2.1 晶体的对称原理
三种晶体结构的最密排晶面和最密排晶向
三种晶体结构的最密排晶面和最密排晶向1.引言1.1 概述晶体是具有长程有序排列的原子、离子或分子的固体物质。
晶体的结构是由最密排列的晶面和晶向构成的。
最密排晶面是指在晶体结构中，原子、离子或分子最紧密地靠近的面，而最密排晶向则指的是在晶体中最紧密地排列的方向。
本文将分析三种不同的晶体结构，探讨它们各自的最密排晶面和最密排晶向。
通过深入研究这些结构的排列方式，可以更好地理解晶体的性质和行为。
第一种晶体结构是立方晶系，也是最简单的晶体结构之一。
它的最密排晶面是(111)晶面，最密排晶向则是[110]晶向。
这些晶面和晶向在晶体中具有紧密的排列，使晶体的结构呈现出高度的对称性。
第二种晶体结构是六方晶系，它相对于立方晶系而言稍复杂一些。
在六方晶系中，最密排晶面是(0001)晶面，最密排晶向是[10-10]晶向。
与立方晶系不同，六方晶系具有六方对称性，呈现出更复杂的晶体结构。
第三种晶体结构是四方晶系，它也是一种常见的晶体结构。
在四方晶系中，最密排晶面是(100)晶面，最密排晶向是[110]晶向。
四方晶系的晶体结构与立方晶系相似，但具有更多的对称性和排列方式。
通过对这三种晶体结构的最密排晶面和最密排晶向进行研究，我们可以更好地理解晶体的基本结构和性质。
这对于材料科学、凝聚态物理和相关领域的研究具有重要意义，同时也有助于开发新材料和改进现有材料的性能。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下几个方面的介绍：1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分概述了晶体结构和最密排晶面、最密排晶向的研究背景和重要性，并提出了本文研究的目的和意义。
正文部分分为三个小节，分别介绍了三种晶体结构的最密排晶面和最密排晶向。
每个小节将首先介绍该种晶体结构的一般特点和常见应用，然后详细讨论最密排晶面和最密排晶向的确定方法和规律，并给出具体的实例和数据进行说明。
结论部分对于每种晶体结构的最密排晶面和最密排晶向进行总结和回顾，并指出各种晶体结构最密排晶面和最密排晶向的综合特点和应用前景。
第二十二讲(晶体的各向异性 )
晶体宏观物理性能随空间方向变 化的理论依据
➢ 理论依据：空间中任何的转动都可以依据欧拉转动定理
（Euler’s rotation theorem)用三个欧拉角来 描述。
➢ 称操作（对称变换）：能使某一图形作有规律重复操作或变换。 保持晶体内任意两点之间距离不变，把晶体移到与原始位置不能 区别的位置上的操作，经过对称操作后，晶体的所有性质不变
晶体的对称性与对称操作
➢ 进行对称操作时所凭借的几何元素称对称素，晶体只 有为数不多的几种对称素，这些对称素组合而产生的 对称类型也是有限的；
物理性能随空间方向变化（例）
• 3m，以铌酸锂为例
0
0 0 0 d15 2d 22
d 22 d 22 0 d15 0
0
d31 d31 d33 0
0
0
物理性能随空间方向变化（例）
➢ d33
物理性能随空间方向变化（例）
➢ d31
➢ 对称操作
晶体的对称性与对称操作
晶体的对称性与对称操作
晶体的物理性质
晶体的物理性质是晶体本身所固有的一种属 性，晶体的物理性质大多是各向异性的，而这些 物理量可以用张量来表征。
➢ 张量的定义：其是一种物理量，在坐标变换时， 只改变表达形式，不改变物理本质。
在三维实空间，用3n个分量来表征的物理量称n阶张量，故有： 1. 零阶张量（标量，一个分量） 2. 一阶张量（三个分量；矢量） 3. 二阶张量（九个分量） 4. 三阶张量（二十七个分量）……
三角晶系 立方晶系
晶轴上的周期 abc abc abc a=bc a=bc
晶体的宏观对称性
5
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推论一：如果在偶次旋转轴上有对称中心，则必有一反映面 与旋转轴垂直相交于对称中心。
对称元素的组合：对称图形中具有两个（以上）对 称元素，通常用加号表示。如四次轴和对称中心的组 合表示为：4 i。
显然，如果对称图形具有两个（以上）对称元素， 它们的连续操作必定为复合对称操作。
镜转轴（象转轴）：图形绕一直线旋转一定角度后， 再以垂直于该直线的平面进行反映，相应的对称动 作为旋转和反映的复合操作。
反映面的惯用符号：P；国际符号：m；圣佛里斯符号：Cs
1
反映面的极射赤面投影
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立方体中的反映面
反映操作联系起来的两部分互为对映体。如晶体自身 存在反映面，该晶体不存在对映体。
九个反映面
六个反映面
三个反映面
对称中心的极射赤面投影
对称中心(centre of symmetry/inversion centre)：对称物体或 图形中，存在一定点，作通过该点的任意直线，在直线上 距该点等距离两端，可以找到对应点，则该定点即为对称 中心。相应的对称操作为反演。
第二章 晶体的宏观对称性
第一节 对称性基本概念 第二节 晶体的宏观对称元素 第三节 宏观对称元素组合原理 第四节 晶体的三十二点群
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点阵格子
晶胞
（等效）晶向指数
（等效）晶面指数
第一节 对称性基本概念
对称– 物体或图形的相同（equivalent）部分有规律的 重复。
对称动作（操作）– 使物体或图形相同部分重复出现 的动作。
C i(Ci)
1
P
L3i L4i L6i
材料科学基础第2章
晶胞示意图
晶胞大小和形状表示方法
晶胞大小和形状表示方法为：
晶胞的棱边长度ａ、ｂ、ｃ（称为点阵常数、晶格常 数(lattice constants/parameters))； 棱边的夹角为α、β、γ（称为晶轴间夹角）。 选取晶胞的原则： 1、应反映出点阵的高度对称性 2、棱和角相等的数目最多 3、棱边夹角为直角时，直角数目最多 4、晶胞体积最小
晶面指数（hkil）其中i=-（h+k）
晶向指数 [uvtw] 其中t=-（u+v）
六方晶系按两种晶轴系所得的晶面指数和晶向 指数可相互转化：
六方晶系的晶向（面）指数示意图
六方晶系的一些晶向（面）指数
4.晶带
晶带——所有平行或相交于同一直线的晶面构成一个 晶带，此直线称为晶带轴。属此晶带的晶面称为共 带面。 晶带定理：同一晶带上晶带轴[uvw]和晶带面（hkl） 之间存在以下关系：hu+kv+lw=0 通过晶带定理可以求晶向指数或晶面指数。 a) 求两不平行的晶面（h1k1l1）和（h2k2l2）的晶 带轴。 b) 求两个不平行的晶向[u1v1w1]和[u2v2w2]所决定 的晶面。
面心立方八面体间隙面心立方Biblioteka 面体间隙面心立方四面体间隙
面心立方四面体间隙
面心立方原子堆垛顺序
面心立方晶体的 ABCABC 顺序密堆结构
2.体心立方晶格(特征）
原子排列:晶胞八个顶角和晶胞体心各有一个原子 点阵参数:a=b=c，α=β=γ=90º 晶胞中原子数:n=8×1/8＋1=2个 3 原子半径: 4R 3a, R a
三种典型金属晶体结构刚球模型
三种典型金属晶体结构晶胞原子数
原子半径与晶格常数
三种典型金属晶格密排面的堆垛方式
晶体学基础知识导论X衍射 (2)
◆ 晶体生长是研究人工培育晶体的方法和规律 ◆ 晶体的几何结构是研究晶体外形的几何理论及内部质
点的排列规律
◆ 晶体结构分析是收集大量与晶体结构有关的衍射数据 ◆ 晶体化学主要研究化学成分与晶体结构及性质之间的
晶胞(unit cell)是晶体中能代 表晶格一切特征的最小部分， 必为平行六面体。用a, b, c和
a, b, g 表示晶胞特征，称为
晶胞参数。
平移矢量
Tm，n，p=ma+nb+pc (m，n，p=0，±1，…±∞)
晶 胞
晶胞的大小与形状：由晶胞参数 a, b, c, a, b, g 表示， a, b, c为六面体
方解石
石盐
Quartz
Rock-crystal
显然，这种认识还并不全面。例如，同样是一种 物质石英，它既可以呈多面体形态的水晶而存在， 也可以呈外形不规则的颗粒而生成于岩石之中。 这两种形态的石英，从本质上来说是一样的。由 此可见，自发形成几何多面体形态，只是晶体在 一定条件下的一种外在表现。晶体的本质必须从 它的内部去寻找。
(1) 初基(简单)点阵 P 一个阵点
(2) 底心点阵 C,A或B 两个阵点
(3) 体心 点阵
I 两个 阵点
(4)面心 点阵
F 四个 阵点
晶系 三斜
14种Bravais格子
原始格子 底心格子 体心格子 面心格子
（P）
（C）
（I） （F）
C=I
I=F
F=P
单斜
I=F
F=P
正交
四方
C=I
F=P
晶体的对称性和分类
2
4
2 4
晶体中独立的宏观对称操作 (或对称元素)只有8种,
即：1、2、3、4、6、i、4m、 。其中数字n(1、2、
3、4、6)表示纯转动对称操作(或转动轴)；i表示中心
反演（或对称中心）；m表示镜面反映（或对称镜
面这）。种表示方法属于国际符号(International not
ation)标记法，是海尔曼(Hermann)和毛衮(Ma
晶体结构可以用布拉维格子或布拉维点阵来描 述,这样以来,晶体变为无限大的空间点阵.从而, 晶体具有了平移对称性,借助于点阵平移矢量,晶 格能够完全复位.我们把考虑平移后的对称性称 为晶体的微观对称性.
由于晶体的宏观对称操作不包含平移,所以宏 观对称操作时,晶体至少保持有一个点不动,相应 的对称操作又称为点对称操作.
a23
y
z z a31 a32 a33 z
其中： r
x y
z
x
r
y
z
a11
A
a21
a31
a12 a22 a32
a13
a23
a33
x x a11 a12 a13 x
y
y
a21
a22
a23
y
z z a31 a32 a33 z
x x
y
y
cos
z
sin
z
y
sin
z
cos
x 1 0
0 x
y
0
cos
sin
y
z 0 sin cos z
所以，绕x轴旋转的变换矩阵为：
1 0
0
Ax
0
cos
sin
第二章 晶体结构 - 2.1.1球体紧密堆积原理(上)
材料科学基础第2 章2.1.1 球体堆积（上）一球体紧密堆积原理二等大球体六方紧密堆积问题提出 构成晶体的质点在空间是如何排列的？如何描述NaCl 的晶体结构？ 氯离子是如何排列的？ 钠离子又是如何排列的？Na + Cl - Cl - Na + Na + Na + Cl - Cl - Na + Cl - Na + Na + Cl - Cl - Na + Cl - Na + Cl - Na + Cl -Cl - Na +Na + Na + Cl - Cl - Na + 有缘学习更多驾卫星ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）球体紧密堆积原理离子结合 球体堆积晶体结合 遵循势能 最低原则球体紧密 堆积球体紧密堆积示意图AA A A AA A A A A A A A A A A BB B B B B BB B B BB BB CC C C C C C CC C C C C C C C 球体的二维密排球体相互接触 每三个球体间形成弧形三角形空隙1 23456球体的二维密排1 23564球体堆积第二层最紧密的堆积方式是将球对准1，3，5位。
( 或对准2，4，6位，其情形是一样的 )AB堆积第三层，第一种是将球对准第一层的球。
12 3 4 5 6每两层形成一个周期，即 AB AB 堆积方式，形成六方紧密堆积---ABAB 型。
配位数 12 。
( 同层 6，上下层各 3 )A B A B A 六方紧密堆积的前视图堆积第三层，第一种是将球对准第一层的球。
AB六方晶胞——六方密堆积密排面。
晶体学基础知识点小节
第一章晶体与非晶体★相当点（两个条件：1、性质相同，2、周围环境相同。
）★空间格子的要素：结点、行列、面网★晶体的基本性质：自限性: 晶体能够自发地生长成规则的几何多面体形态。
均一性:同一晶体的不同部分物理化学性质完全相同。
晶体是绝对均一性，非晶体是统计的、平均近似均一性。
异向性：同一晶体不同方向具有不同的物理性质。
例如：蓝晶石的不同方向上硬度不同。
对称性：同一晶体中，晶体形态相同的几个部分（或物理性质相同的几个部分）有规律地重复出现。
最小内能性：晶体与同种物质的非晶体相比，内能最小。
稳定性：晶体比非晶体稳定。
■本章重点总结：本章包括3组重要的基本概念:1) 晶体、格子构造、空间格子、相当点；它们之间的关系。
2) 结点、行列、面网、平行六面体; 结点间距、面网间距与面网密度的关系.3) 晶体的基本性质：自限性、均一性、异向性、对称性、最小内能、稳定性，并解释为什么。
第二章晶体生长简介2.1 晶体形成的方式★液-固结晶过程:⑴溶液结晶: ①降温法②蒸发溶剂法③沉淀反应法⑵熔融结晶: ①熔融提拉②干锅沉降③激光熔铸④区域熔融★固-固结晶过程:①同质多相转变②晶界迁移结晶③固相反应结晶④重结晶⑤脱玻化2.2 晶核的形成●思考：怎么理解在晶核很小时表面能大于体自由能，而当晶核长大后表面能小于体自由能？因为成核过程有一个势垒：能越过这个势垒的就可以进行晶体生长了，否则不行。
★均匀成核：在体系内任何部位成核率是相等的。
★非均匀成核：在体系的某些部位（杂质、容器壁）的成核率高于另一些部位。
●思考：为什么在杂质、容器壁上容易成核？为什么人工合成晶体要放籽晶？2.3 晶体生长★层生长理论模型（科塞尔理论模型）层生长理论的中心思想是：晶体生长过程是晶面层层外推的过程。
★螺旋生长理论模型（BCF理论模型）●思考：这两个模型有什么联系与区别？联系：都是层层外推生长；区别：生长新的一层的成核机理不同。
●思考：有什么现象可证明这两个生长模型？环状构造、砂钟构造、晶面的层状阶梯、螺旋纹2.4 晶面发育规律★★布拉维法则(law of Bravais)：晶体上的实际晶面往往平行于面网密度大的面网。
结晶化学导论》笔记---方聪_203.2.3（PDF）
结晶化学导论2013年9月《结晶化学导论》课程笔记目录序言： (3)第一部分：晶体宏观对称性 (4)1.1 晶体的投影 (4)1.2 晶体的对称原理 (6)1.3 10种宏观对称元素组合原理 (13)1.4 晶体的32点群—晶体共有32种宏观对称类型 (19)1.5 依据32种点群进行晶体分类 (27)1.6 32种点群符号对应关系： (28)1.7 晶体的定向： (31)1.8 Bravais定律（决定晶体生长形态的内因） (33)1.9 晶体的晶形 (34)第二部分晶体的微观对称性 (39)2.1 7大晶系（讨论平行六面体（格子）的形状和对称性） (40)2.2 14种布拉维格子 (43)2.3 晶体的独立微观对称元素（共26种） (51)2.4 微观对称元素组合原理 (58)2.5 单位晶胞的投影及其符号表示 (61)2.6 晶体的230种空间群（空间对称群） (62)2.7 等效点系 (69)2.8 晶体微观对称性总结 (72)第三部分晶体X射线衍射基本原理 (74)3.1 X射线的产生 (74)3.2 X射线与物质的相互作用 (77)3.3 X射线衍射原理 (79)3.4 Laue方程 (81)3.5 布拉格方程 (86)3.6 Bragg方程和Laue方程的等价推导（以立方晶系为例） (89)3.7 倒易点阵 (89)g（倒格矢） (92)3.8 倒易点阵的向量推导—倒易矢量hkl3.9 7大晶系的面间距公式 (94)3.10 衍射的Ewald作图与衍射方法 (95)3.11 非单质结构的衍射 (98)3.12 X射线衍射的强度分析（消光） (100)第四部分：X射线粉末衍射及应用 (113)4.1 X射线粉末衍射原理及仪器构造 (113)4.2 X射线粉末衍射样品制备 (114)4.3 测定晶胞参数需要注意的两个问题 (116)4.4 X射线物相分析 (117)4.5 粉末衍射指标化 (121)4.6 粉末衍射结构分析 (127)第五部分：结晶化学概论 (130)5.1 等径球的密堆积 (130)5.2 其他密堆积类型 (134)5.3立方最密堆积A1，体心立方密堆积A2，六方最密堆积A3分析 (137)5.4 多层堆积的表示方法 (145)5.5 不等径球的密堆积 (146)5.6 分子的堆积 (156)5.7 结晶化学定律 (159)第六部分：典型结构化合物的结晶化学 (167)序言：这本《结晶化学导论笔记》是我自己在学习过程中整理的，笔记的整体框架以老师上课的PPT为基础。
晶体结构
有效半径：是指离子或原子在晶体结构中处于相接触时的半径。在这 种状态下，离子或原子间的静电吸引或排斥作用达到平衡。 1、离子晶体：在离子晶体中，一对相邻接触的阴、阳离子的中心距，
即为该阴、阳离子的离子半径之和。
2、共价晶体：在共价化合物晶体中，两个相邻键合原子的中心距， 即为这两个原子的共价半径之和。
规则四：在一个含有不同阳离子的晶体中，电价高而配位 数小的阳离子，不趋向于相互共有配位多面体的要素。 规则五（节约规则）：即在一个晶体结构中，本质不同的 结构组元的种类，趋向于为数最少。本质不同的结构组 元，是指在性质上有明显差别的结构方式。
举例：
① Mg2[SiO4](镁橄榄石结构)
② 石榴石（Ca3Al2Si3O12）结构分析：
A
C
B
1 6
5
2
A
3
4
C B
A
配位数 12 。 ( 同层 6， 上下层各 3 ) 面心立方紧密堆积的前视图
ABC ABC 形式的堆积，
为什么是面心立方堆积？
我们来加以说明。
C B A
这两种堆积都是最紧密堆积，空间利用率为 74.05%。以面心立方紧密堆积为例：
设圆球的半径为r，在（111）面为密排面，如图所示。所以单位晶胞立方 体的边长 a 2 2r 在面心立方的晶胞中包含有四个这样的圆球，所以：
Z S + CN
+ Z Z - Si ( ) + i CN i i
+
因此，静电价规则写成数学表达式为：
作用：分析离子晶体结构的稳定性，通过计算每个阴离子 所得到的静电键强度的总和，如果与其电价相等，则表 明电价平衡，结构稳定。
举例：① CaF2属于萤石型结构，Ca2+的配位数为8，故CaF键的静电键强度为S=2/8=1/4，每个F-与四个Ca2+形成
晶体的对称性
廊坊师范学院本科生毕业论文论文题目：晶体的对称性论文摘要：对称性在物理研究的应用中非常广泛，从对称性的角度出发，可以研究许多物理问题。
本文则主要是从几个不同的方面对晶体的对称性进行论述。
首先，介绍国内外有关晶体对称性的历史发展过程；其次，从宏观对称性和微观对称性对晶体的对称性做进一步的阐述和说明。
在宏观方面：简述宏观对称元素和点对称操作、限制宏观对称性的基本原理、32种空间点群以及7个晶系和14种布拉菲格子的简单证明。
在微观方面：介绍微观对称元素和对称类型以及空间操作；再次，简要说明晶体的宏观对称性和微观对称性的区别与联系。
最后，介绍准晶（准周期晶体）对称理论的历史及其发展概况。
关键词：晶体的对称性；宏观对称性；微观对称性；对称元素；准晶（准周期晶体）Abstract：Nowadays, the application of symmetry in physics is very broad. From the perspective of symmetry, we can study many physical problems. This paper wasmainly from several different aspects to discuss the symmetry of the crystal. First,introduce the development of symmetry of crystal between domestic and foreignhistory. Second, to elaborate and explanted the symmetry of crystal furtherbetween Macro- symmetry and Micro-symmetry .At the macro level, describe themacro elements、point symmetry operation、the basic principles of limit formacro-symmetry、32 kinds of space group and a simple demonstrate of 7 and 14Bluff crystal lattice .At the micro level, overview the elements and type ofmicrocosmic symmetry and space operation. Third, we will have a briefdescription of the differences and similarities between Macro- symmetry andMicro-symmetry .Last; describe the history and its development of Quasi-crystalsymmetry theory.Key word：symmetry of crystal；macroscopic symmetry of crystal；microcosmic symmetry of crystal；symmetry element；quasiperiodic crystal目录论文摘要、关键词 (1)1.晶体对称性研究的历史发展过程 (3)1.1 17世纪中叶——19世纪末 (3)1.2 20世纪初——20世纪70年代 (4)2.晶体的宏观对称性 (5)2.1 宏观对称元素和点对称操作 (6)2.2 限制宏观对称性的基本原理 (6)2.3 宏观对称元素的组合与32种点群 (7)2.4 7个晶系和14种布拉菲格子 (8)2.4.1 7个晶系 (8)2.4.2 14种点阵 (12)3.晶体的微观对称性 (14)3.1 晶体的微观对称元素 (14)3.2 晶体的微观对称类型与230个空间群 (15)4.晶体宏观对称性和微观对称性的关系 (15)5.准晶对称理论 (16)参考文献 (21)1 晶体对称性研究的历史发展过程晶体学属于近代科学，尽管在遥远的古代具有规则多面体的矿物晶体就已引起人们的极大的兴趣和注意，然而在人类的蒙昧时期，瑰丽多彩的晶体却被具有魔力的神话和荒诞不经的迷信所统治，晶体学自17世纪中叶诞生，时至今日已有三百余年的历史。
固体物理学讲义2.1
第二章 固体的结合晶体中粒子的相互作用力可以分为两大类，即吸引力和排斥力，前者在远距离是主要的，后者在近距离是主要的；在某一适当的距离，两者平衡，使晶格处于稳定状态。
吸引作用来自于异性电荷的库仑作用；排斥作用源于：一、同种电荷之间的库仑作用，二、泡利原理所引起的作用。
固体的结合根据结合力的性质分为四种基本形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧范德瓦尔结合金属性结合共价性结合离子性结合 实际结合可能是兼有几种结合形式或者具有两种结合之间的过渡性质。
§2-1 离子性结合离子性结合的基本特点是以离子而不是以原子为结合的单位，结合的平衡依靠较强的静电库仑力，要求离子间相间排列。
其结构比较稳定，结合能为800千焦耳/摩尔数量级。
结合的稳定性导致导电性能差、熔点高、硬度高和膨胀系数小等特点。
以N a Cl 晶体为例，由于N a +和 Cl -离子满壳层的结构，具有球对称结构，可以看成点电荷，若令r 表示相邻离子的距离，则一个正离子的平均库仑能为：∑++-++321321,,2122322222102)(4)1(21n n n n n n r n r n r n q πε这里n 1，n 2，n 3为整数且不能同时为零。
一个元胞的库仑能为：απεπεr q n n n r q n n n n n n 02,,21232221024)()1(4321321-≡∑++-++上式中α为无量纲量，称为马德隆常数。
当邻近离子的电子云显著重叠时，将出现排斥，其能量可以由下式描述：n r rr bbe 或者0-因此含N 个元胞的晶体的系统内能可以表示为：)(nr B r A N U +-= 其和体积或者晶格常数的关系如下图（1） 晶格常数结合最稳定时的原子间距即为晶格常数，由下式决定0)(0=∂∂=r r r r U（2） 压缩系数压缩系数定义为单位体积的改变随单位压强的变化的负值，即：T pV V )(1∂∂-=κ 由热力学第一定律有：pdV dU -=（这里忽略了热效应），则压缩系数为：TV UV )(122∂∂=κ 体弹性模量为：κ1=K（3） 抗张强度晶体能够承受的最大张力，叫抗张强度。
晶体结构之二：对称性
第二章晶体结构一、教学要求（1）内容提要：物质通常有三种聚集状态：气态、液态和固态。
而按照原子（或分子）排列的规律性又可将固态物质分为两大类，晶体和非晶体。
晶体中的原子在空间呈有规则的周期性重复排列；而非晶体的原子则是无规则排列的。
原子排列在决定固态材料的组织和性能中起着极重要的作用。
金属、陶瓷和高分子的一系列特性都和其原子的排列密切相关。
一种物质是否以晶体或以非晶体形式出现，还需视外部环境条件和加工制备方法而定，晶态与非晶态往往是可以互相转化的。
本章主要内容包括：：晶体学基础；金属的晶体结构；合金相结构；离子晶体结构；共价晶体结构；聚合物的晶态结构；非晶态结构。
（2）基本要求掌握晶体的空间点阵、晶胞、晶向和晶面指数、晶体的对称性等结晶学基础知识，了解32种点群和230种空间群等；掌握三种典型的金属晶体结构、合金相结构、离子晶体结构和硅酸盐晶体结构，了解共价晶体结构和分子与高分子晶体结构。
（3）重点难点重点：结晶学基本原理及典型的金属晶体、合金相、离子晶体结构。
难点：空间点阵、非化学计量化合物和鲍林规则。
（4）主讲内容①晶体学基础；②金属的晶体结构；③合金相结构；④离子晶体结构；⑤共价晶体结构；⑥聚合物晶体结构。
《第二章晶体结构》目录——引言——晶体的结构特征与基本性质（1.0h）2.1晶体结构的周期性（4.0-6.0h）2.2.1点阵与平移群一、点阵结构与点阵（1）一维点阵结构与直线点阵；（2）二维点阵结构与平面点阵（3）三维点阵结构与空间点阵二、点阵的条件与性质（1）定义；（2）条件；（3）点阵与点阵结构的对应关系。
2.2.2点阵单位与点阵参量一、点阵单位与点阵常数（1）直线点阵单位与线段参数（2）平面点阵单位与网格参数（3）空间点阵单位与晶胞参数二、其他晶体结构参数（1）（原子）阵点坐标与原子间距；（2）晶向（直线点阵）指数（3）晶面（平面点阵）指数；（4）晶面间距与晶面夹角（5）晶带与晶带定律三、极射投影*2.2.3 倒易点阵与晶体衍射*2.2晶体结构的对称性（4.0h）2.3.1对称性的基本概念——对称及其对称元素与对称操作2.3.2宏观对称性—晶体外形（有限）表现的对称性—点对称性一、点对称操作与宏观对称元素；二、点群及其表示方法——32个点群（晶类）；三、晶系与空间点阵型式——7种晶系与14种布拉菲点阵2.3.3微观称对性—晶格基元（无限）排列的对称性—体对称性一、空间对称操作与微观对称元素；二、空间群及其表示方法；三、等效点系——2.3.4点群与空间群的关系2.3.4 晶体结构符号2.3典型晶体结构分析（8.0h）2.3.1金属晶体结构2.3.2共价晶体结构2.3.3离子晶体结构2.3.4分子晶体结构2.3.5高分子(晶体)结构2.4 合金相结构2.2晶体结构的对称性——强调：对称操作与矩阵变换（点阵与矩阵）2.2.1对称性的基本概念——对称的概念（定义与划分）擅长形象思维的中国人在西汉〈韩诗外传〉就有：“凡草木花（注：有生命）多五出，雪花（注：无生命）独六出。
《结晶学与矿物学》复习要点
《结晶学与矿物学》复习要点结晶学一、基本概念：1.晶体（crystal）的概念：内部质点在三维空间周期性重复排列构成的固体物质。
这种质点在三维空间周期性地重复排列称为格子构造，所以晶体是具有格子构造的固体。
2对称型（class of symmetry）晶体宏观对称要素之组合。
（点群，point group）3.空间群：一个晶体结构中，其全部对称要素的总和。
也称费德洛夫群或圣佛利斯群。
4.单形（Simple form）：一个晶体中，彼此间能对称重复的一组晶面的组合。
即能借助于对称型之全部对称要素的作用而相互联系起来的一组晶面的组合。
5.双晶：两个以上的同种晶体，彼此间按一定的对称关系相互取向而组成的规则连生晶体。
6.平行六面体：空间格子中按一定的原则划分出来的最小重复单位称为平行六面体。
是晶体内部空间格子的最小重复单位，是由六个两两平行且相等的面网组成。
7.晶胞：能充分反映整个晶体结构特征的最小结构单元，其形状大小与对应的单位平行六面体完全一致。
8．类质同像：晶体结构中某种质点为性质相似的他种质点所替代，共同结晶成均匀的单一相的混合晶体，而能保持其键性和结构型式不变，仅晶格常数和性质略有改变。
9.同质多像：化学成分相同的物质，在不同的物理化学条件下，形成结构不同的若干种晶体的现象。
10.多型：一种元素或化合物以两种或两种以上层状结构存在的现象。
这些晶体结构的结构单元层基本上是相同的，只是它们的叠置次序有所不同。
二、晶体的6个基本性质1、均一性（homogeneity）：同一晶体的任一部位的物理和化学性质性质都是相同的。
2、自限性（property of self-confinement）：晶体在自由空间中生长时，能自发地形成封闭的凸几何多面体外形。
3. 异向性（各向异性）异向性(anisotropy)：晶体的性质随方向的不同而有所差异。
4. 对称性（property of symmetry）：晶体的相同部分（如外形上的相同晶面、晶棱或角顶，内部结构中的相同面网、行列或质点等）或性质，能够在不同的方向或位置上有规律地重复出现。
无机材料科学基础要点
8、三元相图析晶路径的分析
判断化合物的性质 划分副三角形 标出界线上的温度走向和界线的性质 确定无变量点的性质 分析具体的析晶路程
第七章、固体中质点的扩散
1、固体中扩散的特点 各向异性、扩散速率低 2、菲克定律（宏观现象）与扩散系数
无机材料科学基础复习
南华大学化学化工学院
主要参考书
《无机材料科学基础》 陆佩文主编，武汉工业大学出版社
《无机材料科学基础》 曾燕伟主编，武汉理工大学出版社
第一章 无机材料的化学键与电子结构
1.1 离子键与离子晶体
离子键特征及离子晶体一般特性： 熔点高、硬度大、质脆、延展性差、熔融状态可导电
1.2 共价键与分子轨道理论
CaF2结构、金刚石结构、金红石结构、刚玉结构、 钙钛矿结构、尖晶石结构 12、硅酸盐晶体结构、硅酸盐晶体结构分类的依据
硅酸盐晶体结构特点
a. [SiO]4是结构基础 b. Si4＋间不直接相键，通过O2-来实现 c. [SiO]4每个顶点，最多能被2个[SiO]4所共用 d. 两个相邻的[SiO]4之间可以共顶，而不以共棱、
写出缺陷反应方程
固溶式、算出晶胞的体积和重量
理论密度（间隙型、置换型）
和实测密度比较
10、位错概念
刃位错：滑移方向与位错线垂直，伯格斯矢量b与位错线垂直
螺位错：滑移方向与位错线平行，伯格斯矢量b与位错线平行
固体材料中存在的界面包括相界和晶界
界面和表面(interface and surface) 界面是指两相接触的约几个分子厚度的过渡区.
两相中的一相为气体时的界面通常称为表面。
表面可以由一系列的物理化学数据来描述（表面积、表面组成、表面张力、表面 自由能、熵、焓等），表面与界面的组成和结构对其性能有着重要的影响。
晶体结构和对称性
晶态结构示意图
非晶态结构示意图
2 晶体的共性
(1) 晶体的均匀性与各向异性
均匀性：晶体的一些与方向无关的量（如密度、化学 组成等）在各个方向上是相同的；
各向异性：晶体的一些与方向有关的量（如电导、热 导等）在各个方向上并不相同.例如, 云母的传热速率, 石 墨的导电性能等
非晶体的各种性质均具有均匀性, 但与晶体的均匀性的 起源并不相同, 前者是等同晶胞在空间按同一方式重复排列 的结果, 而后者则是质点的杂乱无章排列所致.
平移：所有点阵点在同一方向移动同一距离且使图形复原 的操作。
(3) 常见点阵形式
A 直线点阵 以直线连接各个阵点形成的点阵。
一维周期排列的结构及其点阵
直线点阵中连接任意两相邻阵点的向量称素向量（基本向量）。 相邻两阵点的矢量a, a是这直线点阵的单位矢量, 长度称 为点阵参数, 因是平移时阵点复原的最小距离, 故a 为平移 素向量.
晶体结构和对称性
第三章：晶体结构和对称性
基本要求：
1、理解晶体结构的周期性和点阵; 2、掌握晶体结构的宏观对称性和微观对称 性，理解它们的区别和联系; 3、了解空间群的推导及表达。
§2.1 晶体结构的周期性和点阵
岩石(CaCO3)
水晶（SiO2）
黄铁矿 (FeS2)
钻石（C）
绿宝石 (Be3Al2(SiO3)6)
按照以上程序及限制进行组合，我们可以得到的对称元 素系共32种，即32个晶体学点群（晶体的对称性只有32种， 尽管自然界中晶体的外形多样）。
点群的Schönflies符号
Cn: 具有一个n次旋转轴的点群。 Cnh: 具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。 Cnv: 具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。 Dn: 具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。 Sn:具有一个n次反轴的点群。 T:具有4个3次轴和3个2次轴的正四面体点群。 O:具有3个4次轴,4个3次轴和6个2次轴的八面体点群。
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n=360/ 。
二次旋转轴L2
投影符号：或
三次旋转轴L3
投影符号：
极射赤平投影图
四次旋转轴L4
投影符号：
极射赤平投影图
六次旋转轴L6
投影符号：
极射赤平投影图
晶体的对称定律-开普勒的老问题：为什么天上不下五角形的雪花？
由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分
布特点决定了晶体的对称轴只有n = 1，2，3，4，6这五种，
四苯基甲烷的Li4
尿素的四次反轴Li4
环丁烷的L4和C
第一章 晶体的对称原理
对称：物体(或图形)中相同部分之间有规律重复，既相对又相称
1.1 宏观对称要素
宏观对称的主要特征：
--有限图形的对称。 --对称要素的组合在空间相交于一点（没有平移操作）。
对称操作(symmetry operation)
能够使对称物体(或图形)中的各个相同部分作有规律重复
的动作(对称操作)---包括旋转、反映、反演、旋转反映、 旋转反演。
cos sin 0 sin cos 0 0 0 1
cos sin 0
种类 Li1 = C Li2 = P Li3 = L3 +C Li4 Li6 = L3 +P
sin cos 0
=
0 0 1
or
对称变换矩阵
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
对称轴(没有5-fold 和 > 6-fold )
6
6
6
6
6 6
3-fold 4-fold
6
1-fold
2-fold
变换矩阵：
6
cos sin 0 sin cos 0 0 0 1
×
0 1 0 0 1 0 0 0 1
L 4× C
L4+C
注意：复合对称动作和复合对称元素是不同的。两个或两个
以上的对称动作连续进行，称为这些动作的复合对称动作。一
个对称图形若同时具有两个或多种对称元素的对称性，则称为
具有这些对称元素组合的对称性。例如：
因为L4高于L2 ， Li4也高于L2 。在晶体模型上找对称要素，
一定要找出最高的。
旋转反映轴 –Lsn ：操作为旋转+反映的复合操作
一次旋转反映轴Ls1
二次旋转反映轴Ls2
极射赤平投影图
三次旋转反映轴Ls3
极射赤平投影图
四次旋转反映轴Ls4
极射赤平投影图
六次旋转反映轴Ls6
极射赤平投影图
上来说，不是天然的，就可以被算做“假”的。从狭义上来说，“假”
宝石一般是用其他品种的宝石冒充来的，比如说用塑料、水晶等冒充钻 石，或者用锆石、碳化硅冒充钻石，因为不是同一类的东西，所以可以 毫无疑问的说这是假的。 说点题外话，在市场上，商家听到“这颗
红宝石是不是真的”这种问题，就会知道
顾客是外行。如果遇上奸商，人家就会狠 狠宰你一刀。因此，如去珠宝店买东西， 不妨问问商家“这颗红宝石是不是合成的 啊？”商家一听就知道顾客还是懂点知识 的，也就不会太过分了。
A’ -a O n a 2/n A
2/n
B’
B
证明
2 2 B B ma 2 OB cos 2a cos n n
'
A’
-a 2/n
O
n
a 2/n
A
m 2 cos 2 n
B’
B
2 cos 1 n
m -2
cos -1
180
n=360/
2
-1 0 1
2
-1/2 0 1/2
它简单的对称要素或它们的组合来代替，其间关系如下：
Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C，Li6 = L3 + P
但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4 和Li6，而其他 旋转反伸轴就用简单对称要素代替。这是因为Li4 不能被代 替， Li6在晶体对称分类中有特殊意义。
但是，在晶体模型上找Li4往往是比较困难的，因为容易误 认为L2。 我们不能用L2代替Li4 ，就像我们不能用L2代替L4一样。
对称中心(C, 1)
假想的几何点，相对于这个点 的反伸(x, y, z) 变换矩阵：
0 1 0 0 1 0 0 0 1
(-x, -y, -z)
倒转轴(Lin)之对称操作
• 倒转轴（反轴）：围绕直线
旋转一定的角度和对于一定
点的反伸 = 对称轴×对称中心 变换矩阵：
对称元素之对称操作
对称操作 ＝ 对应点的坐标变换
(x, y, z)
(X, Y, Z)
X x Y y Z z
X a11 x a12 y a13 z Y a 21 x a 22 y a 23 z Z a x a y a z 31 32 33
第二篇 几何结晶学
主要内容：
第一章：晶体的对称原理 第二章：对称元素的组合
第三章：晶体所有可能的对称组合
第四章：空间点阵 第五章：晶体的定向及晶系 第六章：等效点系 第七章：单形和复形及其例举
问题的提出1：怎么从外形上辨别这些晶体？
问题的提出2：人工宝石是宝石，还是假宝石？
人工宝石确实是宝石，那么关于“假”这个问题怎么解释呢？从广义
6-fold
其中α为基转角
对称面(m)
变换矩阵
( m 包含x、y轴)
x x y y z z
m
1 0 0 0 1 0 0 0 1
m包含x、z轴 ? m包含y、z轴 ? m在其他位置 ?
对称中心
对称元素
对称变换 基转角
对称面
平面
旋转反伸轴
三次 四次 六次
点
直线和直线上的定点
绕直线旋转和点的倒反 120° 90° 60°
对于点的倒反 对于平面反映 360° 180°
习惯符号
国际符号 等效对称要素 图示记号
C
1
独立
Pm独立来自Li33 L3+C
Li4
4
独立
Li6
6 L3+P
〃或C
双线或粗线
1
120 90 60
360
3 4 6
1
m 1或 m 2 2
对称中心—C
操作为反伸(演)。只可能在晶体中
心，只可能一个。 反伸操作演示：
但这种反伸操作不容易在晶体模型上体现。 凡是有对称中心的晶体，晶面总是成对出现且两两反向平 行、同形等大。
对称中心：习惯符号C
旋转反伸轴 –Lin 操作为旋转+反伸的复合操作。
不可能出现n = 5， n > 6的情况。
为什么呢？
1、直观形象的理解：垂直五次及高于六次的平面结构不能
构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间, 即不能成为晶
体结构。
证明
对称轴 n 通过点阵点O并与平面点阵(纸面)相垂直, 在平
面点阵上必有过O点的直线点阵AA＇, 其素向量为a. 利用对 称轴n 对O点两侧的a分别顺、逆时针旋转角度,产生点阵点 B与B＇, BB＇必然平行与AA＇
1.1 宏观对称要素
对称元素(symmetry element)：在进行对称操作时所凭借的几
何要素——点、线、面等。 对称元素种类 对称中心(center of symmetry)； 对称面(symmetry plane) 对称轴(symmetry axis)； 倒转轴(rotoinversion axis)
一次旋转反伸轴Li1
L i 1= C
极射赤平投影图
二次旋转反伸轴Li2
极射赤平投影图
Li 2= P
三次旋转反伸轴Li3
极射赤平投影图
Li 3= L3C
四次旋转反伸轴Li4
极射赤平投影图
Li 4
六次旋转反伸轴Li6
极射赤平投影图
L i 6= L3P
值得指出的是，除Li4外，其余各种旋转反伸轴都可以用其
映转轴(rotoreflection axis)
对称元素和相应的对称操作：
对称面—P 操作为反映。 可以有多个对称面存在， 如3P、6P等.
该切面是 对称面
该切面不是矩 形体的对称面
对称面：
对称自身—L1 什么操作也没有进行 最低的一种对 称元素.
对称轴—Ln
操作为旋转 。其
中n代表轴次， 指旋转360度相 同部分重复的 次数。旋转一 次的角度为基 转角 ，关系为：
对称元素符号
宏观晶体的宏观对称要素
对称轴
一次 对称元素 对称变换 基转角 习惯符号 360° L1 二次 三次 直线 围绕直线的旋转 180° L2 120° L3 90° L4 60° L6 四次 六次
国际符号
等效对称要素 图示记号
1
独立
2
独立
3
独立
4
独立
6
独立
对称元素符号
宏观晶体的宏观对称要素