习题四解答
现代机械制图习题集习题解答4
2-2 正投影的基本性质班级： 姓名： 学号： 11第2章 投影基础1. 根据给出的视图补画第三视图。
(4)(1)(2)(3)(5)2-6 直线的投影（续）班级： 姓名： 学号： 15第2章 投影基础7. 已知A、B、C在同一直线上，求点的投影。
OXab( )( )ddd'(4)c'aa'Xb'cXca( )d(5)a'OX b'bd'c'cacObbd( )8. 判断下列两直线的相对位置（平行、相交、交叉）(1)c'a'd'a'c'(2)b'b'd'OX( )bO(6)b'(d')dXa a'(c)c'( )acdbc'(d')a'O (3)b'交叉相交相交交叉交叉平行2-12 换面法班级： 姓名： 学号： 213. 求三角形ABC的实形。
1. 求点A的新投影。
第2章 投影基础O11H VX a'aX HV bab'(2)1HVV HX aa'(1)X V HXOa'1OOOc'c (1)XHV d'cdc'(2)HV aa'bb'OX O2. 求直线AB、CD的实长及AB与水平面的倾角和CD与正平面的倾角。
4. 求点K到三角形ABC的距离。
aa'Xcbkc'Ok'b'a 1'a 1a 1'b1'c1'。
流体力学习题解答4
习 题 四1． 油（μ=3⨯103-kg/m*s ）和水（μ=1.14⨯103-kg/m*s ）在管径d=100mm 的圆管中流动，如果压力降相同，流态都是层流，试求这两种流动中管轴线上的流速之比。
2． 动力粘度μ=0.072kg/m*s 的油在管径d=0.1m 的圆管中作层流运动，流量Q=3⨯103-m 3/s ，试计算管壁切应力τ0。
3． 水（运动粘度υ=106-m2/s ）在直径d=200mm ，长l=20m 的圆管流动，流量Q=24⨯103-m 3/s ，如果管壁粗糙度∆=0.2mm ，求沿程水头损失。
4． 圆管直径d=80mm ，当流量很大时，测得沿程损失系数是一个常数，其值为λ=0.025，试计算管壁的粗糙度∆。
5． 一条管道，新使用时，相当粗糙度∆/d=104-，使用多年后，发现在水头损失相同的情况下，流量减少了35%，试估算此旧管的相对粗糙度。
6． 如图，串联管道由两段管组成，其长度和直径分别为l 1=500m ，d 1=300mm ，l 2=400m ，d 2=250mm ，壁面粗糙度都是∆=0.6mm ，水位H=10m ，如果沿程损失系数按阻力平方区计算，求流量Q 。
11题图7． 一段水管，长l=150m ，流量Q=0.12 m 3/s ，该管段内总的局部损失系数为ζ=5，沿程损失系数那λ=3.002.0d计算，如果要求水头损失h=3.96m ，求管径d 。
8． 为了测量截面突然扩大的局部损失系数ζ和管道沿程损失系数λ，在管道三个截面上装有测压管，其中测压管1在扩大前端，其余两个测压管等距离地安装在下游，已知三支测压管液面读数为h 1=156.5mm, h 2=163mm, h 3=113mm ，管径d=15mm ，D=20mm ，长度l=100mm ，测得流量Q=2.65⨯104-m 3/s ，求ζ和λ的值。
15题图9． 一条输油管道，直径d=250mm ，长l=6.5km ，壁面粗糙度∆=0.8mm ，流量Q=0.06 m 3/s ，油的运动粘度υ=2.4⨯106-m 2/s ，求沿程损失。
量子力学周世勋习题解答第四章
第四章习题解答4.1.求在动量表象中角动量x L 的矩阵元和2x L 的矩阵元。
解：⎰⋅⋅'-'-=τπd e p z p y e L r p i y z rp i p p x)ˆˆ()21()(3 ⎰⋅⋅'--=τπd e zp yp e r p i y z rp i)()21(3 ⎰⋅⋅'-∂∂-∂∂-=τπd e p p p p i e rp i zy y z r p i))(()21(3⎰⋅'-∂∂-∂∂-=τπd e p p p p i r p p i z y y z）（3)21)()(()()(p p p p p p i y z z y'-∂∂-∂∂= δ ⎰''=τψψd L x L p x p p p x 2*2)()( ⎰⋅⋅'--=τπd e p z p y e r p i y z r p i23)ˆˆ()21( ⎰⋅⋅'---=τπd e p z p y p z p y e r p i y z y z rp i)ˆˆ)(ˆˆ()21(3 ⎰''-∂∂-∂∂-=τπd e p p p p i p z p y e rp i yz z y y z r p i))()(ˆˆ()21(3 ⎰⋅⋅'--∂∂-∂∂=τπd e p z p y e p p p p i r p i y z rp i y z z y)ˆˆ()21)()((3 ⎰⋅'-∂∂-∂∂-=τπd e p p p p r p p i y z z y）（322)21()()()(22p p p p p p yz z y'-∂∂-∂∂-= δ #4.2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。
解：基矢：x a n a x u n πsin 2)(=能量：22222a n E n μπ =对角元：2sin 202a xdx a m x a x a mm ==⎰π 当时，n m ≠ ⎰⋅⋅=a mn dx ax x a m a x 0)(sin )(sin 2π[][]1)1()(4)(1)(11)1(])(sin )()(cos )([])(sin )()(cos )([1)(cos )(cos 12222222022202220---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----=⎥⎥⎦⎤+++++-⎢⎢⎣⎡--+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=--⎰n m n m a aa n m mnan m n m a x a n m n m ax x a n m n m a x a n m n m ax x a n m n m a a dx x a n m x a n m x a ππππππππππππ[][]a n m mn i n m n m a a n i x a n m n m a x a n m n m a a n i dxx a n m x a n m a n i xdxa n x a m an i xdxan dx d x a m a i dx x u p x u p n m nm aa a a n m mn )(21)1(]1)1()(1)(1 )(cos)()(cos )()(sin )(sin cos sin 2sin sin 2)(ˆ)(2220202020*---=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-=⋅-=⋅-==--⎰⎰⎰⎰πππππππππππππππ#4.3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。
线性代数习题四作业参考解答
习题四作业参考解答１．求下列齐次线性方程组的一个基础解系：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x 解：系数矩阵104018102312451014438620000A ⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭初等行变换（行最简形） 所以同解方程组为：1323443144x x x x x =-⎧⎪⎨=+⎪⎩，令341,0x x ==，带入同解方程组求出12x x 和，得一个解向量143410η-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；再令340,1x x ==，带入同解方程组求出12x x 和，得一个解向量201401η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故齐次线性方程组的基础解系为12,ηη。
(2) 仿（1）(3) 0543254321=++++x x x x x ．解：同解方程组为：123452345x x x x x =----，令23451,0,0,0x x x x ====，得解向量()12,1,0,0,0Tη=-， 令23450,1,0,0x x x x ====，得解向量()23,0,1,0,0T η=-， 令23450,0,1,0x x x x ====，得解向量()34,0,0,1,0T η=-， 令23450,0,0,1x x x x ====，得解向量()45,0,0,0,1T η=-， 所以，齐次线性方程组的基础解系为：1234,,,ηηηη ２．求下列非齐次线性方程组的一般解：（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432321321321321x x x x x x x x x x x x解：增广矩阵231410211245011238213000041960000A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭初等行变换，()()24R A R A ==<，所以有无穷多组解。
微机原理习题解答：4
微机原理习题解答：4习题四1．8086语言指令的寻址方式有哪几类？用哪一种寻址方式的指令执行速度最快？请问：数据操作数的串行方式存有七种，分别为：立即串行，寄存器串行，轻易串行，寄存器间接串行，寄存器相对基址变址和相对基址变址串行。
其中寄存器串行的指令继续执行速度最快。
2．若ds＝6000h，ss＝5000h，es＝4000h，si＝0100h，bx＝0300h，bp＝0400h，d＝1200h，数据段中变量名num的偏移地址为0050h，试指出下列源操作数的寻址方式和物理地址是多少？（1）movax，［64h］请问：串行方式为轻易串行；pa＝60064h（2）movax，num请问：串行方式为轻易串行；pa＝60005h（3）movax，［si］请问：串行方式为寄存器间接串行；pa＝60100h（4）movax，［bx］请问：串行方式为寄存器间接串行；pa＝60300h（5）movax，［bp］请问：串行方式为寄存器间接串行；pa＝50400h（6）moval，［di］请问：串行方式为寄存器间接串行；pa＝61200h（7）moval，［bx＋1110h］请问：串行方式为寄存器相对串行；pa＝61410h（8）movax，num［bx］请问：串行方式为寄存器相对串行；pa＝60305h（9）movax，［bx＋si］请问：串行方式为基址变址串行；pa＝60400h（10）movax，num［bx］［di］请问：串行方式为相对基址变址串行；pa=61505h3．设bx＝637dh，si＝2a9bh,位移量为c237h，试确定由这些寄存器和下列寻址方式产生的有效地址。
（1）轻易串行请问：有效率地址为ea＝c237h（2）用bx的寄存器间接串行请问：有效率地址为ea＝637dh（3）用bx的相对寄存器间接串行请问：有效率地址为ea＝125b4h （4）基址提变址串行请问：有效率地址为ea＝8e18h（5）相对基址变址串行请问：有效率地址为ea＝1504fh其中，（3）和（5）中产生位次，必须把最低十一位1舍弃。
化工原理王志魁第五版习题解答：第四章 传热
第四章传热【热传导】【4-3】用平板法测定材料的热导率，平板状材料的一侧用电热器加热，另一侧用冷水冷却，同时在板的两侧均用热电偶测量其表面温度。
若所测固体的表面积为0.02m 2，材料的厚度为0.02m 。
现测得电流表的读数为2.8A ，伏特计的读数为140V ，两侧温度分别为280℃和100℃，试计算该材料的热导率。
解根据已知做图热传导的热量.28140392Q I V W =⋅=⨯=()12AQ t t bλ=-.().()12392002002280100Qb A t t λ⨯==--()./218W m =⋅℃【4-4】燃烧炉的平壁由下列三层材料构成：耐火砖层，热导率λ=1.05W/(m·℃)，厚度230b mm =；绝热砖层，热导率λ=0.151W/(m·℃)；普通砖层，热导率λ=0.93W/(m·℃)。
耐火砖层内侧壁面温度为1000℃，绝热砖的耐热温度为940℃，普通砖的耐热温度为130℃。
(1)根据砖的耐热温度确定砖与砖接触面的温度，然后计算绝热砖层厚度。
若每块绝热砖厚度为230mm ，试确定绝热砖层的厚度。
(2)若普通砖层厚度为240mm ，试计算普通砖层外表面温度。
解(1)确定绝热层的厚度2b 温度分布如习题4-4附图所示。
通过耐火砖层的热传导计算热流密度q 。
()1121q t t b λ=-.()/.W m =-=21051000940274 023绝热砖层厚度2b 的计算()2232q t t b λ=-.().b m =-=201519401300446 274每块绝热砖的厚度为023m ．，取两块绝热砖的厚度为.20232046b m =⨯=．。
(2)计算普通砖层的外侧壁温4t 先核算绝热砖层与普通砖层接触面处的温度3t (2)32227404694010530151qb t t λ⨯=-=-=℃习题4-3附图习题4-4附图3t 小于130℃，符合要求。
习题4习题解答.docx
习题四解答4.1 设tz = (10,-8,6,-5)「，” = (2,2,0,-5)，,求[3« -^,2«],||a||,||« -^||解答：[(z,a] = 102 +(-8)2 +62 +52 =225[a,)3]= 10 • 2 + (―8)-2 + 6-0 + (-5) • (-5) = 293a —” = (28,—26,18,—10)「，因此[3a — /3,2a] = 2[3a—”, a] = 2[28-10 + (-26) . (-8) + 18-6 +(-10)- (-5)] = 1292或者[3a — /32a] = 6[a, a]—2[”, a] = 6-225-2-29 = 1292M = j0,a]=喜= 15, |板『=/,切=33 因此||a —”『=0 —月& —切=00 + /,切一20,切=200 n ||a 一列=10扼4.2 设有三点A(—l,2,l),3(0,3,l),C(0,2,2),求ZBAC解答：A3 = (1,1,0),AC = (1,0,1),由向量夹角余弦公式知cos A =AB AC4.3设a,”的夹角是120°,模分别为12和6,求a,”的距离.解答：||«-=[a-/3,a-/3] = |述 +—2|a||”|cos9 = 252所以阪-”|| = 6j?4.4作为平面几何定理(平行四边形的对角线与边长的关系)的推广，证明|g|2+|H「=2(| 述+四)||or + 印=[a + /3,a + /3] = [a,a] + 2[a0 + [”,切证明：，|旧_”|「=[/-", a _"] = [a, a]-2[a,"] + [”,”] 所以诉 + "If + |a - ”『=2([«,«] + [”,”]) = 2(|述 +1”/).4.5设％=(1,2,—1产,％=(—1,3,顶,的 =(4,T,0)「，试用施密特正交化方法把这组向量正交规范化.解答：岗=% = (1,2,—1)「解答：因为角,代已经正交，所以只要让％,%正交，正交就可以了. 设a 3 = (xj,x 2,x 3)r ,由于[%,%] = O,]%,%] = 0，所以x, + x 2 + x 3 = 0<M — 2X 2 + 想=°显然，(1,0,-1)「是方程组的一个非零解，所以取«3 = (1,0,-l)r .注：由于只要求出一组数满足 叫+心+心-0就可以了，所以不必将这个齐次线性方程%] -2x, + %, = 0组的通解解出来，只要找到一组非零解即可•可以令x 2 = 0,于是就能得到一组解.4.7设A,3都是〃阶正交矩阵，证明AB 也是正交矩阵.证明：山条件知A TA = I,B TB = I,因此(AB)r (AB) = B T (A T A)B = B T B = I ,即 A3 是正交矩阵.4.8 设％= (5,3,1,1)',%=(—4,18,—2,4)',欲使向量/3 = a 2 + ka x 与向正交，求S 解答：/3 = a 2+ka { = (5k -4,3k + lS,k -2,k + 4)T ,山条件知[”,% ] = 0。
蔡延光《数据库原理与应用》课后习题四答案
习题四1．试述关系模型的三个组成部分。
2．试述关系数据语言的特点和分类。
3．定义并解释下列术语，说明它们之间的联系与区别。
1）主码、候选码、外码。
2）笛卡尔积、关系、元组、属性、域。
3）关系、关系模式、关系数据库。
4. 试述关系模型的完整性规则。
在参照完整性中，为什么外码属性的值也可以为空？什么情况下才可以为空？5. 试述等值连接与自然连接的区别和联系。
6. 对于学生选课关系，其关系模式为：学生（学号，姓名，年龄，所在系）；课程（课程名，课程号，先行课）；选课（学号，课程号成绩）。
用关系代数完成如下查询。
1）求学过数据库课程的学生的姓名和学号。
2）求学过数据库和数据结构的学生姓名和学号。
3）求没学过数据库课程的学生学号。
4）求学过数据库的先行课的学生学号。
7. 设有一个SPJ数据库，包括S，P，J，SPJ四个关系模式：S（SNO，SNAME，STATUS，CITY）；P（PNO，PNAME，COLOR，WEIGHT）；J（JNO，JNANE，CITY）；SPJ（SNO，PNO，JNO，QTY）。
其中：供应商表S由供应商代码（SNO）、供应商姓名（SNAME）、供应商状态（STATUS）、供应商所在城市（CITY）组成；零件表P由零件代码（PNO）、零件名（PNAME）、颜色（COLOR）、重量（WEIGHT）组成；工程项目表J 由工程项目代码（JNO）、工程项目名（JNAME）、工程项目所在城市（CITY）组成；供应情况表SPJ由供应商代码（SNO）、零件代码（PNO）、工程项目代码（JNO）、供应数量组成（QTY）组成，表示某供应商供应某种零件给某工程项目的数量为QTY。
试用关系代数完成如下查询：1）求供应工程J1 零件的供应商号码SNO。
2）求供应工程J1 零件P1的供应商号码SNO。
3）求供应工程J1 零件为红色的供应商号码SNO。
4）求没有使用天津供应商生产的红色零件的工程号。
5）求至少用了供应商S1所供应的全部零件的工程号。
通信原理(西安电子科大)习题解答习题解答(四)
ω ≤ ω >
π
Ts
= 2π B
π
Ts
则
，无码间干扰传输的最大传码率为：
R B max = 2 B = 1 2 < Ts Ts
故该H(ω)不满足消除抽样点上码间干扰的条件。
(b)
1 H (ω ) = 0
ω ≤ ω >
3π = 2πB Ts
π
Ts
则
B=
3 2Ts
ω ≤Βιβλιοθήκη πTs= 2πB
则
B=
1 2Ts
，无码间干扰传输的最大传码率为：
R B max 1 2 = 2B = < Ts Ts
故该H(ω)满足消除抽样点上码间干扰的条件。
2π/Ts 4π/Ts
ω
-4π/Ts -2π/Ts 0
2π/Ts 4π/Ts
ω
Heq(ω) 1 -2π/Ts 0 2π/Ts ω
-6π/Ts -4π/Ts -2π/Ts
ω
2π/Ts 4π/Ts 6π/Ts
ω
4π 4π + H (ω ) + H ω + H ω − Ts Ts H eq (ω ) = 2π 0 ω > Ts
习题解答（ 习题解答（四）
5-1设二进制符号序列为 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0， 试以矩形脉冲为例，分别画出相应的单极性码波形、 双极性码波形、单极性归零码波形、双极性归零码波 形、二进制差分码波形及八电平码波形。
1 单极性波形 双极性波形 +E 0 +E
1
0
0
1
0
0
0
电路分析习题解答(第四章)
习题四4－1 用叠加定理求题4－1图示电流源两端的电压u 。
解：电压源单独作用时如图(b)所示，则V u a 55516=⨯+= V u b 22246=⨯+=而 V u u u a b 352'-=-=-=当电流源单独工作时，如图(c)所示，则4Ω与2Ω并联，1Ω与5Ω并联然后两并联电路再串联，所以V u 26126865''=⨯⎪⎭⎫⎝⎛+=所以由叠加定理V u u u 23263'''=+-=+=4－2 用叠加定理求题4－2图示电路中的X I 。
题4－1图 6V 4Ω Ω (b)b (c) 4Ω Ω5Ω 3Ω (a)4I x6V 4Ω Ω (a)解：电压源单独作用时的电路如图(b) 所示，则()24435''=++x x I I 解得 A I x 2'=电流源单独作用时的电路如图(c)所示，图中虚线为网孔电流，则 ()0''4''63''5=+++x x x I I I 解得 A I x 5.1''-= 所以 A I I I x x x 5.05.12'''=-=+=4－3 用叠加定理求题4－3图示电路中的独立电压源和独立电流源发出的功率。
5Ω 3Ω '(b) 4I 'x 4I ''x5Ω 3Ω I ''x(c) 题4－2图 题4－3图 2A 4Ω (a) 2V2A 4Ω 2i'(b) + - i''14Ω (c) u''1 2V解：电流源单独作用时的电路如图(b) 所示，则A i 2'1= 0'=i则 V i i u 824''1'1=-=电压源单独作用时的电路如图(b) 所示，则A i 5.042''1-=-= A i i 5.0''1''=-=则 V i u 122''''1=-=所以由叠加定理 A i i i 5.15.02''1'11=-=+=V u u u 918''1'11=+=+=可得电压源和电流源的功率分别为W i P V 3212-=-= W u P A 18212==4－4 题4－4图示电路中，R N 为电阻网络，由两个电流源供电。
有色冶金原理(傅崇说版)部分课后习题解答 4
第四章习题与思考题1. 含钴和铜的硫化矿于1×101325Pa 条件下进行焙烧，要生成能溶于水的硫酸钴和不溶于水的氧化铜，达到易于 用水分离两者的目的，试确定这种选择硫酸化焙烧的炉气 组成的控制范围，已知：2CuO+2SO2+O→2CuSO4 ΔG θ 950k=-119053J2CoO+2SO2+O2→2CoSO4 ΔG θ 950K=-160482J 2． 硫化镍（Ni3S2）在总压为 101325Pa，温度为1000K，气 相组成范围是3～10%O2,3～10%SO2的条件下进行焙烧，问所 得焙烧产物应是什么？已知NiO+SO3=NiSO4 ΔG θ =-248069+198.82T,J 3. 已知反应Cu2O+FeS=Cu2S+FeO的平衡常数与温度的关系108336 -0.000074T，问在 1473K温度下该反应 式为logKp=19146.T进行的可能性？解答：1.解：2CuO+2SO 2+O 2 2CuSO 4119053 1 ln 22 2 950 - = × - = D O SO P P RT G q （ 2 22 O SO P P × ）1=2.84×10-7 同理，2CoO+2SO 2+O 2 2CoSO 4（ 2 22 O SO P P × ）2=1×10-9 可知在同样的 P O2 时， 2 2 1 2 ) /( so SO P P ） （ =16.85，即在 950 0C 时炉气范 围只要将 SO 2 的压力控制在（P SO2）2—（P SO2）1 的范围内即可。
2.解：NiO+SO 3=NiSO 4 ΔG θ =-248069+198.82T,JTKp RT G 82 . 198 248069 ln + - = - = D q 得 P SO3(NiSO4)=2.68×10 3 Pa2SO 2+1/2O 2=SO 3ΔG θ =-94558+89.4T,J (P 77) 1000146 . 19 1000 4 . 89 94558 log log 2 1 2 2 3´ ´ - = × = O SO SO P P P Kp Kp=1.84P SO3(炉气)=Kp•P SO2•P O21/2 =1.84×(0.03×101325)×(0.03×101325) 1/2 =3.14×10 5 PaP SO3(炉气)> P SO3(NiSO4),焙烧产物是 NiSO 4。
线性代数课后习题解答第四章习题详解
第四章 向量组的线性相关性1．设T T T v v v )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===, 求21v v -及32123v v v -+. 解 21v v -T T )1,1,0()0,1,1(-=T )10,11,01(---=T )1,0,1(-=32123v v v -+T T T )0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+=T )01203,41213,30213(-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯= T )2,1,0(=2．设)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-其中T a )3,1,5,2(1=, T a )10,5,1,10(2=,T a )1,1,1,4(3-=,求a . 解 由)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-整理得)523(61321a a a a -+=])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61T T T --+=T)4,3,2,1(=3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----000000531400751610421301~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明 由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示. (2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关.8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式.解 因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使 λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0,由此得 2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=, 设211λλλ+-=c , 则 b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之. 解 不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有 a 1+b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10．举例说明下列各命题是错误的:(1) 若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则1a 可由,,2m a a 线性表示.(2) 若有不全为0的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ 成立, 则m a a ,,1线性相关, m b b ,,1 亦线性相关. (3) 若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式01111=+++++m m m m b b a a λλλλ 才能成立,则m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.(4) 若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,则有不全为0的数, m λλλ,,,21 使.0 ,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ 同时成立.解 (1) 设)0,,0,0,1(11 ==e a , 032====m a a a满足m a a a ,,,21 线性相关, 但1a 不能由,,,2m a a 线性表示.(2) 有不全为零的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ原式可化为 0)()(111=++++m m m b a b a λλ取 m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111 . 其中m e e ,,1 为单位向量,则上式成立,而m a a ,,1 ,m b b ,,1 均线性相关.(3) 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ )m m b a b a b a +++⇒,,,2211 线性无关取021====m ααα , 取m b b ,,1 为线性无关组. 满足以上条件,但不能说是m ααα,,,21 线性无关的.(4) Ta )0,1(1= Ta )0,2(2= Tb )3,0(1= Tb )4,0(2=⎪⎭⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾.11．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组4321,,,b b b b 线性相关. 证明 设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x 则0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,411x x k +=; 212x x k +=; 323x x k +=; 434x x k +=;由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相关. (2) 若4321,,,a a a a 线性无关, 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒x x x x 由01100011000111001= 知此齐次方程存在非零解. 则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.12．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关.证明 设02211=+++r r b k b k b k 则++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故⎪⎩⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121 r k k k因为0110011011≠= 故方程组只有零解. 则021====r k k k . 所以r b b b ,,,21 线性无关13．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41211a ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41010092a ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=82423a ; (2) )3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=T a ,)7,4,3,1(3---=Ta .解 (1) 3131,2a a a a ⇒=-线性相关.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛824241010094121321T T Ta a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000032198204121~秩为2,一组最大线性无关组为21,a a .(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛743165143121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------10550189903121~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000189903121~ 秩为2,最大线性无关组为TT a a 21,.14．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把其余列向量用最大无关组线性表示:(1) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125; (2) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---14011313021512012211.解 (1) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛482032251345494751325394754317312514131233~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛531053103210431731252334~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0003100321043173125 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1401131302151201221114132~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------222001512015120122114323~rr r r ↔+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000222001512012211，所以第1、2、3列构成一个最大无关组．15. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解 设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5200111031116110111031113111332221) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.16．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,已知n 维单位坐标向量n e e e ,,,21 能由它们线性表示,证明n a a a ,,,21 线性无关.证明 n 维单位向量n e e e ,,,21 线性无关. 不妨设:nnn n n n nn n n a k a k a k e a k a k a k e a k a k a k e +++=+++=+++= 22112222121212121111所以 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T Tnn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e ee 2121222211121121两边取行列式，得T n T T nn n n n nTnTTa a a k k k k k k k k k e e e2121222211121121= 由 002121≠⇒≠T nT T T n T T a a a e e e 即n 维向量组n a a a ,,,21 所构成矩阵的秩为n . 故n a a a ,,,21 线性无关.17．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n 维向量都可由它们线性表示.证明 设n εεε,,,21 为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量T n k k k a ),,,(21 =则有n n k k k a εεε+++= 2211即任一n 维向量都可由单位向量线性表示.必要性⇒n a a a ,,,21 线性无关，且n a a a ,,,21 能由单位向量线性表示，即nnn n n n nn n n k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα+++=+++=+++= 22112222121212121111故 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n T T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k a aa εεε2121222211121121 两边取行列式，得 TnTTnn n n n n TnTTk k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121=由 0021222211121121≠⇒≠nnn n nn T n T T k k k k k k k k k a a a令 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯nn n n n n n n k k k k k k k k k A212222111211 . 由⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-T n T T T n T TT n T T T n T Ta a a A A a a a εεεεεε 212112121即n εεε,,,21 都能由n a a a ,,,21 线性表示，因为任一n 维向量能由单位向量线性表示，故任一 n 维向量都可以由n a a a ,,,21 线性表示.充分性⇐已知任一n 维向量都可由n a a a ,,,21 线性表示，则单位向量组：n εεε,,,21 可由n a a a ,,,21 线性表示，由16题知n a a a ,,,21 线性无关.18. 设向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 且a 1≠0, 证明存在某个向量a k (2≤k ≤m ), 使a k 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a k -1线性表示.证明 因为a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 所以存在不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅,λm , 使λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m =0,而且λ2, λ3,⋅ ⋅ ⋅, λm 不全为零. 这是因为, 如若不然, 则λ1a 1=0, 由a 1≠0知λ1=0, 矛盾. 因此存在k (2≤k ≤m ), 使λk ≠0, λk +1=λk +2= ⋅ ⋅ ⋅ =λm =0,于是λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λk a k =0,a k =-(1/λk )(λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λk -1a k -1),即a k 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a k -1线性表示.19．设向量组:B r b b ,,1 能由向量组:A s a a ,,1 线性表示为K a a b b s r ),,(),,(11 =，其中K 为r s ⨯矩阵，且A 组线性无关。
大学物理课本答案习题 第四章习题解答
习题四4-1 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行，如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度应是多少？解 5光年是在地球上测得的原长，由于此长度相对宇航员也是高速运动的，所以他测得收缩了的长度为3光年. 即3=火箭相对于地球的速度应为45u c =4-2 一飞船以0.99c 的速率平行于地面飞行，宇航员测得此飞船的长度为400 m.. （1）地面上的观察者测得飞船长度是多少？（2）为了测得飞船的长度，地面上需要有两位观察者携带着两只同步钟同时站在飞船首尾两端处.那么这两位观察者相距多远？ （3）宇航员测得两位观察者相距多远？解（1）56.4(m)l l ===（2）这两位观察者需同时测量飞船首、尾的坐标，相减得到飞船长度，所以两位观察者相距是56.4 m.（3）地面上的两位观察者相距56.4 m ，这一距离在地面参考系中是原长，宇航员看地面是运动的，他测得地面上两位观察者相距为7.96(m)l l ===所以宇航员测得两位观察者相距7.96 m.4-3 已知π介子在其静止系中的半衰期为81.810s -⨯。
今有一束π介子以0.8u c =的速度离开加速器，试问，从实验室参考系看来，当π介子衰变一半时飞越了多长的距离？解：在π介子的静止系中，半衰期80 1.810s t -∆=⨯是本征时间。
由时间膨胀效应，实验室参考系中的观察者测得的同一过程所经历的时间为8310s t -∆==⨯因而飞行距离为7.2m d u t =∆=4-4 在某惯性系K 中，两事件发生在同一地点而时间相隔为4s 。
已知在另一惯性系'K 中，该两事件的时间间隔为6s，试问它们的空间间隔是多少？解：在K系中，04st∆=为本征时间，在'K系中的时间间隔为6st∆=两者的关系为t∆==所以259β=故两惯性系的相对速度为8110m su cβ-==⋅由洛伦兹变换，'K系中两事件的空间间隔为)k kx x u t'∆=∆+∆两件事在K系中发生在同一地点，因此有0kx∆=，故810mkx'∆==4-5 惯性系'K相对另一惯性系K沿x轴作匀速运动，取两坐标原点重合的时刻作为计时起点。
《大数据技术原理与操作应用》习题解答(四)
《大数据技术原理与操作应用》习题解答（四）第六章一、单选题1、Hadoop2.0集群服务启动进程中，下列选项不包含的是（）。
A、NameNodeB、JobTrackerC、DataNodeD、ResourceManager参考答案:B2、关于SecondaryNameNode哪项是正确的？A、它是NameNode的热备B、它对内存没有要求C、它的目的是帮助NameNode合并编辑日志，减少NameNode启动时间D、SecondaryNameNode应与NameNode部署到一个节点参考答案:C3、HDFS中的Block默认保存（）份。
A、3份B、2份C、1份D、不确定参考答案:A答案解析:HDFS中的Block默认保存3份。
4、一个gzip文件大小75MB，客户端设置Block大小为64MB，占用Block的个数是（）。
A、1B、2C、3D、4参考答案:B5、下列选项中，Hadoop2.x版本独有的进程是（）。
A、JobTrackerB、TaskTrackerC、NodeManagerD、NameNode参考答案:C6、下列哪项通常是集群的最主要的性能瓶颈？A、CPUB、网络C、磁盘D、内存参考答案:C二、判断题1、NameNode的Web UI端口是50030，它通过jetty启动的Web服务。
对错参考答案:错答案解析:端口号为500702、NodeManager会定时的向ResourceManager汇报所在节点的资源使用情况，并接受处理来自ApplicationMaster的容器启动、停止等各种请求对错参考答案:对3、Hadoop HA是集群中启动两台或两台以上机器充当NameNode，避免一台NameNode节点发生故障导致整个集群不可用的情况。
对错参考答案:对答案解析:Hadoop HA是集群中启动两台或两台以上机器充当NameNode，避免一台NameNode节点发生故障导致整个集群不可用的情况。
胡寿松自动控制原理习题解答第四章
4-1 设单位反馈控制系统的开环传递函数 1)(+=∗s K s G试用解析法绘出∗K 从零变到无穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： （－２＋ｊ０）， （０＋ｊ１）， （－３＋ｊ２） 解：有一个极点：（－1＋ｊ０），没有零点。
根轨迹如图中红线所示。
（－２＋ｊ０）点在根轨迹上，而（０＋ｊ１）， （－３＋ｊ２）点不在根轨迹上。
4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数 )12()13()(++=s s s K s G 试用解析法绘出开环增益K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。
解：系统开环传递函数为)2/1()3/1()2/1()3/1(2/3)(++=++=s s s K s s s K s g G 有两个极点：（0＋ｊ０），（－1/2＋ｊ０），有一个零点（-1/3，j0）。
根轨迹如图中红线所示。
4-3 已知开环零、极点分布如图4-28所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。
图4-28 开环零、极点分布图4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分离点坐标d)： (1) )15.0)(12.0()(++=s s s Ks G解：系统开环传递函数为)2)(5()2)(5(10)(++=++=s s s K s s s Ks g G 有三个极点：（0＋ｊ０），（－2＋ｊ０），（－5＋ｊ０）没有零点。
分离点坐标计算如下：051211=++++d d d 3解方程的010142=++d d 7863.31−=d ，d 88.02−=取分离点为88.0−=d根轨迹如图中红线所示。
（2） )12()1()(++=s s s K s G解：系统开环传递函数为)5.0()1()5.0()1(2/)(++=++=s s s K s s s K s g G有两个极点：（0＋ｊ０），（－0.5＋ｊ０），有一个零点（－1＋ｊ０）。
分离点坐标计算如下：115.011+=++d d d 解方程的05.022=++d d 7.11−=d ，d 29.02−=取分离点为7.11−=d ，29.02−=d 根轨迹如图中红线所示。
【免费下载】 微机原理习题解答：4
习题四1．8086语言指令的寻址方式有哪几类？用哪一种寻址方式的指令执行速度最快？答：数据操作数的寻址方式有七种，分别为：立即寻址，寄存器寻址，直接寻址，寄存器间接寻址，寄存器相对基址变址和相对基址变址寻址。
其中寄存器寻址的指令执行速度最快。
2．若DS＝6000H，SS＝5000H，ES＝4000H，SI＝0100H，BX＝0300H，BP＝0400H，D＝1200H，数据段中变量名NUM的偏移地址为0050H，试指出下列源操作数的寻址方式和物理地址是多少？（1）MOV AX，［64H］ 答：寻址方式为直接寻址；PA＝60064H （2）MOV AX，NUM 答：寻址方式为直接寻址；PA＝60005H（3）MOV AX，［SI］答：寻址方式为寄存器间接寻址；PA＝60100H （4）MOV AX，［BX］答：寻址方式为寄存器间接寻址；PA＝60300H （5）MOV AX，［BP］答：寻址方式为寄存器间接寻址；PA＝50400H （6）MOV AL，［DI］答：寻址方式为寄存器间接寻址；PA＝61200H （7）MOV AL，［BX＋1110H］答：寻址方式为寄存器相对寻址；PA＝61410H （8）MOV AX，NUM［BX］答：寻址方式为寄存器相对寻址；PA＝60305H （9）MOV AX，［BX＋SI］答：寻址方式为基址变址寻址；PA＝60400H（10）MOV AX，NUM［BX］［DI］答：寻址方式为相对基址变址寻址；PA=61505H3．设BX＝637DH，SI＝2A9BH,位移量为C237H，试确定由这些寄存器和下列寻址方式产生的有效地址。
（1）直接寻址答：有效地址为EA＝C237H（2）用BX的寄存器间接寻址答：有效地址为EA＝637DH（3）用BX的相对寄存器间接寻址答：有效地址为EA＝125B4H（4）基址加变址寻址答：有效地址为EA＝8E18H（5）相对基址变址寻址答：有效地址为EA＝1504FH其中，（3）和（5）中产生进位，要把最高位1舍去。
复变函数课后答案习题四解答
in ；
n=1 n
n=2 ln n
∑ ∑ 3）
∞ n=1
(6+5i)n 8n
；
4）
∞ n=2
cos in 2n
。
∑ ∑ 解
1）由 in = cos nπ
+ i sin nπ
，
∞
cos nπ 2
与
∞
sin nπ 2
为收敛的交错项实级数，
2
2 n=1 n
n=1 n
∑ ∑ 所以 ∞ in 收敛，但 in = 1 ，故 ∞ in 发散，原级数条件收敛；
n→∞ n
2
= 0, lim 1 sin n→∞ n
nπ 2
=0，
故
α
n
收敛，
lim
n→∞
α
n
=
0
2．证明：
⎧0,
|α |<1,
limα n
n→∞
=
⎪⎪∞, ⎨⎪1,
|α |>1, α = 1,
⎪⎩不存在， |α|=1,α ≠ 1.
3．判断下列级数的绝对收敛性与收敛性：
∑ ∑ 1） ∞ in ；
∞
2）
，而
lim
n→∞
chn 2n
≠
0
，故
∞ n=2
cos in 2n
发散。
4．下列说法是否正确？为什么？
（1）每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；
（2）每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；
（3）每一个在 z0 连续的函数一定可以在 z0 的邻域内展开成 Taylor 级数。
∞
∑ 解（1）不对。如 zn 在收敛圆 z < 1内收敛，但在收敛圆周 z = 1上并不收敛； n=0
线性代数习题答案4
a2 + b2 3 (a2 + b2 3)(a2 − b2 3) a22 − 3b22
a22 − 3b22
3,
a1 ± a2 , b1
± b2;
a1a2
+ 3b1b2 , a1b2
+ a2b1;
a1a2 a22
− 3b1b2 − 3b22
,
(a2b1 − a1b2 a22 − 3b22
)
都是有理数,故 K2 是数域.
x + y = (x1 + y1, x2 + y2 , x3 + y3 )T , 2(x1 + y1) + 3(x2 + y2 ) − (x3 + y3 ) = 0 ⇒ x + y ∈W4 , kx = (kx1, kx2 , kx3)T , 2(kx1) + 3(kx2 ) − (kx3) = 0 ⇒ kx ∈W4 故W4 对 R3 中的加法与数乘运算封闭, 它是 R3 的子空间. (5) W5 = {x ∈ R3 | 2x1 + 3x2 − x3 = 1}; 【解】W5 不是 R3 的子空间. 显然W5 中不含有零向量, 故W5 不是 R3 的子空间. (6) W6 = {x ∈ R3 | x1 − x22 = 0}.
=
a1a2 a22
+ b1b2 + b22
+
(a2b1 a22
− a1b2 ) + b22
i,
a1
± a2 , b1
± b2;
a1a2
− b1b2 , a1b2
+ a2b1;
a1a2 + b1b2 a22 + b22
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解不能。因如 在 收敛，则由Abel定理其收敛半径 ，而 即 在其收敛圆 内，故级数 在 收敛，矛盾。
5．如果 的收敛半径为R，证明级数 的收敛半径 。
证1对于圆 内的任意一点z，由已知 绝对收敛即 收敛，又因 ，从而 ，故由正项级数的比较判别法 也收敛即 在 内绝对收敛，于是其收敛半径 。
8．求下列函数在指定点 处的Taylor展开式，并指出它们的收敛半径
（1） ， （2） ，
（3） ， （4） ，
解（1）因
及
故
，
于是收敛半径R=2。
（2）因
及
=
故
原式
=
， ，
而 。
（3）因 及 ， ，
故
， ，
而R=1。
（4）因
，
其中 ，故，ຫໍສະໝຸດ 且收敛半径 。9．把下列各函数在指定的圆环域内展开成Laurent级数。
证2设级数 的收敛半径为 。由于 ，有 ，即 ，所以有 ，即 。
6．我们知道，函数 当x为任何实数时，都有确定的值，但它的Taylor展
开式： 却只当 时成立，试说明其原因。
解幂级数的收敛半径为其和函数的各奇点到其中心的最短距离，而函数 在 上有奇点 ，故 之右边幂级数的收敛半径为 ，又因为此级数在 处发散，故在实数范围内 只能在 时成立即 只当 时成立。
（5） ， （6） ，
解（1）由于
，
故
故
， ；
（2）
， ；
（3）因
，
故
，
从而
+
；
（4）因
.
故
， ，
；
（5）令 ，则 ，故
，
因此 ，
即
；
（6）令 ，显然z=1是 的奇点，所以它可在 内展为z的Taylor级数，对 求导得
得微分方程
将上述微分方程逐次求导，得
，…
求得
从而
5．试求下列函数在给定圆环域内的Laurent级数。
（1） ， ；
（2） ， ；
（3）
（4） ，
（5） ，
解（1）因
故
；
（2）在 内，
在 内，
；
（3） 内，
在 内
（4）在 内，因
故
；
（5）因 ,
故
B类
1．设幂级数 的收敛半径R>0，和函数为 ，证明： ， 。其中
证由Taylor系数公式及复积分计算公式知
,
故
。
2．求证如下不等式。
（1）对任意的复数z有
（2）每一个幂级数收敛于一个解析函数；
（3）每一个在 连续的函数一定可以在 的邻域内展开成Taylor级数。
解（1）不对。如 在收敛圆 内收敛，但在收敛圆周 上并不收敛；
（2）不对。如一个幂级数的收敛半径为零,则其和函数并非解析函数;
(3)不对.如 在全平面上连续,但它在任何点的邻域内均不能展开成Taylor级数。
（1） ， ，
（2） ， ，
（3） ；
（4） ， ；
（5） ， ；
（6） ， ，
解（1）
， ；
（2）显然 。
在 内，
，
，
故原式 ，
在 内
故原式 ， ，其中
（3）
（4）
;
（5）
=
，
；
（6） ，
，
，（ ）
这里应用了展开式
这里 称为Bernoulli数，它们满足
（1）
（2）
=
=
=
= ，
= ，
从而
。
（2）当 时，证
证（1）因
故对任一复数z， ;
（2）因 ，故当 时，有
，
又因
故由以上三个不等式即得 。
3．设 ， ，求 ，其中C为任一条包含原点且落在圆周： 内的简单闭曲线。
解：因 在 内解析且C在 内，故 = ，又因
，
故
， ，
于是
4．试求下列函数在给定点的Taylor展开式。
（1） （2） ，
（3） ， ；（4） ，
习题四解答
A类
1．求下列级数的收敛半径。
（1） ；（2） ；（3） 。
解（1） ;
（2） ;
（3） .
2．证明级数 在收敛圆内一致收敛。
证因收敛半径 ，故其收敛圆为 。又因 ， ，而级数 收敛，由教科书中的定理，级数 在收敛圆 内一致收敛。
3．下列结论是否正确？为什么？
（1）每一个幂级数在它的收敛圆内与收敛圆上收敛；
7．把下列各函数展成z的幂级数，并指出它们的收敛半径。
（1） ；（2） ；（3） ；（4）shz；（5）
（6）
解（1）由 ，故
， ，
而收敛半径R=1；
（2）因
， ，
故
， ，
又因
，
， ，
而 =1；
（3）因
故
而其收敛半径 ；
（4）因
故
而收敛半径
（5）因
故
而收敛半径
（6）因
故
， ，
， ，
故
= ，
而收敛半径R=1。