运动学点的运动学
013质点运动学-运动学方程
角速度：
lim t 0
t
d
dt
角加速度：
B
s
A
RO
x
lim
t 0
t
d
dt
32
角速度是矢量 ！ 方向由右手螺旋法则确定 。
右手的四指循着质点的转动方向弯曲，拇指的指向即
为角速度矢量的方向。 线速度与角速度的关系：v
r
y ω
v
d加v速度d与ω角加r 速ω度的d 关r 系：
R
r
dt
dt
a
同理：| dr | dr
16
注意
1.位矢与位移的区别： 位矢为从坐标原点指向质点所在位置的有向线段,
方向
位移为从起点指向终点的有向线段。
位矢与某一时刻对应； 时间 位移与某一段时间对应。
2.位移与路程的区别：
路程：s为物体Δt内走过的轨道的长度，为标量；
位移：r
s
从起点指向终点的有向线段，而位移大
注意：平均速度（包括大小和方向）与所取的时间长
短有关，所以在计算平均速度时，必须清楚是哪一段
时间的平均速度。
19
2.速度
对于变速曲线运动的物体，速度大小与方
B
向都在随时间改变，用平均速度并不能精确地
描写质点瞬时的运动情况。
处理方法：
①.无限分割路径；
r
②.以直代曲；
A t
③以不变代变；用平均速度代替变速度；
④令 速度
t
v
0 取极限。 lim r dr
t0 t dt
速度单位：米/秒，m/s
质点在某时刻的瞬时速 度等于在该时刻位置矢 量对时间的一阶导数。
20
速度
大学物理-质点运动学
空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段 弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。
曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的 曲率，用表示。
描述点运动的弧坐标法
密切面与自然轴系
自然轴系
B(副法线) N(主法线)
自然轴系P－TNB P－空间曲线上的动点；
描述点运动的直角坐标法
例题3
几点讨论
2、关于P点运动的性质：何时 作加速度运动？何时作减速度 运动？
这一问题请同学们自己研究。
第1章 质点运动学
描述点运动的弧坐标法
描述点运动的弧坐标法
弧坐标要素与运动方程 密切面与自然轴系 速度 加速度
描述点运动的弧坐标法
弧坐标要素与运动方程
x
rA
O
r
B
rB
y
速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向。 速度的矢量式：
v v x i v y j vz k
dx dy dz vx , vy , vz dt dt dt
速度的三个坐标分量：
速度的大小：
2 2 2 v v vx v y vz
（ 2） 令
b x2 x1 为影长
db l dx2 v dt h dt
代入
l b x2 h
以
dx 2 hv 0 dt h l
得
lv 0 v hl
描述点运动的直角坐标法
椭圆规机构
例 题3
＝常数， ω＝
OA AB AC l , BP d
求：P点的运动方程、速度、加速度。
•
速率
1
在t时间内，质点所经过路程 s 对时间的变化率
(完整版)点的运动学
dz dt
z
★点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间
的一阶导数。
点的运动学
速度的大小：
v (dx )2 (dy )2 (dz )2 dt dt dt
(vx )2 (v y )2 (vz )2
速度的方向余弦： cos(v, i )vx源自cos(v ,j)
v vy
v
cos(v ,
k)
vz
v
直角坐标法
z
vz
M
vy
rz
v
vx
a
k
O j
y
i
x
xy
点的运动学
3、点的加速度
设： a axi a y j azk
ax
dv x dt
d2 x dt 2
x
ay
dv y dt
d2 y dt 2
y
az
dvz dt
d2z dt 2
z
直角坐 标法
z
vz
M
vy
rz
v
vx
a
k
d2r dt 2
r
v(t )
v2 a
M a
r
M
v(t t)
a
加速度 — 描述点在 t 瞬时速度大小和方向变化O率的力学量。加速度
的方向为v的极限方向(指向与轨迹曲线的凹向一致) 加速度大小等
于矢量 a 的模。
点的运动学
§6-2 直角坐标法
直角坐标法
1、点的运动方程和轨迹方程
不受约束的点在空间有3个自由度，
r (t )
M
r (t )
末端将描绘出一条连续曲线，称为
矢径端图，它就是动点运动的轨迹。 O
理论力学运动学知识点总结
理论力学运动学知识点总结第一篇：理论力学运动学知识点总结运动学重要知识点一、刚体的简单运动知识点总结1.刚体运动的最简单形式为平行移动和绕定轴转动。
2.刚体平行移动。
·刚体内任一直线段在运动过程中，始终与它的最初位置平行，此种运动称为刚体平行移动，或平移。
·刚体作平移时，刚体内各点的轨迹形状完全相同，各点的轨迹可能是直线，也可能是曲线。
·刚体作平移时，在同一瞬时刚体内各点的速度和加速度大小、方向都相同。
3.刚体绕定轴转动。
• 刚体运动时，其中有两点保持不动，此运动称为刚体绕定轴转动，或转动。
• 刚体的转动方程φ=f(t)表示刚体的位置随时间的变化规律。
• 角速度ω表示刚体转动快慢程度和转向，是代数量，以用矢量表示。
，当α与ω。
角速度也可• 角加速度表示角速度对时间的变化率，是代数量，同号时，刚体作匀加速转动；当α 与ω异号时，刚体作匀减速转动。
角加速度也可以用矢量表示。
• 绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系：。
速度、加速度的代数值为。
• 传动比。
一、点的运动合成知识点总结1.点的绝对运动为点的牵连运动和相对运动的合成结果。
• 绝对运动：动点相对于定参考系的运动；• 相对运动：动点相对于动参考系的运动；• 牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动。
2.点的速度合成定理。
• 绝对速度：动点相对于定参考系运动的速度；• 相对速度：动点相对于动参考系运动的速度；• 牵连速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的速度。
3.点的加速度合成定理。
• 绝对加速度：动点相对于定参考系运动的加速度；• 相对加速度：动点相对于动参考系运动的加速度；• 牵连加速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的加速度；• 科氏加速度：牵连运动为转动时，牵连运动和相对运动相互影响而出现的一项附加的加速度。
• 当动参考系作平移或 = 0，或与平行时，= 0。
大学物理运动学
炮弹射击时，需要考虑重力、空气阻力等因素对炮弹运动的影响，通过将炮弹的运动分解为水平方向和垂直方向的直线运动，可以更精确地计算炮弹的落点位置。
运动的合成与分解的应用实例
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速度是描述物体运动快慢和方向的物理量。
速度表示物体在单位时间内通过的位移量，可以用位移与时间的比值来计算。速度具有矢量性，包括大小和方向两个要素。
速度
详细描述
总结词
总结词
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量。
详细描述
加速度表示物体速度变化的快慢程度，可以用速度的变化量与时间的比值来计算。加速度的大小和方向可以分别表示速度大小的变化和速度方向的变化。
定理
匀速直线运动的公式和定理
在高速公路上行驶的汽车，其运动状态可以近似为匀速直线运动。
汽车行驶
火车在铁轨上行驶时，其运动状态也可以近似为匀速直线运动。
火车行驶
飞机在平流层飞行时，其运动状态可以近似为匀速直线运动。
飞机飞行
匀速直线运动的应用实例
03
CHAPTER
匀加速直线运动
总结词
匀加速直线运动是速度随时间均匀变化的直线运动，具有初速度、加速度和运动方向一致的特点。
详细描述
总结词
匀加速直线运动的应用实例包括自由落体运动、竖直上抛运动和汽车启动等。
详细描述
自由落体运动是地球上常见的一种匀加速直线运动，其加速度为地球的重力加速度。竖直上抛运动是物体在竖直方向上的匀加速直线运动，其加速度为负的地球重力加速度。在汽车启动时，由于汽车的发动机产生的牵引力逐渐增大，汽车做的是加速度逐渐增大的变加速直线运动，但通常可以近似为匀加速直线运动。这些实例表明匀加速直线运动在日常生活和工程应用中具有广泛的应用价值。
03运动学圆周运动 (自然坐标系、角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度)
平均角加速度 t
t 0
瞬时角加速度 lim d
t dt
(SI)单位：rad/s2 角速度与角加速度都是矢量，角速度的方向由右手定 则确定。（规定用右手螺旋定则来判定：四指方向为 绕向，大拇指方向为角速度方向！！ ） α与ω同向。质点作加速圆周运动。
α与ω方向相反。质点作减速圆周运动。
Y
r
r =R
θ确定后：x=Rcosθ y=Rsinθ θ 单位 rad 弧度
t
θ=θ(t)
X
定义：角位置
角位移△θ=θ（t+ △t) -θ(t) 平均角速度 瞬时角速度 (SI)单位：rad/s 弧度/秒 工程单位 rev/min(转/分）
d lim t 0 t dt
9
4 平面运动的极坐标表示：
r
0
e
p
er
在 平面内取一个定点O， 叫极点，引一条射 线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角 度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面 内任何一点M，用r表示线段OM的长度，θ表 示从Ox到OM的角度，r叫做点M的极径，θ叫 做点M的极角，有序数对 (r,θ)就叫点M的极坐 标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
解法：用积分或求解微分方程的方法求解。
x x0 vdt
t0
t
v v0 adt
t0
t
12
an=gcos γ =gV x/V=9.13m/s2
aτ=gcosβ=gVy/V=3.53m/s2
ρ=V2/an=25.03m
11
5 质点运动学小结： 1、描述运动的物理量 ：t、Δt、r、Δr、v、a 、 s dv dr 加速度： a 2、定义：速度 v dt dt 对一维的情况：v=dx/dt a=dv/dt 3、质点运动学的两类问题： 1）已知运动方程，求速度、加速度。 解法：用求导数的方法解决。 2）已知速度（或加速度）及初始条件求运动方程。
运动学基础的名词解释
运动学基础的名词解释运动学是物理学的重要分支之一，其研究的是物体的运动规律以及与之相关的物理量。
在运动学的学习中，我们常常会遇到一些名词和概念。
本文将对一些运动学基础名词进行解释，帮助读者更好地理解这些概念。
1. 位移（Displacement）在运动学中，位移指的是物体从一个位置移动到另一个位置的矢量量值。
它不仅与物体的初位置和末位置有关，还与其运动轨迹有关。
位移可以用公式Δx = x₂- x₁来计算，其中Δx代表位移，x₂和x₁分别代表末位置和初位置。
2. 速度（Velocity）速度指的是物体在单位时间内移动的位移量。
它是一个矢量量值，包括大小和方向。
速度可以用公式v = Δx/Δt来计算，其中v代表速度，Δx代表位移，Δt代表时间。
3. 加速度（Acceleration）加速度是指物体在单位时间内速度改变的量。
它也是一个矢量量值，包括大小和方向。
加速度可以用公式a = Δv/Δt来计算，其中a代表加速度，Δv代表速度的改变量，Δt代表时间。
4. 质点（Particle）质点是指在运动学中抽象出来的具有质量但无体积的物体。
它的运动状态可以由其位置、速度和加速度来描述，忽略了旋转和形变等因素。
5. 直线运动（Linear Motion）直线运动是指物体在直线上运动的情况，它可以是匀速直线运动（即速度保持恒定）或变速直线运动（即速度随时间改变）。
6. 曲线运动（Curvilinear Motion）曲线运动是指物体在曲线上运动的情况，它的运动轨迹不是直线，而是一条曲线。
曲线运动可以是圆周运动、椭圆运动等。
7. 平均速度（Average Velocity）平均速度指的是物体在一段时间内的平均速度。
它可以用公式v(平均) = Δx/Δt来计算，其中v(平均)代表平均速度，Δx代表位移，Δt代表时间。
8. 瞬时速度（Instantaneous Velocity）瞬时速度指的是物体在某一瞬间的即时速度。
高一运动学习题
高一运动学习题运动学是物理学中研究物体运动的学科，它涉及到物体的位置、速度、加速度和运动轨迹等方面的问题。
在高一物理课程中，运动学是一个重要的内容模块。
通过解决各种运动学问题，学生可以深入理解物体的运动规律，提高分析和解决问题的能力。
下面是一系列的高一运动学学习题，供同学们进行练习：1. 一个自由落体物体从高度为20m的地方开始下落，求出它下落到地面所需的时间。
2. 一辆汽车以20 m/s 的速度行驶了5秒，计算它的位移。
3. 一辆汽车以10 m/s²的加速度从静止开始加速行驶，经过5秒后它的速度是多少？4. 一个飞机以60 m/s 的速度平飞，如果加速度为2 m/s²，求出它在10秒后的速度。
5. 一颗子弹以500 m/s 的速度射出，如果它以10 m/s²的减速度匀减速停下来，求出它共需要多少时间才能停下来。
6. 一辆火车以20 m/s²的加速度行驶，经过10秒后它的速度是30 m/s，求出它的初速度。
7. 一辆汽车以30 m/s 的速度在20秒内匀减速到停止，求出它的减速度。
8. 一个物体以15 m/s 的速度水平抛出，经过2秒后它的竖直位移是多少？9. 一个物体以40 m/s 的速度水平抛出，如果它以10 m/s²的竖直加速度上升，求出它上升到最高点所需的时间。
10. 一颗炮弹以80 m/s 的速度射出，以10 m/s²的竖直加速度下落，求出它射出点到落地点所需的时间。
以上是一些高一运动学学习题，通过这些题目的解答，可以提高对物体运动规律的理解，加深对运动学知识的记忆。
同时，通过解答这些题目，学生们可以锻炼分析和解决实际问题的能力，提高数学思维和逻辑思维的能力。
希望同学们能够认真思考题目，并通过实践掌握运动学的基本原理和解题方法。
理论力学-点的运动学
7
三. 点的加速度
a dv dvx i dvy j dvz k dt dt dt dt
d2 x i
dt2
d2 y dt2
j
d2 z k
dt2
axi
ay
j
azk
a ax2 ay2 az2
cos(a, i
)
ax
,
a
[注] 这里的 x、y、z 都是时间单位连续函数。
x f1(t)
11
加速度的大小为
a
a
2 x
a
2 y
2
(l a)2 cos2 t (l a)2 sin2 t
2 l2 a2 2al cos 2t
加速度的方向余弦为
cos(a，i) ax a
cos(a，j) ay a
（l a）cost l2 a2 2al cos 2t
（l a）sint l2 a2 2al cos 2t
dt dt
dt
dt dt2
dt
① 切向加速度 a
——表示速度大小的变化
a
dv τ dt
d2 dt
s
2
τ
② 法向加速度 an ——表示速度方向的变化
an
vdτ dt
v lim Δ τ Δt0 Δ t
v lim (Δ τ Δt0 Δ s
Δ s) Δt
v2 lim Δ τ Δt0 Δ s
(lim Δ s d s v) Δt0 Δ t d t
1
即an
v2 n，
a a2 an2 ,
a
a arctg
2
an |a | an
dv dt
τ
v2
n
16
点的运动学
点的运动学 班级 姓名 学号一、是非题 （正确用√，错误用×，填入括号内。
）1、运动学只研究物体运动的几何性质，而不涉及引起运动的物理原因。
（ ）2、在某瞬时，点的切向加速度和法向加速度都等于零，则该点一定作匀速直线运动。
（ ）3、已知点运动的轨迹，并且确定了原点，则用弧坐标s （t ）可以完全确定动点在轨迹上的位置。
（ ）二、选择题 （请将答案的序号填入划线内。
）1、一点作曲线运动，开始时速度sm v /100=，某瞬时切向加速度2/4s m a t =,则2s 末该点的速度 的大小为﹍﹍﹍﹍﹍﹍。
① 2 m/s ; ②1 8 m/s ; ③1 2 m/s ; ④无法确定 。
2、点作曲线运动，若其法向加速度越来越大，则该点的速度﹍﹍﹍﹍﹍﹍。
① 越来越大 ； ② 越来越小 ； ③大小变化不能确定 。
3、点M 沿半径为R 的圆周运动，其速度为ｖ=ｋｔ，ｋ是有量纲的常数。
则点M 的全加速度为﹍﹍﹍﹍﹍。
①222)/(k R t k +；② ；2222)/(k R t k +；③2244)/(k R t k +； ④2224)/(k R t k +三、填空题 （请将简要答案填入划线内。
）1、点沿半径为R =4 m 的圆周运动，初瞬时速度s m v /20-=，切向加速度2/4s m a t =（为常量）。
则s t 2=时，该点速度的大小为﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍，加速度的大小为﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。
2、在图示曲柄滑块机构中，曲柄OC 绕O 轴转动，ωωϕ(t =为常量）。
滑块A 、B 可分别沿通过O 点且相互垂直的两直槽滑动。
若AC=CB=OC=L ，MB =d ，则M 点沿X 方向的速度的大小为﹍﹍﹍﹍﹍﹍，沿X 方向的加速度的大小为﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。
四、计算题1、图示曲线规尺，各杆长为OA=AB=200mm ，CD=DE=AC=AE=50mm 。
如杆OA 以等角速度rad/s 5πω=绕O 轴转动，并且当运动开始时，杆OA 水平向右。
力学--运动学
解：（1）
（ 2）
v 2.0i 4.0tj
2 x 2 y
y 19.0 0.5x
2
8t dv d ( v v ) at et et et 2 dt dt 1 4t
第一章 运动学
12
物理学
第五版
6
a 随 t 变化 例：
例3 已知a=4t，t=0时，v0=5 m· s-1，x0=5 m, 求：(1)速度随时间的变化关系 v(t)=？ (2) x x0 ？
z
P’(.t+dt) d r .P(t)
4 角加速度
d d 2 dt dt
第一章 运动学
x
8
物理学
第五版
4 角量与线量的关系
t 0， 线量：r , r , v , a (an , at )
角量： (t ), , ,
AB AB r
dv 4t 解 ( 1) a dt
dx ( 2) v dt
dv 4tdt
v0 0
v
t
解得：v v0 2t
t 2
2
x
( v 2 t ) d t d x 0 0 5 2 3 解得：x x0 x 5 v0t t 3
第一章 运动学y14Fra bibliotek物理学
第五版
6
a 随 v 变化 例：
dv 1.0 v 解 a dt v dv t v0 v 0 dt t v v0e dy t v v0 e dt y t t dy v0 e dt
0 0
o
v0
y
y 10 （ 1 e ）
人体运动学重点
人体运动学重点整理第一章人体运动学总论一、名词解释1、人体运动学：是研究人体活动科学的领域，是通过位置、速度、加速度等物理量描述和研究人体和器械的位置岁时间变化的规律活在运动过程中所经过的轨迹，而不考虑人体和器械运动状态改变的原因。
2、刚体：是由相互间距离始终保持不变的许多质点组成的连续体，它有一定形状、占据空间一定位置，是由实际物体抽象出来的力学简化模型。
在运动生物力学中，把人体看作是一个多刚体系统。
运动形式有平动、转动和复合运动。
3、复合运动：人体的绝大部分运动包括平动和转动，两者结合的运动称为复合运动。
4、力偶：两个大小相等、方向相反、作用线互相平行，但不在同一条直线上的一对力。
5、人体运动的始发姿势：身体直立，面向前，双目平视，双足并立，足尖向前，双上肢下垂于体侧，掌心贴于体侧。
6、第三类杠杆：其力点在阻力点和支点的中间，如使用镊子，又称速度杠杆。
此类杠杆因为力臂始终小于阻力臂，动力必须大于阻力才能引起运动，但可使阻力点获得较大的运动速度和幅度。
7、非惯性参考系：把相对于地球做变速运动的物体作为参考系标准的参考系叫非惯性参考系，又称动参考系或动系。
8、角速度：人体或肢体在单位时间内转过的角度，是人体转动的时空物理量。
9、人体关节的运动形式：（1）屈曲（flexion）、伸展（extension）：主要是以横轴为中心，在矢状面上的运动。
（2）内收（adduction）、外展（abduction）：主要是以矢状轴为中心，在前额面上的运动。
（3）内旋（internal rotation）、外旋（external rotation）：主要是以纵轴为中心，在水平面上的运动。
（4）其他：旋前（pronation）、旋后（supernation）、内翻（inversion）、外翻（eversion）。
二、单选题【相关概念】·第一类杠杆：又称平衡杠杆，其支点位于力点和阻力点中间，如天平和跷跷板等。
运动学中的位移与速度
运动学中的位移与速度在运动学中，位移和速度是两个基本概念，它们用于描述物体在运动过程中位置的变化和运动的快慢。
本文将分别介绍位移和速度的定义、计算方法以及它们在实际生活中的应用。
一、位移位移是指物体由初始位置到最终位置的位置变化量，用Δx表示。
它是一个向量，具有方向和大小。
当物体沿直线运动时，位移可以通过最终位置减去初始位置来计算。
如果物体运动有方向变化，则需要考虑向量的性质。
在运动学中，位移的计算可以使用如下公式：Δx = x终 - x初其中，Δx表示位移，x终表示最终位置，x初表示初始位置。
应用：位移在日常生活中有许多应用。
例如，当我们进行旅行时，可以根据起点和终点的位置来计算旅行的位移，这有助于我们了解旅行的距离和方向。
此外，位移还广泛应用于GPS导航系统、航空航天等领域。
二、速度速度是指物体在单位时间内移动的位移量，用v表示。
它是矢量量值，表示方向和大小。
速度与位移的比较可以帮助我们了解物体运动的快慢和方向。
在运动学中，速度的计算可以使用如下公式：v = Δx / Δt其中，v表示速度，Δx表示位移，Δt表示时间。
应用：速度在生活中有着广泛的应用。
例如，在汽车行驶过程中，我们可以通过测量汽车在单位时间内移动的位移量来计算出速度，从而判断汽车的行驶状况。
此外，速度还在运动竞赛中被广泛应用，运动员可以通过测量自己的速度来评估自己的表现，并进行训练与改进。
结论：位移和速度是运动学中的重要概念，它们可以帮助我们描述和分析物体的运动。
位移用于描述位置的变化量，速度用于描述运动的快慢。
它们的计算方法简单明了，并在实际生活中有广泛的应用。
通过理解和运用位移和速度的概念，我们能更好地认识和研究物体的运动规律，同时也为我们的生活提供了便利和帮助。
运动生物力学_人体运动的运动学
运动学参数的采集
• 运动学参数包括位移、角位移、速度、角 速度、加速度、角加速度等。
• 主要测量方法有：平面定点定机摄影法、 平面定点跟踪摄影法、平面定轨跟踪摄影 法、立体定点定机摄影法、立体定点定跟 踪摄影法等。
摄影方法
• 1、摄像机的选择 拍摄频率：单位时间内所拍摄的画
面数称拍摄频率。
2、拍摄方法
• （三） 人体简化为物理模型的实用性和局 限性
将人体简化为物理模型进行力学研究，这 对学习研究带来很大方便，并且可以取得 定量数据和资料进行分析，可以帮助我们 认识一些问题和规律。然而复杂人体简化 为质点或刚体后，所得到的数据与材料反 馈到人体应用时还存在着较大的差距，为 此需建立实体模型。
二、实体模型的建立
根据两个运动速度方向之间的夹角不同， 有以下几种情况
• 第一、 当两个运动速度方向一致而且平行 时，则合速度为：V=v1+v2
• 第二、当两个运动速度方向互成直角时， 则合速度大小为V=(V21+V22)1/2
• 第三、当两个运动速度方向不成直角，而 成锐角θ，则合速度为 V=(V21+V22+2V1V2cosθ)1/2。
• 1、根据项目特征和技术分析要求确定拍摄 范围；
• 2、把摄像机固定在三角架上，对摄像机的 拍摄距离、机高、取景范围、焦距等按要 求选用合适并固定；
• 3、拍摄比例尺； • 4、拍摄所选定的运动动作，并做好记录。
平面拍摄注意事项
• 1、摄像机主光轴应与运动平面垂直，对准拍摄区 域的中心。
• 2、摄像机尽可能远离运动平面，通常拍摄距离应 为拍摄范围的5-6倍。
三、运动学量的特征
1．瞬时性 2．矢量性 3．相对性 4．独立性
1 质点运动学
1—3
一、速度：
1 粗略描写：
质点运动的描述㈡
r r (t ) A 平均速度 V ： 设：
r V t
△t 时间内的位移为 r
路程为 s
x y i j Vx i V y j t t r 大小： V t 方向： r 一般情况： B 平均速率 V ： V V s V t
1—2
一、位置矢量
r
质点运动的描述㈠
：
y
y
描述质点位置的矢量， 简称“位矢” 。 是自参考点O 到 t 时刻质点所 在位置P 所引出的矢量。 在直角坐标系有：
r xi y j zk
o
r
·
x
p
x
可见：
z
z
位置矢量与质点的位置一一对应。
二、运动方程：
1 运动方程：
r ( t ) x ( t )i y( t ) j z ( t )k
③ 综上可知，在自然坐标系中有：
a an a
大小：
方向：
V 2 2 dV 2 ( ) ( ) dt
an tan a
(a , V )
⑶ 按照an 、a 的情况可以将平面运动进行分类：
a=0
（改变 V 方向）
V （改变 大小）
0 t
2 2 0 2 ( 0 )
(t t )
ds V dt
d 1 ds
（速率）
d V n dt
其中 为t 时刻该点附近曲线的曲率半径。 大小： 方向：
an V 2
n
物理知识点运动学中的加速度与速度
物理知识点运动学中的加速度与速度在物理学中，运动学是研究物体运动的分支。
其中，加速度和速度是运动学中的重要概念。
本文将介绍加速度和速度的定义、计算方法及其在运动学中的应用。
一、加速度的定义与计算方法加速度指的是物体在单位时间内速度变化的量。
它的定义可以用公式表示为：加速度（a）= （v2 - v1）/ t其中，v2代表物体的末速度，v1代表物体的初速度，t代表时间。
加速度的计量单位为米每秒平方（m/s²）。
正值表示加速度，即物体速度增加；负值表示减速度，即物体速度减小。
二、速度的定义与计算方法速度是物体在单位时间内位移的量。
它的定义可以用公式表示为：速度（v）= s / t其中，s代表物体的位移，t代表时间。
速度的计量单位为米每秒（m/s）。
速度也可以为正值或负值，正值表示物体正方向运动，负值表示物体反方向运动。
三、加速度与速度的关系在运动学中，加速度与速度有着密切的关系。
根据定义和计算方法可知，加速度是速度的变化率。
简单来说，加速度是速度随时间变化的快慢程度。
当物体的加速度恒定时，可以使用简单的公式来计算其速度变化：v = v0 + at其中，v代表物体的速度，v0代表物体的初速度，a代表物体的加速度，t代表时间。
当物体的加速度不恒定时，可以用微积分的概念来计算速度的变化。
通过对加速度关于时间的积分，可以得到速度关于时间的函数关系。
四、加速度与速度的应用加速度和速度在运动学中有着广泛的应用。
1. 运动过程的分析：通过计算加速度和速度，可以分析物体在运动过程中的变化规律，如速度的增减、加速度的大小等。
2. 运动状态的描述：通过加速度和速度，可以描述物体当前的运动状态，如匀速运动、加速运动、减速运动等。
3. 运动参数的计算：通过加速度和速度的计算，可以得到物体在不同时间段内的位移、速度、加速度等运动参数。
4. 动力学问题的解决：加速度和速度是动力学问题的重要部分，通过对加速度和速度的研究，可以揭示物体运动的原因和规律。
力学第二章质点运动学（ＰＤＦ）
2.1一、质点把所研究的物体视为无形状大小但有一定质量的点。
•能否看成质点依研究问题而定。
例：地球绕太阳公转:地球→质点地球半径＜＜日地距离6.4×103 km 1.5×108 km地球自转:地球≠质点•复杂物体可看成质点的组合。
二、位置矢量与运动方程1、位置矢量k z j y i x r v v v v ++=定义：从坐标原点O 指向质点位置P 的有向线段位置矢量的直角坐标分量：===++=r z r y r x z y x r γβαcos ,cos ,cos 222方向：大小：γβαP (x,y,z )r v z y xo2、运动方程k t z j t y i t x r vv v v )()()(++=矢量形式参数形式===)()()(t z z t y y t x x 3、轨道方程(轨迹)== → ===0),,(0),,()()()(z y x G z y x F t z z t y y t x x t 消去•要尽可能选择适当的参照物和坐标系，以使运动方程形式最简，从而减少计算量。
三、位移和路程O P P ’r ∆v )(t r v )(t t r ∆+v s ∆•••1、位移'()()r PP r t t r t ∆==+∆−v v v 2、路程'()()s PP s t t s t ∆==+∆−注意(1) 位移是矢量（有大小，有方向）位移不同于路程(2) 位移与参照系位置的变化无关r s ∆≠∆v 与Δr 的区别r v ∆分清O r v ∆r v∆O r∆••O PP ’r ∆v )(t r v )(t t r ∆+v s∆•••思考：什么情况下位移的大小等于路程？[例题]一质点在xOy平面内依照x= t 2 的规律沿曲线y = x3/ 320运动，求质点从第2 秒末到第4秒末的位移(式中t的单位为s；x，y的单位为cm)。
[解] ()()r r t t r t ∆=+∆−v v v 1212.6i j=+v v(cm)2121()()x x i y yj=−+−v v [()()][()()]x t t i y t t j x t i y t j =+∆++∆−+v v v v[()()][()()]x t t x t i y t t y t j=+∆−++∆−v v 66222121()()320320t t t t i j=−+−v v 662242(42)()320320i j =−+−vv 17.4 cm r ∆==v 与水平轴夹角Δarctan 46.4Δyx ϕ=o＝2.2一、速度O P P ’r∆v )(t r v )(t t r ∆+vs∆•••反映质点运动的快慢和方向的物理量1、速度的概念平均速度：平均速率:v v v v v r t r t t r t t==+−∆∆∆∆()()tt s t t s t s v ∆∆∆∆)()(−+==瞬时速度:瞬时速率:O P P ’r∆v)(t r v)(t t r ∆+vs∆•••vv v v =≠vv ,瞬时速度沿轨道切线方向2、速度的直角坐标分量()()()()::cos ,cos ,cos x y z y x z r r t x t i y t j z t kdr dx dy dz v i j k v i v j v k dt dt dt dt v v v v v v v αβγ==++==++=++ = ===v v v v vv v v v v v v v 大小方向101552r i tj t k=−++v v v v [例题]某质点的运动学方程为求：t = 0和1s 时质点的速度矢量。
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第二部分 运动学
第六章
点的运动学
一、基本要求
1．掌握描述点的运动的矢量法、直角坐标法和自然法（弧坐标法）。
2．了解描述点的运动的极坐标法。
3．能求点的运动轨迹。
4．能熟练地应用直角坐标法和自然法求解与点的速度和加速度有关的问题。
二、理论要点
1．描述点的运动的三种基本方法
（1）矢量法
z 运动方程
点的运动方程为动点在空间的几何位置随时间变化的规律。
以矢量形式表示的点的运动方程为
)(t r r =
z 轨迹
轨迹为动点在空间运动时所经过的一条连续曲线。
在矢量法中，矢径r 的矢端曲线即为点的运动轨迹。
z 速度
点的速度是个矢量，它等于矢径对时间的一阶导数，即
dt
d r v = z 加速度
点的加速度也是个矢量，它等于速度矢对时间的一阶导数，或等于矢径对时间的二阶导数，即
2dt
d dt d 2r v a == （2）直角坐标法
z 运动方程
)
()()
(321t f z t f y t f x ===
z 轨迹
从上面点的运动方程中消去时间t 即可得轨迹方程。
如：
),(0
),(21==z y F y x F
z 速度 k j i v z y x v v v ++=
dt
dz v dt dy v dt
dx v z y x ===
即速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。
由此可求得速度的大小和方向余弦。
z 加速度
k j i a z y x a a a ++=
222222dt
z d dt dv a dt
y d dt dv a dt
x d dt dv a z z y y x x ====== 即加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。
由此可求得加速度的大小和方向余弦。
（3）自然法（弧坐标法）
利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系，并用它们来描述和分析点的运动的方法称为自然法。
z 运动方程
)(t f s =
z 速度
ττv dt
ds v =
= z 加速度 n τa a a n τn τa a +=+=
2
2dt s d dt dv a τ== ρ2
v a n =
式中，ρ为曲率半径。
由此可求得全加速度的大小及其与法线间的夹角
22n τa a a +=
n τ
a a arctg =θ
切向加速度和法向加速度的物理意义：
切向加速度τa ：表示点的速度大小随时间的变化率。
法向加速度n a ：表示点的速度方向随时间的变化率。
说明：除以上三种基本方法外，还有极坐标法、柱坐标法和球坐标法。
对于极坐标法，运动方程：
)
()(21t f t f ==ϕρ 速度：
ϕv v ρ+=0ρv 0ϕ
dt
d v ρρ= dt
d v ϕρϕ=
加速度：
ϕa a ρ+=0ρa 0ϕ
222)(dt d dt
d a ϕρρρ−= (12dt d dt
d a ϕρρϕ= 2．三种基本方法的特点
z 矢量法
简明、直接，常用于理论推导。
z 直角坐标法
便于代数及微积分运算，常用于点的运动轨迹未知的情况。
z 自然法（弧坐标法）
速度、切向加速度及法向加速度的物理意义明确，常用于点的运动轨迹已知的情况。
3．几种特殊运动
z 直线运动
,0≡n a ∞=ρ
z 圆周运动
=ρ常数
z 匀速运动
=v 常数， 0≡τa
即只有法向加速度。
当点作匀速直线运动时，切向加速度和法向加速度均为零。
z 匀变速运动
=τa 常数
t a v v τ+=0
2002
1t a t v s s τ++=
三、重点难点
1．重点
（1）描述点的运动的直角坐标法和自然法（弧坐标法）。
（2）点的速度和加速度的计算。
2．难点
（1）自然轴系的理解。
（2）切向加速度和法向加速度的物理意义及其计算。
四、学习建议
1．关于点的运动，在物理课程中已经比较熟悉，但应注意，本章是进一步研究点作一般曲线（即空间曲线）运动的问题。
2．在实际计算中，主要采用直角坐标法和自然法（弧坐标法）计算点的速度和加速度。
当点的运动轨迹未知时，常用直角坐标法计算；而当点的运动轨迹已知时，则常用自然法（弧坐标法）计算。
3．在自然法（弧坐标法）中，将点的加速度沿自然坐标轴分解为两部分：切向加速度和法向加速度，应切实理解和分清这两部分加速度的物理意义。