高三数学一轮复习精品教案2：直线及其方程教学设计

第1课时 直线及其方程

考纲传真

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两

点的直线斜率的计算公式．

2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截

式与一次函数的关系.

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0．

(2)范围：直线l 倾斜角的范围是『0，π)． 2．斜率公式

(1)直线l 的倾斜角为α≠90°，则斜率k ＝tan_α．

(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1

x 2－x 1．

3．直线方程的五种形式

名称

方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线

两点式

y －y 1y 2－y 1＝x －x 1

x 2－x 1

不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)

截距式 x a ＋y b ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式 Ax ＋By ＋C ＝0， A 2＋B 2≠0

平面内所有直线都适用

1．(人教A 版教材习题改编)直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 『解析』 k ＝tan α＝3，且0°≤α＜180°，∴α＝60°. 『答案』 B

2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1

C ．－2或－1

D ．－2或1

『解析』 当a ＝0时，直线方程为y －2＝0，不满足题意，所以a ≠0，所以在x 轴上的截距为2＋a a ，在y 轴上的截距为2＋a ，则由2＋a ＝2＋a a

，得a ＝－2或a ＝1.

『答案』 D

3．(2011·安徽高考)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )

A ．－1

B ．1

C ．3

D ．－3

『解析』 圆的方程(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(－1，2)． ∵直线过圆心，

∴3×(－1)＋2＋a ＝0，∴a ＝1. 『答案』 B

4．已知A (3，5)，B (4，7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝________． 『解析』 由已知得x －5－1－3＝7－54－3，∴x ＝－3.

『答案』 －3

5．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝1

3

x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________，斜截式方程是________．

『解析』 ∵直线y ＝

1

3

x 的倾斜角α＝30°， 所以所求直线的倾斜角为60°， 又该直线过点A (2，－3)，

故所求直线的方程为y －(－3)＝tan 60°(x －2)，

即3x －y －23－3＝0，化成斜截式为y ＝3x －23－3. 『答案』

3x －y －23－3＝0 y ＝3x －23－3

直线的倾斜角和斜率

(1) 若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，

－1)，则直线l 的斜率为( )

A.13 B ．－13 C ．－32 D.23 (2)直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A ．『π6，π2)∪(π2，5π6』 B ．『0，π6』∪『5π6，π)

C ．『0，5π6』

D ．『π6，5π6

』

『思路点拨』 (1)分别设出P 、Q 点的坐标，利用中点坐标公式求解．(2)根据cos α的范围确定直线斜率的范围，结合正切函数图象求倾斜角的范围．

『尝试解答』 (1)设P (x ，1)，Q (7，y )， 则

x ＋72＝1，y ＋12

＝－1， ∴x ＝－5，y ＝－3，即P (－5，1)，Q (7，－3)， 故直线l 的斜率k ＝－3－17＋5＝－13.

(2)设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－3

3

cos α， 又cos α∈『－1，1』，∴－

33≤tan θ≤33

， 又0≤θ＜π，且y ＝tan θ在『0，π2)及(π

2，π)上均为增函数，

故θ∈『0，π6』∪『5

6

π，π)．

『答案』 (1)B (2)B

1．解答本例(2)时极易错选D ，出错的原因是忽视了正切函数在『0，π2)和(π

2

，π)上的变

化情况．

2．已知倾斜角的范围，求斜率的范围，实质上是求k ＝tan α的值域问题；已知斜率k 的范围求倾斜角的范围，实质上是在『0，π2)∪(π

2，π)上解关于正切函数的三角不等式问题．由

于函数k ＝tan α在『0，π2)∪(π

2

，π)上不单调，故一般运用数形结合思想解决此类问题．

(2013·郑州质检)直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，

3)，则其斜率的取值范围是( )

A ．－1＜k ＜15

B ．k ＞1或k ＜1

2

C ．k ＞15或k ＜1

D ．k ＞1

2

或k ＜－1

『解析』 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2

k

. 令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞1

2.

『答案』 D

求直线的方程

已知点A (3，4)，求满足下列条件的直线方程． (1)经过点A 且在两坐标轴上截距相等；

(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 『思路点拨』 (1)分截距等于0和不等于0两种情况求解． (2)直线的斜率为±1，可由点斜式写出直线方程． 『尝试解答』 (1)设直线在x ，y 轴上的截距均为a .