高一数学立体几何专题复习

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高一数学立体几何专题复习

专题四：立体几何知识梳理一、三视图：主要由正视图、侧视图、俯视图想象原图形，并求原图形的体积和表面积1、柱体体积： V 柱=sh2、椎体体积： V 锥=sh 31 2、球的表面积：S 球表=4πR2 3、球的体积： V 球=3R 34π 二、相关概念：1、异面直线所成的角：2、直线与平面所成的角：三、证明与计算：1、线面平行的证法：面∥线面线面线线∥线⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂ 2、面面平行的证法：3、线面垂直的证法：,l a l b l a b a b αα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂⎪⎪⊂⎭线线线线线面线线线面 4、线面垂直的作用： 5、面面垂直的证法βαβα面面面线面线⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l 6、面面垂直的作用（证明线面垂直）αββαβα面线线线面线线面面面面⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊥⊂=⊥l m l l m 四、方法总结：1、证明线线平行常用方法：(1)三角形的中位线定理；（2）平行四边形的性质；（3）平行线的传递性；（4）坐标向量法：a b b a λ=⇒2、证明线线垂直常用方法：（1）等腰（或等边）三角形三线合一；（2）勾股定理逆定理: 222a C C c B b A +=⇒⊥；（3）线面垂直的性质；（4）面面垂直的性质；（5）直径所对圆周角是直角；（6）菱形的对角线互相垂直；（7）坐标向量法：0a b b a =⇔⊥3、作辅助线的方法：1、等腰三角形，通常取底边上的中点，连接中线。

2、平行四边形，连接对角线。

3、已知一个中点，寻找第二个中点，连接成中位线。

专题训练题一、选择题：1、、一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图2所示，则该多面体的体积为（）A.24cm 3B.28cm 3C.32 cm 3D.48 cm 32、设长方体的长、宽、高分别为2a ，a,a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A.3πa 2B.6πa 2C.12πa 2D.24πa 23、某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A.32B.16+216C.48D.16+2324、平面截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面a 的距离为2，则此球的体积（）A. π6B.π34C. π64D. π365、在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱BC 和棱1CC 的中点，则异面直线AC和MN 所成的角为（）A ．30°B ．45°C ．90°D ． 60°6、在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为DD1的中点，则直线EB 与平面ABCD 所成的角的正切值是（）．A ． 12B C D ．1 二、填空题：1、在正方体1111ABCD A B C D -中，（1）AB 与1CC 所成的角为；（2）11A B 与AC 所成的角为（3）1A B 与11D B 所成的角为。

高考立体几何专题复习公开课获奖课件

（7）假如一种平面与另一种平面垂线平行，则这两个平面互相垂直
第20页
面面垂直鉴定
假如一种平面通过另一种平面一条垂线，则这两个平面互相垂直
推论:假如一种平面与另一种平面垂线平行，则这两个平面互相垂直
第21页
面面垂直性质
假如两个平面垂直，则在一种平面内垂直于它们交线直线垂直于另一种平面
推论:假如两个相交平面都与另一种平面垂直，则这两个平面交线 l 垂直于另一种平面
（3）推论：
假如一种平面内两条相交直线与另一种平面两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行。
第10页
（4）运用线面垂直：
假如两个平面分别垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
（5）运用面面平行：
假如两个平面都平行于第三个平面，那么这两个平面平行。
（6）运用距离：
假如一种平面上所有点到另一种平面距离相等，那么这两个平面平行。
α
a
直线与平面所成角
βA Pm
αB
二面角
00<θ≤900
00≤ θ≤900
00≤θ ≤1800
空间角计算环节：一作、二证、三算
第34页
空间中角解法小结
1、异面直线所成角措施（1）平移法（2）补形法
2、直线与平面所成角措施
关键：抓垂足、斜足，找斜线在平面内射影。
3、二面角
找二面角棱,进而找棱两条垂线
第6页
（4）运用垂直
假如一条直线和一种平面分别与另一种平面垂直，且直线不在这个平面内，则这条直线和这个平面平行。
（5）运用平行假如一条直线与两个平行平面中一种平行且不在另一种平面内，则这条直线与另一种平面平行。
（6）运用距离

高中数学立体几何知识点复习总结[资料]

高中课程复习专题——数学立体几何一空间几何体㈠空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。

其中，这条直线称为旋转体的轴。

㈡几种空间几何体的结构特征1 棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2 棱柱的分类1.3 棱柱的性质⑴ 侧棱都相等，侧面是平行四边形；⑵ 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；⑶ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；⑷ 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。

1.4 长方体的性质⑴ 长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和：AC 12 = AB 2 + AC 2 + AA 12⑵ 长方体的一条对角线AC 1与过定点A 的三条棱所成的角分别是α、β、γ，那么：cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 1 sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 2⑶ 长方体的一条对角线AC 1与过定点A 的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则：图1-1 棱柱图1-2 长方体图1-1 棱柱cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 2 sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 11.5 棱柱的侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。

1.6 棱柱的面积和体积公式S 直棱柱侧面= c ·h (c 为底面周长，h 为棱柱的高)S直棱柱全= c ·h+ 2S底V 棱柱 = S 底 ·h2 圆柱的结构特征2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。

高一数学期末复习立体几何

高一数学期末复习------立体几何一、知识点整理： 1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面；推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．平行公理(公理4)平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6．定理Ⅰ.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． Ⅱ.过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线． 78.9．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法．②利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面． (2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行．10．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角． 11．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法．②利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的性质如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 12．二面角的有关概念(1)二面角：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． 13．二、基础自测：1．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．答案 22．一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的边长为a ，则球的表面积为________．答案 πa 23. 如图所示，在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P —BB 1C 1C 的体积为________．答案 1634．已知不重合的直线a ，b 和平面α，①若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ③若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α；④若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α或b ⊂α. 上面命题中正确的是________(填序号)．答案 ④5．已知α、β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，命题p ：a 与b 没有公共点；命题q ：α∥β，则p 是q 的____________条件．答案必要不充分6．已知平面α∥平面β，直线a ⊂α，有下列命题：①a 与β内的所有直线平行；②a 与β内无数条直线平行；③a 与β内的任意一条直线都不垂直．其中真命题的序号是________．答案 ②7．若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则下列判断正确的是________．(填序号) ①α内的所有直线与l 异面；②α内不存在与l 平行的直线； ③α内存在唯一的直线与l 平行；④α内的直线与l 都相交．答案 ②8．下列命题正确的是________．①若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行； ②若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行； ③若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；④若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行．答案③9．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题____________________________．答案①③④⇒②(或②③④⇒①)10．设α，β，γ为平面，m，n，l为直线，则对于下列条件①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l②α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β③α⊥γ，β⊥γ，m⊥α④n⊥α，n⊥β，m⊥α其中为m⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上)．答案②④二、例题选讲：例1.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，AB1⊥BC，且AA1＝AB.求证：(1) AB∥平面D1DCC1；(2) AB1⊥平面A1BC.例1.. 证明：(1) 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，ABË平面D1DCC1，CDÌ平面D1DCC1，所以AB∥平面D1DCC1.(6分)(2) 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形A1ABB1为平行四边形，又AA1＝AB，故四边形A1ABB1为菱形．从而AB1⊥A1B.(9分)又AB1⊥BC，而A1B∩BC＝B，A1B、BCÌ平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.(14分)变式训练1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知平面BB1C1C⊥平面ABC，AB＝AC，D是BC 中点，且B1D⊥BC1.求证：(1) A1C∥平面B1AD；(2) BC1⊥平面B1AD.变式训练1. 证明：(1) 连结BA1交AB1于点O，由棱柱知侧面AA1B1B为平行四边形，∵O为BA1的中点，又D是BC中点，∴OD∥A1C.(3分)∵A1CË平面B1AD，ODÌ平面B1AD，∴A1C∥平面B1AD.(6分)(2) ∵ D是BC中点，AB＝AC，∴AD⊥BC.(7分)∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，ADÌ平面ABC，∴AD ⊥平面BB1C1C.(11分)∵BC1Ì平面BB1C1C，∴AD⊥BC1.(12分)又BC1⊥B1D，且AD∩B1D＝D，∴BC1⊥平面B1AD.(14分)例2. 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD.求证：(1) AB∥EF；(2) 平面BCF⊥平面CDEF.例2. 证明：(1) 因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.因为ABË平面CDEF，CDÌ平面CDEF，所以AB∥平面CDEF.(4分)因为ABÌ平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF＝EF，所以AB∥EF.(7分)(2) 因为DE⊥平面ABCD，BCÌ平面ABCD，所以DE⊥BC.(9分)因为BC⊥CD，CD∩DE＝D，CD、DEÌ平面CDEF，所以BC⊥平面CDEF.(12分)因为BFÌ平面BCF，所以平面BCF⊥平面CDEF.(14分)变式训练2：如图，正六棱锥P-ABCDEF底边边长为2，高为 3.(1) 设平面PAB∩平面PDE＝l，证明：AB∥l；(2) 证明：平面PAB⊥平面PDE.变式训练2：证明：(1) ∵ AB∥DE，DEÌ平面PDE，ABË平面PDE，∴AB∥平面PDE.(3分)又平面ABP∩平面PDE＝l，且ABÌ平面PAB，∴AB∥l.(6分)(2) 设PO⊥平面AC于O，取AB、DE的中点分别是G、H，连结PG、PH，则O∈GH，且GH⊥AB.由已知，得OP＝OG＝OH＝3，从而PG⊥PH.(9分)又PO⊥平面AC，∴PO⊥AB，从而AB⊥平面PGH.又PHÌ平面PGH，∴AB⊥PH.(12分)又PG∩AB＝G，∴PH⊥平面PAB.又PHÌ平面PDE，∴平面PAB⊥平面PDE.(14分)例3. 如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，AB⊥BC，E、F分别是A1B、AC1的中点．(1) 求证：EF∥平面ABC；(2) 求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；(3) 若A1A＝2AB＝2BC＝2a，求三棱锥FABC的体积．例3. (1) 证明：连结A1C.∵在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AA1C1C是矩形，∴点F在A1C上，且为A1C的中点．在△A1BC中，∵E、F分别是A1B、A1C的中点，∴EF∥BC.(2分)∵BCÌ平面ABC，EFË平面ABC，∴EF∥平面ABC.(4分)(2) 证明：∵在直三棱柱A1B1C1ABC中，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥BC.∵EF∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥EF，B1B⊥EF.(6分)∵B1B∩AB＝B，∴EF⊥平面ABB1A1.(8分)∵EFÌ平面AEF，∴平面AEF⊥平面ABB1A1.(10分)(3) 解：V FABC＝12V A1ABC＝12×13×S△ABC×AA1(12分)＝12×13×12a2×2a＝a36.(14分)变式训练3：如图，在五面体ABCDEF中，已知DE⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝60°，AB＝2，DE＝EF＝1.(1) 求证：BC∥EF；(2) 求三棱锥B-DEF的体积．变式训练3：(1) 证明：因为AD∥BC，ADÌ平面ADEF，BCË平面ADEF，所以BC∥平面ADEF.(3分)又BCÌ平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，所以BC∥EF.(6分)(2) 解：在平面ABCD 内作BH ⊥AD 于点H.因为DE ⊥平面ABCD ，BH Ì平面ABCD ，所以DE ⊥BH. 又AD 、DE Ì平面ADEF ，AD ∩DE ＝D ，所以BH ⊥平面ADEF ，所以BH 是三棱锥BDEF 的高．(9分)在直角三角形ABH 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2，所以BH ＝ 3. 因为DE ⊥平面ABCD ，AD Ì平面ABCD ，所以DE ⊥AD. 又由(1)知，BC ∥EF ，且AD ∥BC ，所以AD ∥EF ，所以DE ⊥EF ，(12分) 所以三棱锥BDEF 的体积V ＝13×S △DEF ×BH ＝13×12×1×1×3＝36.(14分)例4. 如图，在四棱锥EABCD 中，△ABD 为正三角形，EB ＝ED ，CB ＝CD. (1) 求证：EC ⊥BD ；(2) 若AB ⊥BC ，M 、N 分别为线段AE 、AB 的中点，求证：平面DMN ∥平面BEC.例4. 证明：(1) 取BD 的中点O ，连结EO 、CO ，∵ CD ＝CB ，EB ＝ED ， ∴ CO ⊥BD ，EO ⊥BD.(4分)又CO ∩EO ＝O ，∴ BD ⊥平面EOC. ∵ EC Ì平面EOC ，∴ BD ⊥EC.(7分)(2) ∵ N 是AB 中点，△ABD 为正三角形，∴ DN ⊥AB. ∵ BC ⊥AB ，∴ DN ∥BC.∵ BC Ì平面BCE ，DN 平面BCE ，∴ DN ∥平面BCE.(10分) ∵ M 为AE 中点，N 为AB 中点， ∴ MN ∥BE.∵ MN Ë平面BCE ，BE Ì平面BCE ，∴ MN ∥平面BCE.(12分) ∵ MN ∩DN ＝N ，∴ 平面MND ∥平面BCE.(14分)例5. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PC 中点，F 为线段AC 上一点．(1) 求证：BD ⊥EF ；(2) 若EF ∥平面PBD ，求AFFC的值．:例5. (1) 证明：因为PA ⊥平面ABCD ，BD Ì平面ABCD ，所以PA ⊥BD.(2分)又四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD. 又PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC.(5分) 又EF Ì平面PAC ，所以BD ⊥EF.(7分) (2) 解：设AC 与BD 交于O ，连结PO ，因为EF ∥平面PBD ，平面PAC ∩平面PBD ＝PO ，且EF Ì平面PAC ，则EF ∥PO.(11分)又E 是PC 中点，所以OF ＝FC ，所以AF ＝3FC ，即AFFC＝3.(14分)变式训练5：如图，正四棱锥P-ABCD 的高为PO ，PO ＝AB ＝2.E 、F 分别是棱PB 、CD 的中点，Q 是棱PC 上的点．(1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 若PC ⊥平面QDB ，求PQ.变式训练5：(1) 证明：取PA 中点M ，连结ME 、MD ，由条件得，ME ∥AB ，DF ∥AB ， ∴ ME ∥DF.且ME ＝12AB ，DF ＝12AB ，∴ ME ＝DF.(2分)∴ 四边形EFDM 是平行四边形．则EF ∥MD.(4分)又MD Ì平面PAD ，EF Ë平面PAD ， ∴ EF ∥平面PAD.(7分) (2) 解：连结OQ.∵ PC ⊥平面QDB ，OQ Ì平面QDB ，∴ PC ⊥OQ.(9分)∵PO⊥平面ABCD，OCÌ平面ABCD，∴PO⊥OC. 由正方形ABCD的边长为2，得OC＝ 2.∵PO＝2，∴PC＝PO2＋OC2＝ 6.(11分)则PQ＝PO·sin∠CPO＝2·26＝233.(14分)课后练习：1、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，点F为侧棱PC上一点．(1) 若PF＝FC，求证：PA∥平面BDF；(2) 若BF⊥PC，求证：平面BDF⊥平面PBC.1、证明：(1) 设AC、BD的交点为O，连结OF，∵底面ABCD为菱形，∴O为AC中点．又PF＝FC，∴PA∥OF.(5分)又PAË平面BDF，OFÌ平面BDF，∴PA∥平面BDF.(7分)(2) ∵底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∵BF⊥PC，∴PC⊥平面BDF.又PCÌ平面PBC，∴平面BDF⊥平面PBC.(14分)2、如图，在五面体ABCDEF中，已知DE⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝60°，AB＝2，DE＝EF＝1.(1) 求证：BC∥EF；(2) 求三棱锥B-DEF的体积．2、(1) 证明：因为AD∥BC，ADÌ平面ADEF，BCË平面ADEF，所以BC∥平面ADEF.(3分)又BCÌ平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，所以BC∥EF.(6分)(2) 解：在平面ABCD内作BH⊥AD于点H.因为DE⊥平面ABCD，BHÌ平面ABCD，所以DE⊥BH.又AD、DEÌ平面ADEF，AD∩DE＝D，所以BH ⊥平面ADEF ，所以BH 是三棱锥BDEF 的高．(9分)在直角三角形ABH 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2，所以BH ＝ 3. 因为DE ⊥平面ABCD ，AD Ì平面ABCD ，所以DE ⊥AD. 又由(1)知，BC ∥EF ，且AD ∥BC ，所以AD ∥EF ，所以DE ⊥EF ，(12分) 所以三棱锥BDEF 的体积V ＝13×S △DEF ×BH ＝13×12×1×1×3＝36.(14分)3、在四棱锥P-ABCD 中，∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．求证：(1) 平面PAC ⊥平面PCD ； (2) CE ∥平面PAB.3、证明：(1) 因为PA ⊥平面ABCD ，CD Ì平面ABCD ，所以PA ⊥CD.(2分)又∠ACD ＝90°，则CD ⊥AC ，而PA ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面PAC.(4分) 因为CD Ì平面ACD ，所以平面PAC ⊥平面PCD.(7分)(2) (证法1)取AD 中点M ，连结EM 、CM ，则EM ∥PA.因为EM Ë平面PAB ，PA Ì平面PAB ，所以EM ∥平面PAB.(9分)在Rt △ACD 中，AM ＝CM ，所以∠CAD ＝∠ACM. 又∠BAC ＝∠CAD ，所以∠BAC ＝∠ACM ，则MC ∥AB.因为MC Ë平面PAB ，AB Ì平面PAB ，所以MC ∥平面PAB.(12分)而EM ∩MC ＝M ，所以平面EMC ∥平面PAB. 由于EC Ì平面EMC ，从而EC ∥平面PAB.(14分) (证法2)延长DC 、AB 交于点N ，连结PN.因为∠NAC ＝∠DAC ，AC ⊥CD ，所以C 为ND 的中点．而E 为PD 中点，所以EC ∥PN.因为EC Ë平面PAB ，PN Ì平面PAB ，所以EC ∥平面PAB.(14分)4、如图，在三棱锥P-ABC 中，D 、E 、F 分别为棱PC 、AC 、AB 的中点．已知PA ⊥AC ，PA ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1) 直线PA ∥平面DEF ；(2) 平面BDE ⊥平面ABC.4、证明：(1) 由于D 、E 分别是PC 、AC 的中点，则有PA ∥DE ，又PA Ë平面DEF ，DE Ì平面DEF ，所以PA ∥平面DEF.(6分)(2) 由(1)PA ∥DE ，又PA ⊥AC ，所以PE ⊥AC.(8分)又F 是AB 中点，所以DE ＝12PA ＝3，EF ＝12BC ＝4.(10分) 又DF ＝5，所以DE 2＋EF 2＝DF 2，所以DE ⊥EF ，EF 、AC 是平面ABC 内两条相交直线，所以DE ⊥平面ABC.(12分)又DE Ì平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC.(14分)5、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥PB ，BP ＝BC ，E 为PC 的中点．求证：(1) AP ∥平面BDE ；(2) BE ⊥平面PAC.5、证明：(1) 设AC ∩BD ＝O ，连结OE.因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP.(4分)因为AP Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以AP ∥平面BDE.(6分)(2) 因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，BC Ì平面ABCD ，所以BC ⊥平面PAB.(8分)因为AP Ì平面PAB ，所以BC ⊥PA.因为PB ⊥PA ，BC ∩PB ＝B ，BC 、PB Ì平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC.(12分)因为BE Ì平面PBC ，所以PA ⊥BE.因为BP ＝BC ，E 为PC 中点，所以BE ⊥PC.因为PA ∩PC ＝P ，PA 、PC Ì平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC.(14分)6、如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，E 、F 分别为BB 1、AC 的中点．求证：(1) BF ∥平面A 1EC ；(2) 平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.6、证明：(1) 连结AC 1交A 1C 于点O ，连结OE 、OF ，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA ＝OC 1.因为F 为AC 中点，所以OF ∥CC 1，且OF ＝12CC 1. 因为E 为BB 1中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1. 所以BE ∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE.(4分) 又BF Ë平面A 1EC ，OE Ì平面A 1EC ，所以BF ∥平面A 1EC.(7分)(2) 由(1)知BF ∥OE ，因为AB ＝CB ，F 为AC 中点，所以BF ⊥AC ，所以OE ⊥AC.(9分)因为AA 1⊥底面ABC ，而BF Ì底面ABC ，所以AA 1⊥BF.由BF ∥OE ，得OE ⊥AA 1，而AA 1、AC Ì平面ACC 1A 1，且AA 1∩AC ＝A ，所以OE ⊥平面ACC 1A 1.(12分)因为OE Ì平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.(14分)7、如图，在四棱锥PABCD 中，DC ∥AB ，DA ＝DC ＝2AB ，O 为AC 与BD 的交点，AB ⊥平面PAD ，△PAD 是正三角形．(1) 若点E 为棱PA 上一点，且OE ∥平面PBC ，求AE PE的值； (2) 求证：平面PBC ⊥平面PDC.7、(1) 解：因为OE ∥平面PBC ，OE Ì平面PAC ，平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，所以OE ∥PC ，所以AO ∶OC ＝AE ∶EP.(3分)因为DC ∥AB ，DC ＝2AB ，所以AO ∶OC ＝AB ∶DC ＝1∶2.所以AE PE ＝12.(6分) (2) 证明：(证法1)取PC 的中点F ，连结FB 、FD.因为△PAD 是正三角形，DA ＝DC ，所以DP ＝DC.因为F 为PC 的中点，所以DF ⊥PC.(8分)因为AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥PA ，AB ⊥AD ，AB ⊥PD.因为DC ∥AB ，所以DC ⊥DP ，DC ⊥DA.设AB ＝a ，在等腰直角三角形PCD 中，DF ＝PF ＝2a.在Rt △PAB 中，PB ＝5a.在直角梯形ABCD 中，BD ＝BC ＝5a.因为BC ＝PB ＝5a ，点F 为PC 的中点，所以PC ⊥FB.在Rt △PFB 中，FB ＝3a.在△FDB 中，由DF ＝2a ，FB ＝3a ，BD ＝5a ，可知DF 2＋FB 2＝BD 2，所以FB ⊥DF.(12分)由DF ⊥PC ，DF ⊥FB ，PC ∩FB ＝F ，PC 、FB Ì平面PBC ，所以DF ⊥平面PBC. 又DF 平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PDC.(14分)(证法2)取PD 、PC 的中点，分别为M 、F ，连结AM 、FB 、MF ，所以MF ∥DC ，MF ＝12DC. 因为DC ∥AB ，AB ＝12DC ，所以MF ∥AB ，MF ＝AB ，即四边形ABFM 为平行四边形，所以AM ∥BF.(8分)在正三角形PAD 中，M 为PD 中点，所以AM ⊥PD.因为AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥AM.因为DC ∥AB ，所以DC ⊥AM.因为BF ∥AM ，所以BF ⊥PD ，BF ⊥CD.因为PD ∩DC ＝D ，PD 、DC Ì平面PCD ，所以BF ⊥平面PCD.(12分) 因为BF Ì平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PDC.(14分)。

(完整版)立体几何复习专题

(完整版)立体几何复习专题立体几何复专题
立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是物体的形状、大小、位置及其相关性质。

本文档将为您提供立体几何的复专题，帮助您系统地回顾和巩固相关的知识。

1. 点、线、面与空间几何
首先我们从最基本的几何概念开始复，包括点、线、面以及空间几何的基本性质。

例如，点的定义、线的分类、平行线与垂直线的判定等。

2. 立体图形的表示方法
接下来，我们将研究立体图形的几种常用表示方法。

这些表示方法包括视图图、投影图、轴测图等，通过它们我们可以更直观地理解和描述立体图形的形状。

3. 立体图形的重要性质与公式
在本部分，我们将回顾立体图形的重要性质和相关公式。

例如，体积的计算公式、表面积的计算方法等。

同时，我们还将深入研究
不同立体图形的特点和相互之间的关系。

4. 空间几何的应用
最后，我们将介绍空间几何在实际生活中的应用。

例如，如何
测量不规则物体的体积、如何计算房屋的准确面积等。

这些应用案
例将帮助您更好地理解和应用空间几何的知识。

总结
本文档为您提供了立体几何的复专题，通过回顾和巩固相关知识，帮助您更好地掌握立体几何的基本概念、表示方法、重要性质
和应用。

希望这份文档能对您的研究有所帮助！。

立体几何复习专题及答案-高中数学

立体几何复习专题姓名：班级：考点一、空间中的平行关系1．如图，在三棱锥P ABC -中，02,3,90PA PB AB BC ABC ====∠=,平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 的中点． (1)求证：DE //平面PBC ； (2)求证：AB PE ⊥；(3)求三棱锥B PEC -的体积．2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；3．如图，七面体ABCDEF 的底面是凸四边形ABCD ，其中2AB AD ==，120BAD ∠=︒，AC ，BD 垂直相交于点O ，2OC OA =，棱AE ，CF 均垂直于底面ABCD .（1）证明：直线DE 与平面BCF 不．平行；4.（2014新课标Ⅱ）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D AE C --为60°，AP =1，AD =3，求三棱锥E ACD -的体积．考点二、空间中的垂直关系5．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=，2EC =，2AB BD ==，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30．（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ；6．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）求证：BN ⊥平面11C B N ；（2）设M 为AB 中点，在C B 边上求一点P ，使//MP 平面1C NB ，求CBPP 的值．7．（2016全国I ）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，2AF FD =，90AFD ∠=，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60．（I ）证明：平面ABEF⊥平面EFDC ；（II ）求二面角E BC A --的余弦值．考点三、折叠问题和探究性问题中的位置关系8．如图 1，在直角梯形ABCD 中， //,AB CD AB AD ⊥，且112AB AD CD ===．现以AD 为一边向外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使ADEF 平面与平面ABCD 垂直， M 为ED 的中点，如图 2．（1）求证： //AM 平面BEC ；（2）求证： BC ⊥平面BDE ； .9．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E,F 分别是AB,BC 的中点，点M 在AD 上，且14AM AD =，将AED,DCF 分别沿DE,DF 折叠，使A,C 点重合于点P ，如图所示2.()1试判断PB 与平面MEF的位置关系，并给出证明；()2求二面角M EF D --的余弦值.10．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ． (1)求证：DF //平面ABE ；(2)求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值． (3)在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．11．如图1，在边长为4的正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD的中点，现-.将三角形DEF沿EF翻折成如图2所示的五棱锥P ABCFE（1）求证：AC//平面PEF；（2）若平面PEF⊥平面ABCFE，求直线PB与平面PAE所成角的正弦值.12．（2011•浙江）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（1）证明：AP⊥BC；（2）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A﹣MC﹣β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等边三角形，122CC AC ==.（Ⅰ）求三棱锥11C CB A -的体积；（Ⅱ）在线段1BB 上寻找一点F ，使得1CF AC ⊥，请说明作法和理由.考点四、知空间角求空间角问题14．（2014天津）如图四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，2BA BD ==2AD =,5PA PD ==E ,F 分别是棱AD ,PC 的中点．（Ⅰ）证明: EF ∥平面PAB ；（Ⅱ）若二面角P AD B --为60°，（ⅰ）证明：平面PBC ⊥平面ABCD（ⅱ）求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值． PCDBF15．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ABCD ⊥平面，E 为PD 的中点．(1)证明：//E PB A C 平面；(2)设13AP AD ==，，三棱锥P ABD -的体积34V =，求二面角D -AE -C 的大小16．如图，四棱锥P ABCD -中， PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=︒， //AD BC ， AB AC ⊥， 2AB AC ==，点E 在AD 上，且2AE ED =．（Ⅰ）已知点F 在BC 上，且2=CF FB ，求证：平面PEF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）当二面角--A PB E 的余弦值为多少时，直线PC 与平面PAB 所成的角为45︒？立体几何专题参考答案1． (1)证明：∵在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC . ∵DE ⊄平面PBC 且BC ⊂平面PBC ，∴DE ∥平面PBC . (2)证明：连接PD .∵PA ＝PB ，D 为AB 的中点，∴PD ⊥AB .∵DE ∥BC ，BC ⊥AB ，∴DE ⊥AB .又∵PD 、DE 是平面PDE 内的相交直线， ∴AB ⊥平面PDE .∵PE ⊂平面PDE ，∴AB ⊥PE .(3)解：∵PD ⊥AB ，平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，∴PD ⊥平面ABC ，可得PD 是三棱锥P －BEC 的高．又∵33,2BECPD S==，1332B PEC P BEC BEC V V S PD --∆∴==⨯=. 2．（I ）见解析；（II ）见解析；（III ）33. （I ）证明：连接BD ，易知AC BD H ⋂=，BH DH =，又由BG PG =，故GHPD ，又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以GH ∥平面PAD .（II ）证明：取棱PC 的中点N ，连接DN ，依题意，得DN PC ⊥，又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC平面PCD PC =，所以DN ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，故DN PA ⊥，又已知PA CD ⊥，CD DN D =，所以PA ⊥平面PCD . 3．（1）见解析；（2）23535本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

高中数学《立体几何》专题复习 (3)

高中数学《立体几何》专题复习三1．(2017·唐山模拟)正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( ) A ．64π B ．32π C ．16π D ．8π答案 A解析如图，作PM ⊥平面ABC 于点M ，则球心O 在PM 上，PM ＝6，连接AM ，AO ，则OP ＝OA ＝R(R 为外接球半径)，在Rt △OAM 中，OM ＝6－R ，OA ＝R ，又AB ＝6，且△ABC 为等边三角形，故AM ＝2362－32＝23，则R 2－(6－R)2＝(23)2，则R ＝4，所以球的表面积S ＝4πR 2＝64π.2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( ) A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π答案 C解析由V ＝Sh ，得S ＝4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以球的半径为R ＝1222＋22＋42＝ 6.所以球的表面积为S ＝4πR 2＝24π.故选C.3．若一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A ．8π B ．6π C ．4π D ．π答案 C解析设正方体的棱长为a ，则a 3＝8.因此内切球直径为2，∴S 表＝4πr 2＝4π.4．(2017·课标全国Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径长为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．π B.3π4 C.π2 D.π4 答案 B解析根据已知球的半径长是1，圆柱的高是1，如图，所以圆柱的底面半径r ＝22－122＝32，所以圆柱的体积V ＝πr 2h ＝π×(32)2×1＝34π.故选B. 5．(2018·安徽合肥模拟)已知球的直径SC ＝6，A ，B 是该球球面上的两点，且AB ＝SA ＝SB ＝3，则三棱锥S －ABC 的体积为( ) A.324B.924 C.322 D.922答案 D解析设该球球心为O ，因为球的直径SC ＝6，A ，B 是该球球面上的两点，且AB ＝SA ＝SB ＝3，所以三棱锥S －OAB 是棱长为3的正四面体，其体积V S －OAB ＝13×12×3×332×6＝924，同理V O －ABC ＝924，故三棱锥S －ABC 的体积V S －ABC ＝V S －OAB ＋V O －ABC ＝922，故选D.6．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3172B ．210 C.132 D ．310 答案 C解析如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M. 又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝（52）2＋62＝132. 7．(2018·广东惠州一模)已知一个水平放置的各棱长均为4的三棱锥形容器内有一小球O(质量忽略不计)，现从该三棱锥形容器的顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的78时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( ) A.76π B.43πC.23π D.12π 答案 C解析由题知，没有水的部分的体积是三棱锥形容器的体积的18，三棱锥形容器的体积为13·34·42·63·4＝1623，所以没有水的部分的体积为223.设其棱长为a ，则其体积为13×34a 2×63a ＝223，∴a ＝2，设小球的半径为r ，则4×13×3×r ＝223，解得r ＝66，∴球的表面积为4π×16＝23π，故选C.8.如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，S －ABCD 是高为1的正四棱锥，若点S ，A 1，B 1，C 1，D 1在同一个球面上，则该球的体积为( ) A.25π16 B.49π16 C.81π16 D.243π128答案 C解析如图所示，O 为球心，设OG 1＝x ，则OB 1＝SO ＝2－x ，同时由正方体的性质可知B 1G 1＝22，则在Rt △OB 1G 1中，OB 12＝G 1B 12＋OG 12，即(2－x)2＝x 2＋(22)2，解得x ＝78，所以球的半径R ＝OB 1＝98，所以球的表面积S ＝4πR 2＝81π16，故选C. 9．(2018·郑州质检)四棱锥P －ABCD 的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为( )A ．9πB ．3πC ．22πD ．12π答案 D解析该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC.由直线EF 被球面所截得的线段长为22，可知正方形ABCD 对角线AC 的长为22，可得正方形ABCD 的边长a ＝2，在△PAC 中，PC ＝22＋（22）2＝23，球的半径R ＝3，∴S 表＝4πR 2＝4π×(3)2＝12π.10．(2014·湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析此几何体为一直三棱柱，底面是边长为6，8，10的直角三角形，侧棱为12，故其最大球的半径为底面直角三角形内切圆的半径，故其半径为r ＝12×(6＋8－10)＝2，故选B.11．(2017·天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．答案 92π解析设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18，得a ＝3，设该正方体外接球的半径为R ，则2R ＝3a ＝3，得R ＝32，所以该球的体积为43πR 3＝43π(32)3＝92π.12．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________．答案63π解析设正四面体的棱长为a ，则正四面体的表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π. 13．已知一圆柱内接于球O ，且圆柱的底面圆的直径与母线长均为2，则球O 的表面积为________．答案 8π解析圆柱的底面圆的直径与母线长均为2，所以球的直径为22＋22＝8＝22，即球半径为2，所以球的表面积为4π×(2)2＝8π.14．(2017·衡水中学调研卷)已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．答案33解析方法一：先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解题．如图，满足题意的正三棱锥P －ABC 可以是正方体的一部分，其外接球的直径是正方体的体对角线，且面ABC 与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平面ABC 的距离等于体对角线长的16，故球心到截面ABC 的距离为16×23＝33.方法二：用等体积法：V P －ABC ＝V A －PBC 求解)．15．(2018·四川成都诊断)已知一个多面体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为________．答案3π解析由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面，高等于1，其底面是边长为1的正方形，∴四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球，∴外接球的直径为3，∴外接球的表面积S＝4π×(32)2＝3π.16．(2018·河北唐山模拟)已知矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，AD＝2，AB＝3，AF＝332，M为EF的中点，则多面体M－ABCD的外接球的表面积为________．答案16π解析记多面体M－ABCD的外接球的球心为O，如图，过点O分别作平面ABCD和平面ABEF的垂线，垂足分别为Q，H，连接MH并延长，交AB于点N，连接OM，NQ，AQ，设球O的半径为R，球心到平面ABCD的距离为d，即OQ＝d，∵矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AF＝332，M为EF的中点，∴MN＝332，∴AN＝NB＝32，NQ＝1，∴R2＝(4＋92)2＋d2＝12＋(332－d)2，∴d＝32，R2＝4，∴多面体M－ABCD的外接球的表面积为4πR2＝16π.1．(2017·课标全国Ⅱ，文)长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．答案14π解析依题意得，长方体的体对角线长为32＋22＋12＝14，记长方体的外接球的半径为R，则有2R＝14，R＝142，因此球O的表面积等于4πR2＝14π.2．(2018·湖南长沙一中模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为()A ．8π B.25π2C ．12π D.41π4答案 D解析根据三视图得出，几何体是正方体中的一个四棱锥O －ABCD ，正方体的棱长为2，A ，D 为所在棱的中点．根据几何体可以判断，球心应该在过A ，D 的平行于正方体底面的中截面上，设球心到平面BCO的距离为x ，则到AD 的距离为2－x ，所以R 2＝x 2＋(2)2，R 2＝12＋(2－x)2，解得x ＝34，R＝414，该多面体外接球的表面积为4πR 2＝414π，故选D. 3．(2014·陕西，理)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( ) A.32π3B ．4πC ．2π D.4π3答案 D解析因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r ＝1212＋12＋（2）2＝1，所以V 球＝4π3×13＝4π3.故选D.4．(2018·洛阳统一考试)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．200πB ．150πC ．100πD ．50π答案 D解析由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去3个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为5、4、3，所以其外接球半径R 满足2R ＝42＋32＋52＝52，所以该几何体的外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×(522)2＝50π，故选D.5．(2018·广东清远三中月考)某一简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是( )A ．13πB ．16πC ．25πD ．27π答案 C解析由三视图可知该几何体是底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，设外接球半径为r ，则2r ＝（22）2＋（22）2＋32＝5，∴r ＝52，∴长方体外接球的表面积S ＝4πr 2＝25π.6．(2018·福建厦门模拟)已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为32R ，AB ＝AC ＝BC ＝23，则球O 的表面积为( ) A.163π B ．16π C.643π D ．64π答案 D解析因为AB ＝AC ＝BC ＝23，所以△ABC 为正三角形，其外接圆的半径r ＝232sin60°＝2，设△ABC 外接圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，所以OA 2＝OO 12＋r 2，所以R 2＝(32R)2＋22，解得R 2＝16，所以球O 的表面积为4πR 2＝64π，故选D.7．(2018·四川广元模拟)如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将△ADE ，△EBF ，△FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A ′，若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为________．答案62解析由题意可知△A ′EF 是等腰直角三角形，且A ′D ⊥平面A ′EF.由于△A ′EF 可以补全为边长为1的正方形，则该四面体必能补全为长、宽、高分别为1，1，2的正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，易知正四棱柱的外接球的直径为12＋12＋22＝ 6.故球的半径为62. 8．(2017·德州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是________；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是________．答案 133π解析由三视图知该几何体是底面为1的正方形，高为1的四棱锥，故体积V ＝13×1×1×1＝13，该几何体与棱长为1的正方体具有相同的外接球，外接球直径为3，该球表面积S ＝4π×(32)2＝3π，正方体、长方体的体对角线即为外接球的直径．。

高一立体几何知识点+例题+练习含答案

1．空间几何体的结构特征 (1)多面体①棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形． ②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形． ③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形． (2)旋转体①圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到． ②圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到．③圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到． ④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到． 2．空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用斜二测画法，其规则是：(1)原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴、y ′轴的夹角为45°(或135°)，z ′轴与x ′轴、y ′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 3．柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底V ＝13Sh台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 34.(1)与体积有关的几个结论①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． ②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． (2)几个与球有关的切、接常用结论 a ．正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .b ．若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. c ．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. (3)斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )(3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴和y 轴，且∠A ＝90°，则在直观图中，∠A ＝45°.( × ) (4)圆柱的侧面展开图是矩形．( √ )(5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算．( √ ) (6)菱形的直观图仍是菱形．( × )1．(教材改编)下列说法正确的是________．①相等的角在直观图中仍然相等； ②相等的线段在直观图中仍然相等； ③正方形的直观图是正方形；④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．答案 ④解析由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．故④正确． 2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________ cm. 答案 2解析 S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π， ∴r 2＝4，∴r ＝2(cm)．3．(2014·陕西改编)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是________．答案 2π解析底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.4．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D －ABC 的体积为________．答案212a 3解析 O 是AC 的中点，连结DO ，BO ，△ADC ，△ABC 都是等腰直角三角形．因为DO ＝BO ＝AC 2＝22a ，BD ＝a ，所以△BDO 也是等腰直角三角形．又因为DO ⊥AC ，DO ⊥BO ，AC ∩BO ＝O ，所以DO ⊥平面ABC ，即DO 就是三棱锥D －ABC 的高．因为S △ABC ＝12a 2，所以三棱锥D －ABC 的体积为13×12a 2×22a ＝212a 3.5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是__________________________________________．答案 ①解析平面图形的直观图为正方形，且其边长为1，对角线长为2，所以原平面图形为平行四边形，且位于x轴上的边长仍为1，位于y轴上的对角线长为2 2.题型一空间几何体的结构特征例1(1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是________．(2)下列结论：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；⑤用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是球．其中正确结论的序号是________．(3)设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．答案(1)0(2)③⑤(3)①④解析(1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．图1图2(2)这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥，①错；这条腰若不是垂直于两底的腰，则得到的不是圆台，②错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面是显然成立的，③正确；如果用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，则得到的不是圆锥和圆台，④错；只有球满足任意截面都是圆面，⑤正确．(3)命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的．思维升华(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．答案②③④解析①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形．题型二空间几何体的直观图例2 已知△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，且△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求△ABC 的面积．解建立如图所示的坐标系xOy ′，△A ′B ′C ′的顶点C ′在y ′轴上，边A ′B ′在x 轴上，把y ′轴绕原点逆时针旋转45°得y 轴，在y 轴上取点C 使OC ＝2OC ′，A ，B 点即为A ′，B ′点，长度不变．已知A ′B ′＝A ′C ′＝a ，在△OA ′C ′中，由正弦定理得OC ′sin ∠OA ′C ′＝A ′C ′sin 45°，所以OC ′＝sin 120°sin 45°a ＝62a ，所以原三角形ABC 的高OC ＝6a ，所以S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2.引申探究1．若本例改为“已知△ABC 是边长为a 的正三角形，求其直观图△A ′B ′C ′的面积”，应如何求？解由斜二测画法规则可知，直观图△A ′B ′C ′一底边上的高为32a ×12×22＝68a ，故其面积S △A ′B ′C ′＝12a ×68a ＝616a 2.2.本例中的直观图若改为如图所示的直角梯形，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则原图形的面积为________．答案 2＋22解析如图①，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则在Rt △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°， ∴BE ＝22.而四边形AECD 为矩形，AD ＝1， ∴EC ＝AD ＝1.∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1. 由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形．在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，B ′C ′＝22＋1，且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′，∴原图形的面积为S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′＝12×⎝⎛⎭⎫1＋1＋22×2＝2＋22. 思维升华用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连结而画出．如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，C ′D ′＝2 cm ，则原图形是________． ①正方形； ②矩形；③菱形； ④一般的平行四边形．答案 ③解析如图，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42(cm)，CD ＝C ′D ′＝2 cm. ∴OC ＝OD 2＋CD 2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA ＝OC ，∴四边形OABC 是菱形．题型三求空间几何体的表面积例3 (1)(2014·山东)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．答案 12解析由题意知该六棱锥为正六棱锥，∴设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1， ∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.(2)如图，斜三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，底面是边长为a 的正三角形，侧棱长为b ，侧棱AA ′与底面相邻两边AB 与AC 都成45°角，求此斜三棱柱的表面积．解如图，过A ′作A ′D ⊥平面ABC 于D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，连结A ′E ，A ′F ，AD . 则由∠A ′AE ＝∠A ′AF ， AA ′＝AA ′，又由题意知A ′E ⊥AB ，A ′F ⊥AC ，得Rt △A ′AE ≌Rt △A ′AF ， ∴A ′E ＝A ′F ，∴DE ＝DF ， ∴AD 平分∠BAC ，又∵AB ＝AC ，∴BC ⊥AD ，∴BC ⊥AA ′，而AA ′∥BB ′，∴BC ⊥BB ′， ∴四边形BCC ′B ′是矩形，∴斜三棱柱的侧面积为2×a ×b sin 45°＋ab ＝(2＋1)ab . 又∵斜三棱柱的底面积为2×34a 2＝32a 2， ∴斜三棱柱的表面积为(2＋1)ab ＋32a 2.思维升华 (1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；(2)在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和6 cm ，高是32cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积．解 (1)设O 1、O 分别为正三棱台ABC —A 1B 1C 1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O 1O ＝32，过O 1作O 1D 1⊥B 1C 1，OD ⊥BC ，则D 1D 为三棱台的斜高；过D 1作D 1E ⊥AD 于E ，则D 1E ＝O 1O ＝32，因O 1D 1＝36×3＝32，OD ＝36×6＝3，则DE ＝OD －O 1D 1＝3－32＝32. 在Rt △D 1DE 中， D 1D ＝D 1E 2＋ED 2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3(cm)．故三棱台斜高为 3 cm.(2)设c 、c ′分别为上、下底的周长，h ′为斜高， S 侧＝12(c ＋c ′)h ′＝12(3×3＋3×6)×3＝2732 (cm 2)，S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝2732＋34×32＋34×62＝9934(cm 2)．故三棱台的侧面积为2732 cm 2，表面积为9934cm 2.题型四求空间几何体的体积例4 (2015·山东改编)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．答案42π3解析如图，设等腰直角三角形为△ABC ，∠C ＝90°，AC ＝CB ＝2，则AB ＝2 2.设D 为AB 中点，则BD ＝AD ＝CD ＝ 2.∴所围成的几何体为两个圆锥的组合体，其体积V ＝2×13×π×(2)2×2＝42π3.思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(2014·课标全国Ⅱ改编)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为________．答案 1解析在正△ABC 中，D 为BC 的中点，则有AD ＝32AB ＝3， S △DB 1C 1＝12×2×3＝ 3.又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ， AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ， ∴AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1底面上的高．∴V 三棱锥A －B 1DC 1＝13S △DB 1C 1·AD ＝13×3×3＝1.题型五与球有关的切、接问题例5 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________．答案132解析如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52， OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝(52)2＋62＝132. 引申探究1．本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r .又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43，从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π， V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3. 2．本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？解设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π. 3．本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为 (32)2－(12×6)2＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为________．答案 2 解析由题意知，球心在侧面BCC 1B 1的中心O 上，BC 为△ABC 所在圆面的直径，∴∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆圆心N 是BC 的中点，同理△A 1B 1C 1的外心M 是B 1C 1的中点．设正方形BCC 1B 1的边长为x ，Rt △OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x 2，OC 1＝R ＝1(R 为球的半径)， ∴(x 2)2＋(x 2)2＝1，即x ＝2，则AB ＝AC ＝1， ∴S 矩形ABB 1A 1＝2×1＝ 2.15．巧用补形法解决立体几何问题典例如图：△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5.则此几何体的体积为________．思维点拨将所求几何体补成一个直三棱柱，利用棱柱的体积公式即可求得该几何体的体积．解析用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ·AA ′＝12×24×8＝96.答案96温馨提醒(1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法．[方法与技巧]求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法(1)转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．(2)求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．[失误与防范]求空间几何体的表面积应注意的问题(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．A 组专项基础训练(时间：45分钟)1．给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确命题的序号是________．答案 ①2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为________．答案 10解析如图，在五棱柱ABCDE －A 1B 1C 1D 1E 1中，从顶点A 出发的对角线有两条：AC 1，AD 1，同理从B ，C ，D ，E 点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．3．用平面α截球O 所得截面圆的半径为3，球心O 到平面α的距离为4，则此球的表面积为________________________________________________________________________．答案 100π解析依题意，设球半径为R ，满足R 2＝32＋42＝25，∴S 球＝4πR 2＝100π.4．(2015·课标全国Ⅰ改编)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有________斛．答案 22解析由题意知：米堆的底面半径为163(尺)，体积V ＝13×14πR 2·h ≈3209(立方尺)．所以堆放的米大约为3209×1.62≈22(斛)． 5.如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面AB 1C 1，AA 1＝1，底面△ABC 是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为________．答案 2 解析因为AA 1⊥平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，所以AA 1⊥AB 1，又知AA 1＝1，A 1B 1＝2，所以AB 1＝22－12＝3，同理可得AC 1＝3，又知在△AB 1C 1中，B 1C 1＝2，所以△AB 1C 1的B 1C 1上的高为h ＝3－1＝2，其面积S △AB 1C 1＝12×2×2＝2，于是三棱锥A —A 1B 1C 1的体积V 三棱锥A —A 1B 1C 1＝V 三棱锥A 1—AB 1C 1＝13×S △AB 1C 1×AA 1＝23，进而可得此三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积V ＝3V 三棱锥A —A 1B 1C 1＝3×23＝ 2. 6．(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．答案 7解析设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7. 7．(2015·课标全国Ⅱ改编)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为________．答案 144π解析如图，要使三棱锥O-ABC 即C-OAB 的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥COAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O-ABC 最大＝V C-OAB 最大＝13×S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π.8．(2015·盐城一模)一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的体积与球O 的体积的比值为________．答案 932解析设等边三角形的边长为2a ，球O 的半径为R ，则V 圆锥＝13·πa 2·3a ＝33πa 3. 又R 2＝a 2＋(3a －R )2，所以R ＝233a ，故V 球＝4π3·(233a )3＝323π27a 3，则其体积比为932. 9．(教材改编)已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20 cm 和 30 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．解如图所示，三棱台ABC —A 1B 1C 1中，O 、O 1分别为两底面中心，D 、D 1分别为BC 和B 1C 1的中点，则DD 1为棱台的斜高．由题意知A 1B 1＝20，AB ＝30，则OD ＝53，O 1D 1＝1033，由S 侧＝S 上＋S 下，得3×12×(20＋30)×DD 1＝34×(202＋302)，解得DD 1＝1333，在直角梯形O 1ODD 1中， O 1O ＝DD 21－(OD －O 1D 1)2＝43，所以棱台的高为4 3 cm.10.如图所示，已知E 、F 分别是棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱A 1A 、CC 1的中点，求四棱锥C 1—B 1EDF 的体积．解方法一连结A 1C 1，B 1D 1交于点O 1，连结B 1D ，EF ，过O 1作O 1H ⊥B 1D 于H .∵EF ∥A 1C 1，且A 1C 1⊄平面B 1EDF ，∴A 1C 1∥平面B 1EDF .∴C 1到平面B 1EDF 的距离就是A 1C 1到平面B 1EDF 的距离．∵平面B 1D 1D ⊥平面B 1EDF ，平面B 1D 1D ∩平面B 1EDF ＝B 1D ，∴O 1H ⊥平面B 1EDF ，即O 1H 为棱锥的高．∵△B 1O 1H ∽△B 1DD 1，∴O 1H ＝B 1O 1·DD 1B 1D ＝66a . ∴VC 1—B 1EDF ＝13S 四边形B 1EDF ·O 1H ＝13·12·EF ·B 1D ·O 1H ＝13·12·2a ·3a ·66a ＝16a 3. 方法二连结EF ，B 1D .设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2，则h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a . 由题意得，VC 1—B 1EDF ＝VB 1—C 1EF ＋VD —C 1EF＝13·S △C 1EF ·(h 1＋h 2)＝16a 3. B 组专项能力提升(时间：30分钟)11．已知某圆锥体的底面半径r ＝3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是________．答案 36π解析由已知沿圆锥体的母线把侧面展开后得到的扇形的弧长为2πr ＝6π，从而其母线长为l ＝6π2π3＝9，从而圆锥体的表面积为S 侧＋S 底＝12×9×6π＋9π＝36π. 12．三棱锥P —ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D —ABE 的体积为V 1，P —ABC的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 答案 14解析 V 1＝V D —ABE ＝V E —ABD ＝12V E —ABP ＝12V A —BEP ＝12×12V A —BCP ＝12×12V P —ABC ＝14V 2. 13．已知圆台的母线长为4 cm ，母线与轴的夹角为30°，上底面半径是下底面半径的12，则这个圆台的侧面积是________cm 2.答案 24π解析如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面，由题意知AC ＝4 cm ，∠ASO ＝30°，O 1C ＝12OA ，设O 1C ＝r ，则OA ＝2r ，又O 1C SC ＝OA SA＝sin 30°，∴SC ＝2r ，SA ＝4r ， ∴AC ＝SA －SC ＝2r ＝4 cm ，∴r ＝2 cm.∴圆台的侧面积为S ＝π(r ＋2r )×4＝24π cm 2.14．(2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．(1)证明因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)解设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝32x，GB＝GD＝x2.因为AE⊥EC，所以在Rt △AEC中，可得EG＝32x. 由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝22x.由已知得，三棱锥EACD的体积V EACD＝13×12AC·GD·BE＝624x3＝63.故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝ 6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 5.故三棱锥EACD的侧面积为3＋2 5.15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝3，在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N)，将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．解 (1)如图，连结OM ，则OM ⊥AB ，设OM ＝r ，OB ＝3－r ，在△BMO 中，sin ∠ABC ＝r 3－r ＝12⇒r ＝33. ∴S ＝4πr 2＝43π. (2)∵△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝3， ∴AC ＝1.∴V ＝V 圆锥－V 球＝13π×AC 2×BC －43πr 3 ＝13π×1×3－43π×39＝5327π.。

高一数学立体几何-解析几何复习

立体几何部分复习一、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。

⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”。

⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。

⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。

四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面5、果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法90角1、定义：成2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法1、定义：两面成直二面角,则两面垂直2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质1、二面角的平面角为︒902、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围1、异面直线所成的角的取值范围是：︒0θ(]︒︒90<≤,︒902、直线与平面所成的角的取值范围是：︒︒900θ[]︒≤≤,︒903、斜线与平面所成的角的取值范围是：︒︒900θ(]︒<≤,︒904、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：︒0θ(]︒︒180<≤︒180,十．空间角的计算：总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．1.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；2.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。

高一数学立体几何初步期末复习

高一数学立体几何初步期末复习教学目的1. 复习《立体几何初步》的相关知识及基本应用2. 掌握典型题型及其处理方法教学重点、难点《立体几何初步》的知识梳理和题型归类以及重点题型的处理方法知识分析1. 多面体的结构特征对于多面体的结构要从其反应的几何体的本质去把握，棱柱、棱锥、棱台是不同的多面体，但它们也有联系，棱柱可以看成是上、下底面全等的棱台；棱锥又可以看作是一底面缩为一点的棱台，因此它们的侧面积和体积公式可分别统一为一个公式。

2. 旋转体的结构特征旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的，一定要弄清圆柱、圆锥、圆台、球分别是由哪一种平面图形旋转生成的，从而可掌握旋转体中各元素的关系，也就掌握了它们各自的性质。

3. 表面积与体积的计算有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式法为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素。

4. 三视图与直观图的画法三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化。

5. 直线和平面平行的判定方法（1）定义：a a αφα=⇒I P ；（2）判定定理：a b a b a ////，，⊄⊂⇒ααα；（3）线面垂直的性质：b a b a a ⊥⊥⊄，，，ααα//(用的少)；（4）面面平行的性质：αβαβ////，a a ⊂⇒。

6. 线线平行的判定方法（1）定义：同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线；（2）公理4：a b b c a c //////，，⇒；（3）平面几何中判定两直线平行的方法，如三角形（梯形）中位线定理，平行四边形性质；（4）线面平行的性质：,,a a b a b αβαβ⊂=⇒P I P ；（5）线面垂直的性质：a b a b ⊥⊥⇒αα，//；（6）面面平行的性质：,,a b a b αβαγβγ==⇒P I I P 。

人教版高中数学必修立体几何复习课件(共102张PPT)

1 1
1
11.已知某个几何体的三视图如图2，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是_____8_0__0.0 cm 3
3
2 0 20
主视图
10
10
2 俯0视图
2 侧0视图
第二章点、直线、平面之间的位置关系
• 四个公理
直线与直线位置关系 • 三类关系直线与平面位置关系
平面与平面位置关系
（3）
a a
// b
b
（较常用）；
（4）
a
//
a
；
（5）
a a
b
a
（面面垂直线面垂直）
a b
4.面面垂直
向的侧视图（或称左视图）为（
A
A
H
G
Q
B
C
侧视 B
）A
C
I
P
E
图1
F
B
D
E
D
图2
F
B
B
B
E A．
E B．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E C．
E D．
练习10：(1)如图是一个空间几何体的三
视图，如果直角三角形的直角边长均为
正视图侧视图
1，那么几何体的体积为( ) C
A．1 B．1 C． 1 D．1
俯视图
2
3
6
V1 3S底 h1 31111 3
②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；
符号表述： a,b , a b O, a //,b // //
//
③面面平行的性质定理：
a
a
//

高一数学立体几何知识点总结7篇

高一数学立体几何知识点总结7篇第1篇示例：立体几何作为数学的一个分支，是数学中非常重要的一部分。

在高一数学学习中，立体几何是一个很重要的知识点，也是考试中常常会涉及到的内容。

合理掌握立体几何知识，不仅可以帮助我们在数学课上更好地理解和应用知识，还可以培养我们的逻辑思维能力和空间想象力。

下面就让我们来总结一下高一数学中关于立体几何的知识点。

在学习立体几何时，首先要了解的是基本的立体几何图形，包括立方体、正方体、长方体、正四面体、正六面体等。

这些基本的立体几何图形有着特定的性质和表达方式，通过学习这些基本图形，可以帮助我们更好地理解和运用其他立体几何知识。

在学习立体几何时，我们经常会涉及到计算立体几何图形的表面积和体积。

对于不同的立体几何图形，计算表面积和体积的方法也有所不同。

对于长方体，其表面积等于底面积乘以高，体积等于底面积乘以高；对于球体，其表面积等于4πr²，体积等于4/3πr³。

通过掌握这些计算方法，可以帮助我们更方便地解决与立体几何相关的问题。

在学习立体几何时，我们还要注意到空间三角形与四面体的关系。

在空间中，三个平面的交点构成一个空间三角形，而四个平面的交点构成一个四面体。

通过研究空间三角形与四面体之间的关系，我们可以更好地理解空间中的几何图形，提高我们的空间想象力和几何推理能力。

在学习立体几何时，我们还经常会遇到平行投影、垂直投影等概念。

平行投影是指将一个三维图形沿着特定的方向投影到一个平面上，而垂直投影是指将一个三维图形垂直于某一平面的方向投影到这一平面上。

通过学习平行投影和垂直投影的方法，我们可以更好地理解和描述立体几何图形的形状和结构。

第2篇示例：高一数学立体几何知识点总结立体几何几乎是高中数学中最为重要和有趣的一个分支。

立体几何是研究三维空间中图形的形状、大小、位置和运动关系的数学学科。

在高一数学中，学生会学习关于三维空间中的点、线、面以及各种立体图形的性质和运用。

高中数学立体几何知识点总结(超详细)

立体几何知识梳理一、空间几何体（一）空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体．其中，这条直线称为旋转体的轴．（二）几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱． 1.2 棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3 棱柱的面积和体积公式ch S 直棱柱侧（c 是底周长，h 是高）S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h2 、棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义（1）棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形图1-1 棱柱2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；Ⅲ、两个特征三角形：（1）POH ∆（包含棱锥的高、斜高和底面内切圆半径）；（2）POB ∆（包含棱锥的高、侧棱和底面外接圆半径）正棱锥侧面积：1'2S ch =正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高）体积：13V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高）正四面体：各条棱长都相等的三棱锥叫正四面体对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题．对棱间的距离为a 2（正方体的边长）正四面体的高a 6（正方体体对角线l 32=）正四面体的体积为32a （正方体小三棱锥正方体V V V 314=-）正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1（正方体体对角线正方体体对角线：l l 2161=） 3 、棱台的结构特征3.1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台． 3.2 正棱台的结构特征（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；（2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；（3）正棱台的对角面也是等腰梯形；（4）各侧棱的延长线交于一点． 4 、圆柱的结构特征4.1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲ABC D POH面所围成的几何体叫圆柱．4.2 圆柱的性质（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；（2）过轴的截面(轴截面)是全等的矩形．4.3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形．4.4 圆柱的面积和体积公式S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高)V圆柱= S底h = πr2h5、圆锥的结构特征5.1 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．5.2 圆锥的结构特征（1）平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；（2）轴截面是等腰三角形；图1-5 圆锥（3）母线的平方等于底面半径与高的平方和：l2 = r2 + h25.3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形．6、圆台的结构特征6.1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台．6.2 圆台的结构特征⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；⑵圆台的截面是等腰梯形；⑶圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究．6.3 圆台的面积和体积公式S圆台侧= π·(R + r)·l (r、R为上下底面半径)V圆台= 1/3 (π r2+ π R2+ π r R) h (h为圆台的高)7 球的结构特征7.1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体．空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体．7-2 球的结构特征⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面；⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r 2 = R 2 – d 2 ⑶注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；球外切正方体，球直径等于正方体的边长． 7-3 球的面积和体积公式S 球面 = 4 π R 2 (R 为球半径)； V 球 = 4/3 π R 3 （三）空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积：222S rl r ππ=+圆锥的表面积：2S rl r ππ=+圆台的表面积：22S rl r Rl R ππππ=+++球的表面积：24S R π= 空间几何体的体积柱体的体积：V S h =⨯底；锥体的体积：13V S h =⨯底台体的体积：1)3V S S h =++⨯下上（；球体的体积：343V R π=斜二测画法：（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；二、点、直线、平面之间的关系（一）、立体几何网络图：1、线线平行的判断：（1）平行于同一直线的两直线平行．（3）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．（6）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．（12）垂直于同一平面的两直线平行．2、线线垂直的判断：（7）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．（8）三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直．如图，已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面α内一条直线．①三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA．即垂直射影则垂直斜线．②三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA．即垂直斜线则垂直射影．（10）若一直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面内所有直线．补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条．3、线面平行的判断：（2）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（5）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．判定定理：性质定理：★判断或证明线面平行的方法⑴利用定义(反证法)：lα=∅，则l∥α (用于判断)；⑵利用判定定理：线线平行线面平行(用于证明)；⑶利用平面的平行：面面平行线面平行(用于证明)；⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)．2线面斜交和线面角：l∩α = A2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ．2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°]注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°；当直线垂直于平面时，θ=90°4、线面垂直的判断：（9）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面．（11）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（14）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．（16）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面．判定定理：性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线．即：（2）垂直于同一平面的两直线平行．即：★判断或证明线面垂直的方法⑴利用定义，用反证法证明．⑵利用判定定理证明．⑶一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面．⑷一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个．⑸如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面．5、面面平行的判断：（4）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行．（13）垂直于同一条直线的两个平面平行．6、面面垂直的判断：（15）一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直．判定定理：性质定理：（1）若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；（2）（二）、其他定理结论：（1）确定平面的条件：①不共线的三点；②直线和直线外一点；③两条相交直线；④两条平行直线；（2）直线与直线的位置关系：相交；平行；异面；直线与平面的位置关系：在平面内；平行；相交（垂直是它的特殊情况）；平面与平面的位置关系：相交；；平行；（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短．（5）最小角定理：斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角．（6）异面直线的判定：①反证法；②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线．（7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内．（8）如果—直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线．（三）、唯一性定理结论：（1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直．（2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行．（3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行．四、空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）（1）异面直线所成的角：平移转化，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线o o（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为o 0； ②线面垂直：线面所成的角为o 90；③斜线与平面所成的角：射影转化，即转化为斜线与它在平面内的射影所成的角．o o 线面所成的角范围090o o α≤≤ （3）二面角：关键是找出二面角的平面角，o o α≤<；五、距离的求法：（1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长．求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算．注意：求点到面的距离的方法：①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）； ②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）； ③体积法：利用三棱锥体积公式．。

高中数学立体几何专题复习

图2侧视图俯视图正视图4x33x4DCBA侧视图正视图立体几何专题(一)一、三视图考点透视：①能想象空间几何体的三视图，并判断（选择题） ②通过三视图计算空间几何体的体积或表面积③解答题中也可能以三视图为载体考查证明题和计算题④旋转体（圆柱、圆锥、圆台或其组合体）的三视图有两个视图一样。

⑤基本几何体的画法，如：三棱柱（侧视图）、挡住的注意画虚线。

1. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的体积为85123π+，则正视图中x 的值为 A. 5 B . 4 C. 3 D . 22. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图）、侧视图（又称左视图）如右图所示，则其俯视图为c3．如图4，已知一个锥体的正视图（也称主视图），左视图（也称侧视图）和俯视图均为直角三角形，且面积分别为3，4，6，则该锥体的体积是 4 ．4. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A ．63B ．93C ．123D ．1835、已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)，其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形.已知D 是正视图左视图俯视图图4_3 _3 这个几何体的棱11C A 上的中点。

（Ⅰ）求出该几何体的体积；（Ⅱ）求证：直线11//BC AB D 平面； (Ⅲ)求证:直线11B D AA D ⊥平面.二、直观图掌握直观图的斜二测画法：①平行于两坐标轴的平行关系保持不变；②平行于y 轴的长度为原来的一半，x 轴不变；③新坐标轴夹角为45°。

6、如图，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图(斜二测)，若A 1D 1∥O 1y 1，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝2，C 1D 1＝3，A 1D 1＝1，则梯形ABCD 的面积是( ) A ．10 B ．5 C ．5 2D ．102三、表面积和体积不要求记忆，但要会使用公式。

高一期末复习：第一部分立体几何初步

【同步教育信息】一. 本周教学内容：高一期末复习：第一部分立体几何初步二、教学目的：1、梳理各单元基本知识2、总结各单元基本题型及各基础知识的基本应用三、知识分析：【本章知识网络】【本章学法点拨】1、必须明确本章内容的复习目标（1）联系实际，从实图下手，加强由模型到图形，再由图形到模型的基本训练，有序地建立图形、文字、符号这三种数学语言的联系，能由一种语言转释成另外两种语言，逐步达到融会贯通的程度．（2）准确理解和系统掌握空间直线和平面的各种位置关系（特别是平行与垂直的位置关系），能够运用概念、公理、定理等进行严密的推理判断和逻辑论证．（3）正确理解空间的各种角和距离的概念，能将其转化为平面角和线段的长度，并能熟练地运用平面几何及三角知识来计算．（4）通过图形能迅速判断几何元素的位置关系，能熟练绘制符合要求的空间图形的直观图、截面图，熟练地处理折叠、截面的问题．但要注意立体几何中的示意图不反映元素关系的真实结构，逻辑论证仍是关键．（5）理解用反证法证明命题的思路，会证一些简单的问题．2、要掌握解题的通法，推理严谨，书写规范（1）转化法是空间直线和平面的位置关系的判断与证明的常用方法，线线关系（主要指平行和垂直）、线面关系、面面关系三者中，每两者都存在着依存关系，充分、合理地运用这些关系是解题的关键；另外，转化法还常常运用在求距离时点的位置的变化，以及线面距、面面距间的转化；（2）求角或距离的步骤是“一作、二证、三计算”，即先作出所求角或表示距离的线段，再证明它就是所要求的角或距离，然后再进行计算，尤其不能忽视第二步的证明．专题一几种简单几何体的结构一、棱柱的结构特征观察下图可以看出，上面各图中都有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形．1、定义一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．2、棱柱的分类底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……3、棱柱的记法（1）用表示底面各顶点的字母表示棱柱．如图（1）可表示为棱柱ABCD—A1B1C1D1；图（2）可表示为棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1；图（3）可表示为棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1．（2）用棱柱的对角线表示棱柱．如图（1）可表示为棱柱AC1或棱柱BD1等；图（2）可表示为棱柱AC1或棱柱AD1或棱柱AE1等；图（3）可表示为棱柱AC1或棱柱AD1等．二、棱锥的结构特征观察下图，可以看出，上面三个图中的共同特点：（1）均由平面图形围成；（2）其中一个面为多边形；（3）其他各面都是三角形；（4）这些三角形有一个公共顶点．1、定义一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．棱锥是多面体中重要的一种，它有两个本质特征：（1）有一个面是多边形；（2）其余的各面是有一个公共顶点的三角形．两者缺一不可，因此棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形，但是也要注意：“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体未必是棱锥．2、棱锥的分类底面为三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫做四面体．3、棱锥的记法（1）用顶点和底面各顶点的字母表示．如图（4）可记为三棱锥P—ABC；图（5）可记为四棱锥P—ABCD；图（6）可记为五棱锥P一ABCDE等．（2）用对角面表示．如图（5）可记为四棱锥P—AC；图（6）可记为五棱锥P—AC等．三、圆柱的结构特征观察图（7）可知：它有两个互相平行的平面，且这两个“平面”是等圆．图形可以看作是矩形AOO'A'绕OO' 旋转而成的．1、定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．2、圆柱的记法用表示它的轴的字母表示，如图（7）可记为圆柱OO'．四、圆锥的结构特征观察图（8）可以看出：它有一个圆面，一个顶点，其他为曲面；可看作是直角△AOS 绕其直角边OS旋转而成的．1、定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥． 2、圆锥的记法用表示它的轴的字母表示．如图（8）的圆锥可记为圆锥SO ．五、圆台和棱台的结构特征观察图（9）（10）可以看出图形是由平行于底面的平面去截锥体而得到的．1、定义用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分所构成的几何体叫做棱台（圆台）。

高一数学立体几何知识点总结7篇

高一数学立体几何知识点总结7篇第1篇示例：立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的对象是三维空间中的几何形体，主要包括立体的表面积和体积计算、几何体的投影与截面等内容。

在高中数学中，学生对立体几何的学习主要集中在高一阶段，下面就来总结一下高一数学立体几何知识点。

我们来看一下立体几何中最基本的概念——几何体。

几何体包括了各种三维图形，比如立方体、长方体、正方体、棱柱、棱锥等等。

在学习过程中，需要掌握不同几何体的特点、视图与展开图的绘制方法，以及它们的表面积与体积的计算公式。

投影与截面是立体几何中比较抽象和复杂的内容。

在学习过程中，需要理解正投影、斜投影和侧视图等概念，能够根据已知条件求解投影方向和位置。

截面是指几何体被平面切割后的截断部分，学生需要掌握不同截面形状的特点和计算方法。

接着，几何体的表面积和体积是立体几何中比较实用和重要的知识点。

对于不同形状的几何体，其表面积和体积的计算方法也有所不同。

对于棱柱和棱锥，我们可以利用底面积和高度来计算表面积和体积；而对于球体和圆柱体，则需要掌握相应的计算公式。

在解决立体几何问题时，需要运用数学知识和逻辑推理能力，灵活运用几何相关的定理和公式进行推导和计算。

要培养学生的空间想象能力和几何直觉，通过练习和实践来提高解决问题的能力。

高一数学立体几何知识点涵盖了几何体、投影与截面、表面积与体积等多个方面，是数学学习中一个重要且有趣的部分。

通过系统学习和理解，可以帮助学生建立扎实的几何基础，提高数学解决问题的能力，为将来更深入的数学学习打下坚实的基础。

希望同学们能够认真对待立体几何的学习，不断提升自己的数学水平，取得更好的学习成绩。

【以上内容仅供参考】。

第2篇示例：立体几何是数学中非常重要的一个分支，它研究的是三维空间中的几何图形和相关性质。

在高中阶段的数学教学中，立体几何是一个重要的内容之一，学生需要掌握各种几何图形的性质、空间作图和计算等知识点。

下面将对高一数学中的一些重要立体几何知识点进行总结，希望对同学们的学习有所帮助。

高一数学复习知识：立体几何

高一数学复习知识：立体几何1、柱、锥、台、球的结构特征1棱镜：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底部多边形的边数为分类标准，分为三棱镜、四棱镜、五棱镜等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两个底部是具有平行对应边的全等多边形；两边和对角线平面都是平行四边形；侧边平行且相等；与底部平行的部分是与底部一致的多边形。

2棱锥定义：一个面是多边形，其他面是具有公共顶点的三角形，以及由这些面包围的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：使用每个顶点字母，例如金字塔几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

3棱镜：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底部多边形的边数为分类标准，分为三棱镜、四棱镜、五棱镜等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：① 上下底面是相似的平行多边形；② 侧面为梯形；③ 侧边与原始棱锥体的顶点相交4圆柱：定义：由矩形一侧和其他三条边旋转形成的曲面包围的几何体几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

5锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：① 底部是一个圆圈；② 母线与圆锥的顶点相交；③ 侧面扩张是一个部门。

6圆台：定义：使用平行于圆锥体底部的平面切割截面和圆锥体底部之间的零件几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

7.球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：① 球的横截面是一个圆；② 从球体上的任意点到球体中心的距离等于半径。

空间几何体的三视图定义三个视图：前视图是光从几何体的前面到后面的正交投影；侧视图是从左到右，俯视图是从上到下注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

高一立体几何基础复习

PADCBE高一立体几何基础复习一、平行专题1.如图，正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，求证：1A B //平面1ADC ．2．如图，在底面为平行四边行的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC3.如图，E F O 、、分别为，，的中点，是的中点，求证：平面4，如图,在四棱锥O-ABCD 中,地面ABCD 是边长为2的菱形,OA ⊥底面ABCD,2OA =,M 为OA 的中点,N 为BC 的中点,o 60ABC ∠=｡直线//MN 平面OCD;二、垂直1如图,四边形ABCD 为矩形,PD ⊥平面ABCD ,PD=DC ,E 是PC 的中点. 证明:DE ⊥平面PB C ．2. 直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠= ，12AB AC AA ===，M N 、分别是1BC CC 、的中点，求证：1B M⊥平面AMN ；PA PB AC G OC //FGBOE BDABCA 1B 1C 1EFG3.如图，在直三棱柱中，点在上，。

求证：平面1ACD 平面.4.如图，正三棱柱111ABC A B C -中，是的中点，．求证：直线；5如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11,,AB BC BC BC AB BC ⊥⊥=，,,E F G 分别为线段1111,,AC AC BB 的中点，求证：（1）平面ABC ⊥平面1ABC ; （2）GF ⊥平面11AB C三、综合题1如图在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD.（Ⅰ）证明：BD ⊥PC ；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD 的体积.2如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DF AB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高.（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，AD =，1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .111ABC A B C -D 11B C 11A D B C⊥⊥11BB C C D BC AB a =111A D BC⊥三视图综合练习题第1题图第2题图第3题图第4题图1.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A.9πB.10πC.11π D ．12π2.已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 3.如图是一个多面体的三视图，则其全面积为( )ABCD4.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为( )A ．B ．C ．D ．第5题图第6题图第7题图第8题图 5.如果一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是( )A.20+42B.21C.24+42D.246.一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（）A ．372B ．360C ．292D ．2807.图中的三个直角三角形是一个体积为20cm 3的几何体的三视图，则h=cm 。

高一数学 立体几何专题复习