1.4.2数学归纳法典型例题

合集下载

(完整版)数学归纳法经典例题详解

例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n Λ．请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ．那么当n =k +1时，有：()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性．解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a ，解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)那么当n =k +1时，a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]=(k +1)(k 2+2k +3k +6)=(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立．综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 2131211<++++Λ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++Λ．那么当n =k +1时，11131211++++++k k Λ1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k Λ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ．求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除．分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除．②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时，a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3=a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=3a 4k +2+2a 4k +1由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1能被3整除．因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除．由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2．用数学归纳法证明如下：①当n=2时，上面已证．②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．。

1.4 数学归纳法(课件)-高二数学(湘教版2019选择性必修第一册)

湘教版2019高一数学（选修一）
*1.4
数学归纳法
第一章
数列
目录/CONTENTS
学习目标
情景导入
新知探究
错因分析
随堂检测
课堂小结
学习目标
1.了解数学归纳法的原理
2.利用数学归纳法证明等式
3.归纳—猜想—证明
情景导入
如果从盒子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，
是否判断盒子里面的小球都是绿色的？
4
则当 = + 1时，左边 = 13 + 23 + 33 +⋅⋅⋅ + 3 + + 1 3
2 + 1 2
=
+ +1 3
4
2

= +1 2
++1
4
+ 1 2 2 + 4 + 4
=
所以当�� = + 1时等式也成立，
典例剖析
(拓展)题型 3
用数学归纳法证明几何问题
例 3 有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，
求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．
证明：①当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所
以n＝1时命题成立．
②假设n＝k(k≥1)时命题成立．
A.1
B.1＋3
C.1＋2＋3
D.1＋2＋3＋4
C
)
当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.
4
2
n
＋n
(2)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝
，则当n＝k＋1时，等

(完整版)数学归纳法经典例题及答案(2)

数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。

二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ．当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3. 解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边．故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。

数学归纳法经典例题及答案

数学归纳法经典例题及答案数学归纳法是解决数学问题中常用的一种证明方法，它基于两个基本步骤：证明基准情况和证明归纳假设，通过这两个步骤逐步推导证明，从而得到结论。

下面将介绍一些经典的数学归纳法例题及其答案。

例题一：证明1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2，其中n∈N（自然数）。

解答：首先，我们先验证这个等式在n=1时是否成立。

当n=1时，左边等式为1，右边等式为1(1+1)/2=1，两边相等，因此基准情况成立。

其次，我们假设对于任意的k∈N，当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。

接下来，我们需要证明当n=k+1时等式也成立。

根据归纳假设，我们已经知道1+2+3+...+k=k(k+1)/2，现在我们要证明1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。

将左边等式的前k项代入归纳假设得到：(k(k+1)/2)+(k+1)=(k+1)(k/2+1)= (k+1)(k+2)/2。

所以，当n=k+1时，等式也成立。

根据数学归纳法的原理，我们可以得出结论，对于任意的n∈N，都有1+2+3+...+n=n(n+1)/2。

例题二：证明2^n > n，其中n∈N，n>1。

解答：首先，我们验证这个不等式在n=2时是否成立。

当n=2时，左边等式为2^2=4，右边等式为2，显然不等式成立。

其次，我们假设对于任意的k∈N，当n=k时不等式成立，即2^k > k。

接下来，我们需要证明当n=k+1时不等式也成立。

根据归纳假设，我们已经知道2^k > k，现在我们要证明2^(k+1) > k+1。

我们可以将左边等式进行展开得到：2^(k+1) = 2^k * 2。

由归纳假设可知，2^k > k，所以2^(k+1) = 2^k * 2 > k * 2。

我们可以观察到当k>2时，k * 2 > k + 1，当k=2时，k * 2 = k + 1。

北师大版数学高二课时作业 1.4 数学归纳法

1.4 数学归纳法1．在用数学归纳法证明“2n >n 2对从n 0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n 0＝( ) A ．1 B ．3 C ．5D ．72．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确 B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确 C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确D ．假设n ≤k (k ≥1)，再推n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N ＋)3．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －24．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( ) A ．增加12(k ＋1)B ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)C ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)，减少1k ＋1D ．增加12(k ＋1)，减少1k ＋15．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N ＋)的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以，当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N ＋，等式都成立．上述证明的错误是________．6．用数学归纳法证明121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1)，推证当n ＝k ＋1时等式也成立时，只需证明等式____________________________________成立即可．7．数列{a n }满足a n >0(n ∈N ＋)，S n 为数列{a n }的前n 项和，并且满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，求S 1，S 2，S 3的值，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明．8．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋)．参考答案1．【答案】C【解析】n 的取值与2n ，n 2的取值如下表：由于2n 2n >n 2. 2．【答案】B【解析】因为n 为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1正确，再推第(k ＋1)个正奇数即n ＝2k ＋1正确． 3．【答案】C【解析】凸n 边形有f (n )条对角线，每增加1条边，增加的那个顶点对应n －2条对角线，它的相邻的两个顶点连成1条对角线，故凸n ＋1边形的对角线条数f (n ＋1)比f (n )多n －1条． 4．【答案】C【解析】当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，又1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)－⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加12k ＋1＋12(k ＋1)，减少1k ＋1.5．【答案】没有用上归纳假设进行递推【解析】当n ＝k ＋1时正确的解法是1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1，即一定用上第二步中的假设．6．【答案】k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)【解析】当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)，故只需证明k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)即可．7．解：由a n >0，得S n >0，由a 1＝S 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，整理得a 21＝1，取正根得a 1＝1，所以S 1＝1.由S 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2及a 2＝S 2－S 1＝S 2－1，得S 2＝12⎝⎛⎭⎫S 2－1＋1S 2－1，整理得S 22＝2，取正根得S 2＝ 2. 同理可求得S 3＝ 3. 由此猜想S n ＝n . 用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，上面已求出S 1＝1，结论成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立，即S k ＝k . 那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1＝12⎝⎛⎭⎫S k ＋1－S k ＋1S k ＋1－S k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S k ＋1－k ＋1S k ＋1－k .整理得S 2k ＋1＝k ＋1，取正根得S k ＋1＝k ＋1. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N ＋，S n ＝n 都成立． 8．解：(1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，且32≤1＋12≤32，命题成立． (2)假设当n ＝k (n ∈N ＋)时，命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k＝12＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N ＋都成立．。

数学归纳法经典例题及答案

数学归纳法（2016.4.21）之杨若古兰创作一、用数学归纳法证实与正整数有关命题的步调是：（1）证实当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论准确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论准确，证实1n k =+时结论也准确．综合（1）、（2），……留意：数学归纳法使用要点：两步调,一结论.二、题型归纳：例1．用数学归纳法证实：证实：①n=1时，右边31311=⨯=，右侧31121=+=，右边=右侧，等式成立．②假设n=k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ．当n=k+1时．这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切天然数n 等式成立．例2．证实不等式n n 2131211<++++ (n∈N)．证实：①当n=1时，右边=1，右侧=2．右边<右侧，不等式成立．②假设n=k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ．那么当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意天然数n 都成立．说明：这里要留意，当n=k+1时，要证的目标是 1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证实：12112+<++k k k ．认识了这个目标，因而就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例3 (x ＋1)n ＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋…＋an(x －1)n(n≥2，n∈N*)．(1)当n ＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．(2)设bn ＝a22n －3，Tn ＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证实：当n≥2时，Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3. 解：(1)当n ＝5时，原等式变成(x ＋1)5＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋a4(x －1)4＋a5(x －1)5令x ＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243.(2)由于(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a2＝Cn2·2n－2bn ＝a22n －3＝2Cn2＝n(n －1)(n≥2) ①当n ＝2时．右边＝T2＝b2＝2，右侧＝2(2＋1)(2－1)3＝2，右边＝右侧，等式成立． ②假设当n ＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，即Tk ＝k(k ＋1)(k －1)3成立那么，当n ＝k ＋1时，右边＝Tk ＋bk ＋1＝k(k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k(k ＋1)(k －1)3＋k(k ＋1) ＝k(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k －13＋1＝k(k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右侧．故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n≥2时，Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3.。

2021年高中数学 4.2用数学归纳法证明不等式练习新人教版选修4-5

2021年高中数学 4.2用数学归纳法证明不等式练习新人教版选修4-5【霸王餐】一、选择题1．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n∈N*，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是( ) A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋12．当n＝1,2,3,4,5,6时，比较2n与n2的大小并猜想( )A．n≥1时，2n＞n2 B．n≥3时，2n＞n2C．n≥4时，2n＞n2 D．n≥5时，2n＞n23．关于正整数n的不等式2n>n2成立的条件是( )A．n∈N* B．n≥4 C．n>4 D．n＝1或n>4二、填空题4．用数学归纳法证明2n n＞n2(n∈N，n≥5)，则应第一步验证n＝________.5．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1n＋12＞12－1n＋2，假设n＝k时不等式成立，当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________________．三、解答题6．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋1n＜2n(其中n∈N*)．7．设数列{a n}满足a n＋1＝a2n－na n＋1，n∈N*.(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想a n的一个通项公式．(2)当a1≥3时，证明对所有n≥1，有：①a n≥n＋2；②11＋a1＋11＋a2＋…＋11＋a n≤12.【自助餐】8．证明：1＋122＋132＋…＋1n2≥3n2n＋1(n∈N*)．9．(xx·惠州一调)等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，b 1＝2，且s 2＋b 2＝7，S 4－b 3＝2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝a 2n －1a 2n ，T n ＝c 1·c 2·c 3…c n ，求证：T n ≥12n (n ∈N *)．10．已知数列{b n }是等差数列，且b 1＝1，b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝100.(1)求数列{b n }的通项b n ；(2)设数列{a n }的通项为a n ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b n ，设S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与12lg b n ＋1的大小，并证明你的结论．R >28077 6DAD 涭%Glac35052 88EC 裬F31118 798E 禎 33797 8405 萅。

数学归纳法典型例题

数学归纳法是一种证明方法，用于证明与自然数有关的命题。

它分为两个步骤：基础步骤和归纳步骤。

基础步骤：证明当自然数n等于某个特定值时，命题成立。

归纳步骤：假设当自然数n等于某个特定值时，命题成立，然后证明当n等于下一个值时，命题也成立。

下面是一个典型的数学归纳法例题：
例题：证明对于任意正整数n，都有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) / 2。

基础步骤：当n等于1时，左边的表达式为1，右边的表达式也为1，所以当n等于1时，命题成立。

归纳步骤：假设当n等于k时，命题成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1) / 2。

我们需要证明当n等于k+1时，命题也成立。

根据归纳假设，我们有1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1) / 2。

将等式两边都加上k+1，得到1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = k(k + 1) / 2 + (k+1)。

化简得到(k+1)(k+2) / 2 = k(k + 1) / 2 + (k+1)。

继续化简得到k^2 + 3k + 2 = k^2 + k + 2k + 2。

整理得到2k = k，显然这个等式不成立。

所以我们的归纳假设是错误的，即当n等于k+1时，命题不成立。

这说明我们的数学归纳法无法证明该命题对于任意正整数n都成立。

总结：数学归纳法是一种常用的证明方法，但并不是所有与自然数有关的命题都可以通过数学归纳法来证明。

在使用数学归纳法时，需要注意基础步骤和归纳步骤的正确性，以及是否存在反例。

数学归纳法经典例题及答案

数学归纳法（）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．综合（1）、（2），……注意：数学归纳法利用要点：两步骤,一结论。

二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左侧31311=⨯=，右边31121=+=，左侧=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ．当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左侧=1，右边=2．左侧<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这确实是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：那个地址要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，今世入归纳假设后，确实是要证明： 12112+<++k k k ．熟悉了那个目标，于是就可朝那个目标证下去，并进行有关的变形，达到那个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3. 解： (1)当n ＝5时，原等式变成(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，因此a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左侧＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左侧＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立那么，当n ＝k ＋1时，左侧＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边．故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。

数学归纳法经典例题及答案

数学归纳法（2016421）、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值n 0 （如n 0 1或2等）时结论正确; （2）假设当n k （k N , k n °）时结论正确，证明n k 1时结论也正确.综合（1）、（ 2）,注意：数学归纳法使用要点：两步骤，一结论、题型归纳: 题型1.证明代数恒等式用数学归纳法证明:当n=k+1时.k 12k 3由①、②可知，对一切自然数 n 等式成立.证明：①n=1时，左边 ②假设n =k 时, 2n 11 2n 1 n 2n 11 3 等式成立，即:-，右边 3 -，左边=右边，等式成立. 3 2k 1 2k 1 k2k 12k 1 2k 1 2k 1 2k 32k 1 2k 1 2k 32k 2 2k 1 3k 1 2k 3 2k 1 k 12k 1 2k 3 这就说明, 当n=k+1时，等式亦成立,题型2.证明不等式11 1 _例2 •证明不等式1 2打（n € N ）.V 2 <3 V n证明：①当n=1时，左边=1，右边=2.左边 <右边，不等式成立.那么当n=k+1时，2 .k2k 1 2.k 1这就是说，当n=k+1时，不等式成立.由①、②可知，原不等式对任意自然数 n 都成立.说明：这里要注意，当 n=k+1时，要证的目标是1 1 1 1 ----------------------------------------1 — — — ------------2 \ k 1，当代入归纟纳假设后，就是要证明:■. 2 3 . k 、k 12、、k 1— 2 k 1 .-k 1认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标. 题型3.证明数列问题例 3 (x + 1)n = a o + a 1(x — 1) + a 2(x — 1)2+ a 3(x — 1)3 + …+ a n (x — 1)n (n > 2, n € N *).(1)当 n = 5 时，求 a o + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 的值.a 2 十⑵设b n = 2厂3， T n = b 2 + b 3 + b 4+…+ b n .试用数学归纳法证明：当 n 》2时，T n = n(n +1)( n — 1)3 .解：(1) 当 n = 5 时，原等式变为(x + 1)5= a o + a 1(x — 1) + a 2(x — 1)2+ a 3(x — 1)3 + a 4(x — 1)4+ a 5(x — 1)5②假设n=k 时，不等式成立，即 1 'I 1.31 .2 1■-3令x = 2 得a°+ a i + a2+ a3+ a4+ a5= 35= 243. ⑵因为(x+ 1)n= [2 + (x—1)]n，所以a2= C n22旷2b n=長=2C n2= n(n —1)(n > 2)①当n= 2时.左边=T2= b2 = 2,右边=2(2 +屮2 —1=2,左边=右边，等式成立.②假设当n = k(k>2, k€ N*)时，等式成立,即T k=k(k+!)(k—1成立那么，当n = k+ 1时,左边=T k+ b k+1 =k(k+ ¥(k— " + (k+ 1)[( k+ 1) —1] = k(k+ ¥(k—1 + k(k + 1) =k(k+ 1)宁 + 1 迩+ 1)(k+ 2)(k+ 1)[( k+ 1) + 1][(k + 1)-1]=右边故当n= k+ 1时，等式成立.综上①②，当n》2时，T n =n(n+ 1)( n—13。

数学归纳法经典例题及答案

高中数学 1.4 数学归纳法同步精练北师大版选修22

高中数学 1.4 数学归纳法同步精练北师大版选修2-21.设f(n)＝111123n n n+++++＋…＋12n(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )．A．121n+B．122n+C．112122n n+++D．112122n n-++2．满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数有( )．A．1 B．1或2 C．1,2,3 D．1,2,3,43．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”的过程中，利用归纳假设证明n＝k＋1时，只需展开( )．A．(k＋3)3B．(k＋2)3 C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)34．证明22n+＜1＋111234++＋…＋12n＜n＋1(n＞1)，当n＝2时，中间式等于( )．A．1 B．1＋12C．1＋1123+D．1＋111234++5．凸n边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为( )．A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 6．若命题A(n)(n∈N＋)，当n＝k(k∈N＋)时，命题成立，则有n＝k＋1时，命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N＋)时，命题成立，则有( )．A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都错7．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________．8．用数学归纳法证明“当n为正偶数时，x n－y n能被x＋y整除”，第一步应验证n＝__________时，命题成立；第二步归纳假设成立，应写成______________．9．用数学归纳法证明凸n边形的对角线的条数：f(n)＝12n(n－3)(n≥3且n∈N＋)．10．已知n≥2，n∈N＋，求证：111 111357⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭·…·1121n⎛⎫+>⎪-⎝⎭.参考答案1.答案：D 解析：f(n)＝1111, 1232 n n n n +++⋅⋅⋅++++f(n＋1)＝111112322122n n n n n++⋯+++++++，∴f(n＋1)－f(n)＝11111 212212122n n n n n+-=-+++++.2.答案：B 解析：当n＝1时，左边＝1×2＝2，右边＝3－3＋2＝2，等式成立．当n＝2时，左边＝1×2＋2×3＝8，右边＝3×22－3×2＋2＝8，等式成立．当n＝3时，左边＝1×2＋2×3＋3×4＝20，右边＝3×32－3×3＋2＝20，等式成立．当n＝4时，左边＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40，右边＝3×42－3×4＋2＝38，等式不成立．3.答案：A 解析：当n＝k时，k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3－k3，只需展开(k＋3)3即可．4.答案：D 解析：当n＝2时，分母从1依次到4，则中间式为1＋111 234 ++.5.答案：B 解析：增加的对角线条数为n－1.6.答案：B 解析：只能对大于或等于n0的所有正整数成立，而小于n0的正整数不确定．7.答案：k3＋5k＋3k(k＋1)＋6 解析：采用配凑法，必须利用归纳假设．8.答案：2 x2k－y2k能被x＋y整除解析：因为n为正偶数，故第一个值应为n＝2，第二步假设n取第k个正偶数，即n＝2k时成立，故应假设x2k－y2k能被x＋y整除．9.答案：证明：(1)∵三角形没有对角线，∴n＝3时，f(3)＝0，命题成立．(2)假设n＝k(k≥3且k∈N＋)时命题成立，即f(k)＝12k(k－3)．则当n＝k＋1时，凸k边形由原来k个顶点变为k＋1个顶点，对角线条数增加k－1.∴f(k＋1)＝f(k)＋k－1＝12k(k－3)＋k－1＝12(k＋1)[(k＋1)－3]．∴当n＝k＋1时，命题成立．∴对于任意的n∈N＋且n≥3，凸n边形对角线的条数为f(n)＝12n(n－3)．10.证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋1433=43>，原不等式成立． (2)假设n ＝k 时，原不等式成立．即.那么当n ＝k ＋1时，11111111352121k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋯⋯+⋅+> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1121k ⎛⎫⋅+ ⎪+⎝⎭1.2=要使n ＝k ＋1时，原不等式成立，只需证明12>，>2k ＋1＋121k +＋2＞2k ＋3，即121k +＞0.∵k ≥2，∴121k +＞0. 显然成立，即当n ＝k ＋1时，原不等式成立．由(1)(2)可知，对任何n ∈N ＋(n ≥2)，原不等式均成立．。

数学归纳法经典例题及参考答案

由①、②可知，对一切自然数 n 等式成立．题型 2.证明不等式
例 2．证明不等式1 1 1 1 2 n (n∈N)．
23
n
证明：①当 n=1 时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．
②假设 n=k 时，不等式成立，即1 1 1 1 2 k ．
认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．
题型 3.证明数列问题例 3(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋an(x－1)n(n≥2，
n∈N*)． (1)当 n＝5 时，求 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5 的值． (2)设 bn＝，Tn＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当 n≥2 时，Tn
＝. 解： (1)当 n＝5 时，原等式变为(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－
1)5 令 x＝2 得 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243. (2)因为(x＋1)n＝[2＋(x－1)]n，所以 a2＝Cn2·2n－2 bn＝＝2Cn2＝n(n－1)(n≥2) ①当 n＝2 时．左边＝T2＝b2＝2，右边＝＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，即 Tk＝成立那么，当 n＝k＋1 时，左边＝Tk＋bk＋1＝＋(k＋1)[(k＋1)－1]＝＋k(k＋1) ＝k(k＋1)＝＝＝右边．故当 n＝k＋1 时，等式成立．综上①②，当 n≥2 时，Tn＝.
例 1．用数学归纳法证明：
证明：①n=1 时，左边 1 1 ，右边 1 1 ，左边=右边，等式成立．

高中数学 1.4 数学归纳法课时作业北师大版选修22

§4数学归纳法课时目标1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法是用来证明______________________的数学命题的一种方法． 2．数学归纳法的基本步骤：(1)________________________________；(2)在假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立的前提下，推出____________________．根据(1)(2)可以断定命题对______________都成立．一、选择题1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1时，等号左边的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 32．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．63．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k)多的项数是( )A ．2k －1项B ．2k ＋1项C ．2k项 D ．以上都不对4．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n ＋1)(n ∈N ＋)，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋15．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”时，第一步验证n ＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(n ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝2k ＋3时命题正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝2k ＋1时命题正确C ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确D ．假设n ≤k (k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确6．用数学归纳法证明不等式“1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324(n >2)”时的过程中，由n ＝k到n ＝k ＋1时，不等式的左边( )A ．增加了一项12k ＋1B ．增加了两项12k ＋1，12k ＋1C ．增加了两项12k ＋1，12k ＋1，又减少了一项1k ＋1D ．增加了一项12k ＋1，又减少了一项1k ＋1二、填空题7．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22时，则n ＝k ＋1时的左端应在n ＝k 时的左端加上____________________________．8．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1 (n ∈N ＋)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N ＋，等式都成立．上述证明的错误是________________________．9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N ＋)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________．三、解答题10．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N ＋)，并用数学归纳法证明你的结论．11．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．能力提升12．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n＋9，存在正整数m ，使得对任意n ∈N ＋都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为多少？并证明之．13．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．1．数学归纳法在证明与正整数n 有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用．2．在证明n ＝k ＋1时的命题中，怎样变形使之出现n ＝k 时的命题的形式是解决问题的关键，要找清n ＝k ＋1时式子结构或几何量的改变．答案知识梳理1．某些与正整数n 有关2．(1)验证：n ＝1时，命题成立 (2)当n ＝k ＋1时，命题成立一切正整数n 作业设计1．C [当n ＝1时，a n ＋1＝a 2.∴等号左边的项是1＋a ＋a 2.]2．C [当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5.]3．C [观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k)＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k项．]4．B [当n ＝k 时左端为(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)，即(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)．观察比较它们的变化知增乘了2k ＋12k ＋2k ＋1＝2(2k ＋1)．]5．B [因n 为正奇数，所以否定C 、D 项；当k ＝1时，2k －1＝1,2k ＋1＝3，故选B.]6．C [当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k .当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1.] 7．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)28．没有用到归纳假设，不是数学归纳法9．S n ＝2nn ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.10．证明当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16，由此可以猜想， 2n ＋2>n 2(n ∈N ＋)成立．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．②假设n ＝k 时(k ≥3且k ∈N ＋)时，不等式成立，即2k ＋2>k 2，那么n ＝k ＋1时， 2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2. 要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k 2－2≥(k ＋1)2，即证k 2－2k －3≥0，即证(k ＋1)(k －3)≥0. 又∵k ＋1>0，k －3≥0， ∴(k ＋1)(k －3)≥0.所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N ＋，2n ＋2>n 2.11．解 (1)a 2＝a 12a 1＋1＝122×12＋1＝14，a 3＝a 22a 2＋1＝142×14＋1＝16.(2)猜想a n ＝12n，下面用数学归纳法证明此结论正确．证明：①当n ＝1时，结论显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝12k，那么a k ＋1＝a k 2a k ＋1＝12k 2×12k＋1＝12k ＋2＝12k ＋1.也就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．根据①②可知，结论对任意正整数n 都成立，即a n ＝12n.12．解 ∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，∴f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除．证明：n ＝1,2时，由上得证，假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)时，f (k )＝(2k ＋7)·3k＋9能被36整除，则n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)． ∴f (k ＋1)能被36整除．因此，对任意n ∈N ＋，f (n )都能被36整除．又∵f (1)不能被大于36的数整除， ∴所求最大的m 值等于36.13．(1)解由题意：S n ＝b n＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r .所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列．又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)， a 2a 1＝b ，即b b －1b ＋r＝b ，解得r ＝－1. (2)证明当b ＝2时，由(1)知a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N ＋)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n>n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝ 2.左式>右式，所以结论成立，②假设n ＝k (k ∈N ＋)时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k >k ＋1，则当n ＝k ＋1时， 2＋12·4＋14·…2k ＋12k ·2k ＋32k ＋1>k ＋1·2k ＋32k ＋1＝2k ＋32k ＋1. 要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥k ＋1k ＋2，由基本不等式2k ＋32＝k ＋1＋k ＋22≥k ＋1k ＋2成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N ＋时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．。

1.4 数学归纳法课件(北师大选修2-2)

证明：①当n＝2时，f(2)＝2＝2×(2－1)，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥2)时猜想成立，即f(k)＝k(k－1)，
则n＝k＋1时，其中圆O与其余k个圆各有两个交点，而由假设知这k个圆有f(k)个交点，所以这k＋1个圆的交点个数f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k ＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]，即n＝k＋1时猜想成立．由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)．
nn<(n＋1)n. 证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝2,1<2，不等式成立． ②假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即1＋22＋33 ＋…＋kk<(k＋1)k，
那么，当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋33＋…＋kk＋(k
＋1)k＋1<(k＋1)k＋(k＋1)k＋1＝(k＋1)k(k＋2)<(k＋2)k＋1 ＝[(k＋1)＋1]k＋1＝右边，即左边<右边，即当n＝k＋1时不等式也成立．根据①和②，可知不等式对任意n∈N＋都成立.
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即 1 1 1 5 ＋＋…＋ > ， 3k 6 k＋1 k＋2 1 1 1 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋ 3k k＋1＋1 k＋1＋2 1 1 1 ＋＋ 3k＋1 3k＋2 3k＋1
1 1 1 1 1 1 ＝＋＋…＋＋3k＋1＋3k＋2＋3k＋3－ 3k k＋1 k＋2
1 1 1 1 1 1 1 1 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ 2 3 4 2n 2n－1 2n n＋1 n＋2 (n∈N＋)．
[思路点拨]
运用数学归纳法由n＝k到n＝k＋1，
等式左边增加了两项．结合等式右边的结构特点，进一步确定所需要的项及多余项，最后凑成所需要的结

高中数学：1.4 数学归纳法(二) 教案 (北师大选修2-2)

1.4 数学归纳法教学过程：1．创设问题情境，启动学生思维(1) 不完全归纳法引例：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．(2) 完全归纳法对比引例：有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟先给出答案，他比大徒弟聪明．在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法．2．回顾数学旧知，追溯归纳意识（从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳．）(1) 不完全归纳法实例：给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式．(2) 完全归纳法实例：证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况．3．借助数学史料, 促使学生思辨（在生活引例与学过的数学知识的基础上，再引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大家都可能如此．那么，有没有更好的归纳法呢？）问题1 已知n a ＝22)55(+-n n （n ∈N ），(1)分别求1a ；2a ；3a ；4a ．(2)由此你能得到一个什么结论？这个结论正确吗？（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）问题2 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n ∈N 时，122+n 一定都是质数，这是他对n ＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了1252+＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n ＝5这一结论便不成立．问题3 41)(2++=n n n f , 当n ∈N 时，)(n f 是否都为质数？验证： f （0）＝41，f （1）＝43，f （2）＝47，f （3）＝53，f （4）＝61，f （5）＝71，f （6）＝83，f （7）＝97，f （8）＝113，f （9）＝131，f （10）＝151，…，f （39）＝1 601．但是f （40）＝1 681＝241，是合数．第二阶段：新旧知识相互作用阶段——新旧知识作用，搭建新知结构4．搜索生活实例，激发学习兴趣（在第一阶段的基础上，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程．孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验．）实例：播放多米诺骨牌录像关键：(1) 第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下．于是, 我们可以下结论：多米诺骨牌会全部倒下．搜索：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等．5．类比数学问题, 激起思维浪花类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式d n a a n )1(1-+=：(1) 当n ＝1时等式成立； (2) 假设当n ＝k 时等式成立, 即d k a a k )1(1-+=, 则d a a k k +=+1=d k a ]1)1[(1-++, 即n ＝k ＋1时等式也成立．于是, 我们可以下结论：等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=对任何n ∈*N 都成立．（布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．）6．引导学生概括, 形成科学方法证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：(1) 证明当n 取第一个值0n 时结论正确；(2) 假设当n ＝k (k ∈*N ，k ≥0n ) 时结论正确, 证明当n ＝k ＋1时结论也正确．完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确．这种证明方法叫做数学归纳法．第三阶段：操作阶段——巩固认知结构，充实认知过程7．蕴含猜想证明, 培养研究意识（本例要求学生先猜想后证明，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能教给学生做数学的方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力．）例题在数列{n a }中, 1a ＝1, n n n a a a +=+11(n ∈*N ), 先计算2a ，3a ，4a 的值，再推测通项n a 的公式, 最后证明你的结论．8．基础反馈练习, 巩固方法应用（课本例题与等差数列通项公式的证明差不多，套用数学归纳法的证明步骤不难解答，因此我把它作为练习，这样既考虑到学生的能力水平，也不冲淡本节课的重点．练习第3题恰好是等比数列通项公式的证明，与前者是一个对比与补充．通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况．）(1)用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n －1）＝2n ．(2)首项是1a ，公比是q 的等比数列的通项公式是11-=n n q a a ． 9．师生共同小结, 完成概括提升(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；(3) 数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．10．布置课后作业, 巩固延伸铺垫在数学归纳法证明的第二步中，证明n ＝k ＋1时命题成立, 必须要用到n ＝k 时命题成立这个假设．这里留一个辨析题给学生课后讨论思考：用数学归纳法证明： 1222221132-=+++++-n n Λ(n ∈*N )时, 其中第二步采用下面的证法：设n ＝k 时等式成立, 即1222221132-=+++++-k k Λ, 则当n ＝k ＋1时, 12212122222111132-=--=++++++++-k k kk Λ．你认为上面的证明正确吗？为什么？。

数学归纳法经典例题及答案

数学归纳法（2016.4.21）一.用数学归纳法证实与正整数有关命题的步调是：（1）证实当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论准确;（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论准确,证实1n k =+时结论也准确．分解（1）.（2）,……留意：数学归纳法应用要点：两步调,一结论.二.题型归纳：题型1.证实代数恒等式例1．用数学归纳法证实：证实：①n =1时,左边31311=⨯=,右边31121=+=,左边=右边,等式成立．②假设n =k 时,等式成立,即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ．当n =k +1时．这就解释,当n =k +1时,等式亦成立,由①.②可知,对一切天然数n 等式成立．题型2.证实不等式例2．证实不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证实：①当n =1时,左边=1,右边=2．左边<右边,不等式成立．②假设n =k 时,不等式成立,即k k 2131211<++++ ．那么当n =k +1时,这就是说,当n =k +1时,不等式成立．由①.②可知,原不等式对随意率性天然数n 都成立．解释：这里要留意,当n =k +1时,要证的目的是1211131211+<++++++k k k ,当代入归纳假设后,就是要证实：12112+<++k k k ．熟悉了这个目的,于是就可朝这个目的证下去,并进行有关的变形,达到这个目的．题型3.证实数列问题例 3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2,n ∈N *)．(1)当n ＝5时,求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3,T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证实：当n ≥2时,T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.解：(1)当n ＝5时,原等式变成(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ,所以a 2＝C n 2·2n －2 b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2,右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2,左边＝右边,等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2,k ∈N *)时,等式成立, 即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立那么,当n ＝k ＋1时,左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1)＝k (k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边．故当n ＝k ＋1时,等式成立．综上①②,当n ≥2时,T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。

1.4.2数学归纳法典型例题

(完整版)数学归纳法经典例题详解

1.4 数学归纳法(课件)-高二数学(湘教版2019选择性必修第一册)

(完整版)数学归纳法经典例题及答案(2)

数学归纳法经典例题及答案

北师大版数学高二课时作业 1.4 数学归纳法

数学归纳法经典例题及答案

2021年高中数学 4.2用数学归纳法证明不等式练习新人教版选修4-5

数学归纳法典型例题

数学归纳法经典例题及答案

数学归纳法经典例题及答案

数学归纳法经典例题及答案

高中数学 1.4 数学归纳法同步精练 北师大版选修22

数学归纳法经典例题及参考答案

高中数学 1.4 数学归纳法课时作业 北师大版选修22

1.4 数学归纳法 课件(北师大选修2-2)

高中数学：1.4 数学归纳法(二) 教案 (北师大选修2-2)

数学归纳法经典例题及答案

高中数学 1.4 数学归纳法同步精练北师大版选修22

高中数学 1.4 数学归纳法课时作业北师大版选修22

1.4 数学归纳法课件(北师大选修2-2)