线段的最大值与最小值的解题策略

A1
l A2
l
A1
A2
A3
图⑴ 【材料二】： 数轴上任意两点 a、 b 之间的距离可以表示为
图⑵
a b.
【问题一】：若已知直线 l 上依次有点 A1 、 A2 、 A3 、……、 A25 共 25 个点，要确定一点
P，使它到已知各点的距离之和最小，则点
以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。
例 1. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中， ABC 三个点的坐标分别为 A 6,0 ， B 6,0 ，
1 C 0, 4 3 ，延长 AC到点 D, 使 CD= AC , 过点 D作 DE∥ AB交 BC的延长线于点 E.
2
（ 1）求 D点的坐标；（ 2）作 C 点关于直线 DE的对称点 F, 分别连结 DF、EF，若过 B 点的
这不是一道简单的作图题，需要经历以下的思索路径： 简化图形 →转化题意 → 由果索因 → 画图说理
看数据的特殊性， 30°
课堂练习： 1如图，在△ ABC中， AC=BC=，2
∠ ACB=90。，D是BC边的中点，
P 点在 y 轴上运动的速度是它在
E是AB边上一动点，则 EC+ED的最小值是 _______直_ 线 GA 上运动速度的 2 倍．
不难知道，如果直线 l 上依次有 A1 、 A2 、 A3 、 A4 四个点，同样要确定一点 P，使它到 各点的距离之和最小， 则点 P 应取在点 A2 和 A3 之间的任何地方； 如果直线 l 上依次有 A1 、A2 、
A3 、 A4 、 A5 五个点，则相应点 P 的位置应取在点 A3 的位置 .
（ 3）若 BC=6，点 D 在边 AC 的三等分点处，将线段 AD 绕点 A 旋转，点 F 始终为 BD
中点，求线段 CF 长度的最大值．
A
A
A
D
E
E
D
F F
C
B
图1
C
BCB源自图2备图课堂练习 （西城 8）如图，在△ ABC 中，∠ C=90 °， AC=4，BC=2 ，点 A、C
分别在 x 轴、 y 轴上，当点 A 在 x 轴上运动时，点 C 随之在 y 轴 上运动，在运动过程中，点 B 到原点的最大距离是
结 BD ， F 为 BD 中点 .
（ 1）若过点 D 作 DE ⊥ AB 于 E ，连结 CF 、EF 、CE ，如图 1． 设 CF kEF ，则 k =
；
（ 2）若将图 1 中的△ ADE 绕点 A 旋转，使得 D、 E、B 三点共线，点 F 仍为 BD 中点， 如图 2 所示．求证： BE-DE =2CF ；
2在锐角 △ ABC 中， AB 4 2， BAC 45°，
BAC 的平分线交 BC 于点 D，M 、 N 分别
P 点在 GH 上运动速度等于它在 直线 GA 上运动速度．
是 AD 和 AB 上的动点，则 BM MN 的最小值是 __
求 GH+GA 的最小值．
例 2、如图 2，正方形 ABCD的边长为 4，∠ DCB的平分线 CE交 DB于点 E，若点 P,Q 分别是
14-5 线段最大值与最小值的解题思路 回顾： 1．线段公理——两点之间，线段最短； 2．对称的性质——①关于一条直线对称的两
个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；
3．三角形两边之和大于
第三边； 4．三角形两边之差小于第三边。 5、垂直线段最短
一、两点之间线段最短、垂线段最短
线段之和的问题往往是将各条线段串联起来， 再连接首尾端点， 根据两点之间线段最短
A． 2 2 2
B． 2 5 C。 2 6
D． 6
三、线段差的问题
已知两点 A 、 B 与直线 l （ AB 与 l 不平行且在 l 同侧），动点 P
在 l 上，求 PA PB 。 max
连接 AB 并延长交直线 l 于点 P，则点 P 为所求最大值时所取的点， AB PA PB 。 max
先阅读下面材料，然后解答问题： （本小题满分 10 分）
CD=
；
（ 2 ）如图 2 ，当点 D 与点 C 位于直线 AB 的同侧时， a=b=6，且∠ ACB=90°，则
CD=
；
（ 3）如图 3，当∠ ACB变化 , 且点 D 与点 C位于直线 AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相
应的∠ ACB的度数 .
C
C
D
A
B
C
A
B
D
A
B
D
图1
图2
图3
二、三角形两边之和大于第三边
求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，
在该三角形中， 其他两边是
已知的， 则所求线段的最大值为其他两线段之和， 最小值为其他两线段之差。 在转化较难进
行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。
例 1.在 Rt△ ABC 中，∠ ACB =90°，tan∠ BAC = 1 . 点 D 在边 AC 上（不与 A，C 重合），连 2
【材料一】：如图⑴，直线 l 上有 A1 、 A2 两个点，若在直线 l 上要确定一点 P，且使点 P 到点 A1 、 A2 的距离之和最小，很明显点 P 的位置可取在 A1 和 A2 之间的任何地方，此时距离 之和为 A1 到 A2 的距离 .
如图⑵，直线 l 上依次有 A1 、 A2 、 A3 三个点，若在直线 l 上要确定一点 P，且使点 P 到点 A1 、 A2 、 A3 的距离之和最小，不难判断，点 P 的位置应取在点 A2 处，此时距离之和为 A1 到 A3 的距离 . (想一想，这是为什么？ )
CD和 CE上的动点， 则 DQ+PQ的最小值 （ ） A.2 B.
2 2 C.4 D.
已知 : 在△ ABC中， BC=a， AC=b，以 AB为边作等边三角形 ABD. 探究下列问题 :
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（ 1 ）如图 1 ，当点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时， a=b=3，且∠ ACB=60°，则
直线 y kx b 将四边形 CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此
直线的解析式； （ 3）设 G为 y 轴上一点， 点 P 从直线 y kx b 与 y
轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G点，再沿 GA到达 A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA上运动速度的 2 倍，试确定 G点的位 置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短。 （要求：简述确 定 G点位置的方法，但不要求证明）