波动方程推导过程 ppt课件

机械波波动方程ppt课件

2
1
( t2
t1
)
t
T
2
T是波在时间上的周期性的标志20
3.如x,t 均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形
t时刻的波形方程
y(
x
)
A cos[ (
t
x u
)0]
y
u t t t
t+t时刻的波形方程
O
x
y(
x
)
A cos[ (
t
t
x u
)
0]
x x
t时刻,x处的某个振动状态经过t ，传播了x的距离
y Acos[(t
x u
)
0
]
或
y
Acos[2 ( t
T
x)
0 ]
y
Acos[ 2 t
2x
)0
]
y
A cos[
2
(
ut
x
)
0
]
Acos[
k(
ut
x
)0]ຫໍສະໝຸດ k 2 波矢，表示在2 长度内所具有的完整波的
数目。
16
质点的振动速度，加速度
v y Asin[(t x) ]
t
u
a
2 t
y
2
y
A cos[ (
t
x u
)
0
]
求t 的二阶导数
2y t 2
A
2
cos[ (t
x u
)
0
]
求x的二阶导数
2y x 2
2
A u2
cos[ (t
x u
)
0
]
1 u2

平面简谐波的波动方程.ppt

0 ]
任意一质点为坐标原点的波动方程
一平面波在介质中以速度u=20m/s沿直线传播，
已知A的振动方程为
yA 3cos(4，写t)出分别以
A、B点为坐标原点的波动方程。
8m 5m 9m
u
C BA
D
x
解：已知u=20m/s，ω=4π，
T 2 0.5s
A点

yA 3cos(4 t)
（1）O点振动方程
yO

0.1cos(200
t

3 2

以O点为原点的波动方程 y 0.1cos[200
) (
t

x) 400

3 2

]
（2）写出距原点为2m处的质点P的振动方程及以此点为
原点的波动方程；
解：(2)由波动方程可得P (x=2m )处的振动方程：
yP

0.1cos[200 (t
对同一质点，相邻两个时刻位相差为：

(t2
t1)

2
T
t
时间周期性
时间周期性
y
t T
对同一质点，相邻两个时刻位相差为：
(t2
位移差与位相差
t1)

2
T
t
Δt T 2T 3T 4T 5T … Δφ 2π 4π 6π 8π 10π …
6.2 平面简谐波的波动方程
2、波动方程物理意义_3
2、波动方程物理意义_行波
例题
x ut
由图可知：x 处 t 时刻振动状态经Δt ，传播到x+Δx 处；即 t 时刻x 处振动状态与t +Δt 时刻x+Δx 处振动状态完全相同。

2020年高中物理竞赛辅导课件(振动和波基础篇)06波动方程(共13张PPT)

x u
)+j
t = t 1+Δ t y´= A cos ω ( t 1+Δ t
x u
)+j
y
..
y y´ 1
O x ut
t
x´
令 y1=y´ 得：x ´= x +uΔ t 这表示相应于位移y1的相位，向前传播了
uΔt的距离。
三、波动方程的一般形式
y = A cos ω ( t
x u
)+j
质点的振动速度：
可以证明对于无吸收的各向同性的均匀介质，在三维空间传播的一切波动过程
都满足下列方程：
ξ2
ξ2
ξ2
1 ξ2
x 2 + y 2 + z 2 = u2 t 2
ξ 质点的位移
谢谢观看！
二、波动方程的物理意义
1. x =x 1 (常数)
y = A cos ω ( t
x1 u
)+j
y
o
t
表示 x1 处质点的振动方程
2. t = t 1 (常数) y
o
x
y = A cos ω ( Fra bibliotek 1x u
)+j
表示在 t 1 时刻的波形
3. t 与 x 都发生变化
t = t1
y1 = A cos ω ( t 1
平面简谐波的波动方程为:
y = A cos ω ( t
x u
)+j
y
=
A cos
2π
(
t T
x
l
)+j
波动方程的另外几种形式：
y = A cos 2π (n t

《机械波波动方程》课件

04 机械波的应用
机械波在声学中的应用
声波传播
机械波在声学中用于描述声波的传播规律，包括声音的传播速度、衰减和反射等。
声音合成与处理
通过控制机械波的波形和频率，可以实现声音的合成与处理，如音频信号的调制、滤波和混响等。
声呐技术
利用机械波在介质中的传播特性，声呐技术可用于探测水下目标、测量水深和流速等。
和计算效率。
开展跨学科的研究合作，将机械波波动方程与流体力学、电磁学等领域进行交叉融合，以拓展其应用领域和研究范围。
加强机械波波动方程在各领域的应用研究，探索其在新能源、新材料、生物医学等领域的
应用前景。
注重人才培养和学术交流，加强国内外学术合作与交流，推动机械波波动方程领域的不断发展。
通过研究机械波波动方程，可以深入理解波动现象的内在规律和机制，为工程技术和科学研究提供重要的理论支撑。
机械波波动方程在声学、地震学、波动成像等领域有着广泛的应用，对于这些领域的发展起着至关重要的作用。
机械波波动方程未来的研究方向和展望
深入研究机械波波动方程的求解方法和数值模拟技术，以提高对复杂波动现象的模拟精度
程
波动方程是通过将牛顿第二定律应用于波的传播过程而建立的。它描述了波在传播过程中，各点的位移如何随时间变化。
波的传播过程
波在传播过程中，各点的振动状态会以波的形式传播出去。这种传播过程可以用波动方程来描述。
波的叠加过程
当两个或多个波相遇时，它们会相互叠加，产生干涉、衍射等现象。这些现象也可以通过波动方程来描述。
THANKS
波动方程的物理量
波动方程中的物理量
在波动方程中，通常包含位移、速度、加速度、时间等物理量。这些物理量描述了波在空间和时间中的传播和变化。

波动方程和行波法PPT课件

33
第33页/共118页
第一类边界条件(Dirichlet边界条件)：直接规定所研究的物理量在边界上的数值
u f
u(x, y, z, t) (x0 ,y0 ,z0 ) f (x0 , y0 , z0 , t)
其中 f (x0 , y0 , z0 , t) 为已知函数。
34
第34页/共118页
F (t )集中地
作用于
x 点，这就成了弦的折点。在点 0
x0
斜率
u
的左极限
x
ux (x0 0, t) 不同于右极限
u ux (x0 0, t) ，因而 xx 不存在,
38
第38页/共118页
utt a2 u xx 0 在这一点无意义.如果,将 l 分成 x x0 ， x x0 两段分别考虑，
第24页/共118页
对乐器来讲，意味着弦绷的越紧，波速越大；弦的质料越密，波速越小。
上式 utt a2uxx f 中,外力 f
消失，即
f 0
则得弦的自由横振动方程：
utt a2uxx
25
第25页/共118页
注意：上述推导过程中，并没有考虑重力。不仅弦振动，一维波动方程，如弹性杆的横振动。二维波动方程，如薄膜的横振动方程，管道中小振动的传播，理想传输线的电报方程等均可用上述波动方程描述。故称为一类方程，即波动方程。（也是称其为泛定方程的远大）可描述一类物理现象。流体力学与声学中推导三维波动方程，这里不再一一推导。
持静止。绷紧后，相邻小段之间有拉力，这种拉力称为弦中的张力，张力沿线的切线方向。
9
第9页/共118页
由于张力的作用，一个小段的振动必带动它的邻段，邻段又带动它自己的邻段，这样一个小段的振动必然传播到整个弦，这种振动的传播现象叫作波。弦是轻质弦（其质量只有张力的几万分之一）。跟张力相比，弦的质量完全可以略去。

大学物理第二章行波波动方程.ppt

4. 波速 u
振动状态或振动位相的传播速度，也称相速度
波速的大小决定于媒质的性质，
(1) 固体中的横波
(2) 固体棒中的纵波
u
G
u E
G — 切变模量
E — 杨氏弹性模量 — 体密度
∵G < E, 固体中ｕ横波 <ｕ纵波
(3) 弹性绳上的横波 (4) 流体中的声波
u T
T— 绳的初始张力, — 绳的线密度
0
a
波函数给出了x＝x0 处质元作简谐振动的表达式
y Acos( t 2 x )
a
2) 当 t 一定时，即对于某一确定时刻（ t ＝ t0 ）。
y Acos( t 2 x )
0
a
波函数给出了t0 时刻各个质元离开平衡位置的位移 3) 当x、t 变化时，
波函数给出了任意 x 处质元在任意 t 时刻
二．描述波的物理量
1. 周期 T、频率 ν
波是机械振动的传播，在传播的过程中，媒质的各个质元都在平衡位置附近作机械振动。由于振动具有时间上的周期性，所以波也具有时间上的周期性，即每隔一定的时间，媒质中各质元的振动状态都将复原。媒质中振动状态复原时所需的最短时间，也即质元完成一次全振动的时间叫波的周期，周期的倒数叫频率。
▪ 波形曲线上两相邻波峰或波谷之间的距离等于一个波长，表示一个周期内波传播的距离。
y Acos( t 2 x )
a
y
u→
A
t
o -A
λ
x
t＋Δt
▪ 不同时刻对应有不同的波形曲线
§2.4 波动方程
y Acos( t 2 x )
a
1. 波动方程的运动学推导
将平面简谐波的波函数分别对 t 及 x 求两次偏导数

波动方程第二章PPT课件

A0 α
σn
▪ 正应力亦称作直应力，以σ或σn表示。
▪ 正应力可以是压应力，也可以是张应力。
▪ 正应力符号规定：
• 压应力为正 • 张应力为负 • 与材料力学中的规定相反
精选PPT课件
9
剪应力
Aα σα
A0 α τ
▪ 剪应力亦称作切应力，以τ或 σs表示。可分解为x和y方向的两个互相垂直的切应力分量 σxn和σyn。
精选PPT课件
21
2.2.4 应变分析
一个点在所有方向上的无穷小伸长度就构成了该点的应变状态。研究应变时，必须假设形变是很小的，即
2 固体弹性力学的基本理论
本章包括：
▪ 应力分析 ▪ 应变分析 ▪ 应力与应变关系,弹性参数弹性 ▪ 弹性波的波动方程：Navier方程、纵波传
播方程、横波传播方程
精选PPT课件
1
2 固体弹性力学的基本理论
▪ 地震波可视为弹性波。
▪ 弹性波在弹性介质中传播时，波经过的介质产生两种类型的变化——
▪ 内部应力的重新分布；
➢ 应力定义为单位面积上所受的内力。应力并不是一个力，因为它的量纲不是力而是单位面积上的力。
精选PPT课件
5
2.1 应力分析
▪ 应力的方向与作用力的方向一致 ▪ 应力的大小
• σ= P(作用力) / A( 面积) • 或dP / dA（当应力分布不均匀时）
▪ 对应力概念其它方式的理解
• 力的强度 • 类似的表达：压强，密度 …
▪ 剪应力符号规定：
• 使物体沿逆时针方向旋转的剪应力为正
• 使物体沿顺时针方向旋转的剪应力为负
• 与材料力学中的规定相反
精选PPT课件

第六章弹性波波动方程及其解ppt课件

又 • u • uS 0

2

代入纳维方程 ( )( • u ) u f u

uS f uS

2 2
VS uS f uS
2

vs

结论：在均匀各向同性弹性体内，切变扰动以速度VS向
(4)
(5)
式u j , ji (ui , jj u j ,ij ) f i ui即为位移在弹性体
内传播时所满足的方程 .称为纳维 ( Navier)方程.
纳维方程是线性弹性假设条件下得到的各向同性弹性体中
的弹性波最基本方程。
指标表示的纳维方程 ( )u j , ji ui , jj f i ui
§6.1 线性弹性动力学的基本方程
1.
基本方程
➢
➢
运动微分方程 ji , j
几何方程
1
eij (ui , j u j ,i )
2
2 ui
f i 2
t
u1
e11
x1
u2
e22
x2
u
e33 3
x3
1 u1 u2
e12 (

)
2 x2 x1
v p t
上式表示波场是以速度VP向外传播的无旋场。

转动矢量表示的横波方程

2
( )( • u ) u f u两边取旋度

2

(

u
)
( )( ( • u )) 2 ( u ) ( f )

高中物理奥林匹克竞赛专题--波的产生-波动方程(共44张PPT)

32200u0041004ms第十五章机械波002001cos2000005yxt001cos200025yxt0440xx第十五章机械波一平面简谐波以速度沿直线传播波线上点a的简谐运动方程5m9m8m第十五章机械波5m9m第十五章机械波3写出传播方向上点c点d的简谐运动方程5m9m的相位比点a超前第十五章机械波4分别求出bccd两点间的相位差10225m9m练习十一第十五章机械波三波的能量能流密度1波动是能量的传播当机械波在媒质中传播时媒质中各质点均在其平衡位置附近振动因而具有振动动能
第五章机械波
波动是振动的传播过程.
振动是激发波动的波源.
波动
机械波机械振动在弹性介质中的传播. 电磁波交变电磁场在空间的传播.
两
类机械波的传播需
波的
有传播振动的介质;
不同
电磁波的传播可
之不需介质.
处
两类
能量传播
波反射
的共
折射
同干涉
特征
衍射
15 – 8 多普勒效应
特征：具有交替出现的密部和疏部.
15 – 8 多普勒效应
三波长、波的周期和频率、
x
-A

波长：沿波的传播方向，两个相邻的、相
位差为 2π 的振动质点之间的距离，即一个完整
波形的长度.
15 – 8 多普勒效应
第十五章机械波
周期 T ：波前进一个波长的距离所需要
15 – 8 多普勒效应
§ 5—2平面简谐波
第十五章机械波
一、波动方程的建立：
波函数：介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y(x,t) 称
为波函数.

《一维波动方程》课件

三维波动方程
描述空间波的传播
三维波动方程适用于描述在三维空间中波的传播，例如声波、电磁波等。
物理应用广泛
三维波动方程在物理、工程等领域有广泛的应用，如地震波传播、电磁波传播等。
多维波动方程的解法
数值解法
对于多维波动方程，由于其复杂性，通常采用数值解法来求解。常见的数值解法包括有限差分法、有限元法等。
解的物理意义
通过求解一维波动方程，可以得到波在空间中传播时的具体形式和性质，如波速、波长、振幅和相位等。这些解具有明确的物理意义，可以用于描述和分析各种波动现象。
03
一维波动方程的解法
Chapter
分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为多个常微分方程，逐个求解，得到波动方程的解。
VS
详细描述
03
三维波动方程
描述三维空间中波的传播和变化规律，一般形式为：∂²u/∂t² = c² *
(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²) + f(x, y, z, t)。
02
一维波动方程的建立
Chapter
一维波动方程的推导
波动现象的观察
波动现象在自然界中广泛存在，如声波、光波和水波等。通过对这些现象的观察，可以发现波动具有传播、干涉和衍射等特性。
有限差分法
总结词
通过将一维波动方程离散化，转化为差分方程组，然后求解差分方程组得到波动方程的近似解。
详细描述
有限差分法是一种通过将一维波动方程离散化，转化为差分方程组的方法。在离散化的过程中，需要考虑差分方程的稳定性和精度。然后利用数值计算方法求解差分方程组，得到波动方程的近似解。
04

波动方程ppt课件

＝
2π
2π
d ＝Cd
C (本题结束)
判断各点运动方向的技巧
上坡下行
例题：有一列横波向右
下坡上行
传播，画出波形曲线上 A、B 、C 、D 、E 、F 各点的运动方向和四分之
y C· B· ·D
u
一周期后的波形曲线。
· A 0
T 4
E·
·F
x
特别要注意：波的传播方向，这是关键。
例题：图（a）中所表示的x ＝0 处质点振动的初相位
y(m) 0.04
0
－0.04
u＝0.08 m/s
.a
b.
0.2
0.4
x (m)
例题：一列沿x 正向传播的简谐波，已知t1=0和
t2=0.25s时的波形如图。
试求：（1）振动方程（2）波动方程（3）作出波源振动曲线。
（练习册P32计算题3·版书）
y(m)
u
0.02m
t1 t2
..
.
0
P
x (m)
置的位移（坐标为 y）随时间t 的变化关系。
波波
函数
动方程
y
=A
cos ω
(
t－
x
u
)
+j
波向x 轴正方向传播也称右行波
波向x 轴负方向传播也称左行波
y
=A
cos
ω
(
t
＋
x
u
) +j
物理意义：波线上任一点（距原点为 x）处的质点任一瞬间相对其平衡位置的位移。
当波向x 轴正方向传播而且已知距离0点为xo的Q点振动方程为：
与图（b）所表示的振动的初相位分别为：

波动方程与波速ppt课件

x
上页下页返回结束
第十章波动和声
设横波沿x方向传播，体元横截面积S，密度 .
切应变dy dx
x 处，由胡克定律
Fx dy G ，G为切变模量。 S dx x
yy(x,t)
Fx y(x,t) G
S
x x
xΔx处
FxΔx y(x,t) G
S
x xΔx
F xΔ xF x y(x x,t)xΔ xy(x x,t)x GS
K为媒质的体变弹性模量; 为质量密度.
在液体和气体中只能传播纵波.
上页下页返回结束
第十章波动和声
理想气体纵波波速 (声速)
v气
p
RT
为气体的摩尔质量, T为热力学温度；
R为摩尔气体常数, 是气体的比热容比.
波速与温度有关深水波
v g 2π
浅水波
v gh
深水波的波速依赖于频率，这种现象称色散.
上页下页返回结束
G
2 y x2
2 y E 2 y
t 2 x2
2 y t 2
FT
l
2 y x2
第十章波动和声 ——横波的波动方程 ——纵波的波动方程 ——柔软弦中的横波
上页下页返回结束
§10.3.2 波速色散
第十章波动和声
对于一维简谐波
y (x ,t) A ck o (vs tx )
2 t2 yA2 kv2c ok(svtx) 2yA2 kcoks(vtx) x2
2 y t 2
v2
2 y x2
与2y t2
G
2y比较可得 x2
上页下页返回结束
第十章波动和声
在密度为，扬氏模量为E的介质传播的纵波的波

(大学物理课件)波动方程

表示 x1 处质点的振动方程
结束
返回
2. t = t 1 (常数) y
o y = A cos ω ( t 1 x )+j u x
表示在 t 1 时刻的波形
结束
返回
3. t 与 x 都发生变化 x t = t1 y 1 = A cos ω ( t 1 u ) + j x t = t 1+Δ t y ´= A cos ω ( t 1+Δ t u ) + j y
波动方程
返回16章结束
波动方程一、平面简谐波的波动方程 y u x
§16-2平面简谐波
o
B
x
参考点O点的振动方程为： y = A cos ( t + j ) ω
任意点（B点）的振动方程，即波动方程为： y = A cos ω ( t x ) + j u 结束返回
平面简谐波的波动方程为: x j y = A cos ω ( t u ) + t x j y = A cos 2π ( T l ) +
A cos 2π (x +120 t ) = 60
π
3
例2. 有一列向 x 轴正方向传播的平面简谐波，它在t = 0时刻的波形如图所示，其波速为u =600m/s。试写出波动方程。 y(m)
u 5 x (m)
o
12
.
结束
返回
解： o 由图可知，在t = 0时刻
y(m)
u 5 x (m)
12
.
y1 y´ ut
.
O
x
x´
t
令 y 1= y ´
得： ´= x +uΔ t x 这表示相应于位移y1的相位，向前传播了 uΔ t的距离。结束返回

波动方程推导过程ppt课件

tantandxdxdxdxdx一维非齐次波动方程二维非齐次波动方程三维非齐次波动方程
一维波动方程推导：
四个条件
横振动微小振动弦是柔软的弦是均匀的
张力沿切线方向密度均匀 ρ
u ux+Δx
ux
单位长度外力 F(x,t)
P
α1
T1(x,t)
x
α2 张力T2(x,t)
Q
x
x+Δx
x 0
精品课件
1
由牛二定律：
因运动为微小横振动，可得：
注：
tan 1 x
0
u
x
dx,t
x
u
xt
精品课件
2
可得：
即： T2 T1 T
u x dx,t u x,t
T
x
dx
x
dx
F
x,
t
dx
dx
2u
t
x,
2
t
T
2u x,t
x2
dx
F
x, t
dx
dx
2u x,t
z, t
a2
2u x, y,
x2
z, t
2u x, y, z, t
y2
2u x, y, z, t
z 2
f
x,
y,
z, t
三维非齐次波动方程
注：在没有外力f的作用下，方程变为齐次。
精品课件
4
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t 2
T a2, f x,t F x,t
记：
精品课件
3
可得：

第三章波动方程 ppt课件

第二组解：当 VVs / 时，
u0
i
v A2 exp[ V ( x Vst )]
i
w A3 exp[ V ( x Vs t )]
其位移方向与波的传播方向垂直，所以称为平面横波，也称为剪
切波，通常简称为S波。S波有两个质点振动方向：沿Z轴振动的S波分
量为垂直偏振剪切波，称为SV波，沿Y轴振动的S波为水平偏振剪切波，
▪ 该式是齐次方程的解，只反映了波的传播特点。当力位函数不为零时，需求非齐次方程的解，即达朗贝尔解。
2 t2V p 2 2 2 t2V p 2divg r(a t)d
▪ 将点震源用半径r=a的小球代替，小球体积为W。对上式求体积分，并令r->0,其极限情况就是点震源的达朗贝尔解。
lr i0m W2 t2 dW Vp2lr i0m Wdivgd raW dlr i0m W(t)dW
r
lim
r0
S
r
dS
1 Vp2
1
(
t
)
再将特解带入左端项，则有：
19
lim
r0
S
r
dS lim r0
S
C1 r2
C
' 1
dS
rV p
lim r0
1 r2
(
C1
r Vp
C
' 1
)
S
dS
lim
r0
4 ( C1
r V
C
' 1
)
4C1
带回原式，则得：
r
1
r
C1( t
Vp
换句话说，目前的勘探方法主要还是纵波勘探。
25
3.3 地震波的动力学特点

波动 PowerPoint 演示文稿

(3)入射波引起S1面上质元振动的表达式为： y入（ S1 ) d l A cos (t ) u1
d l x l A cos (t ) u1 u2
Ｙ
y入（ )
u2
d l D A cos (t ) u1 u2
y(cm)

o
A 2
B
7
x(cm)
分析：而种可能（1）波沿＋x方向传播，（2）波沿—x方向传播。
B
2
4 4
A
1
3 解： 1 (1) 2 1 5 ＝ 2 1
1＝
20 ( m) 3
（不符合条件）
1 ) 2 (2 2 2 5 ＝ 2 2
（4）若使上述两列反射波在区内叠加后的合振幅A为最大，问媒质2的厚度至少应为多厚。
y1反 x 2l＋d A cos (t ) u1 u1
a

Ｙ
u Ｓ1
Ｓ2
Ｘ
o
d

区区 x 2l d 2 D D l y2反 A cos t u1 u2 u1 x 2l＋d x 2l d 2 D t (t u u ) 2k u1 u2 1 1 u1 (k 0,1,2,) 2 D u 即：－ 2k D 2 (2k 1) u2 2
经S2面反射到区的波动表达式为：
Ｙ
u Ｓ1
Ｓ2
Ｘ
a

o
d

x y2反 A cos (t ) u1 yS 2反（ o ) A cos(t )
区