第六章 实数(讲义及答案)及解析
初中数学第六章 实数(讲义及答案)及答案
8．已知|x|＝2，y2＝9，且xy＜0，则x+y的值为（ ）
A．1或﹣1B．-5或5C．11或7D．-11或﹣7
9．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是 和﹣1，则点C所对应的实数是( )
A．1+ B．2+ C．2 ﹣1D．2 +1
24．定义：若两个有理数a，b满足a＋b＝ab，则称a，b互为特征数．
（1）3与互为特征数；
（2）正整数n(n＞1)的特征数为；（用含n的式子表示）
（3）若m，n互为特征数，且m＋mn＝－2，n＋mn＝3，求m＋n的值．
25．在已有运算的基础上定义一种新运算 ： ， 的运算级别高于加减乘除运算，即 的运算顺序要优先于 运算，试根据条件回答下列问题．
10．若a、b为实数，且满足|a－2|＋ ＝0，则b－a的值为( )
A．2B．0C．－2D．以上都不对
二、填空题
11．[x)表示小于x的最大整数，如[2.3)=2，[ 4)= 5，则下列判断：①[ )= ；②[x) x有最大值是0；③[x) x有最小值是 1；④x [x) x，其中正确的是__________（填编号）．
12．a是 的整数部分，b的立方根为-2，则a+b的值为________．
13．若 ，则mn的值为____.
14．若实数a、b满足 ，则 =_____．
15．对于有理数a，b，规定一种新运算：a※b=ab+b，如2※3=2×3+3=9．下列结论：①（﹣3）※4=﹣8；②若a※b=b※a，则a=b；③方程（x﹣4）※3=6的解为x=5；④（a※b）※c=a※（b※c）．其中正确的是_____（把所有正确的序号都填上）．
七年级初一数学第六章 实数知识归纳总结附解析
七年级初一数学第六章 实数知识归纳总结附解析一、选择题1．下列说法中正确的是（ ）A ．4的算术平方根是±2B ．平方根等于本身的数有0、1C ．﹣27的立方根是﹣3D ．﹣a 一定没有平方根2．圆的面积增加为原来的m 倍，则它的半径是原来的（ ）A ．m 倍B ．2m 倍C 倍D ．2m 倍3．下列命题中，真命题是（ ）A ．实数包括正有理数、0和无理数B ．有理数就是有限小数C ．无限小数就是无理数D ．无论是无理数还是有理数都是实数4．2-是（ ）A ．负有理数B ．正有理数C ．自然数D ．无理数 5．下列数中，有理数是（ ）A B ．﹣0.6 C ．2π D ．0．151151115… 6．若2a a a -=，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ）A ．原点左侧B ．原点或原点左侧C ．原点右侧D ．原点或原点右侧7．有四个有理数1，2，3，﹣5，把它们平均分成两组，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，规定：A ＝|1+3|+|2﹣5|，已知，数轴上原点右侧从左到右有两个有理数m 、n ，再取这两个数的相反数，那么，所有A 的和为（ ）A ．4mB ．4m +4nC ．4nD ．4m ﹣4n8．下列各数中，属于无理数的是（ ）A ．227B ．3.1415926C ．2.010010001D ．π3- 9．下列说法中不正确的是( )A ．是2的平方根B 2的平方根C ．2D ．2 10．估计20的算术平方根的大小在（ ）A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间 二、填空题11．定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，结果为3n+5；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2kn 为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n=26，则：若449n =，则第201次“F”运算的结果是 ．12．观察下列各式： 123415⨯⨯⨯+=； 2345111⨯⨯⨯+=； 3456119⨯⨯⨯+=；121314151a ⨯⨯⨯+=，则a =_____．13．对于三个数a ，b ，c ，用M{a ，b ，c}表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{－1，2，3}＝123433-++=，min{－1，2，3}＝－1，如果M{3，2x ＋1，4x －1}＝min{2，－x ＋3，5x}，那么x ＝_______.14．如果一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是______. 15．定义新运算a ☆b ＝3a ﹣2b ，则（﹣2）☆1＝_____．16．规定用符号[]x 表示一个实数的整数部分，如[3.65]3,31⎡==⎣，按此规定113⎡=⎣_____． 17．34330035.12=30.3512x =-，则x =_____________．18．下列说法： ()210-10-=；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________19．任何实数，可用[a]表示不超过a 的最大整数如[4]＝4，5＝2，现对72进行如下操作：72[72]8[8]2[2]1→=→=→=，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对正整数x 只进行3次操作后的结果是1，则x 在最大值是_____． 20．如果36a =b 7的整数部分，那么ab =_______．三、解答题21．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①3310001000000100==，又1000593191000000<<，31059319100∴<<，∴能确定59319的立方根是个两位数．②∵59319的个位数是9，又39729=，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，<<34<<，可得3040<<，由此能确定59319的立方根的十位数是3因此59319的立方根是39．（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．①它的立方根是_______位数．②它的立方根的个位数是_______．③它的立方根的十位数是__________．④195112的立方根是________．（2）请直接填写．．．．结果：=________．=________．22．定义：如果2b n =，那么称b 为n 的布谷数，记为()b g n =.例如：因为328=，所以()3(8)23g g ==， 因为1021024=，所以()10(1024)210g g ==. （1）根据布谷数的定义填空：g （2）=________________,g （32）=___________________. （2）布谷数有如下运算性质：若m ，n 为正整数，则()()()=+g mn g m g n ，()()m g g m g n n ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 根据运算性质解答下列各题：①已知(7) 2.807g =，求 (14)g 和74g ⎛⎫⎪⎝⎭的值； ②已知(3)g p =.求(18)g 和316g ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 23．观察下列等式： ①111122=-⨯， ②1112323=-⨯， ③1113434=-⨯. 将以上三个等式两边分别相加，得1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯. （1）请写出第④个式子 （2）猜想并写出：1n(n 1)+= ． （3）探究并计算：111244668+++⨯⨯⨯ (1100102)⨯. 24．我们规定：a p -＝1p a （a ≠0），即a 的负P 次幂等于a 的p 次幂的倒数．例：24-＝214 （1）计算：25-＝__；22-（﹣）＝__；（2）如果2p -＝18，那么p ＝__；如果2a -＝116，那么a ＝__； （3）如果a p -＝19，且a 、p 为整数，求满足条件的a 、p 的取值．25．z 是64的方根，求x y z -+的平方根26．对非负实数x “四舍五入”到各位的值记为x <>.即:当n 为非负整数时，如果12n x -≤<1n 2+，则x n <>=；反之，当n 为非负整数时，如果x n <>=，则1122n x n -<+≤． 例如： 00.480<>=<>=，0.64 1.491, 3.5 4.124<>=<>=<>=<>=．（1）计算： 1.87<>= ；= ；（2）①求满足12x <->=的实数x 的取值范围， ②求满足43x x <>=的所有非负实数x 的值； （3）若关于x 的方程21122a x x -<>+-=-有正整数解，求非负实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案.【详解】解：A 、4的算术平方根是2，故A 错误；B 、平方根等于本身的数是0，故B 错误；C 、(-3)3=-27，所以-27的立方根是-3，故C 正确；D 、﹣a 大于或等于0时，可以有平方根，故D 错误.故选：C.【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义，熟记定义是解决此题的关键.注意平方根和算术平方根的异同.2．C解析：C【分析】设面积增加后的半径为R，增加前的半径为r，根据题意列出关系式计算即可．【详解】设面积增加后的半径为R，增加前的半径为r，根据题意得：πR2=mπr2，∴，故选：C．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要注意，圆的面积和半径之间是平方关系而非正比例关系．3．D解析：D【分析】直接利用实数以及有理数、无理数的定义分析得出答案．【详解】A、实数包括有理数和无理数，故此命题是假命题；B、有理数就是有限小数或无限循环小数，故此命题是假命题；C、无限不循环小数就是无理数，故此命题是假命题；D、无论是无理数还是有理数都是实数，是真命题．故选：D．【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键．4．A解析：A【解析】【分析】由于开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，根据有理数和无理数的定义及分类作答．【详解】∵2-是整数，整数是有理数，∴D错误；∵2-小于0，正有理数大于0，自然数不小于0，∴B、C错误；∴2-是负有理数，A正确．故选：A．【点睛】本题考查了有理数和实数的定义及分类，其中开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．5．B解析：B【分析】根据有理数的定义选出即可．【详解】解：A是无理数，故选项错误；B、﹣0.6是有理数，故选项正确；C、2π是无理数，故选项错误；D、0．l51151115…是无理数，故选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了实数，注意有理数是指有限小数和无限循环小数，包括整数和分数．6．B解析：B【分析】根据非正数的绝对值是它的相反数，可得答案．【详解】解：由a-|a|=2a，得|a|=-a，故a是负数或0，∴实数a在数轴上的对应点在原点或原点左侧故选：B．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用了非负数的绝对值，非正数与数轴的关系：非正数位于原点及原点的左边．7．C解析：C【分析】根据题意得到m，n的相反数，分成三种情况⑴m，n；-m，-n ⑵m，-m；n，-n ⑶m，-n；n，-m 分别计算，最后相加即可.【详解】解：依题意，m，n（m＜n）的相反数为﹣m，﹣n，则有如下情况：m，n为一组，﹣m，﹣n为一组，有A＝|m+n|+|（﹣m）+（﹣n）|＝2m+2nm，﹣m为一组，n，﹣n为一组，有A＝|m+（﹣m）|+|n+（﹣n）|＝0m，﹣n为一组，n，﹣m为一组，有A＝|m+（﹣n）|+|n+（﹣m）|＝2n﹣2m所以，所有A的和为2m+2n+0+2n﹣2m＝4n故选：C．【点睛】本题主要考查了新定义的理解，注意分类讨论是解题的关键.8．D解析：D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A、227是有理数，故选项A不符合题意；B、3.1415926是有理数，故选项B不符合题意；C、2.010010001是有理数，故选项C不符合题意；D、π3是无理数，故选项D题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．9．C解析：C【详解】解：A. 是2的平方根，正确；是2的平方根，正确；C. 2的平方根是±，故原选项不正确；D. 2，正确．故选C．10．C解析：C【解析】试题分析：∵16＜20＜25，∴∴4＜5．故选C．考点：估算无理数的大小．二、填空题11．．【详解】第一次：3×449+5=1352，第二次：，由题意k=3时结果为169；第三次：3×169+5=512，第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；第五次：1×3+5解析：8．【详解】第一次：3×449+5=1352，第二次：13522k，由题意k=3时结果为169；第三次：3×169+5=512，第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；第五次：1×3+5=8；第六次：82k，因为8是2的3次方，所以k=3，计算结果是1，此后计算结果8和1循环．因为201是奇数，所以第201次运算结果是8．故答案为8．12．181【分析】观察各式得出其中的规律，再代入求解即可．【详解】由题意得将代入原式中故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．解析：181【分析】观察各式得出其中的规律，再代入12n=求解即可．【详解】由题意得()31n n=⨯++将12n=代入原式中12151181a==⨯+=故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．13．或【解析】【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.【详解】M{3，2x＋1，4x－1}==2x+1解析：12或13【解析】【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.【详解】M{3，2x＋1，4x－1}=321413x x+++-=2x+1，∵M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，∴有如下三种情况：①2x+1=2，x=12，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，52，52}=2，成立；②2x+1=-x+3，x=23，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，73，103}=2，不成立；③2x+1=5x，x=13，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，83，53}=53，成立，∴x=12或13，故答案为12或13.【点睛】本题考查了阅读理解题，一元一次方程的应用，分类讨论思想的运用等，解决问题的关键是读懂题意，依题意分情况列出一元一次方程进行求解．14．0【解析】试题解析：平方根和它的立方根相等的数是0．解析：0【解析】试题解析：平方根和它的立方根相等的数是0．15．﹣8【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【详解】解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（−2）−2×1＝−6−2＝−8，故答案为−8.【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解析：﹣8【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【详解】解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（−2）−2×1＝−6−2＝−8，故答案为−8.【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．16．-3【分析】先确定的范围，再确定的范围，然后根据题意解答即可．【详解】解：∵3＜＜4∴-3＜＜-2∴-3故答案为-3．【点睛】本题考查了无理数整数部分的有关计算，确定的范围是解答本解析：-3【分析】1⎡⎣的范围，然后根据题意解答即可．【详解】解：∵34∴-3＜1--2∴1⎡=⎣-3故答案为-3．【点睛】17．－0.0433【分析】三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添解析：－0.0433【分析】三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添加了“－”∴根据规律，三次根式内的式子应该缩小1000000倍，且添加“－”故答案为：－0.0433【点睛】本题考查三次根式的规律，二次根式规律类似：二次根号内的式子扩大或缩小100倍，则得到的结果扩大或缩小10倍．18．2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即解析：2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即可判断．【详解】=，故①错误；①10②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；故原说法错误；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法错误；与的和是0，是有理数，故说法错误；⑥无理数都是无限小数，故说法正确．故正确的是②⑥共2个．故答案为：2个．此题主要考查了有理数、无理数、实数的定义及其关系．有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无π也是无理数． 19．255【分析】根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可．【详解】解：∵，，，∴只解析：255【分析】根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可．【详解】解：∵1=，3=，15=，∴只进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为：255．【点睛】本题考查了估算无理数大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力． 20．12【分析】先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】，即的整数部分是2，即则故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的解析：12先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】6a ==479<<<<23<<∴的整数部分是2，即2b =则6212ab =⨯=故答案为：12．【点睛】本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b 的值是解题关键．三、解答题21．（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56．【分析】（1）①根据例题进行推理得出答案；②根据例题进行推理得出答案；③根据例题进行推理得出答案；④根据②③得出答案；（2）①先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论； ②先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论.【详解】（1）①31000100==，10001951121000000<< ，∴10100<<，∴能确定195112的立方根是一个两位数，故答案为：两；②∵195112的个位数字是2，又∵38512=，∴能确定195112的个位数字是8，故答案为：8；③如果划去195112后面三位112得到数195，<<∴56<<，可得5060<<，由此能确定195112的立方根的十位数是5，故答案为：5；④根据②③可得：195112的立方根是58，故答案为：58；（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，∴13824的立方根是24，故答案为：24；②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，∴175616的立方根是56，故答案为：56.【点睛】此题考查立方根的性质，一个数的立方数的特点，正确理解题意仿照例题解题的能力，掌握一个数的立方数的特点是解题的关键.22．（1）1；5；（2）①3.807，0.807；②12p +；4p -.【分析】（1）根据布谷数的定义把2和32化为底数为2的幂即可得出答案；（2）①根据布谷数的运算性质, g （14）=g （2×7）=g （2）+g （7），7(7)(4)4g g g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再代入数值可得解； ②根据布谷数的运算性质, 先将两式化为2(18)(2)(3)g g g =+，3()(3)(16)16g g g =-，再代入求解.【详解】解：（1）g （2）=g （21）=1，g （32）=g （25）=5；故答案为1，32；（2）①g （14）=g （2×7）=g （2）+g （7），∵g （7）=2.807，g （2）=1，∴g （14）=3.807；7(7)(4)4g g g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭g （4）=g （22）=2， ∴74g ⎛⎫ ⎪⎝⎭=g （7）-g （4）=2.807-2=0.807； 故答案为3.807，0.807；②∵()3g p =.∴22(18)(23)(2)(3)12g g g g p =⨯=+=+； 3()(3)(16)416g g g p =-=-. 【点睛】本题考查有理数的乘方运算，新定义；能够将新定义的运算转化为有理数的乘方运算是解题的关键．23．（1）1114545=-⨯；（2）111(1)1n n n n =-++；（3）2551． 【解析】试题分析：（1）规律：相邻的两个数的积的倒数等于它们的倒数的差，故第四个式子为：1114545=-⨯； （2）根据以上规律直接写出即可；（3）各项提出12之后即可应用（1）中的方法进行计算． 解：（1）答案为：1114545=-⨯； （2）答案为：()11111n n n n =-++； （3）111244668+++⨯⨯⨯ (1100102)⨯ =12×（111122334++⨯⨯⨯+…+15051⨯） =12×5051=2551. 点睛：本题是一道找规律问题.解题的重点要根据所给式子中的数字变化归纳出规律，而难点在于第（3）问中要灵活应用所总结出来的公式.24．（1）125；14；（2）3；±4．（3）当a ＝9时，p ＝1；当a ＝3时，p ＝2；当a ＝﹣3时，p ＝2.【分析】（1）根据题意规定直接计算.（2）将已知条件代入等式中，倒推未知数.（3）根据定义，分别讨论当a 为不同值时，p 的取值即可解答.【详解】解：（1）5﹣2＝125；（﹣2）﹣2＝14； （2）如果2﹣p ＝18，那么p ＝3；如果a ﹣2＝116，那么a ＝±4； （3）由于a 、p 为整数，所以当a ＝9时，p ＝1；当a ＝3时，p ＝2；当a ＝﹣3时，p ＝2．故答案为（1）125；14；（2）3；±4．（3）当a ＝9时，p ＝1；当a ＝3时，p ＝2；当a ＝﹣3时，p ＝2.【点睛】 本题考查新定义，能够理解a 的负P 次幂等于a 的p 次幂的倒数这个规定定义是解题关键.25．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出x 、y 的值，然后求出z 的值，再根据平方根的定义解答．【详解】，∴x+1=0,2-y=0，解得x=-1，y=2，∵z 是64的方根，∴z=8所以，x y z -+=-1-2+8=5，所以，x y z -+的平方根是【点睛】此题考查非负数的性质，相反数，平方根的定义，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．26．（1）2，3 （2）①5722x ≤<②330,,42（3）00.5a ≤< 【分析】（1）根据新定义的运算规则进行计算即可；（2）①根据新定义的运算规则即可求出实数x 的取值范围；②根据新定义的运算规则和43x 为整数，即可求出所有非负实数x 的值； （3）先解方程求得22x a =-<>，再根据方程的解是正整数解，即可求出非负实数a 的取值范围．【详解】（1） 1.87<>=2；=3；（2）①∵12x <->= ∴1121222x --<+≤解得5722x ≤<； ②∵43x x <>=∴41413232x x x -<+≤ 解得3322x -<≤ ∵43x 为整数 ∴333,0,,442x =- 故所有非负实数x 的值有330,,42； （3）21122a x x -<>+-=- 1241a x x -<>+-=-22x a =-<>∵方程的解为正整数∴21a -<>=或2①当21a -<>=时，2x =是方程的增根，舍去 ②当22a -<>=时，00.5a ≤<．【点睛】本题考查了新定义下的运算问题，掌握新定义下的运算规则是解题的关键．。
七年级数学下册第六章实数知识集锦(带答案)
七年级数学下册第六章实数知识集锦单选题1、如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数−1，1，2，3，则表示数4−√11的点应在（）A．A，O之间B．B，C之间C．C，D之间D．O，B之间答案：D分析：先估算出4−√11的值，再确定出其位置即可．解：∵9＜11＜16，∴3＜√11＜4，∴−4＜−√11＜−3，∴4−4＜4−√11＜4−3，即0＜4−√11＜1∴表示数4−√11的点应在O，B之间．故选：D．小提示：本题考查的是实数与数轴．熟知实数与数轴上各点是一一对应关系，能够正确估算出√11的值是解答此题的关键．2、若一个正方形的面积是12，则它的边长是（）A．2√3B．3C．3√2D．4答案：A分析：根据正方形的面积公式即可求解．解：由题意知：正方形的面积等于边长×边长，设边长为a，故a²=12，∴a=±2√3，又边长大于0∴边长a=2√3．故选：A．小提示：本题考查了正方形的面积公式，开平方运算等，属于基础题．3、对多项式x−y−z−m−n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：(x−y)−(z−m−n)=x−y−z+m+n，x−y−(z−m)−n=x−y−z+m−n，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3答案：D分析：给x−y添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得x的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．解：∵(x−y)−z−m−n=x−y−z−m−n∴①说法正确∵x−y−z−m−n−x+y+z+m+n=0又∵无论如何添加括号，无法使得x的符号为负号∴②说法正确③第1种：结果与原多项式相等；第2种：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n；第3种：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n；第4种：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n；第5种：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n；第6种：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n；第7种：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n；第8种：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n；故③符合题意；∴共有8种情况∴③说法正确∴正确的个数为3故选D ．小提示：本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．4、已知min {a,b,c }表示取三个数中最小的那个数，例加：min{−1,−2,−3}=−3，当min{√x,x 2,x}=181时，则x 的值为（ ）A ．181B ．127C ．13D ．19 答案：D分析：根据题意可知√x,x 2,x 都小于1且大于0，根据平方根求得x 的值即可求解．解：∵min{√x,x 2,x}=181∴√x,x 2,x 都小于1且大于0∴x 2<x <√x∴x 2=181∴x =19（负值舍去）故选D小提示：本题考查了求一个数的平方根，判断√x,x 2,x 的范围是解题的关键．5、定义：若10x =N ，则x =log 10N ，x 称为以10为底的N 的对数，简记为lgN ，其满足运算法则：lgM +lgN =lg(M ⋅N)(M >0,N >0)．例如：因为102=100，所以2=lg100，亦即lg100=2；lg4+lg3=lg12．根据上述定义和运算法则，计算(lg2)2+lg2⋅lg5+lg5的结果为（ ）A ．5B ．2C ．1D ．0答案：C分析：根据新运算的定义和法则进行计算即可得．解：原式=lg2⋅(lg2+lg5)+lg5，=lg2⋅lg10+lg5，=lg2+lg5，=1，故选：C．小提示：本题考查了新定义下的实数运算，掌握理解新运算的定义和法则是解题关键．6、在四个实数−2，0，−√3，−1中，最小的实数是（）A．−2B．0C．−√3D．−1答案：A分析：根据实数比较大小的方法直接求解即可．解：∵−2<−√3<−1<0，∴四个实数−2，0，−√3，−1中，最小的实数是−2，故选：A．小提示：本题考查了有理数大小比较：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．7、下列说法正确的是（）A．−81平方根是−9B．√81的平方根是±9C．平方根等于它本身的数是1和0D．√a2+1一定是正数答案：D分析：A、根据平方根的概念即可得到答案；B、√81的平方根其实是9的平方根；C、平方根等于它本身的数与算术平方根是它本身的数要分清楚；D、先判断出a2+1>0，再利用算术平方根的性质直接得到答案．A、−81是负数，负数没有平方根，不符合题意；B、√81=9，9的平方根是±3，不符合题意；C、平方根等于它本身的数是0，1的平方根是±1，不符合题意；D、a2+1>0，正数的算术平方根大于0，符合题意．小提示：此题考查了平方根及算术平方根的定义及性质，熟练掌握相关知识是解题关键．8、按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（）A．m=1，n=1B．m=1，n=0C．m=1，n=2D．m=2，n=1答案：D分析：逐项代入，寻找正确答案即可.解：A选项满足m≤n，则y=2m+1=3；B选项不满足m≤n，则y=2n-1=-1；C选项满足m≤n，则y=2m+1=3；D选项不满足m≤n，则y=2n-1=1；故答案为D；小提示：本题考查了根据条件代数式求值问题，解答的关键在于根据条件正确地代入代数式及代入的值.9、−√64的立方根等于（）A．−8B．−4C．−2D．±2答案：C分析：先求出−√64=−8，再求出-8的立方根即可得．3=−2，解：∵−√64=−8，√−8∴−√64的立方根等于-2，故选：C．小提示：本题考查了立方根的意义，解题的关键是掌握立方根．10、下列说法正确的是（）A．－4是（－4）2的算术平方根B．±4是（－4）2的算术平方根C．√16的平方根是－2D．－2是√16的一个平方根答案：D分析：根据算术平方根、平方根的定义逐项判断即可得．A、(−4)2=16，16的算术平方根是4，则此项错误，不符题意；B、(−4)2=16，16的算术平方根是4，则此项错误，不符题意；C、√16=4，4的平方根是±2，则此项错误，不符题意；D、√16=4，4的平方根是±2，则−2是√16的一个平方根，此项正确，符合题意；故选：D．小提示：本题考查了算术平方根、平方根，掌握理解定义是解题关键．填空题11、根据图中呈现的运算关系，可知a=______，b=______．答案：－2020 －2020分析：根据立方根和平方根的定义进行求解即可．解：∵2020的立方根是m，a的立方根是-m，∴m3=2020，∴(−m)3=−m3=−2020，∴a=−2020；∵n的两个平方根分别为2020、b，∴b =−2020，所以答案是：-2020，-2020．小提示：本题主要考查了平方根和立方根，熟知二者的定义是解题的关键．12、比较大小：√22______√33（填写“>”或“<”或“＝”）．答案：＞分析：比较两者平方后的值即可．解：∵(√22)2=12，(√33)2=13，∵12>13， ∴ √22>√33． 所以答案是：>．小提示：本题考查了实数的大小比较，解题的关键是灵活变通，比较两者平方后的结果．13、写出一个比√2大且比√15小的整数______．答案：2（或3）分析：先分别求出√2与√15在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案．∵1＜√2＜2，3＜√15＜4，∴比√2大且比√15小的整数是2或3．所以答案是：2（或3）小提示：本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数的估算的知识，分别求出√2与√15在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键．14、若√a +13与√a 2−53互为相反数，则a 3+5a 2﹣4的值为 _____．答案：12分析：先根据相反数的定义得√a +13+√a 2−53＝0，再利用立方根的意义进行整理，最后利用整体代入的方法即可求得答案 ．解：由题意得：√a +13+√a 2−53=03∴√a+13=−√a2−5∴a+1＝﹣（a2﹣5）．∴a2+a＝4．∴a3+a2＝4a．∴a3＝﹣a2+4a．∴a3+5a2﹣4＝﹣a2+4a+5a2﹣4＝4a2+4a﹣4＝4（a2+a）﹣4＝4×4﹣4＝12．所以答案是：12.小提示：本题考查的相反数的应用，立方根的应用，解题的关键是在于整理出所需形式，利用整体代入求解．15、若实数a的立方等于27，则a=________．答案：3分析：根据立方根的定义即可得．3=3，解：由题意得：a=√27所以答案是：3．小提示：本题考查了立方根，熟练掌握立方根的运算是解题关键．解答题16、据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题：(1)已知x3=10648，且x为整数．∵1000=103<10648<1003=1000000，∴x一定是一个两位数；∵10648的个位数字是8，∴x的个位数字一定是______；划去10648后面的三位648得10，∵8=23<10<33=27，∴x的十位数字一定是______；∴x=______．(2)y3=614125，且y为整数，按照以上思考方法，请你求出y的值．答案：(1)2#，2#，22#(2)y=85分析：（1）根据立方根的定义和题意即可得出答案；（2）根据（1）中的方法计算书写即可得出结果．（1）解：∵x3=10648，且x为整数．∵1000=103<10648<1003=1000000，∴x一定是一个两位数；∵10648的个位数字是8，∴x的个位数字一定是2；划去10648后面的三位648得10，∵8=23<10<33=27，∴x的十位数字一定是2；∴x=22．所以答案是：2，2，22．（2）∵1000=103<614125<1003=100000，∴y一定是两位数；∵614125的个位数字是5，∴y的个位数字一定是5；划去614125后面的三位125得614，∵512=83<614<93=729，∴y的十位数字一定是8；∴y=85．小提示：本题考查立方根，灵活运用立方根的计算是解题的关键．17、如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到如图（2）的大正方形．问题发现若大正方形的面积为32cm2，则小正方形的面积是__________cm2，边长为___________cm；知识迁移某兴趣小组想将图（1）中的一个小正方形纸片，沿与边平行的方向剪裁出面积为12cm2，且长宽之比为3∶2的长方形纸片．兴趣小组能否剪裁出符合要求的长方形纸片？请说明理由．拓展延伸如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．答案：问题发现：小正方形的面积为16cm2，边长为4cm知识迁移：不能裁出符合要求的长方形纸片拓展延伸：能把它剪开并拼成一个大正方形，示意图见解析，大正方形边长为√5分析：问题发现：先求出小正方形的面积，再根据正方形的面积等于边长的平方求边长；知识迁移：设长和宽分别为3x、2x，利用面积列方程，最后检验即可；拓展延伸：新的大正方形面积为5，则边长为√5，可以把它剪开并拼成一个大正方形．问题发现：小正方形的面积为32÷2=16cm2，∴小正方形的边长为4cm．所以答案是：16；4．知识迁移：设长和宽分别为3x、2x，由题意得：3x⋅2x=12，整理得：x2=2，∵实际问题x为正数，∴x=√2，∴长方形的长为3x=3√2≈5.19>4，即裁剪后的长方形的长大于小正方形的边长，∴不能裁出符合要求的长方形纸片．拓展延伸：能把它剪开并拼成一个大正方形，裁剪示意图如图所示：∵原图形的面积是5，∴裁剪后的正方形面积也是5，∴大正方形边长为√5．小提示：本题考查了算术平方根的实际应用、正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．18、求下列式子中的x ：(1)25(x ﹣35)2＝49；(2)12(x +1)2＝32． 答案：(1)x 1＝2，x 2＝−45(2)x 1＝7，x 2＝﹣9分析：（1）两边同时除以25，再开平方解一元一次方程即可；（2）方程两边同时乘以2，再开平方解一元一次方程即可．（1）解： 25（x ﹣35）2＝49，（x ﹣35）2＝4925， x ﹣35＝±75，x ﹣35＝75或x ﹣35＝﹣75，解得：x 1＝2，x 2＝−45；（2）12（x +1）2＝32， （x +1）2＝32×2，（x +1）2＝64， x +1＝±8，x +1＝8或x +1＝﹣8，解得：x 1＝7，x 2＝﹣9．小提示：此题考查了利用平方根定义解方程，正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键．。
七年级初一数学 第六章 实数(讲义及答案)及解析
七年级初一数学 第六章 实数(讲义及答案)及解析一、选择题1．下列说法中正确的是（ ）A ．若a a =，则0a >B ．若22a b =，则a b =C ．若a b >，则11a b> D ．若01a <<，则32a a a << 2．下列计算正确的是（ ）A ．42=±B ．1193±=C ．2(5)5-=D ．382=± 3．已知280x y -++=，则x y +的值为( ) A ．10B ．-10C ．-6D ．不能确定 4．下列说法正确的是 （ ） A ．m -一定表示负数B ．平方根等于它本身的数为0和1C ．倒数是本身的数为1D ．互为相反数的绝对值相等 5．在下列结论中，正确的是（ ）.A ．255-44=±（） B ．x 2的算术平方根是xC ．平方根是它本身的数为0，±1D ．64 的立方根是2 6．让我们轻松一下，做一个数字游戏．第一步：取一个自然数n 1＝5，计算n 12+1得a 1；第二步：算出a 1的各位数字之和得n 2，计算n 22+1得a 2；第三步：算出a 2的各位数字之和得n 3，计算n 32+1得a 3；……依此类推，则a 2018的值为（ ）A ．26B ．65C ．122D ．1237．若320,a b -++=则+a b 的值是（ ）A ．2B 、1C 、0D 、1-8．如图，若实数m ＝﹣7+1，则数轴上表示m 的点应落在（ ）A ．线段AB 上B ．线段BC 上 C ．线段CD 上 D ．线段DE 上 9．下列各数中，介于6和7之间的数是( )A 43B 50C 58D 33910．下列判断正确的有几个（ ）①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；②实数包括无理数和有理数；333的立方根；④无理数是带根号的数；⑤22．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题11．写出一个3到4之间的无理数____．12．m 的平方根是n +1和n ﹣5；那么m +n ＝_____．13．观察下列算式： ①246816⨯⨯⨯+＝2(28)⨯＋16＝16＋4＝20；②4681016⨯⨯⨯+＝2(410)⨯＋16＝40＋4＝44；… 根据以上规律计算：3032343616⨯⨯⨯+＝__________14．按一定规律排列的一列数依次为：2-，5，10-，17，26-，，按此规律排列下去，这列数中第9个数及第n 个数（n 为正整数）分别是__________．15．一个数的立方等于它本身，这个数是__．16．已知：103＜157464＜1003；43＝64；53＜157＜63，则 315746454=，请根据上面的材料可得359319=_________．17．49的平方根是________,算术平方根是______,-8的立方根是_____.18．下列说法： ① ()210-10-=；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________19．若2x -+|2﹣x|＝x+3，则x 的立方根为_____．20．如图，直径为1个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点'O ，则点'O 对应的数是_______．三、解答题21．观察下列计算过程，猜想立方根．13=1 23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729（1）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为 ，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为 ，验证得19683的立方根是（2）请你根据（1）中小明的方法，猜想 ; .请选择其中一个立方根写出猜想、验证过程。
人教版七年级下册第六章实数第一讲平方根讲义(解析版)
实数第一讲平方根【学习目标】1. 了解平方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根.2. 了解开方与乘方互为逆运算,会用开方运算求某些非负数的平方根,会用计算器求平方根. 考点一、算术根知识讲解定义：如果一个正数x的平方等于a ,即x2 a ,那么这个正数x叫做a的算术平方根;a的算术平方根记作几,读作“ a的算术平方根〞,a 补充:1 .当式子V a有意义时,a 一定表示一个非负数,即2 .规定0的算术平方根还是0.3 .算术平方根等于他自己本身的有0和1.课堂稳固1 .以下说法正确的选项是〔〕C.由于〔±5〕2=25所以5和-5者B是25的算术平方根.D.以上说法都不对.【答案】A2 .以下各式正确的选项是3 .算术平方根等于它本身的数是【答案】0和1例2.求以下各数的算术平方根叫做被开方数. n >0, a >0.典型例题例1.以下说法正确的选项是〔A.0的算术平方根是0C. 士是9的算术平方根【答案】A 〕B.9是3的算术平方根D.-3是9的算术平方根A.由于52 =25,所以B.由于〔-5〕2=25,所以5是-5是2525的算术平方根.的算术平方根.A 3= 3B. 32= 3 C.、32= 3(1) 100 (2) 0.04 (3)1681(4) (5) 0 (6 ) 10【答案】2,-3 例3.估计与 底 最接近的整数 【答案】6【解析】解：: 25V35V36,25 35 36即5V 扁＜6 .「35比拟接近36,・•. J 35最接近的整数是6.课堂同步1 .估计商的值在〔〕A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间 【答案】C2..估计与1 芯 最接近的整数【答案】〔1〕 10 〔2〕 0.2 (3)(4) 2 (5) 0(6) 1W课堂稳固1.求以下各数的算术平方根 (1) 121(2) 169(3)9 64(4 )1 121(5) 0.01 (6)【答案】〔1〕 11 (2) 13 (3)(4) 111⑸0.1(6) (7 )2.求以下各式的值(1) J000000(3) ,0.81 .. 0.04(4) ,412 402【答案】1000 (2)(3) 0.7 (4) 9【点睛】算术平方根为正数3. , 〔 4〕2的算术平方根是;病的算术平方根的相反数是(2 )5163.比拟以下各数的大小综上,a +b=12 ,7课堂稳固1 .出5的整数局部是a ,小数局部是 b,求a2 b 的值.【答案】20 .. 35解析:国为5<序<6.所以后的第数局部是5,即所以后的小数局部是库-5. 即b 二—5,所以/+小=5± +J^-5 = 20+2 .设4 限4 76的小数局部分别为a, b,求a +b 的值.【答案】1解析：由于2V R<3,所以4十几的整数局部是6,小数局部是4 + J5—6 =&—2. 即n =几一2,由于1<4 —疾］2 ,所以4一次的整数局部是1,小数局部是4 — — 1 — 3 — -^6 , b — 3 - b 所以 A + /> — ,%/6 —2 + 3 — — 1(1)炉与 g(2)衽与" (3) 5 与 J 24(4)金与02 2【答案】〔1〕而<幅〔2〕非> 币 〔3〕 5>V 24【解析】〔4〕 Q 庖4;724 1 3;那么疝1>322(4)'.五 1 322例4."7的a , 7 币的小数局部是b,求a +b 的值【答案】a +b=12 ,7 【解析】Q2 " 3,用的整数局部是2 ；"7的整数局部是9 ；即a =9Q4 7.7 5, 7 ,.7的小数局部是7 77 4=3 V 7 ；即 b=3 日.3 .：m 与n 互为相反数,c 与d 互为倒数,a 是 强 的整数局部,那么 \ cd 2 m n a 的值是【答案】-1解H 心由于m 与n 互为相反数.所以加斗注二°：出为.与d 互为例数,所以〃二1；因 为2V 旧<3,所以行的整数局部是 2 ,即白:2 , 所以 Ted + 2(m + ?r) - A - 1 + 2 x 0 - 2 - -1例5 (1)使代数式 必F 有意义的x 的取值范围是 【答案】x > 1;【解析】X + 1 >0,解得x > 1 .【点睛】当式子 指有意义时,a 一定表示一个非负数,即 ja >0, a >0.2021,一 .......... 一 一 - X ⑵假设x, y 为实数,且| x +1| + Jy 1 =0,那么一 的值是()yA.0B.1C. -1D. —2021【答案】C;2021x【解析】x + 1 = 0, y — 1 = 0,解得 x = — 1 ； y=1.—=- 1.y2(3)y J x 7V 7 x 9,求xy 64 的算术平方根.【答案】1旧—64/=(7乂9 —64『=1 ,其R 术平方根为1,故(◎ —64)」的算术平方根为1课堂稳固 2----------1 . x 8 J y 4 0,那么 xy【答案】-322 . y V x _2 J 2 x 2x ,贝U x y =v-2^0答案哪：根据被开方数为非负数.得A -7>0〞心..踊凯=7解析:根据被开方数为非负数,W l2-.T>O1解狎?=2.故1 = 4,所以工二2」=163 .Ji 3a和8b 3互为相反数,求ab 2的值.64解析：由于与।8卜一3」互为相反数,所以,田+|86-"二0,被开方数和绝对值都工--. ( v_ J 力_ 1是非负数.得Mb-3」.,斛得1b・最所以便'3X8)<54例6按要求填空填表(2)根据你发现的规律填空：J72=2.638 ,那么720==; 00.00072=70.0038=0.06164 ,361.64,那么x=【答案】【总结】被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位课堂同步1 /3.456=L 859 ,由4.56二5, 739 ,那么0345600=.【答案】578.9 ;【解析】解：: 丁34.56=5. 789,,而嬴而=578.9 .故答案为：578.9 .2 .J5.217 2.284,7521.7 22.84.填空：1 ,0.05217 1 52170(2)假设而 0.02284,那么 x【答案】(1 ) 0.2284,228.4(2) 0.0005217【点睛】被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位.例如：J62500 250 , 底5 25,褥25 2.5 , J0.0625 0.25.考点二、平方根 知识点讲解定义：如果x 2 a ,那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方.平方 与开平方互为逆运算.a ( a >0)的平方根的符号表达为 Va(a 0),其中 Q 是a 的算术平方根.平方根和算术平方根的区别与联系1 .区别：(1)定义不同；(2)结果不同：ja 和j a2 .联系：(1)平方根包含算术平方根；(2)被开方数都是非负数；3 3) 0的平方根和算术平方根均为 0.补充：(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术平方根；负 数没有平方根.(2)正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方 根.因此,我们可以利用算术平方根来研究平方根 a a 0 0 a 0 aa 0a 0典型例题例1、以下说法错误的选项是()A.5是25的算术平方根B.l 2 __ _ _______C. 4 的平万根是一4D.0【答案】C;【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项.A.由于,25 =5,所以本说法正确;B.由于土 J i =± 1,所以l 是l 的一个平方根说法正确;C.由于土 4 42=±方6 = ±4,所以本说法错误;平方根的性质是l 的一个平方根的平方根与算术平方根都是 0D.由于J0=0, J0=0,所以本说法正确;课堂稳固1 .判断以下各题正误,并将错误改正：(1) 9没有平方根.( )⑵田6 4.( ),、,1、2 ,一、… 1 ' 、(3)( --------- )的平方根—.( )10 102 1 4 ,一, 一、,(4) 一是—的算术平方根.( )5 25【答案】,；x; V；乂,【点睛】被开方数都是非负数2、填空：(1) 4是的负平方根.(2) J工表示的算术平方根,..16 ------ - 16 ------(3) J—的算术平方根为.81 ------(4)假设豉3,那么X ,假设& 3,那么X .111【答案】(1)16 ; (2) —; - (3) - (4) 9 ; ±316 4 3例2以下各数有平方根的是()A 1 3B. .4 C.m2 1 D.a2【答案】D课堂稳固判断以下各数是否有平方根,假设有,求其平方根,假设没有,请说明理由2 2 2 (1) 3 (2) 4 (3) 625 (4) a 1【答案】(1) Y (-3> =9>.,,(凸))『平方根,即* J ⑶二⑵・・・f =-16<0,负数没宥平方根,二没有平方根(3) T625>0.,625行平方根.即：屈？=±25⑷,.・<二+1)<0负数没有平方根 :4/+1)没仃平方根(5)Ym 不确定是负数还是正数,二当m>0时।有平方根.即；土而;当m3时, 役有平方根例3求以下各数的平方根 _____ 八9 1(1) 0.81 (2) -96⑶ 121 (4)—3【答案】(1) 0.9; (2) - ；(3) 11 ; (4)4【点睛】一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数,零的平方根是零,负数没有 平方根.课堂稳固1求以下各数的平方根(1) 81； (2) 0.0009； (3) 空；(4) 7； (5)100；(6)0；(7)包； (8)169.9255— 3【答案】(1)9; (2) 0.03; (3)—; (4)77; (5) 10; (6) 0; (7)—;35(8)13.2.求以下各数的平方根、算术平方根,并用式子表示出来 ^(1) I 225|； ⑵ |T |1；⑶ J0.0016 ； (4)J ( 0.2)2 .咯案】⑴N 15,癖5 15；⑵屑土用子⑶ 山0.0016 0.2,770,0016 0.2； (4) Jj ( 0.2)2 而2,\ \( 0.2)2 .0,2 .(5) 49 (6) 0.251 ,、,“、一—;(5) ± 7; (6) 土 0.5.83.求以下各式的值:(1) 土49166T ；(3) V0.125；(4) 3 41727【答案】〔1〕4'(2) 6; (3) -0. 5; (4)例4求以下各式中的(1) (x-1)2 16；x-3(4) 289(1) X1,X2 3; (2) X -2 (3) 3； (4) x1 6.5 ,x2 10.5解: (1) (x-1)216 x-1 5, 又23;(2) 3x-3 x-3 -125 x-3 -5 (3)x 124x26.5 , x228910.5 .72.25 8.5课堂稳固求以下各式中x的值:(1) 25(x—1)2=49 (2) (x +2)2-36=0；(3) 2 __(x 1) 729 0 (4) 16x2 = 25 (5) (x-3) 2=4(6) 3x⑺(9)2x2 72;4(x 2)2162(8) 4x2 !(10) 25x2【答案】〔1〕x 12一或x2［；(2) X '550.36=0.22 =16.,x2 8;(3) x1=28, x2=-26. (4)【详解】解：: 2a —1的平方根是22a 13 9.2解得:3a b 1416±弓3a+ b —1的平方根是±4a 5b 2Ja 2b <5 2 23即a+ 2b 的平方根为：3 .5 2-—；(5) x= 5或 1. (6) x=—或 x=-2. (7) x 6； (8) x 4 3 —.(9) x=0 或 x=-24 (10) x= ±—.5 【详解】 一 c 一 249 (1)解：25(x — 1)2=49 即：(x 1)2 -25••(x 1)2 - 12 2 斛得：x 一或x 一. 5 5 2(2)解：.. (x 2) 36 0 , • . x 2 6, ,X 4 , x 2 8 ； (3)由题意可知：x-1=±27,,x 1=28 或 x 2=-26 , 一 c 一 2 25 5 (4)解：由于：16x 2=25,所以：x ——,所以：x —； 16 4 (5)由于：(x 3)24,那么 x 3 2或 x 3 2,故乂= 5 或 1. 2 — . 一2八 八(6)斛：由于 3x 2 =16,开方得 3x+2=4 或 3x+2= - 4,解得：x=5或x =-2. ⑺解：2x 2 72,系数化为1,得x 236 .开平方得x 6 . ⑻4x 2 9 0 ,移项,得4x 2 9 .系数化为1,得x 2 9.开平方,得x -. 4 22 (9) 4 x 2 16 (x+2)2=4 x+2=±2 解得 x=0 或 x=-4. (10)整理得,x 2= — , x= ±6 .故答案为 x= ±6 例52a — 1的平方根是±3, 3a+ b-1的平方根是±4求a+ 2b 的平方根. 【答案】 31 .假设5a+1和a- 19是数m 的平方根.求a 和m 的值. 【答案】a=3, m=256 .【详解】解：根据题意得： (5a+1) + (a-19) =0,解得：a=3,那么m= (5a+1)2=162=256.2 .如果一个正数 x 的平方根是a+6和2a - 15, (1)求a 的值？ ( 2)求正数x ? 【答案】(1) 3； (2) 81【详解】(1)二•一个正数的平方根有两个,且互为相反数,a 6 (2a 15) 0,解得 a 3 ; (2)当 a 3时,a 6 9, .. x 92 81 .3 .正实数x 的平方根是a 和a+b.(1)当 b= 6 时,求 a; (2)假设 a 2x + (a + b)2x = 6,求 【答案】(1) a=-3; (2) x 志Qb 6, 2a 60, a 3;(2) .•.正实数x 的平方根是a 和a+b,(a b)2Q a 2x (a b)2x 6, x 2 x 2 6,3,0, x .34. 一个正数x 的两个不同的平方根分别是2aa 2.(1)求a 和x 的值；(2)化简2 a J2]3a【答案】(1) -1 ; 9(2)2.2【详解】(1)根据题意知,2a .解得a1 ,所以-a+2=3 ,可得x 9,故答案为:-1； 9;x 9代入-2| 3a2 2.28 2衣,故答案为： 8 2五x 的值.【详解】解：(1)二.正实数x 的平方根是a 和 a+b,、单项选择题 1 . 9的算术平方根是〔 〕 A. 3 B. 3C. 3【答案】A2 .以下计算正确的选项是〔 〕A.而 3B. 32 9C. | 5| 5 【答案】C 【详解】3 .假设 J10404 =102,.衣=10.2,贝U x 等于〔 A. 1040.4 C. 104.04 【答案】C4.以下说法不正确的选项是〔 〕A. —2是4的一个平方根C.平方根等于它本身的数只有B. 10.404 D. 1.0404B.立方根等于它本身的数只有 1和0 D.平方等于它本身的数只有0和1解：A 、4的一个平方根有 ±Z 故一2是4的一个平方根,故 A 正确； B 、立方根等于它本身的数有 ±1和0,故B 选项的说法不正确； C 、平方根等于本身的数只有 0,故C 正确； D 、平方等于它本身的数只有 0和1,故D 正确；5 .如果一个实数的算术平方根与它的立方根相等,那么这个数是〔 〕 A. 0B,正整数C. 0和1D. 16 .以下五个命题：①只有正数才有平方根；② -2是4的平方根；③5的平方根是 Jg ；解：A 、J9 3,故本项错误；B 、 32 9,故本项错误;C 、| 5| 5,故本项正确；D 、32 8 ,故本项错误;D. 813D. 28④土邪都是3的平方根；⑤〔-2〕2的平方根是-2 ;其中正确的命题是〔〕A.①②③B.③④⑤C.③④D.②④【答案】D【详解】解：① 由于0有平方根,故此选项错误；0-2是4的一个平方根,此选项正确;①、5的平方根式土石,此选项错误；①土J3都是3的平方根,此选项正确；①〔—2〕2的平方根是土2,此选项错误.故正确的命题是①①7 .以下说法正确的选项是〔〕A. 一个数的算术平方根-一定是正数C. .. 25 5【答案】D【详解】A、一个数的算术平方根一定是正数,错误,B、1的立方根是1,错误；C、病58 .以下各式中,正确的选项是〔〕A. '〔 2〕2 = - 2B. ^"9 = -3【答案】D9 . 的平方根是〔〕.16A. ±1B. ±12 4【答案】A10 .假设x使〔x-1〕2=4成立,那么x的值是〔A. 3B. - 1【答案】C【解析】:①x-1 0=4成立,x-1= ±2夕二、填空题11 .假设J x 2 y 3 2 0,贝ux y=1的立方根是B.2是4的平方根D.0的算术平方根是0;例如D、2是4的平方根,正确;D.32 =3C.C. D.C. D. ±2:x[=3 ① x2=-1 ①【答案】12 2【详解】J x 2 y 3 0 J x 2 0, y 3 0・•. x 2, y 3 x y 2 3 1 故答案为1.12 .81.732, 廊5.477,贝U V0?3 .【答案】0.5477【详解】解：Q J30 5.477, J03 J30 0.01 0.5477 故答案为：0.5477.13 .假设J25.36 ①5.036 5/253.6 ①15.906,那么J253600 ① _____ .【答案】503.6【详解】解①J253600 = 425.36 10000 =5.036 X 100=503.6故将案为503.6 ①14 .如果a+3和2a -6是一个数的平方根,这个数为 .【答案】16或144【详解】解：根据题意得：a+3+2a-6=0,或a+3=2a-6,移项、合并同类项得：或-a=- 9,解得：a=1 或a=9,那么这个数为〔1+3〕2= 16 或〔9+3〕2= 144, 故答案为：16或144.15 .假设1 2a与3a 4是同一个数的平方根,那么a的值为.【答案】3或1 .【详解】解：依题意可知：1- 2a+ 〔3a- 4〕 = 0或1- 2a = 3a- 4 ,解得：a 3或a 1.故答案为：3或1 .16 .2x2+3 = 35,那么x=.【答案】土 4.【详解】2x2 3 35, ••• 2x2 32,贝U x2 16,解得：x=±4.故答案为：士三、解做题17,&~1与,2 y互为相反教,Z是64的方根,求x y z的平方根【答案】土石【详解】解：; &一彳与J2 y互为相反数,••• j x―1 + J2 y =0,• -x+1=0,2-y=0 ,解得x=-1 , y=2 , 丁z 是64 的方根,,z=8所以,x y Z=-1-2+8=5 ,所以,x y z的平方根是土卮18.探索与应用.先填写下表,通过观察后再答复以下问题：3a=3 4.(1)表格中x=; y=;(2)从表格中探究a与后数位的规律,并利用这个规律解决下面两个问题：① J10~3.16那么#000'；② J3五=1.8,假设石=180,贝U a=(3)拓展：筑2 2.289,假设正 0.2289 ,贝U b=.【答案】(1) 0.1 , 10; (2) 31.6 , 32400; (3) 0.012.【详解】(1) x=0.1 , y=10,故答案为：0.1 , 10；(2)①.一加~ 3.16 ••• J1000 =31.6,②Q J3.24=1.8, . . a=32400,故答案为：31.6, 32400；(4) •••痈2.289,b=0.012,故答案为：0.012.19.2a—1的平方根是±3, 3a+ b- 1的平方根是±4求a+ 2b的平方根.【答案】3【详解】22a 1 3 9解：2a—1的平万根是±3, 3a+ b—1的平万根是±4 --- 23a b 1 4 16a 5 ____ __________解得：J a 2b 75 2 2 3即a +2b的平方根为：3.b 2 120.x-2和y - 2互为相反数,求x+y的平方根.【答案】±2【详解】解：x — 2和y ― 2互为相反数,,x— 2+y—2 = 0,• -x+y=4, 4的平方根是±2故x+y的平方根是±2.21.计算:(1) | 2| ( 3)2(2) 2x 1 2 25【答案】(1) 9； (2) x 3或x 2【详解】(1)| 2| ( 3)2# 2 9 2 9 ;2(2) 2x 1 25, 2x 1 5, 2x 1 5或2x 1 5,x 3或x 2.22.阅读以下解答过程,在横线上填入恰当内容.(x 1)2 42(x 1)2 4 (1)x 1 2 (2)x 3 (3)上述过程中有没有错误？假设有,错在步骤 (填序号)原因是________________________________________请写出正确的解答过程.【答案】(2),正数的平方根有两个,它们互为相反数,解答过程见解析【详解】•••一个正数有两个平方根,它们互为相反数,・♦・上述解答过程有错误,步骤(2)出现了错误；故答案为：(2),正数的平方根有两个,它们互为相反数 ,正确的解答过程如下：(x 1)2 4,x 1 2 ,. .x=3 或x=-1.。
第六章 实数知识点总结含答案
第六章 实数知识点总结含答案一、选择题1．有一个数阵排列如下：1 2 4 7 11 16 223 5 8 12 17 236 9 13 18 2410 14 19 25 15 20 2621 2728则第20行从左至右第10个数为（ ）A ．425B ．426C ．427D ．4282．下列说法中正确的是（ ）A ．若a a =，则0a >B ．若22a b =，则a b =C ．若a b >，则11a b> D ．若01a <<，则32a a a << 3．在有理数中，一个数的立方等于这个数本身，这种数的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．下列一组数2211-8,3,0,2,0.010010001 (7)223π，，，(相邻两个1之间依次增加一个0)，其中无理数的个数有( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个 5．若a ，b均为正整数，且a >b <+a b 的最小值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5D ．6 6．下列各数中，属于无理数的是（ ）A ．227B ．3.1415926C ．2.010010001D ．π3- 7．下列五个命题：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；②内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．其中真命题的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．设n 为正整数，且nn+1，则n 的值为（ ） A ．5 B ．6 C ．7D ．89．4的平方根是（ ）A ．2B ．2±C ．±2D ．2 10．在实数227-、9、11、π、38中，无理数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题11．如图，按照程序图计算，当输入正整数x 时，输出的结果是161，则输入的x 的值可能是__________．12．64的立方根是___________．13．一个正数的平方根是21x -和2x -，则x 的值为_______．14．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是_______．15．对于有理数a ，b ，规定一种新运算：a ※b=ab +b ，如2※3=2×3+3=9．下列结论：①（﹣3）※4=﹣8；②若a ※b=b ※a ，则a=b ；③方程（x ﹣4）※3=6的解为x=5；④（a ※b ）※c=a ※（b ※c ）．其中正确的是_____（把所有正确的序号都填上）．16．下面是按一定规律排列的一列数：14，37，512，719，928…，那么第n 个数是__． 17．对任意两个实数a ，b 定义新运算：a ⊕b=()()a a b b a b ≥⎧⎨⎩若若＜，并且定义新运算程序仍然是52）⊕3=___．18．已知实数x 的两个平方根分别为2a +1和3-4a ，实数y 的立方根为-a 2x y +的值为______．19．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a ，b ，都有*1a b b ．例如89914*=，那么*(*16)m m =__________．20．如果36a =b 7的整数部分，那么ab =_______．三、解答题21．观察下列三行数：(1)第①行的第n 个数是_______(直接写出答案，n 为正整数)(2)第②、③行的数与第①行相对应的数分别有什么关系？(3)取每行的第9个数，记这三个数的和为a ，化简计算求值：(5a 2-13a-1)-4(4-3a+54a 2) 22．阅读理解： 计算1111234⎛⎫+++ ⎪⎝⎭×11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭﹣111112345⎛⎫++++ ⎪⎝⎭×111234⎛⎫++ ⎪⎝⎭时，若把11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭与111234⎛⎫++ ⎪⎝⎭分别各看着一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设111234⎛⎫++ ⎪⎝⎭为A ，11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭为B ， 则原式=B （1+A ）﹣A （1+B ）=B+AB ﹣A ﹣AB=B ﹣A=15．请用上面方法计算： ①11111123456⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭×111111234567⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭-1111111234567⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭×1111123456⎛⎫++++ ⎪⎝⎭②111123n ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭111231n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭-1111231n ⎛⎫++++ ⎪+⎝⎭11123n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭． 23．规定两数a ，b 之间的一种运算，记作(a ，b )：如果c a b =，那么(a ，b )=c ． 例如：因为23=8，所以(2，8)=3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）=_______，（5，1）=_______，（2， 14）=_______． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n ，4n ）=（3，4）小明给出了如下的证明： 设（3n ，4n ）=x ，则（3n ）x =4n ，即（3x ）n =4n所以3x=4，即（3，4）=x ，所以（3n ，4n ）=（3，4）．请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由：(4，5)+(4，6)=(4，30)24．已知2a -的平方根是2±，33a b --的立方根是3，整数c 满足不等式81c c <+． （1）求,,a b c 的值．（2）求2232a b c ++的平方根．25．观察下列解题过程：计算231001555...5+++++解：设231001555...5S =+++++①则23410155555....5S =+++++②由-②①得101451S =-101514S -∴= 即10123100511555 (54)-+++++= 用学到的方法计算：2320191222...2+++++26．阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“依赖数”，例如，自然数2135，其中3＝2×2﹣1，5＝2×2+1，所以2135是“依赖数”．（1）请直接写出最小的四位依赖数；（2）若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“特色数”，求所有特色数．（3）已知一个大于1的正整数m 可以分解成m ＝pq+n 4的形式（p≤q ，n≤b ，p ，q ，n 均为正整数），在m 的所有表示结果中，当nq ﹣np 取得最小时，称“m ＝pq+n 4”是m 的“最小分解”，此时规定：F （m ）＝q n p n++，例：20＝1×4+24＝2×2+24＝1×19+14，因为1×19﹣1×1＞2×4﹣2×1＞2×2﹣2×2，所以F （20）＝2222++＝1，求所有“特色数”的F （m ）的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】试题解析：寻找每行数之间的关系，抓住每行之间的公差成等差数列，便知第20行第一个数为210，而每行的公差为等差数列，则第20行第10个数为426，故选B.2．D解析：D【分析】根据绝对值的性质、平方根的性质、倒数的性质、平方和立方的性质对各项进行判断即可．【详解】 若a a =则0a ≥，故A 错误；若22a b =则a b =或=-a b ，故B 错误；当0a b >>时11b a<，故C 错误； 若01a <<，则32a a a <<，正确，故答案为：D ．【点睛】本题考查了有理数的运算，掌握有理数性质的运算是解题的关键．3．C解析：C【分析】设这个数为x, 根据题意列出关于x 的方程,求出方程的解即可．【详解】解：设这个数为x ，根据题意得：3x x =，解得：x=0或-1或1，共3个；故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的立方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．C解析：C【分析】根据无理数与有理数的概念进行判断即可得.【详解】 解：2211-8,3,0,2,0.010010001...7223π，，，(相邻两个1之间依次增加一个0)，其中无理数的个数有：0.010010001...2π，(相邻两个1之间依次增加一个0)，共2个 故选：C【点睛】本题考查了无理数定义，初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π，3π等；②开方0.1010010001…，等. 5．B解析：B【分析】的范围，然后确定a 、b 的最小值，即可计算a +b 的最小值．【详解】23．∵a a为正整数，∴a的最小值为3．12．∵b b为正整数，∴b的最小值为1，∴a+b的最小值为3+1=4．故选B．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是：确定a、b的最小值．6．D解析：D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A、227是有理数，故选项A不符合题意；B、3.1415926是有理数，故选项B不符合题意；C、2.010010001是有理数，故选项C不符合题意；D、π3是无理数，故选项D题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．7．B解析：B【分析】根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数，进行判断即可.【详解】①正确；②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；③正确；④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；故选：B．【点睛】本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．8．D解析：D【分析】n的值．【详解】∴89，∵n n+1，∴n=8，故选；D．【点睛】9．B解析：B【分析】【详解】2，．故选：B．【点睛】10．B解析：B【解析】分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．详解：无理数有 共2个．故选B．点睛：本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有特定规律的数．二、填空题11．、、、．【解析】解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；解析：53、17、5、1．【解析】解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；如果四次才输出结果：则x=(5-2)÷3=1；则满足条件的整数值是：53、17、5、1．故答案为：53、17、5、1．点睛：此题的关键是要逆向思维．它和一般的程序题正好是相反的．12．2【分析】的值为8，根据立方根的定义即可求解．【详解】解：，8的立方根是2，故答案为：2．【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．解析：2【分析】8，根据立方根的定义即可求解．【详解】，8的立方根是2，8故答案为：2．【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．13．-1【分析】根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x，∴2x-1+2-x=0，解得：x=-1．故答案为：-解析：-1【分析】根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x，∴2x-1+2-x=0，解得：x=-1．故答案为：-1．【点睛】本题主要考查的是平方根的性质以及解一元一次方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．14．【分析】根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．【详解】解：＝8，＝2，2的算术平方根是，故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握【分析】根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．【详解】82，2，．【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键．15．①③【解析】【分析】题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．【详解】(−3)※4=−3×4+4=−8，所以①正确；a※b=ab+b，b※a=ab+a，若 a=b ，两式解析：①③【解析】【分析】题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．【详解】(−3)※4=−3×4+4=−8，所以①正确；a ※b=ab+b ，b ※a=ab+a ，若 a=b ，两式相等，若 a≠b ，则两式不相等，所以②错误； 方程(x−4) )※3=6化为3(x−4)+3=6，解得x=5，所以③正确；左边=(a ※b) ※c=(a×b+b) )※c=(a×b+b)·c+c=abc+bc+c 右边=a ※（b ※c ）=a ※(b×c+c)=a (b×c+c) +(b×c+c)=abc+ac+bc+c 2 两式不相等，所以④错误．综上所述，正确的说法有①③．故答案为①③.【点睛】有理数的混合运算, 解一元一次方程，属于定义新运算专题，解决本题的关键突破口是准确理解新定义．本题主要考查学生综合分析能力、运算能力．16．【解析】∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n －1,∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…,∴第n 个数的分母为n2+3,∴第n 个数 解析：2213n n -+ 【解析】∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n －1,∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…,∴第n 个数的分母为n 2+3,∴第n 个数是2213n n -+,故答案为:221 3n n -+. 17．【分析】根据“⊕”的含义，以及实数的运算方法，求出算式的值是多少即可．【详解】(⊕2)⊕3=⊕3=3，故答案为3．【点睛】本题考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关 解析：【分析】根据“⊕”的含义，以及实数的运算方法，求出算式的值是多少即可．2)⊕3=3，故答案为3．【点睛】本题考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．3【分析】利用平方根、立方根的定义求出x 与y 的值，即可确定的值．【详解】解：根据题意的2a+1+3-4a=0，解得a=2，∴，，故答案为：3．【点睛】本题考查了平方根和立方根，熟解析：3【分析】利用平方根、立方根的定义求出x 与y 的值．【详解】解：根据题意的2a+1+3-4a=0，解得a=2，∴25,8x y ==-，∴=，故答案为：3．【点睛】 本题考查了平方根和立方根，熟练掌握相关的定义是解题的关键．19．+1【分析】首先正确理解题目要求，然后根据给出的例子进行计算即可．【详解】m*（m*16）=m*（+1）=+1．故答案为：+1．【点睛】此题考查实数的运算，解题的关键是要【分析】首先正确理解题目要求，然后根据给出的例子进行计算即可．【详解】m*（m*16）=m*）=m*5=．．【点睛】此题考查实数的运算，解题的关键是要掌握运算法则．20．12【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】，即的整数部分是2，即则故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的解析：12【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】a==6479<<<<23<< ∴的整数部分是2，即2b =则6212ab =⨯=故答案为：12．【点睛】本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b 的值是解题关键．三、解答题21．(1)-(-2)n ；(2)第②行数等于第①行数相应的数减去2；第③行数等于第①行数相应的数除以(－2)；(3)-783【分析】第一个有符号交替变化的情况时，可以考虑在你所找到的规律代数式中合理的加上负号，并检验计算结果。
初中数学七年级下册第六章：实数知识讲解
举一反三：
【变式】已知 x、y 是实数，且 3x 4 +（y2－6y+9）=0，若 axy－3x=y，则实数 a 的值是（ ）
1
A．
4
1
B．－
4
7
C．
4
7
D．－
4
【答案】A. ∵ 3x 4 +（y－3）2=0，
3, 4
a3
1 1 3
.
4,
a4
1 . 1 4
1, 3
3
4
a5
1. 1 ( 1)
3, 4
a6
1 1 3
.
4, ……..三个一循环，因此 a2009
a2
1 1 ( 1)
3 .
4
3
4
3
类型三、实数大小的比较
3．若 a 2007 ， b 2008 ，试不用将分数化小数的方法比较 a、b 的大小．
2008
要点诠释：
若 a a, 则 a 0、 a -a, 则 a 0、 a-b 表示的几何意义就是在数轴上表示数 a 与数 b 的点之间
的距离.
考点三、实数与数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可． 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
C．3 个
D．4 个
【答案】C；
【解析】在上面所给的实数中，只有 3 ， ，－0.1010010001…这三个数是无理数，其它五个数都是
2
有理数，故选 C. 【点评】对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．首先明确无理数的概念，即
“无限不循环小数叫做无理数”.一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如 4 =2 是
数学第六章 实数(讲义及答案)及答案
数学第六章 实数(讲义及答案)及答案一、选择题1．在有理数中，一个数的立方等于这个数本身，这种数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作2③，读作“2的圈3次方”，把(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作(3)-④，读作“3-的圈4次方”，一般地，把(0)a a a a a a ÷÷÷÷÷≠记作a ⓒ，读作“a 的圈c 次方”，关于除方，下列说法错误的是（ ） A ．任何非零数的圈2次方都等于1B ．对于任何正整数a ，21()a a =④C ．3=4④④D ．负数的圈奇次方结果是负数，负数的圈偶次方结果是正数.3．定义(),2f a b ab =，()22(1)g m m m =-+，例如：()1,22124f =⨯⨯=，()()2112111g -=---+=，则()1,2g f ⎡⎤-⎣⎦的值是( ) A ．-4 B ．14 C ．-14 D ．14．如图，数轴上O 、A 、B 、C 四点，若数轴上有一点M ，点M 所表示的数为m ，且5m m c -=-，则关于M 点的位置，下列叙述正确的是（ ）A ．在A 点左侧B ．在线段AC 上 C ．在线段OC 上D ．在线段OB 上5．对于任意不相等的两个实数a ，b ，定义运算：a ※b ＝a 2﹣b 2+1，例如3※2＝32﹣22+1＝6，那么（﹣5）※4的值为（ ）A ．﹣40B ．﹣32C ．18D ．106．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣2π不仅是有理数，而且是分数；④237是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（ ）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个7．给出下列说法：①﹣0.064的立方根是±0.4；②﹣9的平方根是±3；3a -＝﹣3a ；④0.01的立方根是0.00001，其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．下列说法中，正确的个数是（ ）．（1）64-的立方根是4-；（2）49的算术平方根是7±；（3）2的立方根为32；（4）7是7的平方根． A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．若一个数的平方根与它的立方根完全相同.则这个数是() A ．1 B ．1-C ．0D ．10±， 10．比较552、443、334的大小( ) A ．554433234<< B ．334455432<< C ．553344243<<D ．443355342<< 二、填空题11．如图所示，把半径为2个单位长度的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A 点对应原点，将圆形纸片沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周，点A 到达点A′的位置，则点A′表示的数是_______．12．a 是10的整数部分，b 的立方根为-2，则a+b 的值为________．13．数轴上表示1、2的点分别为A 、B ，点A 是BC 的中点，则点C 所表示的数是____．14．观察下列算式：①246816⨯⨯⨯+＝2(28)⨯＋16＝16＋4＝20；②4681016⨯⨯⨯+＝2(410)⨯＋16＝40＋4＝44；…根据以上规律计算：3032343616⨯⨯⨯+＝__________15．a※b 是新规定的这样一种运算法则：a※b=a+2b，例如3※（﹣2）=3+2×（﹣2）=﹣1．若（﹣2）※x=2+x，则x 的值是_____．16．49的平方根是________,算术平方根是______,-8的立方根是_____.17．1111111111112018201920182019202020182019202020182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++----+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．18．对于实数a ，我们规定：用符号[]a 表示不大于[]a 的最大整数，称为a 的根整数，例如：，如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次： 10]33]1=→=这时候结果为1．则只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是__________．19．如图，数轴上的点A 能与实数15,3,,22---对应的是_____________20．已知正实数x 的平方根是m 和m b +．（1）当8b =时，m 的值为_________；（2）若22()4m x m b x ++=，则x 的值为___________ 三、解答题 21．先阅读内容，然后解答问题：因为：111111111111,,12223233434910910=-=-=-=-⨯⨯⨯⨯ 所以：1111122334910+++⋯+⨯⨯⨯⨯＝1111111122334910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭… ＝1﹣111111122334910+-+-+- ＝1﹣191010= 问题：（1）请你猜想（化为两个数的差）：120152016⨯＝ ；120142016⨯＝ ；（2）若a 、b 为有理数，且|a ﹣1|+（ab ﹣2）2＝0，求111(1)(1)(2)(2)ab a b a b +++++++…+1(2018)(2018)a b ++的值． 22．你能找出规律吗？（149＝ ，49⨯＝ ；1625＝ ，1625⨯＝ ．4949⨯1625 1625⨯“＜”）．（2）请按找到的规律计算： 520； 231935（3）已知：a 2，b 1040＝ （可以用含a ，b 的式子表示）．23．已知32x y --的算术平方根是3，26x y +-的立方根是37的整数部分是z ，求42x y z ++的平方根．24．已知：b 是立方根等于本身的负整数，且a 、b 满足(a+2b)2+|c+12|=0，请回答下列问题：（1）请直接写出a 、b 、c 的值：a=_______，b=_______，c=_______．（2）a 、b 、c 在数轴上所对应的点分别为A 、B 、C ，点D 是B 、C 之间的一个动点(不包括B 、C 两点)，其对应的数为m ，则化简|m+12|=________． （3）在（1）、（2）的条件下，点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点B 、点C 都以每秒1个单位的速度向左运动，同时点A 以每秒2个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点A 与点C 之间的距离表示为AC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ，请问：AB−AC 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出AB−AC 的值．25．已知2+a b（1）求2a －3b 的平方根；（2）解关于x 的方程2420ax b +-=．26．定义：若两个有理数a ，b 满足a ＋b ＝ab ，则称a ，b 互为特征数．（1）3与 互为特征数；（2）正整数n (n ＞1)的特征数为 ；（用含n 的式子表示）（3）若m ，n 互为特征数，且m ＋mn ＝－2，n ＋mn ＝3，求m ＋n 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】设这个数为x, 根据题意列出关于x 的方程,求出方程的解即可．【详解】解：设这个数为x ，根据题意得：3x x =，解得：x=0或-1或1，共3个；故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的立方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．C解析：C【分析】根据定义依次计算判定即可．【详解】解：A 、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A 正确； B 、a ④=21111()a a a a a a a a a ÷÷÷=⨯⨯⨯=； 所以选项B 正确； C 、3④=3÷3÷3÷3=19，4④=4÷4÷4÷4=116，，则 3④≠4④； 所以选项C 错误； D 、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D 正确；故选：C ．【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．3．C解析：C【分析】根据(),2f a b ab =，()22(1)g m m m =-+，代入求解即可. 【详解】解(),2f a b ab =，()22(1)g m m m =-+∴()1,2g f ⎡⎤-⎣⎦=()()244241-14g -=---+=故选C.【点睛】本题考查了新定义的有理数运算，利用(),2f a b ab =，()22(1)g m m m =-+，代入求值是解答本题的关键.4．D解析：D【分析】根据A 、C 、O 、B 四点在数轴上的位置以及绝对值的定义即可得出答案．【详解】∵|m-5|表示点M 与5表示的点B 之间的距离，|m−c|表示点M 与数c 表示的点C 之间的距离，|m-5|＝|m −c|，∴MB ＝MC ．∴点M 在线段OB 上．故选：D ．本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应的关系是解答此题的关键．5．D解析：D【分析】直接利用题中的新定义给出的运算公式计算得出答案．【详解】解：(-5)※4＝(﹣5)2﹣42+1＝10．故选：D ．【点睛】本题主要考查了实数运算，以及定义新运算，正确运用新定义给出的运算公式是解题关键．6．B解析：B【分析】根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案．【详解】解：①没有最小的整数，所以原说法错误；②有理数包括正数、0和负数，所以原说法错误； ③﹣2是无理数，所以原说法错误； ④237是无限循环小数，是分数，所以是有理数，所以原说法错误； ⑤无限小数不都是有理数，所以原说法正确；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，所以原说法正确；⑦非负数就是正数和0，所以原说法错误； ⑧正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，所以原说法错误；故其中错误的说法的个数为6个．故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．7．A解析：A【分析】利用平方根和立方根的定义解答即可．【详解】①﹣0.064的立方根是﹣0.4，故原说法错误；②﹣9没有平方根，故原说法错误；④0.000001的立方根是0.01，故原说法错误，其中正确的个数是1个，故选：A．【点睛】此题考查平方根和立方根的定义，熟记定义是解题的关键.8．C解析：C【解析】=-，故（1）对；4根据算术平方根的性质，可知49的算术平方根是7，故（2）错；根据立方根的意义，可知23）对；是7的平方根．故（4）对；故选C.9．C解析：C【详解】任何实数的立方根都只有一个，而正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，所以这个数是0，故选C．10．C解析：C【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘都转换成指数是11的幂，再根据底数的大小进行判断即可【详解】解：255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，∵32＜64＜81，∴255＜433＜344．故选：C．【点睛】本题考查了幂的乘方的性质，解题的关键在于都转化成以11为指数的幂的形式．二、填空题11．-4【解析】解：该圆的周长为2π×2=4π，所以A′与A的距离为4π，由于圆形是逆时针滚动，所以A′在A的左侧，所以A′表示的数为-4π，故答案为-4π．解析：-4π【解析】解：该圆的周长为2π×2=4π，所以A′与A的距离为4π，由于圆形是逆时针滚动，所以A′在A的左侧，所以A′表示的数为-4π，故答案为-4π．12．-5【解析】∵32<10<42,∴的整数部分a=3,∵b的立方根为-2,∴b=-8,∴a+b=-8+3=-5.故答案是：-5.解析：-5【解析】∵32<10<42,a=3,∵b的立方根为-2,∴b=-8,∴a+b=-8+3=-5.故答案是：-5.13．【分析】设点C表示的数是x，再根据中点坐标公式即可得出x的值．【详解】解：设点C表示的数是x，∵数轴上1、的点分别表示A、B，且点A是BC的中点，根据中点坐标公式可得：，解得：，故答案解析：2-【分析】设点C表示的数是x，再根据中点坐标公式即可得出x的值．【详解】解：设点C表示的数是x，∵数轴上1的点分别表示A、B，且点A是BC的中点，，解得：，根据中点坐标公式可得：=12故答案为：【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上的点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．14．【分析】根据题目数据，计算结果等于首尾两个偶数的乘积的平方的算术平方根再加上16的算术平方根，依此进行计算即可．【详解】解：==1080+4=1084．故答案为：1084．【点睛】解析：【分析】根据题目数据，计算结果等于首尾两个偶数的乘积的平方的算术平方根再加上16的算术平方根，依此进行计算即可．【详解】==1080+4=1084．故答案为：1084．【点睛】本题考查了算术平方根，读懂题目信息，观察出计算结果等于首尾两个偶数的乘积加上4是解题的关键．15．4【解析】根据题意可得（﹣2）※x=﹣2+2x，进而可得方程﹣2+2x=2+x，解得：x=4.故答案为：4．点睛：此题是一个阅读理解型的新运算法则题，解题关键是明确新运算法则的特点，然后直接根解析：4【解析】根据题意可得（﹣2）※x=﹣2+2x，进而可得方程﹣2+2x=2+x，解得：x=4.故答案为：4．点睛：此题是一个阅读理解型的新运算法则题，解题关键是明确新运算法则的特点，然后直接根据新定义的代数式计算即可.16．±7 7 -2【解析】试题解析：∵（±7）2=49， ∴49的平方根是±7，算术平方根是7；∵（-2）3=-8，∴-8的立方根是-2.解析：±7 7 -2【解析】试题解析：∵（±7）2=49，∴49的平方根是±7，算术平方根是7；∵（-2）3=-8，∴-8的立方根是-2.17．【分析】设，代入原式化简即可得出结果.【详解】原式故答案为：.【点睛】本题考查了整式的混合运算，设将式子进行合理变形是解题的关键. 解析：12020【分析】 设1120182019m =+，代入原式化简即可得出结果. 【详解】 原式()111120202020m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 221202*********m m m m m m =-+--++ 12020= 故答案为：12020.【点睛】 本题考查了整式的混合运算，设1120182019m =+将式子进行合理变形是解题的关键. 18．255【分析】根据材料的操作过程，以及常见的平方数，可知分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．【详解】解：∴对255只需要进行3次操作后变成1，∴对256需要进行4次操作解析：255【分析】根据材料的操作过程，以及常见的平方数，可知分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．【详解】解：25515,3,1,⎡⎤===⎣⎦ ∴对255只需要进行3次操作后变成1，25616,4,2,1,⎡⎤====⎣⎦ ∴对256需要进行4次操作后变成1，∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255； 故答案为：255．【点睛】本题考查了估算无理数的大小应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也要考了一个数的平方数的计算能力．19．【分析】先把数轴的原点找出来，再找出数轴的正方向，分析A 点位置附近的点和实数，即可得到答案.【详解】解：∵数轴的正方向向右，A 点在原点的左边，∴A 为负数，从数轴可以看出，A 点在和之间，解析：【分析】先把数轴的原点找出来，再找出数轴的正方向，分析A 点位置附近的点和实数12-. 【详解】解：∵数轴的正方向向右，A 点在原点的左边，∴A 为负数，从数轴可以看出，A 点在2-和1-之间，2<=-，故不是答案；刚好在2-和1-之间，故是答案；112->-，故不是答案；是正数，故不是答案；故答案为.【点睛】本题主要考查了数轴的基本概念、实数的比较大小，要掌握能从数轴上已标出的点得到有用的信息，学会实数的比较大小是解题的关键.20．-4【分析】（1）根据正实数平方根互为相反数即可求出m 的值；（2）根据题意可知，再代入求解即可．【详解】解：（1）∵正实数的平方根是和，∴，∵，∴，∴；（2）∵正解析：【分析】（1）根据正实数平方根互为相反数即可求出m 的值；（2）根据题意可知22,()m x m b x +==，再代入求解即可．【详解】解：（1）∵正实数x 的平方根是m 和m b +，∴0m b m ++=，∵8b =，∴28m =-，∴4m =-；（2）∵正实数x 的平方根是m 和m b +，∴22,()m x m b x +==，∴224x x +=，∴22x =，∵x 是正实数，∴x ．故答案为：-4．【点睛】本题考查的知识点是平方根，掌握正实数平方根的性质是解此题的关键．三、解答题21．（1）1120152016-，1140284032-；（2）20192020. 【分析】（1）根据题目中式子的特点可以写出猜想；（2）根据|a-1|+（ab-2）2=0，可以取得a 、b 的值，代入然后由规律对数进行拆分，从而可以求得所求式子的值．【详解】解：（1）1112015201620152016=-⨯， 111111()2014201622014201640284032=⨯-=-⨯， 故答案为：1120152016-，1140284032-； （2）∵|a ﹣1|+（ab ﹣2）2＝0，∴a ﹣1＝0，ab ﹣2＝0，解得，a ＝1，b ＝2， ∴1111+(1)(1)(2)(2)(2018)(2018)ab a b a b a b +++++++++…… =111112233420192020+++⋯+⨯⨯⨯⨯ ＝1﹣1111111+2233420192020+-+-+- (1)12020 ＝20192020． 【点睛】本题考查数字的变化类、非负数的性质、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值．22．（1）6，6，20，20，＝，＝；（2）①10，②4；（3）2a b【分析】（1)0,0a b =≥≥，据此判断即可．（2=10===，4===，据此解答即可．（3）根据a =b =2a b ==，据此解答即可．【详解】解：（1236=⨯=6==；4520=⨯=20==．==故答案为：6，6，20，20，＝，＝；（210===；4===；（3）∵a =b =2a b ==， 故答案为：2a b ．【点睛】 本题考查算数平方根，掌握求一个数算术平方根的方法为解题关键．23．6±【分析】根据算术平方根、立方根的定义列出二元一次方程组，之后对方程组进行求解，得到x 和y 的值，再根据题意得到z 的值，即可求解本题．【详解】解：由题意可得3x 29268y x y --=⎧⎨+-=⎩， 解得54x y =⎧⎨=⎩，36<<67∴<<， 6z ∴=，424542636∴++=⨯++⨯=x y z ，故42x y z ++的平方根是6±．【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根、算术平方根的定义．24．（1）2；-1；12-；（2）-m-12；（3）AB−AC 的值不会随着时间t 的变化而改变，AB －AC=12【分析】 （1）根据立方根的性质即可求出b 的值，然后根据平方和绝对值的非负性即可求出a 和c 的值；（2）根据题意，先求出m 的取值范围，即可求出m+12＜0，然后根据绝对值的性质去绝对值即可；（3）先分别求出运动前AB 和AC ，然后结合题意即可求出运动后AB 和AC 的长，求出AB−AC 即可得出结论．【详解】解：（1）∵b 是立方根等于本身的负整数，∴b=-1∵(a+2b)2+|c+12|=0，(a+2b)2≥0，|c+12|≥0 ∴a+2b=0，c+12=0 解得：a=2，c=12- 故答案为：2；-1；12-； （2）∵b=-1，c=12-，b 、c 在数轴上所对应的点分别为B 、C ，点D 是B 、C 之间的一个动点(不包括B 、C 两点)，其对应的数为m ，∴-1＜m ＜12- ∴m+12＜0 ∴|m+12|= -m-12故答案为：-m-12；（3）运动前AB=2－（-1）=3，AC=2－（12-）=52由题意可知：运动后AB=3＋2t ＋t=3＋3t ，AC=52＋2t ＋t=52＋3t ∴AB －AC=（3＋3t ）－（52＋3t ）=12∴AB−AC 的值不会随着时间t 的变化而改变，AB －AC=12． 【点睛】此题考查的是立方根的性质、非负性的应用、利用数轴比较大小和数轴上的动点问题，掌握立方根的性质、平方、绝对值的非负性、利用数轴比较大小和行程问题公式是解决此题的关键．25．（1）23a b -的平方根为4±；（2）3x =±．【分析】（1）先由相反数的定义列出等式，再根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出a 、b 的值，然后代入，根据平方根的定义求解即可；（2）先将a 、b 的值代入，再利用平方根的性质求解即可．【详解】（1）由相反数的定义得：20a b ++=由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：203120a b b +=⎧⎨+=⎩解得24a b =⎧⎨=-⎩则23223(4)41216a b -=⨯-⨯-=+=故23a b -的平方根为4±；（2）方程2420ax b +-=可化为224(4)20x +⨯--=整理得22180x -=29x =解得3x =±．【点睛】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、平方根的定义等知识点，利用绝对值的非负性、算术平方根的非负性求解是常考知识点，需重点掌握．26．（1）32；（2）1n n -；（3）13 【分析】（1）设3的特征数为b ，根据特征数的定义列式求解即可；（2）设n 的特征数为m ，根据特征数的定义列式求解即可；（3）根据m ，n 互为特征数得出m ＋n ＝mn ，结合已知的两个等式进行求解即可．【详解】解：（1）设3的特征数为b ， 由题意知，33b b +=， 解得，32b =， ∴3与32互为特征数， 故答案为：32 （2）设n 的特征数为m ， 由题意知，n ＋m ＝nm ， 解得，1n m n =-， ∴正整数n (n ＞1)的特征数为1n n -， 故答案为：1n n - （3）∵ m ，n 互为特征数， ∴ m ＋n ＝mn ，又m ＋mn ＝－2 ①，n ＋mn ＝3 ②， ①＋②得，m ＋n ＋2mn ＝1， ∴ m ＋n ＋2(m ＋n )＝1， ∴ m ＋n ＝13． 【点睛】本题考查了新定义的运算，正确理解特征数的定义是解题的关键．。
七年级初一数学第六章 实数(讲义及答案)及解析
首先根据已知得出规律，f（1）＝2（1×2的末位数字），f（2）＝6（2×3的末位数字），f（3）＝2（3×4的末位数字），f（4）＝0，f（5）＝0，f（6）＝2，f（7）＝6，f（8）＝2，f（9）＝0，…，找出规律，进而求出即可．
【详解】
解：∵f（1）＝2（1×2的末位数字），f（2）＝6（2×3的末位数字），f（3）＝2（3×4的末位数字），f（4）＝0，f（5）＝0，f（6）＝2，f（7）＝6，f（8）＝2，f（9）＝0，
20．27的立方根为．
三、解答题
21．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方，”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作：“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把 个 记作aⓝ，读作 “a的圈n次方”
(4)应用：求（-3）8×（-3）⑨-（﹣ ）9×（﹣ ）⑧
22．观察下列各式的计算结果
（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：
×； ×；
（2）用你发现的规律计算：
（3）计算 （直接写出结果）
23．（1）采用夹逼法，利用 的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下：
因为 ，
所以
因为 ， ，
5．按照下图所示的操作步骤，若输出y的值为22，则输入的值x为（）
A．3B．-3C．±3D．±9
6．已知 ， ， ， ， ，……，根据这一规律， 的个位数字是（）
A．2B．4C．8D．6
7．估算 的值（ ）
A．在6和7之间B．在5和6之间C．在4和5之间D．在7和8之间
8．如果 是a的相反数，那么a的值是（）
初中数学七年级数学第六章实数(全章节图文详解)
七年级数学第六章实数
实数
七年级数学第六章实数
目录：
1.算术平方根 2.平方根 3.立方根 4.有理数 5.无理数 6.实数定义 7.实数的运算 8.实数的大小比较
七年级数学第六章实数
1.算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于 2 a,即 x =a,那么这个正数x叫做a的 算术平方根。a的算术平方根记为 a ， 读作“根号a”，a叫做被开方数。
特殊：0的算术平方根是 0 。
记作：0 0
七年级数学第六章实数
2. 平方根的定义：
一般地，如果一个数的平方等于a ，那 么这个数就叫做a 的平方根（或二次方 根）．
注意：计算过程中要多保留一位!
七年级数学第六章实数
3.实数运算
当数从有理数扩充到实数以后，实数之
间不仅可以进行加 减 乘 除 乘方运算，
又增加了非负数的开平方运算，任意实数
可以进行开立方运算。进行实数运算时， 有理数的运算法则及性质等同样适用。
七年级数学第六章实数
练习：
2 3 3 2 5 3 3 2
不 要 遗 漏
解: (3 y ) 4 9 4 3 y 9
2
解:
2 3 27 ( x ) 125 3
2 3 125 (x ) 3 27 2 5 x 3 3
2 3 125 x 3 27
1 2 y 2 或y 3 3 3
2 y 3 3
x 1
人教版七年级下册 第六章 实数 第二讲 立方根 讲义(解析版)
实数第二讲立方根知识讲解一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3=，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.x a补充：一个数a a是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.补充：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.三、立方根的性质==a=；3a补充：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.0.060.6660.五、平方根与立方根的联系典例讲解例1、下列结论正确的是（ ）A ．64的立方根是±4B ．12-是16-的立方根C ．立方根等于本身的数只有0和1D =【答案】D ；【解析】64的立方根是4；12-是18-的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.课堂巩固1.下列说法正确的是（ ）A ．一个数的立方根有两个B ．一个非零数与它的立方根同号C ．若一个数有立方根，则它就有平方根D ．一个数的立方根是非负数 【答案】B ；提示：任何数都有立方根，但是负数没有平方根.2.下列说法正确的是（ ） A ．﹣4的立方是64 B ． 0.1的立方根是0.001 C ． 4的算术平方根是16 D ． 9的平方根是±3 【答案】D.例2．（1）下列运算中错误的有（ ）4±4=4=-4=；⑤4=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【详解】44=没有意义，③符合题4=，④不符合题意，⑤2=±，⑤符合题意，（2）64的立方根是（ ） A ．4 B ．8 C ．8± D ．2【答案】A【详解】∵4的立方是64，∴64的立方根是4课堂巩固1.求下列各式的值：（1）327102-- （2）3235411+⨯（3）336418-⋅ （4（5）10033)1(412)2(-+÷-- 【答案】解：（1）（2（3）43===9 1=241=2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-（4）=331=1-++（5）3=21247=1=33÷++2的平方根为_____． 【答案】±2【详解】∵4的立方等于64，∵64的立方根等于4．4的平方根是±2，故答案为±2．例3 比计较下列各数的大小（1（2）-3.4 （3与43【答案】（1（2）<-3.4 （3<43【详解】（1）32=82<=>>（2）342 3.476 3.4, 3.4≈>-（3）()3334646442=2=,2,327273⎛⎫<< ⎪⎝⎭，课堂巩固1.估算31的立方根在 两个整数之间. 【答案】4和52. 比较2的大小2<<3.比较【答案】<【答案】例4 求下列各式中x 的值（1）()318x -= （2）8(x －1)3＝－1258 （3）33388x -= ． 【答案】（1）3x =； （2）x ＝－14；（2）x=3. 【详解】（1）()318x -=；12x -=；3x =； （2）()3125164x -=-；514x -=- ；514x =- ；14x =-（3）x 3﹣24＝3； x 3＝27；∴x ＝3课堂巩固1．求满足下列条件的x 的值：（1）()3231250x -+= （2）32(1)540x --= (3)(x ﹣1)3=﹣125.（4）2（x ﹣1）3+16＝0 （5）327640x += （6）12（x+3）3＝4 【答案】（1）1x =-；（2）x=4；（3）x=﹣4；（4）x ＝﹣1；（5）43x =-；（6）x ＝﹣1．【详解】（1）∵()3231250x -+=，∴()323125x -=-，∴235x -=-；解得：x ＝−1．（2）32(1)540x --=；32(1)=54x -；3(1)=27x -；1=3x -；=4x ．（3）x ﹣1=﹣5，x=﹣4．（4）2（x ﹣1）3+16＝0；则（x ﹣1）3＝﹣8；故x ﹣1＝﹣2；解得：x ＝﹣1． （5）327640x +=；32764x =-；364x =-；36427x =-；43x =- （6）方程的两边都乘以2，得（x+3）3＝8，∴x+3＝2．∴x ＝﹣1．例5 1.已知x+12的算术平方根是 2x+y ﹣6的立方根是2．（1）求x ，y 的值； （2）求3xy 的平方根．【答案】（1）x =1，y =12；（2）±6．【详解】（1）∵x+12的算术平方根是2x+y ﹣6的立方根是2．∴x+12= 2=13，2x+y ﹣6=23=8，∴x=1，y=12（2）解：当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36， ∵36的平方根是±6，∴3xy 的平方根±6．2.已知2a －1的平方根是±3，3a ＋b －9的立方根是2，c 的整数部分，求a ＋b ＋c 的平方根． 【答案】±3【详解】解：根据题意，可得2a ﹣1=9，3a +b ﹣9=8；故a =5，b =2；又∵2＜3，∴c =2，∴a +b +c =5+2+2=9，∴9的平方根为±3．点睛：此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．课堂巩固12的平方根是a ，﹣125的立方根是b ，则a ﹣b 的值是（ ） A ．0或10 B ．0或﹣10C ．±10D ．0【答案】A【详解】2＝25，∴25的平方根是±5，﹣125的立方根是﹣5，∴a ＝±5，b ＝﹣5，当a ＝5时，原式＝5﹣（﹣5）＝10，当a ＝﹣5时，原式＝﹣5﹣（﹣5）＝0，20+=，则m+n=________．【答案】10+=；∴37340m-+n +=；∴1m+n= 【点睛】立方根的值互为相反数，被开方数互为相反数．3．若x y +是4的平方根，x y -的立方根是2-，则22x y -=___________ 【答案】16或16- 【详解】x y +是4的平方根，2x y ∴+=或2,x y +=-x y -的立方根是2-，∴ 8,x y -=- 当2,8x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 22()()16,x y x y x y ∴-=+-=- 当2,8x y x y +=-⎧⎨-=-⎩22()()16,x y x y x y ∴-=+-=综上：2216.x y -=±故答案为：16或16-．4．已知一个数的平方根是3a +1和a +11，求这个数的立方根是______． 【答案】4【详解】由已知得，3a+1+a+11=0，解得a=-3， 所以3a+1=-8，a+11=8， 所以，这个数是64， 它的立方根是4．故答案是：4. 5．已知某正数的两个平方根分别是a +3和5﹣3a ， （1）求这个正数；（2）若b 的立方根是2，求b ﹣a 的算术平方根． 【答案】（1）49；（2）2．【详解】（1）根据题意知a +3+5﹣3a ＝0，解得：a ＝4，所以这个数为（a +3）2＝72＝49；（2）根据题意知b ＝8＝2．例6 据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题： 一个数是 59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样计算的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由33101000,1001000000==是 __________位数；（2）由 19683 个位数是 3个位数是 ________________；（3）如果划去 19683 后面的三位数 683 得到数 19 ，而3328,327== ，由此你能确的数字是___________ ；（4）用上述方法确定110592 的立方根是_______________ ．【答案】两7 2 48【分析】（1）由19683大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是2位数；（2）根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，据此即可确定；，即可确定答案；（3）运用数立方的计算方法计算即可；（4）首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然再确定十位数即可解答．【详解】解：（1）∵1000<19683<1000000，∴故答案为：两；（2）∵一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数7；故答案为7；（3）∵8<19<27，∴2，故答案为2；（4）∵观察发现：只有8的立方的个位数为28又∵64＜110＜1254；故答案为48．【点睛】当被开方数的小数点向右或向左每移动3位，立方根的小数点就向右或向左移动一位课堂巩固1________．【答案】7.94故答案为：7.94.≈≈≈________________2 1.507【答案】0.069931.507≈≈≈0.06993， 故答案为：0.06993．3．观察下列计算过程，猜想立方根.31=1 32=8 33=27 34=64 35=125 36=216 37=343 38=512 39=729（1）小明是这样试求出19683的立方根的，先估计19683的立方根的个位数, 猜想它的个位数为 , 又由320<19000< 330，猜想19683的立方根十位数为 ，验证得19683的立方根是 .（2）请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：①； ；③= .【答案】（1）7，2，27；（2）49，-72，0.81【详解】（1）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27（2）①估计117649的立方根的个位数为9，又由403＜117649＜503=49；②估计373248的立方根的个位数为2，又由603＜373248＜703；③估计0.531441的立方根的个位数为，又由0.83＜0.531441＜0.93=0.81 .4．阅读下列材料：331059319100,<<39729,=333594<<39=．请根=________． 【答案】54 【详解】3310157464100,<<3464,=3351576<<54=，故答案为54.课后提升 一、单选题1．下列说法：①负数和0没有平方根；②所有的实数都存在立方根；③正数的绝对值等于它本身；④相反数等于本身的数有无数个．正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【详解】①0有平方根，故错误；②所有的实数都存在立方根，故正确； ③正数的绝对值等于它本身，故正确；④相反数等于本身的数有1个，故错误； 2．下列结论正确的是（ ）A ．1535-÷=B 3=±C 2=-D ．()()2233-=+【答案】D3．下列说法错误的是（ ）A ．2±B ．64的算术平方根是4C 0D 0≥，则x ＝1【答案】B 二、填空题4．计算()03π-=__________． 【答案】2-5．若x ＜0____________． 【答案】0【详解】∵x ＜00x x =-+=，故答案为：0．635.12=0.3512=-，则x =_____________． 【答案】－0.0433【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添加了“－” ∴根据规律，三次根式内的式子应该缩小1000000倍，且添加“－” 7．已知368.8=4.098，，则______________.【答案】19.028 1.463≈ 4.626≈0.5981≈.289≈，若46.26≈，则x =_______ 5.981≈-，则y =_______．【答案】2140 -214 三、解答题9．已知2a －1的平方根是±3，b －1的立方根是2，求a -b 的值． 【答案】4a b -=-．【详解】因为9的平方根是3±，8的立方根是2 所以21918a b -=⎧⎨-=⎩；解得59a b =⎧⎨=⎩；则594a b -=-=-．10．已知 2a ﹣1 的平方根是±3，b ﹣3 的立方根是 2 【答案】6．【详解】解：∵2a ﹣1的平方根是±3，∴2a ﹣1=9，∴a=5，∵b ﹣3的立方根是2，∴b ﹣3=8，∴b=11．故答案为：6． 11．已知2a －1的算术平方根是3，3a ＋b ＋4的立方根是2，求a －b 的平方根． 【答案】a －b 的平方根是±4.【详解】∵2a －1的算术平方根是3，3a ＋b ＋4的立方根是2，∴2a －1＝9，3a ＋b ＋4＝8，解得a ＝5，b ＝－11，∴a －b ＝16，∴a －b 的平方根是±4. 12．解方程（1）2（x-1）2= 128 （2）(x-4)3 = -216 （3）225640-=x ；（4）3343(3)270x ++= （5）24810x -= （6）()3164x -=【答案】（1）x=9或x=-7; ( 2 ) x= -2；（3）85x =±;（4）337x =-；（5）92x =或92x =-；（6）5x =【详解】(1)22(1)1?28x -=，2(1)64x -=，18x -=±， 18x -=或18x -=-， 9x =或7x =-；(2)3(4)? 216x -=-， 4? 6x -=- ， 2x =-．（3）225640-=x ;解: 225=64x ,264=25x ,85x =±; （4）3343(3)270x ++=．解: 3343(3)27x +=-,327(3)343x -+=,337x +=-,337x =-. （5）解：2481x =；2814x =；解得92x =或92x =- （6）解：()3164x -= ；14x -=；解得5x =13a b 的值. 【答案】320，2a －1＝3b －1， 2a ＝3b ， ∴a b =32.1448的立方根，求1mn +的平方根．【答案】±4【详解】由题意得24228n m m -+=⎧⎨+=⎩解得：35m n =⎧⎨=⎩∴1mn +=3×5+1=16 ∴1mn +的平方根是±4；故答案为：±415．（1）已知，图1正方体的棱长为a ，体积是50，求正方体的棱长a ；（2）已知，图2是由16个边长为1的小正方形组成的大正方形，图中阴影部分也是一个正方形，求阴影部分正方形的边长b ．【答案】（1（2【详解】解：（1）350a =，a ∴=（2）由題意可知，大正方形的面积是由阴影部分的面积和四个真角三角形的面积组成的，4416S =⨯=大正方形，133122S =⨯⨯=小三角形，∴=4S S S -阴影大正方形小三角形 23=16410=2b -⨯=，b ∴= 16．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．（1）求出这个魔方的棱长．（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与1-重合，点E与1重合，点F与点D关于E点对称，那么D在数轴上表示的数为__________；点F在数轴上表示的数为__________．【答案】（1）4；（2）8，（3）1--3+【详解】（14=，∴这个魔方棱长为4．（2）∵魔方棱长为4，∴小立方体棱长为2，∴阴影部分面积为：122482⨯⨯⨯=，边=8，边长是（3）D在数轴上表示的数是1--F表示为123++=+。
第六章--实数(知识点+知识点分类练习)
【知识要点】被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如.25 5, 2500 50.一、算数平方根算数平方根的定义：一般的，如果一个非负数x的平方等于a,即x2=a ，（a>0），那么这个非负数x叫做a的算术平方根。
a的算术平方根记为谄，读作“根号a”，a叫做被开方数。
求一个正数a的平方根的运算叫做开平方。
1.0的算术平方根是02. 被开方数越大，对应的算术平方根也越大（对所有正数都成立）。
3. 一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。
显然，如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。
4. 负数在实数系内不能开平方。
二、平方根平方根的定义：如果一个数x的平方等于a ,即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根，求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
平方根的性质：一个正数有2个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算数平方根；0只有1个平方根，它是0;负数没有平方根。
开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
三、立方根立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根或三次方根，求一个数的立方根的运算叫做开立方，a的立方根记为鴛读作“三次根号a”，其中a是被开方数。
立方根的性质：每个数a都只有1个立方根。
正数的立方根是正数；0的立方根是0;负数的立方根是负数。
四、实数1. 无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。
2. 实数的定义：有理数和无理数统称实数。
3. 实数的分类：整数宀拓有理数八”有限小数或无限循环小数 实数 分数无理数无限不循环小数像有理数一样，无理数也有正负之分。
例如2 ,3 3 , 是正无理数， 2， 3 3， 是负无理数。
由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：4. 实数与数轴上的点的对应关系：实数与数轴上的点是 -- 对应的。
5. 有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义相同。
2020人教版七年级数学下册第六章6.3实数(1)实数的概念课件(共32张PPT)
6,
••
, 1. 2 3,
22 , 36
2
7
1.232232223 (两个3之间依次多一个 2)
有理数是：1.
•
2
•
3
22
,7
36
无理数是： 6
,,
2
1.232232223 ,(两个3之间依次多一个 2)
思考：无理数一般有哪些形式?
（1）像 7, 3, 12 的开不尽方的数是无理数。
020
002
000
02…是无
理数吗？
1.57079632679...
2
它们都是无限 不循环小数，
2.02002000200002…
是无理数
常见的一些无理数：
(1)含 π 的一些数；
(2)含开不尽方的数； (3)有规律但不循环的小数,如1.01001000100001…
例：判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
人教版七年级数学 下册
6.3 实 数 第1课时 实数的概念
1.了解实数的意义，并能将实数按要求进 行准确的分类；
2.熟练掌握实数大小的比较方法；（重点） 3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用 数轴上的点 表示无理数.（难点）
认真阅读课本中6.3 实数的 内容，完成下面练习并体验知 识点的形成过程。
• 这个矛盾说明， 2 不能写成分数的形式， 即 2 不是有理数。
• 实际上， 2 是无限不循环小数。
实数的概念：
在前面的学习中,我们知道,许多数的平方根和 立方根都是无限不循环小数,它们不能化成分数.我 们给无限不循环小数起个名字，叫“无理数”.有理 数和无理数统称为实数.
思考：
七年级初一数学 第六章 实数知识点总结及答案
一、选择题
1．D
解析D
【分析】
根据已知等式，利用算术平方根性质判断即可得到结果．
【详解】
解：∵ =5.036，
∴ = =5.036×100=503.6，
故选：D．
【点睛】
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
分别根据平方根的定义，算术平方根的定义判断即可得出正确选项．
A．点CB．点DC．点AD．点B
6．下列各式中，正确的是（）
A． =±2B．± C． D．
7．在实数 、 、 、 、 中，无理数的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．已知一个正数的两个平方根分别是3a＋1和a＋11，这个数的立方根为（）
A．4B．3C．2D．0
9．借助计算器可求得 ， ， ，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想 等于（）
B. = ，所以 与 不是一组相反数，故本选项错误；
C. =2， =-2，所以 与 是一组相反数，故本选项正确；
D. =-2， =-2，所以 与 不是一组相反数，故本选项错误，
故选：C
【点睛】
本题考查了相反数，能将各数化简并正确掌握相反数的概念是解题关键.
5．B
解析：B
【分析】
由题意可知转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知其四次一次循环，由此可确定出2016所对应的点.
__________．
14．a※b是新规定的这样一种运算法则：a※b=a+2b，例如3※（﹣2）=3+2×（﹣2）=﹣1．若（﹣2）※x=2+x，则x的值是_____．
第六章 实数(讲义及答案)附解析
第六章 实数(讲义及答案)附解析一、选择题1．如果一个自然数的算术平方根是n ，则下一个自然数的算术平方根是( ) A ．n +1B ．21n +C ．1n +D ．21n2．下列结论正确的是（ ） A ．无限小数都是无理数 B ．无理数都是无限小数 C ．带根号的数都是无理数 D ．实数包括正实数、负实数3．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，则图中正方形ABCD 的边长是（ ）A ．2B ．5C ．6D ．34．下列说法中正确的个数有（ ） ①0是绝对值最小的有理数； ②无限小数是无理数；③数轴上原点两侧的数互为相反数； ④相反数等于本身的数是0； ⑤绝对值等于本身的数是正数； A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．下列实数中是无理数的是（ ） A ．B ．C ．0.38D ．6．下列实数中的无理数是（ ） A ． 1.21B ．38-C ．33-D ．2277．如图，数轴上,A B 两点表示的数分别为1,2--，点B 关于点A 的对称点为点C ，则点C 所表示的数是（ ）A ．12B 21C ．22D 22 8．已知一个正数的两个平方根分别是3a ＋1和a ＋11，这个数的立方根为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．09．借助计算器可求得22435，22443355+=，22444333555+=，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想222020420203444333+个个等于（ ）A ．20174555个B ．20185555个C ．20195555个D ．20205555个10．已知（﹣25）2的平方根是a ，﹣125的立方根是b ，则a ﹣b 的值是（ ） A ．0或10B ．0或﹣10C ．±10D ．0二、填空题11．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b=．例如：(-3)☆2=32322-++-- = 2．从﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任选两个有理数做a ，b(a≠b)的值，并计算a ☆b ，那么所有运算结果中的最大值是_____． 12．[x )表示小于x 的最大整数，如[2.3)=2，[-4)=-5，则下列判断：①[385-)= 8-；②[x )–x 有最大值是0；③[x ) –x 有最小值是-1；④x 1-≤[x )<x ，其中正确的是__________ （填编号）．13．如果一个有理数a 的平方等于9，那么a 的立方等于_____． 14．x-1+（y+2）2=0，则(x+y)2019等于_____． 15．观察下列各式： 123415⨯⨯⨯+=； 2345111⨯⨯⨯+=； 3456119⨯⨯⨯+=；121314151a ⨯⨯⨯+=，则a =_____． 16．用⊕表示一种运算，它的含义是：1(1)(1)xA B A B A B ⊕=++++，如果5213⊕=，那么45⊕= __________． 17．若()221210a b c -+-=，则a b c ++=__________． 18116的算术平方根为_______． 19．已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求31ab c d -+＝_____． 20．2x -﹣x|＝x+3，则x 的立方根为_____．三、解答题21．（阅读材料）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：10=100=，1000593191000000<<，∴10100<<．∴能确定59319的立方根是个两位数． 第二步：∵59319的个位数是9，39729= ∴能确定59319的立方根的个位数是9．第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，<<34<<，可得3040<<，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （解答问题）根据上面材料，解答下面的问题 （1）求110592的立方根，写出步骤．（2=__________． 22．阅读型综合题对于实数x y ，我们定义一种新运算(),L x y ax by =+（其中a b ，均为非零常数），等式右边是通常的 四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为(),L x y ，其中x y ，叫做线性数的一个数对．若实数 x y ，都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x y ，叫做正格线性数的正格数对．（1）若(),3L x y x y =+，则()2,1L = ，31,22L ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）已知(),3L x y x by =+，31,222L ⎛⎫=⎪⎝⎭．若正格线性数(),18L x kx =，（其中k 为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出；若没有，请说明理由． 23．规定两数a ，b 之间的一种运算，记作(a ，b )：如果c a b =，那么(a ，b )=c ． 例如：因为23=8，所以(2，8)=3． （1）根据上述规定，填空：（3，27）=_______，（5，1）=_______，（2，14）=_______． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n ，4n ）=（3，4）小明给出了如下的证明： 设（3n ，4n ）=x ，则（3n ）x =4n ，即（3x ）n =4n 所以3x =4，即（3，4）=x ， 所以（3n ，4n ）=（3，4）．请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由：(4，5)+(4，6)=(4，30) 24．阅读下列材料：()1121230123⨯=⨯⨯-⨯⨯ 123(234123)3⨯=⨯⨯-⨯⨯()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯ 由以上三个等式相加，可得 读完以上材料，请你计算下列各题． （1）求1×2+2×3+3×4+…+10×11的值．（2）1×2+2×3+3×4+……+n×（n+1）=___________．25．已知1x +与2y -互为相反教，z 是64的方根，求x y z -+的平方根 26．已知a 是最大的负整数，b 是多项式2m 2n ﹣m 3n 2﹣m ﹣2的次数，c 是单项式﹣2xy 2的系数，且a 、b 、c 分别是点A 、B 、C 在数轴上对应的数．（1）求a 、b 、c 的值，并在数轴上标出点A 、B 、C ．（2）若M 点在此数轴上运动，请求出M 点到AB 两点距离之和的最小值； （3）若动点P 、Q 同时从A 、B 出发沿数轴负方向运动，点P 的速度是每秒12个单位长度，点Q 的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q 能追上点P ？（4）在数轴上找一点N ，使点M 到A 、B 、C 三点的距离之和等于10，请直接写出所有的N 对应的数．（不必说明理由）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据算术平方根的平方等于这个这个自然数，得出下一个自然数，可得答案． 【详解】解：这个自然数是2n ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是21n +， 21n ． 故选：D ．【点睛】本题考查了算术平方根，掌握一个数算术平方根的平方等于这个数是解题关键．2．B解析：B【分析】利用无理数，实数的性质判断即可．【详解】A、无限小数不一定是无理数，错误；B、无理数都是无限小数，正确；C、带根号的数不一定是无理数，错误；D、实数包括正实数，0，负实数，错误，故选：B．【点睛】考核知识点：实数.理解实数的分类是关键.3．B解析：B【分析】由图可知；正方形面积为5．再由正方形的面积等于边长的平方依据算术平方根定义即可得出答案.【详解】解：由图可知，正方形面积=133-421=52⨯⨯⨯⨯，∴正方形边长故选：B．【点睛】本题考查勾股定理，无理数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．A解析：A【分析】分别利用绝对值的定义、无理数、有理数的定义、相反数的定义分别进行判断即可得出答案．【详解】①0是绝对值最小的有理数；根据绝对值的性质得出，故此选项正确；②无限小数是无理数；根据无限循环小数是有理数判断，故此选项错误；③数轴上原点两侧的数互为相反数；根据到原点距离相等的点是互为相反数，故此选项错误；④相反数等于本身的数是0；根据相反数的定义判断，故此选项正确；⑤绝对值等于本身的数是正数；还有0的绝对值也等于本身，故此选项错误.∴正确的个数有2个故选：A.【点睛】本题主要考查了绝对值的定义、无理数、有理数的定义、相反数的定义等知识，熟练掌握其性质是解题关键.5．A解析：A【解析】【分析】根据有理数和无理数的概念解答：无限不循环小数是无理数．【详解】解: A、π是无限不循环小数，是无理数；B、=2是整数，为有理数；C、0.38为分数，属于有理数；D. 为分数，属于有理数.故选：A.【点睛】本题考查的是无理数，熟知初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数是解答此题的关键．6．C解析：C【分析】无限不循环小数是无理数，根据定义解答.【详解】1.21=1.1是有理数；38-，是有理数；33-是无理数；D. 227是分数，属于有理数，故选：C.【点睛】此题考查无理数的定义，熟记定义是解题的关键. 7．D解析：D【分析】设点C的坐标是x，根据题意列得212x=-，求解即可.【详解】解：∵点A 是B ，C 的中点． ∴设点C 的坐标是x ，则12x=-，则2x =-+∴点C 表示的数是2-+ 故选：D . 【点睛】此题考查数轴上两点的中点的计算公式：两点的中点所表示的数等于两点所表示的数的平均数，正确掌握计算公式是解题的关键.8．A解析：A 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，可知3a+1+a+11=0，a=-3，继而得出答案． 【详解】∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴3a+1+a+11=0，a=-3， ∴3a+1=-8，a+11=8 ∴这个数为64，所以，这个数的立方根为：4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．9．D解析：D 【分析】当根号内的两个平方的底数为1位数时，结果为5，当根号内的两个平方的底数为2位数时，结果为55，当根号内的两个平方的底数为3位数时，结果为555，据此即可找出规律，根据此规律作答即可． 【详解】5，55=，555=，……20205555个．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了与算术平方根有关的数的规律探求问题，解题的关键是由前三个式子找到规律，再根据所找到的规律解答．10．A解析：A 【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案． 【详解】2＝25， ∴25的平方根是±5， ﹣125的立方根是﹣5， ∴a ＝±5，b ＝﹣5， 当a ＝5时，原式＝5﹣（﹣5）＝10， 当a ＝﹣5时，原式＝﹣5﹣（﹣5）＝0， 故选：A ． 【点睛】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练运用平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．二、填空题 11．8 【解析】解：当a ＞b 时，a☆b= =a，a 最大为8；当a ＜b 时，a☆b==b，b 最大为8，故答案为：8．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解析：8 【解析】解：当a ＞b 时，a ☆b =2a b a b++- =a ，a 最大为8；当a ＜b 时，a ☆b =2a b a b++-=b ，b 最大为8，故答案为：8．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．③，④【分析】①[x) 示小于x的最大整数，由定义得[x)x≤[x)+1，[)<<-8，[)=-9即可，②由定义得[x)x变形可以直接判断，③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断，④由定义解析：③，④【分析】①[x) 示小于x的最大整数，由定义得[x)<x≤[x)+1，[385-)<385-<-8，[385-)=-9即可，②由定义得[x)<x变形可以直接判断，③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断，④由定义知[x)<x≤[x)+1，由x≤[x)+1变形的x-1≤[x)，又[x)<x联立即可判断．【详解】由定义知[x)<x≤[x)+1，①[385-)=-9①不正确，②[x)表示小于x的最大整数，[x)<x，[x) -x<0没有最大值，②不正确③x≤[x)+1，[x)-x≥-1，[x)–x有最小值是-1，③正确，④由定义知[x)<x≤[x)+1，由x≤[x)+1变形的x-1≤[x)，∵[x)<x，∴x1-≤[x)<x，④正确．故答案为：③④．【点睛】本题考查实数数的新规定的运算，阅读题给的定义，理解其含义，掌握性质[x)<x≤[x)+1，利用性质解决问题是关键．13．±27【分析】根据a的平方等于9，先求出a，再计算a3即可．【详解】∵（±3）2=9，∴平方等于9的数为±3，又∵33=27，（-3）3=-27．故答案为±27．【点睛】本题考查了解析：±27【分析】根据a的平方等于9，先求出a，再计算a3即可．【详解】∵（±3）2=9，∴平方等于9的数为±3，又∵33=27，（-3）3=-27．故答案为±27．【点睛】本题考查了平方根及有理数的乘方．解题的关键是掌握平方根的概念及有理数乘方的法则. 14．-1【分析】根据非负数的性质先求出x与y，然后代入求解即可.【详解】解：∵+（y+2）2=0∴∴(x+y)2019=-1故答案为：-1.【点睛】本题主要考查了非负数的性质，熟解析：-1【分析】根据非负数的性质先求出x与y，然后代入求解即可.【详解】（y+2）2=0∴1020 xy-=+=⎧⎨⎩12 xy=⎧∴⎨=-⎩∴(x+y)2019=-1故答案为：-1.【点睛】本题主要考查了非负数的性质，熟练掌握性质，并求出x与y是解题的关键. 15．181【分析】观察各式得出其中的规律，再代入求解即可．由题意得将代入原式中故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．解析：181【分析】观察各式得出其中的规律，再代入12n=求解即可．【详解】由题意得()31n n=⨯++将12n=代入原式中12151181a==⨯+=故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．16．【分析】按照新定义的运算法先求出x，然后再进行计算即可.【详解】解：由解得：x=8故答案为.【点睛】本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x的解析：17 45【分析】按照新定义的运算法先求出x，然后再进行计算即可.【详解】解：由15 21=21(21)(11)3x⊕=++++18181745==45(41)(51)93045⊕=+++++ 故答案为1745. 【点睛】 本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x 的值.17．【分析】先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a 、b 、c 的值，再代入即可得．【详解】由题意得：，解得，则，故答案为：．【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用 解析：12- 【分析】先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a 、b 、c 的值，再代入即可得．【详解】由题意得：2102010a b c -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得1221a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩， 则()112122a b c ++=+-+=-， 故答案为：12-． 【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用等知识点，熟练掌握绝对值、算术平方根、偶次方的非负性是解题关键． 18．【分析】利用算术平方根的定义计算得到的值，求出的算术平方根即可．．【详解】∴的算术平方根为；故答案为：.【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 解析：12【分析】14=的值，求出14的算术平方根即可．． 【详解】14=12=，的算术平方根为12； 故答案为：12. 【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．19．【分析】根据a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数求出ab ＝1，c+d ＝0，然后代入求值即可．【详解】∵a、b 互为倒数，∴ab＝1，∵c、d 互为相反数，∴c+d＝0，∴＝﹣1+0+1＝0．解析：【分析】根据a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数求出ab ＝1，c +d ＝0，然后代入求值即可．【详解】∵a 、b 互为倒数，∴ab ＝1，∵c 、d 互为相反数，∴c +d ＝0，∴1＝﹣1+0+1＝0．故答案为：0．此题考查倒数以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．20．3【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围进而得出x的值，求出答案．【详解】解：∵有意义，∴x﹣2≥0，解得：x≥2，∴+x﹣2＝x+3，则＝5，故x﹣2＝25，解得解析：3【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围进而得出x的值，求出答案．【详解】∴x﹣2≥0，解得：x≥2，﹣2＝x+3，5，故x﹣2＝25，解得：x＝27，故x的立方根为：3．故答案为：3．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题关键．三、解答题21．（1）48；（2）28【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．（2）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．解：（1）第一步：10=100=，11059210100000000<<，10100∴<，∴能确定110592的立方根是个两位数．第二步：110592的个位数是2，38512=，∴能确定110592的立方根的个位数是8．第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，，则45<<，可得4050<，由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；（2）第一步：10=100=，1000219521000000<<，10100∴<，∴能确定21952的立方根是个两位数．第二步：21952的个位数是2，38512=，∴能确定21952的立方根的个位数是8．第三步：如果划去21952后面的三位952得到数21，23<，可得2030，由此能确定21952的立方根的十位数是2，因此21952的立方根是28．28=，故答案为：28．【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．22．（1）5，3；（2）有正格数对，正格数对为()26L ，【分析】（1）根据定义，直接代入求解即可；（2）将31,222L ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入(),3L x y x by =+求出b 的值，再将(),18L x kx =代入(),3L x y x by =+，表示出kx ，再根据题干分析即可．【详解】解：（1）∵(),3L x y x y =+∴()2,1L =5，31,22L ⎛⎫= ⎪⎝⎭3 故答案为：5，3；（2）有正格数对． 将31,222L ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入(),3L x y x by =+，得出，1111323232L b ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭，， 解得，2b =， ∴()32L x y x y =+，，则()3218L x kx x kx =+=， ∴1832x kx -=∵x ，kx 为正整数且k 为整数 ∴329k +=，3k =，2x =，∴正格数对为：()26L ，． 【点睛】本题考查的知识点是实数的运算，理解新定义是解此题的关键．23．（1）3，0，-2 (2) (4，30)【解析】分析：（1）根据阅读材料，应用规定的运算方式计算即可；（2）应用规定和同底数幂相乘的性质逆用变形计算即可.详解：（1）∵33=27∴（3，27）=3∵50=1∴（5，1）=1∵2-2=14∴（2，14）=-2 （2）设（4，5）=x ，（4，6）=y则x 45=，y 4=6∴x y x y 44430+=⋅=∴（4，30）=x+y∴(4，5)+(4，6)=(4，30)点睛：此题是一个规定计算的应用型的题目，关键是灵活应用规定的关系式计算，熟练记忆幂的相关性质.24．（1）440；（2）()()1123n n n ++． 【分析】通过几例研究n(n+1)数列前n 项和，根据题目中的规律解得即可．【详解】．（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11=1(123012)3⨯⨯-⨯⨯+1(234123)3⨯⨯-⨯⨯+1(345234)3⨯⨯-⨯⨯+…+1(10111291011)3⨯⨯-⨯⨯ =1101112=4403⨯⨯⨯．（2）1×2+2×3+3×4+……+n×（n+1） =1(123012)3⨯⨯-⨯⨯+1(234123)3⨯⨯-⨯⨯+1(345234)3⨯⨯-⨯⨯+…+ ()()()()121113n n n n n n ++--+⎡⎤⎣⎦ =()()1123n n n ++． 故答案为：()()1123n n n ++．【点睛】本题考查数字规律问题，读懂题中的解答规律，掌握部分探究的经验，用题中规律进行计算是关键．25．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出x 、y 的值，然后求出z 的值，再根据平方根的定义解答．【详解】，∴x+1=0,2-y=0，解得x=-1，y=2，∵z 是64的方根，∴z=8所以，x y z -+=-1-2+8=5，所以，x y z -+的平方根是【点睛】此题考查非负数的性质，相反数，平方根的定义，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．26．（1）a=﹣1，b=5，c=﹣2，数轴详见解析；（2）6；（3）运动4秒后，点Q 可以追上点P ；（4）M 对应的数为2或﹣223． 【解析】【分析】（1）根据题意易得a，b，c的值，然后在数轴上表示出来即可；（2）当M点在线段AB上时，M点到AB两点距离之和的最小值为AB的长；（3）用AB的长度除以点Q与点P的速度差即可得解；（4）分析M点在不同的位置时，所得到的M的值即可.【详解】（1）∵a是最大的负整数，∴a=﹣1，∵b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，∴b=3+2=5，∵c是单项式﹣2xy2的系数，∴c=﹣2，如图所示：（2）当M点在线段AB上时，M点到AB两点距离之和的最小值为5﹣（﹣1）=6；（3）∵动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒12个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，∴AB=6，两点速度差为：2﹣12，∴6÷（2﹣12）=4，答：运动4秒后，点Q可以追上点P；（4）存在点M，使P到A、B、C的距离和等于10，当M在AB之间，则M对应的数是2，当M在C点左侧，则M对应的数是：﹣22 3 .综上所述，M对应的数为2或﹣223．【点睛】本题主要考查实数与数轴，数轴上两点之间的距离.解此题的关键在于根据题意准确画出数轴上各点所表示的数.。
人教版七年级下册 第六章 实数 第二讲 立方根 讲义(解析版)
【答案】B；
提示：任何数都有立方根，但是负数没有平方根.
2.下列说法正确的是（ ）
A．﹣4的立方是64B．0.1的立方根是0.001
C．4的算术平方根是16D．9的平方根是±3
【答案】D.
例2．（1）下列运算中错误的有（）
① ＝ ；② ；③ ；④ ；⑤
（2）
（3）
课堂巩固
1.估算31的立方根在两个整数之间.
【答案】4和5
2.比较 的大小
【答案】
3.比较3
【答案】<
【答案】
例4求下列各式中x的值
（1） （2）8(x－1)3＝－ （3） ．
【答案】（1） ； （2）x＝－ ；（2）x=3.
【详解】
（1） ； ； ；
（2） ； ； ；
（3）x3﹣24＝3；x3＝27；∴x＝3
实数
第二讲立方根
知识讲解
一、立方根的定义
如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如果 ，那么 叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
补充：一个数 的立方根，用 表示，其中 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
二、立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
五、平方根与立方根的联系
典例讲解
例1、下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4B． 是 的立方根
C．立方根等于本身的数只有0和1D．
【答案】D；
【解析】64的立方根是4； 是 的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.
课堂巩固
1.下列说法正确的是（ ）
七年级数学下册 第六章 实数 6.3 实数 第1课时 实数的概念
第二十二页，共二十六页。
课时 第1
(kèshí)
实数的概念
解：因为 a，b 互为倒数，所以 ab＝1. 因为 c，d 互为相反数，所以 c＋d＝0. 因为 e 的绝对值为 2，所以 e＝± 2， 所以 e2＝(± 2)2＝2. 因为 f 的算术平方根是 8， 所以 f＝64，所以3 f＝3 64＝4，所以12ab＋c＋5 d＋e2＋3 f＝21＋0＋2＋4＝612.
A.1a＜a＜－a B．－a＜1a＜a
C．a＜1a＜－a D.1a＜－a＜a
图 6－3－2
[解析] 采用特殊值法来解决．不妨设 a＝－12，则－a＝21，1a＝－2. 因为－2＜－12＜12，所以1a＜a＜－a.故选 A.
第十五页，共二十六页。
课时 第1
(kèshí)
实数的概念
17．已知 a 为实数，则下列四个数中一定为非负数的是( C )
6．按大小分，实数可分为__正_实__数___、__0______、__负_实__数___三类．
(shìshù)
(shìshù)
第六页，共二十六页。
第1课时 实数(shìshù)的概念
7．把下列各数分别填入相应的数集里．
－13π，－2123， 7，3 27，0.324371，0.5，3 9，－ 0.4， 16，
第1课时(kèshí) 实数的概念 2．任何一个有理数都可以写成_有_限_小__数_或__无_限_(_wú_xià_n)_循_环_小__数_的形式，反 过来，任何_有__限_小_数__或_无__限_(w_úx_ià_n)循__环_小_数__都是有理数． 3．下列各数中：－14，3.14159，－π，ππ5 ，0，0.3，15，5.2·01·， 2.121122111222…，其中无理数有__－_π__，__5_，__2._1_21_1_2_2_11_1_2_22_…____．
人教版七年级数学下册第六章第三节实数说课稿(第一课时)
5.最后，我会让学生参与讨论，探讨实数在实际生活中的应用，如测量、建筑等，以此加深学生对实数概念的理解。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习和实践活动：
1.设计一些填空题和选择题，让学生独立完成，测试他们对实数定义、分类和性质的理解。
3.角色扮演：通过角色扮演活动，让学生模拟实数在数轴上的移动和运算过程，增强学生的参与感和学习兴趣。
这些互动方式旨在促进学生的积极参与和合作，通过实践和讨论，加深对实数概念的理解，提高学生的合作能力和沟通能力。
四、教学过程设计
（一）导入新课
新课导入是激发学生兴趣和注意力的关键环节。我将采用情境导入法开始本节课的教学。首先，我会展示一张包含不同长度线段的图片，并提问学生：“你们能比较这些线段的长度吗？如果用数字来表示它们，会遇到什么问题？”通过这个问题，引发学生对实数概念的好奇心。接着，我会讲述一个关于古代数学家在研究几何图形时遇到的问题，如毕达哥拉斯学派发现无法用整数比例表示直角三角形斜边与两直角边的关系，从而引出无理数的概念。这样的导入方式能够快速吸引学生的注意力，激发他们对新课内容的兴趣。
（二）学习障碍
学生在学习本节课之前，已经具备了一定的整数和分数的基础知识，了解了一些基本的数学运算规则。然而，对于实数的概念，特别是无理数的理解，可能是一个学习障碍。学生可能对无理数的抽象概念感到难以理解，对于实数与数轴的关系建立也可能感到困惑。此外，学生可能缺乏将抽象数学概念应用于具体问题的能力，这也会成为学习本节课的障碍。
1.让学生回顾本节课所学内容，自我评估对新知识的掌握程度。
海南海师附中七年级数学下册第六章【实数】知识点总结(含解析)
一、选择题 1．在实数：20192020，π，9，3，2π，38，0.36，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1），52-，49中，无理数的个数为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．72．下列各式计算正确的是（ ） A ．31-=-1B ．38= ±2C ．4= ±2D ．±9=33．下列各数中比3-小的数是( ) A ．2-B ．1-C ．12-D ．04．下列说法中，正确的是 （ ） A ．64的平方根是8 B ．16的平方根是4和－4 C ．()23-没有平方根D ．4的平方根是2和－25．各个数位上数字的立方和等于其本身的三位数叫做“水仙花数”．例如153是“水仙花数”，因为333153153++=．以下四个数中是“水仙花数”的是（ ） A ．135B ．220C ．345D ．4076．如图，在数轴上表示1,3的对应点分别为A B 、，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的数为（ ）A 31B ．13C ．23D 327．在一列数：1a ，2a ，3a ，…，n a 中，1=7a ，2=1a 从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这列数中的第2020个数是（ ） A ．1B ．3C ．7D ．98．如图，直径为1个单位长度的圆从A 点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点B ，则点B 表示的数是（ ）A ．1π-B ．21π-C ．2πD ．21π+9．已知实数a 的一个平方根是2-，则此实数的算术平方根是（ ） A ．2±B ．2-C ．2D ．410．81的平方根是（ ） A ．9B ．-9C ．9和9-D ．8111．下列说法中，错误的是（） A ．实数与数轴上的点一一对应 B ．1π+是无理数 C ．32是分数 D ．2是无限不循环小数二、填空题12．若()22210b a b -+++-=，求()2020a b +的值．13．计算： （1）3168--． （2）()23540.255(4)8⨯--⨯⨯-．14．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米．（提示：182＝324） （1）求正方形纸板的边长；（2）若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343立方厘米的正方体，求剩余的正方形纸板的面积．15．初一年级某同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：21a b a ab ⊕=--．求()23-⊕的值． 16．比较大小：221（填“＞”、“＝”或“＜”）．17．规定一种新的定义：a ★b －a 2，若a ＝3，b ＝49，则(a ★b )★b ＝_________． 18．在实数的原有运算法则中，我们补充新运算法则“*”如下：当a≥b 时，a*b=b 2，当a<b时，a*b=a ，则当时，()()1*-3*=x x x ______19．计算20201|-+=_________．20．已知1×1=1；11×11=121；111×111=12321；1111×1111=1234321，则111111×111111=_____． 21．“⊗”定义新运算：对于任意的有理数a 和b ，都有21a b b ⊗=+．例如：2955126⊗=+=．当m 为有理数时，则(3)m m ⊗⊗等于________．三、解答题22．计算：（1）﹣12﹣（﹣2）（21）＋2|23．1 24．计算：（1． （2）()23540.255(4)8⨯--⨯⨯-．25．小明定义了一种新的运算，取名为⊗运算，按这种运算进行运算的算式举例如下：①（+4）⊗（+2）＝+6；②（﹣4）⊗（﹣3）＝+7；③（﹣5）⊗（+3）＝﹣8；④（+6）⊗（﹣4）＝﹣10；⑤（+8）⊗0＝8；⑥0⊗（﹣9）＝9． 问题：（1）请归纳⊗运算的运算法则：两数进行⊗运算时， ；特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算， ． （2）计算：[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]； （3）我们都知道乘法有结合律，这种运算律在有理数的⊗运算中还适用吗？请判断是否适用，并举例验证．一、选择题1．对于任意不相等的两个实数a ，b ，定义运算：a ※b ＝a 2﹣b 2+1，例如3※2＝32﹣22+1＝6，那么（﹣5）※4的值为（ ） A ．﹣40B ．﹣32C ．18D ．102．有下列说法：①在1和2之间的无理数有且只有2,3这两个；②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④2π是分数．其中正确的为（ ） A ．①②③④B ．①②④C ．②④D ．②3．下列说法中，正确的是（ ） A ．正数的算术平方根一定是正数 B ．如果a 表示一个实数，那么－a 一定是负数 C ．和数轴上的点一一对应的数是有理数D ．1的平方根是14．若“！”是一种运算符号，且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，则计算2015!2014!正确的是（ ） A ．2015B ．2014C ．20152014D ．2015×20145．如图，直径为1个单位长度的圆从A 点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点B ，则点B 表示的数是（ ）A ．1π-B ．21π-C ．2πD ．21π+6．下列说法中，错误的是（） A ．实数与数轴上的点一一对应 B ．1π+是无理数C 3D 27． 5.713457.134，则571.34的平方根约为（ ） A ．239.03B ．±75.587C ．23.903D ．±23.9038．30.31，3π，27-912-38 1.212212221…(每两个1之间依次多一个2)中，无理数的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．设,A B 均为实数，且A B ==,A B 的大小关系是（ ）A ．AB > B ．A B =C ．A B <D ．A B ≥10．在223.14,, 5.12112111227π+--……中，无理数的个数为 （ ） A ．5B ．2C ．3D ．411．在1.414，213，5π，2-中，无理数的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题12．把下列各数在数轴上表示出来，并把它们按从小到大的顺序用“＜”连接：1.5-0，4-13．计算：（1）132322⎛⎫⨯-⨯-⎪⎝⎭（2）2291|11232⎛⎫-+--⨯- ⎪⎝⎭14．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1=1.414=14.14==0.1732=1.732，=17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向移动 位；（2=2.236=7.071= ，= ；（3=1=10=100…小数点变化的规律是： ．（4=2.154=4.642= ，= ． 15．已知一个正数m 的平方根为2n +1和4﹣3n ． （1）求m 的值；（2）|a ﹣3|（c ﹣n ）2＝0，a +b +c 的立方根是多少？16．（1）小明解方程2x 1x a332-+=-去分母时，方程右边的−3忘记乘6，因而求出的解为x=2，则原方程正确的解为多少？（2）设x ，y 是有理数，且x ，y 满足等式2x 2y 17++=-x-y 的值． 17．求满足下列条件的x 的值:（1）3(3)27x +=-；（2）2(1)218x -+=．18．()220y -=，则xy =_________． 19．把下列各数填入相应的集合里：﹣3，|﹣5|，+（13-），﹣3.14，0，﹣1.2121121112…，﹣（﹣2.5），34，﹣|45-|，3π正数集合：{_____________…}； 整数集合：{_____________…}； 负分数集合：{_____________…}； 无理数集合：{_____________…}． 20．（1）求x 的值：2490x -=；（221．定义一种新运算“”规则如下：对于两个有理数a ，b ，ab ab b =-，若()()521x -=-，则x =______三、解答题22．计算：（1）7|2|--（2）23115422⎛⎫⎛⎫⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23．已知1,25x a y a =-=-．（1）已知x 的算术平方根为3，求a 的值； （2）如果x y ，都是同一个数的平方根，求这个数．24．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示，设点B 所表示的数为m ．（1）实数m 的值是___________； （2）求|1||1|m m ++-的值；（3）在数轴上还有C 、D 两点分别表示实数c 和d ，且有|2|c d +求23c d -的平方根．25．求满足条件的x 值： （1）()23112x -= （2）235x -=一、选择题1．下列命题中，①81的平方根是9；②16的平方根是±2；③−0.003没有立方根；④−64的立方根为±4；⑤5，其中正确的个数有（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．在实数﹣34，0，9，215中，是无理数的是（ ） A ．﹣34B ．0C ．9D ．2153．下列各数中无理数共有（ ） ①–0.21211211121111，②3π，③227，④8，⑤39．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．下列说法中，正确的是 （ ） A ．64的平方根是8 B ．16的平方根是4和－4 C ．()23-没有平方根D ．4的平方根是2和－25．下列说法正确的是（ ） A ．2的平方根是2 B ．（﹣4）2的算术平方根是4 C ．近似数35万精确到个位 D ．无理数21的整数部分是56．如图，直径为1个单位长度的圆从A 点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点B ，则点B 表示的数是（ ）A ．1π-B ．21π-C ．2πD ．21π+7．已知实数a 的一个平方根是2-，则此实数的算术平方根是（ ） A ．2±B ．2-C ．2D ．48．数轴上表示下列各数的点，能落在A ，B 两个点之间的是（ ）A ．3B 7C 11D 139．下列计算正确的是（ ） A 11-=-B 2(3)3-=-C 42=±D 31182-=-10．和数轴上的点一一对应的数是（ ） A ．自然数B ．有理数C ．无理数D ．实数11．下列计算正确的是（ ）A ．21155⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()239-=C 42=±D ．()515-=-二、填空题12．计算： （13168-． （2）()23540.255(4)8⨯--⨯⨯-．13．计算：（1）(23)(41)----； （2）1111115()13()3()555-⨯-+⨯--⨯-； （3）23(2)|21|27-+；（4）311()()(2)424-⨯-÷-．14．求满足条件的x 值：（1）()23112x -= （2）235x -=15．解方程：（1）24(1)90--=x （2）31(1)7x +-=-16．若一个正数的平方根是3m +和215m -，n 的立方根是2-，则2n m -+的算术平方根是______．17．把下列各数填在相应的集合里： 4，3.5，0，3π，5-4，10%，2-3，2016，﹣2.030030003…（每两个3之间依次多一个0）正分数集合{ …} 负有理数集合{ …} 非负整数集合{ …} 无理数集合{ …}．18．27-的立方根是___________；81的平方根是___________；| 3.14|π-的绝对值是___________． 19．求下列各式中的x ： （1）2940x -=；（2）3(1)8x -=20．已知21a -的平方根是17±，31a b +-的算术平方根是6，求4a b +的平方根． 21．根据如图所示的程序计算，若输出y 的值为16，则输入x 的值为 ______．三、解答题22．已知31a +的算数平方根是4，421c b +-的立方根是3，c 1322a b c +-的平方根．23．已知1,25x a y a =-=-．（1）已知x 的算术平方根为3，求a 的值； （2）如果x y ，都是同一个数的平方根，求这个数．24．计算：()23143282--⨯--（） 25．求下列各式中x 的值： （1）()214x -=； （2）3381x =-．。
(文末带答案)人教版初一数学第六章实数考点题型与解题方法
(文末带答案)人教版初一数学第六章实数考点题型与解题方法单选题1、下列命题是真命题的是（）A．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0B．如果一个数的平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0C．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数定是0D．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数定是02、已知a，b分别是6﹣√5的整数部分和小数部分，则( )A．a＝2，b=3−√5B．a＝3，b=3−√5C．a＝4，b=2−√5D．a＝6，b=3−√53、估计√5+√2×√10的值应在（）A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间4、下列四个实数中，是无理数的为（）A．0B．2C．−2D．√375、25的平方根是（）A．5B．-5C．±5D．±√56、下列说法：①数轴上的任意一点都表示一个有理数；②若a、b互为相反数，则a+b=0；③多项式xy2−xy+24是四次三项式；④几个有理数相乘，如果负因数有奇数个，则积为负数，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个7、√3−1的相反数是（）A．1+√3B．1−√3C．−1+√3D．−1−√38、估计√7+1的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间填空题9、下列说法中,正确的有____个.①5是25的算术平方根;②-9的算术平方根是-3;③(-7)2的算术平方根是±7;④0是0的算术平方根;⑤0.01是0.1的算术平方根;⑥0.1是0.01的算术平方根.10、绝对值小于√10的整数有______个．11、若√73的整数部分是a，小数部分是b，则2a−b=__．12、如果一个数的平方根是a+6和2a﹣15，则这个数为________．13、将下列各数填入相应的括号里：−|−0.7|,−(−9),−512,0,8,−2,π2,23,−1.121121112…,−0.1·5·．整数集合{ …}；负分数集合{ …}；无理数集合{ …}．解答题14、【阅读材料】∵√4＜√5＜√9，即2＜√5＜3，∴1＜√5−1＜2，∴√5−1的整数部分为1，∴√5−1的小数部分为√5−2 【解决问题】（1）填空：√91的小数部分是；（2）已知a是√21−4的整数部分，b是√21−4的小数部分，求代数式（﹣a）3+（b+4）2的值．15、如果2b＝n，那么称b为n的布谷数，记为b＝g（n），如g（8）＝g（23）＝3．（1）根据布谷数的定义填空：g（2）＝，g（32）＝．（2）布谷数有如下运算性质：若m，n为正数，则g（mn）＝g（m）+g（n），g（m）＝g（m）﹣g（n）．根n）＝．据运算性质填空：若g（7）＝2.807．则g（14）＝，g（74（3）下表中与数x对应的布谷数g（x）有且仅有两个是错误的，请指出错误的布谷数，要求说明你这样找的理由，并求出正确的答案（用含a，b的代数式表示）．(文末带答案)人教版初一数学第六章实数_016参考答案1、答案：B解析：根据平方、平方根、算术平方根、立方根的定义，思考特殊值，即可求出答案.解：A、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0或1，故A是假命题；B、如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，是真命题；C、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0或1，故C是假命题；D、如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是0、1、-1，故D是假命题.故选：B．小提示：此题主要考查了命题与定理，关键是掌握正确的命题为真命题，错误的命题为假命题．2、答案：B解析：先求出√5范围，再两边都乘以﹣1，再两边都加上6，即可求出a、b．∵2＜√5＜3，∴﹣3＜﹣√5＜﹣2，∴3＜6﹣√5＜4，∴a＝3，b＝6﹣√5﹣3＝3﹣√5；故选B．小提示：本题考查了估算无理数的大小和有理数的混合运算的应用，关键是根据学生的计算能力进行解答．3、答案：B解析：化简原式等于3√5，因为3√5=√45，所以√36<√45<√49，即可求解；解：√5+√2×√10=√5+2√5=3√5，∵3√5=√45，6<√45<7，故选B．小提示：本题考查估算无理数的大小；能够将给定的无理数锁定在相邻的两个整数之间是解题的关键．4、答案：D解析：根据无理数的定义“也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比”即可．由无理数的定义得：四个实数中，只有√3是无理数故选：D．小提示：本题考查了无理数的定义，熟记定义是解题关键．5、答案：C解析：如果一个数x的平方等于a，那么x是a是平方根，根据此定义即可解题．解：∵（±5）2＝25∴25的平方根±5．故选C．小提示：本题主要考查了平方根定义，关键是注意一个正数有两个平方根．6、答案：C解析：数轴上的点可以表示无理数，所以①错误；若a,b互为相反数则a+b=0，则②正确；24是常数项，所以③错误；根据有理数的乘法法则可判断④正确．数轴上的点既可以表示有理数，也可以表示无理数，所以①错误；若a,b互为相反数则a+b=0，则②正确；24是常数项，xy2−xy+24是三次三项式，故③错误；根据有理数的乘法法则可判断④正确.故正确的有②④，共2个故选C小提示：本题考查了实数与数轴、相反数、多项式、有理数的乘法，熟记概念是解题的关键．7、答案：B解析：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，实数的性质求解即可√3−1的相反数是1−√3，故选B小提示：本题考查了实数的性质，相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．8、答案：B解析：直接利用2＜√7＜3，进而得出答案．解：∵2＜√7＜3，∴3＜√7+1＜4，故选B．小提示：此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出√7的取值范围是解题关键．9、答案：3解析：根据算术平方根的定义对各个说法进行甄别即可得解.①5是25的算术平方根，此说法正确；②-9没有算术平方根是，故此说法错误；③(-7)2的算术平方根是7，故此说法错误；④0是0的算术平方根;故此说法正确；⑤应为0. 1是0. 01的算术平方根，故原说法错误；⑥0.1是0.01的算术平方根.，正确.故答案为3.10、答案：7解析：分析：根据绝对值的意义可知所要填写的整数的取值范围是-√10至√10之间.详解：设这个数为x,则|x|<√10∴-√10<x<√10.∴绝对值小于√10的所有整数有0，±1，±2，±3.点睛：本题考查了估计有理数的大小.先确定好整数的范围再确定具体整数，准确估计出√10的大小是解题的关键.11、答案：24−√73．解析：先确定出√73的范围，即可推出a、b的值，把a、b的值代入求出即可．解：∵8<√73<9，∴a=8，b=√73−8，∴2a−b=2×8−(√73−8)=24−√73．所以答案是：24−√73．小提示：考查了估算无理数的大，解此题的关键是确定√73的范围8<√73<9，得出a,b的值．12、答案：81解析：解：∵一个数的两个平方根是a +6和2a −15，∴(a +6)+(2a -15)=0,∴a =3,即这个数的两个平方根是9和－9，∴这个数是81；故答案是81．小提示：根据平方根的定义（如果一个数的平方等于a ，则这个数叫做a 的平方根，如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根）可知，一个正数如果有平方根，那么必定有两个，且它们互为相反数，所以令两个根相加等于0，即可求出．13、答案：见解析．解析：先化简，后根据整数包括正整数，0，负整数；负分数，无理数的定义去判断解答即可．∵-|-0.7|=-0.7，是负分数，-（-9）=9，是整数，−512是负分数， 0是整数，8是整数，-2是整数，π2是无理数，23是正分数，−1.121121112…是无限不循环小数，是无理数，−0.1·5·是无限循环小数，是有理数，是负分数，∴整数集合{ -（-9），0，8， -2 …}；负分数集合{ -|-0.7|， −512 ， −0.1·5· …}；无理数集合{ π2 ， −1.121121112……}． 所以答案是：-（-9），0，8， -2 ；-|-0.7|，−512，−0.1·5·；π2，−1.121121112……．小提示：本题考查了有理数，无理数，熟练掌握各数的定义，特征，并合理化简判断是解题的关键．14、答案：（1）√91−9；（2）21．解析：（1）由于81＜91＜100，可求√91的整数部分，进一步得出√91的小数部分；（2）先求出√21−4的整数部分和小数部分，再代入代数式进行计算即可．（1）∵81＜91＜100，∴9＜√91＜10，∴√91的整数部分是9，∴√91的小数部分是√91−9；（2）∵16＜21＜25，∴4＜√21＜5，∵a是√21−4的整数部分，b是√21−4的小数部分，∴a=4﹣4=0，b=√21−4，∴（﹣a）3+（b+4）2=0+21=21．小提示：本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法和无理数整数部分和小数部分的表示方法是解题关键．15、答案：（1）1，5；（2）3.807，0.807；（3）g （316）和g （6）错误，见解析，g （316）＝2a ﹣b ﹣4，g （6）＝1+2a ﹣b解析：（1）根据新定义得出答案即可；（2）根据新定义得出答案即可；（3）根据题意得出错误选项，进而得出正确答案．（1）g （2）＝g （21）＝1，g （32）＝g （25）＝5，所以答案是：1；5；（2）∵g （7）＝2.807，g （2）＝1，∴g （14）＝g （7）+g （2）＝3.807，g （74）＝g （7）﹣g （4），∵g （4）＝g （22）＝2， ∴g （74）＝2.807﹣2＝0.807， 所以答案是：3.807；0.807；（3）g （316）＝g （3）﹣4， g （23）＝1﹣g （3），g （6）＝g （2）+g （3）＝1+g （3），g （9）＝2g （3），g （27）＝3g （3），从表中数据得到g （3）＝2a ﹣b ，∴g（3）和g（6）错误，16∴g（3）＝2a﹣b﹣4，g（6）＝1+2a﹣b．16。
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
学会寻找规律，第①个图2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，那么第n个图呢，能求出这个即可解得本题。
【详解】
第①个图2五角星
第②个图 8五角星
第③个图 18五角星
…
第n个图 五角星
当n=7时，共有98个五角星。
(2)写出第2019个数的形式(中间部分用省略号，两端部分必须写详细)，然后推测出结果.
24．阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是 的小数部分，又例如：∵ ，即 ，∴ 的整数部分为2，小数部分为 。
第六章 实数(讲义及答案)及解析
一、选择题
1．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，依此类推，则第⑦个图形中五角星的个数是( )
A．98B．94C．90D．86
2．设 为正整数，且 ，则 的值为（）
A．42B．43C．44D．45
A．线段AB上B．线段BCA． B． C． D．
10．已知实数x，y满足关系式 +|y2﹣9|＝0，则 的值是（ ）
A．±3B．3C．﹣3或 D．3或
二、填空题
11．如图，按照程序图计算，当输入正整数 时，输出的结果是 ，则输入的 的值可能是__________．
【点睛】
寻找规律是解决本题的关键所在。
2．C
解析：C
【分析】
先确定 介于 、 这两个平方数之间，从而可以得到 ，再根据已知条件即可求得答案．
【详解】
解：∵
∴ ．
∴
∴
∵ 为正整数，且
∴ ．
故选：C
【点睛】
本题考查了无理数的估算，“夹逼法”是估算的一种常用方法，找到与 临界的两个完全平方数是解决问题的关键．
C． 一定是负数D．若 ，则
6． 的平方根与 的和是（ ）
A．0B．﹣4C．2D．0或﹣4
7．如图，数轴上O、A、B、C四点，若数轴上有一点M，点M所表示的数为 ，且 ，则关于M点的位置，下列叙述正确的是（）
A．在A点左侧B．在线段AC上C．在线段OC上D．在线段OB上
8．如图，若实数m＝﹣ +1，则数轴上表示m的点应落在（ ）
20．已知a、b为两个连续的整数，且a＜ ＜b，则a+b＝_____．
三、解答题
21．先阅读第 题的解法，再解答第 题：
已知a，b是有理数，并且满足等式 ，求a，b的值．
解：因为
所以
所以 解得
已知x，y是有理数，并且满足等式 ，求 的值．
22．探究与应用：
观察下列各式：
1+3＝2
1+3+5＝2
1+3+5+7＝2
请解答
（1） 的整数部分是______，小数部分是_______。
（2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求 的值。
（3）已知x是 的整数部分，y是其小数部分，直接写出 的值.
25．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即： ；
例如：比较 与2的大小
∵ 又∵ 则
∴
∴
请根据上述方法解答以下问题：比较 与 的大小．
1+3+5+7+9＝2
……
问题：（1）在横线上填上适当的数；
（2）写出一个能反映此计算一般规律的式子；
（3）根据规律计算：（﹣1）+（﹣3）+（﹣5）+（﹣7）+…+（﹣2019）．（结果用科学记数法表示）
23．下面是按规律排列的一列数：
第1个数： .
第2个数： .
第3个数： .
…
(1)分别计算这三个数的结果(直接写答案).
根据你发现的规律，取每行的第8个数，并求出它们的和_______（要求写出最后的计算结果）．
14．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为 （其中k是使 为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n=26，则：
若 ，则第201次“F”运算的结果是．
15．若已知 +（y+2）2=0，则(x+y)2019等于_____．
26．在已有运算的基础上定义一种新运算 ： ， 的运算级别高于加减乘除运算，即 的运算顺序要优先于 运算，试根据条件回答下列问题．
（1）计算： ；
（2）若 ，则 ；
（3）在数轴上，数 的位置如下图所示，试化简： ；
（4）如图所示，在数轴上，点 分别以1个单位每秒的速度从表示数-1和3的点开始运动，点 向正方向运动，点 向负方向运动， 秒后点 分别运动到表示数 和 的点所在的位置，当 时，求 的值．
16．m的平方根是n+1和n﹣5；那么m+n＝_____．
17．a※b是新规定的这样一种运算法则：a※b=a+2b，例如3※（﹣2）=3+2×（﹣2）=﹣1．若（﹣2）※x=2+x，则x的值是_____．
18．如果一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是______.
19．设 ， 都是有理数，规定 ，则 =__________．
3．C
解析：C
【分析】
根据无理数的三种形式求解．
【详解】
-3.14，2 ， ，0.1010010001．．．，+1.99，- 无理数的有：2 ，0.1010010001．．．，- 共3个
故选：C
【点睛】
本题考查了无理数的定义，辨析无理数通常要结合有理数的概念进行．初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π，3π等；②开方开不尽的数，如 ， 等；③虽有规律但是无限不循环的数，如0．1010010001…，等．
12．已知an＝ (n＝1，2，3，…)，记b1＝2(1－a1)，b2＝2(1－a1)(1－a2)，…，bn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，则通过计算推测出表达式bn＝________(用含n的代数式表示)．
13．观察下面两行数：
2，4，8，16，32，64…①
5，7，11，19，35，67…②
3．在下面各数中无理数的个数有( )
-3.14，2 ， ，0.1010010001．．．，+1.99，-
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．表面积为12dm2的正方体的棱长为（ ）
A． dmB．2 dmC．1dmD．2dm
5．下列说法正确的是（ ）
A．有理数是整数和分数的统称B．立方等于本身的数是0，1