傅里叶级数1

第八节 傅里叶级数

内容分布图示

★ 引 言 ★ 引 例

★ 三角函数系的正交性

★ 傅里叶级数的概念 ★ 狄利克雷收敛定理

★ 例1 ★ 例2 ★ 例3

★ 非周期函数的周期延拓 ★ 例4

★ 利用傅氏展开式求数项级数的和

★ 正弦级数与余弦级数

★ 例5 ★ 例6

★ 函数的奇延拓与偶延拓

★ 例7 ★ 例8

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题11-8 ★ 返回

讲解注意：

一、三角级数 三角函数系的正交性

早在18世纪中叶，丹尼尔. 伯努利在解决弦振动问题时就提出了这样的见解：任何复杂的振动都可以分解成一系列谐振动之和. 这一事实用数学语言来描述即为：在一定的条件下，任何周期为T )/2(ωπ=的函数)(t f ，都可用一系列以T 为周期的正弦函数所组成的级数来表示，即

∑∞

=++=10)sin()(n n n t n A A t f ϕω (8.1)

其中n n A A ϕ,,0),3,2,1( =n 都是常数.

十九世纪初，法国数学家傅里叶曾大胆地断言：“任意”函数都可以展成三角级数. 虽然他没有给出明确的条件和严格的证明，但是毕竟由此开创了“傅里叶分析”这一重要的数学分支，拓广了传统的函数概念. 傅里叶的工作被认为是十九世纪科学迈出的极为重要的第一个大步，它对数学的发展产生的影响是他本人及同时代的其他人都难以预料的. 而且，这种影响至今还在发展之中. 这里所介绍的知识主要是由傅里叶以及与他同时代的德国数学家狄利克雷等人的研究结果.

二、函数展开成傅里叶级数

傅里叶系数 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧====⎰⎰--).,3,2,1(,sin )(1),,2,1,0(,cos )(1 n nxdx x f b n nxdx x f a n n ππππππ (8.5) 将这些系数代入(8.4)式的右端，所得的三角级数

∑∞

=++1

0)sin cos (2n n n nx b nx a a (8.6)

称为函数)(x f 的傅里叶级数.

定理1（收敛定理，狄利克雷充分条件） 设)(x f 是周期为π2的周期函数. 如果)(x f 满足在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点. 则)(x f 的傅里叶级数收敛，并且

(1) 当x 是)(x f 的连续点时, 级数收敛于)(x f ；

(2) 当x 是)(x f 的间断点时, 收敛于2

)0()0(++-x f x f . 狄利克雷收敛定理告诉我们：只要函数)(x f 在区间],[ππ-上至多只有有限个的第一类间断点，并且不作无限次振动，则函数)(x f 的傅里叶级数在函数的连续点处收敛于到该点的函数值，在函数的间断点处收敛于该点处的函数的左极限与右极限的算术平均值. 由此可见，函数展开成傅里叶级数的条件要比函数展开成幂级数的条件低得多.

三、周期延拓：在区间),[ππ-或],(ππ-外补充)(x f 的定义，使它拓广成一个周期为π2的周期函数)(x F ，这种拓广函数定义域的方法称为周期延拓.

四、正弦级数与余弦级数：一般地, 一个函数的傅里叶级数既含有正弦项, 又含有余弦项（例2），但是, 也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项（例1）或者只含有常数项和余弦项（例4），导致这种现象的原因与所给函数的奇偶性有关。即：

奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数.

偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数.

五、奇延拓与偶延拓

奇延拓 令

⎪⎩

⎪⎨⎧<<---=≤<=0),(0,00),()(x x f x x x f x F ππ

则)(x F 是定义在],(ππ-上的奇函数，将)(x F 在],(ππ-上展开成傅里叶级数，所得级数必是正弦级数. 再限制x 在],0(π上，就得到)(x f 的正弦级数展开式.

偶延拓 令

⎩

⎨⎧<<--≤≤=0),(0),()(x x f x x f x F ππ 则)(x F 是定义在],(ππ-上的偶函数，将)(x F 在],(ππ-上展开成傅里叶级数，所得级数必是余弦级数. 再限制x 在],0(π上，就得到)(x f 的余弦级数展开式.

例题选讲：

函数展开成傅里叶级数

例1（讲义例1）将以π2为周期的函数 ⎩

⎨⎧<≤<≤--=,0,1,0,1)(ππt t t u 展开成傅里叶级数. 注：如果将本例中的函数)(t u 理解为矩形波的波形函数，则)(t u 的展开式表明：矩形波是由一系列不同频率的正弦波的叠加而成的.

例2（讲义例2）设)(x f 是周期为π2的周期函数，它在),[ππ-上的表达式为

⎩⎨⎧<≤<≤-=.0,0,0,)(ππx x x x f

试将函数)(x f 展开成傅立叶级数.

例3（讲义例3）设)(x f 是周期为π2为周期函数，它在],(ππ-的表达式为

⎩⎨⎧≤<+≤<--=.0,

1,0,1)(2ππx x x x f 试写出)(x f 的傅立叶级数展开式在区间],(ππ-上的和函数)(x s 的表达式.

周期延拓

例4（讲义例4）将函数 ⎩

⎨⎧≤≤<≤--=ππx x x x x f 0,0,)( 展开成傅里叶级数.

正弦级数与余弦级数

例5（讲义例5）试将函数x x f =)()(ππ≤≤-x 展开成傅里叶级数.

例6（讲义例6）将函数2)(x x f =)(ππ≤≤-x 展开成傅里叶级数.

奇延拓与偶延拓

例7（讲义例7）将函数)0(1)(π≤≤+=x x x f 分别展开成正弦级数和余弦级数.

例8（讲义例8）应当如何把给定在区间()2,0π内满足狄利克雷收敛定理且连续的函数)(x f 延拓到区间),(ππ-内, 而使它的傅里叶级数展开式为

∑∞=--=112.)12cos()(n n x n a x f ππ<<-x ，2,0π±

≠x

课堂练习

1.若函数),()(x x ψϕ=-问: )(x ϕ与)(x ψ的傅里叶系数n a 、n b 与),2,1,0(, =n n n βα之间有何关系？

2. 设函数2)(x x f = ),10(<≤x 而)(x f 傅里叶级数为

,,sin 1+∞<<-∞∑∞

=x nx b n n

其中),,2,1(sin )(210 ==⎰n nxdx x f b n )(x s 为此傅里叶级数的和，求.21⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-s

狄利克雷（Dirichlet, Peter Gustav Lejeune ，1805~1859）