高中2010级绵阳一诊数学理科答案

绵阳市高2010级第一次诊断性考试
数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
BCCAD DABAC DB
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．0 14．500 15．-π 16．②⑤
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17．解：由⎩⎨⎧≠->-1
23023x x ，解得32>x 且x ≠1，即A ={x |32>x 且x ≠1}， 由
x
-21≥1解得1≤x <2，即B ={x |1≤x <2}． ………………………………4分 （1
）于是R A ={x |x ≤3
2或x =1}，所以
(R A )∩B ={1}． ……………………7分 （2）∵ A ∪B ={x |32>x }，即C ={x |32>x }． 由|x -a |<4得a -4<x <a +4，即M ={x |a -4<x <a +4}．
∵ M ∩C =∅，
∴ a +4≤
32，解得a ≤3
10-．…………………………………………………12分 18．解：（1）设有x 人患“甲流感”，则由题意有5225151=⋅-C C C x x ， ……………3分 解得 x =1或x =4（舍）．
∴ 这5位发热病人中有1人患“甲流感”．…………………………………5分
（2）ξ=1，2，3，4，则
511)1(15===A P ξ，5
1)2(2514===A A P ξ， 51)3(3524===A A P ξ，52)4(45
4434=+==A A A P ξ． ∴ ξ的分布列为
10分 ∴8.25
24513512511=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． ……………………………………12分 19．解：（1）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则由题意可列方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+，，415)33(4)2(12111d a q b d a q b ……………………………………………………………3分
把a 1=3，b 1=1代入解得⎪⎩⎪⎨⎧==，，212q d 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=．，6556q d ∵ {a n }的各项均为正，
∴ 5
6-=d 应舍去． ∴ .)2
1()21(1122)1(311--=⋅=+=⨯-+=n n n n b n n a ，……………………………5分 （2）∵ )2(2
)123(+=++=n n n n S n ， ∴ T n )
2(1531421311+++⨯+⨯+⨯=n n )2
1151314121311(21+-++-+-+-=n n )2
111211(21+-+-+=n n ， =)
2(21)1(2143+-+-n n ． …………………………………………………9分 ∴ ])2(21)1(2143[lim lim +-+-=∞→∞→n n T n n n =43，即4
3=T ， ∴ 1)21(-n ≥4
1， 解得 n ≤3，
∴ 正整数n =1，2，3． ………………………………………………………12分
20．解：（1）令y =f (x )=a x +2-1，于是y +1=a x +2，
∴ x +2=log a (y +1)，即x =log a (y +1)-2，
∴ )(1x f -=log a (x +1)-2(x >-1)．………………………………………………3分
（2）当0<a <1时，
)(1x f -ma x =log a (0+1)-2=-2，)(1x f -min =log a (1+1)-2=log a 2-2，
∴ -2-(2log a -2)=2，解得22=
a 或2
2-=a （舍）． 当a >1时，)(1x f -ma x =log a 2-2，)(1x f -min =-2， ∴ 2)2()22(log =---a ，解得2=a 或2-=a （舍）．
∴ 综上所述，2
2=
a 或2=a ．……………………………………………7分 （3）由已知有log a 1
-x a ≤log a (x +1)-2， 即1log -x a a ≤21log a x a +对任意的]2131[，∈a 恒成立．
∵ ]2
1
31[，∈a ，
∴ 1a
x +≤1-x a ．① 由21a x +>0且1-x a >0知x +1>0且x -1>0，即x >1， 于是①式可变形为x 2-1≤a 3，
即等价于不等式x 2≤a 3+1对任意的]2131[，∈a 恒成立．
∵ u =a 3+1在]2
131
[，∈a 上是增函数， ∴
2728≤a 3+1≤89，于是x 2≤27
28， 解得9212-≤x ≤9
212． 结合x >1得1<x ≤9
212． ∴ 满足条件的x 的取值范围为⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛92121，．…………………………………12分 21．解：（1）设-e ≤x <0，则0<-x ≤e ，
∴ f (-x )=a (-x )+ln(-x )，
已知f (x )是奇函数可得f (-x )=-f (x )．
∴ -f (x )=-ax +ln(-x )，即f (x )=ax -ln(-x )．
∴ f (x )=[)(]⎩
⎨⎧∈+-∈--．，，，，，e x x ax e x x ax 0ln 0)ln( ………………………………………………4分 （2）x ∈[)0，e -时，，x a x f 1)(-='
令0)(='x f ，得a x 1=
．…………………………………………………………5分 ①当a
1≤-e ，即-e 1≤a <0时，0)(>'x f ． 故f (x )在[)0，e -上是增函数．
∴ f (x )min =f (-e )=-ae -1=3， 解得e
e a 14-<-
=（舍）．………………………………………………………8分 ②当
1>-e ，即a 1-<时，则
∴ f (x )min =)1(a f =)1ln(1a
--=3，解得2e a -=．
综上所述，存在实数a =-e 2满足条件．………………………………………12分 22．解：（1）∵ 2222)
22(42)22(2)22(2)(--=---='x x x x x x x x f ， ∴ 由0)(>'x f 有x <0或x >2，由0)(<'x f 有0<x <2且x ≠1，
即f (x )的单调递增区间为(-∞，0)，(2，+∞)，单调递减区间为(0，1)，(1，2)． ………………………………………………………………………………………4分
（2）由题有12121
42=-⋅⋅n
n n a a S ，整理得2S n =a n (1-a n )， ① ∴ 当n =1时，2S 1=a 1(1-a 1)，解得a 1=-1，或a 1=0（舍）．
当n ≥2时，2S n -1=a n -1(1-a n -1)， ②
于是①-②得2a n =a n -2n a -a n -1+21-n a ，
整理得a n +a n-1=(a n -1-a n )(a n -1+a n )，
由已知有a n +a n-1≠0，
∴ a n -a n -1=-1（常数）．
∴ {a n }是以-1为首项，-1为公差的等差数列．
∴ a n =-n ．………………………………………………………………………9分
（3）∵ a n =-n ，
∴ 原不等式即为e n n 1)11()1(<++-，等价于e n
n >++1)11(． 两边同取对数得1)11ln()1(>++n
n ， 即证1
1)11ln(+>+n n ． 构造函数x
x x x g +-+=1)1ln()(， ∵ 2
)1()1(11)(x x x x x g ++--+=' 2
)1(2x x ++=， 显然当x ≥0时，0)(>'x g ，
∴ g (x )在[)∞+，0上是增函数．
∴ )0()1(g n
g >，即0111
)11ln(>+-+n
n n ，整理即得n n +>+11)11ln(． 故原不等式得证．………………………………………………………………14分。