高一数学 立体几何专题复习
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学后反思 （1）把空间问题转化为平面问题去解是解决立体几何 问题的常用方法. （2）找出相关的直角梯形，构造直角三角形是解题的关键，正棱 台中许多元素都可以在直角梯形中求出.
举一反三
2. （2009·上海）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边 所在的直线为轴旋转一周所成的几何体的体积是_____.
图1
图2
图3
学后反思 对于不规则的平面图形绕轴旋转问题,要对原平面图形作适 当的分割,再根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行判断.
举一反三
1. 观察如图几何体,分析它们是由哪些基本几何体组成的,并说出主要 结构特征.
解析 (1)是一个四棱柱和一个四棱锥组成的,它有9个面,9个顶 点,16条棱.(2)是由一个四棱台、一个四棱柱和一个球组成的,其 主要结构特征就是相应四棱台、四棱柱和球的结构特征.
解析 如图，等腰直角三角形旋转而成的旋转体为圆锥.
1
V=3
S·h=1
3
π R ·h2 =
π1 ×
3
×2 22 =
.8
3
答案 8
3
题型三 三视图与直观图 【例3】螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体,如下图,画出它的三视图.
分析 螺栓是棱柱、圆柱组合而成的，按照画三视图的三大原则 “长对正，高平齐，宽相等”画出. 解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的,正视图反映正六 棱柱的三个侧面和圆柱侧面,侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧 面,俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合).它的 三视图如下图:
(2)横线相等,即A′B′=AB,C′D′=CD;
(3)竖线是原来的 1 ,即O′E′= OE.1
2
2
画法 (1)如图1,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标 系,…………………………………………………………..3′ 画对应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°……….5′
分析 要判断几何体的类型,从各类几何体的结构特征入手，以柱、 锥、台的定义为依据，把复杂的几何体分割成几个简单的几何体.
解 (1)如图1所示,该几何体满足有两个面平行,其余六个面都是矩形, 可使每相邻两个面的公共边都互相平行,故该几何体是正六棱柱. (2)如图2所示,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯 形,每个直角梯形旋转180°形成半个圆台,故该几何体为圆台. (3)如图3所示,由梯形ABCD的顶点A引AO⊥CD于O点,将直角梯形分 为一个直角三角形AOD和矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体, 该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.
(2)三视图的排列顺序:先画正视图,俯视图放在正视图的下方,侧视 图放在正视图的右方. (3)三视图的三大原则:长对正、高平齐、宽相等.
(4)水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法： ①在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时, 把它们画成对应的x′轴和y′轴,两轴相交于O′,且使 ∠x′O′y′=45°(或135°),用它们确定的平面表示水平面.
第一节 图
基础梳理
第九单元 立体几何
空间几何体的结构及其三视图和直观
1. 多面体
(1)有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
(2)有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由 这些面所围成的多面体叫做棱锥.
(3)用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥,底面和截面之间的这部分 多面体叫做棱台.
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中,分别画成平行于x′ 轴或y′轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半.
典例分析
题型一 空间几何体的结构特征
【例1】根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称. (1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面 都是矩形; (2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封 闭曲面所围成的图形; (3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成 的几何体.
题型二 柱、锥、台中的计算问题
【例2】正四棱台的高是17 cm,两底面边长分别是4 cm和16 cm,求棱台的 侧棱长和斜高.
分析 求棱台的侧棱长和斜高的关键是找到相关的直角梯形,然后构造 直角三角形,解决问题.
解 和EE 1,如连图接所示、,设O 、1 棱O ຫໍສະໝຸດ BaiduE、1的E O两BO底、1 B面1 、的O中E心,O则分1 E四1别边是形、O 1 O和,
△GHI三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧
视图为
()
解析 由正三棱柱的性质得,侧面AED⊥底面EFD,则侧视图必为直 角梯形,且线段BE在梯形内部.
答案 A
题型四几何体的直观图
【例4】(12分)用斜二测法画出水平放置的等腰梯形的直观图.
分析 画水平放置的直观图应遵循以下原则: (1)坐标系中∠x′O′y′=45°;
2. 旋转 (1)以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围 成的旋转体叫做圆柱.
(2)以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转 形成的面所围成的旋转体体叫做圆锥. (3)以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周形成的旋转 体叫做球体,简称球.
3. 三视图和直观图 (1)三视图是从一个几何体的正前方、正左方、正上方三个不同的 方向看这个几何体,描绘出的图形,分别称为正视图、侧视图、俯视 图.
学后反思 在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面的交线 是它们的分界线,在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出.例 如上图中,表示上面圆柱与下面棱柱的分界线是正视图中的线段AB、 侧视图中的线段CD以及俯视图中的圆.
举一反三
3. (2008·广东)将正三棱柱截去三个角(如图1所示,A、B、C分别是
和B 1 CB1C的中点分别是 O都BB是1O直1 角O梯EE形1O.1
∵ =4 cm,AB=16 cm,
∴ A 1=B 12 cm,OE=8 cm, =2 cm,OB=8 cm,
∴ O 1E1
O 1B1
2
2
=1B 91BcmO , 1O2OBO 1B12
∴E 棱1E 台的O 1 侧O 2棱长O E 为O 119E 1c2m,5 斜1 高3为 cm.
学后反思 （1）把空间问题转化为平面问题去解是解决立体几何 问题的常用方法. （2）找出相关的直角梯形，构造直角三角形是解题的关键，正棱 台中许多元素都可以在直角梯形中求出.
举一反三
2. （2009·上海）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边 所在的直线为轴旋转一周所成的几何体的体积是_____.
图1
图2
图3
学后反思 对于不规则的平面图形绕轴旋转问题,要对原平面图形作适 当的分割,再根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行判断.
举一反三
1. 观察如图几何体,分析它们是由哪些基本几何体组成的,并说出主要 结构特征.
解析 (1)是一个四棱柱和一个四棱锥组成的,它有9个面,9个顶 点,16条棱.(2)是由一个四棱台、一个四棱柱和一个球组成的,其 主要结构特征就是相应四棱台、四棱柱和球的结构特征.
解析 如图，等腰直角三角形旋转而成的旋转体为圆锥.
1
V=3
S·h=1
3
π R ·h2 =
π1 ×
3
×2 22 =
.8
3
答案 8
3
题型三 三视图与直观图 【例3】螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体,如下图,画出它的三视图.
分析 螺栓是棱柱、圆柱组合而成的，按照画三视图的三大原则 “长对正，高平齐，宽相等”画出. 解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的,正视图反映正六 棱柱的三个侧面和圆柱侧面,侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧 面,俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合).它的 三视图如下图:
(2)横线相等,即A′B′=AB,C′D′=CD;
(3)竖线是原来的 1 ,即O′E′= OE.1
2
2
画法 (1)如图1,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标 系,…………………………………………………………..3′ 画对应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°……….5′
分析 要判断几何体的类型,从各类几何体的结构特征入手，以柱、 锥、台的定义为依据，把复杂的几何体分割成几个简单的几何体.
解 (1)如图1所示,该几何体满足有两个面平行,其余六个面都是矩形, 可使每相邻两个面的公共边都互相平行,故该几何体是正六棱柱. (2)如图2所示,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯 形,每个直角梯形旋转180°形成半个圆台,故该几何体为圆台. (3)如图3所示,由梯形ABCD的顶点A引AO⊥CD于O点,将直角梯形分 为一个直角三角形AOD和矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体, 该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.
(2)三视图的排列顺序:先画正视图,俯视图放在正视图的下方,侧视 图放在正视图的右方. (3)三视图的三大原则:长对正、高平齐、宽相等.
(4)水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法： ①在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时, 把它们画成对应的x′轴和y′轴,两轴相交于O′,且使 ∠x′O′y′=45°(或135°),用它们确定的平面表示水平面.
第一节 图
基础梳理
第九单元 立体几何
空间几何体的结构及其三视图和直观
1. 多面体
(1)有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
(2)有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由 这些面所围成的多面体叫做棱锥.
(3)用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥,底面和截面之间的这部分 多面体叫做棱台.
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中,分别画成平行于x′ 轴或y′轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半.
典例分析
题型一 空间几何体的结构特征
【例1】根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称. (1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面 都是矩形; (2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封 闭曲面所围成的图形; (3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成 的几何体.
题型二 柱、锥、台中的计算问题
【例2】正四棱台的高是17 cm,两底面边长分别是4 cm和16 cm,求棱台的 侧棱长和斜高.
分析 求棱台的侧棱长和斜高的关键是找到相关的直角梯形,然后构造 直角三角形,解决问题.
解 和EE 1,如连图接所示、,设O 、1 棱O ຫໍສະໝຸດ BaiduE、1的E O两BO底、1 B面1 、的O中E心,O则分1 E四1别边是形、O 1 O和,
△GHI三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧
视图为
()
解析 由正三棱柱的性质得,侧面AED⊥底面EFD,则侧视图必为直 角梯形,且线段BE在梯形内部.
答案 A
题型四几何体的直观图
【例4】(12分)用斜二测法画出水平放置的等腰梯形的直观图.
分析 画水平放置的直观图应遵循以下原则: (1)坐标系中∠x′O′y′=45°;
2. 旋转 (1)以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围 成的旋转体叫做圆柱.
(2)以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转 形成的面所围成的旋转体体叫做圆锥. (3)以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周形成的旋转 体叫做球体,简称球.
3. 三视图和直观图 (1)三视图是从一个几何体的正前方、正左方、正上方三个不同的 方向看这个几何体,描绘出的图形,分别称为正视图、侧视图、俯视 图.
学后反思 在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面的交线 是它们的分界线,在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出.例 如上图中,表示上面圆柱与下面棱柱的分界线是正视图中的线段AB、 侧视图中的线段CD以及俯视图中的圆.
举一反三
3. (2008·广东)将正三棱柱截去三个角(如图1所示,A、B、C分别是
和B 1 CB1C的中点分别是 O都BB是1O直1 角O梯EE形1O.1
∵ =4 cm,AB=16 cm,
∴ A 1=B 12 cm,OE=8 cm, =2 cm,OB=8 cm,
∴ O 1E1
O 1B1
2
2
=1B 91BcmO , 1O2OBO 1B12
∴E 棱1E 台的O 1 侧O 2棱长O E 为O 119E 1c2m,5 斜1 高3为 cm.