近世代数课件--正规子群

2012-9-19 数学与计算科学学院
例7.5.1 设( G, ∘)是一个群，令 Cg={ c |c ∈ G, c ∘g = g ∘c, ∀g ∈ G }， 则Cg是G的正规子群。
证 由 e ∈ Cg知， Cg是G的非空子集。 对a, b ∈ Cg, g ∈ G, 因(a∘b)∘g=a∘(b∘g)=a∘(g∘b)=(a∘g)∘b=(g∘a)∘b=g∘(a∘b)， 又 a-1∘g = (g-1∘a)-1= (a∘g-1)-1= g∘a-1，所以 a∘b, a-1 ∈ Cg， 故Cg是G的子群。 对a ∈ G，由于 aCg={ a∘c |c ∈ Cg }={ c∘a |c ∈ Cg } = Cga , 因此Cg是G的正规子群。
7.5 正规子群、商群与群的同态基本定理
定义7.5.1 设H为群( G, ∘)的一个子群，若对任意的 a ∈G，都有 aБайду номын сангаас=Ha ，则称 H为 G 的正规子群 （或不变子群）。 • 若G 为交换群，则G 的每个子群都是G 的正规子 群；反之，由aH=Ha，不能说明元素a与H中的每 个元素都可交换。 • 一般的群G ，至少有两个正规子群，一个是G的 最小子群{ e }，另一个是G的最大子群G自身。这 两个子群称为平凡的正规子群。
(1)A= (123)A=(132)A=A(1)=A(123)=A(132)= {(1), (123), (132)} (12)A= (13)A=(23)A=A(12)=A(13)=A(23)={(12), (13), (23)}
因此A是S3 的正规子群。
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定理7.5.1 群( G, ∘)的一个子群H是正规子群的充要 条件是：对于∀ g ∈ G ，都有gHg-1 =H。
“⇒” gHg-1=( gH) g-1=(Hg) g-1=Hgga-1=He=H “⇐” gH=( gH )e=gH(g-1g)=( gHg-1) g=Hg
定理7.5.2 群( G, ∘)的一个子群H是正规子群的充要 条件是：对于∀g ∈ G，h ∈ H，都有 ghg-1∈ H 。
“⇒” 由定理7.5.1 即可得。
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定理7.5.5 若 f 是从群 ( G, ∘)到群 ( G’, *)的一个同 态，并且 H是( G, ∘)的子群，则 H的像 f (H)是群 ( G’, *)的子群；若 f 是满同态，则( G, ∘)的正规子 群N的像 f (N)是群( G’, *)的正规子群。
定理7.5.6 若 f 是从群 ( G, ∘)到群 ( G’, *)的一个同 态，并且H’和N’分别是( G’, *)的子群和正规子群 则H’和N’的原像H= f -1(H’)和N = f -1(N’)分别是 ( G, ∘)的子群和正规子群。
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定理7.5.3 任意一个群 ( G, ∘)的商群 (G/H, ⊙)都是 ( G, ∘)的满同态像。 自然同态 f : G → G/H, g →Hg 是一个满同态。
• 研究子群H的一个作用就是可以通过H来推测整个 群G的性质。如果现在是一个正规子群H 的话， 那么就有两个群，正规子群H以及商群G/H可以 利用了。
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定理7.5.4 若 f 是从群( G, ∘)到群( G’, *)的一个满同 态，则Ker f是( G, ∘)的正规子群，并且 (G/Ker f ,⊙) ≅ ( G’, *) 。
例. 如前例 f (x, y)=x，Ker f={ (0, y) | y ∈ R }。 R2/Ker f ={ [x]| x ∈ R }, [x]={ (x, y) | y ∈ R } [a]⊕[b] = a + b (R2/Ker f ,⊕) ≅ (R, +)
“⇐” ghg-1∈ H ⇒ gHg-1⊆ H ⇒ H =a(a-1Ha)a-1⊆ a-1Ha = gHg-1
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• 若H是群( G, ∘)正规子群，则H的右(或左)陪集称 为H的陪集。 • 若H是群( G, ∘)正规子群，则G关于 ∼ 的商集记作 G/H，即由H的陪集构成的集合，并且 ∼是(G, ∘) 上的同余关系。定义G/H上的运算⊙如下： Ha⊙Hb= H(a∘b), a, b ∈ G 于是(G/H, ⊙)是一个群，称为( G, ∘)关于正规子群 H的商群。当G为有限群时，有|G|/|H|=|G/H|
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定义7.5.2 设 f 是从群( G, ∘)到群( G’, *)的一个满同 态，则称G’ 的单位元 i 在 f 下的原像构成的G 的 子集 { g | f (g) = i , g ∈ G }为满同态 f 的核，记为 Ker f。
例如，f (x, y)=x是从群 (R2, +)到群 (R, +)的满同态, 群(R, +)的单位元是 0 Ker f={ (x, y) | f (x, y)=0 } ={ (0, y) | y ∈ R }
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例7.5.2 H={ (1), (12) }是三次对称群 S3 的子群， 但不是正规子群。 因为 (13)H ≠H(13)， (23)H ≠H(23)，
若取 A={ (1), (123), (132) }，容易验证: A是S3的 子群，并且是由(123)生成的循环子群。又因为