刚体的转动

dt
dt
由于
d , d
dt
dt
M J M J
刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，合外力矩等 于刚体的转动惯量与角加速度的乘积.
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别
悬 有 质 量 为 m1 和 m2 的 物 体 ， 滑 轮 可 视 为 均 质 圆 盘 ， 质量为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无
i
i
O ri vi
mi
二 刚体定轴转动时的角动量定理
由刚体定轴转动定律 M J d
M d(J ) dL
dt
dt dt
刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率.
将上式变形后积分 Mdt d(J) dL
t2 t1
Mdt

J2

J1

L2

L1
t2 Mdt表示作用在刚体上的合外力矩的时间积累, t1
(a) 圆环的转动惯量
O R dm
(b) 把圆盘看出由许多薄圆
(a) 圆环的转动惯量
环组成，如图所示。设圆
盘的单位面积的质量(面密
度)为 ，则半径为r，厚
O r dr R
度为dr的薄圆环的质量
(b) 圆盘的转动惯量
图4.5
dJ r2dm r2 2 rdr 2 r3dr
J dJ R 2 r3dr 1 R4 1 mR2
转动平面的交点，力
F
作用
在 面刚内体, r上为点由P 点,
且在转动平
O 到力的作
用F点对P转的轴位Z矢的. 力矩
M rF
M Fr sin Fd (d:力臂)
M

z
M
r
Od
F
P*
2 力矩作功
dW

F
dr

F
cos

ds
cos sin
角动量守恒与能量守恒、动量守恒这三个守恒定 律，是这个宇宙中最基本最牢不可破的三条定律，它 们都是宇宙基本时空性质的反应。
能量守恒等价于时间平移对称性，即物理定律并 不随着时间的流逝而发生改变；
动量守恒等价于空间平移对称性，即物理定律并 不随着空间地点的改变而改变；
角动量守恒则等价于空间各向同性，即物理定律并 不随着空间朝向的改变而改变。
2
dW F sin ds
o
ds rd
v d Ft
F
rdr x
dW F sin(rd ) (Frsin)d Md
力矩的功
W 2 Md 1
四 刚体定轴转动的转动动能和转动惯量 1 转动动能
刚体内部质量为 mi的质量元的速度为 vi ri
平动 刚体的运动形式
转动 平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同。
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 定轴转动
转动 非定轴转动
定轴转动: 转轴不动,刚体绕转轴运动。
非定轴转动: 转轴运动,刚体绕转轴运动。
垂直于转轴的平面叫转动平面.
二 描述刚体定轴转动的物理量
角坐标 (t)
刚体作为特殊的质点组,它服从质点组的功能转换关
系.
2
刚体的定轴转动的动能应用EK

1 2
J 2 计算.
六 刚体定轴转动的转动定律
由转动动能定理
W
2 1
Md

1 2
J
2 2

1 2
J12
取微分形式： Md d ( 1 J 2 ) Jd
2
两边除以dt得： M d J d
W ex

Md
而 EK

1 J 2 ,
2
0
EK 0

1 2
J02
得刚体定轴转动的动能定理
W

Md
0

1 2
J 2

1 2
J
2 0
刚体定轴转动的动能定理: 合外力矩对绕定轴转动的 刚体所作的功等于刚体转动动能的增量.
注意:
1 如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质
点组的功能原理和机械能转换与守恒定律讨论.总之,
在经典力学中有：
时间平移对称性 空间平移对称性 空间转动对称性
能量守恒定律 动量守恒定律 角动量守恒定律
作业5： 5-5、5-9、5-14、5-29、5-34.
相对滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳
子的张力.
解: 分别取m1、滑轮和m2为研究对象,受力图 o
如m下T1g1，取a竖直T向1 上为正T2方向。m设T2 g2m2a>m1
r m'
m1
m2
T1 m1g m1a 1
T2R T1R J 2
T2 m2g m2a 3
一 角动量
1 质点的角动量
质量为 m 的质点以速度
v
在O的空位间矢运为动r,某,质时点刻相相对对于原原点点
的角动量
L

r

p

r

mv
大 小: L rmvsin
L 的方向符合右手法则.
L
z
v
rm
xo
y
L
v

r
z

2 刚体的角动量
L mi ri vi ( mi ri2 ) J
守恒律与对称性
在长期的对物理现象的研究中，人们逐渐发现 物理守恒定律与客观世界具有的对称性之间存在着 密切的联系，或者说物理守恒定律是客观物质世界 对称性的反映。
1918年德国女数学家艾米 • 诺特创建了一条定理， 该定理指出：每一条守恒定律都与某一种对称性相 联系，每一种对称性也都对应着一条守恒定律。
n
Fi 0,
pi
p0i

常矢量
i 1
第五章 刚体的转动
5-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定 律
5-2 定轴转动的角动量定理和角动量守 恒定律
§5-1
刚体定轴转动的 动能定理和转动定律
一 刚体及刚体定轴转动
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的 物体（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）.
a r 4
J 1 Mr2 2
得解
a

(m2 m1)g
m1

m2

1 2
m


(m2 (m1 m2
m1 ) g 1 m)r
2
T1

m1(2m2

1 2
m)g
m1

m2

1 2
m
T2

m2 (2m1

1 2
m)g
m1

m2

1 2
m
§5-2 定轴转动的角动量定理
和角动量守恒定律
角位移 (t t) (t)
角速度 lim d
t t 0
dt
角加速度 d
dt
z
(t)
x

定轴(OZ轴)条件下，由OZ轴正向俯视，逆时针转向 的 ,和 取正，顺时针取负.
三 刚体定轴转动的力矩和力矩的功
1 力矩
刚体绕Oz轴旋转, O为轴与
动能为:
1 2
mi vi2
刚体定轴转动的总能量（转动动能）
Ek

1 2
m1v12

1 2
m2 v22

1 2
mn vn2
Ek

n i 1
1 2
mi
vi2

n i 1
1 2
mi
(ri
i
)2

1 2
(
n i 1
mi
ri2
)
2
2 转动惯量 比较 转动动能
Ek

1n (
称为冲量矩.
角动量定理: 作用在刚体上的冲量矩等于刚体角
动量的增量.
三 角动量守恒定律
若 M 0 则 L J 常量
角动量守恒定律: 当刚体转动系统受到的合外力矩为 零时，系统的角动量守恒. 花样滑冰 跳水运动员跳水
注意 1 对一般的质点系统，若质点系相对于某一定点所受 的合外力矩为零时，则此质点系相对于该定点的角动 量始终保持不变.
球的回跳速度 v 及棒绕轴转动的角速度 。
m
M
o
u
l
l
解：分析可知，以棒和小球组成的系统的角动量守恒。由
于碰撞前棒处于静止状态，所以碰撞前系统的角动量就是
小球的角动量lmu ；由于碰撞后小球以速度v 回跳，棒获
得的角速度为 ，所以碰撞后系统的角动量为
lmv 1 Ml2
3 由角动量守恒定律得
2 角动量守恒定律与动量守恒定律一样,也是自然界的 一条普遍规律.
[例题] 如图所示，一根质量为M 、长为2l 的均匀 细棒，可以在竖直平面内绕通过其中心的光滑水平 轴转动，开始时细棒静止于水平位置。今有一质量
为m 的小球，以速度 u 垂直向下落到了棒的端点，
设小球与棒的碰撞为完全弹性碰撞。试求碰撞后小
则:刚体定轴转动动能
Ek

1 2
J 2
3、转动惯量的计算
(1)求下列刚体的转动惯量 (a) 质量均匀的圆环绕过中心且垂直圆环平面的转轴； (b) 质量均匀的圆盘绕过中心且垂直圆环平面的转轴。
解：(a) 在圆环上任意处取一质量元dm，则
J R 2dm R2 dm mR2
O R dm
(b) 图4.4 均匀细棒的转动惯量
五 刚体定轴转动的动能定理
刚体是其内任两质点间距离不变的质点组，刚体做 定轴转动时，质点间无相对位移，质点间内力不作 功，外力功为其力矩的功，并且刚体无移动，动能 的变化只有定轴转动动能的变化.
由质点组动能定理 W ex W in Ek Ek0
W in 0
一.什么叫质点的动能定理？ （请问徐侃同学）
作用在质点上的合力所做的功等于质点动能的改变量。
W Ekb Eka
二.什么叫牛顿第二定律？ （请问熊仕同学）
F ma
三. 什么叫质点的动量定理？ （请问方木林同学）
I p p0
四. 什么叫动量守恒定律？ •（请问余龙龙同学）
则
z
J x2dm O
l x2dx 1ml2
0
3
dm
x dx
(a)
z
dm
dm O
x
(b) 同理可得细棒绕过中心且与细棒垂直dx的转轴的转
动惯量为
(a)
J x2dm
z

l
2 l
x2dx

2
1x3
3
l
2 l
2
dm
C
x dx
l3 , 将 m 代入
12
l
J l3 m 1 ml2 12 l 12
2 i1
mi ri2 ) 2
平动动能
Ek

1 mv2 2
n
miri2 相当于平动物体的质量,是描写转动物体
i 1
惯性的物理量.
定义转动惯量
J
n

m iri2
i 1
对质量连续分布的刚体，任取质量元dm，其到轴的 距离为r，则转动惯量
J r2dm
单位：千克·米2 ，kg ·m2
0
2
2
(2)有一均匀细棒，长为l，质量为m，求该细棒对下列
转轴的转动惯量：
z
(a) 过一端且与细棒垂直的转轴； O
(b) 过中心且与细棒垂直的转轴。
dm
x dx
(a)
z
dm
C
x dx
(b) 图4.4 均匀细棒的转动惯量
解：(a) 在细棒上离转轴为任意x处取一长度为dx的
质量元dm。设细棒单位长度的质量(线密度)为 ，
lmu lmv 1 Ml2
3
由题意知，碰撞是完全弹性碰撞，所以碰撞前后
系统的动能守恒，即
1 2
mu 2

1 2
mv2

1 2

1 3
Ml 2


2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
联立以上两式，可得小球的速度为
v 3m M u 3m M
棒的角速度为
讨论:
6m u
3m M l
要保证小球回跳v 0，则必须保证 M 3m .