1.4.2数学归纳法典型例题

1 1 1 1 5 证明 (1)当 n＝2 时，3＋4＋5＋6>6，不等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥2，k∈N＋)时，命题成立， 1 1 1 5 即 ＋ ＋„＋ >6， 3k k＋1 k＋2 1 1 1 1 则当 n＝k＋1 时， ＋ ＋„＋ ＋ ＋ 3 k k＋1＋1 k＋1＋2 3k＋1 1 1 ＋ 3k＋2 3k＋1
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说明： 归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方
法．归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明
猜想． “观察 ——猜想—— 证明”是解答与正整数有关命题的 有效途径．
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2．数学归纳法的主要应用 利用数学归纳法证明的命题范围比较广泛，可以涵盖代 数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问题 等等，所涉及的题型主要有以下几个方面： (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和； (2) 由一些恒等式、不等式改编的探究性问题，求使命题
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(2)假设 n＝k(k≥1)时等式成立，即 1 1 1 1 1 1－2＋3－4＋„＋ － 2k－1 2k 1 1 1 ＝ ＋ ＋„＋ ， 2k k＋1 k＋2 则当 n＝k＋1 时，
1－1＋1－1＋ 1 － 1 1 － 1 ＋2k＋1 2k＋2 2 3 4 2 k 2 k － 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＋ － ＝ 2k 2k＋1 2k＋2 k＋1 k＋2
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1 1 1 1 ＋ 1 ＋ 1 － 1 ＝ ＋ ＋„＋ ＋ 3k 3k＋1 3k＋2 3k＋3 k＋1 k＋1 k＋2
1 1 1 5 1 ＋ ＋ － >6＋ 3k＋1 3k＋2 3k＋3 k＋1 1 1 5 5 － > ＋3× ＝ . 6 3k＋3 k＋1 6 所以当 n＝k＋1 时，不等式也成立． 由(1)，(2)可知，原不等式对一切 n≥2，n∈N＋都成立．
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题型三 不等式问题
1 1 1 【例 3】 已知 n∈N＋，n>2，求证：1＋ ＋ ＋„＋ 2 3 n > n＋1.
[思路探索]先求出当n＝3时等式左右两边的值，验证不等式 成立，然后作出假设：当n＝k时不等式成立，接着令n＝k＋ 1，将假设得到的结论与不等式的左边比较，可将所证不等式 进行化简．
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1 1 1 1 ＝ ＋ ＋„＋ ＋ . k＋2 k＋3 2k＋1 2k＋2 即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)(2)可知，对一切正整数 n 等式都成立．
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题型二 几何问题
【例2】 几个半圆的圆心在同一条直线l上，这几个半圆每两个
1．数学归纳法中两个步骤的作用及关系
步骤①是命题论证的基础，步骤②是判断命题的正确性能
否递推下去的保证． 这两个步骤缺一不可，如果只有步骤①缺少步骤②，无法 对 n 取 n0 后的数时结论是否正确做出判断；如果只有步骤 ②缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤
②就没有意义了．
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3．数学归纳法的框图表示：
n
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：数学归纳法的第一步中n的初始值怎样确定？ 提示 数学归纳法的第一步中 n 的初始值应根据命题的具
体情况而确定，不一定是n0＝1，如证明n边形的内角和为
(n－2)·180°时，其初始值n0＝3.
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名师点睛
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题型四 “归纳、猜想、证明”问题
【例4】 (12分)在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an， bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)． 求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公 式，并证明你的结论． 审题指导 归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一， 此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问 题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探 索出一般规律．
自学导引
1．数学归纳法
数学归纳法是用来证明某些与 正整数n 有关的数学命题的 一种方法． 2．数学归纳法证明步骤
基本步骤：
①验证： n＝n0 时，命题成立； ②在假设 n＝k(k≥ n0) 时命题成立的前提下，推出 n＝k＋1 时，命题成立． 根据①②可以断定命题对一切正整数n≥n0都成立．
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用数学归纳法证明不等式、比较大小是高考的重
点．用数学归纳法证明不等式的第二步即从 n＝k(k≥1)到n＝k＋1
的推导过程中要应用归纳假设，并对照目标式进行恰当的放缩 来实现，也可以在归纳假设后用分析法来证明 n＝k＋1时不等式 成立．
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1 1 1 1 5 【训练 3】 求证： ＋ ＋ ＋„＋ >6 3n n＋1 n＋2 n＋3 (n≥2，n∈N＋)．
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②假设当 n＝k(k∈N＋)时，结论成立， 即 ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2， 那么当 n＝k＋1 时， ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1) a2 k＋1 ＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝ b ＝(k＋2)2， k 所以当 n＝k＋1 时，结论也成立． 由①②，可知 an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2 对一切正整数都成 立．
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课堂1 1 【训练 1】 用数学归纳法证明： 1－ ＋ － ＋„＋ － 2 3 4 2n－1 2n 1 1 1 ＝ ＋ ＋„＋ (n∈N＋) 2n n＋1 n＋2
1 1 解 (1)当 n＝1 时，左边＝1－ ＝ ， 2 2 1 1 右边＝ ＝ . 1＋1 2 左边＝右边．等式成立．
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k＋2 k＋2 ∵ > ＝ k＋2＝ k＋1＋1， k＋1 k＋2 1 1 1 1 ∴1＋ ＋ ＋„＋ ＋ > k＋1＋1， 2 3 k k＋1 ∴当 n＝k＋1 时，不等式也成立． 由(1)，(2)知对一切 n∈N＋，n>2，不等式恒成立．
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§1.4.2 数学归纳法典型例题
【课标要求】 1．了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明一些常见的数学命题． 【核心扫描】 1．数学归纳法的原理及用数学归纳法证明数学命题的步
骤．(重点、难点)
2．学会用数学归纳法证明与正整数n有关的数学命题． (重点、难点)
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成立的参数的值或范围；
(3)猜想并证明对正整数n都成立的一般性命题．
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3．应用数学归纳法的注意事项 (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 提醒：用数学归纳法可证明与正整数有关的问题，但并不 是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要
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【训练 2】 平面上有 n 条直线，它们之间任何两条不平行， nn＋1 任何三条不共点，求证这 n 条直线将平面分成 ＋ 2 1 部分．
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1×1＋1 解 当 n＝1 时，一条直线把平面分成两部分， ＋1 2 ＝2， 所以当 n＝1 时， 命题成立． 假设当 n＝k 时， 命题成立， kk＋1 即 k 条直线把平面分成 ＋1 个部分．当 n＝k＋1 时， 2 kk＋1 这 k＋1 条直线中的 k 条直线把平面分成 2 ＋1 部分， 第 k＋1 条直线与前 k 条直线共有 k 个交点，将第 k＋1 条直线 分成 k＋1 部分，这时将平面多分成了 k＋1 部分，即 k＋1 条 kk＋1 k＋1k＋2 直线把平面分成 2 ＋1＋(k＋1)＝ ＋1 部分， 2 所以当 n＝k＋1 时，命题也成立，故原命题成立．
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【解题流程】 由条件得an，bn，an＋1，bn＋1之间的关系 ―→ 代入a1＝2，b1＝4，求出a2，a3，a4，b2，b3，b4的值 ―→ 归纳猜想an，bn的通项公式 ―→ 用数学归纳法证明所得结论
[规范解答] 由条件得 2bn＝an＋an＋1， a2 n＋1＝bnbn＋1. 由此可以得 a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测 an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，由上可得结论成立．
都相交，且都在直线l的同侧，求证这些半圆被所有的交点
最多分成的圆弧段数为f(n)＝n2.(n≥2，n∈N＋)．
[思路探索] 验证n＝2时成立 ―→ 文字说明fk＋1－fk的增量 ―→ 验证fk＋1＝k＋12成立
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解 (1)如图， n＝2 时， 两个半圆交于一点， 则分成 4 段圆弧， 故 f(2)＝4＝22. (2)假设 n＝k 时，f(k)＝k2 成立，当 n＝k＋1 时，第 k＋1 个半 圆与原 k 个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不 能交于一点， 所以第 k＋1 个半圆把原 k 个半圆中的每一个半 圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出 k 条圆弧，另外原 k 个半圆把第 k＋1 个半圆分成 k＋1 段， 这样又多出了 k＋1 段 圆弧． ∴f(k＋1)＝k2＋k＋(k＋1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 由(1)，(2)可知命题得证．