概率论与数理统计 期末考试真题 东华大学

1、已知袋中有1个蓝球、2个红球、3个黑球、4个白球，从中不返回的取球，一次一个。则第一、二次都是红球的概率是 。

2、已知三个随机变量ζηξ,,中，0,1,1,1=++===-===ηζξζξηρρρζηξζηξD D D E E E 。令

ζηξκ++=，则=κE ；=κD 。

3、已知ξ服从参数为λ的泊松分布，且32=+ξξE E ，则=λ 。

4、已知()4,1~N ξ，()41,,ξξ 是其样本，则()

=≤1ξP （计算到可查表为止）。 5、作5次独立试验，且()3

1

=

A P ，已知5次中事件A 至少有1次不发生，则A 发生3次的概率为 。 二、计算（每题8分，共5题）

1、一实习生用同一台机器制造3个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率为()3,2,111

=+=i i

p i 。用ξ表示3个零件中合格品的个数，求ξ的概率分布率。 2、已知()ηξ,的联合密度函数为()⎩⎨

⎧<<<=其他,

01

0,8,x y xy y x f ，试求ξ的边缘密度函数。

3、某人打靶，得10分的概率为0.3，得9分的概率为0.4，得8分的概率为0.3。现射击100次，求总分多于900的概率（计算到可查表为止）。

4、已知m n +ξξ,,1 是取自总体()

2,0σN 的容量为m n +的样本，设

∑++==

m

n n i i m 1

1

ξξ，()

∑∑++==-=m n n i i

n

i i

C 1

2

12ξ

ξ

ξ

η。

已知η服从()21,n n F 。求C 以及21n n +。

5、自动包装机装包的每包重量服从正态分布()

2,σμN 。据以往资料，4.2=σ，现在经过一段时间使用后，随机的抽查9包，观察得3,100==s x ，在显著性水平05.0=α下，问方差有无显著差异。 三、（15分）

已知ηξ,相互独立，且ξ为[]3,0上的均匀分布，η服从参数0>λ的指数分布。已知()1=+ηξD 。 1、求()ηξ,的联合密度函数()y x f ,；2、()ηξ≤P ；3、求ηξζ+=的密度函数()z f ζ。 四、（16分）

设总体()

2,0~σξN ，2σ有限且大于0，()n ξξ,,1 是其样本，2S 是样本方差。

1、求2σ的极大似然估计2ˆσ

；2、上一问中的2ˆσ与2S 哪个更有效？ 3、设()n n ξξθ,,1 是未知参数θ的一个估计量，若对任意的0>ε，有()

1lim =<-∞

→εθθn n P ，则我们称n

θ是θ的一致估计量。试用切比雪夫不等式证明：2ˆσ

是2σ的一致估计。 五、（4分）

假设对于随机变量ηξ,，有2

3

,1,0=====ξηρηξηξD D E E ，试证明{}

5.1,max 22≤ηξE 。

1、若()()()5.0,4.0,3.0===B A P B P A P ，则()

=B A B P 。 2、已知ξ服从参数为λ的指数分布，且32=+ξξE E ，则=λ 。 3、已知随机变量()1,0~N ξ，令2ξη=，则()=ηξ,cov 。 4、已知()4,1~N ξ，()41,,ξξ 是其样本，则()()

=≤11ξP 。 5、已知()1,0~N ξ，61,,ξξ 为其样本，且()()()

2

64225313

1ξξξξξξη+++++=

b a 服从()

c 2χ，则 =++c b a 。

6、已知()n t ~ξ，当2>n 时，有2

,0-=

=n n

D E ξξ。则若()3,1~F η，那么()=ηE 。 二、（8分）已知()ηξ,的联合密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧>=+-其他,

00

,e π1,225.0xy y x f y x ，试求ξ的边缘密度函数。

三、（8分）一个盒子中有2个正品，8个次品，有放回的连续随机的从中抽取，直到取到次品为止。设此时取到的正品数为ξ，求ξ的分布率以及ξE 。

四、（8分）已知某厂生产一大批电器元件，其不合格率为6

1

=p ，某商店从该厂任意选购6000个这种元件。试问在这6000个元件中，不合格品的比例与

6

1

的差介于01.0±之间的概率是多少（计算到可查表为止）。 五、（8分）某种矿砂的9个样品中镍含量经测定（％），其01.0,26.3==s x 。假设测定值总体服从正态分布，问在01.0=α下能否接受假设：这批矿砂的镍含量平均值为3.25。 六、（16分）已知ηξ,独立同分布，其概率密度函数为：()()+∞<<∞-=-x a x f x

e 。

1、求a ；

2、求ξ的分布；

3、求ηξ+的密度函数。

七、（16分）设[]θξ,0~U ，()n ξξ,,1 是其样本，()n x x ,,1 是其观察值。

1、求θ的矩估计量θˆ和极大似然估计量L θˆ；

2、求θˆE 和L E θˆ以及()

θˆD 和()

L

D θˆ； 3、θˆ和L

θˆ之间能否比较有效性？如可以，哪个更有效？如不可以，说明理由。 八、（6分）请用一个例子说明如下两个等式： ()()1=+A B P A B P ，()()

1=+A B P A B P 均不正确。