三角函数单调性

2
2
-
o
2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
… 0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[[
2+22k，,
π 22
+2]k],kZ
其值从-1增至1
减区间为
[[
2
+22k，, 332 +2]k],kZ
其值从 1减至-1
新授课：正弦、余弦函数的单调性
2，余弦函数的单调性y
7
12
k，- k
12
，k z
,
例（. 2）求y sin（ -2x）的单调减区间
3
分析：y sin（ -2x）
3
=sin[-（2x- ）]
3
=-sin（2x- ）
3
例（. 2）求y
sin（
3
-
1 2
x）的单调减区间
解Q y sin（ - 1 x）= sin[（1 x ）]= sin（1 x ）
增区间。用增求增
当<0时,先将y sin(x )的化为正，然后用增求减
如：y sin（ 1 x）= sin[（1 x ）]= sin（1 x ）
32
23
23
（2）当>0时,求y cos(x )增区间，用增求增 当<0时,先将y cos(x )的化为大于0，然后
用增求增
如：y co（s 1 x）= cos[（1 x ）]= co（s 1 x ）
32
23
23
而y
sin
x的单调增区间为2
2k，3
2
2k ，k Z
2k x 3 2k , （k z）
2
23 2
得 5 4k x 11 4k ，（k z）
3
3
函数y＝sin（3
-
1 2
x）的单调递减区间为：
5
3
4k，11
3
4k
，k z
,
总结：
（1）当>0时,用y sin x的单调增区间求y sin(x )的
2
2k ,
3
2
2k
,
k
Z
y=1-2sinx单调递减区间为
2
2k
,
2
2k
,
k
Z
递增区间为 2
2k
,
3
2
2k
,k
Z
总结：
（1）当A>0时,y B Asin x与y sin x对应区间单调性相同 如:求y 1 2sin x的增区间，就找y sin x的增区间
（求增找增）
（2）当A<0时,y B Asin x与y sin x对应区间单调性相反 如:求y 1 2sin x的增区间，就找y sin x的减区间；
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x -
…
2
…
0… 2
…Fra Baidu bibliotek
cosx -1
0
1
0
-1
y=cosx (xR)
增区间为 [ +2k, 2k],kZ 其值从-1增至1
减区间为 [2k, 2k，+ ], kZ 其值从 1减至-1
例1：求下列函数的单调区间。
（1）.y 1 2sin x
4
4
函数y＝sin2x的单调递增区间为：
4
k，
4
k
，k z
,
练习2.求y sin（2x ）的单调减区间
4
解：Q
y
sin
x的单调减区间为2
2k，3
2
2k
，k
Z
2k 2x+ 2k , （k z）
2
42
得 3 k x k ，（k z）
8
8
函数y＝sin（2x+
4
）的单调递减区间为：
解：Q
y=sinx单调递增区间为
2
2k
,
2
2k
，k
Z
减区间为
2
2k ,
3
2
2k
,
k
Z
y=1+2sinx单调递增区间为
2
2k
,
2
2k
,
k
Z
减区间为
2
2k , 3
2
2k
,
k
Z
例1：求下列函数的单调区间。
（2）.y 1 2sin x
解：Q
y=sinx单调递增区间为
2
2k
,
2
2k
，k
Z
减区间为
§1.4.2正弦余弦函数的性质
---------单调性
高一级备课组
函数 图形
y
1
2
0
-1
y=sinx
2
3 2 5 x
2
2
定义域 值域
最值
xR
y [1,1]
x
2
2k 时， ymax
1
x
2
2k 时，ymin
1
对称性
对称轴： x
2
k
,k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
奇偶性
奇函数
周期
T 2 2
y=1-2cosx单调递减区间
为 2k , 2k , k Z
例题2：求下列函数的单调增区间。
(1).y sin(1 x )
23
(2).y sin( 1 x)
32
(1).y sin(1 x )
23
解：Q
y
sin
x的单调增区间为
2
2k，
2
2k
，k
Z
2k 1 x+ 2k , （k z）
（求增找减）
余弦函数也有类似规律
练习（1）.求y -1 1 sin x的单调增区间 2
解：Q y=sinx单调递增区间
为
2
2k
,
2
2k
，k
Z
y=-1+
1 2
sinx单调递增区间
为
2
2k ,
2
2k
,
k
Z
练习（2）.求y 1 2cos x的单调减区间
解：Q y=cosx单调递增区间
为 2k , 2k ，k Z
32
23
23
例.利用三角函数的单调性，比较大小.
(1)sin( )与sin( );
18
10
(2)cos( 23 )与cos( 17 ).
5
4
解：（1）Q 0,
2 10 18
且y
sin
x在
2
，
2
递增
sin( ) sin( )
10
18
例.利用三角函数的单调性，比较大小.
3
8
k， k
8
，k z
,
例（. 2）求y sin（ -2x）的单调减区间
3
解：Q
y
sin
x的单调减区间为2
2k，3
2
2k ，k
Z
错 2k 2x 3 2k , （k z）
2
3
2
得 7 k x k ，（k z）
的 12
12
函数y＝sin（2x+
4
）的单调递减区间为：
(2)cos( 23 )与cos(17 ).
5
2
2 32
得 5 4k x 4k ，（k z）
3
3
函数y＝sin（12
x+
3
）的单调递增区间为：
5
3
4k，
3
4k
，k z
,
练习1.求y sin 2x的单调增区间
解：Q
y
sin
x的单调增区间为
2
2k，
2
2k
，k
Z
2k 2x 2k , （k z）
2
2
得 k x k ，（k z）
单调性
y=cosx
y
1
0
2
3 2 5 x
2
2
-1
xR
y [1,1]
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
对称轴： x k , k Z
对称中心：(2 k , 0) k Z
偶函数
T 2 2
新授课：正弦、余弦函数的单调性
1，正弦函数的单调性 y
1
-3 5 -2 3