大一高数上 P P T课件ppt课件
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高等数学上册PPT课件
R( x)
1 q
,
0 ,
x p ( p, q Z , p 为 既 约 真 分 数 ,）
q
q
x 0 ，1 和 (0 ，1) 内 的 无 理 数.
y
1 2
1 3 1 4 1 8 o
y R( x)
1 1 1 3 1 5 2 3 7 1
x
8 4 38 2 8 3 4 8
三. 函数的初等性质
显然，x R, 有
称为非负小数部分函数
0 {x} 1 , x [x] {x} .
y
y {x}
1
4 3 2 1 o 1 2 3 4
x
例3 符号函数 x x sgn x ,
1,
sgn
x
0
,
1 ,
当 x 0, 当 x 0, 当 x 0.
sgn x 起 了 x 的 符 号 的 作 用.
否 则 ，f ( x) 称 为 非 奇 非 偶 函 数.
例7 设 f ( x) 为定义在(l , l ) (l 0) 内的任意函数, 证明 f ( x) 在(l , l ) 内能表成奇函数与偶函数的和.
证 令 F ( x) 1 [ f ( x) f ( x)] , 偶函数
2
G( x) 1 [ f ( x) f ( x)] , 奇函数 2
f (x2 )
o
o x
D
x
D
当 f ( x)在 D 上单调递增或单调递减 时，则称 f ( x)
在 D 上是单调的; f ( x) 为D 上的单调函数.
如果 x1 , x2 D, 当 x1 x2时,
恒有: f ( x1 ) ( ) f ( x2 ), 则称函数f ( x)在区间D 上是单调不减( 增 ) .
第一章《高等数学(上册)》课件
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
图 1-1
图 1-2
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
16世纪末期，为适应生产实践的需要，人 们开始对各种变化过程中量与量之间的关系进行 研究，于是产生了函数的概念．函数既是现代数 学中最重要的基本概念之一，也是高等数学的主 要研究对象．极限是微积分学的理论基础，极限 方法是高等数学中研究问题的一种基本方法．本 章将着重介绍有关函数、极限和连续的基础知识 及基本方法．
间断点
08 初等函数的连 续性
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
在平面直角坐标系中，偶函数的图形是关于y轴对称 的，如图1-1所示；奇函数的图形是关于原点对称的，如 图1-2所示．
微积分学 P.P.t 标准课件08-第8讲无穷小量
故当 x → x0 时, f ( x) α ( x) 为无穷小量 .
ε
M
=ε
例2 证
1 证明 lim sin x = 0 x →∞ x
1 因为 lim = 0 , x →∞ x
( 无穷小量 )
| sin x | ≤ 1
x ∈ (∞,+∞) ,
( 有界量 )
1 故 lim sin x = 0 . x →∞ x
反之亦然.
由以上的分析, 你可得出 什么结论 ?
定理
x → x0 ( x →∞ )
lim f ( x) = a
f ( x) = a + α ( x) ,
其中 , α ( x) → 0 ( x → x0 , ( x → ∞)) .
由此可看出, 寻找函数极限运算法则 可归结为寻找无穷小量的运算法则.
3.无穷小量的运算法则 3.无穷小量的运算法则
| xn | > M 不成立, 故当 n → ∞ 时, {xn } 不是无穷大量 .
但该数列是无界的.
当 x → ∞ 时, 函数 sinx,cosx, 是否为无穷大量 ? 因为sinx,cosx 是有界函数, 所以在任何极限过程中它们都不是无穷大量.
2. 无穷大量与无穷小量的关系
例7
则
1 设 f ( x) = , x ∈ ( ∞,+∞) 且 x ≠ 0 . x 1 (1) lim = 0. x →∞ x
设 α , β 为 x → x0 时的两个无穷小量, 则
ε > 0 , δ1 > 0 , 当 0 < | x x0 | < δ1 时, | α | < , 2
ε
δ 2 > 0 , 当 0 < | x x0 | < δ 2 时, | β | < , 2 取 δ = min{δ1 , δ 2 } , 则当 0 < | x x0 | < δ 时, 有 |α + β | ≤ |α | + | β | <
ε
M
=ε
例2 证
1 证明 lim sin x = 0 x →∞ x
1 因为 lim = 0 , x →∞ x
( 无穷小量 )
| sin x | ≤ 1
x ∈ (∞,+∞) ,
( 有界量 )
1 故 lim sin x = 0 . x →∞ x
反之亦然.
由以上的分析, 你可得出 什么结论 ?
定理
x → x0 ( x →∞ )
lim f ( x) = a
f ( x) = a + α ( x) ,
其中 , α ( x) → 0 ( x → x0 , ( x → ∞)) .
由此可看出, 寻找函数极限运算法则 可归结为寻找无穷小量的运算法则.
3.无穷小量的运算法则 3.无穷小量的运算法则
| xn | > M 不成立, 故当 n → ∞ 时, {xn } 不是无穷大量 .
但该数列是无界的.
当 x → ∞ 时, 函数 sinx,cosx, 是否为无穷大量 ? 因为sinx,cosx 是有界函数, 所以在任何极限过程中它们都不是无穷大量.
2. 无穷大量与无穷小量的关系
例7
则
1 设 f ( x) = , x ∈ ( ∞,+∞) 且 x ≠ 0 . x 1 (1) lim = 0. x →∞ x
设 α , β 为 x → x0 时的两个无穷小量, 则
ε > 0 , δ1 > 0 , 当 0 < | x x0 | < δ1 时, | α | < , 2
ε
δ 2 > 0 , 当 0 < | x x0 | < δ 2 时, | β | < , 2 取 δ = min{δ1 , δ 2 } , 则当 0 < | x x0 | < δ 时, 有 |α + β | ≤ |α | + | β | <
大一高数上 P P T课件ppt课件
-2
奇函数举例：
y=x3， y=sin x
都是奇函数。
4. 函数的周期性
设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个不 为零的数 l ，使得对于任一xD有(xl)D，且 f(x+l) = f(x)，则称f(x)为周期函数，l 称为f(x)
的周期。 周期函数的图形特点：
y y=f(x)
-2l
-l
O
对于任意x(-r, r)，对应的函数值
有两个： y=-
r2 - x2 及y =
r2 - x2 。
如果自变量在定义域内任取一个数值
时，对应的函数值只有一个，这种函数叫做
单值函数，否则叫做多值函数。
以后凡是没有特别说明时，函数都是
指单值函数。
例2. 函数 y=2。 函数的定义域为D = (-, +)。 函数的值域为Rf ={2}。 函数的图形为一条平行于x 轴的直线。
D={x| |x|³2}, 或D=(-¥, -2][2, +¥)。
4. 函数的图形
在坐标系xOy内，集合 C={(x, y) | y=f(x)，xD}
所对应的图形称为函数y=f(x)的图形。
y
Rf y
y=f(x)
(x, y) C
O
x
x
D
5. 函数举例
例1. 在直角坐标系中，由方程
x2+y2=r2确定了一个函数。
＜高等数学释疑解难＞ 工科数学课委会编（高教出版社）
＜高等数学辅导＞ 盛祥耀 等编（清华大学出版社）
＜高等数学解题方法及同步训练＞
同济大学编（同济大学出版社）
第一章 函数与极限
§1.1 函 数
一、集合及其运算
1.集合
大一高数上 PPT课件 第二章
xh x 解：解：f(x)lim ff((x h)) ff((x)) lim lim lim 解：f (x) hh0 0 hh0 0 h h
sin(x h)) sin x sin(x h sin x h h h sin 1 h h h lim 2 cos(x ) sin lim cos(x ) 2 cos h0 h 2 2 h0 2 h 2 cos x。
即 (sin x) cos x。类似地可求得 (cos x )sin x。
(a x) a x ln a，(e x ) e x 。 4.指数函数的导数： 例7．求函数f(x)ax(a>0，a 1)的导数。
f ( x h) f ( x ) a xh a x lim a x lim lim lim lim 解： f ( x) lim h 0 h 0 h h h
t 越小, 近似的程度越好, 于是当 t 0 时,
s t 的极限即为
st 0 t st 0 vt 0 lim t 0 t
v t0 .
s t s t0 lim t t0 t t0
s lim t 0 t
2 曲线的切线的斜率
左右导数：
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim ， x 0 x
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim 。 x 0 x 导数与左右导数的关系：
显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相 等时，函数在该点才是可导的。 函数在闭区间上的可导性：
x0
x0 x
tan
越接近于 k ,
y f ( x0 x) f ( x0 ) tan x x
sin(x h)) sin x sin(x h sin x h h h sin 1 h h h lim 2 cos(x ) sin lim cos(x ) 2 cos h0 h 2 2 h0 2 h 2 cos x。
即 (sin x) cos x。类似地可求得 (cos x )sin x。
(a x) a x ln a，(e x ) e x 。 4.指数函数的导数： 例7．求函数f(x)ax(a>0，a 1)的导数。
f ( x h) f ( x ) a xh a x lim a x lim lim lim lim 解： f ( x) lim h 0 h 0 h h h
t 越小, 近似的程度越好, 于是当 t 0 时,
s t 的极限即为
st 0 t st 0 vt 0 lim t 0 t
v t0 .
s t s t0 lim t t0 t t0
s lim t 0 t
2 曲线的切线的斜率
左右导数：
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim ， x 0 x
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim 。 x 0 x 导数与左右导数的关系：
显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相 等时，函数在该点才是可导的。 函数在闭区间上的可导性：
x0
x0 x
tan
越接近于 k ,
y f ( x0 x) f ( x0 ) tan x x
大学高等数学第一节PPT
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a a≥0 a = − a a < 0 运算性质: 运算性质 ab = a b ;
4.绝对值: 4.绝对值: 绝对值
( a ≥ 0)
a a = ; b b
绝对值不等式: 绝对值不等式
a − b ≤ a ± b ≤ a + b.
x ≤ a ( a > 0) x ≥ a ( a > 0)
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(3)并集 并集 由属于A或属于 的所有元素组成的 由属于 或属于B的所有元素组成的 或属于 集称为A与 的并集记作A∪ ， 的并集记作 集称为 与B的并集记作 ∪B，即 A∪B={x|x∈A或x∈B} ∪ ∈ 或 ∈ (4)交集 交集 由同时属于A与 的元素组成的集称 由同时属于 与B的元素组成的集称 的交集， 为A与B的交集，记作 与 的交集 记作A∩B，即 ， A∩B={x|x∈A且x∈B} ∈ 且 ∈ 不相交， 若A∩B=∅，则称 与B不相交， ∅ 则称A与 不相交 相交。 若A∩B≠∅，则称 与B相交。 ∅ 则称A与 相交
f : A → B , 或 f : x |→ y , x ∈ A
称y为x在映射 下的像， x称为 在映射f下的原像,集 为 在映射f下的像 称为y在映射 下的原像 集 在映射 下的 称为 在映射 下的原像 称为映射f 定义域, 中所有元素 的像y的全体 中所有元素x的像 合A称为映射 的定义域,A中所有元素 的像 的全体 称为映射 记作f 所构成的集合称为f 值域,记作 即 所构成的集合称为 的值域 记作 (A).即
第一章 第二章 第七章
第三章
第八章
第四章
第九章 第十章
第五章
第六章
第十一章
Байду номын сангаас
a a≥0 a = − a a < 0 运算性质: 运算性质 ab = a b ;
4.绝对值: 4.绝对值: 绝对值
( a ≥ 0)
a a = ; b b
绝对值不等式: 绝对值不等式
a − b ≤ a ± b ≤ a + b.
x ≤ a ( a > 0) x ≥ a ( a > 0)
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(3)并集 并集 由属于A或属于 的所有元素组成的 由属于 或属于B的所有元素组成的 或属于 集称为A与 的并集记作A∪ ， 的并集记作 集称为 与B的并集记作 ∪B，即 A∪B={x|x∈A或x∈B} ∪ ∈ 或 ∈ (4)交集 交集 由同时属于A与 的元素组成的集称 由同时属于 与B的元素组成的集称 的交集， 为A与B的交集，记作 与 的交集 记作A∩B，即 ， A∩B={x|x∈A且x∈B} ∈ 且 ∈ 不相交， 若A∩B=∅，则称 与B不相交， ∅ 则称A与 不相交 相交。 若A∩B≠∅，则称 与B相交。 ∅ 则称A与 相交
f : A → B , 或 f : x |→ y , x ∈ A
称y为x在映射 下的像， x称为 在映射f下的原像,集 为 在映射f下的像 称为y在映射 下的原像 集 在映射 下的 称为 在映射 下的原像 称为映射f 定义域, 中所有元素 的像y的全体 中所有元素x的像 合A称为映射 的定义域,A中所有元素 的像 的全体 称为映射 记作f 所构成的集合称为f 值域,记作 即 所构成的集合称为 的值域 记作 (A).即
第一章 第二章 第七章
第三章
第八章
第四章
第九章 第十章
第五章
第六章
第十一章
Байду номын сангаас
完整高数(一)PPT课件
y
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
.
22
3．函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数 ;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o
x
x
偶函数
.
23
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数 ;
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u)的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z, 若D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
.
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x 2 1 1,
综上所述
ex2,
f
[
(
x)]
x 2, e x2 1 ,
x2 1,
x 1 1 x 0
. 0 x 2
x 2
1 x 0; x 2;
.
50
三、双曲函数与反双曲函数
1.双曲函数
双曲正弦 sinh x e x ex 2
4321
-4 -3 -2 -1
o -1 1 2 3 4 5
x
-2 -3 -4
阶梯曲线
.
13
(3) 狄利克雷函数
y
D(
x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
.
22
3．函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数 ;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o
x
x
偶函数
.
23
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数 ;
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u)的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z, 若D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
.
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x 2 1 1,
综上所述
ex2,
f
[
(
x)]
x 2, e x2 1 ,
x2 1,
x 1 1 x 0
. 0 x 2
x 2
1 x 0; x 2;
.
50
三、双曲函数与反双曲函数
1.双曲函数
双曲正弦 sinh x e x ex 2
4321
-4 -3 -2 -1
o -1 1 2 3 4 5
x
-2 -3 -4
阶梯曲线
.
13
(3) 狄利克雷函数
y
D(
x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
大学高数第一章 PPT课件
数集间的关系: N Z, Z Q, Q R. 若A B,且B A,就称集合A与B相等. ( A B) 例如 A {1,2},
C { x x2 3x 2 0}, 则 A C. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x2 1 0}
2.有界不是绝对的，是相对于所给定的D而言的。 3.有界函数的界不唯一。
25
二 初等函数
基本初等函数
1.幂函数
y x (是常数)
y
y x
y x2
1
y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
26
2.指数函数 y a x (a 0, a 1)
y ex
y (1)x a
(0,1)
x
6
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
7
3.常量与变量:
证明:
∵ f(x+2c)=f((x+c)+c)=-f(x+c)=f(x)
∴f(x)为周期为2c的函数.
2233
4．函数的有界性: 设D是f ( x)的定义域, 若M 0,x D,有 f ( x) M ,
则称函数f (x)在D上有界.否则称无界.
y M
y=f(x)
x
o
D
y M
x0
o
C { x x2 3x 2 0}, 则 A C. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x2 1 0}
2.有界不是绝对的，是相对于所给定的D而言的。 3.有界函数的界不唯一。
25
二 初等函数
基本初等函数
1.幂函数
y x (是常数)
y
y x
y x2
1
y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
26
2.指数函数 y a x (a 0, a 1)
y ex
y (1)x a
(0,1)
x
6
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
7
3.常量与变量:
证明:
∵ f(x+2c)=f((x+c)+c)=-f(x+c)=f(x)
∴f(x)为周期为2c的函数.
2233
4．函数的有界性: 设D是f ( x)的定义域, 若M 0,x D,有 f ( x) M ,
则称函数f (x)在D上有界.否则称无界.
y M
y=f(x)
x
o
D
y M
x0
o
微积分学P.P.t标准课件12-第12讲函数的连续性
对于 $lim_{{x to -infty}} x^3$，当 $x$ 趋近于负无穷 时，$x^3$ 会趋近于负无穷，因此极限不存在。
THANKS
感谢观看
复合函数在定义域内连 续，则其复合函数也连 续。
03
连续函数的极限值等于 该函数的极限值。
04
连续函数的定积分存在 。
连续函数的图像特征
01
02
03
04
连续函数的图像是一条连续不 断的曲线。
连续函数在定义域内的任意两 点之间都可以画出一条线段， 该线段位于曲线上或者与曲线
相切。
连续函数的图像在定义域内不 会出现间断点或垂直渐近线。
如果函数在某一点处的极 限值等于该点的函数值， 则函数在该点连续。
函数在区间连续
如果函数在区间内的每一 点都连续，则函数在该区 间连续。
左连续与右连续
如果函数在某一点的左侧 或右侧的极限值等于该点 的函数值，则函数在该点 左连续或右连续。
连续函数的性质
01
连续函数的和、差、积 、商仍为连续函数。
02
x1和x2，只要|x1 - x2| < δ，就有|f(x1) - f(x2)| < ε，则函数在该区间
上一致连续。
常见函数的连续性判定
一次函数的连续性
一次函数在其定义域内是 连续的。
二次函数的连续性
二次函数在其定义域内是 连续的，但在其拐点处可 能不连续。
分段函数的连续性
分段函数在其定义域内是 连续的，但需要注意在分 段点处的连续性。
利用连续性证明不等式
利用连续性证明不等式的性质
通过函数的连续性，可以证明一些不等式。例如，如果函数 在某区间上连续且单调递增，那么在该区间上任意取两个数 x1和x2，都有f(x1)≤f(x2)，从而证明了函数的单调性。
THANKS
感谢观看
复合函数在定义域内连 续，则其复合函数也连 续。
03
连续函数的极限值等于 该函数的极限值。
04
连续函数的定积分存在 。
连续函数的图像特征
01
02
03
04
连续函数的图像是一条连续不 断的曲线。
连续函数在定义域内的任意两 点之间都可以画出一条线段， 该线段位于曲线上或者与曲线
相切。
连续函数的图像在定义域内不 会出现间断点或垂直渐近线。
如果函数在某一点处的极 限值等于该点的函数值， 则函数在该点连续。
函数在区间连续
如果函数在区间内的每一 点都连续，则函数在该区 间连续。
左连续与右连续
如果函数在某一点的左侧 或右侧的极限值等于该点 的函数值，则函数在该点 左连续或右连续。
连续函数的性质
01
连续函数的和、差、积 、商仍为连续函数。
02
x1和x2，只要|x1 - x2| < δ，就有|f(x1) - f(x2)| < ε，则函数在该区间
上一致连续。
常见函数的连续性判定
一次函数的连续性
一次函数在其定义域内是 连续的。
二次函数的连续性
二次函数在其定义域内是 连续的，但在其拐点处可 能不连续。
分段函数的连续性
分段函数在其定义域内是 连续的，但需要注意在分 段点处的连续性。
利用连续性证明不等式
利用连续性证明不等式的性质
通过函数的连续性，可以证明一些不等式。例如，如果函数 在某区间上连续且单调递增，那么在该区间上任意取两个数 x1和x2，都有f(x1)≤f(x2)，从而证明了函数的单调性。
高中数学必修一 P P Tppt课件
(6)
{-1,1}.
集合与集合的运算
1、交集
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集， 记作A∩B，即
A∩B={x|x∈A，且x∈B} A∩B可用右图中的阴影部分来表示。
U A A∩B B
其实，交集用通俗的语言来说，就是找两个集中中共同存在的元素。
例题： 1、A={-1,1,2,3},B={-1,-2,1},C={-1,1};
4、已知A {x | x 2 px 2 0},B {x | x 2 qx r 0}且A B {2,1,5}, A B {2},求p,q,r的值. (解得 : p 1, q 3, r 10) 5、设A {4,2a 1,a2},B {a 5,1 a,9},已知A B {9},求a的值,并求出A B .
如何用数学的语言描述这些对象？？
二、集合的定义与表示
1、通常，我们把研究的对象称为元素，而某些拥有共同特征的元素所组 成的总体叫做集合。并用花括号{}括起来，用大写字母带表一个集合，其 中的元素用逗号分割。
2、集合有三个特征：确定性、互异性和无序性。就是根据这三个特征来 判断是否为一个集合。
讨论1：下列对象能构成集合吗？为什么？ 1、著名的科学家 2、1,2,2,3这四个数字 3、我们班上的高个子男生
思考：1、比较这三个集合： A={x ∈Z|x<10}，B={x ∈R|x<10} ， C={x |x<10} ；
例题：求由方程x2-1=0的实数解构成的集合。 解：(1)列举法：{-1,1}或{1，-1}。 (2)描述法：{x|x2-1=0，x∈R}或{X|X为方程x2-1=0的实数解}
2、两个集合相等
例如：1∈N， -5 Z, ∈
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高等数学中几乎所有的概念都离不开极限， 因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理 论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的 精华所在，是高等数学的灵魂。因此很好地理 解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是 从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。
参考书目
＜工科数学分析基础＞ 马知恩 等编 （高教出版社）
D={x| |x|³2}, 或D=(-¥, -2][2, +¥)。
4. 函数的图形
在坐标系xOy内，集合 C={(x, y) | y=f(x)，xD}
所对应的图形称为函数y=f(x)的图形。
y
Rf y
y=f(x)
(x, y) C
O
x
x
D
5. 函数举例
例1. 在直角坐标系中，由方程
2. 举例
圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r
可取(0, +)内的任意值。
由落体下落距离的计算公式为s= -1 gt2，t
可取[0, T]内的任意值。
2
圆内接正n边形的周长的计算公式为
Sn=2nr
sinp-
n
，
n可取3，4，5，
。
3. 函数的定义
设 D 是一个给定的数集。如果对于 每个数xD，变量 y 按照一定法则总有确定的 数值和x对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y=f(x)。
集。子集:
若xA，则必有xB，则称A是B 的子集, 记为AB（读作A包含于B）。
显然，N Z ，Z Q ，Q R 。
2. 区间:
数集{x|a<x<b}称为开区间，记为 (a, b)，即 (a, b)={x|a<x<b}。
(a， b)
Oa
bx
[a, b]={x|axb}称为闭区间。
O a-
a+ x
去心邻域:
U
(a,)
={x
|0<|
x-a
|<}。
O a- a a+ x
二、函数的概念
1. 常量与变量
在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各 种不同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只 取同一数值，这种量叫做常量。
还有一些量在过程中是变化着的，也就是可 以取
不同的数值，这种量叫做变量。
＜高等数学释疑解难＞ 工科数学课委会编（高教出版社）
＜高等数学辅导＞ 盛祥耀 等编（清华大学出版社）
＜高等数学解题方法及同步训练＞
同济大学编（同济大学出版社）
第一章 函数与极限
§1.1 函 数
一、集合及其运算
1.集合
集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的
事物的总体。集合用A，B，M等表示。
任取 xD，与 x对应的 y的数值称 为函数 y=f(x)在点 x处的函数值，记为 f(x)。
值域：Rf={y | y=f(x),xD}。
求函数的定义域举例：
求函数 y = 1 - x 2 - 4 的定义域。 x
解: 要使函数有意义, 必须x0, 且x2-4³ 解不等式得|x|³2。
函数的定义域为
理论性更强 概念更复杂 表达形式更加抽象 推理更要透过抽 象的表达形式，深刻理解基本概念和理论的 内涵与实质，以及它们之间的内在联系，正 确领会一些重要的数学思想方法，另一方面 也要培养抽象思维和逻辑推理的能力。
学习数学，必须做一定数量的习题， 做习题不仅是为了掌握数学的基本运算方法， 而且也可以帮助我们更好地理解概念、理论和 思想方法。但我们不应该仅仅满足于做题，更 不能认为，只要做了题，就算学好了数学。
[a， b]
Oa
bx
[a, b)={x|ax<b}及 (a, b]={x|a<xb}称
半开区间。
[a， b)
Oa
bx
(a， b]
Oa
bx
上述区间都是有限区间，其中a 和 b 称为 区间的端点，b-a 称为区间的长度。
以下区间称为无限区间：
[a，+)
[a, +) ={ x|ax}， O a
定义中，数集D叫做这个函数的定义域， x函叫数做符自号变:量，y叫做因变量。
函数y=f(x)中表示对应关系的记号f 也可改用其它字母，例如j 、F 等。此时函数 就记作y=j(x)，y=F(x)。
定义域： 在数学中，有时不考虑函数的实际意
义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约 定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有 意义的一切实数值。 函数值：
x
(- ， b]
(-, b] ={ x|xb}， O
bx (a，+)
(a, +) ={ x|a<x}， O a
x
(- ， b)
(-, b) ={ x|x<b}，
O
bx
(-,+)= R
3. 邻域:
以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻 域，记作U(a)。
设>0，则称区间(a-, a+)为点a 的邻域， 记作U(a, )，即 U(a, ) ={x|a-<x<a+} ={x| |xa|<}。 其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。
微积分学，无穷级数论和作为理论基础的
极限理论我们这门课程叫高等数学，它的内容 包括一元和多元，以及作为一元微积分学的简 单应用——常微分方程。由于构成它的主体是 一元函数微积分学，所以有时又称为微积分。
17世纪（1763年）Descartes建立了解析几 何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生 了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学 进一步发展到研究变量的高等数学。微积分是 高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量 间的依赖关系——函数的一门学科，是学习其 它自然科学的基础。
元素: 组成集合的事物称为集合的元素。a 是 集合M的元素表示为aM。
集合的表示:
(1) A={a, b, c, d, e, f, g}。
几个数集:
R表示所有实数构成的集合，称为实数集。 Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数
高等数学研究的主要对象是函数，主要 研究函数的分析性质（连续、可导、可积等） 和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。 那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方 法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方 法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数 学的一个显著标志。
由于高等数学的研究对象和研究方法 与初等数学有很大的不同，因此高等数学呈 现出以下显著特点：