圆锥曲线的光学性质(2015)

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圆锥曲线的光学性质

1. 過：f ( x, y) 0 外部一點 A( x1, y1 )，求作切線：
設過 A( x1 , y1 )點的切線方程式為 y y1 m( x x1 )， f ( x, y ) 0 則僅有一交點，利用判別式 D 0 求出 m y y1 m( x x1 ) 2. 過：f ( x, y) 0 上一點 A( x0 , y0 )，求作切線：設過 A( x0 , y0 )點的切線方程式為 y y0 m( x x0 )， f ( x, y ) 0 則僅有一交點，利用判別式 D 0 求出 m y y0 m( x x0 ) 3. 已知切線斜率 m ，求作：f ( x, y) 0 的切線：
x2 y 2 (2) 拋物線無法表為 1 ， A B
設斜率為 m 的切線為 y=mx+k，代入拋物線方程式，
利用相切判別式 D=0，即可求得 k。
本段結束
拋物線已知斜率之切線
拋物線 x2 4cy，求斜率為 m 的切線
設切線方程式 y mx k，代入 x 2 4cy，得 x 2 4c(mx k )，整理得 x 2 4cmx 4ck 0 因相切有重根，判別式 D 0，所以 (4cm) 2 4(4ck ) 0 則 k cm 2 。代回得切線方程式為 y mx cm 2
2 x 3 y 1 。 8 18 整理得切線方程式為 3x+2y12=0。
(2) 切點 P(x0 , y0)=(3 , 1)， 8 2 所求為 4 3 x 1 y (3 x) (1 y ) 9 0 。 2 2 整理得切線方程式為 4xy11=0。
(1) 當 D>0 時，圓錐曲線與直線 L 相交於相異兩點 ( L 為割線)。

圆锥曲线的光学性质及其应用

得另一组解为 x = y = z = 0 .
⎧xy /(x + y) = 1/ 5,
例
3
解方程组
⎪ ⎨
yz
/(
y
+
z)
=
1/
6,
⎪⎩zx /(z + x) = 1/ 7.
分析对每个方程两边取倒数得
⎧1/ x + 1/ y = 5,
(1)
⎪⎨1/ y + 1/ z = 6,
(2)
⎩⎪1/ x + 1/ z = 7.
构特征,对其取倒数,则都可化成含有 x + 1 的 x
式子,从而运用整体代入求解. 对已知式取倒数得 x + 1/ x = m + 1. (1) 对待求式取倒数得
1/ u = x3 + 1/ x3 − m3 = (x + 1/ x)3 − 3(x + 1/ x) − m3 . (2)
把(1)代入(2)得
1/ u = (m + 1)3 − 3(m + 1) − m3 = 3m2 − 2 ,
则
u
=
1 3m2 −
2
,故选
C.
2 巧取倒数解方程组
例 2 (1984 年苏州市数学竞赛题)
⎧x = 2z2 /(1 + z2 ),
解方程组
⎪ ⎨
y
=
2x2
/(1
+
x2
),
⎪⎩z = 2 y2 /(1 + y2 ).
.
解 ∵ f (x) 是定义在 R 上的偶函数,
∴ x = 0 是 y = f (x) 对称轴.
又∵ f (1 + x) = f (1 − x) ,

数学实验圆锥曲线的光学性质-湘教版选修2-1教案

数学实验圆锥曲线的光学性质-湘教版选修2-1教案实验目的通过本次实验，学生将学会利用圆锥曲线的光学性质，掌握利用反射定理求圆锥曲线的参数，了解圆锥曲线在工程中的应用。

实验器材1.光源2.白纸3.直线尺4.圆规实验过程实验一：确定焦点和直线方程1.在光源左侧，在适当距离上固定一张白纸，作为反射屏幕。

2.在反射屏幕正对光源方向上方一些距离处固定一根带尺子的直杆，作为基准直线。

将反射屏幕和基准直线的交点作为坐标原点O。

3.分别用圆规在反射屏幕上作两圆，与基准直线交于A、B两点，以这两点为中心，用直尺连接光源S，分别求出两条辅助直线的方程。

4.连接圆心与对应定点的直线，交于点F。

用直线连接S和F，此线即为反射出的光线。

观察并测量反射角和入射角，求得反射点O在反射屏幕上的坐标。

实验二：求曲线方程1.更改反射物，将其改为二次曲线。

根据反射定理，在光线S1经过反射后，光线S1’与光线S2重合，连接S和S2交于点M。

2.以S为中心，以OM为半径作一圆，与二次曲线交于点P、Q，分别以P、Q为顶点，OM为轴，作两个圆锥侧面3.求出此时的圆锥曲线方程。

实验结果分析1.实验一中，通过反射定律，求出反射点在反射屏幕上的坐标，并计算出反射点到坐标原点的距离。

2.实验二中，利用圆锥曲线的光学性质，求出二次曲线的方程。

实验思考1.如何在实际生活中应用圆锥曲线的光学性质？2.圆锥曲线方程在哪些工程应用中有重要作用？实验总结通过本次实验，我们学习了圆锥曲线的光学性质，利用反射定理求出反射点在反射屏幕上的坐标，并求得了二次曲线的方程。

我们进一步了解了圆锥曲线在工程中的应用。

圆锥曲线光线性质

橢圓的光學性質已知橢圓Γ：22a x ＋22by ＝1，其兩焦點為F(c,0)，F ’(－c,0)，則由一焦點射向橢圓上任一點的光波或聲波，經該橢圓反射後會經過另一焦點。

證明：設P(x 0,y 0)為Γ上一點則220a x ＋220b y ＝1 ⇒ y 02＝b 2(1－220a x )＝b 2－2202ax b 而過P 的切線為L ：20a x x ＋20byy ＝1 ⇒ b 2x 0x ＋a 2y 0y ＝a 2b 2直線PF 的方程式為y ＝c x y-00(x －c) ⇒ y 0x －(x 0－c)y －cy 0＝0直線PF ’的方程式為y ＝cx y+00(x ＋c) ⇒ y 0x －(x 0＋c)y ＋cy 0＝0⇒切線L 與直線PF 的銳夾角為其法線向量(b 2x 0，a 2y 0)與(y 0，－(x 0－c))之銳夾角1θ 切線L 與直線PF ’的銳夾角為其法線向量(b 2x 0，a 2y 0)與(y 0，－(x 0＋c))之銳夾角2θ ⇒cos 1θ＝202024204002002)()(c x y y a x b c x y a y x b -++--＝202202224204020022)( b －b )(c x a x y a x b cy a y x a b -+++-＝220202224204020022cx - )x b 1(c b ay a x b cy a y x c ++-++-＝202022242040202cx -x c )(a ay a x b cx a cy ++-＝2024204020a)- x c()(ay a x b cx a cy +-＝a- x c )(020420400ay a x b x ac a acy +-＝2042040y a x b acy +cos 2θ＝202024204002002)()(c x y y a x b c x y a y x b ++++-＝202202224204020022)( b －b )(c x a x y a x b cy a y x a b +++--＝22020222420420022cx )x b 1(c b ay a x b cy a y x c +++-+--＝202022242040202cx x c )(a a y a x b cx a cy +++--＝20204204020a)x c ()(+++ay a x b cx a cy ＝a x c )(020420400+++a y a xb x ac a acy ＝2042040y a x b acy +⇒cos 1θ＝cos 2θ ∵1θ，2θ均為銳角 ∴1θ＝2θ ⇒直線PF 、PF ’與過P 點的法線夾角相等故由橢圓一焦點射向橢圓上任一點的光波或聲波，經該橢圓反射後會經過另一焦點。

圆锥曲线的光学性质探究

ｂ０Ｗｙｏ
点，作直线ｖＦｌ， Ⅳ Ｆ２，分别交左右准线于点Ｑ，Ｒ，则Ｑ，Ｐ，Ｒ
三点共线．
双曲线的光学性质知直线Ｐ Ⅳ 为
的外角平分线．
高中版中。？擞－？篱
教教
案例点评
２０１３年４月
向量暗藏玄机方向掌控自如
外一个焦点．
点的坐标为ｆ，Ｙｏ１，即Ｑ、Ｐ、Ｒ三点共线．
现在研究定理２的逆定理：定理３：已知椭圆＋＝１（６＞０）（如图２）的左右焦
矿Ｄ ‘
抛物线的光学性质：从抛物线的焦点出发的光线，经过抛物线壁反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．
ｎ
现在将定理３类比到双曲线和抛物线：
定理４：已知双曲线一
旷ｂ。
＼矿
／
一
‰
，
＝
差＝ｃｔ＋ｅＸｏ＝，所
矿ｂ‘
～
＝１（如图３），，是其左右焦
点，Ｚ，Ｚ。是其左右准线，Ｐ是双曲
（＋。），左准线２：：一，得Ｑ点坐标为ｆ一，Ｙｏ１，同理，Ｒ
Ｃ、Ｃ／
过椭圆壁的反射后，反射光线过另外一个焦点．
双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的光
线，经过双曲线壁的反射后，反射光线的反向延长线过另
２０１３年４月
案例点评
材法

圆锥曲线的光学性质及其应用

圆锥曲线的光学性质及其应用Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】圆锥曲线的光学性质及其应用尹建堂一、圆锥曲线的光学性质圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质，因而为正确理解与掌握其光学性质，就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。

设P（）为圆锥曲线（A、B、C不同时为零）上一定点，则在该点处的切线方程为：。

（该方程与已知曲线方程本身相比，得到的规律就是通常所说的“替换法则”，可直接用此法则写出切线方程）。

该方程的推导，原则上用“△法”求出在点P处的切线斜率，进而用点斜式写出切线方程，则在点P处的法线方程为。

1、抛物线的切线、法线性质经过抛物线上一点作一条直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。

如图1中。

事实上，设为抛物线上一点，则切线MT的方程可由替换法则，得，即，斜率为，于是得在点M处的法线方程为令，得法线与x轴的交点N的坐标为，所以又焦半径所以，从而得即当点M与顶点O重合时，法线为x轴，结论仍成立。

所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。

也可以利用点M处的切线方程求出，则，又故，从而得也可以利用到角公式来证明抛物线的这个性质的光学意义是：“从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴”。

2、椭圆的切线、法线性质经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。

如图2中证明也不难，分别求出，然后用到角公式即可获证。

椭圆的这个性质的光学意义是：“从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上”。

3、双曲线的切线、法线性质经过双曲线上一点的切线，平分这一点的两条焦点半径的夹角，如图3中。

仍可利用到角公式获证。

这个性质的光学意义是：“从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。

二、圆锥曲线光学性质的应用光学性质在生产和科学技术上有着广泛地应用。

探究数学中圆锥曲线的光学性质

椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点顾名思义，就是光线的聚焦点，这说明圆锥曲线具有丰富的光学性质.抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.探照灯就是利用这个原理设计的.反之，也成立.太阳灶设计就是按照这个原理.如图1.虽然课本上给出了性质，但没有任何证明.讲课时可以借助GeoGebra软件的作图和轻松设置变量为滚动条功能来直观显示，并用几何方法和学生进行简单论证.如图2，对于抛物线y2=2px上任意一点A(y022p,y0)处切线称为镜面，A点不是原点（0，0）时切线镜面直线M″M′有斜率k(k≠0)，过A垂直镜面直线M″M′的直线N″N′称为法线.AF″垂直于准线x=-p2.F″(-p2，y0)，F(p2，0)，则k F″F=y0-0-p2-p2=y0-p，过A的切线方程为y-y0=k(x-y022p)，切线与抛物线联立方程ìíîïïy-y0=k(x-y022p)y2=2px,把x=y22p带入直线y-y0=k(x-y022p)，则y-y0=k(y22p-y022p)的Δ=0，得到k=py0.k M″M′∙k N″N′=-1，k∙k F″F= -1.∴F″F⊥M″M′.由抛物线定义，||AF″= ||AF.∠F″AM″=∠M″AF=∠M′AF′’，∴∠F″AM″和∠M′AF′为对顶角，F″、A、F′三点共线.AF″垂直于准线x=-p2.∴反射光线AF′平行x轴.当过A的直线无斜率时（即点A（0，0）时），结论显然成立.探究数学中圆锥曲线的光学性质河北省三河市第二中学张振富065201摘要：椭圆、双曲线、抛物线都有焦点，焦点使这些圆锥曲线有丰富的光学性质.生活中很多物品设计中利用了这些性质.数学教学中利用建模思想，从实物中抽象出数学问题，利用这些性质解决问题.关键词：光学性质；圆锥曲线；光学性质图1··30椭圆和双曲线的光学性质与抛物线不同.从椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上.从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样.依次如图3、4.胶片电影放映机的聚光灯内安装的椭球反射镜就是应用了这个原理.如图5.例1椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点，焦点是光线的聚集点，当一束光照到镜面时，光线依入射角等于反射角的规律反射．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆面反射后通过椭圆的另一个焦点（如图6所示）．已知F 1，F 2是椭圆x 24+y 23=1的焦点，过椭圆上的点P (1,32)做椭圆的切线l ,M ,N 分别是F 1，F 2在该切线上的射影，则||F 1M ⋅||F 2N 的值为().A.2B.3C.4D .5解析：入射光线F 1P ，反射光线PF 2，过P 点椭圆x 24+y 23=1的切线方程为直线MN :1∙x 4+32∙y3=1（镜面），F 1M ⊥MN ，F 2N ⊥MN ，PE ⊥MN 交x 轴与E ，直线PE 方程y -32=2(x -1)（法线），E (14,0)，入射角∠F 1PE =反射角∠EPF 2=θ，sin∠F 1PM =||MF 1||PF 1=cos θ，sin∠F 2PN =||NF 2||PF 2=cos θ；||MF 1=||PF 1cos θ，||NF 2=||PF 2cos θ，椭圆x 24+y 23=1中c =1，点P (1,32)，∴PF 2⊥F 1F 2，||PF 2=32，||PF 1=52，cos ∠F 1PF 2=cos2θ=2(cos θ)2-1=||PF 2||PF 1=3252=35，||MF 1∙||NF 2=||PF 1⋅cos θ||PF 2∙cos θ=||PF 1||PF 2(cosθ)2=32∙52∙45=3,所以选B.引申：任意椭圆x 2a 2+y 2b2=1，一般性规律||MF 1∙||MF 2=b 2，cos∠F 1PF 2=cos2θ=||PF 12+||PF 22-||F 1F 222||PF 1||PF 2=(||PF 1+||PF 2)2-2||PF 1||PF 2-||F 1F 222||PF 1||PF 2=(2a )2-2||PF 1||PF 2-(2c )22||PF 1||PF 2=4b 2-2||PF 1||PF 22||PF 1||PF 2=4b 22||PF 1||PF 2-1=2(cos θ)2-1，∴(cos θ)2=b 2||PF 1||PF 2，||MF 1∙||NF 2=||PF 1cos θ⋅||PF 2·cos θ=||PF 1||PF 2(cos θ)2=||PF 1||PF 2∙b 2||PF 1||PF 2=b 2.拓展：求梯形面积S MF 1F 2N 的取值范围1510-5-10-15-510152025303540N ″M ′法线′’A28.02°64.98°28.02°M 镜面N ′’p =3.828.02°xy图2F F F F F F C A B影片门图3图4图5MN2F 1F 2E -2-101231-1-2θ=26.57图6··31.解：S MF 1F 2N =12(||MF 1+||NF 2)∙||MN =12(||PF 1∙cos θ+||PF 2cos θ)∙(||PF 1sin θ+||PF 2sin θ)=12(2a )cos θ⋅(2a )sin θ=a 2sin(2θ)，若b c ，∃P ，使∠F 1PF 2 π2，∴∠F 1PF 2=π2时，S MF 1F 2N最大值=a 2.若b ＞c ，∀P ，∠F 1PF 2<π2，当P 在椭圆短轴端点时∠F 1PF 2最大，此时sin(2θ)=2sin θcos θ=2∙c a ∙b a =2bca 2，故S MF 1F 2N 最大值=a 2∙2bc a 2=2bc .例2双曲线的光学性质为：如图7，从双曲线右焦点F 2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F 1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质，某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线一部分，如图8，其方程为x 2a 2-y 2b2=1，F 1、F 2为其左、右焦点，若从右焦点F 2发出的光线经双曲线上的点A 和点B 反射后，满足∠BAD =90°，tan∠ABC =-34，则该双曲线的离心率为（）.A. B.5C.D .10解析：若从右焦点F 2发出的光线经双曲线上的点A 和点B 反射，入射光线F 2A ,反射光线AD ，反向延长AD 过F 1，入射光线F 2B ，反射光线BC ，反向延长BC 过F 1，∠BAD =90°，∠BAF 1=90°.tan∠ABC =-34,tan∠ABF 1=34，cos∠ABF 1=45.令||AF 1=3k ，则||AB =4k ，||BF 1=5k .令||AF 2=x ，||BF 2=4k -x .由双曲线定义||AF 1-||AF 2=3k -x =2a =||BF 1-||BF 2=5k -(4k -x ).∴x =k ，2a =||AF 1-||AF 2=3k -x =2k .Rt△F 2AF 1中，||F 1F 22=||AF 12+||AF 22=(3k22=10k 2，∴|F 1F 2|=10k =2c ，则e =2c 2a =所以选C.应用：抛物线具有如下光学性质，从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.生活中的探照灯就是利用这个原理设计的.已知F 是抛物线C :y 2=4x 的焦点，从F 发出的光线经C 上的点M 反射后经过点（4,23)，则||FM =().A .2B .3C .4D .5解析：如图9，由抛物线光学性质，从F发出的光线经抛物线上的点M 反射后经过点P (4,23)，入射光线FM ，反射光线MP .∴MP 平行x 轴.则由M (x M ,23)在抛物线上得x M =3.由抛物线定义||FM =x M +p2=3+1=4.所以选C.高中数学教学中，应重视课本，在大量教辅资料面前回归教材.在教学中教师若能用灵活的教学方法，充分发挥课本的功能，就可以事半功倍，提高课堂教学效果.F 1F 2Oy x图742-2-4-6-4-2246FA DCBF 2图8yx4321-1-2-1123456M ″M P M ′FC ′(4,23)图9y x··32。

一个探究型教学案例——圆锥曲线的光学性质及其应用

一个探究型教学案例——圆锥曲线的光学
性质及其应用
圆锥曲线是一种很常见的几何形状，它以圆弧作为两个一次曲线的连接，可以将一个圆的面积划分成两个部分。

圆锥曲线的光学性质是指它的特殊的光学特性，这些特性可以用来提高光学系统的性能。

圆锥曲线的光学性质有以下几点：
一、圆锥曲线能够减少反射：圆锥曲线的特殊几何形状可以有效减少光的反射，减少光线的反射和衍射，从而提高光学系统的性能。

二、圆锥曲线能够改变光线的传播方向：圆锥曲线可以改变光线的传播方向和轴向度，使光线在一个方向上传播，从而提高光学系统的性能。

三、圆锥曲线能够提高视觉效果：圆锥曲线可以改变光线的传播方向，使光线能够有效地照射到视网膜，从而提高视觉效果。

四、圆锥曲线能够提高照明效果：圆锥曲线可以改变光线的轴向度，使光线能够有效地照射到物体，从而提高照明效果。

综上所述，圆锥曲线的光学性质可以提高光学系统的性能，改善视觉效果和照明效果，因此圆锥曲线在光学系统中有着广
泛的应用。

如手机摄像头的镜头，电视机的投射镜头等，都是利用圆锥曲线的特性来提高光学系统的性能。

圆锥曲线的光学性质及其应用是一个很有趣的探究课题，可以让学生对光学有一个更深刻的认识，更加了解其光学性质及其应用，从而提高学生对光学的理解和把握。

本课题可以采用问题导向式教学模式，让学生根据问题提出的线索，进行逻辑思维、分析思维和探究过程，从而有效地掌握和研究圆锥曲线的光学性质及其应用。

数学实验圆锥曲线的光学性质-湘教版选修2-1教案

数学实验圆锥曲线的光学性质-湘教版选修2-1教案一、实验目的了解圆锥曲线的光学性质，掌握反射定律和折射定律的基本原理，了解光的全反射。

通过实验加深对圆锥曲线的理解，提高学生的实验能力。

二、实验原理1.圆锥曲线的定义在平面直角坐标系上，圆锥曲线的定义如下：•椭圆：在平面直角坐标系上，以两焦点为中心，以两焦点到点的距离之和为长轴，以两焦点到点的距离之差为短轴的点的集合。

•双曲线：在平面直角坐标系上，以两焦点为中心，以两焦点到点的距离之差为长轴的一半，以两焦点到点的距离之差为短轴的一半的点的集合。

•抛物线：在平面直角坐标系上，以一个点（焦点）为定点，以一条直线（准线）为直线，任意一点到定点的距离等于该点到准线的距离的点的集合。

2.光的反射当光线经过介质的边界时遇到另一个介质时，其方向发生改变的现象叫做光的反射现象。

3.光的折射光线从一种介质进入另一种介质时，经过介面后方向改变的现象，叫做光的折射现象。

4.全反射当光线从光密介质入射到光疏介质中，在一定的入射角的条件下，出射角为90°，此时反射角为临界角，大于临界角时，光线折射条件无解，光线全部反射回原介质中的现象称为全反射。

三、实验器材凸透镜，紫外灯，三角板，双面胶。

四、实验步骤1.制作实验用光路将凸透镜竖立起来，以凸透镜为界线，使用双面胶粘上一块三角形的板子，这样就做成了一个半圆柱状的器具，这个器具就是反射和折射现象的实验器具。

2.观察光线的反射现象在实验器具的一侧放置紫外灯，从另一侧向实验器具投射一束光线，并将内侧的凸透镜移动，观察光线的反射现象。

在观察过程中，可以将实验器具旋转180°来观察光线反射的变化。

3.观察光线的折射现象在实验器具的一侧放置紫外灯，从另一侧向实验器具投射一束光线，将内侧的凸透镜移动，观察光线的折射现象。

同样可以将实验器具旋转180°来观察光线折射的变化。

4.观察光的全反射现象将光线从中央垂直投射到实验器具，将内侧的凸透镜慢慢移开，观察光线的折射现象。

高中数学圆锥曲线的光学性质

圆锥曲线光学性质的证明及应用初探学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有一则阅读材料引起了同学们的兴趣，在老师的指导下，我们不仅了解了圆锥曲线的光学性质这一常见现象，而且进一步对它进行了证明和探究，并对它在数学解题和生产科技等方面的应用有了一定的认识。

课后我经过反思与整理，写成此文。

一、圆锥曲线的光学性质1．1 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；(见图1.1)椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．1．2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．1．3 抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。

二、问题转化及证明2．1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线l 与曲线c 交于P ，Q 两点，当直线l 连续变动时，P ，Q 两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P ，Q 重合为一点M ,此时直线l 称为曲线c 在点M 处的切线，过M 与直线l 垂直的直线称为曲线c 在点M 处的法线。

圆锥曲线的光学性质及其应用公开课优质课获奖课件

法线PA的方程为：y
y0
a2 y0 b2 x0
(x
x0 ),则kPA
a2 y0 b2 x0
.
F1
A F2 x 根据两角差的正切公式可得
a2 y0 b2 x0
1
a2 y0 b2 x0
y0 x0 c y0 x0 c
=
tan
F1 PA
tan(PAF2
PF1
A)
kPA 1 kPA
kPF1 kPF1
3、从双曲线一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，看起来像什么？为什么？有何用？ 2 方法层面用代数的方法研究几何问题 3 思想层面从特殊到一般、类比、化归等 4 过程层面
提出假设→计算机模拟验证→理论证明→实际应用
作业布置
通过折纸初步认识椭圆的光学性质
提出假设
利用几何画板进行验证
计算机模拟
将实际问题转化为数学问题并证明
理论证明
椭圆的光学性质在生活中的应用
实际应用
圆锥曲线的光学性质
1、从抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴。
2、从椭圆上一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线汇聚于椭圆的另一个焦点。
1、完成双曲线、抛物线光学性质的证明,形成报告；
2、已知椭圆C
:
x2 +
25
y2 9
1, F1, F2分别是其左右焦点，
点Q(2,1), M是椭圆上的一动点，求 | MF1 | | MQ |的
取值范围;
3、思考：你能将圆锥曲线的光学性质进行组合设计出具有实用价值的作品吗？
双曲线光学性质的应用
圆锥曲线的光学性质及其应用

圆锥曲线的光学性质及其应用

圆锥曲线的光学性质及其应用圆锥曲线是由一个圆锥和一个平面相交而产生的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

这些曲线在光学中具有重要的应用，因为它们的光学性质可以用于设计光学器件和进行光学测量。

本文将围绕圆锥曲线的光学性质及其应用展开阐述。

1.圆锥曲线的光学性质圆锥曲线在光学中具有许多重要的性质，其中包括反射、折射和像的形成等。

(1)圆锥曲线的反射性质当光线射到圆锥曲线上时，根据光的入射角等于反射角的规律，可以确定光线的反射方向。

圆锥曲线的反射性质在光学器件中有广泛的应用，比如反射镜和光学透镜等。

(2)圆锥曲线的折射性质当光线穿过圆锥曲线的介质边界时，会发生折射现象。

根据斯涅尔定律，可以确定光线的折射角和入射角之间的关系。

圆锥曲线的折射性质在光学器件设计中有着重要的应用，比如透镜、棱镜和光纤等。

(3)圆锥曲线的像的形成根据几何光学原理，当光线经过圆锥曲线反射或折射后，会形成特定位置和大小的像。

这种像的形成原理在光学成像系统中有广泛的应用，比如照相机、望远镜和显微镜等。

2.圆锥曲线的应用圆锥曲线在光学中有着广泛的应用，包括光学器件设计、光学测量和成像系统等。

(1)光学器件设计圆锥曲线的反射和折射性质可以用于设计各种光学器件，比如反射镜、透镜、棱镜、光纤和光栅等。

通过合理设计和加工圆锥曲线表面，可以实现对光线的精确控制和操纵，满足不同应用场景的需求。

(2)光学测量圆锥曲线的像的形成原理可以用于光学测量中。

比如在显微镜中，通过调整镜头的位置和焦距，可以获得清晰的放大像；在激光干涉仪中，利用圆锥曲线的反射和折射性质，可以实现对光程差的测量。

(3)成像系统圆锥曲线在成像系统中有着重要的应用。

通过合理设计和排列圆锥曲线表面，可以实现对光线的收敛和聚焦，从而获得清晰的成像效果。

比如在照相机和望远镜中，利用透镜的折射性质，可以实现对远处景物的清晰成像。

3.圆锥曲线的优化设计圆锥曲线的光学性质可以通过优化设计来满足特定的应用需求。

圆锥曲线的性质

到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线．当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线.统一方程为2222-+-+=(1)20e x y px p一．圆锥曲线的基本性质二．圆锥曲线光学性质定理1 从圆锥曲线的一焦点发出的光，经过圆锥曲线的反射后，得到的反射光线所在的直线相交于圆锥曲线的另一个焦点（抛物线的另一个焦点可看为无穷远点）.证明:这里可以分为三种情况来进行证明，分别是在椭圆、双曲线、抛物线，下面就来对其进行证明，如图所示1．椭圆上一个点P 的两条焦半径的夹角被椭圆在点P 处的法线平分（图2.1）．即可以转化成以下的数学语言.已知：如图，椭圆C的方程为22221x y a b+=，12,F F 分别是其左、右焦点，l 是过椭圆上一点00(,)P x y 的切线，'l 为垂直于l 且过点P 的椭圆的法线，交x 轴于D 设21,F PD F PD αβ∠=∠=，只需求证αβ=．证明过程如下由椭圆C 的方程为22221x y a b+=且00(,)P x y C ∈，则过点P 的切线方程为：00221x x y ya b+=图1.3图1.2 图1.1'l 是通过点P 且与切线l 垂直的法线，则0000222211':()()()y x l x x y b a b a -=-所以法线'l 与x 轴交于20((),0)cD x a故22102022||,||c c F D x c F D c x a a=+=-故201220||||a cx F D F D a cx +=- 又由焦半径公式得：1020||,||PF a ex PF a ex =+=-故1122||||||||F D PF F D PF =故PD 是12F PF ∠的平分线则αβ=又ββαα'+=︒='+90，则可得βαβα'='⇔=2. 双曲线上一个点P 的两条焦半径的夹角被双曲线在点P 处的切线平分（图2.2）．即可以转化成以下的数学语言.已知：如图，双曲线C 的方程为22221x y a b -=，1F ，2F 分别是其左、右焦点，l 是过双曲线C 上的一点00(,)P x y 的切线，交x 轴于点D设1F PD α∠=，2F PD β∠=，只需求证αβ=．证明过程如下由双曲线C 的方程为22221x y a b-= 知，双曲线的两焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c )(222b a c +=因为00(,)P x y 在双曲线上则过点P 的切线00221x x y ya b-= 切线l 与x 轴交于20(,0)a D x ．由双曲线的焦半径公式得1020||||,||||c cPF x a PF x a a a=+=- 双曲线的两焦点坐标为)0,(c F ，)0,(c F -' 故011102000220||||||||||||,||||||,||||||cx a PF DF a c a c a DF x a DF x a c x a x a PF DF x a a+=+=-==- 则切线l 为F FP '∠之角平分线．3 .抛物线上一个点P 的焦半径与过点P 且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P 处法线平分（图2.3）．可以转化为如下的数学语言已知：如图，抛物线C 的方程为为24y cx =，直线l 是过抛物线上一点00(,)P x y 的切线，交x 轴于D ，,DPF PDF α∠=∠反射线PQ 与l 所成角记为β，只需求证αβ=抛物线C 的方程为2:4C y cx =，点00(,)P x y 则过点P 的切线为00()y y p x x =+切线l 与x 轴交于0(,0)D x -,焦点为)0,(c F ，γβ= (同位角) 又图2.300||||,||||PF x c DF x c ==+=+故||||PF DF =故γαβα=⇔=综合上面的证明过程，就可以得到我们所要证明的结论．三．由圆的性质推广得到圆锥曲线的几何性质1 蝴蝶定理如图,设AB 是圆的一条弦,过AB 的中点M 作弦,CD EF , 连结 ,CF DE 分别交AB 于点,P Q ,求证: PM MQ =这是在圆中蝴蝶定理的描述，现在可以将其推广到圆锥曲线当中．定理2 （蝴蝶定理）设 AB 是圆锥曲线Γ的一条垂直于其对称轴的弦，过中点M 任作Γ的两条弦 CD ，EF ，直线 CF 、DE 、DF 、CE 分别交 AB 于点P 、Q 、G 、H . 则有,PM MQ GM MH ==证明: 如图所示 ,取AB 重点M 为原点AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系.如果Γ为有心圆锥曲线,则设其中心为0(0,)y .方程为220()ax b y y c +-=又设CD ，EF 方程分别为12,y k x y k x ==则过点,,,C D E F 四点的圆锥曲线系方程为22012[()]()()0m ax b y y c n y k x y k x +--+--= (1)在(1)中取0y =得方程222012()0m ax by c nk k x +-+=不难看出方程的根为一对相反数,因此圆锥曲线(1)与x轴的两交点关于M 点对称.所以CF与DE、DF与CE作为圆锥曲线系(1)中的曲线,与x轴的两个交点P与Q、G与H同样关于点M成中心对称,则==PM MQ GM MH,如果Γ为无心二次曲线,即为抛物线时,设其方程为2=+y ax c下面的证明方法类同于有心圆锥曲线的情况,即给出证明.2 帕斯卡定理如果圆内接六边形的三组对边都不平行,则该三组对边所在直线的交点共线.帕斯卡定理不只是在圆中成立,它在圆锥曲线也照样成立.现在就来看下塔在圆锥曲线中的情况.定理 3 (帕斯卡定理)如果圆锥曲线Γ内接六边形的三组对边都不平行,则这三组对边所在的直线的交点共线.证明；如图所示设简单六点形ABCDEF，其三对对边的交点分别为L M N，则,,===L AB DE M BC EF N CD FA,,以,A C为心，分别连接其他四点，则有A B D E F C B D E F∧(,,,)(,,,)设==,AF DE P EF CD Q则∧C BDEF M Q E F∧且(,,,)(,,,)A B D E F L D E P(,,,)(,,,)所以(,,,)(,,,)∧L D E P M Q E F由于两个点列底的交点E E→故有(,,,)(,,,)L D E P M Q E F ∧所以,,LM DQ PF 三线共点但DQ PF N =即,,L M N 三点共线四．与焦点弦相关的几条性质定理4 设AB 为离心率是e 的圆锥曲线的焦点弦，且弦长2AB R =，则AB 中点M 到焦点相应准线的距离R d e=证明不妨以椭圆为例加以证明．（双曲线和抛物线同理可证）设椭圆方程为222222(0)b x a y a b a b +=>>，其右焦点为F ，右准线为l ，AB 为过F 且中点为M 的焦点弦．若分别过,,A M B 作直线l 的垂线段111,,AA MM BB （如图）．由定义4知 11,AF BF e e AA BB ==即11,AF BFAA BB e e== 所以M 到l 的距离为1111()22AB R d MM AA BB e e==+==定理5 设AB 为过圆锥曲线的一个焦点F 的一条弦，p 为F 到其相应准线的距离，e 为圆锥曲线的离心率，则112AF BF ep+= 证明以双曲线为例进行证明（椭圆和抛物线证明同理）设弦AB 倾斜角为θ，过A 作1AA l ⊥于1A ，过F 作1FD AA ⊥于1FD AA ⊥，过F 作FK l ⊥于K ，则1cos ,DA FA A D KF p θ===由定义４得11cos 1cos FA epAA A D DA p FA FA e e θθ==+=+⇒=- 同理1cos epFB e θ=+所以111cos 1cos 2e e FA FB ep ep epθθ-++=+= 定理6 圆锥曲线C 的离心率为e ，AB 为过焦点F 而不垂直于曲线C 的对称轴的弦，且线段AB 的中垂线交曲线C 的过焦点的对称轴于R ，则2ABFR e= 证明设圆锥曲线的焦点为F ，AB 的中垂线为MR （如图），过A 作AC 垂直准线于C ，过B 作BD 垂直于准线于D ，作BK 垂直AC 于K ，则Rt MFR Rt KAB于是有AB KA FRFM=而21()FM KA AC BD FA ABC FB e e=-=-=所以2KA FMe=所以2ABFR e =五．圆锥曲线的几何性质的应用㈠圆锥曲线基本性质的应用圆锥曲线的基本性质在高考中是一个重要考点．利用数学结合思想，对圆锥曲线的一些常见问题来进行解决．这类问题比较简单，容易解决．下面就来看下这两个高考题．例1.1.3（2005广东）若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m=（）3B.2 8C 3． 2D 3．分析根据焦点在x 轴上的椭圆的方程22221x y a b+=，得到20m >>，又根据圆锥曲线的性质222a b c -=和c e a=，可以很容易的建立一个二元方程，解得m ．解由题意建立方程组22221124m c c e⎧-=⎪⎨==⎪⎩ 解得32m =例1.1.2 (2006全国Ⅱ卷文、理)已知双曲线22221x y a b-的一条渐近线方程为4y=x 3,则双曲线的离心率为( ) A 35． 34Ｂ． C 5．4 D 23．分析有双曲线的性质，可以知道双曲线渐近线的方程为by x a =±即可知道b a 的值，然后利用利用22222221c a b b e a a a +⎛⎫===+ ⎪⎝⎭即可解得e 的值．解由上面的分析即可解得22425139e ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭又0e >所以53e =㈡光学性质的应用⑴解决一类“距离之和”的最值问题张奠宙教授说“在一般情况下，光线在传播过程中，总是选择最近的路线从一点传播到另一点. 这虽然还只是一种停留‘经验、感觉’层面上的结论，但却为我们研究一类‘距离之和’ 取值范围问题时指明了思考的方向，从而解决了一个从‘想不到’到‘想得到’的关键问题．如果再辅以严格的数学证明，这种‘经验、感觉’依然是很有价值的、不可替代的”我读了他的文章，深受启发，并用圆锥曲线的光学性质解决了我们经常见到而又觉得复杂的一类最值问题．例2.1 已知椭圆C ：221259x y +=，12,F F 为分别是其左右焦点，点(2,2)Q ，P 是C 上的动点，求1MF MQ +的取值范围．分析猜想：经计算，(2,2)Q 点在椭圆内,由于椭圆是封闭图形，因此1MF MQ +应该有一个封闭的取值范围，既有最小值也有最大值．同样根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得：从1F 射出被椭圆反射后经过点Q 的光线所经过的路程往往是最短的．这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射（如图3.2.1，光线从1F →1P →Q ），二是被下半椭圆反射（如图3.2.2，光线从1F →2P →2F →Q ），究竟哪种情况距离之和更小呢？显然，根据椭圆定义，图3.2.1中的1112PF PQ a +< (2a 为椭圆长轴长)，而图3.2.2中的2122P F P Q a +>，可见图3.2.1所示的情况距离之和更小．但是，最大值又是多少呢？图3.2.2所示的光线又有什么特点呢？将图3.2.1.和图3.2.2中的光线反射路线合并图3.2.3，由于1112124PF PQ P F P Q a +++= a 为椭圆长半轴长．而111PF PQ +最小，由此猜测212P F P Q +可能就是最大值．证明|111PF PQ +是最小值．如图3.2.2，连接2QF ，延长交椭圆于2P ，在椭圆上另取一点2P '，由椭圆定义知1212122PQ QF PF P F P F ''-+=+ 因为2222P F P Q QF ''≥-代入（*）式得222121222P Q QF P F P F P Q P F '''-+≥+-所以，221212P Q P F P F P Q ''+≥+猜想得证．综上所述，只需求出2||F Q ==22||10a F Q -=-最大值为22||10a F Q +=+例2.2 已知双曲线C ：2213y x -=， F 1、、F 2为分别是其左右焦点，点9(4,)2Q ，M 是C 上的动点，求2MF MQ +的取值范围．分析猜想：经计算，Q 点在双曲线右支开口内部．由于双曲线是不封闭曲线，显然2MF MQ +可以无限大，故要求2MF MQ +的取值范围，关键是求出2MF MQ +的最小值．根据光线的“最近传播”特点，我们猜想：从1F 射出经双曲线反射后经过点Q 的光线所经过的路程往往是最短的，再结合双曲线的光学性质（从一个焦点射出的光线经椭圆反射，反射光线的反向延长线经过另一个焦点），可作出从1F 射出被双曲线反射后经过点Q 的光线：连接1FQ ，与双曲线的交点即为使得2MF MQ +最小的点，设为P 点，光线从2F →P →Q （见图2）．证明如图2按猜想作出点P ，由于所求点P 显然不在双曲线的左支上（此时显然距离之和不会最小），故在右支上另取一点P '．由双曲线定义知1212PF PF P F P F ''-=-即1212PF P F P F PF ''+=+因为11PF PQ PQP F ''+≤+ 两边同加2PF 得121212PF PQ PF PQP F PF PQ PF P F ''''++≤++=++ 故22PQ PF PQP F ''+≤+ 猜想得证．由题意知因为19(2,0),(4,)2F Q -所以2112112111||||||||||||(||||)||22PQ PF FQ F P PF FQ F P PF FQ A +=-+=--=-= 例2.3 已知抛物线C ：x y 42=，F 是其焦点，点(2,1)Q ，M 是C 上的动点，求MF MQ +的取值范围．分析：由于抛物线不是封闭曲线，显然没有最大值，因此关键是求最小值．根据抛物线光学性质（从焦点射出的光线经抛物线反射，反射光线与对称轴平行，反之也成立），结合光线的“最近传播”特点，我们猜想：过Q 与对称轴平行的直线与抛物线的交点可能就是使距离之和最小的点．设为P 点（见图3.2.6）．可由抛物线的定义证明猜想是正确的．且3PF PG +≥⑵圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关问题时起简捷作用光线反射总是满足反射定律（入射角等于反射角），光线被曲线反射也不例外，此时的法线就是过反射点的曲线的切线的垂线．可见，曲线的切线和与曲线有关的反射问题有着密切联系．以椭圆为例：如图3.3.1，l 是过椭圆周上一点P 的椭圆的切线，m 是P 点处的法线，光线从12()F F 射出被椭圆反射经过21()F F ，满足12∠=∠，且34∠=∠．2.4 已知l 是过椭圆C ：2211612x y +=上一动点P 的椭圆C 的动切线，过C 的左焦点1F 作l 的垂线，求垂足Q 的轨迹方程．分析如图3.3.2，本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手，或许借助椭圆参数方程可以求解，但运算相当繁琐．由于l 是椭圆的切线，切点为P ，联想到椭圆光学性质及反射定律，可知：l 是12F PF ∠的外角平分线，1F 关于直线l 的对称点2F '在F 2P 的延长线上．图由于12PF F P '=故121228F F PF PF a '=+==而Q 、O 分别是11F F '1、22F F '的中点所以4OQ =从而Q 点轨迹是以O 为圆心、以4为半径的圆，即点Q 的方程为 2216x y +=⑶在生产生活中的作用例 2.5 某种碟形太阳能热水器的外形示意图如图3.4.1，其中F 为加热点；碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线以cm 为单位的设计尺寸如图3.4.2．为了达到最佳加热效果，F 应距碟底多少？解以碟形内壁底为原点，抛物线的对称轴为x 轴，开口方向为x 轴的正向，建立坐标系如图3.4.2，则内壁抛物线方程为22y px =．据所示尺寸，抛物线过坐标为(40,85)的点所以28524080p p =*=解得90.3p ≈加热点F 应置于抛物线的焦点．焦点坐标为(,0)(45.2,0)2p= 所以F 应距碟底约45.2cm图3.2.7图3.2.8㈢由圆的性质引出的圆锥曲线的性质的应用 ⑴蝴蝶定理的应用例3.1 （2003年北京市理科数学第18题）如图，椭圆的长轴12A A 与x 轴平行，短轴12B B 在y 轴上，中心为(0,)(0)M r b r >> （1）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（2）直线1y k x =交椭圆于两点11222(,),(,)(0)C x y D x y y >，直线2y k x =交椭圆于两点33444(,),(,)(0)G x y H x y y >求证：2341121234k x x k x x x x x x =++；（3）对于（Ⅱ）中的,,,C D G H ，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q . 求证：OP OQ =（证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形）分析第（1）问是利用椭圆的基本性质，而第（2）问是利用平面解析几何的知识，这里就不再进行详细的说明．第（3）问细细对其进行分析不难看出，它就是蝴蝶定理的一个特殊情况．第（3）问证明中用到了三点共线的充要条件和过两点的直线的斜率公式，分别解出,p q 以后，OP OQ =等价转化成了p q =-此时分析前提条件（2）及待证结论p q =-，关键在于沟通2341121234k x x k x x x x x x =++与231412231124x x x x k x k x k x k x -=--的联系．解（1）略（2）略（3）证明：设点(,0)P p ，点(,0)Q q ，由,,C P H 共线，得111222x p k x x p k x -=- 解得12121122()k k x x p k x k x -=-由,,D Q G 共线，同理可得12231223()k k x x q k x k x -=-由上题可知2341121234k x x k x x x x x x =++ 变形得231412231124x x x x k x k x k x k x -=-- 即1223121412231124()()k k x x k k x x k x k x k x k x ---=-- 所以||||p q =即||||OP OQ =⑵巴斯卡定理的应用巴斯卡定理本是在射影几何中产生和发展,反过来,我们在研究二次曲线的性质时运用巴斯卡定理的特殊性质,就会使问题变得简单扼要．由于椭圆(一般二次曲线)和圆(特殊二次曲线)有共同的仿射变换,于是就产生了巴斯卡定理及其对偶定理在初等几何中的种种应用．关于巴斯卡定理的应用很广泛,在这里将其分为三类,第一类是在高等几何中的应用;第二类是关于几何作图的应用;第三类是在初等几何中的应用．其中在第三类应用中,若一个关于一般图形的命题,仅仅是涉及仿射性质和仿射不变量,则可以用题设图形的特殊仿射来证明．特殊图形具有较多的条件,往往可以借助特殊图形的度量性质来证明．既然一般图形和它的特殊仿射象有相同的仿射性质,那么,一般图形的原命题随着特殊图形的新命题的证明而得到证明.例3.2 二阶曲线上的射影变换由三对对应点唯一决定．证明 (如图),由点列的性质可知(,,,)(,,,)A A B C A A B C ''''∧由透视性质知(,,,)(,,,)A A B C A A B C ''''∧XY 是这个透视线束的透视轴,由巴斯卡定理可得,在,,,A A B B C C '''→→→ ,这个射影变换中,任何一对对应点为线束中心所得到的透视轴都是相同的．注:从这个例题可以看出,运用巴斯卡定理很容易就能证明二次曲线上存在射影变换的必要条件.㈣与焦点弦相关的几条性质的应用例4.1 (1)设AB 为椭圆的焦点弦,则以AB 为直径的圆与相应准线关系____ (2) 设AB 为双曲线的焦点弦,则以AB 为直径的圆与相应准线关系____(3) 设AB 为抛物线的焦点弦,则以AB 为直径的圆与相应准线关系____ 分析这三个问题时是对定理2.4.1的应用,根据性质我们可以得到以AB 为直径圆的圆心到椭圆、双曲线和抛物线相应准线之间的距离，从而判断出圆与准线之间的位置关系。

圆锥曲线的光学性质 PPT

圆锥曲线的光学性质及其应用
探照灯
从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴
一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物面反射集中于它的焦点
太阳灶
中国天眼
位于中国贵州，是目前世界上最大的射电望远镜，其探测的灵敏度比仅次的美国阿雷西博望远镜高2.5倍，将我国空间测控能力由月球延伸到太阳系外缘，把深空通讯数据下行速率提高几十倍，能在今后二三十年时间保持世界一流的地位
椭圆的光学性质及应用
椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点Fra bibliotek音乐厅
激光消痣与体外碎石技术.
双曲线的光学性质及应用
双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出一样
床头灯
柔光箱
古希腊时代，西西里岛的统治者开凿了一个椭圆形岩洞作为监狱，被关押的犯人不堪忍受折磨，秘密商讨逃跑的计划，可每次的逃跑计划都会很快被看守知道。犯人们百思不得其解，开始相互猜疑，以为内部出现了内奸，其实并非有内奸，而是山洞的形状有奥妙。你能解开这个谜吗?
课后思考
（1）你能将圆锥曲线的光学性质进行组合，尝试设计一些作品吗？
（2）在圆锥曲线中能不能找到其它的光学性质？有没有其它的曲线也具有很好的光学性质？
（3）如果不是从圆锥曲线的焦点发出的光，经圆锥曲线反射后会怎样呢？
现象问题
从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，
反射光线平行于抛物线的轴
已知：抛物线 x2 2 py( p 0)焦点 F(0, p) 处发出的
2
光线经过抛物线上一点 M (x0 , y0 )( x0 0) 反射

圆锥曲线的光学性质

圆锥曲线的光学性质
光学性质是指物体反射，折射和透射光线的能力，它影响着物体
因光照的表面的变化。

圆锥曲线是满足普洛斯坦双曲方程的对称曲线，其光学性质由于曲线的特殊形状而存在着特殊性。

能量分布性是指物体因光照而发生变化时释放出去的光能量分布性。

圆锥曲线的能量分布性很明显，它有着明显的中心密度差别。

圆
锥曲线的能量分布性是极小化的，即曲线越接近圆，中心点越集中。

折射性是指物体会把光线引进其内部，或将其像在表面上折射出
去的性质。

圆锥曲线的折射性是特殊的，它的折射性会受到外部影响，如凹痕，外加压力等等，从而影响到表面的反射性。

同时，它也可以
将光封闭在曲线外，这样不会受到外界物体的折射影响。

反射性是指光线碰撞到物体表面时能够发生反射的现象，它是一
个物体表面发光的重要依据。

圆锥曲线的反射性是比较好的，它的反
射性完全取决于该曲线的设计，因为它只能反射光线的中心。

圆锥曲线的特殊光学性质被广泛应用于电子行业，它的反射性，
折射性以及能量分布性可以被用于产生电子脉冲和表面反射性。

可以说，圆锥曲线的光学性质是暗黑科技中不可或缺的一部分，使得把光
线运用到技术领域更加容易和可操作。