相似三角形中的几何动点问题模型专题汇总

相似三角形中的几何动点问题模型专题汇总

这节课我们学什么

1.动点函数型----横竖型问题

2.动点函数型----斜线型问题

3.动点几何型----二次相似问题

4.动点几何形----A-A问题

知识点梳理

1.本专项的前半部分为二次函数中动点相似三角形之函数型，主要为有一对等角的两个三角形相似时，对等角的夹边作讨论的题型，简称S.A.S型.

题型分为横竖型和斜线型两大类：

横竖型：动点在平行于坐标轴的直线上；斜线型：动点在倾斜的直线上.

（等角类型分为锐角、钝角；等角的位置有公共角、对顶角、内错角等，还可通过三角比的计算得到等角.）

注：求斜线上的点坐标方法可以采用代数方法（两点间距离公式），还可以用几何方法构造相似三角形或是三角比来求解.

2.本专项的后半部分为二次函数中动点相似三角形之几何．

题型分为A-A和两次相似两大类：

A-A：确定一组相等的角，讨论分析另一组角，可以结合等腰三角形的性质或者锐角三角比；

两次相似：借助第一次证明的相似三角形相等的角，结合已知条件证明第二次相似．

典型例题分析

1、动点横竖型问题

例1.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数2

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y x bx c =-

++的图像经过点()4,0A 、()0,2C ．

（1）试求这个二次函数的解析式，并判断点()2,0B -是否在该函数的图像上； （2）设所求函数图像的对称轴与x 轴交于点D ，点E 在对称轴上，若以点C 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似，试求点E 的坐标．

【答案：（1）∵c bx x y ++-

=2

4

1过点40A （，）、02C （，） ∴2,21==

c b ∴211242y x x =-++

∵当2x =-时，0y = ∴点(2,0)B -在该二次函数的图像上； （2）∵二次函数的对称轴为直线1x = ∴

D ∵点

E 在对称轴上，且对称轴平行y 轴 ∴OCD CDE ∠=∠

又6AB =，AC =CD =2OC =，1OD =

易得OCD OAC ∆∆∽∴OCD OAC ∠=∠， 从而CDE OAC ∠=∠

若以点C 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似 则有以下两种情况：

．

A

．

C ．

O

x

y 1

ⅰ）当

AB DC AC DE =时，即6552=DE ，解得：35=DE ∴点E 的坐标为)35

,1( ⅱ）当

AC DC AB DE =时，即5

25

6=DE ，解得：3=DE ∴点E 的坐标为)3,1( 综上点E 的坐标为)3

5

,

1(或)3,1(.】 例2.如图，已知在ABC ∆中，90A ∠=︒

，AB AC ==直线DE BC //，分别交边AB 、AC 于点D 和点E ，P 是线段DE 上的一个动点，过点P 分别作PM BC ⊥，PF AB ⊥，PG AC ⊥，垂足分别为点M 、F 、G ，设BM x =，四边形AFPG 的面积为y ． （1）求PM 的长；

（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）联结MF 、MG ，当PMF ∆与

∆相似时，求BM 的长．

【答案：解：（1）过点A 作AH BC ⊥，垂足为点H ，交DE 于点Q ． ∵90BAC ∠=︒，AB AC ==，∴6BC =． 又∵AH BC ⊥，∴132BH CH BC ==

=，Q 是ABC ∆的重心．∴1

13

QH AH ==． ∵DE BC //，PM BC ⊥，AH BC ⊥，∴1PM QH ==．

（2）延长FP ，交BC 于点N ．∵90BAC ∠=︒，AB AC =，∴45B ∠=︒．于是，由FN AB ⊥，得45PNM ∠=︒．又由PM BC ⊥，得1MN PM ==，PN =

∴1BN BM MN x =+=+，1)FB FN x ==+．

∴

1))AF AB FB x x =-=+=-，

1)1)FP FN PN x x =-=

+-． ∵PF AB ⊥，PG AC ⊥，90BAC ∠=︒，∴90BAC PFA PGA ∠=∠=∠=︒．

∴四边形AFPG 是矩形．∴1))y FP AF x x =⋅=

--， 即所求函数解析式为215

322

y x x =-+-．定义域为15x <<．

（3）∵四边形AFPG 是矩形，∴)5(2

2

x AF PG -=

=． 由135FPM GPM ∠=∠=︒，可知，当PMF ∆与PMG ∆相似时，有两种情况：

PFM PGM ∠=∠或PFM PMG ∠=∠．

（ⅰ）如果PFM PGM ∠=∠，那么PF PM

PG PM

=

．即得PF PG =．

∴

1))22

x x -=-．解得3x =．即得3BM =． （ⅱ）如果PFM PMG ∠=∠，那么PF PM

PM PG

=

．即得2PM PF PG =⋅．

∴

1))1x x --=．解得13x =，23x =-．即得3BM =或

3BM =PMF ∆与PMG ∆相似时，BM 的长等于33或3．】

2、 动点斜线型问题

例3.已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2

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y x bx c =-

++的图像经过点1()1,A -和点()2,2B ，该函数图像的对称轴与直线OA 、OB 分别交于点C 和点D ．

（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴； （2）求证：ABO CBO ∠=∠；

（3）如果点P 在直线AB 上，且POB ∆与BCD ∆相似，求点P 的坐标．

【答案：（1）解：由题意，得

解得

∴所求二次函数的解析式为

．对称轴为直线1x =．

（2）证明：由直线OA 的表达式y x =-，得点C 的坐标为11-（，）

．∵，，∴AB BC =．又∵，，∴OA OC =．∴

ABO CBO ∠=∠．

（3）解：由直线OB 的表达式y x =，得点D 的坐标为(1,1)． 由直线AB 的表达式

，得直线与x 轴的交点E 的坐标为40-（，）

． ∵POB ∆与BCD ∆相似，ABO CBO ∠=∠ ∴BOP BDC ∠=∠或BOP BCD ∠=∠．

10=AB 10=BC 2=OA 2=OC