基于一维N-S方程的池芦河道型水库调洪计算
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从池芦水库调洪的成果来看，水量平衡法和 Ｎ—Ｓ 方程法
的。两种方法的主要区别在于：水量平衡法计算需要库容曲线， 适用于任意类型水库，通常采用静态库容，计算成果为坝前水位 过程和水库洪水过程；而 Ｎ—Ｓ 方程法计算需要河道横断，适用 于河道型水库，可自动计入动库容作用，能够显示出库洪水过程 及整个库区内的水位、流量及流速变化过程。 ５ 结语
洪峰从库尾向坝前以重力波的形式传播，传播速度为 ｃ＝
姨ｇｈ （ｇ 为重力加速度，ｈ 为平均水深），洪峰从库尾传播到坝前 仅需 ２－３ ｍｉｎ。根据 Ｎ—Ｓ 方程法的成果，洪峰进入库区后，受库 区调蓄作用，洪峰在向坝前传播过程中逐步衰减，在近坝区衰减 后的洪峰流量甚至低于后续的洪水流量；当坝前洪水位到达最 高值时，各断面的洪水流量十分接近；洪峰到达库区后，库面调 蓄作用形成了反射波，流量正射波与反射波的叠加使洪峰在库 区的传递产生了微弱的流量震荡现象。 ４ 一维 Ｎ—Ｓ 方程法和水量平衡方程法运用的差别
化，可改写为：
ｎ＋１ ｎ
ｎ＋１ ｎ
１ ２
（
ｚｊ＋１ －ｚｊ＋１ △ｔ
＋
ｚｊ －ｚｊ △ｔ
）＋
ｎ＋１ ｎ＋１
ｎ
ｎ
２ △ｘ
θ（Ｑｊ＋１ －Ｑｊ ）＋（１－θ）（Ｑｊ＋１
ｎ＋１ ｎ＋１
ｎ
－Ｑｊ
ｎ
）＝０
θ（ｂｊ＋１ ＋ｂｊ ）＋（１－θ）（ｂｊ＋１ ＋ｂｊ）
（６）
５２
《 河南水利与南水北调》 ２０１５ 年 第 ２２ 期
目前工程设计中一般采用水量平衡法进行水库调洪计算， 通常可以满足工程需要；但一维 Ｎ—Ｓ 方程也是一种优良的调 洪算法，虽然目前 Ｎ—Ｓ 方程法仅能适用于河道型水库调洪，但 能自动计入动库容作用，能揭示更为丰富的水力细节，也是一种 可资使用的调洪方法。 参考文献 ［１］巨江．工程水力学数值仿真与可视化［Ｍ］．北京：中国水利水
分段长度；△ｔ—分段时长；ｆ—函数；
对于河道型水库，可将河道型水库的库区划为 ｎ 个断面，差
分后一维 Ｎ—Ｓ 方程将形成有 ２ｎ 个变量、２ｎ－２ 阶非线性方程
组，必须引入初始条件和两个边界条件，才可以求解。假定洪水
发生前（ｔ＝０）各断面为基流，水位为基流下的恒定流水面线，可
作为求解的初始条件；上游（库尾）边界条件为已知时刻的入库
１ 基于一维 Ｎ－Ｓ 方程的调洪计算方法
近年来随着计算能力的逐步提高，一维 Ｎ—Ｓ 方程在工程
中的应用也越来越普遍，积累了大量的应用经验，已成为一个可
靠的工程分析工具。一维 Ｎ—Ｓ 基本方程为：
鄣ｚ 鄣ｔ
＋
１ ｂ
鄣Ｑ 鄣ｘ
＝０
（１）
２
鄣Ｑ 鄣ｔ
＋
鄣 鄣ｘ
（
Ｑ Ａ
）＋ｇＡ
鄣ｚ 鄣ｘ
＋ｇＡＳｆ ＝０
（２）
｛［θ
ｎ＋１ ｎ＋１
ｚｊ＋１ ＋ｚｊ
ｎ＋１ ｎ＋１
＋（１－ θ）ｚｊ＋１ －ｚｊ
］＋［θ
ｎ＋１
Ｑｊ＋１
ｎ＋１
Ｑｊ＋１
ｎ＋１
＋Ｑｊ
ｎ＋１
Ｑｊ
＋
△ｘ
△ｘ
２
（１－θ）
ｎ
Ｑｊ＋１
ｎ
Ｑｊ＋１
ｎ
＋Ｑｊ
２
ｎ
Ｑｊ
ｎ＋１ ２
ｎ＋１ ２
wenku.baidu.com
］［θ
（Ｋｊ＋１
） ＋（Ｋｊ ２
）
＋ （１－ θ）
ｎ２
ｎ２
（Ｋｊ＋１）
＋（Ｋｊ）
－１
电出版社，２０１０． ［２］汪德爟．计算水力学理论与应用［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１１． ［３］郑咸义，姚仰新，雷秀仁，等．应用数值分析［Ｍ］．广州：华南理
工大学出版社，２００８． ［４］周斌，张彦军．纳潮对龙津河水体更新的模拟分析［Ｊ］．人民
珠江，２０１５（３）：２３－２５． ［５］李双江，杨莉，周建波，等．陕县池芦抗旱小水库水源工程项目
］ ｝＝０
２
（７）
式中：ｊ—计算节点号；ｎ—计算时段；Ｋ—流量模数。 将池芦水库长 １．５９ ｋｍ 的库区划分为 １６ 个断面（坝前桩号
图 １ 校核工况调洪的水位、流量、流速变化过程图
为 ０＋０００，库尾桩号为 １＋５９２）；初始状态取各断面水位为正常
蓄水位 ６１６ ｍ，流量为 ０ ｍ３／ｓ；上游（库尾）为已知流量（设计洪水
６１８．５７
１８９．６０
３００ ４６１．００ ６１９．９８
３６４．２０
６１９．９９
３６５．９０
采用 Ｎ—Ｓ 方程调洪的水位过程与水量平衡法的调洪水位 成果极为接近，两者的坝前水位过程线和泄流过程线基本重合； Ｎ—Ｓ 方程计算的库区水位基本水平，坝前 （０＋０００） 和库尾 （１＋５９２）的水位基本同步，反映出水库水深相对较大、库区底坡 较陡，池芦水库的动库容效应不明显；库尾段流速变化大，校核 工况库尾的流速为 １．７２ ｍ／ｓ，坝前仅为 ０．１３ ｍ／ｓ，相应库尾的流 速水头达 ０．１５ ｍ，坝前却 ＜１．００×１０－３ ｍ，致使洪峰段库尾的水位 出现了轻微的下凹现象。
百家谭 ＨＥＮＡＮ
《 河南水利与南水北调》 ２０１５ 年 第 ２２ 期
基于一维 N—S 方程的池芦 河道型水库调洪计算
□李双江 1 □赵正鹏 2 □周 斌 3 （１ 三门峡市水利勘测设计有限责任公司；２ 四川省广元水文水资源勘测局；
３ 广东省汕尾市水利水电规划设计院）
摘 要：在规划设计阶段，水库调洪计算的目的是为了找出当一定防洪标准的设计洪水入库后能满足防洪要求的防洪库容、泄洪建 筑物型式和尺寸，并为寻求合理的、较优的水库汛期控制运用方式提供技术支撑。正确的进行调洪计算，对工程规模的确定和后期 调度运行方式的确定都起着至关重要的作用。文章说明了采用一维 Ｎ—Ｓ 方程对河道型水库调洪计算的原理，阐述了池芦水库调洪 计算的边界处理方法，展示了池芦水库一维 Ｎ—Ｓ 方程法调洪的部分计算成果，并与常规调洪计算的水量平衡法进行了对比，可供 水利设计同行参考。 关键词：一维 Ｎ－Ｓ 方程；河道型水库；调洪分析 中图分类号：ＴＨ１３３．３１ 文献标识码：Ｂ 文章编号：１６７３－８８５３（２０１５）２２－００５２－０２
过程线）边界；下游（坝址）为已知水位—流量关系（池芦水库溢
洪道的泄流曲线）边界。取糙率 ｎ＝０．０３４，△ｔ＝１５ ｓ，将 １６ 个断面
数据、初始条件和边界条件代入（６）、（７）式采用追赶法迭代求
解，经逐时段演算，即可解得整个调洪过程。
３ 调洪成果及对比
一维 Ｎ—Ｓ 方程求解的调洪成果和水量平衡法的调洪成果 见表 １，一维 Ｎ—Ｓ 方程求解成果的校核洪水工况的水位、流量、
图 ２ 校核洪水工况入库洪水、坝前水位、泄量变化过程图
流速过程见图 １。两种方法计算校核洪水工况的入库洪水、坝前 出入不大，精度总体上相等。通过池芦水库对两种调洪方法的使
水位、泄量过程见图 ２。
用，揭示出两种方法存在较大的不同，计算所需的资料、适应的
表 １ 池芦水库调洪成果表
水库类型、对动库容的使用和可获得的计算成果上都是不相同
洪水流量，下游（坝址）边界条件为已知水位—流量关系（泄流曲
线）；由此可建立河道型水库调洪的 Ｎ—Ｓ 非线性方程组，逐时
段求解。
２ 池芦水库采用一维 Ｎ－Ｓ 方程调洪计算过程
池芦水库位于黄河流域洛河水系支流永昌河上，坝址控制
流域面积 １８．１０ ｋｍ２，水库总库容 ３１０．５０ 万 ｍ３，是一座以灌溉、
式中：ｚ—水位；Ｑ—流量；ｔ—时间；ｂ—河宽；ｘ—断面间距；
ｇ—重力加速度；Ａ—过水面积；Ｓｆ—水力坡降。 一维 Ｎ—Ｓ 方程常采用差分法求解。文章采用 Ｐｒｅｉｓｓｍａｎｎ
差分格式，该格式的表达式为：
ｎ＋１ ｎ＋１
ｎｎ
鄣ｆ ≈ θ（ｆｊ＋１ －ｆｊ ）＋（１＋θ）（ｆｊ＋１ －ｆｊ）
鄣ｘ
△ｘ
（３）
供水为主，兼有防洪任务的小（１）型水库，防洪标准为 ３０ ａ 一遇
设计、３００ ａ 一遇校核。池芦水库库区两岸水面最大宽度约 １５０ ｍ，
库区长约 １．５９ ｋｍ，库区内无较大的支流汇入，是典型的河道型
水库。
池芦水库的一维 Ｎ—Ｓ 差分非线性方程组采用拟牛顿法迭
代求解。将（１）式、（２）式采用 Ｐｒｅｉｓｓｍａｎｎ 隐式差分法并拟牛顿
ｎ＋１ ｎ＋１
ｎｎ
鄣ｆ ≈（ｆｊ＋１ ＋ｆｊ ）－（ｆｊ＋１ ＋ｆｊ）
鄣ｔ
２△ｔ
（４）
其中系数和阻力项表达式为：
（ｆ ｘ，ｔ）＝
θ ２
ｎ＋１
（ｆｊ＋１
ｎ＋１
＋ｆｊ ）＋
θ ２
ｎ
（ｆｊ＋１
ｎ
＋ｆｊ）
（５）
式中：ｊ—计算节点号；ｎ—计算时段；θ—变权系数；△ｘ—
鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣
作者简介：李双江（１９８５－），男，工程师，从事水利水电工程咨询、 设计工作。
重现期 洪峰流量
Ｎ－Ｓ 方程法
水量平衡法
（ａ） （ｍ３／ｓ） 水位（ｍ） 最大泄量（ｍ３／ｓ） 水位（ｍ） 最大泄量（ｍ３／ｓ）
５ １０４．００ ６１７．３５
７２．７０
６１７．３５
７３．２０
２０ ２１６．００ ６１８．２７
１５７．９０
６１８．２８
１５８．６０
３０ ２６１．００ ６１８．５６
１８８．５０
百家谭 ＨＥＮＡＮ
ｎ＋１ ｎ
１ （ Ｑｊ＋１ －Ｑｊ＋１
２
△ｔ
ｎ＋１ ｎ
＋ Ｑｊ －Ｑｊ ）＋ △ｔ
２
２
θ △ｘ
［（
Ｑ Ａ
ｎ＋１
）ｊ＋１
－（
Ｑ Ａ
ｎ＋１
）ｊ ］＋
（１△－θｘ ）［（
２
Ｑ Ａ
ｎ
）ｊ＋１
－（
２
Ｑ Ａ
ｎ
）ｊ ］＋ｇ［θ
ｎ＋１ ｎ＋１
Ａｊ＋１ ＋Ａｊ ２
ｎ
ｎ
＋（１－θ）Ａｊ＋１ ＋Ａｊ
２
］
建议书［Ｒ］．三门峡：三门峡市水利勘测设计有限责任公司， ２０１５． 收稿日期：２０１５－０８－２６
（责任编辑：韦诗佳）
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的。两种方法的主要区别在于：水量平衡法计算需要库容曲线， 适用于任意类型水库，通常采用静态库容，计算成果为坝前水位 过程和水库洪水过程；而 Ｎ—Ｓ 方程法计算需要河道横断，适用 于河道型水库，可自动计入动库容作用，能够显示出库洪水过程 及整个库区内的水位、流量及流速变化过程。 ５ 结语
洪峰从库尾向坝前以重力波的形式传播，传播速度为 ｃ＝
姨ｇｈ （ｇ 为重力加速度，ｈ 为平均水深），洪峰从库尾传播到坝前 仅需 ２－３ ｍｉｎ。根据 Ｎ—Ｓ 方程法的成果，洪峰进入库区后，受库 区调蓄作用，洪峰在向坝前传播过程中逐步衰减，在近坝区衰减 后的洪峰流量甚至低于后续的洪水流量；当坝前洪水位到达最 高值时，各断面的洪水流量十分接近；洪峰到达库区后，库面调 蓄作用形成了反射波，流量正射波与反射波的叠加使洪峰在库 区的传递产生了微弱的流量震荡现象。 ４ 一维 Ｎ—Ｓ 方程法和水量平衡方程法运用的差别
化，可改写为：
ｎ＋１ ｎ
ｎ＋１ ｎ
１ ２
（
ｚｊ＋１ －ｚｊ＋１ △ｔ
＋
ｚｊ －ｚｊ △ｔ
）＋
ｎ＋１ ｎ＋１
ｎ
ｎ
２ △ｘ
θ（Ｑｊ＋１ －Ｑｊ ）＋（１－θ）（Ｑｊ＋１
ｎ＋１ ｎ＋１
ｎ
－Ｑｊ
ｎ
）＝０
θ（ｂｊ＋１ ＋ｂｊ ）＋（１－θ）（ｂｊ＋１ ＋ｂｊ）
（６）
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《 河南水利与南水北调》 ２０１５ 年 第 ２２ 期
目前工程设计中一般采用水量平衡法进行水库调洪计算， 通常可以满足工程需要；但一维 Ｎ—Ｓ 方程也是一种优良的调 洪算法，虽然目前 Ｎ—Ｓ 方程法仅能适用于河道型水库调洪，但 能自动计入动库容作用，能揭示更为丰富的水力细节，也是一种 可资使用的调洪方法。 参考文献 ［１］巨江．工程水力学数值仿真与可视化［Ｍ］．北京：中国水利水
分段长度；△ｔ—分段时长；ｆ—函数；
对于河道型水库，可将河道型水库的库区划为 ｎ 个断面，差
分后一维 Ｎ—Ｓ 方程将形成有 ２ｎ 个变量、２ｎ－２ 阶非线性方程
组，必须引入初始条件和两个边界条件，才可以求解。假定洪水
发生前（ｔ＝０）各断面为基流，水位为基流下的恒定流水面线，可
作为求解的初始条件；上游（库尾）边界条件为已知时刻的入库
１ 基于一维 Ｎ－Ｓ 方程的调洪计算方法
近年来随着计算能力的逐步提高，一维 Ｎ—Ｓ 方程在工程
中的应用也越来越普遍，积累了大量的应用经验，已成为一个可
靠的工程分析工具。一维 Ｎ—Ｓ 基本方程为：
鄣ｚ 鄣ｔ
＋
１ ｂ
鄣Ｑ 鄣ｘ
＝０
（１）
２
鄣Ｑ 鄣ｔ
＋
鄣 鄣ｘ
（
Ｑ Ａ
）＋ｇＡ
鄣ｚ 鄣ｘ
＋ｇＡＳｆ ＝０
（２）
｛［θ
ｎ＋１ ｎ＋１
ｚｊ＋１ ＋ｚｊ
ｎ＋１ ｎ＋１
＋（１－ θ）ｚｊ＋１ －ｚｊ
］＋［θ
ｎ＋１
Ｑｊ＋１
ｎ＋１
Ｑｊ＋１
ｎ＋１
＋Ｑｊ
ｎ＋１
Ｑｊ
＋
△ｘ
△ｘ
２
（１－θ）
ｎ
Ｑｊ＋１
ｎ
Ｑｊ＋１
ｎ
＋Ｑｊ
２
ｎ
Ｑｊ
ｎ＋１ ２
ｎ＋１ ２
wenku.baidu.com
］［θ
（Ｋｊ＋１
） ＋（Ｋｊ ２
）
＋ （１－ θ）
ｎ２
ｎ２
（Ｋｊ＋１）
＋（Ｋｊ）
－１
电出版社，２０１０． ［２］汪德爟．计算水力学理论与应用［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１１． ［３］郑咸义，姚仰新，雷秀仁，等．应用数值分析［Ｍ］．广州：华南理
工大学出版社，２００８． ［４］周斌，张彦军．纳潮对龙津河水体更新的模拟分析［Ｊ］．人民
珠江，２０１５（３）：２３－２５． ［５］李双江，杨莉，周建波，等．陕县池芦抗旱小水库水源工程项目
］ ｝＝０
２
（７）
式中：ｊ—计算节点号；ｎ—计算时段；Ｋ—流量模数。 将池芦水库长 １．５９ ｋｍ 的库区划分为 １６ 个断面（坝前桩号
图 １ 校核工况调洪的水位、流量、流速变化过程图
为 ０＋０００，库尾桩号为 １＋５９２）；初始状态取各断面水位为正常
蓄水位 ６１６ ｍ，流量为 ０ ｍ３／ｓ；上游（库尾）为已知流量（设计洪水
６１８．５７
１８９．６０
３００ ４６１．００ ６１９．９８
３６４．２０
６１９．９９
３６５．９０
采用 Ｎ—Ｓ 方程调洪的水位过程与水量平衡法的调洪水位 成果极为接近，两者的坝前水位过程线和泄流过程线基本重合； Ｎ—Ｓ 方程计算的库区水位基本水平，坝前 （０＋０００） 和库尾 （１＋５９２）的水位基本同步，反映出水库水深相对较大、库区底坡 较陡，池芦水库的动库容效应不明显；库尾段流速变化大，校核 工况库尾的流速为 １．７２ ｍ／ｓ，坝前仅为 ０．１３ ｍ／ｓ，相应库尾的流 速水头达 ０．１５ ｍ，坝前却 ＜１．００×１０－３ ｍ，致使洪峰段库尾的水位 出现了轻微的下凹现象。
百家谭 ＨＥＮＡＮ
《 河南水利与南水北调》 ２０１５ 年 第 ２２ 期
基于一维 N—S 方程的池芦 河道型水库调洪计算
□李双江 1 □赵正鹏 2 □周 斌 3 （１ 三门峡市水利勘测设计有限责任公司；２ 四川省广元水文水资源勘测局；
３ 广东省汕尾市水利水电规划设计院）
摘 要：在规划设计阶段，水库调洪计算的目的是为了找出当一定防洪标准的设计洪水入库后能满足防洪要求的防洪库容、泄洪建 筑物型式和尺寸，并为寻求合理的、较优的水库汛期控制运用方式提供技术支撑。正确的进行调洪计算，对工程规模的确定和后期 调度运行方式的确定都起着至关重要的作用。文章说明了采用一维 Ｎ—Ｓ 方程对河道型水库调洪计算的原理，阐述了池芦水库调洪 计算的边界处理方法，展示了池芦水库一维 Ｎ—Ｓ 方程法调洪的部分计算成果，并与常规调洪计算的水量平衡法进行了对比，可供 水利设计同行参考。 关键词：一维 Ｎ－Ｓ 方程；河道型水库；调洪分析 中图分类号：ＴＨ１３３．３１ 文献标识码：Ｂ 文章编号：１６７３－８８５３（２０１５）２２－００５２－０２
过程线）边界；下游（坝址）为已知水位—流量关系（池芦水库溢
洪道的泄流曲线）边界。取糙率 ｎ＝０．０３４，△ｔ＝１５ ｓ，将 １６ 个断面
数据、初始条件和边界条件代入（６）、（７）式采用追赶法迭代求
解，经逐时段演算，即可解得整个调洪过程。
３ 调洪成果及对比
一维 Ｎ—Ｓ 方程求解的调洪成果和水量平衡法的调洪成果 见表 １，一维 Ｎ—Ｓ 方程求解成果的校核洪水工况的水位、流量、
图 ２ 校核洪水工况入库洪水、坝前水位、泄量变化过程图
流速过程见图 １。两种方法计算校核洪水工况的入库洪水、坝前 出入不大，精度总体上相等。通过池芦水库对两种调洪方法的使
水位、泄量过程见图 ２。
用，揭示出两种方法存在较大的不同，计算所需的资料、适应的
表 １ 池芦水库调洪成果表
水库类型、对动库容的使用和可获得的计算成果上都是不相同
洪水流量，下游（坝址）边界条件为已知水位—流量关系（泄流曲
线）；由此可建立河道型水库调洪的 Ｎ—Ｓ 非线性方程组，逐时
段求解。
２ 池芦水库采用一维 Ｎ－Ｓ 方程调洪计算过程
池芦水库位于黄河流域洛河水系支流永昌河上，坝址控制
流域面积 １８．１０ ｋｍ２，水库总库容 ３１０．５０ 万 ｍ３，是一座以灌溉、
式中：ｚ—水位；Ｑ—流量；ｔ—时间；ｂ—河宽；ｘ—断面间距；
ｇ—重力加速度；Ａ—过水面积；Ｓｆ—水力坡降。 一维 Ｎ—Ｓ 方程常采用差分法求解。文章采用 Ｐｒｅｉｓｓｍａｎｎ
差分格式，该格式的表达式为：
ｎ＋１ ｎ＋１
ｎｎ
鄣ｆ ≈ θ（ｆｊ＋１ －ｆｊ ）＋（１＋θ）（ｆｊ＋１ －ｆｊ）
鄣ｘ
△ｘ
（３）
供水为主，兼有防洪任务的小（１）型水库，防洪标准为 ３０ ａ 一遇
设计、３００ ａ 一遇校核。池芦水库库区两岸水面最大宽度约 １５０ ｍ，
库区长约 １．５９ ｋｍ，库区内无较大的支流汇入，是典型的河道型
水库。
池芦水库的一维 Ｎ—Ｓ 差分非线性方程组采用拟牛顿法迭
代求解。将（１）式、（２）式采用 Ｐｒｅｉｓｓｍａｎｎ 隐式差分法并拟牛顿
ｎ＋１ ｎ＋１
ｎｎ
鄣ｆ ≈（ｆｊ＋１ ＋ｆｊ ）－（ｆｊ＋１ ＋ｆｊ）
鄣ｔ
２△ｔ
（４）
其中系数和阻力项表达式为：
（ｆ ｘ，ｔ）＝
θ ２
ｎ＋１
（ｆｊ＋１
ｎ＋１
＋ｆｊ ）＋
θ ２
ｎ
（ｆｊ＋１
ｎ
＋ｆｊ）
（５）
式中：ｊ—计算节点号；ｎ—计算时段；θ—变权系数；△ｘ—
鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣
作者简介：李双江（１９８５－），男，工程师，从事水利水电工程咨询、 设计工作。
重现期 洪峰流量
Ｎ－Ｓ 方程法
水量平衡法
（ａ） （ｍ３／ｓ） 水位（ｍ） 最大泄量（ｍ３／ｓ） 水位（ｍ） 最大泄量（ｍ３／ｓ）
５ １０４．００ ６１７．３５
７２．７０
６１７．３５
７３．２０
２０ ２１６．００ ６１８．２７
１５７．９０
６１８．２８
１５８．６０
３０ ２６１．００ ６１８．５６
１８８．５０
百家谭 ＨＥＮＡＮ
ｎ＋１ ｎ
１ （ Ｑｊ＋１ －Ｑｊ＋１
２
△ｔ
ｎ＋１ ｎ
＋ Ｑｊ －Ｑｊ ）＋ △ｔ
２
２
θ △ｘ
［（
Ｑ Ａ
ｎ＋１
）ｊ＋１
－（
Ｑ Ａ
ｎ＋１
）ｊ ］＋
（１△－θｘ ）［（
２
Ｑ Ａ
ｎ
）ｊ＋１
－（
２
Ｑ Ａ
ｎ
）ｊ ］＋ｇ［θ
ｎ＋１ ｎ＋１
Ａｊ＋１ ＋Ａｊ ２
ｎ
ｎ
＋（１－θ）Ａｊ＋１ ＋Ａｊ
２
］
建议书［Ｒ］．三门峡：三门峡市水利勘测设计有限责任公司， ２０１５． 收稿日期：２０１５－０８－２６
（责任编辑：韦诗佳）
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