含参变量广义积分

内一致收敛。
定理2（ 狄利克雷判别法）
若函数 f ( x, y) , g ( x, y) 满足： （） 1 y Y ,当x充分大后函数 g ( x, y) 关于 x 单调且
g ( x, y) 0 ,
A a
y Y , x ,
（2） A a, 积分 f ( x, y)dx 存在且对 y Y 一致有界,
（） 1 y Y ,当充分大后 g ( x, y) 关于 x 单调且对 y 一致有界，
即存在常数 M 0, 满足 g( x, y) M , y Y , x 充分大;
（2） 含参变量无穷积分


a
f ( x, y)dx 在 Y 上一致收敛 ;
则含参变量无穷积分
a

在Y上
点点收敛, 若存在常数 l 0 , 不论 N 多么大, 总存在 A N 及 yA Y , 使

A
f x, y A dx l ,
则无穷积分在 Y 上不一致收敛.
序列的一致收敛 定义： 若函数序列 fn ( x) 在集合 X 上收敛于极限函数 f ( x)。
且 0, 存在与 x X 无关的序号 N=N( )，满足
设二元函数 f ( x, y ) 在 (x,y) a x , c y d 上有定义，
固定y c , d , 若无穷积分 f ( x, y)dx收敛，

则在 c , d 上定义了一个函数

a
g ( y)

a
f ( x, y)dx ,
c yd ,
称其为含参变量的无穷积分。
若 y0 c , d , 则 g( y0 ) 收敛， 即 0 , N N ( , y0 )
只要 A N , 则有


A
f ( x, y0 )dx
f ( x, y )dx g ( y )
0 0 a
A
。
定义 设无穷级数 g y a f x, y dx 对于区间 Y 中的
只要 n N，就有
fn ( x) f ( x) ， x X ,
则称函数序列 fn ( x) 在集合 X 上一致收敛于极限函数 f ( x)。
记为 fn ( x) f ( x) , x X , n 。
函数项级数的一致收敛 定义： 设 un ( x) 为集合 X 上函数项级数，令 sn ( x) uk ( x) ,
含参变量无穷积分一致收敛的判别方法：
一致收敛的柯西收敛准则:
含参变量的无穷积分

a
f ( x, y)dx 在区间 Y 上一致收敛的
充要条件是： 0 , 存在与 y 无关的常数 N , 使得
A N , A N , y Y , 都有
定理1：设当 y Y 时,A a, f x, y 在 a, A 上可积,

n
的任意部分和序列有界， 即存在常数 M>0 使
b
k=1
n
k
M,
n 1, 则级数
a b
n 1

n n
收敛。
对函数项级数（Dirichlet 判别法）
若函数项级数
a ( x)b ( x)
n 1 n n

满足：
(1)序列 an ( x) 对于固定的 x X 关于 n 单调 且 an ( x) 0 ,
n 1 n 1
例1


0
e
x
sin x dx
在
[0 ,) (0 0)
内一致收敛. 解:
|e
x
sin x | e
0 x
x 0 , 0 ,
收敛，
而积分

x 0
0
e
dx
e
0

x
sin x dx
在 [0 ,) (0 0)
若函数序列sn ( x) 在集合 X 上一致收敛,
n 1 k 1 n
则称函数项级数 un ( x) 在 X 上一致收敛。
n 1

即函数项级数在给定区间的一致收敛，是用级 数前n项部分和序列在相同区间的一致收敛来定义。
若函数项级数 un ( x) 在 X 上一致收敛，
n 1

则它也在 X 收敛,但反之不成立。
n 1
x X ,
n,
（2）级数 bn ( x) 的任意部分和序列在 X 上一致有界，即
b ( x)
k k=1
n
M,

n 1, x X , M 0 为常数，
则函数项级数
a ( x)b ( x)
n 1 n n
在 X 上一致收敛。
定理3（ 阿贝耳判别法）
若函数 f ( x, y) , g ( x, y) 满足：

一切 y 都收敛, 若 0, N a, 使当 A N 时, 对一切 y Y , 都有


A
f x, y dx ,
则称含参变量的无穷积分 a f x, y dx 在 Y 上一致收敛.
命题: 设含参变量的无穷积分
f x, y dx
即存在常数 M 0, 满足

A
a
f ( x, y )dx M , A a, y Y ;
则含参变量无穷积分

a
f ( x, y) g ( x, y)dx 在 Y 一致收敛。
对任意项级数（狄利克雷判别法）
若序列 an 单调且 lim an 0 ,
n
又级数
b
n 1

A
A
f ( x, y ) dx 。
y Y ,
且 | f ( x, y) | ( x), x a ,


而无穷积分 ( x) dx 收敛， 则含参变量的无穷积分
a
f ( x, y)dx 在 Y 上一致收敛。
a
对函数项级数一致收敛性的判别法： (强级数判别法)
如果函数项级数 un ( x )在区间 I 上满足条件:

(1) (2)
Fra Baidu bibliotek
un ( x ) a n
n 1
n 1
( n 1,2,3 ) ;
正项级数 a n 收敛,
n 1
则函数项级数 un ( x )在区间 I 上一致收敛.
注 : 如上判别法得出的级数收敛还是绝对收敛。 又级数 an 也称为函数级数 un ( x) 的强级数。