武汉科技大学2016级研究生概率论与数理统计考试题及参考解答
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16-17-1《概率论与数理统计》参考解答及评分标准
一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1.设 ( X1 , X 2 , ____D___ . （A） n X ~ N (0,1) ； （C） （B） nS 2 ~ （D）
, X n ) (n 2) 为来自总体 N (0, 1) 的一个样本， X 为样本均值， S 2 为样本方差，则
（7 分）
的的无偏估计方差的 C-R 下界为
1 2 ． nI ( ) n
（10 分）
五、 （本题 10 分）合格苹果的重量标准差应小于 0.005 公斤．在一批苹果中随机取 9 个苹果称重，得 其样本标准差为 S 0.007 公斤, 试问： （1）在显著性水平 0.05 下，可否认为该批苹果重量标准差达到 0.025 要求? （2）如果调整显著性水平 ，结果会怎样？ 解： （1） H 0 : 0.005 , H1 : 0.005 ，
1 H 0 : P ( X i ) , i 1, 2, 6
,6
（2 分）
2
(7 10)2 10
(13 10)2 2 2.8 0.05 (5) 11.0705 10
（10 分）
所以，可以认为该程序产生的这六个数字概率相同．
七、 （本题 15 分）为了考察蒸馏水的 PH 值和硫酸铜溶液浓度对比化验血清中白蛋白与球蛋白的影响， 对蒸馏水的 PH 值（A）取了 4 个不同水平，对硫酸铜的浓度（B）取了 3 个不同水平，在各水平组合下各 测一次白蛋白与球蛋白之比，不考虑因素 A，B 的交互作用， 1.将下面方差分析表补充完成（即在表格横线部分填上对应的数值） ． 来源 因素 A 因素 B 误差 总和 平方和 5.29 2.22 0.26 7.77 （9 分） 2.因素 A 和 B 的不同水平对化验结果是否有显著影响？（ 0.05 ） 自由度 3 2 6 均方和 1.76 1.11 0.043 F值 40.9 25.8
查表得 F (1, n 2) F0.05 (1,8) 5.32 因为 F F1 (1, n 2) 所以可以认为 Y 与 x 的回归效果显著 （10 分） （15 分）
ˆ 0.9603 3.4398 0.5 2.6802 （3） y
4
xf ( x)dx
1
0
xe dx ，
x
（3 分）
用 v1
1 n X i X 代替， n i 1
ˆ 1 所以 n
X
i 1
n
i
X．
（7 分）
ˆ) E ( X ) （2） E (
1 n E( X i ) E( X ) ，所以该估计量是无偏估计． n i 1
（B） dfT df A dfe （D） FA
SA Se
5.在一元回归分析中，决定系数定义为 R
2
SR ，则___B____ . ST
（B） R 接近 1 时回归效果显著； （D）前述都不对.
2
2
（A） R 接近 0 时回归效果显著； （C） R 接近 时回归效果显著；
2
2
二、 （本题 10 分）设总体 X 和 Y 相互独立，且都服从正态分布 N (0, 3 ) ，而 ( X1 , X 2
ˆ 解： （1） b
l xy l xx
3.4398
ˆx 0.9 6 0 3 ˆ y b a
ˆ 0.9603 3.4398 x 所以回归直线方程为 y
（5 分）
ˆ l 197.9413 （2） S R b xx
2
S e l yy S R 31.7037
F
SR 49.95 S e /(n 2)
2 2 2 2
2
n 1 S 2 检验统计量为 2
2
Baidu Nhomakorabea
2 0.05 (8) 15.507 ，
具体计算得： 2
8 0.0072 15.68 15.507, 0.0052
（7 分）
所以拒绝假设 H0 ，即认为苹果重量标准差指标未达到要求． （2）由
2 0.025
FA 40.9 F0.05 (3,6) 4.8,FB 25.8 F0.05 (2,6) 5.1
3
所以，因素 A 和 B 的不同水平对化验结果有显著影响．.
（15 分）
八、 （本题 15 分）设对于给定的 x，对应的 Y 为正态随机变量。对 ( x , y ) 进行了 10 次独立对观测， 得到数据表，经计算得 x 0.41 ， y 0.45 ， l xx 16.729 ， l yy 229.645 ， l xy 57.545 1.求 y 对 x 的线性回归方程； 2.用 F 检验，检验线性回归模型是否显著（ =0.05） ； 3.当 x0 =0.5 时，求相应的 y0 的预测值（保留 4 位小数） ．
, X 9 )和
(Y1, Y2
, Y9 ) 是分别来自 X 和 Y 的样本，求 U
X1 9 X9 ~ N (0,1) ，
X1 Y
2 1
X9 Y92
的分布.
解：
（3 分）
1
Y12 9
U
Y92 ~ 2 (9) ， 9
X1 Y12 X9 Y92 ~ t (9)
（10 分）
e x , x > 0; 四、 （本题 10 分） 设总体 X 的密度函数为 f ( x; ) 未知参数 0 ， ( X1,X 2 , x 0, 0,
为总体的一个样本，求参数 的 C-R 下界． 解：由指数分布的总体满足正则条件可得
Xn )
2 1 1 I ( ) E 2 ln f ( x; ) E 2 2 ，
（B）长度变小；
（C）长度不变；
（D）前述都有可能.
3.在假设检验中，分别用 ， 表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量 n 一定时，下 列说法中正确的是____C___ . （A） 减小时 也减小； （C） , 其中一个减小，另一个会增大； 4.在单因素方差分析模型中，下列四个表述错误的为 （A） ST S A Se （C） ST S A Se （B） 增大时 也增大； （D） （A）和（B）同时成立. C .
（6 分）
（10 分）
x 1 e , x0 三、 （本题 10 分）已知总体 X 的概率密度函数为 f ( x) , 其中未知参数 0 ， 0, 其它
( X1, X 2 ,
, X n ) 为取自总体的一个样本，求 的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．
解： （1） v1 E X
8 0.0072 17.535, 15.68 17.535, 0.0052
2
则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．
（10 分）
六、 （本题 10 分）某程序随机产生 1,2,3,4,5,6 六个数字，经观察 60 次，统计出各数字出现的频数表如 下 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 12 11 9 13 次数 能否认为该程序产生的这六个数字概率相同？（ 0.05 ） 解：设程序随机产生的数字为 X ，
2 (n) ；
~ F (1, n 1) .
(n 1) X ~ t (n) ； S
(n 1) X 12
X
i 2
n
2 i
2.若总体 X ~ N (, 2 ) ，其中 已知，当置信度 1 保持不变时，如果样本容量 n 增大，则 的
2
置信区间____B___ . （A）长度变大；
一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1.设 ( X1 , X 2 , ____D___ . （A） n X ~ N (0,1) ； （C） （B） nS 2 ~ （D）
, X n ) (n 2) 为来自总体 N (0, 1) 的一个样本， X 为样本均值， S 2 为样本方差，则
（7 分）
的的无偏估计方差的 C-R 下界为
1 2 ． nI ( ) n
（10 分）
五、 （本题 10 分）合格苹果的重量标准差应小于 0.005 公斤．在一批苹果中随机取 9 个苹果称重，得 其样本标准差为 S 0.007 公斤, 试问： （1）在显著性水平 0.05 下，可否认为该批苹果重量标准差达到 0.025 要求? （2）如果调整显著性水平 ，结果会怎样？ 解： （1） H 0 : 0.005 , H1 : 0.005 ，
1 H 0 : P ( X i ) , i 1, 2, 6
,6
（2 分）
2
(7 10)2 10
(13 10)2 2 2.8 0.05 (5) 11.0705 10
（10 分）
所以，可以认为该程序产生的这六个数字概率相同．
七、 （本题 15 分）为了考察蒸馏水的 PH 值和硫酸铜溶液浓度对比化验血清中白蛋白与球蛋白的影响， 对蒸馏水的 PH 值（A）取了 4 个不同水平，对硫酸铜的浓度（B）取了 3 个不同水平，在各水平组合下各 测一次白蛋白与球蛋白之比，不考虑因素 A，B 的交互作用， 1.将下面方差分析表补充完成（即在表格横线部分填上对应的数值） ． 来源 因素 A 因素 B 误差 总和 平方和 5.29 2.22 0.26 7.77 （9 分） 2.因素 A 和 B 的不同水平对化验结果是否有显著影响？（ 0.05 ） 自由度 3 2 6 均方和 1.76 1.11 0.043 F值 40.9 25.8
查表得 F (1, n 2) F0.05 (1,8) 5.32 因为 F F1 (1, n 2) 所以可以认为 Y 与 x 的回归效果显著 （10 分） （15 分）
ˆ 0.9603 3.4398 0.5 2.6802 （3） y
4
xf ( x)dx
1
0
xe dx ，
x
（3 分）
用 v1
1 n X i X 代替， n i 1
ˆ 1 所以 n
X
i 1
n
i
X．
（7 分）
ˆ) E ( X ) （2） E (
1 n E( X i ) E( X ) ，所以该估计量是无偏估计． n i 1
（B） dfT df A dfe （D） FA
SA Se
5.在一元回归分析中，决定系数定义为 R
2
SR ，则___B____ . ST
（B） R 接近 1 时回归效果显著； （D）前述都不对.
2
2
（A） R 接近 0 时回归效果显著； （C） R 接近 时回归效果显著；
2
2
二、 （本题 10 分）设总体 X 和 Y 相互独立，且都服从正态分布 N (0, 3 ) ，而 ( X1 , X 2
ˆ 解： （1） b
l xy l xx
3.4398
ˆx 0.9 6 0 3 ˆ y b a
ˆ 0.9603 3.4398 x 所以回归直线方程为 y
（5 分）
ˆ l 197.9413 （2） S R b xx
2
S e l yy S R 31.7037
F
SR 49.95 S e /(n 2)
2 2 2 2
2
n 1 S 2 检验统计量为 2
2
Baidu Nhomakorabea
2 0.05 (8) 15.507 ，
具体计算得： 2
8 0.0072 15.68 15.507, 0.0052
（7 分）
所以拒绝假设 H0 ，即认为苹果重量标准差指标未达到要求． （2）由
2 0.025
FA 40.9 F0.05 (3,6) 4.8,FB 25.8 F0.05 (2,6) 5.1
3
所以，因素 A 和 B 的不同水平对化验结果有显著影响．.
（15 分）
八、 （本题 15 分）设对于给定的 x，对应的 Y 为正态随机变量。对 ( x , y ) 进行了 10 次独立对观测， 得到数据表，经计算得 x 0.41 ， y 0.45 ， l xx 16.729 ， l yy 229.645 ， l xy 57.545 1.求 y 对 x 的线性回归方程； 2.用 F 检验，检验线性回归模型是否显著（ =0.05） ； 3.当 x0 =0.5 时，求相应的 y0 的预测值（保留 4 位小数） ．
, X 9 )和
(Y1, Y2
, Y9 ) 是分别来自 X 和 Y 的样本，求 U
X1 9 X9 ~ N (0,1) ，
X1 Y
2 1
X9 Y92
的分布.
解：
（3 分）
1
Y12 9
U
Y92 ~ 2 (9) ， 9
X1 Y12 X9 Y92 ~ t (9)
（10 分）
e x , x > 0; 四、 （本题 10 分） 设总体 X 的密度函数为 f ( x; ) 未知参数 0 ， ( X1,X 2 , x 0, 0,
为总体的一个样本，求参数 的 C-R 下界． 解：由指数分布的总体满足正则条件可得
Xn )
2 1 1 I ( ) E 2 ln f ( x; ) E 2 2 ，
（B）长度变小；
（C）长度不变；
（D）前述都有可能.
3.在假设检验中，分别用 ， 表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量 n 一定时，下 列说法中正确的是____C___ . （A） 减小时 也减小； （C） , 其中一个减小，另一个会增大； 4.在单因素方差分析模型中，下列四个表述错误的为 （A） ST S A Se （C） ST S A Se （B） 增大时 也增大； （D） （A）和（B）同时成立. C .
（6 分）
（10 分）
x 1 e , x0 三、 （本题 10 分）已知总体 X 的概率密度函数为 f ( x) , 其中未知参数 0 ， 0, 其它
( X1, X 2 ,
, X n ) 为取自总体的一个样本，求 的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．
解： （1） v1 E X
8 0.0072 17.535, 15.68 17.535, 0.0052
2
则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．
（10 分）
六、 （本题 10 分）某程序随机产生 1,2,3,4,5,6 六个数字，经观察 60 次，统计出各数字出现的频数表如 下 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 12 11 9 13 次数 能否认为该程序产生的这六个数字概率相同？（ 0.05 ） 解：设程序随机产生的数字为 X ，
2 (n) ；
~ F (1, n 1) .
(n 1) X ~ t (n) ； S
(n 1) X 12
X
i 2
n
2 i
2.若总体 X ~ N (, 2 ) ，其中 已知，当置信度 1 保持不变时，如果样本容量 n 增大，则 的
2
置信区间____B___ . （A）长度变大；