二向应力状态分析

D(x, 2 xy)
20 A1 C F A 1
D’ (y, yx) G2 "
从应力圆中还可看出：应力圆上对应于G1G2两点，剪应力最大， 由此可得到，最大、最小剪应力分别为：
max K R
x
-
2
y
2
+
2 x
min - M
-R -
x
-
2
y
2
+
2 x
*从应力圆中可看出：它们所在截面也相垂直
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
x
x + y
2
+ x - y cos 2
2
- x sin 2
x
2
+ xy
2
cos 2
x - y sin 2
2
+ x cos 2
450
450
x
2
450
x
2
max
x
2
sin
2
低碳钢试样拉伸至屈服时沿45o 表面出现滑移线，是由最大切 应力引起的。
0.469MPa
C C
C
§8-2-3 平面应力状态下的最大应力，主应力
y y
y
B1 B O 2
G1' ,E
D(x,xy)
2 20
CF A
A1 1
D’ (y, yx) G2 "
tg- 20
DDAF CCAF
tg 2 0
- 2 x x - y
max
A1
OC
+
CA 1
x
+ y
2
+
x
-
D’ (y, yx) G2 "
EL CE sin2 + 2 CEsin 2 cos2 + cos2 sin 2 CD cos2 sin 2 + CD sin 2 cos2
CAsin 2 + DAcos2
y
y yx
xy x
n
x x xy
B1 B O 2
G1' ,E
D(x, xy)
2 2
-450
+ max
断开的。因此，可以认为这种脆性破
坏是由最大拉应力引起的。
450 0
例题4:图示一矩形截面简支梁,在跨中有集中力作用。已 知:P=100KN,L=2m,b=200mm,h=600mm,=400。求：
离左支座L/4处截面上C点在400斜截面上的应力。
P
h/4
L/4 L/4 L/2
平面应力状态的解析法
正负号规则
q角
由 x正向反 时针转到x'正 向者为正；反 之为负。
y' y
x'
q
x
平衡原理的应用—微元局部的平衡方程
• 平衡对象——用q 斜截
面截取的微元局部
y´
参加平衡的量——应力 乘以其作用的面积
平衡方程——
x'y' x´
x q
x'
xy dA yx
Fx 0 Fy 0
yp xp
x''
x-y坐标系 x´-y´坐标系 xp-yp坐标系
a
n
Fn 0
F 0
a x
y
x y c
x
x
b
y
c
y
cos2 1+ cos 2
2
sin 2 1- cos 2
2
x y
dA- x dAcoscosx ++2x dyA+cosx-s2iny+coysd2Asin -cxossin -2y dAsin sin 0
目录
平面应力状态的几种特殊情况
轴向拉伸压缩
平面应力状态的几种特殊情况
扭转
弯 曲
已知矩形截面梁,某截面上的剪力Q=120kN及弯矩
M=10kNm.绘出表示1、2、3、4点应力状态的单元体，并
求出各点的主应力。b=60mm,h=100mm.
b
M1
1、画各点应力状态图
13
x
+ y
2
1 2
x - y
CL A
A1 1
yx y
D’ (y, yx) G2 "
OL LC + CL
OC + CG cos 2 + 2
OC + CD cos 2 cos 2 - CD sin 2 sin 2
+ -
x
2
y+
x
2
y
cos
2
- x
sin
2
y
y
yx
n
xy x
x x xy
B1 B O 2
G1' ,G
单位：MPa
解：(一)使用解析法求解
x 80MPa, y -40MPa
x 80MPa, y -40MPa
x -60MPa, = 30
x10-x26M+2x0+2PMayP+ay ,+x-2x=-2y
30
coys
2 - x
cos 2
sin
-
2
x sin
2
1x0-2M yPsain 2
- y (dAsin q) cos q 0
y´
x'y' x´
x q
x'
xy dA yx
y
平面应力状态的解析法
化简得到以下两个方程：
x' x cos2 q + y sin2 q - xy sinq cosq - yx sinq cosq x' y' x sinq cosq - y sinq cosq + xy cos2 q - yx sin2 q
y
平面应力状态的解析法
Fx 0
x
'dA
-
x
(dA
cos
q
)
cosq
+ xy(dAcos q) sin q
+yx (dAsin q) cos q
- y (dAsin q) sin q 0
y´
x'y' x´
x q
x'
xy dA yx
y
平面应力状态的解析法
Fy 0
-x'y'dA +x (dAcos q) sin q +xy (dAcos q) cos q -yx (dAsin q) sin q
2
y
2
+
2 x
min
B
1
OC
-
CB1
x
+ y
2
-
x
-
2
y
2
+
2 x
圆A1、B1两点位于应力圆上同一直径的两端，即最大正 应力所在截面与最小正应力所在截面互相垂直，故，应力圆
中各正应力极值所在截面的方位可表示如下：
y
y
m in
max x
x
0 max
m in
B1 B O 2
G1',E
.
试3求此点的主应力及主平面.
a
a y ad面,db面是该点的主
平面.
x
x
c 600
600 b
d
b
Fx 0
Aab sin 300 + x Aab cos 300 0
3
x - 3 - 3
1 2 0 3 - 3
例3：分别用解析法和图解法求图示单元体的 (1)指定斜截面上的正应力和剪应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大剪应力值。
MPa
22.5
0
00
222.5222.或5.51或12或.15112.152.5
max 105
max
min
x
-
2
y
2
+
2 x
85MPa
min 65
利用三角恒等式，整理得
x'
x
+ y
2
+x
- y
2
cos 2q
- xy sin 2q
x'y' x - y sin 2q + xy cos 2q
2
平面应力状态的解析法
应力变换的实质——同一点的应力
状态可以有各种各样的描述方式：
y
yx
y
xy
x
x
y'
y'x'
y'
x' y' x'
x'
y''
2
+
4
2 x
z
25mm
1
2
3
2
4
h
1
3
3
Fs 4 2、计算各点主应力
1点
Iz
2点
bh3 500cm4 12
(处于纯剪状态)
1
My Iz
11000M10P3a 50 500 104
1 2 0 3 -100MPa
max
3 2
Fs A
330M12P0a103 2 60100
1 30MPa 2 0
点面对应
y
y
A x
x
a
c
转向对应、二倍角对应
n
b
2 a
c
某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面 上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x
轴成300和－600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明 低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。
分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆 试样扭转破坏的主要原因。
450
min
x + y
2
+ x - y cos 2
2
- x sin 2
- sin 2
max
x - y sin 2
2
+ x cos 2
cos 2
450
max
-
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着
最大拉应力作用面（即45o螺旋面）
§8.2.1 二向应力状态分析——解析法
平面应力状态的解析法
• 确定任意方向面上的应力 • 应用平衡的方法
正负号规则 平衡原理的应用— 微元局部的平衡方程
应力变换及其实质
平面应力状态的解析法
正
x
x
负
正
号
应
规
力
则
x
x
拉为正
压为负
平面应力状态的解析法
正负号规则
x'y'
xy
yx
剪 应力
使微元或 其局部顺时针 方向转动为正 ；反之为负。
x
+ y
2
,0
半径：
x
- y
2
2
+
2 x
任一点坐标： ,
上述方程所表示的圆——应力圆或莫尔圆
二.应力圆的画法：
1.设 , 轴，选取应力比例尺。
2.以 x , x 为坐标，得D点， y , y 得E点。
3.连DE交 轴于C点，C点即为应力圆的圆心。
4.以CD或CE为半径画圆。即得应力圆。
5.以CD为基准线，沿反时针方向另取角度2 ，得一射线，与 圆交于G点 ,
6.按比例尺量出 , 值，即为单元体 斜面上的正应力和剪
应力 ,
三.验证 , 的正确性
由应力圆可得：
y y yx
xy x
n
x x xy
yx y
B1 B O 2
G1' ,E
D(x, xy)
2 2 A1
C L A 1
D(x, xy)
2
2
A1
C L A 1
yx y
D’ (y, yx) G2 "
目录
３、几种对应关系
y
y
x D
x
Байду номын сангаас
A
c o
(y d,y)
a (x ,x)
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元 体某一方向面上的正应力和切应力；
转向对应——半径旋转方向与斜截面法线旋转方向 一致；
二倍角对应——半径转过的角度是斜截面旋转角度 的两倍。
h 解：P L
b
MC 2 4 25KN m
QC
P 2
50KN
C
C C
MC IZ
y
25 103 150 10-3 12 200 6003 10-12
1.04MPa（压应力）
C
QCC SZ IZ b
50 103 150 200 72525 10-9 12 200 6003 10-9 200 10-3
22.02xM-Pa y sin
2
+
2
x
+
cos
x
2
cos
2
22.0MPa
tttaataa1n1nm0mmm1n1naamimimm22nnxxaiai21n12x2nx00002155.150M0Mxx005--或PP++22M5aax1-M,,Pxx22+12xyy-2--aP.+2,5xx2x22ayyy-,x200xy2,,11xx-y--22x2033yy,1yx-22-2-066++55,31xMMy22xxPP-2aa2-1--6+06635555yMMM2x PPP2-aaa6+1-506M552xMPPaa1-06550
3点
3
(一般平面状态)
Fs
S
* z
My Iz
10103 25
50MPa 500 10
4
Izb
1 58.6MPa
2122.50M51P00a03 160042650 37.5
2 0 3 -8.6MPa
3 -30MPa
4点1 100MPa
2 0 3 0
自受力构件内取一单元体,其上承受应力如图示,
dA-
x
dAcos
sin
-
x
-x dAycossin
2
cos 2
+ y dAsin sin
+ x cos 2
+
y
dAsin
cos
0
§8.2.2 二向应力状态分析的图解法
应力圆（Mohr’s Circle for Stresses） 1、应力圆方程
(x - a)2 + y2 R2
圆心坐标：