二向应力状态分析
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应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向
2．作应力圆 主应力为 1 , 3 ，并可 确定主平面的法线。
材料力学
第七章
应力和应变分析
3．分析 纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等， 但一为拉应力，另一为压应力。由于铸铁抗拉强度较 低，圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为 45º 的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。
材料力学
第七章
2 2
x y
xy
n
材料力学
y a xy
y On D( x , ) a a
a
第七章
n
应力和应变分析
二、应力圆的画法
建立应力坐标系，如下图所 示，（注意选好比例尺） 在坐标系内画出点A( x， xy)和B(y，yx)
x
C O
2a
AB与a 轴的交点C便是圆 A( x , xy) 心。
150°
第七章
应力和应变分析
x y 2 2 1 x y （ ） xy 2 2 2
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
95
60°
y 45MP a yx 25 3MP a xy
25 3
x ?
y O x
60 95MPa 60 25 3MPa
材料力学
第七章
应力和应变分析
应力表示——单元体：
①dx、dy、dz（微小的正六面体） ②单元体某斜截面上的应力就代表了构件内 对应点同方位截面上的应力。
B P
dz
dx
dy
A
C
பைடு நூலகம்
B
D
C
B、C——单向受力，τ ＝0 A——纯剪切， σ ＝0
D
D——既有 σ ，又有τ
刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(应力和应变分析强度理论)【圣才出品】
平面的外法线方向。
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三、三向应力状态分析 1．三向应力圆 如图 7-1-4 所示，以三个主应力表示的单元体，由三个相互垂直的平面分别作应力圆， 将三个平面的应力圆绘在同一平面上得到三向应力状态下的应力圆，如图 7-1-5 所示。与 每一主应力所对应的应力圆可由与该主平面相正交的其余面上的应力作出。 注意：作三向应力圆应至少知道一个主应力的大小和方向。
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实例：在滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点处的应力状态，可以作为三向应力状态的实例。 二、二向应力状态分析 1．解析法 如图 7-1-1（a）所示，一单元体 abcd 处于平面应力状态，采用截面法取左边部分单 元体 eaf 为研究对象，如图 7-1-1（b）所示。
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图 7-1-3（a）
图 7-1-3（b） ③求主应力数值和主平面位置 a．求主应力数值的方法 如图 7-1-3（b）所示，点 A1 和点 B1 分别为代表最大主应力和最小主应力，其大小为
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第 7 章 应力和应变分析强度理论
7.1 复习笔记
一、应力状态 一点的应力状态：过一点不同方向面上应力的集合。 应力状态的研究对象是单元体，其特征为：①单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀 分布；②任意一对平行平面上的应力相等。 主单元体是指各侧面上切应力均为零的单元体。其中，单元体上切应力为零的面称为主 平面，主平面上的正应力称为主应力。 说明：一点处必定存在一个单元体，使得三个相互垂直的面均为主平面，三个互相垂直 的主应力分别记为 σ1、σ2、σ3，且规定按代数值大小的顺序来排列，即 σ1≥σ2≥σ3。 应力状态分类及实例 （1）单向应力状态：也称为简单应力状态，三个主应力 σ1、σ2、σ3 中只有一个不等 于零。 实例：简单的拉伸或压缩。 （2）平面（二向）应力状态：三个主应力 σ1、σ2、σ3 中有两个不等于零。 实例：薄壁圆筒横截面上的点和圆形容器包含直径的任意横截面上的点。 （3）空间（三向）应力状态：和平面应力状态统称为复杂应力状态，三个主应力 σ1、 σ2、σ3，均不等于零。
材料力学第18讲 Chapter7-2第七章 应力状态(应力圆)
x
y
2
R cos[180o
(2
20 )]
xy
x
2
y
R cos(2
20 )
O
xy
x
y
2
R(cos 2
cos 20
sin 2
sin 20 )
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy
sin
2
D
A ( x , xy )
y R 2 20
E
C
x
B ( y , xy )
13
单元体与应力圆的对应关系
y y
y
10
a
64103 110103 3.206107 1012
219.6MPa
200
b
64103 100103 3.206107 1012
199.6MPa
10
c
64103 0 3.206107 1012
0.0MPa
120
10
c z
b a y
30
(Fs 160kN; M 64kN m)
xy
（3）以C 为圆心，AC为半径画圆
—应力圆或莫尔圆
O
xy
y
y
xy x
Ox
A ( x , xy )
y C
B ( y , xy )
x
10
3、单元体公式与应力圆的关系
以上由单元体公式
应力圆（原变换）
下面寻求由应力圆
单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价 换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
x
x
x
0
y 1
材料力学第9章 应力状态分析
B
方位角α, 对应于应力圆上为2 α
a τy σy τx e σα σx a ταf
n
c
τ
a
B 2a
τσx x x o C
角, 自起始半径旋转, 且与α转向 一致；
A 单元体上A、B面夹角α, σ 应力圆上弧长AB的圆心角
b
σyτy d
为2 α角, 且转向一致。
3、主应力、主平面与主单元体
t
图解法
tadA (t xdAcosa ) cosa (s xdAcosa )sina (t ydAsina )sina (s ydAsina) cosa 0
关系式
t x =t
(负号已包含在指向中）；
y
sin
2a
2 sin a
cosa；
cos2 a 1 cos 2a ； sin2 a 1 cos 2a
t
图解法
注意A1、A2点
σx
σ( 2,0)
A2 B2
σ τ E(
2a
Dα1，σ( xα,)τ x )
2a
数值 方位
τy τx
o
σ a C B1 A1 σ
( 1,0) 主点法
s1 = sx s y
s2
2
s
(
x
s
2
y
)2
t
2 x
tan
2a0
2t x sx s
y
(σy ,Dτ2y) σy
K
s1的方位
作D1K⊥σ轴, 交圆与K点, 则A2K方向
2
2
sa、ta
计算公式
sa
ta
sx sx
sy
2
s y
二向应力状态分析—图解法
§7–4 二向应力状态分析—图解法
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos 2
1、 莫尔圆的概念
(
x
y 2
)2
2
(x
y )2 2
2 x
(
x
y 2
)2
2
(x
y 2
)2
2x
当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 ， 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 。
圆心的坐标为(the coordinates of MOHR circle’s center)
y
xm
900
t
450
k
D
y
xm
900
t
450
k
D
y
3
τ max
x
τ max
k
450
1
解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图 所示
可求得
y 1 max 80MPa
x 3 max 80MPa
z 0
k点处的线应变 x , y 为
y
x
1 E
(x
y )
1 E
(max
z
x
二、纯剪的本构关系
xy
xy
G
i 0 ( i x,y,z ) yz zx 0
y
xy
z
x
三、复杂状态下的本构关系
y
依叠加原理,得
y
z
z
x
xy
x
x
x
E
y
E
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos 2
1、 莫尔圆的概念
(
x
y 2
)2
2
(x
y )2 2
2 x
(
x
y 2
)2
2
(x
y 2
)2
2x
当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 ， 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 。
圆心的坐标为(the coordinates of MOHR circle’s center)
y
xm
900
t
450
k
D
y
xm
900
t
450
k
D
y
3
τ max
x
τ max
k
450
1
解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图 所示
可求得
y 1 max 80MPa
x 3 max 80MPa
z 0
k点处的线应变 x , y 为
y
x
1 E
(x
y )
1 E
(max
z
x
二、纯剪的本构关系
xy
xy
G
i 0 ( i x,y,z ) yz zx 0
y
xy
z
x
三、复杂状态下的本构关系
y
依叠加原理,得
y
z
z
x
xy
x
x
x
E
y
E
理论力学14应力状态分析
T
Wt
16M e πd3
联立解得扭转外力偶矩
Me
πd 3E45o
161
π
50103 3 210109
161 0.28
300 106
试求该扭转外力偶矩。
解： 在测点截取单元体
该点为纯剪切应力状态，与母线成45° 方向即为主方向，其主应力
1 2 0
根据广义胡克定律
3
45oBiblioteka 11 E
1
2
3
1
E
1
E
45o
1
E
圆轴表面的最大扭转切应力
2
MPa
80 MPa
第六节 广义胡克定律
一、二向应力状态下的胡克定律
x
1 E
x
y
y
1 E
y
x
二、三向应力状态下的胡克定律
x
1 E
x
y z
y
1 E
y
z
x
x
2
y
2
2 xy
切应力最大值
max
1
3
2
注意：切应力极大值不一定就是切应力最大值
四、纯剪切应力状态
1. 斜截面上的应力
sin 2
cos 2
2. 主平面和主应力
主平面： 45°斜截面
主应力： 1
《材料力学 第2版》_顾晓勤第09章第2节 二向应力状态分析
第 2 节 二向应力状态分析 第九章 复杂应力状态和强度理论
最大主应力和最小主应力的计算式
max m in
x
y
2
x
2
y
2
2 x
确定 max 和 min 所在平面的方法
1）若x>y，则所求的两个角度0 和 90º+0 中， 绝对值较小的一个确定max 所在的平面；
2）若x <y，则所求的两个角度0 和 90º+0 中， 绝对值较小的一个确定min 所在的平面；
2
及
2sin cos sin 2 对以上二式进行整理得到：
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos2
第 2 节 二向应力状态分析 第九章 复杂应力状态和强度理论
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos2
利用上述两式可以求得 de 斜截面上的正应力和切
设 de 斜截面面积为 dA，则 ae 面的面积为 dAsin ， ad面的面积为 dAcos 。取 t 和 n 为参考轴，建立棱
柱体 ade 的受力平衡方程如下：
dA ( xdAcos ) sin ( xdAcos ) cos ( ydAsin ) cos ( ydAsin ) sin 0
y
2
2 x
105 MPa
第 2 节 二向应力状态分析 第九章 复杂应力状态和强度理论
0
1 2
arctan(
2 x x
一般二向应力状态下求解主应力方法
一般二向应力状态下求解主应力方法1.引言二向应力状态是指材料在受力情况下同时受到两个不同方向的应力作用。
在工程实践中，很多材料都会出现二向应力状态，因此如何准确求解在这种情况下的主应力是非常重要的。
本文将介绍一般二向应力状态下求解主应力的方法。
2.二向应力状态的概念在材料受力的情况下，如果同时存在两个不同方向的应力作用，就形成了二向应力状态。
一般来说，二向应力状态可以分为各向同性的和各向异性的两种情况。
各向同性是指材料在各个方向上的性能均相同，而各向异性则是指材料在不同方向上的性能存在差异。
在工程实践中，需要根据具体情况来判断材料的二向应力状态，以便正确求解主应力。
3.一般二向应力状态下求解主应力方法一般二向应力状态下求解主应力的方法可以分为数学方法和实验方法两种。
3.1 数学方法数学方法是通过数学推导和计算来求解主应力的方法。
在一般二向应力状态下，可以采用坐标变换的方法将二向应力状态转化为主应力状态。
具体步骤如下：（1）确定材料受力情况并获取二向应力状态的数值；（2）根据材料的各向同性或各向异性特点，选择合适的坐标系，进行坐标变换；（3）利用坐标变换后的应力矩阵，通过数学运算求解出主应力的数值。
3.2 实验方法实验方法是通过实验手段来求解主应力的方法。
在一般二向应力状态下，可以采用应变片法或光栅法来进行主应力的实验测量。
具体步骤如下：（1）利用应变片或光栅在材料表面进行应力测量；（2）根据实验测量结果，计算出主应力的数值。
4.应用举例为了更好地理解一般二向应力状态下求解主应力的方法，我们可以举一个具体的应用例子。
某种材料同时受到水平和垂直方向的应力作用，需要求解主应力。
可以采用数学方法进行坐标变换，将二向应力状态转化为主应力状态，再通过数学计算求解主应力的数值。
5.总结一般二向应力状态下求解主应力是工程实践中的重要课题。
通过数学方法和实验方法的结合，可以准确求解出材料在二向应力状态下的主应力，为工程设计和材料应用提供重要依据。
二向应力
2
(a)当 (a)当σx>σy时,
− 2τ xy 2α0 = arctg σ −σ y x
此时, 2α = 2α0 +180° 得到 σmin (主应力） 主应力）
σmin
σx +σ y = − 2
σx −σ y 2
2 +τ xy
f
t
t
由
∑n = 0
即
可得
σα dA − (σxdAcosα)cosα + (τ xdAcosα)sin α −
(σ ydAsin α)sin α + (τ ydAsin α) cosα = 0
σα = σ x cos2 α +σ y sin 2 α − 2τ x sin α cosα
1 cos2 α = (1+ cos 2α) 2 1 2 sin α = (1− cos 2α) 2
α1 = ±45°
具体是正负可由力的合成定理直接判断. 具体是正负可由力的合成定理直接判断.
（1）最小主应力及作用平面 由
σx +σy σx −σy σα = cos 2α −τ xy sin2α + 2 2
作三角变换得
σx +σ y σα = + 2
当
σx −σ y 2
二、主应力和主平面 主平面: 主平面 一点处剪应力等于零的平面称为主平面 主应力: 主应力 主平面上的正应力称为主应力 说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 说明 一点处必定存在这样的一个单元体 三个相互垂直 的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为 σ1 ,σ2 , σ3 的面均为主平面 且规定按代数值大小的顺序来排列 即 且规定按代数值大小的顺序来排列, 值大小的顺序来排列
(a)当 (a)当σx>σy时,
− 2τ xy 2α0 = arctg σ −σ y x
此时, 2α = 2α0 +180° 得到 σmin (主应力） 主应力）
σmin
σx +σ y = − 2
σx −σ y 2
2 +τ xy
f
t
t
由
∑n = 0
即
可得
σα dA − (σxdAcosα)cosα + (τ xdAcosα)sin α −
(σ ydAsin α)sin α + (τ ydAsin α) cosα = 0
σα = σ x cos2 α +σ y sin 2 α − 2τ x sin α cosα
1 cos2 α = (1+ cos 2α) 2 1 2 sin α = (1− cos 2α) 2
α1 = ±45°
具体是正负可由力的合成定理直接判断. 具体是正负可由力的合成定理直接判断.
（1）最小主应力及作用平面 由
σx +σy σx −σy σα = cos 2α −τ xy sin2α + 2 2
作三角变换得
σx +σ y σα = + 2
当
σx −σ y 2
二、主应力和主平面 主平面: 主平面 一点处剪应力等于零的平面称为主平面 主应力: 主应力 主平面上的正应力称为主应力 说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 说明 一点处必定存在这样的一个单元体 三个相互垂直 的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为 σ1 ,σ2 , σ3 的面均为主平面 且规定按代数值大小的顺序来排列 即 且规定按代数值大小的顺序来排列, 值大小的顺序来排列
工程力学第2节 二向应力状态分析
例12-1 已知构件内某点处的应力单元体如图所示，
试求斜截面上的正应力 和切应力 。
解：按正负号规定则有：
x 60 MPa x 120 MPa y 80 MPa 300
代入公式得：
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
78.9MPa
低碳钢试件扭转破坏是被剪断的，且其抗剪能力
低于其抗拉能力。
铸铁试件扭转破坏是被拉断的，且其抗拉能力低 于其抗剪能力。
例12-3 图示单元体，x=100MPa，x= –20MPa，
y=30MPa。试求：1） = 40º的斜截面上的 和 ； 2）确定A点处的max、max和它们所在的位置。
x
y
2
sin 2
x
cos2
121MPa
二、主应力和极限切应力
1、主应力和主平面
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos2
将公式 对 求一阶导数、并令其为0：
d d
x
2
y
(2 sin
由切应力互等定理有x=y，并利用三角关系：
sin2 1 cos2 、 cos2 1 cos2 及
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2sin cos sin 2 对以上二式进行整理得到：
x
y
2
x
y
2
二向应力状态分析--解析法和图解法
σ
TSINGHUA UNIVERSITY
σ 0
σ
2 求正应力的极值面
x y
x - y
2 2 上式对α 求一次导数，并令其等于零
cos2 - xysin2
TSINGHUA UNIVERSITY
d -( x - y )sin2 - 2 xy cos2 0 d
xy
x
tg 2 0 -
2 xy
- 60 0. 6 60 40
0 15.5 ,
x - y
代入 表达式可知
0 15.5 90 105.5
主应力 1 方向： 0 15.5
主应力方向
3 方向：0 105.5 ---主平面的法线方向 主应力
x 60MPa， -40MPa, xy -30MPa, y
xy
x
max
x - y 2 2 ( ) xy 2 3400
3 主平面的位置
x 60MPa，
xy -30MPa,
y -40MPa,
y
TSINGHUA UNIVERSITY
2 2
TSINGHUA UNIVERSITY
x - y
2
sin2 xy cos2
y yx
y
x
y
xy x x
例题1求斜面ab上的正应力和切应力
y
TSINGHUA UNIVERSITY
解：x 10MPa, y -30MPa
20MPa
a
300
要求 掌握主应力计算！！牢记公式，并进行 排序！
二
材料力学第9章应力分析强度理论
已知如图，设ef 面积为dA
F
n
0
F 0
dA ( xydAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yxdAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
dA ( xydAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yxdAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
2
2 xy
xy
min
y
yx
23
⒉主方向
应力圆：D点顺时针转2α0到A1点
单元体：x轴顺时针转α0到主平面法线
证明：
xy 2 xy AD tg 2 0 CA x y x y 2
24
㈣利用应力圆求剪应力极值 应力圆上最高点、最低点的纵坐标值，为剪 应力的极大、极小值。 证明：
2
?
min
tg 2 0
2 xy
max
yx
x
x y
xy
解出两各极值点α0,α0=90+α0 最大、最小应力即为主应力
max x y x y 2 2 ( ) xy min 2 2
y
σmax、σmin为三个主应力中的两个。
11
讨论： ⑴若代数值σx≥σy，则α0、α0中，绝对值较小者是
σx与σmax之间夹角，且小于45。 ⑵若代数值 σx≤σy ，则α0 、α0 中，绝对值较小者是 σx 与 σmin之间夹角，且小于45。
min
max
yx
x
xy
12
y
㈢τmax、τmin(与z轴平行的任意斜截面上的)
F
n
0
F 0
dA ( xydAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yxdAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
dA ( xydAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yxdAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
2
2 xy
xy
min
y
yx
23
⒉主方向
应力圆：D点顺时针转2α0到A1点
单元体：x轴顺时针转α0到主平面法线
证明：
xy 2 xy AD tg 2 0 CA x y x y 2
24
㈣利用应力圆求剪应力极值 应力圆上最高点、最低点的纵坐标值，为剪 应力的极大、极小值。 证明：
2
?
min
tg 2 0
2 xy
max
yx
x
x y
xy
解出两各极值点α0,α0=90+α0 最大、最小应力即为主应力
max x y x y 2 2 ( ) xy min 2 2
y
σmax、σmin为三个主应力中的两个。
11
讨论： ⑴若代数值σx≥σy，则α0、α0中，绝对值较小者是
σx与σmax之间夹角，且小于45。 ⑵若代数值 σx≤σy ，则α0 、α0 中，绝对值较小者是 σx 与 σmin之间夹角，且小于45。
min
max
yx
x
xy
12
y
㈢τmax、τmin(与z轴平行的任意斜截面上的)
材料力学
50 100 50 100 cos60 70sin 60
2
2
73.1MPa
30
x
y 2
sin 2
xy cos2
50 100 sin 60 70cos60 2
30MPa
（2）主应力及主平面的方位
max m in
0
tan 21
x 2 xy
y
上式可求出相差900的两个角a 1，对应两个互相垂直的极值切应力截 面。
m
ax
min
x
2
y
2
2 xy
比较公式 可见 所以有
tan 20
2 xy x
y
tan
21
x xy
y
max min
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
三、最大切应力及其作用平面的位置
x
y
2
sin 2
xy cos 2
令 1 时
即
d 0 d
d d
( x
y ) cos21 2 xy sin 21
tan 2 0
1
tan 21
2a1
2a0
π 2
,
a1
a0
π 4
例 图a所示为受力构件内单元体各面上的应力，试用
第十四章应力状态分析与强度理论
得到以下结论:
2t x tan2 a0 sx s y
1) 切应力为0的平面上，正应力为最 大或最小值； 2) 切应力为0的平面是主平面，主平 面上的正应力是主应力，所以主应力 就是最大或者最小的正应力。
将a0代入sa的计算公式，
计算得到最大和最小正应力
2
s max s x s y sx s y 2 t x 2 s min 2
s1 s3
s2
xy 0
yz 0
zx 0
1、2、3为主应变。主应变和主应力的方向是重合的。
14.4
材料的破坏形式
1、材料破坏的基本形式
Ⅰ. 在没有明显塑性变形情况下的脆性断裂； Ⅱ. 产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。
2.应力状态对材料破坏形式的影响
试验证明：
同一种材料在不同的应力状态下，会发生不同形式的破坏。 压应力本身不能造成材料的破坏，而是由它所引起的切应力等因素在对 材料的破坏起作用；构件内的切应力将使材料产生塑性变形。 在三向压缩应力状态下，脆性材料也会发生塑性变形；拉应力则易于使 材料产生脆性断裂；而三向拉伸的应力状态则使材料发生脆性断裂的倾向 最大。 变形速度和温度对材料的破坏形式也有较大影响。
cos2a t xsin2 a
2 50 1.429 0 70
sa
sx sy
s max
2 2 26MPa (a 27.5) s min 96MPa (a 117.5)
sx s y
代入 a 0 27.5 or 117.5
I
t t s A s t t
sy t
sx
B
sx t
t sy
2t x tan2 a0 sx s y
1) 切应力为0的平面上，正应力为最 大或最小值； 2) 切应力为0的平面是主平面，主平 面上的正应力是主应力，所以主应力 就是最大或者最小的正应力。
将a0代入sa的计算公式，
计算得到最大和最小正应力
2
s max s x s y sx s y 2 t x 2 s min 2
s1 s3
s2
xy 0
yz 0
zx 0
1、2、3为主应变。主应变和主应力的方向是重合的。
14.4
材料的破坏形式
1、材料破坏的基本形式
Ⅰ. 在没有明显塑性变形情况下的脆性断裂； Ⅱ. 产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。
2.应力状态对材料破坏形式的影响
试验证明：
同一种材料在不同的应力状态下，会发生不同形式的破坏。 压应力本身不能造成材料的破坏，而是由它所引起的切应力等因素在对 材料的破坏起作用；构件内的切应力将使材料产生塑性变形。 在三向压缩应力状态下，脆性材料也会发生塑性变形；拉应力则易于使 材料产生脆性断裂；而三向拉伸的应力状态则使材料发生脆性断裂的倾向 最大。 变形速度和温度对材料的破坏形式也有较大影响。
cos2a t xsin2 a
2 50 1.429 0 70
sa
sx sy
s max
2 2 26MPa (a 27.5) s min 96MPa (a 117.5)
sx s y
代入 a 0 27.5 or 117.5
I
t t s A s t t
sy t
sx
B
sx t
t sy
复杂应力状态分析2应力圆法
O
px A
OBC的面积为mdA
pz C
（A） OCA的面积为ndA
3
OAB的面积为ldA
z
2 1
x
y B
py
1 O
pz C
（B）平衡方程
X 0 px dA 1 mdA 0
2
Y 0 p y dA 3 ndA 0
px
Ax
Z 0 pz dA 2 ndA 0
（C）
p2
则E 点坐标： E（52.3，-18.7）
50
σ2
20 σ1
D′（50，20）
30 x A
C
σ1
σ2 0
20
B
3、主应力及主单元体
D（30，-20）
C（40，0） r 22.4 o 31.7o B点： 1 40 22.4 62.4(MPa)
A点： 2 40 22.4 17.6(MPa) 3 0
( n
2
3 )2
2
2 n
(
2
3
)2
2
(
n
3
2
1
)2
2 n
(
3
2
1
)2
(
n
1
2
2
)2
2 n
(
1
2
2
)2
结论：
σ3 σ2
σ1
任意斜截面上的应力，都落在图示阴影部分内，既阴影部 分内每一个点与一个截面上的应力相对应。
三、一点处应力状态中的 最大剪应力
max
1
3
2
★与二向应力状态中最大剪应力的区别：
与x轴的夹角为a，则
推论：
1
2
二向应力状态分析的解析法
二向应力状态分析的解析法二向应力状态分析的解析法[知识回顾]基本变形下的强度条件:(板书)FNmax1、拉压 ,,,[,]maxA 正应力强度条件Mmax2、弯曲 ,,,[,]maxW*FSsz ,,,[,]maxbIz3、扭转剪应力强度条件T,,,[,]max Wt[教学导入]特点:以上强度条件考虑了危险点上只有正应力或只有剪应力的情况，即单向应力状态;当考虑的点上既有正应力又有剪应力时，就不能用单向应力状态理论来建立强度条件，需要用强度理论来建立强度条件[新课教学]材料力学教案力学教研室于月民二向应力状态分析的解析法一、应力状态的概述(一)一点处的应力状态(ppt)1、不同截面上,各点的应力不同F2F ,,,,12AA2、横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明:同一横截面上,不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。
3、F横截面上: ,,,,0AF22,,cos,,,cos,,斜截面上: A,F,,sin2,,sin2,, 2A2同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。
点的应力状态:(State of the Stresses of a Given Point)通过受力构件内某一点的不同方向面上的应力的集合，称之为这一点的应力状态1材料力学教案力学教研室于月民 (二)点的应力状态的表示(板书)1、单元体:围绕所考查的点，取三方向上尺寸无穷小的正六面体。
特点:1、各面上应力均匀分布2、相互平行的面上应力值相等如:轴向拉伸杆中过A取单元体，1)横、纵取F左右二面是杆横截面的一部分: ,,xA,,0上下和前后面都平行轴线:2)若与横纵成α角截取四个侧面与轴线即不平行也不垂直是斜截面，其上有正应力和剪应力2,,,cos,,x,x ,,sin2,,2由此可见:单元体的应力状态实质上代表一个点的应力状态，研究研究过一点的不同截面上应力变化情况，就是应力分析的内容。
取单元体的方位不同，表示出的形态不同，但二者等价。
二向应力状态分析--解析法和图解法
多轴加载情况下处理方法
多轴加载定义
多轴加载是指物体在多个方向上同时受到外力的作用，导致物体 内部产生复杂的应力状态。
坐标变换法
通过坐标变换法可以将多轴加载情况下的应力状态转换到主应力 空间中进行分析，从而简化问题。
数值计算法
对于复杂的多轴加载情况，可以采用数值计算法求解应力张量和 主应力，以获得更精确的结果。
图形表示在工程中应用
01 02
复杂应力状态分析
在实际工程中，构件往往处于复杂的应力状态下。通过图解法，特别是 Mohr圆的应用，可以方便地确定构件的危险点和安全裕度，为工程设 计提供重要参考。
强度校核
在结构设计中，需要对关键构件进行强度校核。图解法可以直观地展示 受力构件的应力分布和大小，从而判断其是否满足强度要求。
VS
图解法适用范围
适用于简单的应力状态分析或者对精确度 要求不高的情况。例如，在初步设计阶段 或者课堂教学过程中，可以采用图解法进 行快速的应力状态分析和演示。
实例验证两种方法一致性
• 以某一具体实例为例，分别采用解析 法和图解法进行应力状态分析。通过 比较两种方法得到的结果，可以验证 两种方法的一致性和准确性。具体实 例可以根据实际情况选择，例如可以 选择一个简单的杆件结构或者一个复 杂的板壳结构进行分析。
优缺点分析
• 对数学知识要求低：相对于解析法，图解法对数 学知识的要求较低。
优缺点分析
精确度相对较低
由于绘图和测量过程中可能存在误差，因此图解法的精 确度相对较低。
适用范围有限
对于某些复杂的应力状态，图解法可能无法适用或者难 以得到准确结果。
适用范围讨论
解析法适用范围
适用于各种复杂的应力状态分析，特别 是需要高精度计算的情况。例如，在航 空航天、桥梁建筑等领域，对结构的安 全性要求极高，需要采用解析法进行精 确的分析和计算。
二向应力状态分析-解析法
2
sin2 1 (1 cos 2 )
2
2sin cos sin2
并注意到 yx xy 化简得
1 2
(
x
y)
1 2
(
x
y ) cos2
xy
sin 2
1 2
(
x
y ) sin 2
xy cos2
材料力学
目录
材料力学
二向应力状态分析-解析法
2.正负号规则
y yx
x
xy
x
y
α n x
t
yx(dAsin ) cos y (dAsin)sin 0
y
Ft 0
dA xy(dAcos ) cos x (dAcos )sin
yx(dAsin )sin y (dAsin ) cos 0
材料力学
目录
材料力学
二向应力状态分析-解析法
{ 利用三角函数公式
cos2 1 (1 cos 2 )
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa , 30。
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
y xy
x
材料力学
目录
材料力学 材料力学
二向应力状态分析-解析法
解：（1） 斜面上的应力
y xy
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
3
max min
x
y
2
x
2
y
2
xy2
xy
max 1 xy min 3 xy
45
1
此现象称为纯剪切
材料力学
sin2 1 (1 cos 2 )
2
2sin cos sin2
并注意到 yx xy 化简得
1 2
(
x
y)
1 2
(
x
y ) cos2
xy
sin 2
1 2
(
x
y ) sin 2
xy cos2
材料力学
目录
材料力学
二向应力状态分析-解析法
2.正负号规则
y yx
x
xy
x
y
α n x
t
yx(dAsin ) cos y (dAsin)sin 0
y
Ft 0
dA xy(dAcos ) cos x (dAcos )sin
yx(dAsin )sin y (dAsin ) cos 0
材料力学
目录
材料力学
二向应力状态分析-解析法
{ 利用三角函数公式
cos2 1 (1 cos 2 )
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa , 30。
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
y xy
x
材料力学
目录
材料力学 材料力学
二向应力状态分析-解析法
解：（1） 斜面上的应力
y xy
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
3
max min
x
y
2
x
2
y
2
xy2
xy
max 1 xy min 3 xy
45
1
此现象称为纯剪切
材料力学
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5.以CD为基准线，沿反时针方向另取角度2 ，得一射线，与 圆交于G点 ,
6.按比例尺量出 , 值，即为单元体 斜面上的正应力和剪
应力 ,
三.验证 , 的正确性
由应力圆可得：
y y yx
xy x
n
x x xy
yx y
B1 B O 2
G1' ,E
D(x, xy)
2 2 A1
C L A 1
MPa
22.5
0
00
222.5222.或5.51或12或.15112.152.5
max 105
max
min
x
-
2
y
2
+
2 x
85MPa
min 65
点面对应
y
y
A x
x
a
c
转向对应、二倍角对应
n
b
2 a
c
某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面 上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x
轴成300和－600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明 低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。
-450
+ max
断开的。因此，可以认为这种脆性破
坏是由最大拉应力引起的。
450 0
例题4:图示一矩形截面简支梁,在跨中有集中力作用。已 知:P=100KN,L=2m,b=200mm,h=600mm,=400。求：
离左支座L/4处截面上C点在400斜截面上的应力。
P
h/4
L/4 L/4 L/2
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
x
x + y
2
+ x - y cos 2
2
- x sin 2
x
2
+ xy
2
cos 2
x - y sin 2
2
+ x cos 2
450
450
x
2
450
x
2
max
x
2
sin
2
低碳钢试样拉伸至屈服时沿45o 表面出现滑移线，是由最大切 应力引起的。
2
+
4
2 x
z
25mm
1
2
3
2
4
h
1
3
3
Fs 4 2、计算各点主应力
1点
Iz
2点
bh3 500cm4 12
(处于纯剪状态)
1
My Iz
11000M10P3a 50 500 104
1 2 0 3 -100MPa
max
3 2
Fs A
330M12P0a103 2 60100
1 30MPa 2 0
§8.2.1 二向应力状态分析——解析法
平面应力状态的解析法
• 确定任意方向面上的应力 • 应用平衡的方法
正负号规则 平衡原理的应用— 微元局部的平衡方程
应力变换及其实质
平面应力状态的解析法
正
x
x
负
正
号
应
规
力
则
x
x
拉为正
压为负
平面应力状态的解析法
正负号规则
x'y'
xy
yx
剪 应力
使微元或 其局部顺时针 方向转动为正 ；反之为负。
- y (dAsin q) cos q 0
y´
x'y' x´
x q
x'
xy dA yx
y
平面应力状态的解析法
化简得到以下两个方程：
x' x cos2 q + y sin2 q - xy sinq cosq - yx sinq cosq x' y' x sinq cosq - y sinq cosq + xy cos2 q - yx sin2 q
0.469MPa
C C
C
§8-2-3 平面应力状态下的最大应力，主应力
y y
y
B1 B O 2
G1' ,E
D(x,xy)
2 20
CF A
A1 1
D’ (y, yx) G2 "
tg- 20
DDAF CCAF
tg 2 0
- 2 x x - y
max
A1
OC
+
CA 1
x
+ y
2
+
x
-
利用三角恒等式，整理得
x'
x
+ y
2
+x
- y
2
cos 2q
- xy sin 2q
x'y' x - y sin 2q + xy cos 2q
2
平面应力状态的解析法
应力变换的实质——同一点的应力
状态可以有各种各样的描述方式：
y
yx
y
xy
x
x
y'
y'x'
y'
x' y' x'
x'
y''
3点
3
(一般平面状态)
Fs
S
* z
My Iz
10103 25
50MPa 500 10
4
Izb
1 58.6MPa
2122.50M51P00a03 160042650 37.5
2 0 3 -8.6MPa
3 -30MPa
4点1 100MPa
2 0 3 0
自受力构件内取一单元体,其上承受应力如图示,
单位：MPa
解：(一)使用解析法求解
x 80MPa, y -40MPa
x 80MPa, y -40MPa
x -60MPa, = 30
x10-x26M+2x0+2PMayP+ay ,+x-2x=-2y
30
coys
2 - x
cos 2
sin
-
2
x sin
2
1x0-2M yPsain 2
平面应力状态的解析法
正负号规则
q角
由 x正向反 时针转到x'正 向者为正；反 之为负。
y' y
x'
q
x
平衡原理的应用—微元局部的平衡方程
• 平衡对象——用q 斜截
面截取的微元局部
y´
参加平衡的量——应力 乘以其作用的面积
平衡方程——
x'y' x´
x q
x'
xy dA yx
Fx 0 Fy 0
D(x, xy)
2
2
A1
C L A 1
yx y
D’ (y, yx) G2 "
目录
３、几种对应关系
y
y
x D
x
A
c o
(y d,y)
a (x ,x)
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元 体某一方向面上的正应力和切应力；
转向对应——半径旋转方向与斜截面法线旋转方向 一致；
二倍角对应——半径转过的角度是斜截面旋转角度 的两倍。
2
y
2
+
2 x
min
B
1
OC
-
CB1
x
+ y
2
-
x
-
2
y
2
+
2 x
圆A1、B1两点位于应力圆上同一直径的两端，即最大正 应力所在截面与最小正应力所在截面互相垂直，故，应力圆
中各正应力极值所在截面的方位可表示如下：
y
y
m in
max x
x
0 max
m in
B1 B O 2
G1',E
分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆 试样扭转破坏的主要原因。
450
min
x + y
2
+ x - y cos 2
2
- x sin 2
- sin 2
max
x - y sin 2
2
+ x cos 2
cos 2
450
max
-
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着
最大拉应力作用面（即45o螺旋面）
D’ (y, yx) G2 "
EL CE sin2 + 2 CEsin 2 cos2 + cos2 sin 2 CD cos2 sin 2 + CD sin 2 cos2
CAsin 2 + DAcos2
y
y yx
xy x
n
x x xy
B1 B O 2
G1' ,E
D(x, xy)
2 2
y
平面应力状态的解析法
Fx 0
x
'dA
-
x
(dA
cos
q
)
cosq
+ xy(dAcos q) sin q
+yx (dAsin q) cos q
- y (dAsin q) sin q 0
y´
x'y' x´
x q
x'
xy dA yx
y
平面应力状态的解析法
Fy 0
-x'y'dA +x (dAcos q) sin q +xy (dAcos q) cos q -yx (dAsin q) sin q
6.按比例尺量出 , 值，即为单元体 斜面上的正应力和剪
应力 ,
三.验证 , 的正确性
由应力圆可得：
y y yx
xy x
n
x x xy
yx y
B1 B O 2
G1' ,E
D(x, xy)
2 2 A1
C L A 1
MPa
22.5
0
00
222.5222.或5.51或12或.15112.152.5
max 105
max
min
x
-
2
y
2
+
2 x
85MPa
min 65
点面对应
y
y
A x
x
a
c
转向对应、二倍角对应
n
b
2 a
c
某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面 上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x
轴成300和－600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明 低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。
-450
+ max
断开的。因此，可以认为这种脆性破
坏是由最大拉应力引起的。
450 0
例题4:图示一矩形截面简支梁,在跨中有集中力作用。已 知:P=100KN,L=2m,b=200mm,h=600mm,=400。求：
离左支座L/4处截面上C点在400斜截面上的应力。
P
h/4
L/4 L/4 L/2
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
x
x + y
2
+ x - y cos 2
2
- x sin 2
x
2
+ xy
2
cos 2
x - y sin 2
2
+ x cos 2
450
450
x
2
450
x
2
max
x
2
sin
2
低碳钢试样拉伸至屈服时沿45o 表面出现滑移线，是由最大切 应力引起的。
2
+
4
2 x
z
25mm
1
2
3
2
4
h
1
3
3
Fs 4 2、计算各点主应力
1点
Iz
2点
bh3 500cm4 12
(处于纯剪状态)
1
My Iz
11000M10P3a 50 500 104
1 2 0 3 -100MPa
max
3 2
Fs A
330M12P0a103 2 60100
1 30MPa 2 0
§8.2.1 二向应力状态分析——解析法
平面应力状态的解析法
• 确定任意方向面上的应力 • 应用平衡的方法
正负号规则 平衡原理的应用— 微元局部的平衡方程
应力变换及其实质
平面应力状态的解析法
正
x
x
负
正
号
应
规
力
则
x
x
拉为正
压为负
平面应力状态的解析法
正负号规则
x'y'
xy
yx
剪 应力
使微元或 其局部顺时针 方向转动为正 ；反之为负。
- y (dAsin q) cos q 0
y´
x'y' x´
x q
x'
xy dA yx
y
平面应力状态的解析法
化简得到以下两个方程：
x' x cos2 q + y sin2 q - xy sinq cosq - yx sinq cosq x' y' x sinq cosq - y sinq cosq + xy cos2 q - yx sin2 q
0.469MPa
C C
C
§8-2-3 平面应力状态下的最大应力，主应力
y y
y
B1 B O 2
G1' ,E
D(x,xy)
2 20
CF A
A1 1
D’ (y, yx) G2 "
tg- 20
DDAF CCAF
tg 2 0
- 2 x x - y
max
A1
OC
+
CA 1
x
+ y
2
+
x
-
利用三角恒等式，整理得
x'
x
+ y
2
+x
- y
2
cos 2q
- xy sin 2q
x'y' x - y sin 2q + xy cos 2q
2
平面应力状态的解析法
应力变换的实质——同一点的应力
状态可以有各种各样的描述方式：
y
yx
y
xy
x
x
y'
y'x'
y'
x' y' x'
x'
y''
3点
3
(一般平面状态)
Fs
S
* z
My Iz
10103 25
50MPa 500 10
4
Izb
1 58.6MPa
2122.50M51P00a03 160042650 37.5
2 0 3 -8.6MPa
3 -30MPa
4点1 100MPa
2 0 3 0
自受力构件内取一单元体,其上承受应力如图示,
单位：MPa
解：(一)使用解析法求解
x 80MPa, y -40MPa
x 80MPa, y -40MPa
x -60MPa, = 30
x10-x26M+2x0+2PMayP+ay ,+x-2x=-2y
30
coys
2 - x
cos 2
sin
-
2
x sin
2
1x0-2M yPsain 2
平面应力状态的解析法
正负号规则
q角
由 x正向反 时针转到x'正 向者为正；反 之为负。
y' y
x'
q
x
平衡原理的应用—微元局部的平衡方程
• 平衡对象——用q 斜截
面截取的微元局部
y´
参加平衡的量——应力 乘以其作用的面积
平衡方程——
x'y' x´
x q
x'
xy dA yx
Fx 0 Fy 0
D(x, xy)
2
2
A1
C L A 1
yx y
D’ (y, yx) G2 "
目录
３、几种对应关系
y
y
x D
x
A
c o
(y d,y)
a (x ,x)
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元 体某一方向面上的正应力和切应力；
转向对应——半径旋转方向与斜截面法线旋转方向 一致；
二倍角对应——半径转过的角度是斜截面旋转角度 的两倍。
2
y
2
+
2 x
min
B
1
OC
-
CB1
x
+ y
2
-
x
-
2
y
2
+
2 x
圆A1、B1两点位于应力圆上同一直径的两端，即最大正 应力所在截面与最小正应力所在截面互相垂直，故，应力圆
中各正应力极值所在截面的方位可表示如下：
y
y
m in
max x
x
0 max
m in
B1 B O 2
G1',E
分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆 试样扭转破坏的主要原因。
450
min
x + y
2
+ x - y cos 2
2
- x sin 2
- sin 2
max
x - y sin 2
2
+ x cos 2
cos 2
450
max
-
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着
最大拉应力作用面（即45o螺旋面）
D’ (y, yx) G2 "
EL CE sin2 + 2 CEsin 2 cos2 + cos2 sin 2 CD cos2 sin 2 + CD sin 2 cos2
CAsin 2 + DAcos2
y
y yx
xy x
n
x x xy
B1 B O 2
G1' ,E
D(x, xy)
2 2
y
平面应力状态的解析法
Fx 0
x
'dA
-
x
(dA
cos
q
)
cosq
+ xy(dAcos q) sin q
+yx (dAsin q) cos q
- y (dAsin q) sin q 0
y´
x'y' x´
x q
x'
xy dA yx
y
平面应力状态的解析法
Fy 0
-x'y'dA +x (dAcos q) sin q +xy (dAcos q) cos q -yx (dAsin q) sin q