切变模量的测量

实验题目：切变模量的测量
实验目的：用扭摆来测量金属丝的切变模量，同时要学习尽量设法避免测量那些较难测准的物理量，测量那些较难测
准的物理量，从而提高实验精度的设计思想。

实验仪器：千分尺，游标卡尺，细钢丝，铁架台，秒表，钢尺，金属环，金属盘等
实验原理：（跳转到“测量记录&数据处理”）
实验对象是一根上下均匀而细长的钢丝，从几何上说就是一个如图5.3.2-1所示的细长的圆柱体，其半径为R，长度为L。

将其上端固定，而使其下端面发生扭转。

扭转力矩使圆柱体各截面小体积元均发生切应变。

在弹性限度内，切应变γ正比于切应力τ：
τG
γ
=（1）这就是剪切胡克
定律，比例系数G即为
材料的切变模量。

钢丝下端面绕中
心轴线OO’转过φ角
（即P点转到了P’的
位置）。

相应的，钢丝
各横截面都发生转动，其单位长度的转角L dl d //ϕϕ=。

分析这细圆柱中长为dl 的一小段，其上截面为A ，下截面为B （如图5.3.2-2所示）。

由于发生切变，其侧面上的线ab 的下端移至b ’，即ab 转动了一个角度γ，ϕγRd dl bb =='，即切应变
dl
d R
ϕ
γ= （2）
在钢丝内部半径为ρ的位置，其切应变为 dl
d ϕρ
γρ
= （3）
由剪切胡克定律dl
d G G ϕ
ρ
γτρρ
==可得横截面上距轴线OO ’
为ρ处的切应力。

这个切应力产生的恢复力矩为
ρϕρπρπρρτρd dl
d G d ⋅=⋅⋅⋅322
截面A 、B 之间的圆柱体，其上下截面相对切变引起的恢复力矩M 为
⎰=⋅
=R
dl
d GR dl d d G M 04322ϕπϕρρπ
（4）
因钢丝总长为L ，总扭转角dl
d L ϕϕ=，所以总恢复力矩
L
GR M ϕ
π
4
2
=
（5）
所以
ϕ
π42R ML
G =
（6）
于是，求切变模量G 的问题就转化成求钢丝的扭矩（即其恢复力矩）的问题。

为此，在钢丝下端悬挂一圆盘，它可绕中心线自由扭动，成为扭摆。

摆扭过的角度φ正比于所受的扭力矩， ϕD M =
（7）
D 为金属丝的扭转模量。

将式（7）代入式（6），有 4
2R DL
G π=
（8）
由转动定律 2
20dt
d I M ϕ
=
（9）
I 0为摆的转动惯量，再由式（7）和（9）可得 002
2=+ϕϕI D
dt
d （10）
这是一个简谐运动微分方程，其角频率0
I D
=ω，周期
D
I T 002π
=
（11）
作为扭摆的圆盘上带有一个夹具，这给测量或计算I 0带来困难。

为此，可将一个金属环对称地置于圆盘上。

设环的质量为m ，
内外半径分别为r 内和r 外，转动惯量为
)(2
1221外内r r m I +=
，这时扭摆的周期 D
I I T 1
012+=π
（12）
由式（11）、（12）可得 2
02
12
010T T T I I -=
（13） 2
212
220211020)(244T T r r m T T I I T D -+=-==外内πππ
（14）
)
()
(420
214
2
2T T R r r Lm G --=
外内π
（15） 实验内容：
本实验用扭摆法测量钢丝的切变模量，扭摆装置如图5.3.2-3所示。

1． 装置扭摆，使钢丝与作为扭摆的
圆盘面垂直，圆环应能方便地置于圆盘上。

2． 用螺旋测微器测钢丝直径，用游
标卡尺测环的内外径，用米尺测
钢丝的有效长度。

3． 写出相对误差公式，据此估算应测多少个周期较合适。

4． 计算钢丝的切变模量G 和扭转模量D ，分析误差。

测量记录&数据处理： I. 实验设计：
对公式 )
()
(420
2
14
2
2T T R r r Lm G --=
外内π 进行误差分析，可得：
… …(*) 现设计如下：
i.用游标卡尺测.
(初测)
ii.用钢尺测L. (初测L=42.30cm) iii.用千分尺测R.
(初测R=0.295+0.5=0.795cm) iv.环的质量m=577g （误差：0.5）. v.用秒表测.
(初测
)
查询相关数据及初测数据带入(*)式使可得：
令：
又由可得：
以下实验取：
II.测量记录&处理：
i.用游标卡尺测.
表一，金属环的内外直径（cm）
根据
可得下表：
表二，金属环的内外半径（cm ）
不确定度计算：
cm r cm r 215.5176.4==外内，
)
mm 02.0,5.0^3,96.1,46.2,7(95.0=∆====B p c k t n
0.008647
0.004721==外内，σσ
带入不确定度公式得：
0.00494cm )(
)(
2
2
2295.0=∆+=c k n
t U B p r 内
内σ 0.00835cm )(
)(
2
2
22
95.0=∆+=c
k n
t U B p r 外
外σ ii. 金属环的质量 g U g m m 5.0,577==
iii.用钢尺测L ：
表三，金属丝长度L （cm ）
不确定度计算：
cm L 20.42=
)
mm 15.0,3,96.1,46.2,7(95.0=∆====B p c k t n
0.01195
=L σ
0.01482cm )(
)(
2
2
22
95.0=∆+=c k n
t U B p L
L σ
iv ．用千分尺测金属丝半径R=D/2:
表四，金属丝直径D （mm ）
根据R=D/2可得：
表五，金属丝半径D （mm ）
不确定度计算：
mm R 396.0=
)
mm 004.0,3,96.1,26.2,12(95.0=∆====B p c k t n
0.0004930=R σ
0.00263mm )(
)(
2
2
22
95.0=∆+=c k n
t U B p R
R σ
v.用秒表测
：
表六，的测量（s ）
由
可得：
表七，的测量（s ）
不确定度计算：
s T s T 45.3,13.210==
)2.0,3,96.1,57.2,6(95.0s c k t n B p =∆====
0.002380
0.001374,1
==T T σσ
0.0013067s )(
)(
2
2
22
95
.00
0=∆+=c
k n
t
U B p T
T σ
0.0013069s )(
)(
2
2
2295
.01
1=∆+=c k n
t
U B p T
T σ
vi.计算钢丝的切变模量G 和扭转模量D ，分析误差。

2
1020
2
14
2
2N 107.540)
()
(4m T T R r r Lm G ⨯=-+=
外内π
m
N T T r r m D ⋅⨯=-+=
-32
021*******.2)
(2外内π
不确定度计算：
由(*)式可计算得：
又由
计算得：
于是有：
2
10N 100.1879)7.540(m G ⨯±= m
N D ⋅⨯±=-3100.006327)197.2(
误差分析&改进：
I.用游标卡尺测金属环的内外径时，由于金属环的圆心很难确定，所以实际测得的内外径应该比真实值偏小。

改进：可以将金属环描摹在一张纸上，然后用几何知识作辅助线进行准确测量其内外径，当然应多次测量，误差会比直接测量小一些。

II.用钢尺测金属丝的长度时，由于其两个固定端的干扰，其有效长度很难测准确，尤其是若保持
钢尺与金属丝平行，则很难找到起止
位置所对应的刻度。

改进：可以设计
一种三角尺（如右下图所示）,B 为固
定端，A 为可活动端，C 和D 处细化
处理，O 处可固定的轴，利用几何原
理找出CD 和OA 的关系，在OA 上做刻度（可以模仿游标卡尺，提高精确度），用它即可以测量CD 的长度，提高精确度。

III.用千分尺测细丝的半径在多处不同位置测量，有效地减小了误差。

IV.用秒表测周期时应保证初始旋角在180度和270度之间，不能过大，也不能太小，还应尽量保持金属丝竖直不变，从而减小误差。

思考题：
1． 本实验是否满足γ<<1的条件？
答：实验原理中有公式： dl d R ϕ
γ=
试验中取
即，而： cm mm l R dl d R 20.42396.0ϕϕϕγ⨯=≈=
从而：γ<0.004422,即满足：
γ<<1.
2．为提高测量精度，本实验在设计上作了哪些安排？在具体测量时又要注意什么问题？
答：实验中将求切变模量的问题转化为求钢丝扭矩的问题，利用扭摆使测量简单易行；作为扭摆的圆盘上带有一个夹
具，这给测量或计算I0带来困难，实验中将一个金属环对称
地置于圆盘上，避免了这种麻烦；在设计实验中由于仪器
的限制，又考虑到测周期时不能取得过大，取，计算出合适的.。