上海高考数学复习备考小题训练(5)

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数学-2023年高考考前押题密卷(上海卷)(全解全析)

2023年高考考前押题密卷（上海卷）数学•全解全析一、填空题1．已知集合{}A x x a =<，{}14B x x =<<，若R A B ⊆ð，则实数a 的取值范围为___________．【答案】(,1]-∞【分析】由条件根据补集的定义求R B ð，再根据子集的定义列不等式求a 的取值范围．【解析】因为{}14B x x =<<，所以{R 1B x x =≤ð或}4x ≥，又R A B ⊆ð，{}A x x a =<，所以1a ≤，所以a 的取值范围为(,1]-∞.故答案为：(,1]-∞.2．已知2()1e 1xaf x =+-是奇函数，则实数=a __________．【答案】2【分析】利用奇函数的定义()()f x f x =--代入函数式，化简即可求出所要的a 值.【解析】由题意得()()f x f x =--，所以2211e 1e 1xx a a-+=----，解得2a =．3．已知函数()1πsin 223f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的值域为______．【答案】11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据x 的范围，得π23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，数形结合可得πsin 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，从而可得函数()f x 的值域.【解析】当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π5ππ2,366x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则π1sin 21,32x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1π11sin 2,2324x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 的值域为11,24⎡⎤-⎢⎣⎦.故答案为：11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．已知实数a ，b 满足()lg lg lg 2a b a b +=+，则a b +的最小值是__________.【答案】3+【分析】先判断出0,0a b >>，且2ab a b =+.令u a b =+，利用判别式法求出a b +的最小值.【解析】因为实数a ，b 满足()lg lg lg 2a b a b +=+，所以0,0a b >>，且2ab a b =+.令u a b =+，则0u >，所以a u b =-，代入2ab a b =+，则有()2u b b u b b -=-+，所以关于b 的一元二次方程()210b u b u --+=有正根，只需()2140u u ∆=--≥，解得：3u ≥+此时，关于b 的一元二次方程()210b u b u --+=的两根120b b u =>，所以两根同号，只需1210b b u +=->，解得1u >.综上所述：3u ≥+.即a b +的最小值是3+Δ0=，解得：21a b ==.故答案为：3+5．若直线:20l x y m -+=与圆22:240C x y y +--=相切，则实数m =_________．【答案】3-或7【分析】利用几何法列方程即可求解.【解析】圆22:240C x y y +--=可化为()2215x y +-=.因为直线:20l x y m -+=与圆22:240C x y y +--=相切，解得：3m =-或7.故答案为：3-或76．已知函数()()()32211f x x f x f x '=-+-，则lim ℎ→0f (ℎ+1)−f (1)2ℎ=______．【答案】5【分析】求出导函数，建立()1f 与()1f '的方程，求出()1f '，利用极限的运算及导数的定义求解即可.【解析】当1x =时，()()()1211f f f '=-+-，所以()()11112f f '=-，又()()()()()2216211621112f x x f x f x f x f ''''=-+-=-++-，则()()()11621112f f f '''=-++-，解得()101f '=，由定义可知，lim ℎ→0f (ℎ+1)−f (1)2ℎ=12limℎ→0f (ℎ+1)−f (1)(ℎ+1)−1=12f ′(1)=5.故答案为：57．已知样本容量为5的样本的平均数为3，方差为185，在此基础上获得新数据9，把新数据加入原样本得到样本容量为6的新样本，则该新样本的方差为______．【答案】8【分析】根据均值公式与方差公式计算．【解析】记原来的数据为12345,,,,x x x x x ，新增数据为6x ，由题意123455315x x x x x ++++=⨯=，222221234518(3)(3)(3)(3)(3)5185x x x x x -+-+-+-+-=⨯=，69x =，则123456159466x x x x x x ++++++==，222222123456(4)(4)(4)(4)(4)(4)x x x x x x -+-+-+-+-+-2222112255(3)2(3)1(3)2(3)1(3)2(3)194x x x x x x =---++---+++---++- （）222125125(3)(3)(3)2(15)525x x x x x x =-+-++--+++-++ 183048=+=，所以新方差为4886=．故答案为：8.8．已知点()()()π3π3,0,0,3,cos ,sin ,,22A B C ααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若1AB BC ⋅=- ，则22sin sin21tan ααα+=+__________.【答案】559-【分析】结合平面向量的坐标运算可得8sin cos 3αα-=，进而可得552sin cos 9αα=-，结合二倍角公式及同角三角函数关系化简22sin sin21tan ααα++即可求解.【解析】因为()()()3,0,0,3,cos ,sin A B C αα，所以()3,3AB =-，()cos ,sin 3BC αα=- ，所以()3cos 3sin 31AB BC αα⋅=-+-=-，即8sin cos 3αα-=，所以()264sin cos 12sin cos 9αααα-=-=，即552sin cos 9αα=-，所以()()22sin sin cos 2sin cos sin cos 2sin sin2552sin cos 1tan 1tan cos sin 9ααααααααααααααα+++====-+++.故答案为：559-.9．在我校运动会期间，为了各项赛事的顺利进行，学生会组织了5个志愿服务小组，前往3个比赛场地进行志愿服务.若每个场地至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个场地进行服务，并且甲小组不去比赛场地A ，则不同的分配方法种数为_________.【答案】100【分析】根据分组分配方法，结合两种计数原理即可得答案.【解析】5人分成3组有两种方案：“221++”、“311++”共有22353522C C C A ⋅+种方法分组方法，3组分配到3个场地，甲小组不去比赛场地A ，有1222C A 种方法；根据乘法原理不同的分配方法数为：223125352222C C C C A 100A ⎛⎫⋅+⋅= ⎪⎝⎭.故答案为：100.10．在三棱锥S ABC -中，平面ABC ⊥平面SAB ，ABC V是等边三角形且AB =棱锥S ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若球OS ABC -体积的最大值为______.【答案】【分析】先利用条件求出球的半径和ABC V 外接圆的半径，由条件知，要使三棱锥S ABC -体积取到最大值，则点S 在底面上的投影为AC 的中点，再利用球的截面圆的性质建立等量关系，从而求S 到底面的最大距离，进而求出最大体积.【解析】设球的R ，因为球O 34π3R =R =如图，设ABC V 的外接圆的圆心为1O ，外接圆的半径为r ，球心为O ，又因为ABC V 是等边三角形且AB =由正弦定理知，24sin AB r C ===，所以2r =1==因为平面ABC ⊥平面SAB ，由面面垂直的性质知，点S 在底面上的投影在AC 上，因为三棱锥S ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，要使三棱锥S ABC -体积取到最大值，则点S 在底面上的投影为AC 的中点，连接1BO 并延长交AC 于E ，连SE ，因为ABC V 为等边三角形，所以E 为AC 的中点，即有SE ⊥面ABC ，又易知1O O ⊥平面ABC ，所以1//SE O O ,易知BE AC ⊥，又平面ABC ⊥平面SAB ，平面ABC ⋂平面SAB AC =，BE ⊂平面ABC ，所以BE ⊥平面SAC ，过O 作OG ⊥面SAC 于G ，由球的截面圆的性质知，点G 在SE 上，所以1//OG O E 所以四边形1O OGE 为矩形，故11GE O O ==，1OG O E =在等边三角形ABC V 中，sin603BE AB =︒==，所以1113O E BE ==，2===，故123SE EG SG =+=+=所以三棱锥S ABC -体积的最大值为2111sin603332ABC V S SE =⋅=⨯⨯⨯︒⨯=V ，故答案为：11．已知数列{}n a 满足：对于任意*N n ∈有π0,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1π4a =，()1n f a +=其中()tan f x x =.若()11tan tan nn n nb a a +-=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则120T =_________.【答案】10【分析】对()f x 求导，可证得{}2tan n a 是以21tan 1a =为首项，1为公差的等差数列，可求出tan =n a 120T .【解析】因为()tan f x x =，则()()222cos cos sin sin sin 11tan cos cos cos x x x x x f x x x x x '⋅-⋅-⎛⎫====+ ⎪⎝⎭'，由1π4a =，()1n f a +=1tan +=n a ，221tan tan 1n n a a +-=，所以{}2tan n a 是以21tan 1a =为首项，1为公差的等差数列，所以2tan =n a n ，π0,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 0n a ∴>，则tan n a 所以()()111tan tan nnn n nb a a +-===--，所以120123119120T b b bb b =+++++)1=-+-++111110==-=.故答案为：1012．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()114f x f x ++-=.若()00f =，且()f x 在[]0,1单调递增，则满足π()sin 4x f x ⋅的x 的取值范围是__________.【答案】[]18,38,Zk k k ++∈【分析】由题意可知，()f x 是周期为4的周期函数，πsin 4y x =的最小正周期为8，结合()f x 与πsin4y x =的单调性，易知在一个周期内，由π()sin 4xf x ⋅≥[]1,3x ∈，再结合周期求出范围即可.【解析】因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，由()()114f x f x ++-=，可得()f x 关于()1,2对称，因为()()114f x f x ++-=，所以()()13134f x f x ⎡⎤⎡⎤+++-+=⎣⎦⎣⎦，则()()()()41313424f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=++=--++=--++⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因为()f x 是偶函数，所以()()22f x f x ⎡⎤--+=-+⎣⎦，因为()()114f x f x ++-=，所以()()11114f x f x ⎡⎤⎡⎤+++-+=⎣⎦⎣⎦，则()()()()()()42411411f x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=-++=-+++=-+=-=⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 是周期为4的周期函数.因为()f x 是偶函数，且在[]0,1单调递增，所以()f x 在[]1,0-单调递减，令()()114f x f x ++-=中0x =，则()()114f f +=，则()12f =，又因为()f x 关于()1,2对称，所以()f x 在[]1,2上单调递增，[]2,3上单调递减，结合函数()f x 是周期为4的周期函数，综上可得()f x 在[]0,2，[]4,6上单调递增，[]2,4，[]6,8上单调递减.因为πsin 4y x =的最小正周期为2π8π4T ==，结合πsin 4y x =图象可知，πsin4y x =在[]0,2，[]6,8上单调递增，在[]2,6上单调递减，令()()114f x f x ++-=中1x =，则()()204f f +=，则()24f =，当π1,sin 4x y ===()12f =，所以()π1sin 4f ⋅=当3π3,sin4x y ===()()()3112f f f =-==，所以()3π3sin 4f ⋅=所以当[]0,8x ∈时，π()sin 4xf x ⋅≥[]1,3x ∈.又因为()f x 与πsin 4y x =均为周期函数，且8均为其周期，所以π()sin4xf x ⋅≥x 的取值范围是[]18,38,Z k k k ++∈.故答案为：[]18,38,Z k k k ++∈.【点睛】本题解题的关键是求出()y f x =与πsin 4y x =的周期性，由()π1sin 4f ⋅=，()3π3sin4f ⋅=.二、单选题13．复数z 满足i 2i z =-，则下列结论正确的是（）A ．2250z z +-=B ．12i z =+C ．z 在复平面内对应的点位于第四象限D 【答案】D【分析】由复数除法可得12i z =--，再根据复数的运算和共轭复数、复数对应的点、模的定义判断选项.【解析】由i 2i z =-可得2i 2i 112i i 1z -+===---，所以225144i 24i 510z z +-=-+---=-，故A 错误；由12i z =-- 知12i z =-+，故B 错误；z 在复平面内对应的点()1,2--位于第三象限，故C 错误；由12i z =--=，故D 正确.故选：D14．已知x ∈R ，若1:1p x ≤，11:32x xq ⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则p 是q 的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据不等式的解法和指数函数的额性质，分别求得集合,A B ，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【解析】由不等式11x≤，可得1110x x x --=≥，解得1x ≥或0x <，即命题p 为真命题时，构成集合{|0A x x =<或1}x ≥，又由1132xx⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据指数函数的图象与性质，可得0x ≤，即命题q 为真命题时，构成集合{|0}q x x =≤所以p 是q 的既不充分也不必要条件.故选：D.15．已知菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，E 为边AB 上的点（不包括A B ，），将ABD △沿对角线BD 翻折，在翻折过程中，记直线BD 与CE 所成角的最小值为α，最大值为β（）A ．αβ，均与E 位置有关B ．α与E 位置有关，β与E 位置无关C ．α与E 位置无关，β与E 位置有关D ．αβ，均与E 位置无关【答案】C【分析】数形结合，作EF //BD ，利用线面垂直得到EF CP ⊥，然后找到异面直线所成角CEP ∠，并表示tan CPCEP PE∠=，通过讨论点C 位置得到结果.【解析】作EF //BD 交AD 于点F ，分别取,EF BD 的中点,P Q 连接,,,CQ CP AQ CE ，如图，由翻折前该四边形为菱形，且60DAB ∠=︒，所以,ABD BDC V V 为等边三角形同时P 点在AQ 上，由,,,,BD CQ BD AQ CQ AQ Q CQ AQ ⊥⊥⋂=⊂平面CPQ 所以BD ⊥平面CPQ ,又EF //BD ，所以EF ⊥平面CPQ ，所以EF CP ⊥直线BD 与CE 所成角即直线EF 与CE 所成角，该角为CEP ∠所以tan CPCEP PE∠=,由点E 不与,A B 重合，所以当点C 翻折到与点A 重合时，CP 最小，60CEP ∠= 为最小与点E 位置无关；当没有翻折时，CP 最大，tan CEP ∠最大，则CEP ∠最大，与点E 位置有关故选：C16．在圆锥PO 中，已知高2PO =，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的中点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为①圆的面积为4π；②；③双曲线两渐近线的夹角正切值为34-④A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据点M 是母线的中点，求出截面圆的半径即可判断①；由勾股定理求出椭圆长轴可判断②；建立坐标系，求出,a b 的关系可判断③；建立坐标系，求出抛物线方程，可判断④.【解析】① 点M 是母线的中点， ∴截面的半径2r =，因此面积224ππ=⨯=，故①正确；②由勾股定理可得椭圆的长轴为==，故②正确；③在与底面、平面PAB 的垂直且过点M 的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为()22221,0x y a b a b-=>，则()1,0M ，即1a =，把点(2,代入可得21241b -=，解得2,2bb a=∴=，设双曲线两渐近线的夹角为2θ，2224tan 2123θ⨯∴==-，③不正确；④建立直角坐标系，不彷设抛物线的标准方程为22y px =,把点)4代入可得242p =，解得p =∴抛物线中焦点到准线的距离p ④不正确，故选B .【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查圆锥的性质、椭圆的性质、双曲线的性质，抛物线的方程与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.三、解答题17．如图，在三棱锥-P ABC 中，4AB BC PA PB PC AC ======，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求CMCB的值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）由等腰三角形三线合一得到PO AC ⊥，由勾股定理逆定理得到BO PO ⊥，从而证明出线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设CMCBλ=，利用空间向量及二面角列出方程，求出答案.【解析】（1）在PAC △中，4PA PC ==，O 为AC 的中点．则中线PO AC ⊥，且2,AO CO OP ===同理在ABC V 中有222AB BC AC +=，则AB BC ⊥；因为AB BC ==O 为AC 的中点．所以BO AC ⊥且2BO =；在POB V 中有222PO BO BP +=，则BO PO ⊥，因为AC BO O ⋂=，,⊂AC BO 平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ．（2）由（1）得PO ⊥平面ABC ，故建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,B C A P -，设CMCB λ=，则CM CB λ= ，而(2,2,0),(0,2,(0,2,CB PA PC =-=--=-，(2,2,0)CM CB λλλ∴==-，(0,2,(2,2,0)(2,22,PM PC CM λλλλ∴=+=-+-=--，设平面PAM 的一个法向量为(,,)m x y z =，由00m PM m PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得，()202220y x y λλ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩，令63,z m λ⎛=∴=-- ⎝ ，又x 轴所在直线垂直于平面PAC ，∴取平面PAC 的一个法向量(1,0,0)n =，cos ,m n ∴〈〉==，平方得2263346312λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，令63m λ-=，2222234336,36,6124m m m m m m ∴=⇒=+==+，66236,93λλ∴-===．18．在ABC V 中，点D 在边AC 上，且2,AD CD BD AC ==．(1)若BD 平分ABC ∠，求sin sin ABDBDC∠∠的值；(2)若,,AB AC BC成递增的等比数列，AC =ABC V的面积．【答案】【分析】（1）运用余弦定理求出,CD BC 的关系，再运用正弦定理求解；（2）运用余弦定理求出AB ，BC 的值，再求出sin B ∠ ，用面积公式计算即可.【解析】（1）设CD m =，则2,3AD m BD AC m ===，因为BD 平分ABC ∠，所以2AB ADBC CD==，设BC n =，则2AB n =，在ABC V 中，2222239cos 212AB AC BC n m A AB AC mn +-+==⋅，在ABD △ 中，2222245cos 28AB AD BD n m A AB AD mn+--==⋅，由22223945128n m n m nm mn+-=，得22112n m =，sin sin sin sin ABD CBD CD m BDC BDC BC n ∠∠====∠∠；（2）因为,,AB AC BC成递增的等比数列，AC =26AB BC AC ⋅==，在ABD △ 中，2222263cos 28AB AD BD AB ADB AD BD -+-∠==⋅，在BCD △ 中，2222203cos 24BC BD CD BC BDC BD CD -+-∠==⋅，因为cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，所以22262033084AB BC --+=，整理得22222AB BC +=，又6AB BC ⋅=，所以2236222BC BC+=，解得BC =3BC =，若BC =AB BC =>，不符合题意，若3BC =，则2AB =，符合题意，此时2227cos 212AB BC AC ABC AB BC +-∠==⋅，则sin ABC ABC ∠=△的面积1sin 2S AB BC ABC =⋅∠=19．某网站计划4月份订购草莓在网络销售，每天的进货量相同，成本价为每盒15元.假设当天进货能全部售完，决定每晚七点前（含七点）售价为每盒20元，每晚七点后售价为每盒10元.根据销售经验，每天的购买量与网站每天的浏览量（单位：万次）有关.为确定草莓的进货量，相关人员统计了前两年4月份（共60天）网站每天的浏览量（单位：万次）、购买草莓的数量（单位：盒）以及达到该流量的天数，如下表所示：每天的浏览量()0,1[)1,+∞每天的购买量300900天数3624以每天的浏览量位于各区间的频率代替浏览量位于该区间的概率.(1)求4月份草莓一天的购买量X （单位：盒）的分布；(2)设4月份销售草莓一天的利润为Y （单位：元），一天的进货量为n （单位：盒），n 为正整数且[]600,900n ∈，当n 为多少时，Y 的期望达到最大值，并求此最大值.【答案】(1)分布列见解析(2)当600n =时Y 的期望达到最大值，()max 1200E Y =.【分析】（1）依题意X 的可能取值为300、900，求出所对应的概率，即可得到概率分布列；（2）依题意可得Y 的可能取值为30005n -或5n ，求出所对应的概率，即可得到()E Y 【解析】（1）依题意X 的可能取值为300、900，则()363300605P X ===，()242900605P X ===，所以X 的分布列为X300900P3525（2）当一天的进货量为n （单位：盒），n 为正整数且[]600,900n ∈时利润Y 的可能取值为()3005530030005n n ⨯--=-或5n ，且()255P Y n ==，()3300055P Y n =-=，所以()()23530005180055E Y n n n =⨯+-⨯=-，显然()1800E Y n =-随着n 的增大而减少，所以当600n =时Y 的期望达到最大值，()max 1200E Y =.20．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，1F 、2F 分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且122F F =.(1)求椭圆方程；(2)对于x 轴上的某一点T ，过T 作不与坐标轴平行的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，若存在x 轴上的点S ，使得对符合条件的l 恒有PST QST ∠=∠成立，我们称S 为T 的一个配对点，求证：点()4,0-是左焦点1F 的配对点；(3)根据（2）中配对点的定义，若点()0,0T x 有配对点(),0S a ，试问：点T 和点S 的横坐标应满足什么关系，点T 的横坐标0x 的取值范围是什么？并说明理由.【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析(3)04a x =，0x 的取值范围是()()2,00,2-⋃【分析】（1）根据已知条件求得,a b ，从而求得椭圆方程.（2）设()4,0S -，设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，通过计算0SP SQ k k +=来证得结论成立.（3）根据PST QST ∠=∠求得0x 的取值范围，设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，由0SP SQ k k +=求得a 与0x 的关系.【解析】（1）由于椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且122F F =，所以22222tan 60c b c a b c=⎧⎪⎪︒==⎨⎪=+⎪⎩，解得2,1a b c ===，所以椭圆方程为22143x y +=.（2）由（1）得()11,0F -，由于1F 在椭圆内，所以，过1F 且与坐标轴不平行的直线l 与椭圆必有两个交点，设此时直线l 的方程为()()10y k x k =+≠，由()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()()2222348430k x k x k +++-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222438,3434k k x x x x k k-+=-=++，设()4,0S -，所以()()()()1221121212444444y x y x y yx x x x ++++=++++()()()()()()122112141444k x x k x x x x +++++=++()()()12121225844x x x x kx x +++=++()()()()222222128383440343434044k k k k k k kx x -+-++++==++，所以0SP SQ k k +=，所以PST QST ∠=∠，所以点()4,0-是左焦点1F 的配对点.（3）依题意，点()0,0T x 有配对点(),0S a ，设直线PQ 的方程为()()00y k x x k =-≠，由于PST QST ∠=∠，所以T 必须在,P Q 之间，而,P Q 在椭圆上，结合椭圆的对称性以及直线PQ 与坐标轴不平行，可知0x 的取值范围是()()2,00,2-⋃.此时T 在椭圆的内部，直线PQ 必与椭圆有两个交点，由()022143y k x x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()()2222200348430k x k x x k x +-+-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22200121222438,3434k x k x x x x x k k -+==++，由于PST QST ∠=∠，所以0SP SQ k k +=，即()()()()1221121212y x a y x a y y x a x a x a x a -+-+=----()()()()()()10220112k x x x a k x x x a x a x a --+--=--()()()()1201201222x x a x x x ax kx a x a -+++=--()()()()()2222000022212832348343434k x ax k a x k x k k k kx a x a -++-++++=--()()()021246034ax kk x a x a -==+--，所以0044,ax a x ==.【点睛】在圆锥曲线中，求解角度相等的题（PST QST ∠=∠），可转化为斜率问题来进行求解，联立直线的方程和圆锥曲线的方程，化简写出根与系数关系后的解题关键点一个是运算要准确，另一个是利用方程的思想来进行求解.21．已知函数1()ln ()ex f x k x k =+∈R .(1)若函数()y f x =为增函数，求k 的取值范围；(2)已知120x x <<.（i ）证明：21211x x x e ee e x ->-；（ii ）若1212x x x x k e e ==，证明：()()121f x f x -<.【答案】(1)1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭(2)（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析【分析】（1）分析可得原题意等价于e xx k ≥对0x ∀>恒成立，构建()(0)e x xx x ϕ=>，利用导数求最值结合恒成立问题运算求解；（2）（i ）取1ek =，根据题意分析可得2121e e e ln e x x x x ->-，构建()ln 1g x x x =--，结合导数证明2211ln 1x x x x ->-即可；（ii ）根据题意分析可得1201x x <<<，()1111ln e 1x x x f x +=，()2222ln e1x x x f x +=，构建ln 1())e (0xx x g x x +=>，结合导数证明()()12101e f x f x <<<<，即可得结果.【解析】（1）∵1()ln ()e xf x k x k =+∈R ，则1()(0)e x k f x x x '=->，若()f x 是增函数，则1()0e xk f x x '=-≥，且0x >，可得e xx k ≥，故原题意等价于e xxk ≥对0x ∀>恒成立，构建()(0)e x x x x ϕ=>，则()1()0ex xx x ϕ-'=>，令()0x ϕ'>，解得01x <<；令()0x ϕ'<，解得1x >；则()ϕx 在(0,1)上递增，在(1,)+∞递减，故()1()1ex ϕϕ≤=，∴k 的取值范围为1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.（2）（i ）由（1）可知：当1e k =时，ln 1()e e x xf x =+单调递增，∵120x x <<，则()()21f x f x >，即21211111ln ln e e e e x x x x +>+，整理得211212e eln ln e e ln x x x x x x =-->-，构建()ln 1g x x x =--，则()()1110x g x x x x-'=-=>，令()0g x '<，解得01x <<；令()0g x '>，解得1x >；则()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞递增，故()()ln 110g x x x g =--≥=，即ln 1x x -≥-，当且仅当1x =时等号成立，令211x x x =>，可得2211ln 1x x x x ->-，故21211x x x e e e e x ->-；（ii ）∵1212x x x x k e e ==，则1212110e e x x k k x x -=-=，可知1()0ex k f x x '=-=有两个不同实数根12,x x ，由（1）知1201x x <<<，可得()1111111111ln 111ln l e e en e x x x x x x x f x k x x +=+=+=，同理可得()2222ln e 1x x x f x +=，构建ln 1())e (0x x x g x x +=>，则()e (1)ln ()0xx xg x x -'=>，当01x <<时，(1)ln 0x x -<；当1x >时，(1)ln 0x x -<；当1x =时，(1)ln 0x x -=；且e 0x >，故()0g x '≤对()0,x ∀∈+∞恒成立，故()g x 在(0,)+∞上单调递减，∵1201x x <<<，则()()21()1g x g g x <<，即()()21e1f x f x <<，且11ln 0,e 0xx >>，则11ln 10x x +>，故2222ln 1)0e (x x x g x +=>，可得()210ef x <<；又∵101x <<，由（i ）可得11ln 1x x ->-，即11ln 1x x <-，则()11111ln 1111e xx x x x +<-+<<，且1e 0x >，则111ln 11e x x x +<，可得()111e f x <<；综上所述：()()12101ef x f x <<<<.可得()21e0f x -<-<，则()()1201f x f x <-<故()()()()12121f x f x f x f x -=-<.【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形．(2)构造新的函数h (x )．(3)利用导数研究h (x )的单调性或最值．(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。

上海市2022届高三高考冲刺卷五数学试题(高频考点版)

一、单选题二、多选题1.已知函数，若函数恰有4个零点，则k 的取值范围（）A．B．C．D．2. 在平面直角坐标系中，角，均以坐标原点为顶点，轴的正半轴为始边．若点在角的终边上，点在角的终边上，则（）A．B．C．D．3. 某市教育局为了给高考生减压，将师范大学6名心理学教授全部分配到市属四所重点高中进行心理辅导，若高中恰好需要1名心理学教授，三所高中各至少需要1名心理学教授，则不同的分配方案有（）A ．150种B ．540种C ．900种D ．1440种4.已知正数满足，则的最小值为（）A．B．C．D．5. 已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则（）A ．5B ．7C ．9D ．116. 若平面向量与方向相同，且，则（）A．B．C．D．7. 若函数在上的最大值为，最小值为，则（）A．B．C．D．8. 在中，，，将三角形绕AC 旋转一周得到圆锥，记其体积为；将三角形绕BC 旋转一周，得到圆锥，记其体积为，则（）A．B．C．D．9. 已知函数（）的最小正周期为，则（）A．B．函数在上为增函数C ．是的一个对称中心D ．函数的图像关于轴对称10. 已知正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，为内部（含边界）的动点，则（）A ．平面B ．球的表面积为C．的最小值为D ．与平面所成角的最大值为60°11. 已知集合，则（）A．B ．若，则C ．若，则D．上海市2022届高三高考冲刺卷五数学试题(高频考点版)上海市2022届高三高考冲刺卷五数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题12.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（）A．的图象关于直线对称B ．的图象关于点对称C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称13. 假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋中抽取60袋牛奶进行检验，利用随机数表抽样时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列开始向右读，请你写出抽取检测的第5袋牛奶的编号_______.（下面摘取了随机数表第7行至第9行）14.过作圆的两条切线，切点为，则过两点的直线方程为________．15. 已知，则等于___________.16.如图，是边长为2的正三角形，P 在平面上且满足，记．(1)若，求PB 的长；(2)用表示，并求的取值范围．17. 已知四棱锥的底面为矩形，，过作平面，分别交侧棱于两点，且.(1)求证：；(2)若是等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.18.记数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.19.若的定义域为，求的定义域．20. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，，.(1)求的面积；(2)若点M 在线段AC 上，且，求的值.21. 如图，抛物线E：y2＝2px的焦点为F，四边形DFMN为正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点，交直线ND于点C.(1)若B为线段AC的中点，求直线l的斜率；(2)若正方形DFMN的边长为1，直线MA，MB，MC的斜率分别为k1，k2，k3，则是否存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．。

上海市市辖区2024高三冲刺(高考数学)部编版真题(备考卷)完整试卷

上海市市辖区2024高三冲刺（高考数学）部编版真题(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为A．πB．πC．4πD．π第(2)题下列四个函数中某个函数在区间的大致图像如图，则该函数是（）A．B．C．D．第(3)题如图，长方体中，，点E在线段上，且，M为线段BE的中点，若，则异面直线与CM所成角的余弦值为（）A．B．C．D．第(4)题已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（）A．数列的最大项为B．数列的最小项为C．数列为严格递增数列D．数列为严格递增数列第(5)题设为函数（）图象上一点，点，为坐标原点，，的值为（）A．-4B．C．4D．1第(6)题已知函数，其图象上两个相邻的极值点间的距离为.若先将函数的图象向左平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则在上的零点个数是（）A．4B．5C．6D．8第(7)题已知函数的图象与的图象关于直线对称，且满足，则（）A．4B．2C．1D．第(8)题已知幂函数的图象过，，（）是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在的展开式中,下列说法正确的是( )A．常数项是B．第四项和第六项的系数相等C．各项的二项式系数之和为D．各项的系数之和为第(2)题化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为2，则（）A．正八面体的内切球表面积为B．正八面体的外接球体积为C．若点为棱上的动点，则的最小值为D．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值第(3)题已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上（在第一象限），点在上，，，（）A．若，则B ．若，则C．则的面积最小值为D．则的面积大于三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值的范围是___________.第(2)题已知椭圆，在椭圆上存在两点，，点在直线上，点，满足，，则______．第(3)题已知函数，．若对任意，都存在，使得，则实数a的取值范围是________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题2021年某省约有23万文科考生参加高考，除去成绩在600分及以上的2013人与成绩在400分以下的109600人，还有约11.87万文科考生的成绩集中在区间内，其成绩的频率分布如下表所示：分数段频率0.210.260.270.180.08(1)请估计该次高考文科考生成绩在内的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)若在分数段和的考生中采用分层抽样的方法抽取5名考生进行电话访问，再从被电话访问的5名考生中随机抽取3名考生进行问卷调查，求进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数低于520分的概率第(2)题在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为．(1)求曲线C的普通方程；(2)若曲线C与直线l交于A，B两点，且，求直线l的斜率．第(3)题"双减"实施后学生自主学习的时间增加了，某校调查了某年级200名学生每周的自主学习时间（单位：小时），并制成了如图所示的频率分布直方图，其时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，计算下列问题．(1)求a的值及自主学习时间在内的学生人数；(2)从这200名学生中随机抽取1人，记所抽取学生自主学习时间在内为事件A，所抽取学生自主学习时间在内为事件B，判断事件A和B是否互相独立，并说明理由．第(4)题已知曲线的方程为，曲线的参数方程为(为参数).（1）求的参数方程和的普通方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值.第(5)题已知，，其中常数．（1）当时，求函数的极值；（2）若函数有两个零点，求实数的范围；（3）设，在区间内是否存在区间，使函数在区间的值域也是？请给出结论，并说明理由.。

上海高考模拟数学卷把关小题(可直接打印)

上海高考模拟数学卷把关小题❖MEMO ：以下各题均选自2009年4月到2011年1月的一摸和二摸考试的压轴小题。

请认真体会以下题目的解题过程，揣摩命题者的意图；解题后想一想用到了什么数学思想（①数形结合思想用到了吗？②函数与方程思想用到了吗？③化归思想用到了吗？），能否类比的去解一些未知的压轴小题；对我们解压轴大题（第22、23题）是否有所启发？每题限时3-5分钟！❖1.闸北09二模：在△ABC 中，设,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠所对的边长，且满足条件2,2c b a ==，则△ABC 面积的最大值为（） A. 1 B.32 C. 43D. 2 ❖2.闸北09二模：如图是一个跨度和高都为2米的半椭圆形拱门，则能通过该拱门的正方形玻璃板（厚度不计）的面积范围用开区间表示为_____________；❖3.闵行2010二模理13.函数()x bf x x a+=-在()2,-+∞上是增函数的一个充分不必要条件是________；❖4.闵行2010二模理18.设点(),P x y 1=上的点，又点()10,12F -，()20,12F ，下列结论正确的是（） A. 1226PF PF += B. 1226PF PF +< C. 1226PF PF +≤ D. 1226PF PF +>❖5.卢湾2010二模理14.若不等式()222x a x y +≤+对于一切正数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为_______；❖6.卢湾2010二模理18.已知曲线22:1x x y yC a b-=，下列叙述中错误的是（） A. 垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点； B. 直线(),y kx m k m R =+∈与曲线C 最多有三个交点； C. 曲线C 关于直线y x =-对称；D. 若()()111222,,,P x y P x y 为曲线上任意两点，则有12120y y x x ->-.❖7.静安2010二模理13.已知抛物线23x y =上的两点A 、B 的横坐标恰是方程2x px +0q +=(),p q R ∈的两个实根，则直线AB 的方程是__________；❖8.静安2010二模理14.已知O 是△ABC 的外心，2,3,21AB AC x y ==+=，若()0AO x AB y AC xy =⋅+⋅≠，则cos BAC ∠=_______；❖9.静安2010二模文14.已知ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=，则ABCS =______；❖10.浦东2010二模理13.设函数()y f x =由方程1x x y y +=确定，下列结论正确的是__________（请将正确的序号都填上） ⑴()f x 是R 上的单调递减函数； ⑵对于任意(),0x R f x x ∈+>恒成立；⑶对于任意a R ∈,关于x 的方程()f x a =都有解；⑷()f x 存在反函数()1f x -，且对于任意x R ∈，总有()()1f x f x -=成立。

上海高考数学复习备考小题训练(1)

1、函数)01(312≤≤-=-x y x的反函数是2、方程3lg 2lg )24lg(+=+x x 的解是3、已知双曲线实轴长为2,一焦点为F(1,0)且恒过原点,则该双曲线中心的轨迹方程是4、 9)2(x x a -展开式中3x 系数为49,则常数a 的值是5、一条渐近线方程是043=+y x ,一焦点为(4,0)的双曲线标准方程是6、向量{}{},3,2,1,1-==b a 向量垂直，与a b a k2-则实数k 等于 7、如果函数=+++=∞→)(lim ),2,21(log )(2nn a a a a P x x f 则图象过点8 将一部四卷的文集,任意放在书架同一层上,则卷序自左向右或自右向左恰为1,2,3,4的概率为 9、外接圆直径为则面积为中，ABC b A ABC ∆==∠∆,3,1,6010、直线y=2a 与函数)10(1≠>-=a a a y x且图象有两个交点,则a 的取值范围是11、如图,棱长为5的立方体,无论从哪一个面看,都有两个直通的边长为1的正方形孔,则这个有孔立方体表面积(含孔内各面)是12、无穷数列{}n a 同时满足条件①对任意自然数n 都有42<<-n a ②当n 为偶数时,11+-><n n n n a a a a 且③当n>3时,0>n a . 请写出一个满足条件的数列{}n a 的通项公式 13、 ax x x f 2)(2+-=与1)(+=x ax g 在区间[]21，上都是减函数,则a 的取值范围是( ) A )0,1(-)1,0(⋃ B (]1,0)0,1(⋃- C ()1,0 D (]1,014、设集合{}01<<-=m m P {}R m x mx mx m Q ∈<-+=恒成立，对任意0442,则下列关系成立的是( )A Q P ⊂B ⊂Q PC Q P =D φ=⋂Q P15、椭圆191622=+y x 左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（）A59 B 3 C 779 D 49 16、若)(x f 和)(x g 都是定义在R 上的函数，且方程[]0)(=-x g f x 有实数解，则[])(x f g 不可能是（）A 512-+x xB 512++x xC 512-xD 512+x1、⎩⎨⎧<<--≥=02)(log 02)(2x x x x f x 的反函数为2、若方程a x x 2212log )1(log log=-+有解，则实数a 的取值范围是3、动点P 在抛物线122+=x y 上运动，则P 点与点A(0,-1)所连线段中点M 的轨迹方程是4、=-+a x a x ，则系数为展开式中280)(475、将椭圆192522=+y x 绕其左焦点逆时针方向旋转90°后所得椭圆方程是 6、若向量b a 与夹角为60°，=-=-⋅+=a b a b a b则,72)3()2(,47、若三数c a ,1,成等差，且22,1,c a 成等比。

上海市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)真题(备考卷)完整试卷

上海市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）真题(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题椭圆的极坐标方程为，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是（）A．B．C．D．第(2)题已知复数z满足，则z的实部为（）A．1B．C．2D．第(3)题已知点.若点在函数的图象上，记的面积为，则使得的点的个数为（）A．4B．3C．2D．1第(4)题已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（）A．B．C．D．第(5)题折纸艺术大约起源于公元1世纪的中国，6世纪传入日本，后经由日本传到全世界.折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，是一项具有艺术性的思维活动.现有一张半径为6，圆心为O的圆形纸片，在圆内选定一点P且，将圆翻折一角，使圆周正好过点P，把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到O，P两点距离之和最小的点为M，如此反复，就能得到越来越多的折痕，设M点的轨迹为曲线C，在C上任取一点Q，则面积的最大值是（）A．B．C．D．4第(6)题已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（）A．B．C．与相交但不垂直D．或第(7)题已知函数的最小正周期为T，若，且是的一个极值点，则（）A．B．2C．D．第(8)题曲线关于直线对称的曲线方程是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，则（）A．B．C．D．第(2)题已知椭圆的左焦点为，为的上顶点，，是上两点．若，，构成以为公差的等差数列，则（）A．的最大值是B．当时，C．当，在轴的同侧时，的最大值为D．当，在轴的异侧时（，与不重合），第(3)题已知正方体的棱长为2，M，N分别是，的中点，则（）A．B．C．平面截此正方体所得截面的周长为D．三棱锥的体积为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点满足，则________第(2)题在数列中，已知对任意正整数，有，则________．第(3)题圆与圆的公共弦所在的直线方程为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推广线下分店，计划在S市的A区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记x表示在各区开设分店的个数，y表示这个x个分店的年收入之和.(1)该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程(2)假设该公司在A区获得的总年利润z(单位:百万元)与x，y之间的关系为，请结合(1)中的线性回归方程，估算该公司应在A区开设多少个分店时，才能使A区平均每个分店的年利润最大?(参考公式:，其中，)第(2)题已知函数．(1)画出和的图象；(2)若，求a的值．第(3)题已知函数.（1）若在点处的切线与直线平行，求的值；（2）若有两个零点、；①求实数的取值范围；②若，求实数的取值范围.第(4)题已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一点，为坐标原点，椭圆的离心率为，且面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）设点，直线：与椭圆交于两个不同点，；直线与轴交于点，直线与轴交于点，若，求证：直线经过定点.第(5)题由个小正方形构成长方形网格有行和列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为，放红球的概率为q，.(1)若，，记表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：n12345y7656423026求y关于n的回归方程，并预测时，y的值；（精确到1）(2)若，，，，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望；(3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：.附：经验回归方程系数：，，，.。

上海高考数学复习备考小题训练(6)

上海高考数学复习备考小题训练六一、填空题1、若81cos sin =θ⋅θ，)2,4(ππθ∈，则=-θθsin cos ______________。

2、若复数z 满足2i 43z =-+，则z 的最大值为______________。

3、已知)3,3(=a ，)0,1(=,则=⋅-b )b 2a (______________。

4、设U 是全集，非空集合P 、Q 满足U Q P ⊂⊂，若令P 、Q 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是______________。

（只需写出一个表达式）5、正四面体S-ABCD 中，D 为SC 的中点，则异面直线BD 与SA 所成角的余弦值是______________。

6、从分别标有数字1，2，3，…9的9张卡片中任取2张，则两张卡片上数字之和为偶数的概率是______________。

7、在A B C ∆中，已知A,B,C 成等差数列，则2tan 2tan 32tan 2tanC A C A ⋅++的值等于______________。

8、若)(x f 是R 上的减函数，并且)(x f 的图像经过点A （0，3）和B (3,-1)，则不等式21)1(<-+x f 的解集是______________。

9、如果10<<a ，10<≤<y x ，且1l o g l o g =⋅y x a a ，则y x ⋅的最大值是______________。

10、过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段DF 与FQ 的长分别是p,q ，则qp 11+等于______________。

11、等差数列{}n a 的各项均为正数，若641081058353=+++a a a a a a a a ，n S 为{}n a 前n 项和，则=12S ______________。

2023年上海市高考数学总复习：导数及其应用(附答案解析)

2023年上海市高考数学总复习：导数及其应用1．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）的导函数为f '（x ），f （x ）＞0且f （e ）＝1，若xf '（x ）lnx +f （x ）＞0对任意x ∈（0，+∞）恒成立，则关于x 的不等式1f(x)＞lnx 的解集为（）A ．（e ，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，e ）D ．（0，1）2．已知函数y ＝f （x ）为R 上的偶函数，且对于任意的x ∈[0，π2)满足f ′（x ）cos x +f （x ）sin x ＜0，则下列不等式成立的是（） A ．√3f(π3)＞f(π6) B ．f(0)＞√2f(−π4) C ．f(π4)＜√2f(−π3)D ．−√3f(−π3)＞f(−π6)3．设实数λ＞0，若对任意x ∈（0，+∞），不等式e x λ−ln （λx ）≥0恒成立，则λ的取值范围是（） A ．0＜λ≤1eB ．0＜λ≤e ﹣1C ．0＜λ≤eD ．0＜λ≤e 24．下列关于求导叙述正确的是（） A ．若f （x ）＝sin x ，则f ′（x ）＝﹣cos x B ．若f （x ）＝lnx +x ，则f ′（x ）=x+1xC ．若f （x ）＝4x 2，则f ′（x ）＝4xD ．若f （x ）＝e x ﹣x ，则f ′（0）＝15．由y =√x(2−x)与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积是（） A ．4π3B ．π2C ．πD ．2π6．y ＝e x +a 的图象与直线y ＝2x 相切，则a ＝（） A ．1B ．ln 2C ．1﹣ln 2D ．ln 2﹣17．R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+f ′（x ）＞1，f （2）＝0，则不等式e x f （x ）＜e x ﹣e 2的解集为（）A ．（﹣∞，0）∪（0，2）B ．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C ．（0，+∞）D ．（﹣∞，2）8．若x ＝1是函数f （x ）＝lnx −a2x 2﹣（a ﹣1）x +1的极值点，则f （x ）的极大值为（） A ．12B ．32C ．1D ．29．定义在R 上的偶函数f （x ）存在导数f ′（x ），且当x ＞0时，有f ′（x ）＞2x 恒成立，若f （m ﹣2）+3m 2+8m ﹣3＜f （2m +1），则实数m 的取值范围是（） A ．（13，+∞）B ．（﹣∞，﹣3）C ．（﹣3，13）D ．（﹣∞，﹣3）∪（13，+∞）10．设奇函数f （x ）的定义域为(−π2，π2)，且f （x ）的图象是连续不间断，∀x ∈(−π2，0)，有f '（x ）cos x ﹣f （x ）sin x ＜0，若f(t)cost ＜12f(π3)，则t 的取值范围是（） A ．(−π2，π3)B ．(0，π3)C ．(−π2，−π3)D ．(π3，π2)11．当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂．如果使用杀菌剂t 小时后的细菌数量为b （t ）＝105+104t ﹣103t 2，则细菌数量在t ＝5时的瞬时变化率为（） A ．﹣2B ．0C ．5D ．1012．已知函数f （x ）的导函数f '（x ）的图象如图所示，则下列选项中错误的是（）A ．x ＝1是f （x ）的极值点B ．导函数f '（x ）在x ＝﹣1处取得极小值C ．函数f （x ）在区间（﹣2，3）上单调递减D ．导函数f '（x ）在x ＝0处的切线斜率大于零13．若函数f （x ）＝ln （2x ）+ax 在区间[2，3]上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．(−∞，−12]B ．(−∞，−13]C ．[−13，+∞)D ．[−12，−13]14．已知a ，b 为正数，ln 2ab ＞3b −9a +12，则下列不等式一定成立的是（） A ．a ＜2bB ．b ＜2aC ．a ＜b 2D ．b ＜a 215．已知函数y ＝f （x ）（x ∈R ）满足f （﹣x ）＝6﹣f （2+x ），若函数y =3x−2x−1与y ＝f （x ）（x ∈R ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），⋯，（x m ，y m ），则∑ m i=1(x i+yi )的值为（）A ．4mB ．3mC ．2mD ．m16．若函数f （x ）＝e x （x 2﹣2ax +2a ）在区间（2，3）上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，2]B ．（0，52]C ．[2，52）D ．[52，+∞）17．已知定义在R 上的奇函数f （x ），其导函数为f ′（x ），当x ＞0时，恒有xf ′（x ）+2f （x ）＜0，若f （1）＝﹣2，则不等式xf （x ）−2x ＞0的解集是（） A ．（﹣1，0）B ．（﹣∞，﹣1）C ．（0，1）D ．（1，+∞）18．设k ，b ∈R ，若关于x 的不等式kx +b ≥lnx 在（0，+∞）上恒成立，则b k的最小值是（） A ．﹣4B ．﹣1C ．−12D ．−1419．已知函数f （x ）＝cos x +2xf ′（π2），则f ′（π2）＝（） A ．﹣1B ．0C ．1D ．π220．由曲线y =1x，直线x ＝1，x ＝3和x 轴所围成平面图形的面积为（） A ．13B ．ln 3C ．1D ．3ln 321．已知函数y ＝f （x ）是R 上的可导函数，f '（x ）+f （x ）＞1且f （100）＝2021，则不等式f （x ）﹣1＞2020e 100﹣x的解集为（）A ．（100，+∞）B ．（﹣∞，100）C ．（2000，+∞）D ．（﹣∞，2000）22．已知函数y ＝f （x ）为R 上的偶函数，且对于任意的x ∈[0，π2)满足f ′（x ）cos x +f （x ）sin x ＜0，则下列不等式成立的是（） A ．√3f(π3)＞f(π6) B ．f(0)＞√2f(−π4) C ．f(π4)＜√2f(−π3)D ．−√3f(−π3)＞f(−π6)23．已知函数f （x ）＝（a +2）lnx +a2x 2，对任意x 1，x 2∈（1，+∞），不等式|f （x 1）﹣f （x 2）|≥2|x 1﹣x 2|恒成立，则正数a 的最小值为（） A ．√2−1B ．1C ．2D ．e 2−1224．下列关于求导叙述正确的是（） A ．若f （x ）＝sin x ，则f ′（x ）＝﹣cos x B ．若f （x ）＝lnx +x ，则f ′（x ）=x+1xC ．若f （x ）＝4x 2，则f ′（x ）＝4xD ．若f （x ）＝e x ﹣x ，则f ′（0）＝125．由直线y ＝2x 及曲线y ＝4x ﹣x 2围成的封闭图形的面积为（） A ．1B ．43C ．83D ．426．函数f （x ）＝xe x﹣1的图象在x ＝1处的切线方程为（） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．x ﹣2y +1＝0C ．2x +y ﹣3＝0D ．x +2y ﹣3＝027．设函数f （x ）在R 上存在导函数f '（x ），∀x ∈R 都有f （x ）+f （﹣x ）＝0，且在（0，+∞）上f '（x ）＞1，若f （2﹣a ）﹣f （a ）＞2（1﹣a ），则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，1）B ．（1，2）C ．（1，+∞）D ．（﹣1，3）28．已知函数f(x)=xe x +12x 2−x +1，则f （x ）的极大值为（） A ．0B ．1e+12C ．eD ．129．已知定义在R 上的函数y ＝f （x ）满足：函数y ＝f （x ）﹣2021为奇函数，且对x ∈（﹣∞，+∞），2f （x ）＞f '（x ）恒成立（f '（x ）是函数f （x ）的导函数），则不等式f(x2)＜2021e x 的解集为（） A ．（0，+∞） B ．（0，2021） C ．（1，2021）D ．（﹣2021，2021）30．已知f （x ）＝2x 2﹣ax +lnx 在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，4）B ．（﹣∞，4]C ．（﹣∞，5）D ．（﹣∞，5]31．定义在R 上的函数f （x ）满足f ′（x ）＞2，f ′（x ）为f （x ）的导函数，且f （1）＝3，则不等式f （x ）＞2x +1的解集为（） A ．（﹣∞，0）B ．（0，+∞）C ．（1，+∞）D ．（﹣∞，1）32．函数f （x ）的定义域为R ，f （1）＝0，f '（x ）为f （x ）的导函数，且f '（x ）＞0，则不等式（x ﹣2）f （x ）＞0的解集是（） A ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（1，+∞） C ．（0，1）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，0）∪（1，+∞）33．函数f （x ）=√3e x sin x 的图像在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为（） A ．π4B ．π3C ．π2D ．23π34．曲线y ＝2x 2在点（﹣1，2）处的切线方程为（）A ．4x +y +2＝0B ．2x ﹣y +3＝0C ．2x ﹣y +1＝0D ．x +4y +2＝035．已知函数f （x ）＝xe x 与g （x ）＝x 2+ax （a ∈R ）的图象在A （0，0）处有相同的切线，则a ＝（） A ．0B ．﹣1C ．1D ．﹣1或136．已知函数f （x ）的导函数为f '（x ），函数y ＝f （x ）的图像如图所示，则下列各式正确的是（）A ．f '（1）＜f '（2）＜f '（3）＜0B ．f '（1）＞f '（2）＞f '（3）＞0C ．f '（3）＜f '（2）＜f '（1）＜0D ．f '（3）＞f '（2）＞f '（1）＞037．已知函数f(x)=lnx+1x与函数g （x ）＝mx 的图象相交于不同的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若存在唯一的整数x 0∈（x 1，x 2），则实数m 的最小值是（） A ．0B ．ln2e 4C ．ln3e 9D ．138．函数f （x ）＝x 2﹣alnx 在[1，+∞）单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．（0，2]B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，2]D ．（﹣∞，2）39．若函数f （x ）＝xe x ﹣2mx +m 有且只有一个零点，实数m 的取值范围是（） A ．（﹣∞，0] B ．{e }∪（﹣∞，0）C ．{4√ee}∪(−∞，0] D ．{4√e}∪(−∞，0) 40．已知f （x ）是定义在R 上的可导函数，f '（x ）是f （x ）的导函数，若f （x ）+1+x [f '（x ）+1]＝e x ，则f （x ）在（0，+∞）上（） A ．恒为正值B ．恒为负值C ．单调递增D ．单调递减41．已知函数y ＝f （x ）是R 上的可导函数，f '（x ）+f （x ）＞1且f （100）＝2021，则不等式f （x ）﹣1＞2020e 100﹣x的解集为（）A ．（﹣∞，100）B ．（100，+∞）C ．（﹣∞，2020）D ．（2020，+∞）42．设f(x)=e √x +ln2的导函数为f '（x ），则f '（1）的值为（）A ．0B ．eC ．e+12D ．e243．已知函数f （x ）＝x +1+lnx ，g （x ）＝x （e 2x +a ），若存在x ＞0，使f （x ）＞g （x ）成立，则实数a 的取值范围为（） A ．（﹣∞，﹣1）B ．（﹣∞，1）C ．（﹣∞，﹣e ）D ．（﹣∞，e ）44．已知定义在（0，+∞）上的函数f （x ）的导函数为f′(x)=e x −f(x)x ，且f′(2)=e 24，则f （x ）的最小值为（） A ．e2B ．eC ．√eD ．2e45．已知函数f （x ）在x ＝x 0处的导数为f '（x 0），则lim Δx→0f(x 0+2Δx)−f(x 0)Δx =（）A ．2f '（x 0）B ．﹣2f '（x 0）C ．−12f′(x 0)D ．12f′(x 0)46．函数f （x ）＝4x 2+1x 的单调递增区间为（） A ．（﹣∞，﹣1）B ．(−∞，−12)C ．（0，+∞）D ．(12，+∞)47．函数f （x ）的图象如图所示，其导函数为f '（x ），则不等式（x +2）f '（x ）＞0的解集为（）A ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B ．（﹣1，1）C ．（﹣2，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1）48．已知函数f （x ）＝﹣x 2+bx +c （b ，c ∈R ）的图象在x ＝0处的切线斜率为k ，在x ＝1处的切线斜率为m ，则km 的最小值为（） A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣149．已知函数f t (x)=lnxx t(t ∈R ，t ≠0)，则下列判断正确的是（） A ．直线y ＝ex ﹣1与曲线y ＝f t （x ）相切 B ．函数f t （x ）只有极大值，无极小值C ．若t 1与t 2互为相反数，则f t 1(x)的极值与f t 2(x)的极值互为相反数D ．若t 1与t 2互为倒数，则f t 1(x)的极值与f t 2(x)的极值互为倒数50．已知函数f （x ）的导函数为f '（x ），且y ＝f '（x ）的图像如图所示，则下列结论一定正确的是（）A ．f （a ）＝0B ．f （x ）没有极大值C ．x ＝b 时，f （x ）有极大值D ．x ＝c 时，f （x ）有极小值51．函数f （x ）＝1﹣x （x ＜0），g （x ）=e xx+x 2−3x +1(x ＞0)．若f （x 1）＝g （x 2），则x 2﹣x 1的最小值为（） A ．e2−1B ．e−12C ．e ﹣1D ．e52．已知定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足xf （x ）﹣e x＝a （a 为常数）且f′(2)=e 24，若f （m 2+1）＞f （5），则m 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B ．（﹣2，2）C ．（2，+∞）D ．（﹣2，0）∪（0，2）53．若函数f(x)=2x +12sin2x −acosx 没有极值，则实数a 的取值范围是（） A ．[﹣1，1]B ．[−32，32]C ．[−12，12]D ．[12，1]54．f （x ）是定义在R 上的可导函数，且f '（x ）＞f （x ），对任意正实数a ，则下列式子成立的是（） A ．f （a ）＞f(0)e a B ．f （a ）＜f(0)e aC ．f （a ）＜e a f （0）D ．f （a ）＞e a f （0）55．已知函数f(x)=e x−1−ax −1e (a ＞0)的图像与x 轴有唯一的公共点，则a 的值为（） A ．1e2B ．1eC ．eD ．156．已知函数f （x ）=e 2xkx 2−（1x+lnx ），若函数f （x ）有唯一极值点，则实数k 的取值范围为（） A ．（﹣∞，4e ]B ．（﹣∞，4e ）C ．（4e ，+∞）D ．[4e ，+∞）57．对任意x ∈(0，π2)，不等式sin x •f （x ）＜cos x •f '（x ）恒成立，则下列不等式成立的是（） A ．f(π3)＜√2f(π4) B ．f(π4)＜√62f(π6) C ．f(π4)＜√2cos1⋅f(1)D ．f(π3)＜2cos1⋅f(1)58．已知e 为自然对数的底数，f （x ）是可导函数．对于任意的x ∈R ，f ′（x ）﹣f （x ）＜0恒成立且f （0）＝1，则（） A ．f （2）＞e 2，f （2021）＜e 2020f （1） B ．f （2）＜e 2，f （2021）＞e 2020f （1） C ．f （2）＞e 2，f （2021）＞e 2020f （1）D ．f （2）＜e 2，f （2021）＜e 2020f （1）59．已知a ，b ，c ＞0，且a ≠2，b ≠3，c ≠5．若aln 2＝2lna ，bln 3＝3lnb ，cln 5＝5lnc ，则（） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c60．设函数f （x ）＝ax 2﹣x +4，若当x ＞0时，曲线y ＝f （x ）上一点与原点连线斜率的最小值为0，则实数a ＝（） A ．14B ．−14C ．116D ．−1162023年上海市高考数学总复习：导数及其应用参考答案与试题解析1．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）的导函数为f '（x ），f （x ）＞0且f （e ）＝1，若xf '（x ）lnx +f （x ）＞0对任意x ∈（0，+∞）恒成立，则关于x 的不等式1f(x)＞lnx 的解集为（）A ．（e ，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，e ）D ．（0，1）【分析】构造函数g （x ）＝f （x ）lnx ，x ∈（0，+∞），依题意，可得g ′（x ）=xf′(x)lnx+f(x)x＞0⇒g （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，又g （e ）＝f （e ）lne ＝1，1f(x)＞lnx⇔f （x ）lnx ＜1，即g （x ）＜g （e ），从而可得答案．【解答】解：令g （x ）＝f （x ）lnx ，x ∈（0，+∞），∵f （x ）＞0，xf '（x ）lnx +f （x ）＞0对任意x ∈（0，+∞）恒成立， ∴g ′（x ）＝f '（x ）lnx +f(x)x =xf′(x)lnx+f(x)x＞0， ∴g （x ）＝f （x ）lnx ，在区间（0，+∞）上单调递增，① 又f （e ）＝1，∴g （e ）＝f （e ）lne ＝1， ∴1f(x)＞lnx⇔f （x ）lnx ＜1，即g （x ）＜g （e ），②由①②得：0＜x ＜e ，即不等式1f(x)＞lnx 的解集为（0，e ），故选：C ．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学运算能力，属于中档题． 2．已知函数y ＝f （x ）为R 上的偶函数，且对于任意的x ∈[0，π2)满足f ′（x ）cos x +f （x ）sin x ＜0，则下列不等式成立的是（） A ．√3f(π3)＞f(π6) B ．f(0)＞√2f(−π4) C ．f(π4)＜√2f(−π3)D ．−√3f(−π3)＞f(−π6)【分析】令g （x ）=f(x)cosx ，依题意知g （x ）为偶函数，且在区间[0，π2)上是减函数，再由g （0）＞g （π6）＞g （π4）＝g （−π4）＞g （π3）＝g （−π3），结合条件分别判断四个选项即可．【解答】解：偶函数y ＝f （x ）对于任意的x ∈[0，π2）满足f ′（x ）cos x +f （x ）sin x ＜0，令g （x ）=f(x)cosx ，则g （﹣x ）=f(−x)cos(−x)=f(x)cosx =g （x ），即g （x ）为偶函数又g ′（x ）=f′(x)cosx+f(x)sinx cos 2x＜0，故g （x ）在区间[0，π2)上是减函数，所以g （0）＞g （π6）＞g （π4）＝g （−π4）＞g （π3）＝g （−π3），即f （0）=f(0)cos0＞f(π4)cos π4=√2f （π4）=√2f （−π4），故B 正确； f(π6)cos π6＞f(π3)cosπ3⇒√3f(π3)＜f(π6)，故A 错误；f(π4)cos π4＞f(−π3)cos(−π3)=f(π3)cosπ3⇒f(π4)＞√2f(−π3)，故C 错误；f(−π6)cos(−π6)=f(π6)cos π6＞f(π3)cosπ3=f(−π3)cos(−π3)⇒−√3f(−π3)＜f(−π6)，故D 错误；故选：B ．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算能力，属于中档题． 3．设实数λ＞0，若对任意x ∈（0，+∞），不等式e x λ−ln （λx ）≥0恒成立，则λ的取值范围是（） A ．0＜λ≤1eB ．0＜λ≤e ﹣1C ．0＜λ≤eD ．0＜λ≤e 2【分析】将等式恒成立问题转化为研究函数e x λ−ln(λx)≥0的单调性与最值问题，利用导数进行分析求解，求出f （x ）的最值点，即可得到答案．【解答】解：对任意x ∈（0，+∞），不等式e x λ−ln(λx)≥0恒成立，令e x λ−ln(λx)≥0，则问题转化为任意x ∈（0，+∞），f （x ）min ≥0，令f′(x)=e x λ−1x =0，解得e x =λx ，函数y ＝e x 与函数y =λx 在第一象限有且只有一个交点，设为（m ，n ），当x ＞m 时，f '（x ）＞0，则f （x ）单调递增，当0＜x ＜m 时，f '（x ）＜0，则f （x ）单调递减，所以当x ＝m 时，函数f （x ）取得极小值，即最小值f （m ），因为e m =λm，两边同时取对数可得，m ＝ln λ﹣lnm ，解得m ＝1，λ＝e ，所以当λ≤e 时，不等式e x λ−ln(λx)≥0恒成立，则λ的取值范围是0＜λ≤e ．故选：C ．【点评】本题考查了利用导数求解不等式恒成立问题，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题． 4．下列关于求导叙述正确的是（） A ．若f （x ）＝sin x ，则f ′（x ）＝﹣cos x B ．若f （x ）＝lnx +x ，则f ′（x ）=x+1x C ．若f （x ）＝4x 2，则f ′（x ）＝4x D ．若f （x ）＝e x ﹣x ，则f ′（0）＝1【分析】根据题意，分别求出各选项对应函数的导数，再判断即可．【解答】解：对于A ，若f （x ）＝sin x ，则f ′（x ）＝cos x ，A 错误；对于B ，若f （x ）＝lnx +x ，则f ′（x ）＝1+1x=x+1x，B 正确；对于C ，若f （x ）＝4x 2，则f ′（x ）＝8x ，C 错误；对于D ，若f （x ）＝e x ﹣x ，则f ′（x ）＝e x ﹣1，则f ′（0）＝e 0﹣1＝0，D 错误，故选：B ．【点评】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．5．由y =√x(2−x)与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积是（） A ．4π3B ．π2C ．πD ．2π【分析】将y =√x(2−x)变形可知，其图象为半径为1的半圆，从而可得所得的旋转体为半径为1的球，进一步利用球的体积公式的应用求出结果．【解答】解：由y =√x(2−x)变形可知：（x ﹣1）2+y 2＝1（y ≥0），此方程为半径为1的半圆．所以旋转一周得到的几何体为半径为1的球体，故V =43⋅π⋅13=4π3．故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：关系式的变换，球的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 6．y ＝e x +a 的图象与直线y ＝2x 相切，则a ＝（） A ．1B ．ln 2C ．1﹣ln 2D ．ln 2﹣1【分析】求出原函数的导函数，设出切点坐标（m ，n ），由题意可得关于m ，a 的方程组，求解得答案．【解答】解：由y ＝e x +a ，得y ′＝e x +a ，设直线y ＝2x 与y ＝e x +a 的切点为（m ，n ），则{em+a=22m =e m+a，解得m ＝1，a ＝ln 2﹣1．故选：D ．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．7．R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+f ′（x ）＞1，f （2）＝0，则不等式e x f （x ）＜e x ﹣e 2的解集为（）A ．（﹣∞，0）∪（0，2）B ．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C ．（0，+∞）D ．（﹣∞，2）【分析】构造函数g （x ）＝e x f （x ）﹣e x ，利用函数g （x ）的单调性即可解出不等式．【解答】解：∵R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+f ′（x ）＞1， ∴f （x ）+f ′（x ）﹣1＞0，构造函数g （x ）＝e x f （x ）﹣e x ，∴g '（x ）＝e x f （x ）+e x f '（x ）﹣e x ＝e x [f （x ）+f '（x ）﹣1]＞0， ∴函数g （x ）在R 上单调递增，且g （2）＝e 2f （2）﹣e 2＝﹣e 2，原不等式e x f （x ）＜e x ﹣e 2，可化为e x f （x ）﹣e x ＜﹣e 2，即g （x ）＜g （2），又∵函数g （x ）在R 上单调递增， ∴x ＜2．故选：D ．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了构造函数解不等式，是中档题．8．若x ＝1是函数f （x ）＝lnx −a2x 2﹣（a ﹣1）x +1的极值点，则f （x ）的极大值为（）A ．12B ．32C ．1D ．2【分析】求出函数的导数，根据f ′（1）＝0，求出a 的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极大值即可．【解答】解：f （x ）＝lnx −a2x 2﹣（a ﹣1）x +1，函数的定义域是（0，+∞）， f ′（x ）=1x −ax ﹣（a ﹣1）=−(x+1)(ax−1)x ，且x ＝1是函数f （x ）的极值点，故f ′（1）＝0，即﹣2（a ﹣1）＝0，解得：a ＝1，故f （x ）＝lnx −12x 2+1，f ′（x ）=−(x+1)(x−1)x，令f ′（x ）＞0，解得：0＜x ＜1，令f ′（x ）＜0，解得：x ＞1，故f （x ）极大值＝f （1）=12，故选：A ．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是一道中档题． 9．定义在R 上的偶函数f （x ）存在导数f ′（x ），且当x ＞0时，有f ′（x ）＞2x 恒成立，若f （m ﹣2）+3m 2+8m ﹣3＜f （2m +1），则实数m 的取值范围是（） A ．（13，+∞）B ．（﹣∞，﹣3）C ．（﹣3，13）D ．（﹣∞，﹣3）∪（13，+∞）【分析】令g （x ）＝f （x ）﹣x 2，可得偶函数y ＝g （x ）在（0，+∞）上单调递增，将f （m ﹣2）+3m 2+8m ﹣3＜f （2m +1），转化为g （2m +1）＞g （m ﹣2），脱“g “即可求得答案．【解答】解：∵f （x ）是R 上的偶函数，令g （x ）＝f （x ）﹣x 2，则g （﹣x ）＝f （﹣x ）﹣（﹣x ）2＝f （x ）﹣x 2＝g （x ）， ∴g （x ）为偶函数，∴当x ＞0时，g ′（x ）＝f ′（x ）﹣2x ＞0， ∴g （x ）在（0，+∞）上单调递增，① ∵f （m ﹣2）+3m 2+8m ﹣3＜f （2m +1），∴f （2m +1）﹣（2m +1）2﹣[f （m ﹣2）﹣（m ﹣2）2]＝f （2m +1）﹣f （m ﹣2）﹣（3m 2+8m ﹣3）＞0，∴f （2m +1）﹣（2m +1）2＞f （m ﹣2）﹣（m ﹣2）2，即g（2m+1）＞g（m﹣2），∴由①得|2m+1|＞|m﹣2|，展开得3m2+8m﹣3＞0，解得，m＞13或m＜﹣3，故选：D．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与构造法的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10．设奇函数f（x）的定义域为(−π2，π2)，且f（x）的图象是连续不间断，∀x∈(−π2，0)，有f'（x）cos x﹣f（x）sin x＜0，若f(t)cost＜12f(π3)，则t的取值范围是（）A．(−π2，π3)B．(0，π3)C．(−π2，−π3)D．(π3，π2)【分析】构造函数g（x）＝f（x）cos x，先研究函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性，然后将f(t)cost＜12f(π3)转化为f(t)cost＜f(π3)cosπ3，即g(t)＜g(π3)，最后求出t的取值范围即可．【解答】解：令g(x)=f(x)cosx，x∈(−π2，π2)，因为f（x）为奇函数，所以g（﹣x）＝f（﹣x）cos（﹣x）＝﹣f（x）cos x＝﹣g（x），则函数g（x）是定义在(−π2，π2)上的奇函数，则g′（x）＝f′（x）cos x﹣f（x）sin x，因为当x∈(−π2，0)时，f′（x）cos x﹣f（x）sin x＜0，所以g′（x）＜0，则函数g（x）在(−π2，0)上单调递减，则函数g（x）在(−π2，π2)上是奇函数且单调递减，又因为f(t)cost＜12f(π3)等价于f(t)cost＜f(π3)cosπ3，即g(t)＜g(π3 )，所以t＞π3，且−π2＜t＜π2，所以t∈(π3，π2)，故选：D．【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，解题关键是正确构造函数，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化思想，属于中档题．11．当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂．如果使用杀菌剂t小时后的细菌数量为b（t）＝105+104t﹣103t2，则细菌数量在t＝5时的瞬时变化率为（）A．﹣2B．0C．5D．10【解答】解：由b（t）＝105+104t﹣103t2，得b'（t）＝104﹣2×103t，所以b'（5）＝104﹣2×103×5＝0，所以在t＝5时的瞬时变化率为0．故选：B．12．已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则下列选项中错误的是（）A．x＝1是f（x）的极值点B．导函数f'（x）在x＝﹣1处取得极小值C．函数f（x）在区间（﹣2，3）上单调递减D．导函数f'（x）在x＝0处的切线斜率大于零【解答】解：对于A：由图象可知：当x∈（0，2）时，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在（0，2）上单调递减，所以x＝1不是f（x）的极值点，故A错误；对于B：图象可知：f′（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（﹣1，1）上单调递增，所以f′（x）在x＝﹣1处取得极小值，故B正确；对于C：对于C由图象可知当x∈（﹣2，3）时，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在（﹣2，3）上单调递减，故C正确；对于D：因为f′（x）在（﹣1，1）上单调递增，所以f″（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，由图象可知f′（x）在x＝0处的切线的斜率不等于零，即f″（0）≠0，所以f′（x）在x＝0处的切线的斜率大于零，故D正确．故选：A．13．若函数f（x）＝ln（2x）+ax在区间[2，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(−∞，−12]B．(−∞，−13]C．[−13，+∞)D．[−12，−13]【解答】解：f′（x）=12x•2+a=1x+a，若函数f（x）＝ln（2x）+ax在区间[2，3]上单调递增，则1x+a≥0 在区间[2，3]上恒成立，所以a≥（−1x）max=−13，故选：C．14．已知a，b为正数，ln 2ab＞3b−9a+12，则下列不等式一定成立的是（）A．a＜2b B．b＜2a C．a＜b2D．b＜a2【解答】解：因为ln 2ab=ln(2a)−lnb＞3b−32a+12，则ln(2a)+32a＞lnb+3b+1 2，所以ln（2a）+32a＞lnb+3b，令f（x）＝lnx+3x，因为函数y＝lnx，y＝3x在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（2a）＞f（b），所以2a＞b．故选：B．15．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝6﹣f（2+x），若函数y=3x−2x−1与y＝f（x）（x∈R）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），⋯，（x m，y m），则∑m i=1(x i+y i)的值为（）A．4m B．3m C．2m D．m【解答】解：函数y＝f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝6﹣f（2+x），即f（2+x）+f（﹣x）＝6，故f（x）的图象关于点（1，3）对称，∵函数y=3x−2x−1=3x−3+1x−1=3+1x−1，故y的图象也关于点（1，3）对称．∵函数y=3x−2x−1与y＝f（x）（x∈R）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），⋯，（x m，y m），∴x 1+x m ＝x 2+x m ﹣1＝x 3+m ﹣2＝••＝2，y 1+y m ＝y 2+y m ﹣1＝y 3+y m ﹣2＝••＝6．令M ＝x 1+x 2+•+x m ，则2M ＝2m ，M ＝m ，令N ＝y 1+y 2+•+y m ，则2N ＝6m ，N ＝3n ，则∑ m i=1(x i+yi )=∑ m i=1x i +∑ m i=1y i =M +N ＝4m ，故选：A ．16．若函数f （x ）＝e x （x 2﹣2ax +2a ）在区间（2，3）上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，2]B ．（0，52]C ．[2，52）D ．[52，+∞）【解答】解：∵f （x ）＝e x （x 2﹣2ax +2a ）在区间（2，3）上单调递增，∴当x ∈（2，3）时，f ′（x ）＝e x （x 2﹣2ax +2a ）+e x （2x ﹣2a ）＝e x [x 2﹣2（a ﹣1）x ]≥0恒成立，即当x ∈（2，3）时，x 2﹣2（a ﹣1）x ≥0恒成立，由x 2﹣2（a ﹣1）x ≥0（2＜x ＜3）得：x 2﹣2（a ﹣1）x ≥0恒成立⇔2（a ﹣1）≤x 恒成立， ∴2（a ﹣1）≤2，解得a ≤2，故选：A ．17．已知定义在R 上的奇函数f （x ），其导函数为f ′（x ），当x ＞0时，恒有xf ′（x ）+2f （x ）＜0，若f （1）＝﹣2，则不等式xf （x ）−2x ＞0的解集是（） A ．（﹣1，0）B ．（﹣∞，﹣1）C ．（0，1）D ．（1，+∞）【解答】解：设g （x ）＝x 2f （x ）﹣2，则g ′（x ）＝x 2f ′（x ）+2xf （x ）＝x [xf '（x ）+2f （x ）]．因为当x ＞0时，恒有xf ′（x ）+2f （x ）＜0，即当x ＞0时，g '（x ）＜0，所以函数g （x ）在（0，+∞）单调递减；① 当x ＜0时g '（x ）＞0，所以函数y ＝g （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，又f （x ）为奇函数，f （1）＝﹣2，故f （﹣1）＝2，g （﹣1）＝（﹣1）2f （﹣1）﹣2＝0，（*）不等式xf （x ）−2x ＞0⇔x 2f(x)−2x＞0，当x ＞0时，g （x ）＞0，②又由①知，当x ＞0时，g （x ）＜g （0）＝﹣2，③，②③矛盾，即x ＞0时，不等式无解；由（*）可知，当x ＜0时，有g （x ）＜0＝g （﹣1），g （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，所以，x ＜﹣1，故选：B ．18．设k ，b ∈R ，若关于x 的不等式kx +b ≥lnx 在（0，+∞）上恒成立，则bk 的最小值是（）A ．﹣4B ．﹣1C ．−12D ．−14【解答】解：kx +b ≥lnx 在（0，+∞）上恒成立，即为lnx ﹣kx ≤b 在（0，+∞）上恒成立，令f （x ）＝lnx ﹣kx ，f′(x)=1x−k ．若k ≤0，则f '（x ）＞0，可得f '（x ）在（0，+∞）递增，当x →+∞时，f （x ）→+∞，不等式lnx ﹣kx ≤b 在（0，+∞）上不恒成立，故k ＞0．由f′(x)=1x −k ，可得f （x ）在(0，1k )上单调递增，在(1k，+∞)上单调递减，所以当1x=k 时，f （x ）取得最大值f(x)max =f(1k )=ln 1k −1=−lnk −1，则﹣lnk ﹣1≤b ，则b k≥−1k−lnk k．令g(k)=−1k−lnk k ，k ＞0，g′(k)=1k 2−1−lnk k 2=lnk k2，可得g （k ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当k ＝1时，g （k ）min ＝g （1）＝﹣1，则bk 的最小值是﹣1．故选：B ．19．已知函数f （x ）＝cos x +2xf ′（π2），则f ′（π2）＝（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．π2【解答】解：∵f （x ）＝cos x +2xf ′（π2）， ∴f ′（x ）＝﹣sin x +2f ′（π2），令x =π2，则f ′（π2）＝﹣1+2f ′（π2），∴f ′（π2）＝1，故选：C ．20．由曲线y =1x，直线x ＝1，x ＝3和x 轴所围成平面图形的面积为（） A ．13B ．ln 3C ．1D ．3ln 3【解答】解：依题意，由曲线y =1x ，直线x ＝1，x ＝3和x 轴所围成平面图形的面积为：S =∫ 311xdx =(lnx)|13=ln3−ln1=ln3．故选：B ．21．已知函数y ＝f （x ）是R 上的可导函数，f '（x ）+f （x ）＞1且f （100）＝2021，则不等式f （x ）﹣1＞2020e 100﹣x的解集为（）A ．（100，+∞）B ．（﹣∞，100）C ．（2000，+∞）D ．（﹣∞，2000）【解答】解：令g （x ）＝[f （x ）﹣1]e x ， ∵f '（x ）+f （x ）＞1，∴g ′（x ）＝e x （f '（x ）+f （x ）﹣1）＞0， ∴g （x ）为R 上的增函数； ∵f （100）＝2021，∴f （x ）﹣1＞2020e 100﹣x ⇔[f （x ）﹣1]e x ＞2020e 100＝[f （100）﹣1]e 100，即g （x ）＞g （100）， ∴x ＞100，故选：A ．22．已知函数y ＝f （x ）为R 上的偶函数，且对于任意的x ∈[0，π2)满足f ′（x ）cos x +f （x ）sin x ＜0，则下列不等式成立的是（） A ．√3f(π3)＞f(π6) B ．f(0)＞√2f(−π4) C ．f(π4)＜√2f(−π3)D ．−√3f(−π3)＞f(−π6)【解答】解：偶函数y ＝f （x ）对于任意的x ∈[0，π2）满足f ′（x ）cos x +f （x ）sin x ＜0，令g （x ）=f(x)cosx ，则g （﹣x ）=f(−x)cos(−x)=f(x)cosx =g （x ），即g （x ）为偶函数又g ′（x ）=f′(x)cosx+f(x)sinx cos 2x＜0，故g （x ）在区间[0，π2)上是减函数，所以g （0）＞g （π6）＞g （π4）＝g （−π4）＞g （π3）＝g （−π3），即f （0）=f(0)cos0＞f(π4)cos π4=√2f （π4）=√2f （−π4），故B 正确； f(π6)cos π6＞f(π3)cosπ3⇒√3f(π3)＜f(π6)，故A 错误；f(π4)cos π4＞f(−π3)cos(−π3)=f(π3)cosπ3⇒f(π4)＞√2f(−π3)，故C 错误；f(−π6)cos(−π6)=f(π6)cos π6＞f(π3)cosπ3=f(−π3)cos(−π3)⇒−√3f(−π3)＜f(−π6)，故D 错误；故选：B ．23．已知函数f （x ）＝（a +2）lnx +a 2x 2，对任意x 1，x 2∈（1，+∞），不等式|f （x 1）﹣f （x 2）|≥2|x 1﹣x 2|恒成立，则正数a 的最小值为（） A ．√2−1B ．1C ．2D ．e 2−12【解答】解：因为f （x ）＝（a +2）lnx +a2x 2，则f′(x)=a+2x +ax ＞0，所以f （x ）在（1，+∞）单调递增，不妨取x 1≥x 2＞1，则f （x 1）≥f （x 2），又|f （x 1）﹣f （x 2）|≥2|x 1﹣x 2|恒成立，即f （x 1）﹣2x 1≥f （x 2）﹣2x 2恒成立，令g （x ）＝f （x ）﹣2x ，则g （x ）在（1，+∞）单调递增，所以g′(x)=a+2x +ax −2≥0⇒a ≥(2x−2x 2+1)max ，又2x−2x 2+1=2(x−1)+2x−1+2≤√2−1，当且仅当x −1=2x−1时取等号，所以a ≥√2−1，则正数a 的最小值为√2−1．故选：A ．24．下列关于求导叙述正确的是（）A ．若f （x ）＝sin x ，则f ′（x ）＝﹣cos xB ．若f （x ）＝lnx +x ，则f ′（x ）=x+1x C ．若f （x ）＝4x 2，则f ′（x ）＝4x D ．若f （x ）＝e x ﹣x ，则f ′（0）＝1【解答】解：对于A ，若f （x ）＝sin x ，则f ′（x ）＝cos x ，A 错误；对于B ，若f （x ）＝lnx +x ，则f ′（x ）＝1+1x =x+1x ，B 正确；对于C ，若f （x ）＝4x 2，则f ′（x ）＝8x ，C 错误；对于D ，若f （x ）＝e x ﹣x ，则f ′（x ）＝e x ﹣1，则f ′（0）＝e 0﹣1＝0，D 错误，故选：B ．25．由直线y ＝2x 及曲线y ＝4x ﹣x 2围成的封闭图形的面积为（） A ．1B ．43C ．83D ．4【解答】解：根据题意，{y =2x y =4x −x 2，解可得{x =0y =0或{x =2y =4，其图象如图；直线和曲线的交点为（0，0），（2，4），则直线y ＝2x 及曲线y ＝4x ﹣x 2围成的封闭图形的面积S =∫ 20（2x ﹣4+x 2）dx ＝（x 2﹣4x +x 33）|02=43，故选：B ．26．函数f （x ）＝xe x﹣1的图象在x ＝1处的切线方程为（） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．x ﹣2y +1＝0C ．2x +y ﹣3＝0D ．x +2y ﹣3＝0【解答】解：由f （x ）＝xe x ﹣1，得f ′（x ）＝e x ﹣1+xe x ﹣1， ∴f ′（1）＝e 0+1×e 0＝2，又f （1）＝1，∴函数f （x ）＝xe x ﹣1的图象在x ＝1处的切线方程为y ﹣1＝2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣1＝0．故选：A ．27．设函数f （x ）在R 上存在导函数f '（x ），∀x ∈R 都有f （x ）+f （﹣x ）＝0，且在（0，+∞）上f '（x ）＞1，若f （2﹣a ）﹣f （a ）＞2（1﹣a ），则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，1）B ．（1，2）C ．（1，+∞）D ．（﹣1，3）【解答】解：令g （x ）＝f （x ）﹣x ， ∵∀x ∈R 都有f （x ）+f （﹣x ）＝0， ∴f （x ）为奇函数，∴g （﹣x ）＝f （﹣x ）﹣（﹣x ）＝﹣[f （x ）﹣x ]＝﹣g （x ），即g （x ）为奇函数，又在（0，+∞）上f '（x ）＞1，∴当x ∈（0，+∞）时，g ′（x ）＝f '（x ）﹣1＞0，g （x ）在（0，+∞）上单调递增，g （x ）为奇函数，∴g （x ）在R 上单调递增；∵f （2﹣a ）﹣f （a ）＞2（1﹣a ），即f （2﹣a ）﹣（2﹣a ）＞f （a ）﹣a ，即g （2﹣a ）＞g （a ）， ∴2﹣a ＞a ， ∴a ＜1，故选：A ．28．已知函数f(x)=xe x +12x 2−x +1，则f （x ）的极大值为（） A ．0B ．1e+12C ．eD ．1【解答】解：因为f′(x)=1−x e x +x −1=(x−1)(e x −1)e x，令f ′（x ）＞0，解得：x ＞1或x ＜0，令f ′（x ）＜0，解得：0＜x ＜1，故f （x ）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在[0，1]上单调递减，故f （x ）的极大值为f （0）＝1，故选：D ．29．已知定义在R 上的函数y ＝f （x ）满足：函数y ＝f （x ）﹣2021为奇函数，且对x ∈（﹣∞，+∞），2f （x ）＞f '（x ）恒成立（f '（x ）是函数f （x ）的导函数），则不等式f(x2)＜2021e x的解集为（） A ．（0，+∞） B ．（0，2021） C ．（1，2021） D ．（﹣2021，2021）【解答】解：令g(x)=f(x)e 2x， ∵x ∈（﹣∞，+∞），2f （x ）＞f '（x ）， ∴g ′（x ）=f′(x)−2f(x)e x＜0， ∴g （x ）在R 上的减函数，又y ＝f （x ）﹣2021为奇函数， y |x ＝0＝f （0）﹣2021＝0， ∴f （0）＝2021，∴f(x 2)＜2021e x ⇔g(x 2)=f(x 2)e x ＜2021=f(0)e0=g （0），∴x2＞0，即x ＞0，故选：A ．30．已知f （x ）＝2x 2﹣ax +lnx 在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，4）B ．（﹣∞，4]C ．（﹣∞，5）D ．（﹣∞，5]【解答】解：∵f （x ）＝2x 2﹣ax +lnx 在区间（1，+∞）上单调递增， ∴f '（x ）＝4x ﹣a +1x ≥0在（1，+∞）上恒成立，即a ≤4x +1x在（1，+∞）上恒成立，设g （x ）＝4x +1x （x ≥1），则a ≤g （x ）min ，由对勾函数的性质可知，g （x ）在区间（1，+∞）上单调递增， ∴g （x ）＞g （1）＝4+1＝5， ∴a ≤5，故选：D ．31．定义在R 上的函数f （x ）满足f ′（x ）＞2，f ′（x ）为f （x ）的导函数，且f （1）＝3，则不等式f （x ）＞2x +1的解集为（） A ．（﹣∞，0）B ．（0，+∞）C ．（1，+∞）D ．（﹣∞，1）【解答】解：根据题意，设g （x ）＝f （x ）﹣2x ﹣1，则g ′（x ）＝f ′（x ）﹣2，又由f ′（x ）＞2，则g ′（x ）＞0，则g （x ）在R 上为增函数，又由f （1）＝3，则g （1）＝f （1）﹣2﹣1＝0，则f （x ）＞2x +1⇒f （x ）﹣2x ﹣1＞0⇒g （x ）＞g （1），分析可得x ＞1，即不等式f （x ）＞2x +1的解集为（1，+∞）；故选：C ．32．函数f （x ）的定义域为R ，f （1）＝0，f '（x ）为f （x ）的导函数，且f '（x ）＞0，则不等式（x ﹣2）f （x ）＞0的解集是（） A ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（1，+∞） C ．（0，1）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【解答】解：f ′（x ）＞0，f （x ）在R 单调递增，又f （1）＝0，x ＜1时，f （x ）＜0，x ＞1时，f （x ）＞0，对于（x ﹣2）f （x ）＞0，当x ＞2时，不等式成立，当1＜x ＜2时，x ﹣2＜0，f （x ）＞0，不等式不成立，当x ＜1时，x ﹣2＜0，且f （x ）＜0，不等式成立，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（2，+∞），故选：A ．33．函数f （x ）=√3e x sin x 的图像在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为（） A ．π4B ．π3C ．π2D ．23π【解答】解：由f （x ）=√3e x sin x ，得f ′（x ）=√3e x sin x +√3e x cos x ，则f ′（0）=√3e 0sin0+√3e 0cos0=√3，设f （x ）=√3e x sin x 的图像在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tan θ=√3，θ=π3．故选：B ．34．曲线y ＝2x 2在点（﹣1，2）处的切线方程为（） A ．4x +y +2＝0B ．2x ﹣y +3＝0C ．2x ﹣y +1＝0D ．x +4y +2＝0【解答】解：由y ＝2x 2，得y ′＝4x ， ∴y ′|x ＝﹣1＝﹣4，则曲线y ＝2x 2在点（﹣1，2）处的切线方程为y ﹣2＝﹣4（x +1），即4x +y +2＝0．故选：A ．35．已知函数f （x ）＝xe x 与g （x ）＝x 2+ax （a ∈R ）的图象在A （0，0）处有相同的切线，则a ＝（） A ．0B ．﹣1C ．1D ．﹣1或1【解答】解：∵f '（x ）＝e x +xe x ，∴f '（0）＝1． ∵g '（x ）＝2x +a ，∴g '（0）＝a ．∵f （x ）与g （x ）的图象在（0，0）处有相同的切线， ∴f '（0）＝g '（0），即a ＝1．故选：C ．36．已知函数f （x ）的导函数为f '（x ），函数y ＝f （x ）的图像如图所示，则下列各式正确的是（）A ．f '（1）＜f '（2）＜f '（3）＜0B ．f '（1）＞f '（2）＞f '（3）＞0C ．f '（3）＜f '（2）＜f '（1）＜0D ．f '（3）＞f '（2）＞f '（1）＞0【解答】解：因为f '（1），f '（2），f ’（3）分别为函数f （x ）在x ＝1，x ＝2，x ＝3处切线的斜率，由f （x ）的图象可知，f （x ）在（0，+∞）上单调递减，所以f '（x ）＜0，则f '（1）＜0，f '（2）＜0，f ’（3）＜0，又f （x ）递减的速度越来越慢，即切线的斜率越来越大，所以f '（1）＜f '（2）＜f '（3）＜0．故选：A ． 37．已知函数f(x)=lnx+1x与函数g （x ）＝mx 的图象相交于不同的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若存在唯一的整数x 0∈（x 1，x 2），则实数m 的最小值是（） A ．0B ．ln2e 4C ．ln3e 9D ．1【解答】解：由lnx+1x=mx 得m =lnx+1x 2，设ℎ(x)=lnx+1x 2(x ＞0)，求导ℎ′(x)=x−2x(lnx+1)x 4=1−2(lnx+1)x 3=−(2lnx+1)x 3，令h '（x ）＝0，解得x =e −12，0＜x ＜e−12时，h '（x ）＞0，h （x ）单调递增；当x ＞e −12时，h '（x ）＜0，h （x ）单调递减；故当x =e−12时，函数取得极大值，且ℎ(e −12)=e 2，又x =1e 时，h （x ）＝0；当x →+∞时，lnx +1＞0，x 2＞0，故h （x ）→0；作出函数大致图像，如图所示：又ℎ(1)=1，ℎ(2)=ln2+14=ln2e4，因为存在唯一的整数x 0∈（x 1，x 2），使得y ＝m 与ℎ(x)=lnx+1x 2的图象有两个交点，由图可知：h （2）≤m ＜h （1），即ln2e 4≤m ＜1，所以m 的最小值为ln2e 4．故选：B ．38．函数f （x ）＝x 2﹣alnx 在[1，+∞）单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．（0，2]B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，2]D ．（﹣∞，2）【解答】解：函数f （x ）＝x 2﹣alnx ，则f '（x ）=2x −ax ，因为f （x ）＝x 2﹣alnx 在[1，+∞）单调递增，所以2x−ax≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≤2x2在[1，+∞）上恒成立，因为y＝2x2在[1，+∞）上单调递增，所以（2x2）min＝2，则a≤2，所以实数a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：C．39．若函数f（x）＝xe x﹣2mx+m有且只有一个零点，实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．{e}∪（﹣∞，0）C．{4√e e}∪(−∞，0]D．{4√e}∪(−∞，0)【解答】解：根据题意，函数f（x）＝xe x﹣2mx+m有且只有一个零点，即方程xe x﹣2mx+m ＝0有且只有一个零点，设g（x）＝xe x，则函数g（x）直线y＝2mx﹣m有且只有一个交点，对于g（x）＝xe x，当x＜0时，g（x）＜0，当x＞0时，g（x）＞0，其导数g′（x）＝xe x+e x＝（x+1）e x，在区间（﹣∞，﹣1）上，g′（x）＜0，g（x）为减函数，在区间（﹣1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）为增函数，其大致图像如图，直线y＝2mx﹣m＝2m（x−12），恒过定点（12，0），当m≤0时，易得函数g（x）与直线y＝2mx﹣m有且只有一个交点，符合题意，当m＞0时，设函数g（x）与直线y＝2mx﹣m相切，且切点的坐标为（t，te t），则切线的斜率k＝g′（t）＝（t+1）e t，则有te tt−12=（t+1）e t，解可得t＝1或−12，当t＝1时，有2m＝（1+1）e，解可得m＝e，当t=−12时，有2m＝（1−12）e−12=2√e，解可得m=4√e，结合图象，m＞0时，除两条切线外，不存在函数g（x）与直线y＝2mx﹣m有且只有一个交点的情况，综合可得：m＝e或m=14√e或m≤0，即m的取值范围为{14√e e}∪(−∞，0]；故选：C．40．已知f（x）是定义在R上的可导函数，f'（x）是f（x）的导函数，若f（x）+1+x[f'（x）+1]＝e x，则f（x）在（0，+∞）上（）A．恒为正值B．恒为负值C．单调递增D．单调递减【解答】解：由f（x）+1+x[f'（x）+1]＝e x，得f（x）+xf'（x）＝e x﹣x﹣1，设g（x）＝xf（x），则g'（x）＝e x﹣x﹣1，设h（x）＝e x﹣x﹣1，h'（x）＝e x﹣1，当x＞0时，h'（x）＞0，h（x）递增，x＜0时，h'（x）＜0，h（x）递减，所以h（x）min＝h（0）＝0，所以h（x）≥h（0）＝0，即g'（x）≥0恒成立，所以g（x）是R上的增函数，又g（0）＝0，所以x＞0时，g（x）＝xf（x）＞0，f（x）＞0，故选：A．41．已知函数y＝f（x）是R上的可导函数，f'（x）+f（x）＞1且f（100）＝2021，则不等式f （x ）﹣1＞2020e 100﹣x的解集为（）A ．（﹣∞，100）B ．（100，+∞）C ．（﹣∞，2020）D ．（2020，+∞）【解答】解：令g （x ）＝f （x ）e x ﹣e x ＝[f （x ）﹣1]e x ， ∵f '（x ）+f （x ）＞1∴g ′（x ）＝[f '（x ）+f （x ）﹣1]e x ＞0， ∴g （x ）为增函数，又f （100）＝2021，∴f （x ）﹣1＞2020e 100﹣x ⇔[f （x ）﹣1]e x ＞[f （100）﹣1]e 100，即g （x ）＞g （100） ∴x ＞100，故选：B ．42．设f(x)=e √x +ln2的导函数为f '（x ），则f '（1）的值为（） A ．0B ．eC ．e+12D ．e2【解答】解：因为f(x)=e √x +ln2，则f '（x ）=√x2√x ，所以f '（1）=√12√1=e 2．故选：D ．43．已知函数f （x ）＝x +1+lnx ，g （x ）＝x （e 2x +a ），若存在x ＞0，使f （x ）＞g （x ）成立，则实数a 的取值范围为（） A ．（﹣∞，﹣1）B ．（﹣∞，1）C ．（﹣∞，﹣e ）D ．（﹣∞，e ）【解答】解：存在x ＞0，使f （x ）＞g （x ）成立，即x +1+lnx ＞x （e 2x +a ），由于x ＞0，所以可得1+1x +lnxx ＞e 2x +a当x ＞0时，设m （x ）=1+1x +lnxx ，n （x ）＝e 2x +a ，由m '（x ）=−lnxx 2，可知m （x ）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，由n '（x ）＝2e 2x ，可知n （x ）在（0，+∞）上递增，若存在x ＞0时，m （x ）＞n （x ），则临界状态是m （x ）图象与n （x ）相切，且m （x ）图象位于n （x ）上方，如图。

上海高考数学压轴题50道(有答案-精品)

高考压轴题目选（５０题）１．（函数）设32()log (f x x x =++，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的条件。

２．（函数）设)22,22(),(y x y x y x f +-=为定义在平面上的函数，且+=2),{(x y x A }0,0,12≥≥≤y x y ，令}),(),({A y x y x f B ∈=，则B 所覆盖的面积为３．（函数）老师在黑板上写出了若干个幂函数。

他们都至少具备一下三条性质中的一条：（1）是奇函数；（2）在(,)-∞+∞上是增函数；（3）函数图像经过原点。

小明统计了一下，具有性质（1）的函数共10个，具有性质（2）的函数共6个，具有性质（3）的函数共有15个，则老师写出的幂函数共有个。

４．（函数）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=５．（函数）已知函数()1).f x a =≠在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是６．（函数）方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是７．（函数）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动。

设顶点p （x ，y ）的轨迹方程是()y f x =，则()f x 的最小正周期为；()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积为。

８．（三角函数）已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________ ９．（三角函数）已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，（其中0ω>），若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图像与直线1=y 交点个数的最大值为2，则ω的取值范围为１０．（三角函数）已知方程x 2+33x+4=0的两个实根分别是x 1，x 2，则21a r c t a n a r c t a n x x += １１．（数列）设定义在*N 上的函数：(21)()()(2)2n n k f n n f n k =-⎧⎪=⎨=⎪⎩，其中*k N ∈，记(1)(2)(3)(4)(2)n n a f f f f f =+++++，则1n n a a +-=１２．（数列）在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序。

2023年上海夏季高考数学练习(高频考点版)

一、单选题二、多选题三、填空题1. 已知函数在上是单调函数，则实数取值范围是（）A ．（-1，1）B ．[-1，1]C．D．2. 在二项式的展开式中，任取两项的系数相加，得到不相同的结果的种数有（）A．种B．种C．种D．种3. 已知为实数集，，，则（）A．B．C．D．4. 已知平行四边形ABCD 的三个顶点，，的坐标分别是,,,，则向量的坐标是（）A．B．C．D．5. 已知集合，，，则（）A．B．C．D．6. 年月日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着陆.嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度(单位:)和燃料的质量(单位:)、火箭(除燃料外)的质量(单位:)的函数关系表达式为.如果火箭的最大速度达到，则燃料的质量与火箭的质量的关系是（）A．B．C．D．7. 某区创建全国文明城市，指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评．工作人员在本区选取了甲、乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取个实地点位进行现场测评，下表是两个街道的测评分数（满分分），则下列说法错误的是（）甲乙A ．甲、乙两个街道的测评分数的极差相等B ．甲、乙两个街道的测评分数的平均数相等C．街道乙的测评分数的众数为D ．甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数较大8. 以下化简结果正确的是（字母均为正数）（）A．B．C．D．9. 已知是圆上的点，则的最小值是________．10.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则点的坐标为__________．11. 连续掷一颗筛子两次，点数和不超过4，对应的基本事件子集为______.12.已知数列满足，，则______.2023年上海夏季高考数学练习(高频考点版)2023年上海夏季高考数学练习(高频考点版)四、解答题13. 如图在平行六面体中，，，，，､､分别为，，的中点.(1)求证：(2)求和所成角的余弦值；14. 已知是空间的一个基底，且，，，.(1)求证：，，，四点共面；(2)能否作为空间的一个基底?若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由.15. 已知函数是奇函数，且.（1）求实数和的值；（2）判断函数在上的单调性，并加以证明．16. 已知集合A={x|2≤2x≤32}，B={x|y=log2（3﹣x）}．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若C={x|x≥a+1}，且（A∩B）⊆C，求实数a的取值范围．。

上海市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)摸底(备考卷)完整试卷

上海市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）摸底(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A．8B．12C．16D．20第(2)题已知等差数列的公差为，集合，若，则（）A．－1B．C．0D．第(3)题如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图做出以下判断，不正确的是（）A．图（1）的平均数=中位数=众数B．图（2）的众数<中位数<平均数C．图（2）的平均数<众数<中位数D．图（3）的平均数<中位数<众数第(4)题如图放置的边长为1的正方形沿轴顺时针滚动一周，设顶点的运动轨迹与轴所围区域为，若在平面区域内任意取一点，则所取的点恰好落在区域内部的概率为A．B．C．D．第(5)题若．则（）A．B．C．D．第(6)题数形结合思想是数学领域中一种核心的思想方法，它将数的概念与几何图形的特性相结合，从而使抽象的数学问题具体化，复杂的几何问题直观化.“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合简洁而有力的表达.数与形是不可分割的统一体，彼此相互依存.已知函数，则的图象大致是（）A．B．C．D．第(7)题年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在年提出的个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数．在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（）A．B．C．D．第(8)题已知的顶点都在球O的球面上，且，，球心O到平面ABC的距离为2．则球O的表面积为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知是空间中两条互相垂直的异面直线，则下列说法正确的是（）A．存在平面，使得且B．存在平面，使得且C．存在平面，使得D．存在平面，使得第(2)题函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，．下列结论正确的有（）A．函数与函数无公共点B．若，则C．D．所有满足的点组成区域的面积为第(3)题已知椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，．P是椭圆上异于，的点，则下列说法正确的是（）A．周长为4B．面积的最大值为C．的最小值为D．若面积为2，则点P横坐标为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数，若函数仅有1个零点，则实数的取值范围为_____.第(2)题在几何学中，截角立方体是一种十四面体，由八个正三角形与六个正八边形组成，共有个面，个顶点以及条边，是一种阿基米德立体，属于半正多面体.下图是一个所有棱长均为的截角立方体，则该截角立方体的外接球的表面积为_____.第(3)题在二项式的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，项的系数是__________．（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知抛物线的焦点恰好是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，且的最大值为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过抛物线上的一点能作椭圆的两条互相垂直的切线，求此时的值.第(2)题已知函数．(1)解不等式；(2)若恒成立，求实数的取值范围．第(3)题已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若，求的值．第(4)题设，恒成立.（Ⅰ）求的取值集合；（Ⅱ）设，证明：是增函数，且（为自然对数的底数）.第(5)题已知函数的首项，且满足．(1)求证为等比数列，并求．(2)对于实数，表示不超过的最大整数，求的值．。

上海市2024高三冲刺(高考数学)人教版真题(备考卷)完整试卷

上海市2024高三冲刺（高考数学）人教版真题(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设集合，则（）A．B．C．D．第(2)题已知点M是棱长为3的正方体的内切球O球面上的动点，点N为线段上一点，，，则动点M运动路线的长度为（）A．B．C．D．第(3)题已知实数，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为（）A．B．C．D．第(4)题已知命题：复数的虚部是，命题：恒成立，则.下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．第(5)题曲线表示（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆第(6)题已知，，，则（）A．12B．C．7D．第(7)题若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．2B．4C．6D．8第(8)题复数，则（）A．2B．1C．4D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题设实数满足，则（）A．B．C．D．第(2)题已知，则下列不等式一定成立的有（）A．B．C．D．第(3)题某地2022年11月25日—2022年12月3日的日最高气温与最低气温统计图如下．根据该图，下列说法正确的是（）A．这9日日最低气温的极差为13℃B．这9日日温差最大为14℃C．这9日日最高气温的中位数为11℃D．这9日日最低气温的众数为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题某等候区有个座位（连成一排），甲、乙、丙、丁四人随机就座，因受新冠疫情影响，要求他们每两人之间至少有一个空位，则不同的坐法有_______种．第(2)题已知集合，，若，则_____．第(3)题某同学连续两次投篮，已知第一次投中的概率为0.8，在第一次投中的情况下，第二次也投中的概率为0.7，且第一次投不中，第二次投中的概率为0.5，则在第二次投中的条件下，第一次也投中的概率为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知数列各项均为正，且.（1）设，求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和.第(2)题帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，已知函数.(1)求函数在处的阶帕德近似，并求的近似数精确到(2)在（1）的条件下：①求证：；②若恒成立，求实数的取值范围.第(3)题已知椭圆的两个顶点分别为、，焦点在轴上，离心率为，直线与椭圆交于、两点.(1)求椭圆的方程；(2)当变化时，是否存在过点的定直线，使直线平分？若存在，求出该定直线的方程；若不存在，请说明理由.第(4)题某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量（单位：吨）.并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.附：.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828(1)求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；(2)若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：亩产量超过亩产量不超过合计河水灌溉18090270井水灌溉7060130合计250150400试根据小概率值的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？第(5)题为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图：(1)记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，…，第6组.从第5组，第6组中任取2户居民，求他们月均用电量都不低于的概率；(2)从该地区居民中随机抽取3户，设月均用电量在之间的用户数为，以频率估计概率，求的分布列和数学期望；(3)该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于的居民用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%.请根据此次调查的数据，估计应定为多少合适？（只需写出结论）.。

上海高三数学刷题练习册

上海高三数学刷题练习册一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 1 \)，求导后得到的函数是：A. \( 6x^2 - 6x + 5 \)B. \( 6x^2 - 6x + 4 \)C. \( 6x^2 + 6x + 5 \)D. \( 6x^3 - 6x^2 + 5 \)2. 若\( \sin A = \frac{3}{5} \)，且\( A \)为锐角，求\( \cos A \)的值：A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{1}{5} \)C. \( -\frac{4}{5} \)D. \( -\frac{1}{5} \)3. 已知数列\( \{a_n\} \)的通项公式为\( a_n = 3n - 1 \)，求第10项的值：A. 28B. 29C. 30D. 314. 一个圆的半径为5，求该圆的面积：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题4分，共16分）5. 若直线\( y = 3x + 2 \)与直线\( y = -2x + 6 \)平行，则它们的斜率之比为_________。

6. 已知\( \log_{10}100 = 2 \)，求\( \log_{10}0.01 \)的值。

7. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

8. 若\( \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)，且\( x \)在第一象限，求\( \sin x \)的值。

三、解答题（每题8分，共24分）9. 已知函数\( y = x^2 - 4x + 4 \)，求该函数的顶点坐标。

10. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求前10项的和。

11. 已知一个圆锥的底面半径为4，高为6，求圆锥的体积，若底面半径为\( r \)，高为\( h \)。

四、证明题（每题10分，共20分）12. 证明：对于任意实数\( x \)，不等式\( 1 + x + x^2 \geq 0 \)恒成立。

2021年上海市高考数学考前精选百题带答案

考前练习150题1、若函数(21)f x +的定义域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数2(log )f x 的定义域为(1,162⎛⎫⎪⎝⎭) 2、参数方程2234(03)2x t t y t ⎧=+⎪≤≤⎨=-⎪⎩所表示的曲线是（ C ） A 、双曲线一支； B 、一段圆弧； C 、一条线段； D 、一条直线。

3、平面α的斜线l 和α成6π的角，则斜线l 和α内任一直线所成角的范围 62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 4、在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是[0.4，1] {}05、已知圆C 与圆()1122=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程是x 2+y +1()2=1 ；6、如果原点在圆0322=-+++a y x y x 的外部，则a 的取值范围是 -52,0æèçöø÷ ；7．一个等差数列中，是一个与无关的常数，则此常数的集合为．8．复数z 与自身的平方根共轭，求z 答 0,1，1-2 9、小球A 在右图所示的通道由上到下随机地滑动，最后在下底面的某个出口落出，则一次投放小球，从“出口3”落出的概率为【】3810、三棱柱111O B A ABO -的体积为V ，那么11o Ao B V -=13V 11、从平面α外一点P 引与α相交的直线，使得点P 到交点的距离为1，则满足条件的直{}n a 2n na a n 11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭A15线一定不可能是（ (C) ） (A)0条 (B)1条 (C)2条 (D)无数条12. 如右上图，三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，则截面EFGH 将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为 1:1 .13、直线a b 、为异面直线, a 上两点A B、间的距离为8,b上两点C D 、间的距离为6,ADBC 、的中点分别为,5,M N MN =、求a b 、的夹角.09014．已知34sin (cos )55i θθ-+-（）是纯虚数，则=θtan 34-. 15．{0,3,3){0,,43)a b x ==-，a 与b所成的角为60°，则x= 12 。

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上海高考数学复习备考小题训练五
一、填空题
1、集合},2
|{Z n n sin
m M ∈=π的子集有________________个。

2、若不等式6|2|<+ax 的解是（-1，2）；则实数a =___________。

3、数列}{n a 的前n 项之和22+=n S n ，则=+65a a ___________。

4、已知)0,2
(π
-
∈x 5
4cos =
x ，则=x 2tan ___________。

5、正四棱锥的一个对角面的面积是一个侧面面积的2
6倍，则侧面与底面所成二面角的
大小是___________。

6、复数i
34i 23z 1-+=，i 32z 2-=（i 为虚数单位），2
13z z z -
=
，则=3z ___________。

7、若2
13
n 5n
2)n ...21(a 2
n lim
=+-++∞
→，则=a ___________。

8、已知两点),(2a a A ，),(2b b B )b a (≠的坐标满足1a c o s s i n a 2=+θθ，
1bcos sin b 2
=+θθ，则原点到直线AB 的距离是___________。

9、对于定义在R 上的函数)x (f ，若实数0x 满足00x )x (f =，则称0x 是函数)x (f 的一
个不动点，若二次函数1mx x )x (f 2
++=没有不动点，则实数m 的取值范围是___________。

10、设21,F F 是双曲线
1y
4
x
2
2
=-的两个焦点，P 在双曲线上，0F P F P 21=⋅ ，
则|F P ||F P |21
的值等于___________。

11、若复数
b i
i 2
111+
-+)(R b ∈的实部与虚部相等，则实数b 的值为___________。

12、只能被1和它本身整除的自然数（不包括1）叫做质数，41，43，47，53，61，71，
83，97是一个由8个质数组成的数列，小王同学正确地写出了它的一个通项公式，
并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。

试写出一个数P 满足小王
得出的通项公式，但它不是质数。

P=___________。

二、选择题
13、数)32
sin(2π+=x y 的图像向左移2
π
个单位，得到图像对应的函数解析式是：
A. )12
2
sin(2π
+
=x y B. )12
72
sin(
2π+
=x y
C. )6
2
sin(
2π
+
=x y D. )12
2
sin(
2π
-
=x y
14、已知函数)(x f y =的图像经过点)4,0(，那么函数)1(+=x f y 的反函数的图像一定
经过： A. )1,4(- B. )4,1(- C.
)1,4(-
D. )4,1(
15、方程012=-
x
x 的解所在区间一定是：
A. )5.0,4.0(
B. )6.0,5.0(
C.
)7.0,6.0(
D. )8.0,7.0(
16、下列命题中正确的命题是： A.
若A a n n lim =∞
→，B b n n lim =∞
→，则B
A b a n
n n lim
=
∞
→（*n N n ,0b ∈≠）
B. 若数列}{n a ，}{n b 的极限都不存在，则}{n n b a +的极限也不存在
C. 若数列}{n a ，}{n n b a +的极限都存在，则}{n b 的极限也存在
D.
设n n a a a S ...21++=，若数列}{n a 的极限存在，则数列}{n S 的极限也存在
高三数学练习五答案
一、填空题
1、8个。

}1,1,0{-=M ，∴M 的子集是3
2=8个
2、4-=a 由6|2|<+ax 得48<<-ax ，当4-=a 时，21<<-x
3、20 31=a ，1n 2)1n (n a 22n -=--=，65a a +∴=9+11=20
4、7
24- 7
242tan ,4
3tan ,5
3sin -
=∴-
=-
=x x x
5、
3π
设地面边长为a ,高为h ，斜高1h ，则
2
3h
h ,2
6h
.a .2
1h
.a 2.2
11
1
=
∴
=
，即2
3sin =
θ，3
π=
θ
6、
5
1
5
113
1.
5
13|
z ||z ||
z ||z ||z |21213=
=
=
=
7、2 2,2
12
.
2
1=∴=
a a
8、1
AB 方程：1,1sin cos =∴=+d y x θθ
9、)3,1(-
x x f =)(无解，即31,04)1(2
<<-∴<--=∆m m
10、2
,)20(,4,||,2
222q p q p q PF p +==-===+∴2
2q p 20c 42=
2
pq 16q
pq 2p
2
2
=∴=+-
11、 2 化简即得
12、1681 41,22
1+-=∴=-+n n a n a a n n n ，当41=n ，n a 不是质数
二、选择题
13、B
)12
72
sin(
2)3
2
sin(
22
ππ
π
+
=+
+=x x y
14、A )1(+=x f y 的反函数为1)x (f y 1
-=-，过点（4，-1）
15、C
计算器验算
16、C 设A a n a =∞
→lim ，B b a n n a =+∞
→)(lim ，则
A B a b a a b a b n n n n n n n n n n n -=-+=-+=∞
→∞
→∞
→∞
→lim )(lim ])[(lim lim。