习题四解答

（2）当 时，证
证（1）因
故对任一复数z， ;
（2）因 ，故当 时，有
，
又因
故由以上三个不等式即得 。
3．设 ， ，求 ，其中C为任一条包含原点且落在圆周： 内的简单闭曲线。
解：因 在 内解析且C在 内，故 = ，又因
，
故
， ，
于是
4．试求下列函数在给定点的Taylor展开式。
（1） （2） ，
（3） ， ；（4） ，
4.幂级数 能否在 收敛而在 发散？
解不能。因如 在 收敛，则由Abel定理其收敛半径 ，而 即 在其收敛圆 内，故级数 在 收敛，矛盾。
5．如果 的收敛半径为R，证明级数 的收敛半径 。
证1对于圆 内的任意一点z，由已知 绝对收敛即 收敛，又因 ，从而 ，故由正项级数的比较判别法 也收敛即 在 内绝对收敛，于是其收敛半径 。
（1） ， ，
（2） ， ，
（3） ；
（4） ， ；
（5） ， ；
（6） ， ，
解（1）
， ；
（2）显然 。
在 内，
，
，
故原式 ，
在 内
故原式 ， ，其中
（3）
（4）
;
（5）
=
，Βιβλιοθήκη Baidu
；
（6） ，
，
，（ ）
这里应用了展开式
这里 称为Bernoulli数，它们满足
（1）
（2）
=
=
=
= ，
= ，
从而
。
习题四解答
A类
1．求下列级数的收敛半径。
（1） ；（2） ；（3） 。
解（1） ;
（2） ;
（3） .
2．证明级数 在收敛圆内一致收敛。
证因收敛半径 ，故其收敛圆为 。又因 ， ，而级数 收敛，由教科书中的定理，级数 在收敛圆 内一致收敛。
3．下列结论是否正确？为什么？
（1）每一个幂级数在它的收敛圆内与收敛圆上收敛；
8．求下列函数在指定点 处的Taylor展开式，并指出它们的收敛半径
（1） ， （2） ，
（3） ， （4） ，
解（1）因
及
故
，
于是收敛半径R=2。
（2）因
及
=
故
原式
=
， ，
而 。
（3）因 及 ， ，
故
， ，
而R=1。
（4）因
，
其中 ，故
，
且收敛半径 。
9．把下列各函数在指定的圆环域内展开成Laurent级数。
7．把下列各函数展成z的幂级数，并指出它们的收敛半径。
（1） ；（2） ；（3） ；（4）shz；（5）
（6）
解（1）由 ，故
， ，
而收敛半径R=1；
（2）因
， ，
故
， ，
又因
，
， ，
而 =1；
（3）因
故
而其收敛半径 ；
（4）因
故
而收敛半径
（5）因
故
而收敛半径
（6）因
故
， ，
， ，
故
= ，
而收敛半径R=1。
（5） ， （6） ，
解（1）由于
，
故
故
， ；
（2）
， ；
（3）因
，
故
，
从而
+
；
（4）因
.
故
， ，
；
（5）令 ，则 ，故
，
因此 ，
即
；
（6）令 ，显然z=1是 的奇点，所以它可在 内展为z的Taylor级数，对 求导得
得微分方程
将上述微分方程逐次求导，得
，…
求得
从而
5．试求下列函数在给定圆环域内的Laurent级数。
（2）每一个幂级数收敛于一个解析函数；
（3）每一个在 连续的函数一定可以在 的邻域内展开成Taylor级数。
解（1）不对。如 在收敛圆 内收敛，但在收敛圆周 上并不收敛；
（2）不对。如一个幂级数的收敛半径为零,则其和函数并非解析函数;
(3)不对.如 在全平面上连续,但它在任何点的邻域内均不能展开成Taylor级数。
证2设级数 的收敛半径为 。由于 ，有 ，即 ，所以有 ，即 。
6．我们知道，函数 当x为任何实数时，都有确定的值，但它的Taylor展
开式： 却只当 时成立，试说明其原因。
解幂级数的收敛半径为其和函数的各奇点到其中心的最短距离，而函数 在 上有奇点 ，故 之右边幂级数的收敛半径为 ，又因为此级数在 处发散，故在实数范围内 只能在 时成立即 只当 时成立。
（1） ， ；
（2） ， ；
（3）
（4） ，
（5） ，
解（1）因
故
；
（2）在 内，
在 内，
；
（3） 内，
在 内
（4）在 内，因
故
；
（5）因 ,
故
B类
1．设幂级数 的收敛半径R>0，和函数为 ，证明： ， 。其中
证由Taylor系数公式及复积分计算公式知
,
故
。
2．求证如下不等式。
（1）对任意的复数z有