相似三角形中的几何动点问题模型专题汇总

相似三角形中的几何动点问题模型专题汇总这节课我们学什么1.动点函数型----横竖型问题2.动点函数型----斜线型问题3.动点几何型----二次相似问题4.动点几何形----A-A问题知识点梳理1.本专项的前半部分为二次函数中动点相似三角形之函数型，主要为有一对等角的两个三角形相似时，对等角的夹边作讨论的题型，简称S.A.S型.题型分为横竖型和斜线型两大类：横竖型：动点在平行于坐标轴的直线上；斜线型：动点在倾斜的直线上.（等角类型分为锐角、钝角；等角的位置有公共角、对顶角、内错角等，还可通过三角比的计算得到等角.）注：求斜线上的点坐标方法可以采用代数方法（两点间距离公式），还可以用几何方法构造相似三角形或是三角比来求解.2.本专项的后半部分为二次函数中动点相似三角形之几何．题型分为A-A和两次相似两大类：A-A：确定一组相等的角，讨论分析另一组角，可以结合等腰三角形的性质或者锐角三角比；两次相似：借助第一次证明的相似三角形相等的角，结合已知条件证明第二次相似．典型例题分析1、动点横竖型问题例1.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数214y x bx c =-++的图像经过点()4,0A 、()0,2C ．（1）试求这个二次函数的解析式，并判断点()2,0B -是否在该函数的图像上； （2）设所求函数图像的对称轴与x 轴交于点D ，点E 在对称轴上，若以点C 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似，试求点E 的坐标．【答案：（1）∵c bx x y ++-=241过点40A （，）、02C （，） ∴2,21==c b ∴211242y x x =-++∵当2x =-时，0y = ∴点(2,0)B -在该二次函数的图像上； （2）∵二次函数的对称轴为直线1x = ∴D ∵点E 在对称轴上，且对称轴平行y 轴 ∴OCD CDE ∠=∠又6AB =，AC =CD =2OC =，1OD =易得OCD OAC ∆∆∽∴OCD OAC ∠=∠， 从而CDE OAC ∠=∠若以点C 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似 则有以下两种情况：．A．C ．Oxy 1ⅰ）当AB DC AC DE =时，即6552=DE ，解得：35=DE ∴点E 的坐标为)35,1( ⅱ）当AC DC AB DE =时，即5256=DE ，解得：3=DE ∴点E 的坐标为)3,1( 综上点E 的坐标为)35,1(或)3,1(.】 例2.如图，已知在ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC ==直线DE BC //，分别交边AB 、AC 于点D 和点E ，P 是线段DE 上的一个动点，过点P 分别作PM BC ⊥，PF AB ⊥，PG AC ⊥，垂足分别为点M 、F 、G ，设BM x =，四边形AFPG 的面积为y ． （1）求PM 的长；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结MF 、MG ，当PMF ∆与∆相似时，求BM 的长．【答案：解：（1）过点A 作AH BC ⊥，垂足为点H ，交DE 于点Q ． ∵90BAC ∠=︒，AB AC ==，∴6BC =． 又∵AH BC ⊥，∴132BH CH BC ===，Q 是ABC ∆的重心．∴113QH AH ==． ∵DE BC //，PM BC ⊥，AH BC ⊥，∴1PM QH ==．（2）延长FP ，交BC 于点N ．∵90BAC ∠=︒，AB AC =，∴45B ∠=︒．于是，由FN AB ⊥，得45PNM ∠=︒．又由PM BC ⊥，得1MN PM ==，PN =∴1BN BM MN x =+=+，1)FB FN x ==+．∴1))AF AB FB x x =-=+=-，1)1)FP FN PN x x =-=+-． ∵PF AB ⊥，PG AC ⊥，90BAC ∠=︒，∴90BAC PFA PGA ∠=∠=∠=︒．∴四边形AFPG 是矩形．∴1))y FP AF x x =⋅=--， 即所求函数解析式为215322y x x =-+-．定义域为15x <<．（3）∵四边形AFPG 是矩形，∴)5(22x AF PG -==． 由135FPM GPM ∠=∠=︒，可知，当PMF ∆与PMG ∆相似时，有两种情况：PFM PGM ∠=∠或PFM PMG ∠=∠．（ⅰ）如果PFM PGM ∠=∠，那么PF PMPG PM=．即得PF PG =．∴1))22x x -=-．解得3x =．即得3BM =． （ⅱ）如果PFM PMG ∠=∠，那么PF PMPM PG=．即得2PM PF PG =⋅．∴1))1x x --=．解得13x =，23x =-．即得3BM =或3BM =PMF ∆与PMG ∆相似时，BM 的长等于33或3．】2、 动点斜线型问题例3.已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数213y x bx c =-++的图像经过点1()1,A -和点()2,2B ，该函数图像的对称轴与直线OA 、OB 分别交于点C 和点D ．（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴； （2）求证：ABO CBO ∠=∠；（3）如果点P 在直线AB 上，且POB ∆与BCD ∆相似，求点P 的坐标．【答案：（1）解：由题意，得解得∴所求二次函数的解析式为．对称轴为直线1x =．（2）证明：由直线OA 的表达式y x =-，得点C 的坐标为11-（，）．∵，，∴AB BC =．又∵，，∴OA OC =．∴ABO CBO ∠=∠．（3）解：由直线OB 的表达式y x =，得点D 的坐标为(1,1)． 由直线AB 的表达式，得直线与x 轴的交点E 的坐标为40-（，）． ∵POB ∆与BCD ∆相似，ABO CBO ∠=∠ ∴BOP BDC ∠=∠或BOP BCD ∠=∠．10=AB 10=BC 2=OA 2=OC（i ）当BOP BDC ∠=∠时，由135BDC ∠==︒，得135BOP ∠=︒． ∴点P 不但在直线AB 上，而且也在x 轴上，即点P 与点E 重合． ∴点P 的坐标为40-（，）． （ii ）当BOP BCD ∠=∠时，由POB BCD ∆∆∽，得．而，，，∴．又∵，∴．作PH x ⊥轴，垂足为点H ，BF x ⊥轴，垂足为点F ． ∵PH BF //，∴．而2BF =，6EF =，∴，．∴．∴点P 的坐标为48(,)55．综上所述，点P 的坐标为(4,0)-或48(,)55．】3、 动点几何型—二次相似问题例4.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CE 是斜边AB 上的中线，10AB =，4tan 3A =，点P 是CE 延长线上的一动点，过点P 作PQ CB ⊥，交CB 延长线于点Q ，设,EP x BQ y ==． （1）求y 关于x 的函数关系式及定义域；（2）联结PB ，当PB 平分CPQ ∠时，求PE 的长；（3）过点B 作BF AB ⊥交PQ 于F ，当BEF ∆和QBF ∆相似时，求x 的值．22=BO 2=BD 10=BC 102=BE【答案：（1）在Rt ABC 中，︒=∠90ACB ，∵34tan ==AC BC A ，10=AB ∴8=BC ，6=AC ∵CE 是斜边AB 上的中线，∴521===AB BE CE ∴ABC PCB ∠=∠，∵︒=∠=∠90ACB PQC ∴BQC ABC ∆∆∽， ∴54==AB BC PC CQ ，即5458=++x y ∴445y x =-，定义域为5x >． （2）过点B 作BM PC ⊥，垂足为M ．∵PB 平分CPQ ∠，PQ BQ ⊥，垂足为Q ． ∴y BQ BM ==∵52485353=⨯==BC BM ∴524454=-x ∴11=x （3）∵︒=∠=∠90ACB Q ，A QBF ∠=∠ ∴BQF ABC ∆∆∽ 当BEF ∆和QBF ∆相似时，可得BEF ∆和ABC ∆也相似． 分两种情况： 1)当A FEB ∠=∠时，在Rt FBE ∆E 中，︒=∠90FBE ，5=BE ，y BF 35=∴534)454(35⨯=-x ，解得10=x ； 2)当ABC FEB ∠=∠时，在Rt FBE ∆中，︒=∠90FBE ，5=BE ，y BF 35=∴543)454(35⨯=-x ，解得16125=x ； 综合16125=x 或10．】 4、 动点几何型—A -A 问题例5. 如图，已知等边ABC ∆的边长为6，点D 是边BC 上的一个动点，折叠ABC ∆， 使得点A 恰好与边BC 上的点D 合，折痕为EF （点E 、F 分别在边AB 、AC 上）． （1）当:5:4AE AF =时，求BD 的长： （2）当ED BC ⊥时，求EB 的值；（3）当以B 、E 、D 为顶点的三角形与DEF ∆相似时，求BE 的长．【答案：（1）∵ABC ∆是等边三角形， ∴，.由题意可知AEF DEF ∆∆≌，∴，，. ∴.∵，∴.又∵，∴. ∵，∴BDE CFD ∆∆∽. 方法①∵BDE CFD ∆∆∽，∴. 设，则由知，，， ，.设，则.∴.即整理，得︒=∠=∠=∠60C B A CA BC AB ==︒=∠=∠60A EDF AE DE =AF DF =BDF EDF BDE ∠=∠+∠C CFD BDF ∠+∠=∠=∠+∠EDF BDE C CFD ∠+∠C EDF ∠=︒=∠60CFD BDE =∠C B ∠=∠k AE 5=4:5:=AF AE k AF 4=k AE DE 5==k AF DF 4==k BE 56-=k CF 46-=x BD =x CD -=6ABCDEF解得，即. 方法②∵BDE CFD ∆∆∽， ∴（相似三角形的周长的比等于相似比）.∴.又，， ∴.解得：.方法③过点E 作，过点D 作设，，依题意易得，，，.在Rt BEM ∆中，，在Rt FDN ∆中，，易证DEM FDN ∆∆∽，.进而可得，整理，得 (1)在Rt FDN ∆中，依据勾股定理可得 (2)整理（2），并将（1）代入（2），可得.解得（不合题意，舍去）.即.4=x 4=BD 6==+AB BE DE 6==+AC FC DF BD CD -=64=BD BC EM ⊥AC DN ⊥k AE 5=x BD =k AF 4=k AE DE 5==k AF DF 4==k BE 56-=k CF 46-=x CD -=6k x 2018-=01272=+-x x 31=x 42=x 4=BD ABCDEFMN（2）当时，如图..过点作，垂足为.， .在Rt BED ∆中，，在Rt DEH ∆中，，在Rt EHF ∆中，.∴.（3）分两种情况讨论：①当以、、为顶点的三角形与DEF ∆相似，顶点、、分别与、、对应时，可得. ∴EF BC //.∴，.易得AEF ∆、DEF ∆、DFC ∆、DEB ∆是四个边长相等的等边三角形.∴.②当以、、为顶点的三角形与DEF ∆相似，顶点、、分别与、、对应时，可得.又，， ∴.易得AEF ∆、DEF ∆、DFC ∆、DEB ∆四个边长相等的等边三角形.∴.综上所述，当以、、为顶点的三角形与DEF ∆相似时，.】BC ED ⊥︒=︒-︒=∠-︒=∠30609090B BED E DF EH ⊥H ︒=︒-︒=∠-︒=∠30609090EDF DEH ︒=︒-︒=∠-∠=∠453075DEH DEF FEH B E D B D E D E F DEF BDE ∠=∠︒=∠=∠60B AEF ︒=∠=∠60AEF DEF B E D B D E D F E DFE BDE ∠=∠DFC BDE ∠=∠AFE DFE ∠=∠B E D 3=BE课后练习练1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），点B 的坐标为()3,0，与y 轴交于点()0,3C ，顶点为D ． （1）求抛物线的解析式及顶点D 坐标； （2）联结AC 、BC ，求ACB ∠的正切值；（3）点P 是抛物线的对称轴上一点，当PBD ∆与CAB ∆相似时，求点P 坐标．【答案：（1）抛物线2y x bx c =++过点()3,0B ，()0,3C∴9303b c c ++=⎧⎨=⎩∴43b c =-⎧⎨=⎩∴243y x x =-+∴顶点D 的坐标为()2,1- （2）∵抛物线243y x x =-+与x 轴交于点A 、B （A 在B 的左侧） ∴()1,0A 又∵()0,0O ，()0,3C ，()3,0B ∴3BO CO == ∵90COB ∠=︒∴45,OBC BC ∠=︒=过点A 作AH BC ⊥，垂足为H ，∴90AHB ∠=︒∵2AB =∴AH BH =CH BC BH =-=∴1tan 2AH ACB CH ∠=== （3）∵抛物线243y x x =-+的对称轴为直线2x = 点P 是抛物线对称轴上一点，∴可设点P 的坐标为()2,n 把对称轴直线2x =与x 轴的交点记为E ，则点E 的坐标为()2,0 ∵()2,1D -，()3,0B ∴1,DE BE BD ==∵90BED ∠=︒∴45EDB EBD ∠=∠=︒ ∴45CBO BDE ∠=∠=︒∴当PBD ∆与CAB ∆相似时，点P 在点D 的上方，并存在以下两种情况：1)BD BA DP BC==2n =∴()2,2P 2)BD BC DP BA ==13n =-∴12,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 综上所述，当PBD ∆与CAB ∆相似时，点()2,2P 或12,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．】练2. 如图，二次函数2y ax bx c =++的图像经过点()()()3,0,1,0,0,3A B C -.（1）求此函数的解析式；（2）用配方法（写出配方过程）将此函数化为()2y a x m k =++的形式，并写出其顶点坐标；（3）在线段AC 上是否存在点P （不含A 、C 两点），使ABP ∆与ABC ∆相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案：（1）由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧==+-=++30039c c b a c b a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=321c b a .∴此函数解析式为322++-=x x y .（2）322++-=x x y 13)12(2+++--=x x 4)1(2+--=x .∴顶点为14（，）. （3）假设存在点P ，使ABP ∆与ABC ∆相似， 则AP AB AC AB =或ABAPAC AB =.当APABAC AB =时，AC AP =.（不合题意，舍去） 当ABAPAC AB =时，328=AP .由题意易得直线AC 的解析式为：3+-=x y ， 设()3,+-x x P ，其中03x <<，则()()3283322=+-+-x x . 解得：317,3121==x x （舍去）. ∴⎪⎭⎫⎝⎛38,31P .】练3. 如图，已知梯形ABCD 中，AD BC //，AB BC ⊥，4AB =，5AD CD ==，3cot 4C ∠=．点P 在边BC 上运动（点P 不与点B 、点C 重合），一束光线从点A 出发，沿AP 的方向射出，经过BC 反射后，反射光线PE 交射线CD 于点E ．（1）当PE CE =时，求BP 的长度；（2）当点E 落在线段CD 上时，设BP x =，DE y =，试求y 与x 之间的函数关系，并写出其定义域；（3）联结PD ，若以点A 、P 、D 为顶点的三角形与PCE ∆相似，试求BP 的长度． 【答案：（1）根据已知，得8BC =，APB EPC ∠=∠ ∵PE CE =∴EPC C ∠=∠∴APB C ∠=∠ （方法一）∵34cot C ∠=∴43=AB BP ∵4AB =∴3BP =即3BP =时，PE CE = （方法二）∴AP DC //∴5PC AD == ∴3BP =即3BP =时，PE CE = （2）延长PE 与AD 的延长线交于点F ， ∵BP x =∴8PC x =-，2AF x =∵DE y = 5DC AD ==∴5EC y =- 25DF x =- ∵AF BC // ∴ECDE PC DF =即y yx x -=--5852 ∴()3525+-=x x y∵点E 在线段CD 上 ∴函数定义域为x ≤25<8 （3）∵AD BC //∴DAP APB ∠=∠， ∵APB EPC ∠=∠∴DAP EPC ∠=∠ 若APD ∆与PCE ∆，则有如下两种情况： （ⅰ）ADP C ∠=∠时，推出2BP =时，APD PEC ∆∆∽； （ⅱ）APD C ∠=∠时（法一）又∵ADP DPC ∠=∠∴APD DCP ∆∆∽A DBD（备用图）DA BEP∴PC AD PD ⋅=2∵()22254x PD -+=∴()()x x -=-+855162解得22152,1±=x ，经检验，均符合题意 故22152,1±=x 时，APD PCE ∆∆∽； ∴当BP 为2，2215±时，APD ∆与PCE ∆相似． （法二）过点D 作DH AP ⊥于点H ∵DAP APB ∠=∠∴ADAHAP BP AD DH AP AB ==, ∵224x AP += ∴22165,1620xx AH xDH +=+=∴2216516xx x HP +-+=∵34cot C ∠=∴43cot ==∠DH HP DPH 22216203165164x x x x +⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+ 解得22152,1±=x 经检验，均符合题意 故22152,1±=x 时，APD PCE ∆∆∽； ∴当BP 为2，2215±时，APD ∆与PCE ∆相似．】课后小测验1.如图，抛物线215222y x x =-+-与x 轴相交于A 、B ，与轴相交于点C ，过点C 作CD x //轴，交抛物线于点D ． （1）求梯形ABCD 的面积；（2）若梯形ACDB 的对角线AC 、BD 交于点E ，求点E 的坐标，并求经过A 、B 、E 三点的抛物线的解析式；（3）点P 是射线CD 上一点，且PBC ∆与ABC ∆相似，求符合条件的P 点坐标．【答案：（1）10A （，）、40B （，）、02C -（，）、52D -（，）8ACDB S =梯形.由抛物线的对称性有25=E x 过E 作EN AB ⊥，83=+==CD AB AB BC BE OC EN ， 43=EN ，43-=E y ，53(,)24E -2153()324y x =-- （3）当点P 在C 的右侧，由题意有PCA BAC ∠=∠， 若AC ACPC AB=，即3PC =时，PAC BAC ∆∆∽；此时3CP =，32P -（，）； 若AC AB PC AC =，=时，PAC ABC ∆∆∽；此时203CP =，2023P -（，）．y。