华师大版七年级数学下册《三角形内角和与外角和》PPT课件

课堂小结
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边 必须是三角形另一边的延长线
三角形 的外角
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和
三角形的 外角和
三角形的外角和等于360 °
A 51 °
20 ° D
30 °
B CC
E
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解：（解法一）连接AD并延长于点E. 在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
A 51 °
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4. 因为∠BDC=∠3+∠4，
20 ° D
∠BAC=∠1+∠2，
B
E
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
因为∠ACD+∠ACB = 180°， ∠A +∠B +∠ACB = 180°，
所以∠ACD -∠A -∠B = 0（等量减等量，差相等） 于是∠ACD =∠A +∠B.
由此得到： 1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
2.三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.
做一做 如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C 的度数.
七年级数学下（HS） 教学课件
9.1 三角形
9.1.2 三角形的内角和与外角和
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.通过操作活动，使学生发现三角形的内角和是180°; 2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数;（重点、
难点） 3.掌握三角形的外角的性质及外角和.重点、
难点）
导入新课
观察与思考 将三角形纸片分别按下面两种方法进行折
你还有其他 解法吗？
E A
1
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
B2
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
F
3
C
D
方法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ，
E
∠CBF +∠2=180 ° ②，
A
∠ACD +∠3=180 ° ③，
1
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ①+ ②+ ③得
30 ° C
=51° +20°+30°=101°.
（解法二）延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
A 51 °
E
所以∠BDC =∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°.
20 ° D B
（解法三）连接延长CD交AB于点F.（解题过
B
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因为直线在平移下的像是与它平行
的直线，所以 B'C'∥BC.
则∠BAB=∠B，∠CAC =∠C. 又∠BAB+∠BAC+∠CAC =180，
所以∠B+∠BAC+∠C=180°.
由此得到： 三角形的内角和等于180°.
你还能想出其它的方法推出这个结论吗？
A
A
D
1
ll
Am
1
B
2
CB
4 35
C
2 4 56
30 ° C
程同解法二）
重要发现： ∠BDC= ∠1+ ∠2+ ∠3.
2 B
A 1
D 3 C
当堂练习
1.已知△ABC中，∠A＝ 70°，∠C＝30°，∠B＝___8_0_°_. 2.直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角是___2_0_°__. 3.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=____5_0_°_.
C
D
E
∠CAE=90 °- ∠AEC.
在Rt△BDE中，
A
B
∠DBE=90 °- ∠BED.
∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.
三 三角形的外角的性质
问题1 在图中，外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B 之间有什么大小关系？
我觉得可以利用 “三角形的内角和等 于180°”的结论.
几何问题借助方程 来解. 这是一个重要
的数学思想.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.
例2 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °, AD 是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
解: 由∠BAC=40 °，AD是△ABC的角平分线，得
叠、剪拼等操作，你能发现什么？ A
B C
折叠三角形纸板，可以 把它的三个角拼成一个角.
可以将∠A，∠B 剪下并移 至顶点C处拼接成一个角.
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
讲授新课
一 三角形的内角和
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.
如图，将△ABC的边BC所在的直线
平移，使其经过点A，得到直线B'C' .
70°
又因为∠B=∠BAD，
所以B 80 1 40, 在△ABC中： 2
40°
80°
B
D
C
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180º-40º-70º=70°.
课堂小结
三角形的 内角和定理
证明
了解添加辅助线 的方法及其目的
内 容 三角形内角和等于180 °
三角形的 内角
直角三角形的 两锐角互余
A
直角三角形的两个锐角互余．
应用格式：
在直角△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
B ∴ ∠A +∠B =90°．
C
直角三角形可以用符号“Rt△”表示， 直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC
例3 如图， ∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与
∠DBE有什么关系？为什么？ 解：在Rt△ACE中，
解：因为∠B+∠C=∠CAD， 所以∠C=∠CAD-∠B， 所以∠C=100°-30°=70°.
问题2 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，
它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和，得 ∠BAE= ∠2+ ∠3， ∠CBF= ∠1+ ∠3, ∠ACD= ∠1+ ∠2.
C
∠BAD= 1∠BAC=20 °.
2
D
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
A
B
=180°-75°-20°
=85°.
二 直角三角形的内角性质
问题1 在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，∠B 的度数
吗？为什么？你能求出∠A +∠B 的度数吗？利用上面的结果，
你能得出什么结论？
4.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B= 36°， ∠C= 76°，则∠DAC的度数为_3_4_°_____.
5 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°， ∠BAC=70°，求：（1）∠B 的度数； （2）∠C的度数.
解：因为∠ADC是△ABD的外角.
A
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
B2
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD F
3
C
D
+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
要点归纳
三角形的外角和等于360°.
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
E
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
A
1
B2 F
3
C
D
典例精析 例4 (一题多解）如图，计算∠BDC.
3
B
P
C
E
多种方法证明的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三 个角转化成一个平角.
典例精析
例1 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍， ∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°， ∠C为(x ＋ 15)°， 从而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解得 x ＝ 33.