四人进行百米竞赛，观众甲、乙、丙预报
比赛的名次为甲：C第一、B第二；乙：C第二、D第三；丙： A第二、D第四。比赛结束后发现甲、乙、丙每人报告的情况 都是各对一半，试问实际名次如何(假如无并列者)？
结论： P Q P Q。
第一章 命题逻辑
8
ex1:
画出P Q、P Q、（P Q） （P Q）这 三者的真值表。
P Q
P Q
P Q
( P Q ) ( P Q )
1 1 0 0
1 0 1 0
0 1 1 0
0 1 1 0
0 1 1 0
结论：PQ P Q (P Q) ( P Q).
第一章 命题逻辑 24
对偶式与对偶原理(Dualistic Formula & Duality PrinciPle) 在第四节(1.4)中我们给出了命题定律, 其中多数 等价公式都是成对出现的, 每一对公式的不同之处是将与互换,我们把 这样的公式称为是对偶的.
⑴对偶式：在一个只含有联结词 、∨、∧的公式 A中，将∨换成∧，∧换成∨，T换成F，F换成T ，其余部分不变，得到另一个公式A*，称A与A* 互为对偶式。 例如:： A A* P P Q∧R Q∨R (P∨T)∧Q (P∧F)∨Q
•离散数学
• Discrete Mathematics
第一章 命题逻辑
1
回顾
• 1.命题及其判断 • 2.五大联结词
– 注意点：析取，条件…
• 3.合式公式及判断 • 4.命题符号化的方法 • 5.作业
第一章 命题逻辑
2
§1.4 真傎表与等价公式、对偶式
一、真值表
——对一个命题公式而言，将对于其分 量的各种可能的真值指派汇聚成的表。
推论1：用对偶式求公式的否定 推论2: A(P1,P2,…,Pn)A*(P1,P2,…,Pn)
第一章 命题逻辑 28
定理 1.7.2( 对偶原理 ): 设 A,B 为两个仅含有联结词 ┐ ,, 的 命题公式, 若AB，则A*B*. 证：设P1 , P2 ,…,Pn是出现于A和B中的所有原子变元. 因为 A(P1 , P2 ,…,Pn)B(P1 , P2 ,…,Pn) 则 A(P1 , P2 ,…,Pn)B(P1 , P2 ,…,Pn)永真. 故 A(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn)B(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn) 永真. 由定理1.7.1得 ┐A*(P1 , P2 ,…,Pn)┐B*(P1 , P2 ,…,Pn ) 因此 A*B* .
第一章 命题逻辑
4
对公式A构造真值表的具体步骤为： （1）找出公式中所有命题变元 P1 , P2 ,…,Pn , 列出全部的2n组赋值。 （2）按从小到大的顺序列出对命题变元P1 , P2 ,…,Pn ,的全部2n组赋值。 （ 3 ）对应各组赋值计算出公式 A 的真值，并 将其列在对应赋值的后面。
第一章 命题逻辑
5
eg1. 画出┐P VQ及P→Q的真值表。
P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 ┐P ┐P VQ P→Q
0 0 1 1
1 0 1 1
1 0 1 1
第一章 命题逻辑
6
eg2.画出 ┐(PΛQ)及┐P V ┐Q的真值表。
P Q ┐(PΛQ) ┐ P V ┐Q
1 1 0 0
1 0 1 0
第一章 命题逻辑22
eg:课本P19.（9）
如 果A C B C， 是 否 有 A B？ 如 果 A C B C， 是 否 有 A B？ 如 果 A B 是否有 A B？
解答：
①.否，反例：C=T。
②.否，反例：C=F。
③.是。
第一章 命题逻辑23
5. 性质 1).有自反性：任何命题公式A，有AA。 2).有对称性：若AB，则BA 3).有传递性：若AB且BC，则AC 4).如果A(P1,P2,…,Pn)B(P1,P2,…,Pn)，则 A(P1,P2,…,Pn)B(P1,P2,…,Pn) 例 A(P,Q)P→Q B(P,Q)P∨Q 有 A(P,Q)B(P,Q) A(P,Q)P→Q B(P, Q)P∨Q 可见A(P,Q)B(P, Q)
( P Q ) ( P Q) ((P Q ) ( P Q )) ( P Q ) ( P Q )
等价置换法
( P Q ) ( P Q )
(Q P ) ( P Q )
右式
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