2006考研数学(一)试题及详细答案解析

设区域 D
(x, y) x2 y2 1, x 0
，
计算二重积分
D
1 xy 1 x2 y2
dxdy.
【分析】 由于积分区域 D 关于 x 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求
积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.
【详解】 积分区域 D 如右图所示.因为区域 D 关于 x 轴对称，
3 2 4 1 5 0
【详解】 d
2.
32 4 2 5 2
（5）设矩阵
A
2 1
1 2
，
E
为
2
阶单位矩阵，矩阵
B
满足
BA
B
2E
，则
B 2 .
【分析】 将矩阵方程改写为 AX B或XA B或AXB C 的形式，再用方阵相乘的行
列式性质进行计算即可. 【详解】 由题设，有
B(A E) 2E
xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy 2 .
z 1
【分析】本题
不是封闭曲面，首先想到加一曲面
1
：
x2
y2
，取上侧，使
1
1
构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计 算即可.
【详解】 设 1 ： z 1(x2 y2 1) ，取上侧，则
xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy
xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy .
1
1
2
1
1
而 xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy ＝ 6dv 60 d 0 rdrr dz 2 ，
1
V
xd yd z 2 yd zd x 3 (z 1 ).xd yd 0
D
1 xy 1 x2 y2
dxdy
D
1 1 x2
y2
dxdy
D
xy 1 x2
y2
dxdy
ln 2
.
2
（16）（本题满分 12 分）
设数列xn 满足 0 x1 , xn1 sin xn (n 1, 2, )
（Ⅰ）证明
lim
n
xn
存在，并求该极限；
1
（Ⅱ）计算
lim n
xn1 xn
于是有
B A E 4 ，而 A E 1 1 2 ，所以 B 2 . 1 1
（ 6 ） 设 随 机 变 量 X与Y 相 互 独 立 ， 且 均 服 从 区 间 0,3 上 的 均 匀 分 布 ， 则
PmaxX ,Y 1 1 .
9
【分析】 利用 X与Y 的独立性及分布计算.
【详解】 由题设知， X 与Y 具有相同的概率密度
f
(x)
1
3
,
0
x
3
.
0, 其他
则 PmaxX ,Y 1 PX 1,Y 1 PX 1 PY 1
PX
12
1 0
1 3
dx
2
1 9
.
【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：
则 PmaxX ,Y 1 PX 1,Y 1 S阴 1 .
S9
二、选择题：7－14 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把所选项前的字ห้องสมุดไป่ตู้填在题后的括号内.
x0
,
y0 )
0
，则
f
y
(
x0
,
y0 )
0.
(B)
若
f
x
(
x0
,
y0 )
0
，则
f
y
(
x0
,
y0 )
0.
(C)
若
f
x
(
x0
,
y0 )
0
，则
f
y
(
x0
,
y0 )
0.
(D)
若
f
x
(
x0
,
y0 )
0
，则
f
y
(
x0
,
y0 )
0.
[ Ｄ]
【分析】 利用拉格朗日函数 F(x, y, ) f (x, y) (x, y) 在 (x0, y0, 0 )（ 0 是对应
.故应选（Ｂ）.
0 0 1
（13）设 A, B 为随机事件，且 P(B) 0, P(A | B) 1，则必有
(A) P( A B) P( A) (B) P(A B) P(B)
(C) P(A B) P(A)
(D) P(A B) P(B)
【分析】 利用事件和的运算和条件概率的概念即可.
【详解】 由题设，知 P( A | B) P( AB) 1，即 P(AB) P(A) . P(B)
t 0
1 t2
sin t t
1
lim
t 0
sin t t t3
lim
t 0
cost 1 3t 3
lim
t 0
sin t 6t
1 6
.
（利用了 sin x 的麦克劳林展开式）
(D) 若1,2, ,s 线性无关，则 A1, A2, , As 线性无关.
[C] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.
【详解】 记 B (1,2, ,s ) ，则 (A1, A2, , As ) AB .
所以，若向量组 1,2, ,s 线性相关，则 r(B) s ，从而 r(AB) r(B) s ，向量组
（ 8 ） 设 f (x, y) 为 连 续 函 数 ， 则
1
4 d f (r cos , r sin )rdr 等于
0
0
2
1 x2
（Ａ） 2 dx
f (x, y)dy .
0
x
2
1 x2
（B） 2 dx
f (x, y)dy .
0
0
2
1 y2
(C) 2 dy
f (x, y)dx .
0
y
2006 年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析
一、填空题：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.
（1） lim x ln(1 x) 2. x0 1 cos x
【分析】 本题为 0 未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可. 0
【详解】 lim x ln(1 x) lim x x 2 . x0 1 cos x x0 1 x2 2
因
lim
n
xn1 xn
xn2
lim
n
sin xn xn
xn2
，由（Ⅰ）知该极限为1
型，
令 t xn ，则 n ,t 0 ，而
1
lim
t 0
sin t
t
t
2
lim
t 0
1
sin t
t
1
1t2
lim
t 0
1
sin t
t
1
1
sin t
t
1
1 t2
sin t
t 1
1
，
又
lim
2
1 y2
(D) 2 dy
f (x, y)dx .
0
0
[ Ｃ]
【分析】 本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.
【详解】 由题设可知积分区域 D 如右图所示，显然是Y
型域，则
2
1 y2
原式 2 dy
f (x, y)dx .
0
y
故选（Ｃ）.
（9）若级数 an 收敛，则级数 n1
【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.
【详解】 由 f (x) 0, f (x) 0 知，函数 f (x) 单
[Ａ]
调增加，曲线 y f (x) 凹向，作函数 y f (x) 的图形如 右图所示，显然当 x 0 时，
y dy f (x0 )dx f (x0 )x 0 ，故应选(Ａ).
取 an
(1)n
1 n
，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；
取 an (1)n
1 ，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确. n
（10）设
f
(x,
y)与(x,
y)
均为可微函数，且
y
(
x,
y)
0 ，已知 (x0,
y0 ) 是
f
(x,
y)
在约
束条件(x, y) 0 下的一个极值点，下列选项正确的是
(A)
若
f
x
(
A1, A2, , As 也线性相关，故应选(Ａ).
（12）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的 1倍加到第 2
1 1 0
列得
C
，记
P
0
1
0
，则
0 0 1
（Ａ） C P1AP .
（Ｂ） C PAP1 .
（Ｃ） C PT AP .
（Ｄ） C PAPT .
（2） 微分方程 y y(1 x) 的通解是 y Cxex (x 0). x
【分析】 本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可
【详解】 原方程等价为
dy y
1 x
1 dx
，
两边积分得 ln y ln x x C1，整理得
y Cxex .（ C eC1 ）
（3）设 是锥面 z x2 y2 (0 z 1) 的下侧，则
（11）设1,2, ,s 均为 n 维列向量， A 为 m n 矩阵，下列选项正确的是
(A) 若1,2, ,s 线性相关，则 A1, A2, , As 线性相关.
(B) 若1,2, ,s 线性相关，则 A1, A2, , As 线性无关.
(C) 若1,2, ,s 线性无关，则 A1, A2, , As 线性相关.
（7）设函数 y f (x) 具有二阶导数，且 f (x) 0, f (x) 0 ，x 为自变量 x 在点 x0 处的
增量， y与dy 分别为 f (x) 在点 x0 处对应的增量与微分，若 x 0 ，则
(A) 0 dy y .
(B) 0 y dy .
(C) y dy 0 .
(D) dy y 0 .
函数 f (x, y) 1 是变量 y 的偶函数， 1 x2 y2
函数 g(x, y) xy 是变量 y 的奇函数. 1 x2 y2
则
D
1
1 x2
y2
dxdy
2
D1
1
1 x2
y2
dxdy
2
2 d
0
1r 0 1 r2
dr
ln 2
2
xy dxdy 0 ，
D 1 x2 y2
故
x0 , y0 的参数 的值）取到极值的必要条件即可.
【详解】作拉格朗日函数 F(x, y, ) f (x, y) (x, y) ，并记对应 x0, y0 的参数 的
值为 0 ，则
Fx( x0 , y0 , 0 )
0
，
即
f
x
(
x0
,
y0
)
0
x
(
x0
,
y0
)
0
.
Fy( x0 , y0 , 0 ) 0
P
X 1 1
1 1
P
Y
2
2
1 2
，
[D]
则
2
1 1
1
2
1 2
1，即
1 1
1 2
.
其中 (x) 是标准正态分布的分布函数.
又 (x) 是单调不减函数，则 1 1
1 2
，即 1
2.
故选(A).
三 、解答题：15－23 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分）
［Ｂ］
【分析】 利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】 由题设可得
1 1 0
1 1 0 1 1 0 1 1 0
B
0
1
0
A,
C
B
0
1
0
0
1
0
A
0
1
0
，
0 0 1
0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 1 0
而
P1
0
1
0
，则有
C
PAP1
xn2
.
【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列
极限的存在. （Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果.
【详解】 （Ⅰ）因为 0 x1 ，则 0 x2 sin x1 1 .
可推得 0 xn1 sin xn 1 , n 1, 2, ，则数列xn 有界.
f
y
(
x0
,
y0
)
0
y
(
x0
,
y0
)
0
消去 0 ，得
f
x
(
x0
,
y0
)
y
(
x0
,
y0 )
f
y
(
x0
,
y0
)
x
(
x0
,
y0 )
0
,
整理得
f
x
(
x0
,
y0
)
y
(
1 x0
,
y0 )
f
y
(
x0
,
y0
)
x
(
x0
,
y0
)
.（因为
y
(
x,
y)
0
），
若
f
x
(
x0
,
y0 )
0
，则
f
y
(
x0
,
y0 )
0 .故选（Ｄ）.
(A) an 收敛 . n1
（B） (1)n an 收敛. n1
(C)
anan1 收敛.
n1
(D) an an1 收敛.
n1
2
【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定.
[ Ｄ]
【详解】
由 an
n1
收敛知
n1
an1
收敛，所以级数
n1
an
an1 2
收敛，故应选(Ｄ).
或利用排除法：
[B]
又 P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A) .
故应选(Ｃ).
（14）设随机变量
X
服从正态分布
N (1,12 )
，Y
服从正态分布
N
(2
,
2 2
)
，且
则必有
P X 1 1 PY 2 1
(A) 1 2
(B) 1 2
(C) 1 2
(D) 1 2
【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】 由题设可得
于是
xn1 xn
sin xn xn
1，（因当 x
0时，sin x
x ）， 则有 xn1
xn ，可见数列xn 单
调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限
lim
n
xn
存在.
设 lim n
xn
l
，在
xn1
sin
xn 两边令 n ，得
l
sin l
，解得 l
0 ，即
lim
n
xn
0
.
1
1
（Ⅱ）
1
所以 xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy 2 .
（4）点 (2,1, 0) 到平面 3x 4y 5z 0 的距离 d 2 .
【分析】 本题直接利用点到平面距离公式
d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C2
进行计算即可. 其中 (x0, y0, z0 ) 为点的坐标， Ax By Cz D 0 为平面方程.