运动学点的运动学

第二部分 运动学

第六章

点的运动学

一、基本要求

1．掌握描述点的运动的矢量法、直角坐标法和自然法（弧坐标法）。

2．了解描述点的运动的极坐标法。

3．能求点的运动轨迹。

4．能熟练地应用直角坐标法和自然法求解与点的速度和加速度有关的问题。

二、理论要点

1．描述点的运动的三种基本方法

（1）矢量法

z 运动方程

点的运动方程为动点在空间的几何位置随时间变化的规律。以矢量形式表示的点的运动方程为

)(t r r =

z 轨迹

轨迹为动点在空间运动时所经过的一条连续曲线。在矢量法中，矢径r 的矢端曲线即为点的运动轨迹。

z 速度

点的速度是个矢量，它等于矢径对时间的一阶导数，即

dt

d r v = z 加速度

点的加速度也是个矢量，它等于速度矢对时间的一阶导数，或等于矢径对时间的二阶导数，即

2dt

d dt d 2r v a == （2）直角坐标法

z 运动方程

)

()()

(321t f z t f y t f x ===

z 轨迹

从上面点的运动方程中消去时间t 即可得轨迹方程。如：

),(0

),(21==z y F y x F

z 速度 k j i v z y x v v v ++=

dt

dz v dt dy v dt

dx v z y x ===

即速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。由此可求得速度的大小和方向余弦。

z 加速度

k j i a z y x a a a ++=

222222dt

z d dt dv a dt

y d dt dv a dt

x d dt dv a z z y y x x ====== 即加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。由此可求得加速度的大小和方向余弦。

（3）自然法（弧坐标法）

利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系，并用它们来描述和分析点的运动的方法称为自然法。

z 运动方程

)(t f s =

z 速度

ττv dt

ds v =

= z 加速度 n τa a a n τn τa a +=+=

2

2dt s d dt dv a τ== ρ2

v a n =

式中，ρ为曲率半径。由此可求得全加速度的大小及其与法线间的夹角

22n τa a a +=

n τ

a a arctg =θ

切向加速度和法向加速度的物理意义：

切向加速度τa ：表示点的速度大小随时间的变化率。

法向加速度n a ：表示点的速度方向随时间的变化率。

说明：除以上三种基本方法外，还有极坐标法、柱坐标法和球坐标法。对于极坐标法，运动方程：

)

()(21t f t f ==ϕρ 速度：

ϕv v ρ+=0ρv 0ϕ

dt

d v ρρ= dt

d v ϕρϕ=

加速度：

ϕa a ρ+=0ρa 0ϕ

222)(dt d dt

d a ϕρρρ−= (12dt d dt

d a ϕρρϕ= 2．三种基本方法的特点

z 矢量法

简明、直接，常用于理论推导。

z 直角坐标法

便于代数及微积分运算，常用于点的运动轨迹未知的情况。

z 自然法（弧坐标法）

速度、切向加速度及法向加速度的物理意义明确，常用于点的运动轨迹已知的情况。

3．几种特殊运动

z 直线运动

,0≡n a ∞=ρ

z 圆周运动

=ρ常数

z 匀速运动

=v 常数， 0≡τa

即只有法向加速度。当点作匀速直线运动时，切向加速度和法向加速度均为零。

z 匀变速运动

=τa 常数

t a v v τ+=0

2002

1t a t v s s τ++=

三、重点难点

1．重点

（1）描述点的运动的直角坐标法和自然法（弧坐标法）。

（2）点的速度和加速度的计算。

2．难点

（1）自然轴系的理解。

（2）切向加速度和法向加速度的物理意义及其计算。

四、学习建议

1．关于点的运动，在物理课程中已经比较熟悉，但应注意，本章是进一步研究点作一般曲线（即空间曲线）运动的问题。

2．在实际计算中，主要采用直角坐标法和自然法（弧坐标法）计算点的速度和加速度。当点的运动轨迹未知时，常用直角坐标法计算；而当点的运动轨迹已知时，则常用自然法（弧坐标法）计算。

3．在自然法（弧坐标法）中，将点的加速度沿自然坐标轴分解为两部分：切向加速度和法向加速度，应切实理解和分清这两部分加速度的物理意义。