条件概率(公开课)42879

（3）在第一次抽到理科题的条件 下，第二次抽到理科题的概率。
法一：由（1）（2）可得，在第一次抽到理科题
的条件下，第二次抽到理科题的概率为
3
P(B
A)
P(AB) P(A)
10 3
1 2
5
法二：因为n(AB)=6，n(A)=12，所以
P(BA)n(AB)61 n(A) 12 2
法三：第一次抽到理科题，则还剩下两道理科、 两道文科题，故第二次抽到理科题的概率为1/2
一般地，在已知另一事件A发生的前提下，事件B发
生的可能性大小不一定再是P(B).即 P(B|A)P(B)
条件的附加意味着对样本空间进行压缩.
二、内涵理解:
为什么上述例中P(B|A) ≠ P(B)？ 样本空间不一样 P(B)以试验下为条件,样本空间是
P(B|A)以A发生为条件,样本空间缩小为A
Ω
B A∩B A
例2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字
都可从0—9中任选一个。某人在银行自动取款 机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对 的概率；
（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超 过2次就按对的概率。
(1 )P (A ) P (A 1 ) P (A 1 A 2 ) 1 1 0 1 9 0 g g 1 9 1 5
的 概 率, 而 P(B A) 表 示 在 缩 小 的 样 本 空 间 A 中,
计 算 B 发 生 的 概 率.用 古 典 概 率 公 式,则
AB 中 样 本 点 数 P(B A) A 中 样 本 点 数,
P(AB )
AB 中 样 本 点 数 中样本点数
一 般 来 说, P(B A) 比 P(AB ) 大.
2.条件概率计算公式:
P(B| A) P(AB) P(A)
注 :⑴0≤P(B|A)≤ 1; ⑵ 几 何 解 释 : ⑶ 可 加 性 ：
BA
如 果B和 C互 斥 ，
那 么P(BUC)|AP(B|A)P(C|A)
基本概念
3.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系
P(AB ) 表 示 在 样 本 空 间 中, 计 算 AB 发 生
高二数学 选修2-3
2.2.1条件概率
复习引入：
事件概率加法公式：
若事件A与B互斥，则. P (A U B )P (A )P (B )
注: 1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的
和事件,记为 A U B (或 A B );
2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件,
记为 A I B (或 A B );
⑵ “掷出点数之和不小于10”的概率又是多少?
⑶ “已知第一颗掷出6点，则掷出点数之和不小于10”的概率
呢？
Ω B A∩B A
解：设Ω为所有基本事件组成的全体，“第一颗掷出6点”为事件A，“掷出点数之和不 小于10”为事件B,则“已知第一颗掷出6点，掷出点数之和不小于10”为事件A B
(1)
（2)
I
反思
求解条件概率的一般步骤： （1）用字母表示有关事件 （2）求P(AB），P(A)或n(AB),n(A) ( 3 )利用条件概率公式求
PBwk.baidu.comP(AB)n(AB) P(A) n(A)
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
(2 )P (A |B ) P (A 1 |B ) P (A 1 A 2 |B ) 1 5 5 4 g g 4 1 5 2
收获
一、基本知识
1. 条件概率的定义. PBAP(AIB)P(A)0 P(A)
2. 条件概率的性质. (1)有界性（2）可加性
3. 条件概率的计算方法.PB A n(AI B) n(A)
(1 )P (A ) P (A 1 ) P (A 1 A 2 ) 1 1 0 1 9 0 g g 1 9 1 5
(2 )P (A |B ) P (A 1 |B ) P (A 1 A 2 |B ) 1 5 5 4 g g 4 1 5 2
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题 为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
（1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为
n()A52 20
根 据 分 步 乘 法 计 数 原 理 ， n ( A ) A 3 1 A 4 1 1 2 P(A)n(A) 123
n() 20 5
解1： 设A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ B={出现的点数是奇数} ＝｛１，３，５｝
只需求事件 A 发生的条件下，
事件 B 的概率即Ｐ（B｜A）
51
B3
A
2
P(B| A)n(AB) 2
4,6
n(A) 3 解法一（减缩样本空间法）
例 2 考虑恰有两个小孩的家庭.
（1）若已知 某一家有一个女孩，求这家另一个是男孩 的概率；
方法2：
95
P(B
A)
P(AB) P(A)
70 95
100 100
0.7368
B 70 95A
5
反思
求解条件概率的一般步骤： （1）用字母表示有关事件 （2）求P(AB），P(A)或n(AB),n(A) ( 3 )利用条件概率公式求
PBAP(AB)n(AB) P(A) n(A)
练一练
1. 掷两颗均匀骰子,问: ⑴ “ 第一颗掷出6点”的概率是多少？
PB A P(AI B) P(A)
（古典概型）
（一般概型）
4. 求解条件概率的一般步骤
用字母表示有关事件
二、思想方法
求相关量
代入公式求P(B|A)
1.由特殊到一般 2.类比、归纳、推理 3.数形结合
练习：设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二
等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，
P(B |A)相当于把Ａ看作 新的样本空间求AB发生 的概率
条件概率的定义：
一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，则
P(B A) P(AB) P( A)
在原样本空间 的概率
称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。
注一意般：把P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率。
（1）条件概率的取值在0和1之间，即0≤P(B|A) ≤1
练习、 Q1放 （ （设 则、回12B“ P））（ 的5取 第第个CC取出 ） 乒一二， 两的 =乓次次次P12（ 是 球取取05，B， ，到到黄 C求） P（ 其新新球 ：=中球球C” P） （ 3的的为 个=概概B1事 新） -率率件 12的=05；；2B，55，212个“ 55， 旧取P（ 的出，B的 ）每是 =次黑 255取球一”个为3，3/事 5/不5件C，
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题 为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
（ 2） Qn(AB)A 3 26
P(AB)n(AB)63 n() 20 10
例1：在5道题中有3道理科题和2道文科题，如 果不放回地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
（所 3）求在概 第率 一P（ 次B取|C到）新=球PP（ 的（B条CC） 件）下13第二次取到新球的概率。 1/2
2、盒中有25个球，其中白球若干个，黄球5个，黑球 10个，从盒中任意取出一个球，已知它不是黑球，试 求它是黄球的概率。
条件概率计算中注意的问题
1、条件概率的判断：
（1）当题目中出现“在……前提（条件） 下”等字眼，一般为条件概率。
（2）如果B和C是互斥事件，则
P(B∪C |A)= P(B|A)+ P(C|A)
3、条件概率的判断： （1）当题目中出现“在……前提（条件）下”等字眼，一般
为条件概率。 （2）当已知事件的发生影响所求事件的概率，一般也认为是
条件概率。
例1：在5道题中有3道理科题和2道文科题，如 果不放回地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
3.若 A B 为不可能事件,则说事件A与B互斥.
探究：
三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学 无放回的抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率 是否比前两名同学小。
思考1？
如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那 么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？
已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最 后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？
解2： 设A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ B={出现的点数是奇数} ＝｛１，３，５｝
只需求事件 A 发生的条件下，
事件 B 的概率即Ｐ（B｜A） 由条件概率定义得：
51
B3
A
2
P(B| A) p(AB) p(A)
1 3
1 2
2
4,6
3 解法二（条件概率定义法）
引例:
掷红、蓝两颗骰子,设事件A=“蓝色骰子的点数为3或6” 事件B=“两颗骰子点数之和大于8” 求(1)P(A)，P(B)，P(AB)
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.
（2）若已知 某家第一个是男孩，求这家有两个男孩 （相当于第二个也是男孩）的概率
（假定生男生女为等可能）
1 例 3 设P(A|B)=P(B|A)= 2
1
,P(A)=
,求P(B).
3
例题2 在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益 而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一 颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再 出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中 方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？
（2）当已知事件的发生影响所求事件的概 率，一般也认为是条件概率。
2、相应事件的判断：
首先用相应的字母A、B表示出相应的事件，然 后分析清楚在哪个事件发生的条件下求哪个事件 的概率。
当 A B 时 ， P ( A B ) = P ( A )
例 2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从
0—9中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘 记了密码的最后一位数字，求： （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就 按对的概率。
求 (1) 取得一等品的概率；
(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．
解 设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，P(B) 70 0.7
（2）方法1：因为95
件合格品中有
70
100 件一等品，所以
Q B A A B B
P(BA)700.7368
对于上面的事件A和事件B，P(B|A)与它们的概 率有什么关系呢？
n(AB)
P(B| A)n(AB) n(A)
n() n(A)
P(AB) P(A)
n()
P(B |A)相当于把Ａ看作新的
基本事件空间求Ａ∩Ｂ发生的 概率
B
A
基本概念
1.条件概率
对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的 条件下事件B发生的条件概率”，叫做条件概率。 记作P(B |A).
解：∵ P( A I B)， 1 P ( A, ) 1
9
3
P(B) 4 9
1
P(A|
B)
P(AI B) P(B)
9 4
1 4
9
1
P(B|
A)
P(AI B) P(A)
9 1
1 3
3
例题2 在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益 而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一 颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再 出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中 方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？
(2)在“事件A已发生”的附加条件下事件Ｂ发生的概率？ (3)比较(2)中结果与P(AB)的大小及三者概率之间关系
P(A)=12/36=1/3 P(B)=10/36=5/18 P(AB)=5/36
5
P(B| A)n(AB) 5 n(A) 12
P(B |
A)
P(AB) P(A)
36 1
5 12
3
思考
（3）
PA
nA n
6 36
1 6
PB
nB n
6 36
1 6
10
PB|A
PAI B P
1 2
20PB|AnnAIB
31 62
2. 如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大正
方形区域随机的投掷一个点（每次都能投中），设
投中最左侧3个小正方形的事件记为A，投中最上 面3个小正方形或中间的1个小正方形的事件记为B， 求 P(A|B), P(B|A),