事件的相互独立性(一)
【新教材教案】10.2 事件的相互独立性 教学设计(1)-人教A版高中数学必修第二册
10.2 事件的相互独立性本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.2 事件的相互独立性》，本节课主要事在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，注意对概率思想方法的理解。
发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标学科素养A.理解两个事件相互独立的概念．B．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．C. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.1.数学建模：相互独立事件的判定2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系3.数学运算：相互独立事件概率的计算4.数据抽象：相互独立事件的概念1.教学重点：理解两个事件相互独立的概念2.教学难点：事件独立有关的概念的计算多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、探究新知前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积由知识回顾，提()A A B B AB AB()()()P A P AB P AB[]()()()(()1()P AB P A P AB P P A P B P ∴=-==-=AB根据概率的加法公式和事件独立性定义,得)AB AB)()P B P⋅++⨯0.10.2AB AB+AB P ABAB AB)()()+0.72P AB AB=：由于事件“至少有一人中靶根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶=0.020.98甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，与B 独立,进而.独立CABAB ，()1()P C P C1()()1[1()][1()]P A P B P A P B 1(10.6)(10.5)0.8三、达标检测1.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512C.14D.16答案:B解析:恰有一个一等品即有一个是一等品、一个不是一等品,故所求概率为23×1-34+1-23×34=23×14+13×34=212+312=512,故选B . 2.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是( ) A.0.49 B.0.42C.0.7D.0.91解析:记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,且A ,B 相互独立.则恰有1人击中目标为A B 或A B ,所以只有1人击中目标的概率P=P (A B )+P (A B )=0.7×0.3+0.3×0.7=0.42. 答案:B3.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a ,第二道工序的次品率为b ,则产品的正品率为( ) A.1-a-b B.1-ab C.(1-a )(1-b ) D.1-(1-a )(1-b )答案:C解析:设A 表示“第一道工序的产品为正品”,B 表示“第二道工序的产品为正品”,且P (AB )=P (A )P (B )=(1-a )(1-b ).4.已知A ,B 相互独立,且P (A )=14,P (B )=23,则P (A B )= . 答案:112解析:根据题意得,P (A B )=P (A )P (B )=P (A )(1-P (B ))=14×1-23=112. 5.某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 . 答案:0.98解析:至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98.6.已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？ 略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为1()10.50.550.60.835P A B C -⋅⋅=-⨯⨯=0.8()P D >=所以，合三个臭皮匠之力就解出的概率大过诸葛亮.()()AB AB AB AB “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码可以用表示。
高一数学(人教A版)-事件的相互独立性课件
根据独立性假定，得
P( A1)
3 4
1 4
+
1 4
3 4
3 8
分析：设 A2 表示甲两轮猜对2个成语的事件，
甲
根据独立性假定，得
(0,0)
(0,1)
P( A2 )
3 4
3 4
9 16
(1,0)
(1,1)
33 44
设 B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，
P( B1 )
2 3
因为A C ，且 A C ，所以
事件 A 与事件 C互为
．
2.如果事件 A 与事件 B 互斥，和事件 A B的概率与事件 A ， B 的概率之间的关系是
P( A B) P( A) P(B).
3.设 A ，B 是一个随机实验的两个事件，和事件 A B 的概 率与事件 A ，B 的概率之间的关系是
事件的相互独立性
高一年级 数学
1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球 （标号为1和2 ），1个绿色球（标号为3 ），1个黄色球 （标号为4 ），从袋中随机摸出1个球．设事件A “摸到
红球”，B “摸到绿球”，C “摸到绿球或黄球”．
样本空间为 {1,2,3,4}
A {1,2} B {3} C {3,4} 因为A B ，所以事件 A 与事件 B ；
AB={(1,2),(2,1)} ，n( AB) 2 ．
所以
P( A)
n( A)
n( )
1 2
，P(B)
n(B)
n( )
1 2
，
P( AB)
n( AB)
n( )
1 6
．
此时 P( AB) P( A) P(B) ，
事件的相互独立性(共21张PPT)
（2）“至少有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
（3）“至多有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
0.3 60.4 80.84 即 A·B + A·B+ A·B.
篮球比赛 “罚球二次” . 事件的概率乘法公式，所求的概率是
解法2：两人都未击中的概率是 ③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关系如何？
（1）甲、乙两地都下雨的概率； 即 A·B + A·B+ A·B.
P(A• B) P(A) • P(B) 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概率的积。
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
事件的概率乘法公式，所求的概率是
（3）其中至少有一方下雨的概率.
3.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次. 求: (1) 两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率:
(3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.
分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中靶”. 又∵A与B是互斥事件.
设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A 与事件B相互独立。
即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的概率
没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。 注：
事件的相互独立性课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
两个事件互斥与独立的概率计算
事件
概率
A，B互斥
A，B相互独立
A，B中至少有 一个发生
P（A∪B） P（A）+P（B） 1-P（ A）P（B ）
A，B都发生
P（AB）
0
A，B都不发生
P（A B ）
1-［P（A） +P（B）］
A，B恰有一个 发生
P（AB A∪
B）P（A）+P（B）
A，B中至多有 一个发生
则 P（ AB） ＝P （A） P（B）＝
4 5
7
×10
＝
14 25
.
变式2.端午节放假，甲回老家过节的概率为 1 ，乙、丙回老家过节的
3
概率分别为
1 4
，
1 5
.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间
内至少1人回老家过节的概率为 （ ）
A.
59 60
B.
1 2
3
C. 5
D.
1 60
题型三、事件的独立性与互斥性的关系
频率
概率
本身是随机的观测值（试验值），在试验前 无法确定，多数会随着试验的改变而变化， 区别 做同样次数的重复试验，得到的结果也会不 同
本身是固定的理论值， 与试验次数无关，只与 事件自身的属性有关
频率是概率的试验值，会随试验次数的增大逐渐稳定；概率是频率理 联系
论上的稳定值，在实际中可用频率估计概率
二、相互独立事件的应用
1.事件A与事件B相互独立，就是事件A是否发生不影响事件B发
生的概率；事件B是否发生也不影响事件A发生的概率.
2.相互独立的定义，既可用来判断两个事件是否独立，也可在
相互独立时求积事件的概率.
事件的相互独立性
P ( A B ) P ( A)
引例 盒中有5个球( 3绿2红), 每次取出一个,
有放回地取两次记 . A 第一次抽取, 取到绿球, B 第二次抽取, 取到绿球, 3 P (B ) P ( B A) 5
则有
它表示 A 的发生并不影响B 发生的可能性大小 . 若 P ( A) 0，则
即 与A独立.
∵ A=, P()=0
∴ P(A) = P()=0= P() P(A) 即 与A独立.
(2) 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件 也相互独立. ① 注 称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭.
A 与 B； ② A 与 B； ③ A 与 B.
证 ① A A A( B B ) AB AB
两个结论
若事件 A1 , A2 , , An ( n 2) 相互独立 , 则 1. 其中任意 k ( 2 k n)个事件也是相互独立 .
2. 若 n 个 事 件 A1 , A2 , , An ( n 2)相 互 独 立 , 则 将 A1 , A2 , , An 中 任 意 多 个 事 件 换 成 们 的 对 它 立 事 件 所 得 的n 个 事 件 仍 相 互 独 立 独 立 性 关 于 , .( 运算封闭 )
B发生时，A一定不发生.
B
A
P ( A B) 0
这表明: B的发生会影响 A发生的可能性(造成
A不发生), 即B的发生造成 A发生的概率为零. 所以A与B不独立.
3.性质1.5
(1) 必然事件 及不可能事件与任何事件A 相互独立. 证 ∵ A=A, P()=1
∴ P(A) = P(A)=1• P(A)= P() P(A)
说明
P ( AB) P ( A) P ( B)
2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第二册教案：10.2 事件的相互独立性 (1)
10.2 事件的相互独立性本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.2 事件的相互独立性》，本节课主要事在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，注意对概率思想方法的理解。
发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标学科素养A.理解两个事件相互独立的概念．B．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．C. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.1.数学建模：相互独立事件的判定2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系3.数学运算：相互独立事件概率的计算4.数据抽象：相互独立事件的概念1.教学重点：理解两个事件相互独立的概念2.教学难点：事件独立有关的概念的计算多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、探究新知前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积由知识回顾，提事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关系，那么这种关系会是怎样的呢？下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题。
思考1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点.而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},所以AB={(1,0)}.由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=0.5, P(AB)=0.25.于是P(AB)=P(A)P(B).积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.分析：因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率思考2:一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？分析：对于试验2,因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含16个等可能的样本点.而A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)},B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},出问题，类比思考。
事件的相互独立性
设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P( AB) P( A) P(B)
则称事件 A, B 相互独立,简称 A, B 独立.
注. 1º若 P( A) 0,则
P(B A) P(B) P( AB) P( A)P(B)
说明 事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关.
例4 若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为 0.4%, 假设每个人血清中是否含有肝炎病毒 相互独立，混合100个人的血清，求此血清 中含有肝炎病毒的概率. 解
Ai {第i人的血清含有肝炎病毒},i 1, 2,...100
B {100个人的混合血清中含有肝炎病毒} 则 P( Ai ) 0.004
[r(2 r)]n rn(2 r)n
(2) 问：哪个系统的可靠性更大？
令 f ( x) xn (n 2)，则
0r1
f ( x) n(n 1)xn2 0 ( x 0)
(2 r)n 2 rn
故曲线y f ( x)是凹的，从而 f (2 r) f (r) f ( (2 r) r ) f (1) 1
P(BC ) P(B)P(C ),
P(
AC
)
P( A)P(C ),
P( ABC ) P( A)P(B)P(C ),
则称事件 A, B,C 相互独立 .
3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P( Ai Aj ) P( Ai )P( Aj )
通路上各元件
都正常工作
而 系统Ⅰ正常工作
两条通路中至少
有一条正常工作
B1 C D A1A2 An An1An2 A2n
事件的相互独立性课件
【思路启迪】 如果A、B是，所以利用独立事件的概率公 式来解题即可．
【解】 设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件 B，则A、B相互独立，从而A与 B 、 A 与B、 A 与 B 均相互独 立．
(1)“两个都能破译”为事件AB，则 P(AB)＝P(A)·P(B)＝13×14＝112.
要点二 求相互独立事件的概率
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤是 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌 握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同 时发生．
一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中 任取2个球，取出后再放回，求：
(1)一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和 生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}， B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．已知家庭中有三个小孩， 判断A与B的独立性；
(2)判断下列各对事件是否是相互独立事件： 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从 甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1 名男生”与“从乙组中选出1名女生”．
2．熟记部分符号语言含义：如A，B至少有一个发生的 事件记为A∪B；都发生记为AB；恰有一个发生的事件记为 (A B )∪( A B)；至多有一个发生的事件记为(A B )∪( A B)∪( A B )．
甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率 分别为13和14.
求(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率； (4)至多有一人能破译的概率．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝CC2325·CC2225＝130·110＝1300. 故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是 红球的概率是1300.
事件的相互独立性
一、事件的相互独立性的概念
设A，B，为两个事件，若
P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A与事件B相互独立.
注意: 1、相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响 即：事件A发生不会影响事件B发生的概率， 事件B发生不会影响事件A发生的概率. 互斥事件:在任何一次试验中两个事件不会同时发生.
2、不能用P(B|A)=P(B)作为事件A与事件B相互独立的定 义.
作业
练习：设事件A与事件B相互独立，两个事件中 1 只有A发生的概率和只有B发生的概率都是 ， 4 求事件A与事件B同时发生的概率.
请各位老师，专家批评指正 谢谢大家
三 、相互独立事件同时发生的概率：
则有P AB P(A)? P(B) 1.若A、B是相互独立事件， 即：两个相互独立事件同时发生的概率，
等于每个事件发生的概率的积。 2.由性质可知：P(AB) P(A) P( B),
P(AB) P(A) P( B), P(AB) P(A) P( B)
②袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球. 是 事件B：第二次从中任取一个球是白球. .
练2、判断下列各对事件的关系
互斥事件 （1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环； （2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与乙 射中8环； 相互独立
(3)已知P( A) 0.6, P( B) 0.6, P( AB) 0.24
三 、相互独立事件同时发生的概率：
解：设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A， “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B， 则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB。 (1)都抽到某一指定号码；
由于两次的抽奖结果是互不影响的, 因此事件A和B相互独立，
事件的相互独立性 课件 高中数学新人教A版必修第二册 (1)
P(BC)＝P(B)P(C)成立即可.
利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，
P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.
可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C).
所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C
简称独立.
知识点二 相互独立事件的性质
如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.不可能事件与任何一个事件相互独立.( √ )
2.必然事件与任何一个事件相互独立.( √ )
4 3 2
乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为5，4，3，在实际操作考试中“合格”的
1 2 5
概率依次为2，3，6，所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能
性最大？
解
记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格
1 15 15
所以整个电路不发生故障的概率为 P＝P(A)×P1＝2×16＝32.
核心素养之数学抽象
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE CHOU XIANG
方程思想在相互独立事件概率中的应用
典例 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一
1
等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 4，乙机床加工的零件是一等品而丙机
事件的相互独立性【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件1
提示:P(A)= ,P(B)= ,P(AB)=
=.
3.P(AB)与P(A),P(B)有什么关系?事件A与事件B是否相互独立? 提示:P(AB)=P(A)P(B).由独立性的定义知,事件A与事件B相互独立.
判断两个事件是否相互独立的方法 1.直接法:直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率. 2.定义法:判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立. 3.转化法:由判断事件A与事件B是否相互独立,转化为判断A与 , 与B, 与 是否具有独立性.
为(1)互甲斥组事有件甲3名,所、男以生乙恰、有两21名个个女人生人译,乙出独组密有立码2的名地概男破率生为、译P3(一名A 女个∪生 ,密现B从)码=甲P(,、A他 乙们)两+P组能( 中B译各)=选出1名密同码学参的加概演讲率比分赛,别“从甲为组中选和出1名男,求生”:与“从乙组
中选出1名女生”;
P(AB)= .由此可知P(AB)≠P(A)·P(B),所以事件A,B不相互独立.
判断事件的独立性
甲箱里装有3个白球、2个黑球,乙箱里装有2个白球、2个黑球.从这两个箱子 里分别摸出1个球,记事件A为“从甲箱里摸出白球”,事件B为“从乙箱里摸出白 球”.
1.事件A发生与否影响事件B发生的概率吗? 提示:不影响. 2.P(A),P(B),P(AB)的值分别为多少?
解析 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件发生与否不影响乙组中的试验结果, 因此对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互 独立事件. (2)“从8个球中任意取出1个,不放回再取一球”,画树状图得相关事件的样本点数.
设“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”为事件A,“从剩下的7个球中任意取
相互独立的性质
10.2事件的相互独立性
注意：当三个事件A、B、C两两独立时， 等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.
新知探究
例1 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他
差异．采用不放回方式从袋中依次任意摸出两球．设A=“第一次摸到球的 标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”，那么事件A与B是否独 立？
猜一个成语, 已知甲每轮猜对的概率为 3 ，乙每轮猜对的概率为 2 . 在 每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响4，各轮结果也互不影响. 求3 “星 队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、 事件“甲猜对2个, 乙猜对1个”的和事件发生.
解：设A1 , A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1 , B2分别 表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得
② ∵事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”
∴事件“至少有一人中把”的概率为 1- P( AB) 1 0.02 0.98
归纳：求较为复杂事件的概率的方法
1.对事件进行分解,一方面分解为互斥的几类简单事件求概率; 另一方面分解为独立的事件, 利用事件同时发生(乘法)求出概率.
2.对事件分解时,要明确事件中的“至少有一个发生”“至 多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发 生”“不都发生”等词语的意义. 已知两个事件A,B,那么:
P(AB∪AB) =P(AB)＋P(AB) =P(A)P(B)＋P(A)P(B)
=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26. (3)事件“两人都脱靶” =AB，所以
P(AB) =P(A)P(B)=(1－0.8) × (1－0.9) =0.02.
数学课件：2.3《事件的独立性(1)》
（1）2人都击中目标的概率；0.36
0.48 （2）其中恰有1人击中目标的概率；
（3）2人都没有击中目标的概率；0.16
（4）至少有一人击中目标的概率
0.84
练习1、若甲以10发8中，乙以10发7中的命中率打靶， 两人各射击一次，则他们都中靶的概率是( D )
(A)
3 5
(B)
3 4
(C)
12 25
例1.口袋中有a只黑球b只白球，连摸两次，每次
一球.记A={第一次摸时得黑球}，B={第二次摸时 得黑球}.问A与B是否独立？就两种情况进行讨论： ① 放回抽取；② 不放回抽取.
① 放回抽取 a 解：P(A) =
ab
a P（B）= ab
a P(B|A)= a b
② 不放回抽取.
a P（A）= P（B）= a b a 1 a a 1 P(AB)= P(B|A)= a b 1 a b a b 1 a ab
A、B中至多有一个发生的概率
独立重复试验
（一） 形成概念
掷一枚图钉，针尖向上的概 率为0.6，则针尖向下的概率为 1－0.6=0.4
问题（1）第1次、第2次、第3次… 第n次针尖向上的概率是多少?
第1次、第2次、第3次…第n次针尖向----在同样条 件下进行的，各次之间相互独立的一种试验。
解 设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示 “活到25岁” (即≥25) 则 P( A) 0.7, P( B) 0.56 所求概率为
P( AB) P( B) P( B A) 0.8 P( A) P( A)
B
5
0.56
0.7
A
, 2． 根据以往的临床记录某种诊断癌症的试 验具有如下的效果: 若以 A 表示事件" 试验反应 为阳性" , 以 C 表示事件" 被诊断者患有癌症 , 则 " 有 P( A C ) 0.95, P( A C ) 0.95.现在对自然人群 进行普查, 设被试验的人患有癌症 的概率为 .005, 0 即 P(C ) 0.005, 试求 P(C A).
事件的相互独立性(使用)
方法二：A1，A2 至少有一个正常工作的概率为 1－P( A1 A2 )＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96，∴系统正常工作的概率为 P(K)[1－P( A1 A2 ]＝0.9×0.96＝0.864.
• 答案： B
例4.某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中 排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语 为0.85，问一次考试中 (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
事件的相互独立性
复习回顾
(1).条件概率的概念
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发生的条件下事 件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B |A).
(2).条件概率计算公式:
n( AB) P( AB) P( B | A) n( A) P( A)
思考与探究 思考1：在大小均匀的5个皮蛋中有3个红皮蛋，2个白 皮蛋，每次取一个，不放回的取两次，求在已知第一 次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。 思考2：在大小均匀的5个皮蛋中有3个红皮蛋，2个白 皮蛋，每次取一个，有放回的取两次，求在已知第一 次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。
是
不是
是
若 P ( A) 0, 则 P ( B A) P ( B)
P ( AB) P ( A) P ( B)
推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件 同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积.即：
P(A1·A2·…·An)= P(A1)·P(A2)·…·P(An)
注：独立与互斥的关系：
1.一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的， 令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多 有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．
2.2.2事件的相互独立性(一)
（2）“恰有一次抽到某一指定号码”；
（3）“至少有一次抽到某一指定号码”。
例题解析
（1）“都抽到某一指定号码”； 解: (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码” 为事件A， “第二次抽奖抽到某一指定号码” 为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码” 就是事件AB。 由于两次的抽奖结果是互不影响的,因此A和B 相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖都抽到 某一指定号码的概率为
P(AB) P(A)P(B | A)
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三
名同学依次无放回地抽取，问：最后一名去
抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否 中奖的影响吗？
设A为事件“第一位同学没有中
B奖表”示。事件“最后一名同学中奖”.
答:事件A的发生会影响事件B发生的概率
P(B A) n( AB) P( AB) 1 n( A) P( A) 2
里A与摸B出是1_个__球相__互,_得独__到立__白__球_事叫件做；事件如B果, 事件A与B相互乙独立,
A与B是__相__互__独__立_____事件； 那么A与B, A与B, A与B
A与B是___相__互__独_立______事件. 也都相互独立
相互独立事件同时发生的概率公式
1.若A、B是相互独立事件，则有P(A·B)= P(A)·P(B) 即两个相互独立事件同时发生的概率，
P(AB)=P(A)P(B)=0.05×0.05=0.0025
例题举例
（2）“恰有一次抽到某一指定号码”；
解: “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”
可以用(AB)(AB) 表示。由于事件 AB 与 AB
互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的 定义，所求的概率为：
课件8：2.2.2 事件的相互独立性
变式 本题中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概 率是多少？ 解：解法一：记 E 表示事件“至少购买甲、乙两种保险中 的一种”，则事件 E 包括－A B，A－B ，AB，且它们彼此为 互斥事件． 所以 P(E)＝P(－A B＋A－B ＋AB)＝P(－A B)＋P(A－B )＋P(AB) ＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8.
由于 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝23， 故 P(C)＝P(A1A2A3 A4 ∪ A1 A2A3A4) ＝P(A1)P(A2)P(A3)P( A4 )＋P( A1 )P(A2)P(A3)P(A4) ＝233×13＋13×233＝1861.
(3)记事件 Bi 表示“乙第 i 次射击击中目标”(其中 i＝ 1,2,3,4)，并记事件 D 表示“乙在第 4 次射击后终止射击”， 则 D＝B1B2 B3 B4 ∪ B1 B2 B3 B4 ，且 B1B2 B3 B4 与 B1 B2 B3 B4 是互斥事件． 由于 B1，B2，B3，B4 之间相互独立， 所以 Bi 与 Bj (i，j＝1,2,3,4，且 i≠j)之间也相互独立． 由于 P(Bi)＝43(i＝1,2,3,4)，
(4)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为 58，若前一事件发生了，则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发 生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发 生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互 独立事件，也不是互斥事件．
【解析】 对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目 标是互不影响的，所以事件 A 与 B 相互独立；对同一目 标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事 件 A 与 B 可能同时发生，所以事件 A 与 B 不是互斥事件． 【答案】 A
专题18 事件的相互独立性
事件的相互独立性知识点一 相互独立事件的概念对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称独立. 知识点二 相互独立事件的性质如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立. 【例1】判断下列事件是否为相互独立事件.(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”.(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”.【例2】（2022•秀屿区月考）下列说法正确的个数有( )（1）掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M = “出现偶数点”， N = “出现3点或6点”．则M 和N 相互独立；（2）袋中有大小质地相同的3个白球和1个红球．依次不放回取出2个球，则“两球同色”的概率是13；（3）甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中标率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98；（4）柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么“取出地鞋不成双”的概率是45． A ．1B ．2C ．3D ．4【例3】（2021•新高考Ⅰ）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( ) A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立【例4】（2022•乙卷）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1p ，2p ，3p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则( ) A ．p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B ．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C ．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D ．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大【例5】（2022•南海区月考）电路从A 到B 上共连接了6个开关，每个开关闭合的概率为23．若每个开关是否闭合相互之间没有影响，则从A 到B 连通的概率是( )A ．1027B ．100243C ．448729D ．4081【例6】（2022•东莞市月考）甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束，已知任一局甲胜的概率为p ，若甲赢得比赛的概率为q ，则q p -取得最大值时(p = )A ．12B C D 【例7】（2022•多选•麒麟区期末）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A 表示事件“两次掷出的点数之和是4”， B 表示事件“第二次掷出的点数是偶数”， C 表示事件“两次掷出的点数相同”， D 表示事件“至少出现一个奇数点”，则( ) A ．A 与C 互斥B ．3()4P D =C ．B 与D 对立 D ．B 与C 相互独立【例8】（2022•多选•南关区月考）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果；记A = “Ⅰ号最子出现的点数为1”； B = “Ⅱ号骰子出现的点数为2”； C = “两个点数之和为8”； D = “两个点数之和为7”，则以下判断不正确的是( )A ．A 与B 相互独立 B ．A 与D 相互独立C ．B 与C 相互独立D ．C 与D 相互独立 【例9】（2022•多选•萨尔图区月考）下列关于概率的命题，正确的有( ) A ．若事件A ，B 满足12(),()33P A P B ==，则A ，B 为对立事件B ．若事件A ，B 满足122(),(),()339P A P B P AB ===，则A ，B 相互独立C ．若对于事件11,,,()()(),()28A B C P A P B P C P ABC ====，则A ，B ，C 两两独立D ．若对于事件A ，B ，A 与B 相互独立，且P （A ）0.7=，P （B ）0.6=，则()0.42,()0.88P AB P A B ==【例10】（2022•多选•福州期末）在某社区兴办的“环保我参与”有奖问答比赛活动中，甲、乙、丙3个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是34，甲、丙2个家庭都回答错的溉率是112，乙、丙2个家庭都回答对的概率是14，若各家庭回答是否正确互不影响，则下列说法正确的是( )A．乙家庭回答对这道题的概率为38B．丙家庭回答对这道题的概摔为78C．有0个家庭回答对的概率为596D．有1个家庭回答对的概率为712【例11】（2020•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12．（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率．【例12】（2019•新课标Ⅱ）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求(2)P X=；（2）求事件“4X=且甲获胜”的概率．同步训练1.（2021•天津）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为23；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．2.（2020•天津）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为16；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．3．（2019•新课标Ⅰ）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是0.18．4.（2022•昆山市期中）甲乙两运动员打乒乓球比赛，采用7局4胜．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为23，乙发球时甲得分的概率为12，各球的结果相互独立在某局双方10:10平后，乙先发球，则甲以13:11赢下此局的概率为()A．29B．19C．16D．1185.（2022•东城区月考）射击运动员甲、乙分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9．两人中恰有一人射中目标的概率是()A．0.06B．0.16C．0.26D．0.726.（2022•保定月考）甲、乙两名同学进行投篮训练，已知甲同学每次投篮命中的概率为13，乙同学每次投篮命中的概率为12，两名同学每次投篮是否命中相互独立．若甲、乙分别进行2次投篮，则他们命中的次数之和不少于2的概率为()A．12B．59C．23D．347.（2022•多选•汶上县月考）某社区开展“防疫知识竞赛”，甲、乙两人荣获一等奖的概率分别为p和q，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为()A．(1)(1)p q q p pq-+-+B．p q+C．pq D．1(1)(1)p q---8．（2022•多选•长清区月考）从甲袋中摸出一个红球的概率是14，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( ) A ．2个球都是红球的概率为18B ．2个球中恰有一个红球的概率为12C ．至少有1个红球的概率为38D ．2个球不都是红球的概率为789.（2022•多选•鲤城区期中）某高中多媒体制作社团制作了m 个视频，n 张图片(m ，*n N ∈，1)m n >>，从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A ，“视频甲入选”为事件B ，“图片乙入选”为事件C ，下列判断正确的是( ) A ．P （A ）P =（B ）P +（C ） B ．P （A ）P =（B ）P ⋅（C ）C ．()()()P A P BC P BC =+D ．()()P BC P BC >10.（2022•多选•广州期末）已知某随机试验的两个随机事件A ，B 概率满足P （A ）0>，P （B ）0>，事件C = “事件A 与事件B 恰有一个发生”，则下列命题正确的有( )A ．若B A =，则A ，B 是互斥事件 B ．若A ，B 是互为独立事件，则A ，B 不可能是互斥事件C ．()P AB P >（C ）D ．()P AB P <（C ）11.（2015•北京）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“⨯”表示未购买．（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？12.（2022•邹城市期中）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为35，25，15，且各轮问题能否正确回答互不影响．（1）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（2）求该选手至多进入第二轮考核的概率．。
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P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
注意条件：必须 P(A)>0
俗话说：“三个臭皮匠抵个诸葛 亮”。
我们是如何来理解这句话的？
诸葛亮 VS 臭皮匠团队
比赛规则：团队成员必须每人独立完成问 题，团队中有一人获胜即为团队获胜。 实力分析：诸葛亮解出的概率为80%，
625
2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击 中目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
解（2：）(1其) 中记恰：由“1人甲击射中击目1次标，的概击率中目标”为事件 A又（“3A乙）与射至B击少各1有射次一击，人1击次击中中，目目都标标击”的中概为目率事标且件，AB与就，B是相事互件独A立,B，同
P( A B C) P( A) P(B) P(C) 0.5 0.45 0.4 1.35
P( A B C) P(D)①事件的概率
因此，合三个臭皮匠之力，把握就大过诸葛不亮可了能！ 大于1
你认同以上的观点吗？
一.新课引人
问题：
甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从
臭皮匠老大解出的概率为50%， 臭皮匠老二解出的概率为45%， 臭皮匠老三解出的概率为40%。
诸葛亮 VS 臭皮匠团队
比赛规则：团队成员必须每人独立完成问 题，团队中有一人获胜即为团队获胜。 实力分析：诸葛亮解出的概率为80%，
臭皮匠老大解出的概率为50%， 臭皮匠老二解出的概率为45%， 臭皮匠老三解出的概率为40%。 问：三个臭皮匠能抵一个诸葛亮吗？
显然太烦
解：分别记这段时间内开关 J A、J B、J C 能够闭合为事 件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法式这
段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P( A • B • C) P( A) • P(B) • P(C)
[1 P( A)][1 P(B)][1 P(C)]
§2.2.2事件的 相互独立 性
• 1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的 概念．
• 2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式 解决一些简单的实际问题.
复习回顾
(1) 什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
(2) 两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是
什么？ P(A+B)=P(A)+(B)
(3) 若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
P(A)+P(Ā)=1
复习回顾
(4) 条件概率
设事件A和事件B，且P(A)>0，在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率． 记 作P(B |A).
甲
乙
同时摸出白球的 结果有3×2种．
P(A • B) 3 2 54
又 P(A) 3， 5
P(B) 2 . 4
猜想： P(A• B) P(A) • P(B)
相互独立事件同时发生的概率公式
1.若A、B是相互独立事件，则有P(A·B)= P(A)·P(B) 即两个相互独立事件同时发生的概率，
P P( A • B) [P( A • B) P( A • B)]
0.36 0.48 0.84
解法2：两人都未击中的概率是 P(A • B) P(A) • P(B)
(1 0.6) (1 0.6) 0.16, 因此，至少有一人击中目标的概率
P 1 P(A • B) 1 0.16 0.84 答：至少有一人击中的概率是0.84.
(1 0.7)(1 0.7)(1 0.7)
0.027
所以这段事件内线路正常工作的概率是
1 P(A • B • C) 1 0.027 0.973
答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973
某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计 甲、乙、丙三人 100 米跑(互不影响)的成绩在 13 s 内(称为合 格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的 100 m 跑的成绩进行一次检测，则
3、相互独立事件同时发生的概率：
符号表示：相互独立事件A与B同时发生，记作 A B
2、相互独立事件的性质：
(1)必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立.
（2).互斥事件和相互独立事件是两个不同概念： 两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发 生； 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否 对另一个事件发生的概率没有影响。
P( A B)
P(A B A B)
1 P(AB)
1 P(A B)
意
义
A、B同时发生
A不发生B发生
A发生B不发生
A不发生B不发生
A、B中恰有一个发生 A、B中至少有一个发生 A、B中至多有一个发生
用数学符号语言描述下列情况：
① A、B、C同时发生； ①A·B·C
② A、B、C都不发生； ② A·B·C
P p (A B C ) P (A B C ) P (A B C ) P (A B C ) P (A B C ) P (A B C ) P (A B C )
0.7 0.3 0.3 0.3 0.7 0.3 0.3 0.3 0.7 0.7 0.7 0.3
⑶“掷一枚硬币，得到正面向上”与掷一骰枚子， 向上的面是３点”不是互斥事件，而是相互独立事件。
从甲坛子里摸出1个球，有 5种等可能的结果；从乙坛子 里摸出1个球，有 种4等可能的结果．于是从两个坛子
里各摸出1个球，共有
种5等×可4能的结果.
(白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (黑，白)(黑，白)(黑，黑)(黑，黑) (黑，白)(黑，白)(黑，黑)(黑，黑)
如果事件A与B相互独立,
那么A与B, A与B, A与B
也都相互独立
二、讲授新课 1、相互独立事件的定义:
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有 影响，则称事件A与B为相互独立事件．
2、相互独立事件的性质：
若事件 与A 相B互独立，则事件 与 ，A 与 ，B 与B
也相B互独A 立. A
(1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大．
（3).如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B， A与B是不是相互独立的
(3.PB A=P一个口袋装有2个白球和2个黑球，把“从中任意摸 出1个球，得到白球”记作事件A，把“从剩下的3个球 中 任意摸出1个球，得到白球”记作事件B，那么， 1/3 （1）在先摸出白球后，再摸出白球的概率是多少？2/3 （2）在先摸出黑球后，再摸出白球的概率是多少？ （3）这里事件A与事件B是相互独立的吗？
等于每个事件发生的概率的积。
2.推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那 么这n个事件同时发生的概率
等于每个事件发生的概率的积.即： P(A1·A2·…·An)= P(A1)·P(A2)·…·P(An)
应用公式的前提： 1.事件之间相互独立 2.这些事件同时发生.
如果A、B是两个相互独立的事件， 那么1-P（A）•P（B）表示什么？
情种况情：况一在种各是射甲击击1次中时，不乙可未能击同中时（A发事• B生件，根即据事题）件意，Ā•这B与两
发生A•）B互。斥根，据互另斥一事种件是的甲概未率击加中法，公乙式击和中相（互事独件立Ā•B 事件的概率乘法公式，所求的概率是
P(A • B) P(A • B)
P( A) • P(B) P( A) • P(B)
想一想：如果事件Α 与Β相互独立，那么Α与Β， Α与Β，Α与Β是否也相互独立？
填空： 事件 A是指从_甲__坛__子_里__摸_出__1_个_球__,得__到_黑__球__; 事件B是指从_乙__坛__子_里__摸_出__1_个_球__,得__到_黑__球__; A与B是___相_互__独_立______事件； A与B是__相__互_独__立______事件； A与B是___相__互_独__立______事件.
3：在一段线路中并联着3个自动控制的常开开
关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正 常工作.假定在某段时间内每个开关闭合的概率 都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率.
注 上面例1第(3)小题的解法2和例2的解法，都是解应用题的逆向 思考方法．采用这种方法有时可使问题的解答变得简便．
解：分别记这段时间内开关 J A、J B、J C 能够闭合为事 件A,B,C.
③ A、B、C中恰有一个发生；
③A·B·C＋A·B·C＋A·B·C
④ A、B、C中至少有一个发生；
⑤ A、B、C中至多有一个发生.
⑤A·B·C ＋ A·B·C ＋ A·B·C＋ A·B·C
1 生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间的合格率 是97％,从它们生产的零件中各抽取1件，都抽到合格品 的概率是多少？
这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？
把“从甲坛子里摸出1个
球，得到白球”叫做事件
A
P( A)
3
5
把“从乙坛子里摸出 1个
球，得到白球”叫做事件B
没有影响
P(B) 2 4
甲
乙
二.新课 1.独立事件的定义
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这
样的两个事件叫做相互独立事件．
(3)甲、乙两同学中至少有一人做对。 (4)甲、乙两同学中至多有一人做对。 (5)甲、乙两同学中恰有一人做对。