2020年浙江省高考数学试卷

目标函数即：y
=
−
1 2
x
+
1 z， 2
其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大，
z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最小，
据此结合目标函数 的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最小值，
联立直线方程：x − 3y + 1 = 0, x + y − 3 = 0,
C. 2
D. −2
则 z = x + 2y 的取值范围是 ( )
A. (−∞, 4]
B. [4, +∞)
C. [5, +∞)
4. 函数 y = x cos x + sin x 在区间 [−π, +π] 的图象大致为 ( )
D. (−∞, +∞)
A
B
C
D
5. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是 ()
11. 已知 tan θ = 2，则 cos 2θ =
( ；tan θ −
π 4
) =
．
12. 已知数列 {an} 满足 an =
n
(n + 2
1)
，则
S3
=
．
13. 设 (1 + 2x)5 = a1 + a2x + a3x2 + a4x3 + a5x4 + a6x5，则 a5 =
；a1 + a2 + a3 =
bn bn+2
· cn (n ∈ N∗)．
(1) 若数列 {bn} 为等比数列，且公比 q > 0，且 b1 + b2 = 6b3，求 q 与 an 的通项公式；
(2) 若数列 {bn} 为等差数列，且公差 d > 0，证明：c1 + c2 + · · · + cn
<1+
1． d
21. 如图，已知椭圆 C1 :
所以点 P 在以 A，B 为焦点，实轴长为 2，焦距为 4 的双曲线的右支上，
由 c = 2，a = 1 可得，b2 = c2 − a2 = 4 − 1 = 3，即双曲线的右支方程为 x2 − y2 = 1 (x > 0)，
而点 P
还在y函=数3√y 4=−3√x24,
−
x2
的图象上， x
=
√ 13 ,
2， 1+
(
1 2
) ×2×1 ×2=
1 3
+2=
7． 3
6. 依题意 m，n，l 是空间不过同一点的三条直线， 当 m，n，l 在同一平面时，可能 m ∥ n ∥ l，故不能得出 m，n，l 两两相交． 当 m，n，l 两两相交时，设 m ∩ n = A，m ∩ l = B，n ∩ l = C，根据公理 2 可知 m，n 确定一个平 面 α，而 B ∈ m ⊂ α，C ∈ n ⊂ α，根据公理 1 可知，直线 BC 即 l ⊂ α，所以 m，n，l 在同一平面． 综上所述，“m，n，l 在同一平面”是“m，n，l 两两相交”的必要不充分条件．
7. 对于 A，因为数列 {an} 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，
由 4 + 4 = 2 + 6 可得，2a4 = a2 + a6，A 正确；
对于 B，由题意可知，bn+1 = S2n+2 − S2n = a2n+1 + a2n+2，b1 = S2 = a1 + a2，
所以 b2 = a3 + a4，b4 = a7 + a8，b6 = a11 + a12，b8 = a15 + a16．
选择题部分共)#分
!一!选!!择!题!本!大!题!共!!!#!小 题!!每!小!题!)!分共 )# 分!在 每 小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合 P = {x | 1 < x < 4}，Q = {2 < x < 3}，则 P ∩ Q =( )
A. {x | 1 < x ⩽ 2}
|P A| − |P B|
=
2，且
P
为函数
y
=
√ 34
−
x2
图象上的点，
则 |O√P | =( ) A. 22
2
√ B. 4 10
5
√ C. 7
√ D. 10
9. 已知 a, b ∈ R 且 ab ≠ 0，若 (x − a) (x − b) (x − 2a − b) ⩾ 0 在 x ⩾ 0 上恒成立，则 ( )
A. 若 S 有 4 个元素，则 S ∪ T 有 7 个元素 C. 若 S 有 3 个元素，则 S ∪ T 有 4 个元素
B. 若 S 有 4 个元素，则 S ∪ T 有 6 个元素 D. 若 S 有 3 个元素，则 S ∪ T 有 5 个元素
非选择题部分共!!#分
二 填 空 题本大题共7小题多 空 题 每 题 & 分单 空 题 每 题 )分共+&分把答案填在题中横线上
A. 7
B. 14
C. 3
D. 6
3
3
6. 已知空间中不过同一点的三条直线 m，n，l，则“m，n，l 在同一平面”是“m，n，l 两两相交”的 ( )
A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7.
已知等差数列
{an}
的前
n
项和
Sn，公差
d
≠
0，
a1 d
⩽ 1．记 b1 = S2，bn+1 = S2n+2 − S2n，n ∈ N∗，下列
等式不可能成立的是 ( )
A. 2a4 = a2 + a6
B. 2b4 = b2 + b6
C. a24 = a2a8
D. b24 = b2b8
8. 已知点
O
(0, 0)，A (−2, 0)，B
(2, 0)．设点
P
满足
3
所以，由 x2 −
x2 2
+ y2 = 1，抛物线 C2 : y2 = 2px (p > 0)，点 A 是椭圆 C1
与抛物线 C2 的交点，过点 A 的直线 l 交椭圆 C1 于点 B，交抛物线 C2 于 M（B，
M 不同于 A）．
(1) 若 p =
1 16
，求抛物线
C2
的焦点坐标；
(2) 若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值．
22. 已知 1 < a ⩽ 2，函数 f (x) = ex − x − a，其中 e = 2.71828 · · · 为自然对数的底数．
(1) 证明：函数 y = f (x) 在 (0, +∞) 上有唯一零点；
(2)
记（ⅰx0）为√函a 数−
y 1
= ⩽
f (x)√在 (0, x0 ⩽ 2 (a
．
14. 已知圆锥展开图的侧面积为 2π，且为半圆，则底面半径为
．
15. 设直线 l : y = kx + b (k > 0)，圆 C1 : x2 + y2 = 1，C2 : (x − 4)2 + y2 = 1，若直线 l 与 C1，C2 都相切，则
k=
；b =
．
16. 设 −→e1 ，−→e2 为单位向量，满足 |2−→e1 − −→e2 | ⩽ √2，−→a = −→e1 + −→e2 ，−→b = 3−→e1 + −→e2 ，设 −→a ，−→b 的夹角为 θ，则 cos2 θ
B. {x | 2 < x < 3}
C. {x | 3 ⩽ x < 4}
D. {x | 1 < x < 4}
2. 已知 a ∈ R，若 a − 1 + (a − 2) i（i 为虚数单位）是实数，则 a =( )
A. 1
B. −1
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3.
若实数
x，y
满足约束条件
x x
− +
3y + 1 ⩽ 0, y − 3 ⩾ 0,
+∞) 上的零点，证明： − 1)；
（ⅱ）x0f (ex0) ⩾ (e − 1) (a − 1) a．
参 考答案与详细解析
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 BCBAABDDC A 1. P ∩ Q = (1, 4) ∩ (2, 3) = (2, 3)． 2. 因为 (a − 1) + (a − 2) i 为实数， 所以 a − 2 = 0， 所以 a = 2． 3. 绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
可得点 A 的坐标为：A (2, 1)，
据此可知目标函数的最小值为：zmin = 2 + 2 × 1 = 4，且目标函数没有最大值， 故目标函数的取值范围是 [4, +∞)．
4. 因为 f (x) = x cos x + sin x，则 f (−x) = −x cos x − sin x = −f (x)，
台 体 的 体 积 公 式J' !+,!0 槡,!,$ 0,$K其 中 ,!,$ 分 别 表 示 台 体 的 上 下 底 面 积 K 表 示 台 体 的 高!
柱体的体积公式J',K其中 , 表示柱体的底面积K 表示柱体的高! 锥体的体积公式J' ! +,K其中 , 表示锥体的底面积K 表示锥体的高! 球的表面积公式 ,')A$球的体积公式J' ) +A+其中 A 表示球的半径
A. a < 0
B. a > 0
C. b < 0
D. b > 0
10. 设集合 S，T ，S ⊆ N∗，T ⊆ N∗，S，T 中至少有两个元素，且 S，T 满足： ①对于任意 x, y ∈ S，若 x ≠ y，都有 xy ∈ T ； ②对于任意 x, y ∈ T ，若 x < y，则 y ∈ S． x 下列命题正确的是 ( )
19. 如图，三棱台 DEF − ABC 中，面 ADF C ⊥ 面 ABC，∠ACB = ∠ACD = 45◦， DC = 2BC． (1) 证明：EF ⊥ DB； (2) 求 DF 与面 DBC 所成角的正弦值．
20. 已知数列 {an}，{bn}，{cn} 中，a1 = b1 = c1 = 1，cn = an+1 − an，cn+1 =
的最小值为
．
17. 一个盒子里有 1 个红 1 个绿 2 个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数
为 ξ，则 P (ξ = 0) =
；E (ξ) =
．
三 解 答 题解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
18. 在锐角 △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2b sin A = √3a． (1) 求角 B； (2) 求 cos A + cos B + cos C 的取值范围．
所以 2b4 = 2 (a7 + a8)，b2 + b6 = a3 + a4 + a11 + a12．
根据等差数列的下标和性质，由 3 + 11 = 7 + 7，4 + 12 = 8 + 8 可得 b2 + b6 = a3 + a4 + a11 + a12 =
2 (a7 + a8) = 2b4，B 正确； 对于 C，a24 − a2a8 = (a1 + 3d)2 − (a1 + d) (a1 + 7d) = 2d2 − 2a1d = 2d (d − a1)， 当 a1 = d 时，a24 = a2a8，C 正确； 对于 D，b24 = (a7 + a8)2 = (2a1 + 13d)2 = 4a21 + 52a1d + 169d2，b2b8 = (a3 + a4) (a15 + a16) = (2a1 + 5d) (2a1 + 29d) = 4a21 + 68a1d + 145d2， b24 − b2b8 = 24d2 − 16a1d = 8d (3d − 2a1)． 当 d > 0 时，a1 ⩽ d，所以 3d − 2a1 = d + 2 (d − a1) > 0 即 b24 − b2b8 > 0； 当 d < 0 时，a1 ⩾ d，所以 3d − 2a1 = d + 2 (d − a1) < 0 即 b24 − b2b8 > 0， 所以 b24 − b2b8 > 0，D 不正确． 8. 因为 |P A| − |P B| = 2 < 4，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项 C，D 错误；
且 x = π 时，y = π cos π + sin π = −π < 0，据此可知选项 B 错误．
5. 由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，
且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为 1，
棱所柱以的几底何面体为的等体腰积直为角：三13 角×形( ，12 棱× 柱2 ×的1高)为×
2020 年浙江省高考数学试卷
!!本试卷分选择题和非选 择 题 两 部 分满 分 !"# 分考 试 用时!$#分钟!
参考公式
若事件 +0 互斥则 1+00'1+010!
若事件 +0 相互独立则 1+0'1+10!
若事件 + 在 一 次 试 验 中 发 生 的 概 率 是9则- 次 独 立 重 复试验 中 事 件 + 恰 好 发 生? 次 的 概 率 ! 1- ?'--?9? !( 9-(??'#!$ -!