四川省2020年上学期成都石室中学高三数学理开学考试试题(最新精编)可打印
2020年四川省成都市石室中学高考数学一诊试卷(理科)
2020年四川省成都市石室中学高考数学一诊试卷（理科）一．选择题：1．（5分）已知集合{|1}A x N x =∈>，{|5}B x x =<，则(A B = )A ．{|15}x x <<B ．{|1}x x >C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}2．（5分）已知复数z 满足1iz i =+，则z 的共轭复数(z = )A ．1i +B ．1i -CD ．1i --3．（5分）若等边ABC ∆的边长为4，则(AB AC = )A ．8B ．8-C ．D ．-4．（5分）在6(21)()x x y --的展开式中33x y 的系数为( ) A ．50B ．20C ．15D ．20-5．（5分）若等比数列{}n a 满足：11a =，534a a =，1237a a a ++=，则该数列的公比为() A ．2-B ．2C ．2±D ．126．（5分）若实数a ，b 满足||||a b >，则( ) A ．a b e e > B ．sin sin a b >C ．11a ba be e e e +>+D ．))ln a ln b >7．（5分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 上两点，且114BE BB =，112CF CC =，则( ) A ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 异面 B ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 相交 C ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 异面 D ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 相交8．（5分）设函数21()92f x x alnx =-，若()f x 在点(3，f （3）)的切线与x 轴平行，且在区间[1m -，1]m +上单调递减，则实数m 的取值范围是( ) A ．2m …B ．4m …C ．12m <…D ．03m <…9．（5分）国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20:20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29:29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球赢球的概率为35，则在比分为20:20，且甲发球的情况下，甲以23:21赢下比赛的概率为( ) A ．18B ．320C ．950D ．72010．（5分）函数11()x f x e x-=-的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．11．（5分）设圆22:230C x y x +--=，若等边PAB ∆的一边AB 为圆C 的一条弦，则线段PC 长度的最大值为( )A B ．C ．4D ．12．（5分）设函数()cos |2||sin |f x x x =+，下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 的最小正周期为π；③()f x 的最小值为0；④()f x 在[0，2]π上有3个零点． 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①② B ．①②③ C ．①③④ D ．②③④二．填空题：13．（5分）若等差数列{}n a 满足：11a =，235a a +=，则n a = ．14．（5分）今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类．某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为 ．15．（5分）已知双曲线22:13y C x -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 分别与两条渐进线交于A ，B 两点，若120F B F B =，1F A AB λ=，则λ= ．16．（5分）若函数2,1()(2)(),1x e a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--⎩…恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ． 三．解答题：17．（12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如表：该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题： （1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X 元，求X 的分布列和数学期望()E X ．18．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2)cos 2B AC +=． （Ⅰ）求sin B ；（Ⅱ）若ABC ∆的周长为8，求ABC ∆的面积的取值范围．19．（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60ADC ∠=︒，11AA CD ==，1AD =（Ⅰ）证明：平面1CDD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角1D AD C --的余弦值．。
石室中学高2020届2019-2020学年度上期入学考试数学试题(理)
成都石室中学高2020届2019~2020学年上期入学考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足20171zi i=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A.1i -B.1i +C.1i --D.1i -+2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 3.下列判断正确的是（ ）A.命题“0,201920190xx ∀>+>”的否定是“000,201920190x x ∃≤+≤”B.函数()f x =的最小值为2C.“2x =”是“2x -=D.若0a b ⋅<，则向量a 与b 夹角为钝角4.对于函数()44sin cos f x x x =-，下列结论不正确的是（ ）A.在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B.图像关于y 轴对称 C.最小正周期为2π D.值域为[]1,1-5.在如图的程序框图中，若输入77,33m n ==，则输出的n 的值是（ ） A.3 B.7C.11D.336.某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为1S ，其内切球的表面积为2S ，且21S S λ=，则（ ） A.1 B.C. D. 7.高三某6个班级从“青城山”等6个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“青城山”的不同的安排方式有多少种（ ） A.2454C A B.2456CC.2454A AD.2456A8.如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，若{}{}222ln(34),2xA x y x xB y y -==--+==A B =U (0,1)(4,4]-(,4]-∞(4,)-+∞=λ3234233AB AC AD EC ⋅=⋅，则ABAC的值是（ ）239.定义在R 上的函数满足()()2f x f x -=，且[)121+x x ∈∞、，有()()12120x x f x f x ->-，若()()1g x f x =+，实数a 满足()()212log log 21g a g a g ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则的最小值为（ ）A.B. C. D. 10.在平面区域2200x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩内任取一点(),P x y ，则存在R α∈，使得点P 的坐标(),x y 满足()2cos +sin 0x y αα-=的概率为（ ）A.316π B.3116π- C.434π- D.116π-11.ABC ∆中,已知7AB BC AC ===,D 是边AC 上一点,将ABD ∆沿BD 折起,得到三棱锥A BCD -.若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上,设BM x =,则x 的取值范围为（ ）A.(B.C.(D.(12.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点为A B 、，P 是双曲线上不同于A B 、的一点，设直线AP BP 、的斜率分别为m n 、，则当()4136ln ln 32a m nb mn mn ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）A.12+B.2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若nxx )1(-的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 ．14.已知圆()()222:42C x y r -+-= 截y轴所得的弦长为过点()0,4且斜率为k 的直线l 与圆C 交于A B 、两点，若AB ，则k = ．15.已知抛物线x y 42=的一条弦AB 经过焦点,F O 为坐标原点，点M 在线段OB 上，且()f x a 1213223OB OM =，点N 在射线OA 上，且3ON OA =，过M N 、向抛物线的准线作垂线，垂足分别为C D 、,则CD 的最小值为 ．16.已知函数()(1)(2)e e xf x m x x =----，若关于x 的不等式0)(>x f 有且只有一个正整数解，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示.第组 [160,165)第组 [165,170)第组 [170,175)第组 [175,180)第组 [180,185] （Ⅰ）求频率分布表中,n p 的值，并估计该组数据的中位数（保留1位小数）；（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 和{}n b 满足111,0a b ==，11434,434n n n n n n a a b b b a ++=-+=--. （Ⅰ）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （Ⅱ）设12n n c a n =-+，求数列{}n n c ⋅的前n 项和n S .19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAD 平面ABCD ，PAD ∆是等边三角形，四边形ABCD是矩形，2=CD ，F 为棱PA 上一点，且)10(<<=λλAP AF ，M 为AD的中点，四棱锥P ABCD -的体积为362. （Ⅰ）若21=λ，N 是PB 的中点，求证：平面//MNF 平面PCD ； （Ⅱ）是否存在λ，使得平面FMB 与平面PAD 所成的二面角余弦的绝对值为1133?20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：上任意一点到其两个焦点的距离之和等于，焦距为，圆，是椭圆的左、右顶点，是圆的任意一条直径，四边形面积的最大值为 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，若直线与圆相切，且与椭圆相交于两点，直线与平行且与椭圆相切于（两点位于的同侧），求直线，距离的取值范围.21.（本小题满分12分），其中0mn ≠.（Ⅱ）若()()0f x g x +=的两根为12,x x ，且12x x >，证明： 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线041=-+y x C :，曲线为参数）θθθ(sin 1cos :2⎩⎨⎧+==y x C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线21C C ,的极坐标方程； （Ⅱ）射线),(:200παραθ<<≥=l 分别交21C C , 于N M ,两点，求||||OM ON 的最大值．)0(12222>>=+b a by a x 21,F F 52c 2222:c y x O =+21,A A AB O B AA A 21)0(:1≠+=m m kx y l O N M ,2l 1l P P O ,1l 1l 2l d成都石室中学高2020届2019~2020学年上期入学考试数学（理科）参考答案一、选择题：1—5：ABCCC 6—10：DDAAB 11—12：BD 二、填空题：13.-20 14.3415.4 16.32e e e a +<≤三、解答题：17. 解：（1）由已知：5302010100n ++++=，0.5000.3500.2000.100 1.000p ++++=，∴35,0.300n p ==，中位数估计值为171.7………4分（2）由已知，笔试成绩高的第3、4、5组的人数之比为3:2:1，现用分层抽样的方法选6名学生。
成都石室中学高 2020 届 2019—2020 学年度上期入学考试试题
成都石室中学高2020届2019—2020学年度上期入学考试化学试卷时间：100分钟满分100分试卷说明：请将答案写在答题卷上！可能用到的相对原子质量：H-1 Li-7 C-12N-14 O-16 Na-23 Mg-24 Cl-35.5S-32 Co-59 Mn-55Ⅰ卷（满分44分）一．选择题（本小题包括22个小题，每题2分，共44分，每小题只有一个．．．．正确选项）1．化学与生活密切相关，下列有关说法正确的是( )A．《格物粗谈》记载“红柿摘下未熟，每篮用木瓜三枚放入，得气即发，并无涩味。
”文中的“气”是指乙烷B．SO2具有漂白性,工业上常用来漂白纸浆、毛、丝等。
此外，SO2还能用于杀菌、消毒等C．铁在潮湿的空气中放置，易发生化学腐蚀而生锈D．地球上99%的溴元素以Br2形式存在于海水中2．常温下，下列各组离子在给定条件下一定能大量共存的是( )A．由水电离的c(H+)=1.0×10-13mol/L的溶液的溶液中：Mg2+、Al3+、Cl－、S2O32－B．c(OH-)/c(H+)=1.0×1012的溶液中: Ca2+、NH4+、Fe3+、Cr2O72-C．澄清透明的溶液中：H+、Na+、NO3－、MnO4－D．滴加甲基橙显黄色的溶液中：Cu2+、Ba2+、HCO3－、AlO2－3．下列离子方程式或电离方程式正确的是( )A．NaHSO3溶液呈酸性：NaHSO3＝Na＋＋H＋＋SO2－3B．在Na2S2O3溶液中滴加稀硝酸：2H＋＋S2O2－3＝S↓＋SO2↑＋H2OC．工业制漂白粉的反应：Cl2+2OH﹣＝ClO﹣+Cl﹣+H2OD．向Na2SiO3溶液中通入少量CO2：SiO2－3＋CO2＋H2O＝H2SiO3↓＋CO2－34．柠檬酸是无色晶体，无臭、味极酸，分子结构如图所示。
广泛用于食品业、化妆业等。
其钙盐在冷水中比在热水中易溶解。
下列有关柠檬酸的说法正确的是( )A．易溶于水，其分子式为C6H6O7B．1mol该物质与足量的钠反应最多生成4molH2C．该物质可以发生取代反应生成环状化合物D．相同官能团的异构体有9种5．下列实验操作与现象都正确，且能得出对应结论的是( )32到一种黑色分散系，其中分散质粒子是直径约为9.3nm的金属氧化物，下列有关说法中正确的是( )A．可用过滤的方法将黑色金属氧化物与Na+分离开B．该分散系的分散质为Fe2O3，具有丁达尔效应C．加入NaOH时发生的反应可能为：Fe2++2Fe3++8OH—=Fe3O4+4H2OD．在电场作用下，阴极附近分散系黑色变深，则说明该分散系带正电荷7. 化学在日常生活和生产中有着重要的应用。
四川省成都石室中学2020届高三数学上学期第一次月考试题 理(无答案)
第五期一学月考试数学试题（理科）考试时间：120分钟 总分：150分参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24R S π=如果事件相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅= 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334R V π=在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…辅助角公式 22sin cos sin(),tan ba b a b aαααϕϕ+=++=（） 第一部分 （选择题 共60分）注意事项：1、选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合A ＝{－2，0，2}，B ＝{-1，2}，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．{2} C ．{0} D ．{2}-2．若复数21)()a i a R +-∈（为实数，则a 的值为（） A ． 1 B ． 2 C ． ﹣1 D ． 不存在3．如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆，那么这个空间几何体的表面积等于( )A.100π3 B ．100π C ．25π3D.25π . 4．已知函数,0()()1,0ax x f x a R x x ≥⎧=∈⎨-<⎩，若f ＝2，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 5. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果s=（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 D ．46．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝( ) A ．30° B．45° C．60° D．75°7．在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )8．正三棱柱111C B A ABC -(侧棱垂直底面，底面为正三角形的棱柱)的底面边长为2，侧棱长为3，则正三棱柱111C B A ABC -的体积为( ) A.1 B ．23 C ．23D ．3 9．“直线x －y +k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的充要条件是( )A ．k ∈ (－3，1)B ．k ∈C ．k ∈ (0，1)D ．k ∈ (－∞，－3)∪(1，＋∞)10．设函数()x x x f cos 21sin 23+=，若将函数f （x ）的图象向右平移6π个单位，所得图象对应函数为()y g x =，则（ ）A ．()y g x =的图象关于直线3π-=x 对称 B. ()y g x =图象关于原点对称C ．()y g x =的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,3π对称 D. ()y g x =图象关于y 轴对称11．已知双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和c s 54≥，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A 、(]3,1 B 、(]2,1 C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,25 D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,26 12、设函数错误!未找到引用源。
2020届四川省年上学期成都石室中学高三数学理开学考试试题答案
○1 当 4a2 48 0 时，即 2 3 a 0 ， f (x) 0
f (x) 在 (0, ) 上单调递增；.................8 分
○2 当 4a2 48 0 时，即 a 2 3 ，又 f (0) 4 0
令 f (x) 3x2 2ax 4 0 ，则 x1 2a
x 2
16940 ，所以 bˆ
xi
i 1 n
x yi y xi x 2
8470 16940
0.5 ，
i 1
a y bx 74 0.5110 19 ，所以 y 0.5x 19 ，................10 分
将 x 125 代入，得 y 81.5 ， 所以估计 B 同学的物理成绩为 81.5 分．....................12 分
当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y kx m ，
由
y kx
x
2
4
y2
m
4
可得
(1
4k 2
)x2
8kmx
4m2
4
0
，…………5
分
因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个交点，
所以△ 1 (8km)2 4(1 4k 2 )(4m2 4) 0 ，即 m2 1 4k 2 ，…………6 分
设 AB 2 ，∵四边形 ABCD 为菱形， DAB 60 ，∴ BD 2, AC 2 3 .
∵ DBF 为等边三角形，∴ OF 3 .
∴ A 3,0,0 , B 0,1,0, D 0, 1,0, F 0,0, 3 ，
DB EF, DB EF
E(0, 2, 3)
∴ AD 3, 1, 0 , AF 3, 0, 3 , EF 0, 2, 0 .
石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案(理科)
x
e−a
．
( ) 则 g( x) = ex − a = xex − a ，令 t ( x) = xex − a ， x 0, e−a ， t( x) = ex (x +1) 0 ， xx
( ) 所以 t ( x) 在 0, e−a 上是单调增函数．
( ) 要使得 g ( x) 在 0, e−a 上存在极值，
( ) ( ) f (e) = 1 − 2 ， f e3
e2
=
1 e2
−1 3
，
f
(e)
f
e2
所以
f (x)min
=
f
(3) =
ln 3 − 2 3
，
f (x)max
=
f
(e2 ) =
1 e2
−1 3
．…………5 分
（Ⅱ）依题意
g
(
x)
=
ex
+
1 x
−
a
ln
x
+
1 x
−1
=
ex
−
a
ln
x
+1，
0
x1 x2
x1 x2
k2 =
m2 − r2 1+ k2
+
km
−2km 1+− r2k2 =
m2 − r2
…9 分
1+ k2
将
m2
=1+
4k 2
代入上式，可得
k1k2
=
(4
− r2 )k2 m2 − r2
+1
=
(4 − r2 )k2 4k 2 + (1 −
+1 r2)
2020届四川省成都市石室中学高考一诊试卷数学(理科)(PDF版)
2020 年四川省成都市石室中学高考一诊试卷数学（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1. 已知集合A={x∈N|x＞1}，B={x|x＜5}，则A∩B=（）A. {x|1＜x＜5}B. {x|x＞1}C. {2，3，4}D. {1，2，3，4，5}2. 已知复数z 满足iz=1+i，则z 的共轭复数=（）A. 1+iB. 1-iC.D. -1-i3. 若等边△ABC 的边长为 4，则•=（）A. 8B. -8C.D. -84. 在（2x-1）（x-y）6 的展开式中x3y3 的系数为（）A. 50B. 20C. 15D. -205. 若等比数列{a n}满足：a1=1，a5=4a3，a1+a2+a3=7，则该数列的公比为（）A. -2B. 2C. ±2D.6. 若实数a，b 满足|a|＞|b|，则（）A. e a＞e bB. sin a＞sin bC.D.7. 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中，AA1=4，AB=2，点E，F 分别为棱BB1，CC1 上两点，且BE= BB1，CF= CC1，则（）A. D1E≠AF，且直线D1E，AF 异面B. D1E≠AF，且直线D1E，AF 相交C. D1E=AF，且直线D1E，AF 异面D. D1E=AF，且直线D1E，AF 相交8. 设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x 轴平行，且在区间[m-1，m+1]上单调递减，则实数m 的取值范围是（）A. m≤2B. m≥4C. 1＜m≤2D. 0＜m≤39. 国际羽毛球比赛规则从 2006 年 5 月开始，正式决定实行 21 分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是 21 分，最高不超过 30 分，即先到 21 分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为 20：20 时，获胜的一方需超过对方 2 分才算取胜，直至双方比分打成 29：29时，那么先到第 30 分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为 20：20，且甲发球的情况下，甲以 23：21 赢下比赛的概率为（）A. B. C. D.10. 函数f（x）= 的图象大致为（）A. B.C. D.11. 设圆C：x2+y2-2x-3=0，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则线段PC 长度的最大值为（）A. B. 2 C. 4 D.12. 设函数f（x）=cos|2x|+|sin x|，下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）的最小正周期为π；③f（x）的最小值为 0；④f（x）在[0，2π]上有 3 个零点．其中所有正确结论的编号是（）A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ②③④二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13. 若等差数列{a n}满足：a1=1，a2+a3=5，则a n=______．14. 今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类．某天在市场中随机抽出 100名市民调查，其中不买猪肉的人有 30 位，买了肉的人有 90 位，买猪肉且买其它肉的人共 30 位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为______．15. 已知双曲线C：x2- =1 的左，右焦点分别为F1，F2，过F1 的直线l 分别与两条渐进线交于A，B 两点，若•=0，=λ，则λ=______．16. 若函数f（x）= 恰有 2 个零点，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17. 某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按 200 元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如表：消费次第第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次≥5次收费比例 1 0.95 0.90 0.85 0.80该公司从注册的会员中，随机抽取了 100 位进行统计，得到统计数据如表：消费次第第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次频数60 20 10 5 5假设汽车美容一次，公司成本为 150 元，根据所给数据，解答下列问题：（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X 元，求X的分布列和数学期望E（X）．18. △ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，设．（Ⅰ）求 sin B；（Ⅱ）若△ABC 的周长为 8，求△ABC 的面积的取值范围．19. 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中，底面ABCD 是边长为 2 的菱形，且∠ADC=60°，，．（Ⅰ）证明：平面CDD1⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D1-AD-C 的余弦值．20. 设椭圆，过点A（2，1）的直线AP，AQ 分别交C 于不同的两点P，Q，直线PQ 恒过点B（4，0）．（Ⅰ）证明：直线AP，AQ 的斜率之和为定值；（Ⅱ）直线AP，AQ 分别与x 轴相交于M，N 两点，在x 轴上是否存在定点G，使得|GM|•|GN|为定值？若存在，求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由．21. 设函数，，．（Ⅰ）证明：f（x）≤0；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求m 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l：（t 为参数）与曲线C：（m 为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）当α= 时，求直线l 与曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若|MA||MB|=2||MA|-|MB||，其中M（，0），求直线l 的倾斜角．23. 已知函数f（x）=|x+1|+|ax-1|．（Ⅰ）当a=1 时，求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b 成立，证明：a+b≥0．答案和解析1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】C12.【答案】B13.【答案】n14.【答案】0.415.【答案】116.【答案】[ ，1）∪{2}∪[e，+∞）17.【答案】解：（1）100 位会员中，至少消费两次的会员有 40 人，∴估计一位会员至少消费两次的概率为．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为 200-150=50（元），第 2 次消费时，公司获得利润为 200×0.95-150=40（元），∴公司这两次服务的平均利润为（元）．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为 1 次，2 次，3 次，4 次，5 次，当会员仅消费 1 次时，利润为50 元，当会员仅消费 2 次时，平均利润为 45 元，当会员仅消费 3 次时，平均利润为 40 元，当会员仅消费4 次时，平均利润为 35 元，当会员仅消费 5 次时，平均利润为 30 元，故X 的所有可能取值为 50，45，40，35，30，X 的分布列为：X 50 45 40 35 30P 0.6 0.2 0.1 0.05 0.05X 数学期望为E（X）=50×0.6+45×0.2+40×0.1+35×0.05+30×0.05=46.25（元）．【解析】（1）100 位会员中，至少消费两次的会员有 40 人，即可得出估计一位会员至少消费两次的概率．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为 200-150=50（元），第 2 次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），即可得出公司这两次服务的平均利润．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为 1 次，2 次，3 次，4 次，5 次，当会员仅消费 1 次时，利润为50 元，当会员仅消费 2 次时，平均利润为 45 元，当会员仅消费 3 次时，平均利润为 40 元，当会员仅消费4 次时，平均利润为 35 元，当会员仅消费 5 次时，平均利润为 30 元，故X 的所有可能取值为 50，45，40，35，30，即可得出X 的分布列．本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵且 sin（A+C）=sin B∴，又∵∴，∴，∴，∴，∴．（2）由题意知：a+b+c=8，故b=8-（a+c）∴，∴∴，，∴∴，或（舍），即∴（当a=c 时等号成立）综上，△ABC 的面积的取值范围为．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的变换的应用和倍角公式的应用求出结果．（2）利用余弦定理和不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】（1）证明：令CD 的中点为O，连接OA，OD1，AC，∵，∴D1O⊥DC 且又∵底面ABCD 为边长为 2 的菱形，且∠ADC=60°，∴AO= ，又∵，∴，∴D 1O⊥OA，又∵OA，DC⊆平面ABCD，OA∩DC=O，又∵D1O⊆平面CDD1，∴平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O 作直线OH⊥AD 于H，连接D1H，∵D1O⊥平面ABCD，∴D1O⊥AD，∴AD⊥平面OHD1，∴AD⊥HD1，∴∠D1HO 为二面角D1-AD-C 所成的平面角，又∵OD=1，∠ODA=60°，∴，∴，∴．【解析】（1）令CD 的中点为O，连接OA，OD1，AC，证明D1O⊥DC，D1O⊥OA，然后证明平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O 作直线OH⊥AD 于H，连接D1H，说明∠D1HO 为二面角D1-AD-C 所成的平面角，通过求解三角形，求解即可．本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ、AP、AQ 的斜率分别为k，k1，k2，由得（1+4k2）x2-32k2x+64k2-8=0，△＞0，可得：，，，== ；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，得x3=2- ，即M（2- ，0），同理，即N（2- ，0），设x 轴上存在定点G（x0，0），2+（x0-2）（）+ |= ，=|（x0-2）要使|GM|•|GN|为定值，即x0-2=1，x0=3，故x 轴上存在定点G（3，0）使|GM|•|GN|为定值，该定值为 1．【解析】（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线y=k（x-4）和椭圆方程，运用韦达定理，直线PQ、AP、AQ 的斜率分别为k，k1，k2，运用直线的斜率公式，化简整理即可得到得证；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，求得M 的坐标，同理可得N 的坐标，再由两点的距离公式，化简整理可得所求乘积．本题考查椭圆的方程和运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，以及存在性问题的解法，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）= -cos x 在x∈[0，]上单调递增，f′（x）∈[ -1，]，所以存在唯一x0∈（0，），f′（x0）=0．当x∈（0，x0），f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（x0，），f′（x）＞0，f（x）递增．（Ⅱ）g′（x）= -sin x+m（x- ），g″（x）= -cos x+m，当m≥0时，g′（x）≤0，则g（x）在[0，]上单调递减，所以g（x）min=g（）= ，满足题意．当- ＜m＜0 时，g″（x）在x 上单调递增．g''（0）= +m＞0，所以存在唯一x1∈（0，），g″（x1）=0．当x∈（0，x1），g″（x）＜0，则g′（x）递减；当x∈（x1，），g″（x）＞0，则g′（x）递增．而g′（0）=- m＞0，g′（）=0，所以存在唯一x2 ，g′（x2）=0，当x∈（0，x2），g′（x）＞0，则g（x）递增；x ，g′（x）＜0，则g（x）递减．要使g（x）≥恒成立，即，解得m≥，所以≤m＜0，当m≤- 时，g″（x）≤0，当x∈[0，]，g′（x）递减，又，g′（x）≥0，所以g（x）在递增．则g（x）≤g（）= 与题意矛盾．综上：m 的取值范围为[ ，+∞）．【解析】（Ⅰ）利用f（x）的导数可先判断出其单调区间，比较可求出函数的最大值，即可证；（Ⅱ）对g（x）二次求导判断出m≥0时，可求出g（x）min=g（）= ，当- ＜m＜0 时，与题意矛盾，综合可求出m 的取值范围．本题考查利用导数求函数单调区间，求函数最值问题，还涉及函数恒成立问题，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）当α= 时，直线l：（t 为参数）化为，消去参数t，可得直线l 的普通方程为y=x- ；由曲线C：（m 为参数），消去参数m，可得曲线C 的普通方程为y2=2x；（Ⅱ）将直线l：（t 为参数）代入y2=2x，得．，．由|MA||MB|=2||MA|-|MB||，得|t1t2|=2|t1+t2|，即，解得|cosα|= ．∴直线l 的倾斜角为或．【解析】（Ⅰ）当α= 时，直线l：（t 为参数）化为，消去参数t，可得直线l 的普通方程；直接把曲线C 的参数方程消去参数m，可得曲线C 的普通方程；（Ⅱ）将直线l：（t 为参数）代入y2=2x，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合已知等式列式求得|cosα|= ，则直线l 的倾斜角可求．本题考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】（Ⅰ）解：当a=1 时，f（x）=|x+1|+|x-1|= ．∵f（x）≤4，∴或-1≤x≤1或，∴1＜x≤2或-1≤x≤1或-2≤x＜-1，∴-2≤x≤2，∴不等式的解集为{x|-2≤x≤2}．（Ⅱ）证明：当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b 成立，则x+1+|ax-1|≤3x+b，∴|ax-1|≤2x+b-1，∴-2x-b+1≤ax-1≤2x+b-1，∴，∵x≥1，∴，∴，∴a+b≥0．【解析】（Ⅰ）将a=1 代入f（x）中，然后将f（x）写出分段函数的形式，再根据f（x）≤4分别解不等式即可；（Ⅱ）根据当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b 成立，可得|ax-1|≤2x+b-1，然后解不等式，进一步得到a+b≥0．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
四川省成都市石室中学2020届高三数学上学期入学考试考试题 理(含解析)
四川省成都市石室中学2020届高三数学上学期入学考试考试题理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由，得，则，故选：A.2.己知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由二次不等式的解法可得：，由指数函数的值域的求法可得：，再结合并集的运算可得：，得解.【详解】解：解不等式，解得，即，又因为，所以，即，即，故选B.【点睛】本题考查了二次不等式的解法、指数函数的值域的求法及并集的运算，属基础题.3.下列判断正确的是（）A. 命题“，”的否定是“，”B. 函数的最小值为2C. “”是“”的充要条件D. 若，则向量与夹角为钝角【答案】C【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题可得：命题的否定是“，”，选项A错误，由在为增函数，即，即B错误；由根式方程的求法得“”是“”的充要条件，即C正确，由向量的夹角可得向量与夹角为钝角或平角，即D错误，得解.【详解】解：对于选项A，命题“，”的否定是“，”，即A错误；对于选项B，令，则，则，，又在为增函数，即，即B错误；对于选项C，由“”可得“”，由“”可得，解得“”，即“”是“”的充要条件，即C正确，对于选项D，若，则向量与夹角钝角或平角，即D错误，故选C.【点睛】本题考查了全称命题的否定、均值不等式的应用、根式方程的求法及向量的夹角，属基础题.4.对于函数，下列结论不正确的是（）A. 在上单调递增B. 图像关于y轴对称C. 最小正周期为D. 值域为【答案】C【解析】【分析】由，求得，再利用的性质即可得解.【详解】解：因为，则函数是在上单调递增的偶函数，且值域为，周期为，即选项正确，选项错误，故选C.【点睛】本题考察了三角恒等变换及函数的性质，属基础题.5.在如图的程序框图中，若输入m=77，n=33，则输出的n的值是A. 3B. 7C. 11D. 33【答案】C【解析】这个过程是，，故所求的最大公约数是。
四川省成都石室中学2021届高三上学期开学考试 数学(理)含答案
⽯室中学⾼2021届2020-2021学年度上期⼊学考试理科数学试卷⼀、选择题（共12⼩题；共60分）1.已知集合，则集合的元素个数是（）A．0B．1C．2D．32．i为虚数单位，，则的共轭复数为（）A.B． C.D．3．⽯室中学为了解1000名学⽣的身体素质，将这些学⽣编号为1，2，…，1000，从这些学⽣中⽤系统抽样⽅法等距抽取100名学⽣进⾏体质测验，若46号学⽣被抽到，则以下4名学⽣中被抽到的是（）A．8号学⽣B．200号学⽣C．616号学⽣D．815号学⽣4．函数的零点所在的⼤致区间是（）A．B．C．D．5．已知向量，，则是//的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件D．充分不必要条件6．已知的内⻆的对边分别为，若，，，则为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°7．下列函数中，既是奇函数⼜在单调递减的函数是（）A．B．C．D．8．抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点在抛物线上，当时，的⾯积为（）A．1B．C．2D．9.如图是⽤模拟⽅法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空⽩框内应填⼊（）A．B．C．D．10.已知，则的⼤⼩关系为（）A．B．C．D．11.某⼏何体的三视图如图所示，则该⼏何体外接球表⾯积为（）A．B．C．D．12.已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是（）A． B.C．D．⼆、填空题（共4⼩题；共20分）13.已知双曲线的离⼼率为2，则该双曲线的渐近线⽅程为_______________14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五⼈分五钱，令上⼆⼈所得与下三⼈等．问各得⼏何．”其意思为“已知甲、⼄、丙、丁、戊五⼈分5钱，甲、⼄两⼈所得与丙、丁、戊三⼈所得相同，且甲、⼄、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五⼈各得多少钱？”（“钱”是古代的⼀种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.15．已知是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则使得成⽴的的取值集合是___________．16.已知棱⻓为1的正⽅体，过对⻆线作平⾯交棱于点，交棱于点，则：①平⾯分正⽅体所得两部分的体积相等；②四边形⼀定是平⾏四边形；③平⾯与平⾯不可能垂直；④四边形的⾯积的最⼤值为.其中所有正确结论的序号为_______三、解答题（共6⼩题；共70分）17.(本题满分12分)⽯室中学⾼三学⽣摸底考试后，从全体考⽣中随机抽取名，获取他们本次考试的数学成绩()和物理成绩()，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出与之间有线性相关关系，但图中有两个异常点．经调查得知，考⽣由于重感冒导致物理考试发挥失常，考⽣因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到⼀些统计的值：其中分别表示这名同学的数学成绩、物理成绩，，与的相关系数．（Ⅰ）若不剔除两名考⽣的数据，⽤组数据作回归分析，设此时与的相关系数为．试判断与的⼤⼩关系（不必说理由）；（Ⅱ）求关于的线性回归⽅程，并估计如果考⽣参加了这次物理考试（已知考⽣的数学成绩为分），物理成绩是多少？附：回归⽅程中,。
成都石室中学高2020届高考适应性考试(二)理科数学试题(6月23日)参考答案
a
2
.故选
B.
第 2页
13．解：因为点 M (1, f (1)) 是切点，所以点 M 在切线上，所以 f (1) 0 ， 因为函数 y f (x) 的图象在点 M (1, f (1)) 处的切线的方程是 y x 1，斜率为 1 ，所以 f '(1) 1 所以 f (1) f '(1) 1 ．
在正方体中可证得 C1D ⊥ CD1 ，C1D ⊥ BC ，CD1 与 BC 相交，所以 C1D 垂直平面 A1BCD1 ，所以 C1D ⊥ A1C ，
同理可证得 BD ⊥ A1C ，所以可证得 A1C ⊥平面 BDC1 ，又因为 BE 在平面 BDC1 内，所以 A1C ⊥ BE .
故选： B ．
数为 80 40 40 .故选： C ．
6．解：因为 sin( ) 3 ，所以 2 (sin cos ) 3 ，所以 sin cos 3 2 ①，
45
2
5
5
两边平方可得 2sin cos 7 ，所以 sin2 cos2 2sin cos 32 ，
25
25
所以 (sin cos )2 32 ，因为 为锐角， 25
6
3
位长度得到的解析式为
y 2sin[2(x ) ] 1 2sin(2x ) 1 2 cos 2x 1，
36
2
令 2x
k
，则
x
k
，所以对称中心为
(
k
,1), k Z
.故选： B
．
2
42
42
8．解：
f
(x)
2 2x
1
2
x
2 2x 1 2x
2x ，
则
【全国百强校】四川省成都石室中学2019届高三上学期入学考试数学(理)试题
2
a b c d a c b d
0.05 3.841 0.025 5.024
n ad bc
2
．
2
k0
0.10 2.706
0.010 6.635
0.005 7.879
0.001 10.828
k0
20.（本小题满分 12 分） 如图 O 为坐标原点， 圆 O : x 2 y 2 4, 点 F1( 3, 以线段 F1 M 为直径的圆 N 0), F2( 3, 0)， 内切于圆 O，切点为 P，记点 M 的轨迹为曲线 C. （I）证明： | F1M | | F2 M | 为定值，并求曲线 C 的方程； （II）设 Q 为曲线 C 上的一个动点，且 Q 在 x 轴的上方，过 F2 作直线
1.设 z A． 0
1 i 2i ，则 | z | 1 i
B．
1 2
C． 1
D． 2
2.设集合 A x | y log 2 ( 2 x ) ，若全集 U A ， B x | 1 x 2，则 CU B A．
,1
B． ,1
C． 2,
18届涨100分学生达20人 罗老师18215571552
周末班、寒暑假班、全日制、志愿填报、自主招生 中学小班教学、一对一教学，针对性布局
书山有路勤为径 优径皆在为学溪
认为直播答题模式可持续 认为直播答题模式不可持续
360 240
280 120
(I)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过 0.5% 的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别 有关系？ (II)随着答题的发展，某平台推出了复活卡，每期游戏中回答错误后自动使用复活卡复活，即默 认此题回答正确，并可接着回答下一题，但一场仅可使用一次.已知某网友拥有复活卡，在某期的答 题游戏中，前 8 个题都会，第九题到第十二题都不会，他选择从三个选项中随机选择一个选项.求该 网友本场答题个数 X 的分布列，并求该网友当期可平分奖金的概率. 参考公式： K 临界值表：
【附28套精选模拟试卷】四川省成都石室中学2020届高三上学期“一诊”模拟数学(理)试题及答案
四川省成都石室中学2020届高三上学期“一诊”模拟数学（理）试题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.设集合}1,0,1{-=M，},{2aaN=则使M∩N＝N成立的a的值是（）A．1B．0 C．－1 D．1或－12.复数ii(113-为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 ( ）A．(1,1)B．(1,1)-C．(1,1)-D．(1,1)--3.已知函数,,)21(,)(21⎪⎩⎪⎨⎧≤>=xxxxfx则=-)]4([ff（）A．4-B．41-C．4D．64.函数ln||||x xyx=的图像可能是（）5.实数yx,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+,0224yxyxyx,则yx-2的最小值为（）A．16B．4C．1D．126.下列说法中正确的是（）A．“5x>”是“3x>”必要条件B．命题“x R∀∈，210x+>”的否定是“x R∃∈，210x+≤”C．Rm∈∃，使函数)()(2Rxmxxxf∈+=是奇函数D．设p，q是简单命题，若p q∨是真命题，则p q∧也是真命题7.阅读程序框图，若输入4m=，6n=，则输出ia,分别是（）A．12,3a i==B．12,4a i==C．8,3a i==D．8,4a i==8.设函数)22,0)(sin(3)(πφπωφω<<->+=xxf的图像关于直线32π=x对称,它的周期是π,则（）A．)(xf的图象过点)21,0(B ．)(x f 的一个对称中心是)0,125(πC ．)(x f 在]32,12[ππ上是减函数D ．将)(x f 的图象向右平移||φ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象9. 设三位数10010n a b c =++,若以,,{1,2,3,4}a b c ∈为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有（ ）A ．12种B ．24种C ．28种D ．36种10. 定义在R 上的函数1ln )(2++=x ex f x，且)()(x f t x f ＞+在()∞+-∈，1x 上恒成立，则关于x 的方程(21)()f x f t e -=-的根的个数叙述正确的是( ).A ．有两个B ．有一个C ．没有D ．上述情况都有可能二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知向量a ρ、b ρ满足(1,0),(2,4)a b ==r r，则=+→→||b a .12.45)1)(1(x x x 展开式中-+的系数是 （用数字作答）.13. 在数列}a {n 中，)N n (a a a ,a ,a n n n *∈-===++122151，则2014a = .14.已知二次函数)R (4)(2∈+-=x c x ax x f 的值域为)0[∞+，，则ac 91+的最小值为 . 15. 已知D 是函数],[),(b a x x f y ∈=图象上的任意一点，B A ,该图象的两个端点， 点C 满足0=⋅=→→→→i DC AB AC ，λ，（其中→<<i ,10λ是x 轴上的单位向量），若T DC ≤→||(T 为常数)在区间],[b a 上恒成立，则称)(x f y =在区间],[b a 上具有 “T 性质”.现有函数： ①12+=x y ; ②12+=xy ； ③2x y =； ④x x y 1-=.则在区间]2,1[上具有“41性质”的函数为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. (本小题满分12分)设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是以函数24sin y x π=的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n 项和n S .17. (本小题满分12分) 已知ABC ∆ 的内角A 、B 、C 所对的边为,,a b c ， (sin ,cos )m b A a a B =-u r,(2,0)n =r ，且m u r 与n r 所成角为3π.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求C A sin sin +的取值范围.学根据上表：（Ⅰ）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分)已知直三棱柱111C B A ABC -的三视图如图所示，且D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．20. (本小题满分13分)已知()||,=-+∈R f x x x a b x . （Ⅰ）当1,0a b ==时,判断()f x 的奇偶性,并说明理由； （Ⅱ）当1,1a b ==时,若5(2)4xf =,求x 的值； （Ⅲ）若0b <,且对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立,求实数a 的取值范围.21. (本小题满分14分)已知函数)0)(ln()(2>=a ax x x f （Ⅰ）a e =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若2)('x x f ≤对任意的0>x 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当1=a 时，设函数xx f x g )()(=，若1),1,1(,2121<+∈x x e x x ，求证：42121)(x x x x +<一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 题号 1 2 3 4 5 6[ 7 8[ 9 10 答案CACBDBABC[A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 5 ； 12. -5 ；13. -1 ；14. 3 ； 15. ①③④ . 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则()12112210a a d a d ⎧=⎪⎨+=+-⎪⎩ 解得2d =或4d =-（舍）……………5分 所以2(1)22n a n n =+-⨯= ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）21cos 24sin 42xy x ππ-==⨯Q 2cos22x π=-+其最小正周期为212ππ=，故首项为1；……………………………………………………7分 因为公比为3，从而13n n b -= ……………………………………………………………8分所以123n n n a b n --=-，故()()()011234323n n S n -=-+-++-L()2213213n n n +-=--211322n n n =++-⋅………………………………………………12分 17. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）Θ (sin ,cos )m b A a a B =-u r 与向量(2,0)n =r 所成角为3π，∴3sin cos 1=-B B ∴1cos sin 3=+B A ，∴21)6sin(=+πB又Θπ<<B 0，∴6766πππ<+<B ∴656ππ=+B ∴32π=B …………6分 （Ⅱ）由（1）知，32π=B ，∴A+C= 3π∴C A sin sin +=)3sin(sin A A -+π=A A cos 23sin 21+=)3sin(A +πΘ30π<<A ，∴3233πππ<+<A 所以C A sin sin +的范围为3(,1]2. ……… …12分18. (本小题满分12分)解（I ）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ， 则1221()(1)(1)(1)23318P A =---=………………………………………………………4分 （II ）ξ的可能值得为0，1，2，3，4，54121(0)(1)(1),2348P ξ==--=g1344112121(1)(1)(1)(1),223238P C ξ==--+-=g g g g 22213441121127(2)()(1)(1)(1),22322324P C C ξ==--+-=g g g g g33222441121121(3)()(1)(1)()(1),2232233P C C ξ==--+-=g g g g g g4334121121(4)()(1)()(1),2322316P C ξ==-+-=g g g g4121(5)(),2324P ξ===g ……………………………………………………………10分所以随机变量ξ的分布列如下：ξ0 1 2 3 4 5P14818 724 13 316 124 故117131801234548824316243E ξ=+++++=g g g g g g ………………………12分19. (本小题满分12分)解： （Ⅰ）证明：根据三视图知：三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，12AB BC AA ==，90ABC ︒∠=连结1A C ，交1AC 于点O ，连结OD .由 111C B A ABC -是直三棱柱，得 四边形11ACC A 为矩形，O 为1A C 的中点.又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC △中位线，所以 1A B ∥OD ， 因为 OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以 1A B ∥平面1ADC . …………4分（Ⅱ）解：由111C B A ABC -是直三棱柱，且90ABC ︒∠=，故1,,BB BC BA 两两垂直.如图建立空间直角坐标系xyz B -. …………5分Θ2=BA ，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1D C A C B .所以 (1,2,0)AD =-u u u r，1(2,2,1)AC =-u u u u r设平面1ADC 的法向量为=()x,y,z n ，则有10,0.n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r所以 20,220.x y x y z -=⎧⎨-+=⎩取1=y ，得)2,1,2(-=n . …………………… …6分易知平面ADC 的法向量为(0,0,1)=v . ………7分 由二面角1C AD C --是锐角，得 ||2cos ,3⋅〈〉==n v n v n v .……………8分 所以二面角1C AD C --的余弦值为23. （Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E .因为E 在线段11B A 上，)1,2,0(1A ，)1,0,0(1B ，故可设)1,,0(λE ，其中02λ≤≤.所以 (0,2,1)AE λ=-u u u r，1(1,0,1)DC =u u u u r . ………………………9分因为AE 与1DC 成60︒角，所以1112AE DC AE DC ⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r . ………………………10分即2112(2)12λ=-+⋅，解得1λ=，舍去3λ=. ……………………11分 所以当点E 为线段11B A 中点时，AE 与1DC 成60︒角. ………………………12分 20. (本小题满分13分)解（Ⅰ）当1,0a b ==时,()|1|f x x x =-既不是奇函数也不是偶函数∵(1)2,(1)0f f -=-=,∴(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠-所以()f x 既不是奇函数,也不是偶函数 ………………………………………………3分 （Ⅱ）当1,1a b ==时,()|1|1f x x x =-+, 由5(2)4xf =得52|21|14x x-+= 即2211(2)204x x x ⎧≥⎪⎨--=⎪⎩或2211(2)204x x x⎧<⎪⎨-+=⎪⎩ 解得12121222222xx x +-===或（舍），或 所以2212log log (12)12x +==+-或1x =- ………………………………………………8分 （Ⅲ）当0x =时,a 取任意实数,不等式()0f x <恒成立, 故只需考虑(]0,1x ∈,此时原不等式变为||b x a x --<；即b b x a x x x+<<- 故(]max min ()(),0,1bb x a x x x x+<<-∈又函数()b g x x x =+在(]0,1上单调递增,所以max ()(1)1bx g b x +==+; 对于函数(](),0,1bh x x x x=-∈①当1b <-时,在(]0,1上()h x 单调递减,min ()(1)1bx h b x-==-,又11b b ->+,所以,此时a 的取值范围是(1,1)b b +- ②当10b -≤<,在(]0,1上,()2bh x x b x=-≥-, 当x b =-时,min ()2bx b x-=-,此时要使a 存在,必须有1210b b b ⎧+<-⎪⎨-≤<⎪⎩ 即1223b -≤<-,此时a 的取值范围是(1,2)b b +-综上,当1b <-时,a 的取值范围是(1,1)b b +-; 当1223b -≤<-时,a 的取值范围是(1,2)b b +-;当2230b -≤<时,a 的取值范围是∅ ………………………………………………13分 21. (本小题满分14分)解（Ⅰ）32y x =-………………………………………………3分（Ⅱ）x ax x x f +=)ln(2)(',2)ln(2)('x x ax x x f ≤+=，即x ax ≤+1ln 2在0>x 上恒成立设x ax x u -+=1ln 2)(,2,012)('==-=x xx u ，2>x 时，单调减，2<x 单调增， 所以2=x 时，)(x u 有最大值.212ln 2,0)2(≤+≤a u ，所以20ea ≤<. ………………………………………………8分 （Ⅲ）当1=a 时，x x x x f x g ln )()(==, e x x x g 1,0ln 1)(==+=,所以在),1(+∞e 上)(x g 是增函数，)1,0(e上是减函数.因为11211<+<<x x x e，所以111212121ln )()ln()()(x x x g x x x x x x g =>++=+即)ln(ln 211211x x x x x x ++<,同理)ln(ln 212212x x x x x x ++<. 所以)ln()2()ln()(ln ln 2112212112122121x x x xx x x x x x x x x x x x +++=++++<+ 又因为,421221≥++x x x x 当且仅当“21x x =”时，取等号. 又1),1,1(,2121<+∈x x ex x ，0)ln(21<+x x ,所以)ln(4)ln()2(21211221x x x x x x x x +≤+++,所以)ln(4ln ln 2121x x x x +<+，所以：42121)(x x x x +<. ………………………………………………14分高考模拟数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合20x A xx ⎧-⎫=≤⎨⎬⎩⎭，{}0,1,2,3B =，则A B I =（ ）. A ．{1,2} B ．{0,1,2} C ．{1} D ．{1,2,3} 2.已知21zi i=--，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.一个袋中有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为（ ）.A ．132 B ．164 C ．364 D ．3324.命题“2230ax ax -+>恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．03a <<B ．0a <或3a ≥ C. 0a <或3a > D. 0a ≤或3a ≥ 5.函数lg xy x=的图像大致是（ ）.A ．B ． C. D ． 6.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan()4πα+=（ ）.A ．17-B ．7 C. 17D ．-7 7.已知向量满足a r 、b r ，满足2a =r ，1b =r ，()0a b b -•=r r r，那么向量a r 、b r 的夹角为（ ）.A ．30°B ．45° C.60° D ．90°8.已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过左焦点1F 作斜率为33的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段1F P ，则双曲线的离心率为（ ）.A ．3B ．51+ C. 2 D ．23+ 9.函数()cos 2f x x =的周期是T ，将()f x 的图像向右平移4T个单位长度后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ）.A ．最大值为1，图像关于直线2x π=对称 B ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 C.在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图像关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 10.在四面体ABCD 中，AB CD ⊥，1AB AD BC CD ====，且平面ABD ⊥平面BCD ，M 为AB 中点，则线段CM 的长为（ ）. A ．2 B ．3 C.32 D ．2211.过抛物线2:2C x y =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A B 、两点若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段AF =（ ）.A ．1B ．2 C.3 D ．412.在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、所对的边，且满足=b c ，1cos cos bBa A-=，若点O 是ABC∆外一点，(0)AOB θθπ∠=<<，2OA =，1OB =，则平面四边形OACB 面积的最大值是（ ）.A ．4534+ B ．8534+ C.3 D ．452+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.如图所示的程序框图，输出的S = ．14.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．15.若非负实数,x y 满足：125y x x y ≥-⎧⎨+≤⎩，（2,1）是目标函数3(0)z ax y a =+>取最大值的最优解，则a 的取值范围为 ．16.若直角坐标系内A B 、两点满足：（1）点A B 、都在()f x 的图像上；（2）点A B 、关于原点对称，则称点对(,)A B 是函数()f x 的一个“姊妹点对”，点对(,)A B 与(,)B A 可看作一个“姊妹点对”.已知函数22(0)()2(0)x x x x f x x e⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“姊妹点对”有 个． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的前n 项和为12n S a =，，12n n a S +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和nT .18. 如图，在三棱柱111ABC AB C -中，AB ⊥平面11BB C C .且四边形11BB C C 是菱形，160BCC ∠=︒.（1）求证：1AC B C ⊥；（2）若1AC AB ⊥,三棱锥1A BB C -的体积为63，求ABC ∆的面积. 19. 二手经销商小王对其所经营的A 型号二手汽车的使用年数x 与销售价格y （单位：万元/辆）进行整理，得到如下数据：下面是z 关于x 的折线图：（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）求y 关于x 的回归方程并预测某辆A 型号二手汽车当使用年数为9年时售价大约为多少？（b$、ˆa 小数点后保留两位有效数字）.（3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据（2）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？参考公式：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()ˆ()n niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑.参考数据：61187.4i ii x y==∑，6147.64i i i x z ==∑，621139i i x ==∑，621() 4.18i i x x =-=∑，621()13.96i i y y =-=∑，621()1.53ii z z =-=∑，ln1.460.38≈，ln0.71180.34≈-.20. 已知O 为坐标原点，圆22:(1)16M x y ++=，定点(1,0)F ，点N 是圆M 上一动点，线段NF 的垂直平分线交圆M 的半径MN 于点Q ，点Q 的轨迹为E . （1）求曲线E 的方程；（2）已知点P 是曲线E 上但不在坐标轴上的任意一点，曲线E 与y 轴的焦点分别为12B B 、，直线1B P 和2B P 分别与x 轴相交于C D 、两点，请问线段长之积OC OD •是否为定值？如果还请求出定值，如果不是请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点C 坐标为（-1,0），设过点C 的直线l 与E 相交于A B 、两点，求ABD ∆面积的最大值.21. 已知函数，2()ln f x x a x =-+，a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当4a =时，记函数()()g x f x kx =+，设1212()x x x x <、是方程()0g x =的两个根，0x 是12x x 、的等差中项. ()g x '为函数()g x 的导函数，求证：()0g x '<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是6cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 是参数）.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程（普通方程）；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，且27AB =，求直线的倾斜角α的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x x =+-.（1）求关于x 的不等式()3f x <的解集；（2）如果关于x 的不等式()f x a <的解集不是空集，求实数a 的取值范围.文科数学答案一、选择题：题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案AACBDCCABCAB二、填空题：13．88； 14．64+4π； 15．[6,)+∞； 16．2 三、解答题：17.解：（1）∵12n n a S +=+∴12(2)n n a S n =-+≥.两式作差得：11n n n n n a a S S a +--=-=， 所以：12n n a a +=，即12(2)n n na a n a +=≥. 又当1n =时：2124a S =+=，∴212a a =成立； 所以数列{}n a 是公比为2，首项为2的等比数列，∴1.12()n n n a a q n N -==∈.(2)由（1）可得：2log n n b a n ==，11111(1)1n n b b n n n n +==-++， ∴111111()()...()12231n T n n =-+-++-+, 1111nn n =-=++. 18.解：（1）证明：连结1BC ，因为AB ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，所以1AB B C ⊥. 因为四边形11BB C C 是菱形，所以11B C BC ⊥, 又因为1AB BC B =I ，所以1B C ⊥平面1ABC . 因为1AC ⊂平面1ABC ，所以11B C AC ⊥.（2）由AB ⊥平面11BB C C ，1BC BB =可知1AC AB =. 设菱形11BB C C 的边长为a ，因为160BCC ∠=︒，所以22221112cos1203B C BC BB BC BB a =+-••︒=.因为1AC AB ⊥，所以222113AC AB B C a +==，所以162AC AB a ==. 因为AB ⊥平面11BB C C ，BC ⊂侧面11BB C C ，所以AB ⊥BC , 所以在Rt ABC ∆中，2222AB AC BC a =-=. 因为1111126sin12033223A BBC BB C V S AB a a a -∆==---︒-=, 解得：2a =，所以222AB a ==，2BC a ==. 所以1122222ABC S BC AB ∆=•=⨯⨯=. 19.解：（1）由已知： 4.5x =,2z =,6147.64i ii x z==∑，621()4.18ii x x =-=∑，621()1.53ii z z =-=∑，所以12211()()47.646 4.52 6.36 6.36()0.994.18 1.53 6.3954 6.40()()niii n niii i x x z z r x x z z ===---⨯⨯===-≈⨯--∑∑∑.z 与x 的相关系数大约为0.99，说明z 与x 的线性相关程度很高.（2）11222211()()47.646 4.52 6.36ˆ0.361396 4.517.5()nniii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====----⨯⨯====-≈--⨯--∑∑∑∑.ˆˆ20.36 4.5 3.62ay bx =-=+⨯=. 所以z 关于x 的线性回归直线方程为ˆ0.36 3.62ln z x y =-+=. 所以y 关于x 的回归方程为：0.36 3.62ˆx y a -+=，当9x =时，0.38ˆ 1.46ya =≈，所以预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价大约为1.46万元.（3）令ˆ0.7118y≥，即0.36 3.63ln0.71180.340.7118x e e e -+-≥== ,所以0.36 3.620.34x -+≥-，解得：1x ≤ .因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年.20.解：（1）依题意可得：圆M 的圆心坐标为(1,0)M -半径为4r =，QN QF =,则4QN QM QF QM R MF +=+==> .根据椭圆定义，E 是以(1,0)M -,(1,0)F 为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为：22221(0)x y a b a b+=>>,∴24,22,a c ==即2,1a c ==，∴223b a c =-=.∴E 的方程为：22143x y +=. （2）证明：设00(,)P x y 直线1B P 方程为：0033y y x x +=-， 令0y =得：0033C x x y =+，同理可得：0033D x x y =-，所以200200333333C D x x x OC OD x x y y y •=•=•=-+-. 因为点P 是E 上且不在坐标轴上的任意一点，所以2200143x y += 即22200031244(3)x y y =-=-,所以2200220034(3)433x y OC OD y y -•===--，因此OC OD •的定值为4. （3）当点C 的坐标为（-1,0）时，点(4,0)D -，3CD =, 设直线l 的方程为：1x my =-，1122(,),(,)A x y B x y ,联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消x 并整理得：22(34)690m y my +--=.解得：221222361361,3434m m m m y y m m -+++==++, 所以212212134m y y m +-=+.所以ABD ∆的面积,2212222213121181181223434311m m S CD y y m m m m ++=•-=-==+++++.∵20m ≥，211m +≥，∴13y x x=+在[1,)+∞上为增函数, ∴22113131411m m ++≥⨯+=+，所以∴18942S ≤=，所以当0m =即直线AB 的方程为：1x =-时，ABD ∆面积的最大值是92. 21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞,又22()2a x af x x x x-=-=- ,当0a ≤时；在()0,+∞上()f x 为减函数； 当0a >时；()0f x '=得：12a x =或22ax =-（舍）. 在(0,)2a 上()0f x '>，()f x 是增函数；在()2a+∞，上()0f x '<，()f x 是减函数； （2）∵2()4ln g x x x kx =-+，∴4()2g x x k x'=-+. 又1202x x x +=,2111122222()4ln 0()4ln 0g x x x kx g x x x kx ⎧=-+=⎨=-+=⎩. 两式相减得：121212124(ln ln )()()()0x x x x x x k x x --+-+-=,1212124(ln ln )()x x k x x x x -=+- .004()020g x x k x '<⇔-+<, 1212124(ln ln )80x x x x x x -⇔-<+-,11122121222(1)2()ln1x x x x x x x x x x --⇔<=++令12xt x =，即(0,1)t ∈,即证2(1)4ln 211t t t t -⇔<=-++. 令4()ln 2(01)1h t t t t =+-<<+,∴22214(1)()(1)(1)t h t t t t t -'=-=++. 当(0,1)t ∈时，()0h t '>，()h t 为增函数，∴()(1)0h t h <=. ∴4ln 21t t <-+成立，所以原不等式成立. 22.解析：（1）由6cos ρθ=得26cos ρθ=． ∵222x y ρ+=，cos x ρθ=,cos y ρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=，即223=9x y -+（）； （2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得22(cos 2)(sin )9t t αα-+=.化简得24cos 50t t α--=．设,A B 两点对应的参数分别为12t t 、，则12124cos ,5.t t t t α+=⎧⎨=-⎩∴12AB t t =- ,221212()416cos 2027t t t t α=+-=+=.∴2216cos 8,cos 2αα==±, ∵[0,)απ∈∴4πα=或34π． 23.解：（1）()2f x <，即23x x +-<，原不等式可化为：0223x x ≤⎧⎨-+<⎩或0223x <<⎧⎨<⎩或2223x x ≥⎧⎨-<⎩，解得：102x -<≤或02x <<或522x ≤<， ∴不等式的解集为：1522x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； （2）()2(2)2f x x x x x =+-≥-=,故若关于x 的不等式()f x a <的解集不是空集，则2a >， ∴a 的范围是(2,)+∞.高考模拟数学试卷第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．函数23log (21)y x =-的定义域是A ．[1，2]B ．[1,2)C ．1(,1]2D ．1[,1]22．“0m <”是“函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3．已知定义在区间[0,2]上的函数()y f x =的图象如右图所示，则(2)y f x =--的图象为4．已知圆22:68210C x y x y ++++=，抛物线28y x =的准线为，设抛物线上任意一点P 到直线的距离为m ，则||PC m +的最小值为A ．5 B.41 C.41-2 D.4 5．2020年西安地区特长生考试有8所名校招生，若某3位同学恰好被其中的2 所名校录取，则不同的录取方法有A ．68种B ．84种C ．168种D ．224种 6．右图是计算10181614121++++值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条 件是A ．5>kB ．5<kC ．5≥kD ．6≤k7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201312014a a a -<<-，则必定有A ．201320140,0S S ><且B ．201320140,0S S <>且C ．201320140,0a a ><且D ．201320140,0a a <>且8．已知O,A,M,B 为平面上四点，且(1)OM OB OA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r，实数(1,2)λ∈，则A. 点M 在线段AB 上B. 点B 在线段AM 上C. 点A 在线段BM 上D. O,A,M,B 一定共线9．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中120,1A b ==o ，且ABC ∆面积为3,则sin sin a bA B+=+A ．21B ．2393C ．221 D. 2710．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数()x R ∈，如：[][][]1.32,0.80, 3.43-=-==．定义{}[]x x x =-，给出如下命题：① 使[]31=+x 成立的x 的取值范围是23x ≤<； ② 函数{}y x =的定义域为R ，值域为[]0,1；③ 23201420132013201320132014201420142014⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫++++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭L 1007；④ 设函数(){}()010x x f x f x x ≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩ ，则函数()1144y f x x =--的不同零点有3个.其中正确的命题有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置） 11．复数3i+41+2i的虚部是__ ___．12．若 11(2)3ln 2(1)ax dx a x+=+>⎰，则a 的值是__ ___．13．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为__ ___．14．在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立；在凸四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在凸五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立，…，依此类推，在凸n 边形n A A A Λ21中，不等式12111nA A A ++L +≥__ ___成立.15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A.（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为2,2212x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (为参数)，圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数), 则圆心C 到直线的距离为_________．B ．（几何证明选讲）如右图，直线PC 与圆O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ， 4PC =，8PB =,则CE =_________．C ．（不等式选讲）若存在实数x 使12x m x -++≤成立，则实数m 的取值范围是_________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=672sin cos 22πx x x f . (Ⅰ)求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值时x 的取值集合； （Ⅱ）已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3(),2f A = 2.b c +=求实数a 的最小值. 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，211,(1),1,2,.2n n a S n a n n n ==--=L (Ⅰ)证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n S nn 1是等差数列，并求n S ； （Ⅱ）设233nn S b nn +=，求证：125.12n b b b ++L +< 18．（本小题满分12分）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA 1=4，点D 在棱AB 上．(Ⅰ) 若D 是AB 中点，求证：AC 1∥平面B 1CD ； （Ⅱ）当13BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值． 19．（本小题满分12分）某市公租房的房源位于C B A ,,三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任4位申请人中 (Ⅰ)恰有2人申请A 片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列和期望.20．（本小题满分13分）已知函数()x e f x x=的定义域为(0,)+∞.（I ）求函数()f x 在[]1(0)m m m +>，上的最小值；（Ⅱ）对(0,)x ∈+∞任意，不等式2()1xf x x x λ>-+-恒成立，求实数λ的取值范围.21．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形B AF F 21是边长为2的正方形.（I ）求椭圆方程；（Ⅱ）若D C ,分别是椭圆长轴的左右端点，动点M 满足CD MD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ，证明：OP OM •为定值；（III ）在（Ⅱ）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线MQ DP ,的交点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.数学（理科） 参考答案与评分标准一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CABBCAABDC二、填空题11．-1； 12．2； 13．23； 14．; 15．A. 322； B ．512； C ．[3,1]-．三、解答题16．（本小题满分12分） 解：(Ⅰ)2777()2cos sin(2)(1cos 2)(sin 2cos cos 2sin )666f x x x x x x πππ=--=+-- 311+sin 2cos 21+sin(2)226x x x π=+=+. ∴函数)(x f 的最大值为2.要使)(x f 取最大值，则sin(2)1,6x π+=22()62x k k Z πππ∴+=+∈ ，解得,6x k k Z ππ=+∈.故x 的取值集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. ………6分 （Ⅱ）由题意，3()sin(2)162f A A π=++=，化简得 1sin(2).62A π+=()π,0∈A Θ，132(,)666A πππ∴+∈，∴5266A ππ+=， ∴.3π=A在ABC ∆中，根据余弦定理，得bc c b bc c b a 3)(3cos 22222-+=-+=π.由2=+c b ，知1)2(2=+≤c b bc ，即12≥a . ∴当1==c b 时，实数a 取最小值.1 ………12分17. （本小题满分12分）解：(Ⅰ)证明：由)1(2--=n n a n S n n 知，当2≥n 时：)1()(12---=-n n S S n S n n n ，即)1()1(122-=---n n S n S n n n ，∴1111=--+-n n S n nS n n ，对2≥n 成立.又⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∴=+n S n n S 1,11111是首项为1，公差为1的等差数列. 1)1(11⋅-+=+n S n n n ，∴12+=n n S n . ………6分 （Ⅱ）)3111(21)3)(1(1323+-+=++=+=n n n n nn S b n n ，………8分 ∴)311121151314121(2121+-+++-+⋯+-+-=+⋯⋯++n n n n b b b n =125)312165(21<+-+-n n . ………12分 18．（本小题满分12分）解 (Ⅰ) 证明：连结BC 1，交B 1C 于E ，连接DE ． 因为 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，D 是AB 中点，所以 侧面B B 1C 1C 为矩形，DE 为△ABC 1的中位线，所以 DE// AC 1．因为 DE ⊂平面B 1CD ， AC 1⊄平面B 1CD ，所以 AC 1∥平面B 1CD ．……… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知AC ⊥BC ，如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C-xyz ． 则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A 1 (0, 4, 4)，B 1 (3, 0, 4)．设D (a, b, 0)（0a >，0b >），因为 点D 在线段AB 上，且13BD AB =，即13BD BA =u u u r u u u r ．所以2a =，43b =，4(1,,0)3BD =-u u u r ，1(3,0,4)CB =u u u r, ,4(2,,0)3CD =u u u r ．平面BCD 的法向量为1(0,0,1)n =u u r ． 设平面B 1 CD 的法向量为2(,,1)n x y =u u r，由120CB n ⋅=u u u r u u r，20CD n ⋅=u u u r u u r ， 得 3404203x x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 所以 43x =-，2y =，24(,2,1)3n =-u u r .所以 12123cos 61n n n n θ⋅==u u r u u r u u r u u r ． 所以二面角1B CD B --的余弦值为36161．……… 12分19. （本小题满分12分）解 (Ⅰ)所有可能的申请方式有43种, 恰有2人申请A 片区房源的申请方式有2242•C 种,从而恰有2人申请A 片区房源的概率为278324224=•C ， ……… 5分 （Ⅱ）ξ的所有可能值为321，，， 27133)1(4===ξP ,27143)()2(42224341223=+==C C C C C P ξ，943)3(4122413===C C C P ξ，综上知, ξ的分布列为从而有2765943271422711=⨯+⨯+⨯=ξE . ……… 12分20. （本小题满分13分）……… 1分……… 3分（I ）, ……… 5分……… 7分……… 9分，……… 13分21．（本小题满分14分）解：（I ）222,,2c b a c b a +===，22=∴b ，∴椭圆方程为12422=+y x ,………4分（Ⅱ）)0,2(),0,2(D C -，设),(),,2(110y x P y M ，则),2(),,(011y OM y x OP ==→→,直线CM ：042y y y x -=-，即00214y x y y +=，代入椭圆4222=+y x 得042121)81(2020220=-+++y x y x y ,8)8(2,8)8(4)2(2020120201+--=∴+-=-y y x y y x Θ，882001+=∴y y y ，)88,8)8(2(2002020++--=∴→y y y y OP ，48324888)8(42020********=++=+++--=⋅∴→→y y y y y y OM OP （定值）,………10分 （III ）设存在)0,(m Q 满足条件，则DP MQ ⊥,, ………14分高考模拟数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
四川省成都市成都市石室中学2022-2023学年高三上学期期中数学理科试题
【答案】A
【解析】
【分析】由三视图可还原几何体为一个正方体挖去一个圆锥，根据柱体和锥体的体积公式可求得结果.
【详解】由三视图可知几何体是一个棱长为 的正方体挖去一个底面半径为 ，高为 的圆锥，如图所示，
几何体体积 .
故选：A.
6.已知命题p：在 中，若 ，则 ；命题q：向量 与向量 相等的充要条件是 且 .在下列四个命题中，是真命题的是（）
A.10B.11C.12D.13
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，化简 ，得 ，可得 ，利用参考数据，可得答案.
【详解】因为 ，所以 .由题意，知 ，得 ，故被测标本的DNA大约扩增12次后，数量会变为原来的125倍.
故选：C
10.设 ， ， （其中e是自然对数的底数），则（）
A. B. C. D.
成都石室中学2022-2023学年度上期高2023届11月半期考试
理科数学
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z满足 ，则在复平面内复数z对应的点在（）
A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限
2.已知数列 的前n项和是 ，则 （）
（1）求证： 平面 ；
（2）线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的大小为 ？若存在，求出 的长；若不存在，说明理由．
20.已知曲线C上的任意一点到点 的距离和它到直线l： 的距离的比是常数 ，过点F作不与x轴重合的直线与曲线C相交于A，B两点，过点A作AP垂直于直线l，交直线l于点P，直线PB与x轴相交于点M.
（1）求角C
（2）若 ，D为 的中点， ，求 的面积．
18.全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期开学定时练习数学试题
四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期开学定时练习数学试题一、单选题1．已知集合(){|ln 5,N}A x y x x ==-∈，{|e }x B y y ==，则A B ⋂的子集个数为（ ） A ．4B ．14C ．15D ．162．“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（ ）A ．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数B ．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数C ．样本中选择物理学科的人数较多D ．样本中男生人数少于女生人数4．已知{}n a 为等比数列，23746a a a a a =，91027a a =-，则7a =（ ） A ．3B ．2C ．2-D ．3-5．已知函数()ln f x x =的图像与直线1y ax =+相切，则a 的值为（ ） A ．1eB ．21e C ．e D ．2e6．已知M ，N 分别是正四面体ABCD 中棱AD ，BC 的中点，若点E 是棱CD 的中点.则MN 与AE 所成角的余弦值为（ ）A ．BC ．D 7．若12sin 33a =+，11cos 318b =+，则（ ）A ．1a b >>B ．1a b >>C ．1b a >>D ．1b a >>8．若直线1l 和直线2l 相交于一点，将直线1l 绕该点按逆时针旋方向转到与2l 第一次重合时所转的角为θ，则角θ就叫做1l 到2l 的角，2112tan 1k k k k θ-=+，其中12,k k 分别是12,l l 的斜率，若双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，A 是右顶点，P 是直线2a x c =上的一点，e是双曲线的离心率，APF θ∠=，则tan θ的最大值为（ ） AB CD二、多选题9．下列命题中，正确的是（ ）A ．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，若()00.3P X ≤=，则(4)0.3P X <=B ．用X 表示n 次伯努利试验中事件A 发生的次数，p 为每次试验中事件A 发生的概率，若()150E X =，()50D X =，则23p =C ．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A =“第一枚正面朝上”，B =“第二枚反面朝上”，则有：()()P BA PB =∣ D ．已知随机变量X 的分布列为()()()1,2,3,,1001aP X i i i i ===+L ，则101100a = 10．设函数()3231f x ax x =-+，则（ ）A ．当0a <时，0x =是()f x 的极小值点B ．当02a <<时，()f x 有三个零点C ．当1a =时，若()f x 在()1,m -上有最大值，则0m >D ．若()f x 满足()()22f x f x +-=-，则1a =11．已知{}n a 满足11a =，()221110n n n n a n a a na ++---=，记{}1n na +的前n 项和为n T ，{}n T 的前n 项和为n S ，则下列说法中不一定正确的是（ ）A ．1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列B ．{}n a 的通项公式为()1!n a n =-或()11n n a -=-C ．若0n a >，则()1!1n T n =+-D ．若10n n a a +<，则2n S 为定值三、填空题12．若 ()554325432102x a x a x a x a x a x a +=+++++，则531420a a a a a a ++=++.13．学校从高一、高二、高三中各选派10名同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为5、6、7，学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为．14．已知不等式e e x x x ax b -≥+对任意R x ∈恒成立，则当ba取最大值时，a =.四、解答题15．已知集合{|3217}A x x =-<+<，4|02x B x x +⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭＞，{|321}C x a x a =-≤≤+. (1)求()R A B I ð；(2)若“()R :p x A B ÎU ð”是“:q x C ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，π3ABC ∠=，H 为BC的中点，PA PB PH ==E 为PD 上的一点，已知4PD PE =.(1)证明：平面PAB ⊥平面ABCD ； (2)求平面EAC 与平面PAB 夹角的余弦值.17．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x 分钟/每天）和他们的数学成绩（y 分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.(1)请利用散点图说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y 关于x 的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩； （参考数据：5221155122820,435,38999,107.411540i i i i i i i x y y y ===∑=∑=∑=≈，i x 的方差为200）(2)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习及成绩是否有进步统计，得到22⨯列联表（表二）.依据表中数据及小概率值0.001α=的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.附：方差：()2211i n i S x x n ==∑-，回归方程$y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑$，$ay bx =-$，22()()()()()n adbc a b c d a c b d χ-=++++.18．经过圆22:5O x y +=上一动点P 作椭圆22:14x C y +=的两条切线，切点分别记为,A B ，直线,PA PB 分别与圆O 相交于异于点P 的,M N 两点.(1)求证：0OM ON +=u u u u r u u u r r； (2)求OAB V 的面积的取值范围.（参考结论：点00P x y （,）是椭圆222210x y a b a b+=>>（）外一点，过P 作该椭圆的两条切线，切点为A,B ，则直线AB 的方程为00221x x y ya b+=.） 19．已知函数()213ln 044f x a x x x a =+-+>（） (1)判断f x 的单调性；(2)若f x 有且仅有一个零点，求a 的取值范围；(3)若a 取第（2）问所求范围的最小值，且数列 a n 满足，12a =，15144n n n n f a a a a ++-=（），求证：*N n ∀∈，1413nk k a =-<∑.。
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四川省2020年上学期成都石室中学高三数学理开学考试试题
一、选择题（共12小题；共60分）
1.已知集合(){}(){},0,,R ,,+10,,R A x y x y x y B x y x y x y =+=∈=-=∈，则集合A B 的元素个数是
（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 2．i 为虚数单位， 512i
z i
=
+， 则的共轭复数为 （ ） A.2i - B ．2i + C.2i -- D ．2i -+
3．石室中学为了解1 000名学生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则以下4名学生中被抽到的是（ ） A ．8号学生 B ．200号学生
C ．616号学生
D ．815号学生
4．函数2
()ln 1f x x x
=-
+的零点所在的大致区间是（ ） A ．(1,2) B ．(2,)e C ．(,3)e D ．(3,)+∞
5．已知向量(1)a m =，，(32)b m =-，，则3m =是a //b 的（ ）
A ．充要条件
B ．既不充分也不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．充分不必要条件
6 ．
已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3a =2b =，60A =︒，则B 为（ ） A ．60° B ．60°或120°
C ．30°
D ．30°或150°
7．下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞单调递减的函数是（ ）
A ．22x x y -=-
B ．tan y x x =
C ．sin y x x =-
D ．1
2y x x
=
- 8．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，
当
2MA MF
=AMF ∆的面积为（ ）
A ．1
B 2
C ．2
D ．229. 如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果， 则图中空白框内应填入（ ） A ．1000N P =
B ．41000N P =
C ．1000M P =
D ．41000
M
P = 10. 已知235log log log 1x y z ==<-，则2,3,5x y z 的大小关系为（ ） A ．235x y z << B ．325y x z <<
C ．523z x y <<
D ．532z y x <<
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（ ） A ．11π
B ．
143
π
C ．
283
π
D ．16π
12.已知a 为常数，函数()2
12e 1+2
x
f x ax ax a =-
-+有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则下列结论正确的是（ ）
A ．0a < B.01a << C ．()15f x > D ．()23f x > 二、填空题（共4小题；共20分）
13.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的离心率为2，
则该双曲线的渐近线方程为_______________ 14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.
15．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，
()3()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值集合是___________．
16.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，
过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，则：①平面α分正方体所得两部分的体积相等；②四边形1BFD E 一定是平行四边形；
③平面α与平面1
DBB不可能垂直；④四边形
1
BFD E的面积的最大值为2.
其中所有正确结论的序号为_______
三、解答题（共6小题；共70分）
17. (本题满分12分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x)和物理成绩(y)，绘制成如图散点图：
根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点,A B．经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：424242
111
4620,3108,350350,
i i i i
i i i
x y x y
===
===
∑∑∑()
422
1
16940,
i
i
x x
=
∑-=()
422
1
5250,
i
i
y y
=
∑-=其中,i i
x y 分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，1,2,3,,42
i=，y与x的相关系数0.82
r=．（Ⅰ）若不剔除,A B两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为0r．试判断0r与r的大小关系（不必说理由）；
（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并估计如果B考生参加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？
附：回归方程y a bx
=+中,11
2
22
11
()()
=
()
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nx y
a y bx
x x x n
b
x
==
==
---
==-
--
∑∑
∑∑
，
18．已知三次函数32()41f x x ax x =+++(a 为常数). （1）当1a =时，求函数()f x 在2x =处的切线方程； （2）若0a <，讨论函数()f x 在()0,x ∈+∞的单调性.
19.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=︒． （1）求证：AC ⊥平面BDEF ；
（2）求直线AD 与平面AEF 所成角的正弦值．
20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>3
，短轴长为2，直线l 与
椭圆有且只有一个公共点． （1）求椭圆的方程；
（2）是否存在以原点O 为圆心的圆满足：此圆与直线l 相交于P ，Q 两点（两点均不在坐标轴上），且OP ，OQ 的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，请说明理由．
21．已知函数()1
ln 1f x a x x
=+-，其中常数a ∈R ，自然常数 2.71828e ≈. （Ⅰ）当实数13
a =
时，求()f x 在区间2
,e e ⎡⎤⎣⎦上的最值； （Ⅱ）设函数()()1x g x e f x x
=+-在区间()
0,a
e -上存在极值，求证：11a a e a --+>+.
22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的参数方程为2cos (22sin x y ϕ
ϕϕ
=⎧⎨
=-+⎩为参数）． （Ⅰ）写出2C 的极坐标方程；
（Ⅱ）过原点O 的射线与1C 的异于极点的交点为A ，(0)3
xOA π
αα∠=<<，B 为2C 上的一点，且
π
∠=，求AOB
AOB
∆面积的最大值．3。