假设与替换假设与替换

【专题精华】
【教材深化】 题1 鸡兔同笼，共有30个头，88只脚。

笼中鸡、兔各有多少只？ 敏捷思维 假设30只都是鸡，则有脚（30×2）只，比题中的88只脚少，因为每只兔子被假设成鸡时就少了2只脚，从中我们可以求出兔子的只数。

全解 假设都是鸡，则有脚30×2=60（只）。

比原来88只脚少了88－60=28（只）脚，每只兔子被假设成鸡，每只少算4-2=2（只），所以兔子的只数为：28÷2=14（只），则鸡的只数为：30-14=16（只） 拓展探究 这道题是典型的鸡兔同笼问题，可以假设笼中全是鸡或全是兔，那么脚的总数与实际有了出入，根据相差的数量在进行分析，可以求到鸡和兔的正确只数，当然上题可以假设成全是兔子来算，聪明的你不如来试一试。

1．笼子里的鸡和兔共有36只，共有脚100只，那么鸡和兔各有多少只？ 2．鹤和兔共有24只，有68条腿，求兔、鹤各有多少只？
3．（2007·第届小学“希望杯”全国数学邀请赛） 一队猎手一队狗，两队并着一队走。

数头一共
三百六，数脚共八百九，有多少名猎人，多少只狗？
题2 有大小酒桶共80个，每个大桶可装酒25千克，每个小桶课装酒15千克，大桶比小桶共多装600千克。

大小酒桶各有多少个？
敏捷思维 这里没有给出两酒桶的总千克数，而是给出两桶相差数，我们可以假设如果都是大酒桶，则大桶比小桶多装（25×80）千克（因为假设都是大桶，则小桶为0），而实际只是多装了600千克。

每用一个小桶换一个大桶大桶装的酒和小酒桶的酒之差将减小（25＋15）千克。

因此可以求出小桶的桶数。

全解 小桶数：（25×80-600）÷（25+15）=35（个）
大桶数：80-35=45（个）
答：大酒桶有45个，小酒桶有35个 拓展探究 在一般情况下，若题目的条件给出的是两数之差，一般最好都是假设“大数”再
用置换法，作适当的调整，从而解出答案。

第17讲 假设与替换
假设是一种常见的解题方法，就是先作出某种假设，然后进行推理或计算，再将假设与题中的实际情况比较，从而找出差异，并根据出现的差异对假设作适当的调整，找到正确答案。

运用假设法的思路解应用题，先要根据题意假设未知的两个量是同一个量，或者假设要求的两个未知量相等，然后再根据所作的假设，注意到数量关系发生了什么变化并作出适当的调整。

这种假设、找误差、调整的方法，在今后解答很多数学问题都可以运用。

1．鸡与兔共100只，鸡脚比兔脚少70只，问：鸡、兔各有多少只？
2．一辆公共汽车共载客50人，长途车票每张8元，短途车票每张3元，经统计，长途车票的收入比短途车票的收入多158元。

购长途车票和短途车票的各多少人？
3．运动园里的鸵鸟比长颈鹿多14只，鸵鸟的脚比长颈鹿的脚多16只，鸵鸟和长颈鹿各多少只？
【生活数学】
题3 某小学举行一次数学竞赛，共有题目15道，每做对一道得8分，做错一道倒扣4分，小明共得72分，他做对了多少道题？
敏捷思维题中的未知量是做对的题和做错的题。

假设15道全对，则得（8×15）分，比实际的72分要多，这是因为每一道题假设为做对时，相差（8＋4）分，所以可以求出错题。

全解做错的题：
（8×15-72）÷（8＋4）=4（道）
做对的题数：15-4=11（道）
答：小明做对了11道。

拓展探究此题与“鸡兔同笼”问题相同。

都是运用假设法解答。

要特别注意的是：每错一题，不但做对时的得分得不到，还要在已得的分数中倒扣若干分，故错一题，实际所扣的分数是这两个分数的和。

1．数学试卷有20道题，做对一道题得7分，做错一道题扣4分，不答得0分，张红得了
100分，她有多少道题没答？
【感受奥赛】
题4 有黑白棋子一堆，其中黑子个数是白子个数的2倍。

如果从这堆棋子中每次同时取出黑子4个，白子3个，那么取多少次后，白子余1个，而黑子还剩18个？
敏捷思维假设每次取出2个白棋子，那么最后剩下18个黑棋子的时候，白棋子应该剩下18÷2=9（个）。

现在只剩下一个白棋子，这是因为实际每次取3个，比假设多取了一个。

由此就可求出取的次数。

全解（9-1）÷（3-2）=8（次）
答：共取了8次
拓展探究根据题中的已知条件，“黑子个数是白子个数的2倍”我们就可以假设黑子取的个数也是白子取的个数的2倍，从假设中可以得出，所剩的黑子和白子也应该存在这样的关系，通过假设与实际的对照，进行推算，从矛盾中
1．有黑白棋子一堆，其中黑子个数是白子个数的3倍，如果从这堆棋子中每次同时取出黑
子6个，白子3个，那么取了多少次后，白
子余5个，而黑子还剩36个。

2．有黑白棋子一堆，其中黑子个数是白子个数的2倍，如果从这堆棋子中每次同时取出黑
子3个，白子4个，那么取了多少次后，白
子余2个，而黑子还剩29个。

3．操场上有一群同学，男生人数是女生人数的4倍，每次同时有2名男生1名女生回教室，若干次后，男生剩8人，女生剩1人，操场上共有多少名同学。

题5 吴先生有5元、10元、20元的人民币共100张，价值1300元，其中10元和20元的张数一样多。

5元、10元、20元的各多少张？
敏捷思维由于10元和20元的张数一样多，我们把他们合并成一种币。

假设这100张都是5元的，则一共有（5×100元），与实际1300元有相差。

很明显，少的原因是把10元、20元的币都看成了5元币。

要补足这差额，就要拿1张10元的和1张20元币去换2张5元币，张数没变，而票价增加了（10＋20－5×2）元。

所以可求10元和20元的张数。

全解 10元和20元的张数各有：
（1300-5×100）÷（10+20-5×2）=40（张） 5元币有100-40×2=20（张）
答：10元、20元币各40张，5元币20张拓展探究此题牵涉到三个量，抓住“10元币和20元币张数相等”这个条件，再做假设，在转化是要注意的是“拿1张10元币和1张20元币去换2张5元币”，这样使张数不变。

1．小林受到同学的捐款共240元，有2元、5元、10元三种三种人民币共50张，其中2元和5元的张数一样多，那么10元的有多少张？
2．(2009.“希望杯”全国邀请赛)三种昆虫共18只，它们共有20对翅膀和116条腿。

其中每只蜘蛛没有翅膀有8条脚，每只蜻蜓有2对翅膀6条脚，蝉有1对翅膀6条腿。

蜘蛛、蜻蜓、蝉各有多少只？
3．某学校用352元钱买进香蕉、苹果和梨共100千克。

已知香蕉每千克2元，苹果和梨每千克均为4元，又知买香蕉和苹果的花费比买梨的多24元。

那么买了苹果多少千克？
1．小明参加猜谜语比赛，共20道题，规定猜对一道得五分，猜错一道倒扣3分（不猜按猜错算）。

小明共得60分，他才猜对了______道题目？
2．面值为5角和8角的邮票共30张，总价值为18元，那么面值为5角的邮票有_____张？
3．摩托车厂生产两轮和三轮的摩托车共360辆，它们共有940个轮子，这批摩托车中两轮的和三轮的各有多少台？
4．小玲有2元5元的人民币共10张，共38元，那么2元币和5元币各有______张？
5．鸡兔同笼，兔头比鸡头少10只，鸡头比兔脚少50只，鸡、兔各有______只？
6．一份稿件共有1万字，甲每分钟打120个字，乙每分钟打80个字，现甲单独打若干分钟后，因有事由乙接着打，共用了90分钟，甲打字用了______分钟？
7．春风小学3名同学去参加数学竞赛，共10道题答对一道得10分，打错一道扣3分，这3名同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分，他们3人一共答对______道题？8．阳光小学举行环保知识竞赛，一共20道题，答对一道得8分，答错一题扣5分，没有回答该题得0分，孙俊得了123分，他答对了______道题？
9．笼中鸡兔共100个头，如果全以为是鸡，那么相应的脚的总数比实际的要少60只。

鸡、兔共有______只？
10．某次考试共有20道题。

计分标准是：做对第k道题的k分（k=1、2、3…、20）.做
错第k道题则要倒扣K分（k=1、2、3、…、20）.小明做了所有的题，得100分，那么
小明至多做错______道题？至少做错
______道题？
11．小丽储钱罐中有100枚硬币，她把其中的贰分币全都换成等价值的伍分币，硬币总
数变成了73枚，她又把壹分硬币都换成了
等价值的伍分硬币，硬币总数变成了33
枚。

她的储钱罐中了贰分硬币和壹烦分硬
币原来共有______元？
12．6条谜语让50人反复去猜，共猜对了178次。

每人至少猜对了2条，且猜对2条的
有16人，猜对4条的有9人，猜对3条和
5条的人数一样多，那么6条全猜对的有
_______人？
13．小明和小青两个人进行射击比赛，约定每中一发记20分，脱靶一发则扣12分，两人各打了10发，共得208分。

其中小明比小青多64分，小明和小青各中______发？
第17讲假设与替换提高卷60分钟·夯基础，求提高，成为奥数明星！。