后缀树

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利用广义后缀树的最大相似度优先聚类方法

ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ；ｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅｍｏｄｅｌ
间的共享短语，其考虑到了词之间的邻近顺序关系。Ｃｈｉｍ｛３１提出了一种后缀树模型与ＶＳＭ模型相结合的文档表示模型，在此基础上使用组平均凝聚层次聚类取得了比较好的聚类效果，其主要思想是使用后缀树模型从文档集中提取ｎ元共享短语，然后映射为Ｍ维ＶＳＭ模型中的一个特征项，这样每一个文档就表示成了Ｍ维特征向量。基于短语的文档相似度可以看作是基于单个词语的文档相似度的扩展，体现了词语之间的邻近顺序关系。Ｚｈａｎｇ［２］利用频繁词项作为文档特征，依据ＭａｘｉｍｕｍＣａｐｔｕｒｉｎｇ合并文档，取得了比较好的聚类效果。杨瑞龙 ’ ” 等提出了两种利用后缀树文档模型的聚类方法。综上所述，后缀树模型在改善聚类质量方面有显著作用。本文提出的聚类方法利用了短语作为文档特征可以提高聚类效果的优点。对于给定的文档集构造广义后缀树模型，抽取短语并构建文档的特征向量。然后计算文档对的相似度，提出ＭＳＰＣ（ＭａｘｉｍｕｍＳｉｍｉｌａｒｉｔｙＰｒｉｏｒｉｔｙＣｌｕｓｔｅｒｉｎｇ）聚类方法，根据文档对最大相似度优先的规则，分两阶段合并文档形成聚类结果。

基于后缀树的文本聚类算法

文本聚类是一个将文本集分组的全自动处理过程，一种无监督的机器学习过程［。随着计算机是１］与网络信息技术的高速发展，本聚类已经成为文ｗｅｂ信息检索领域的一个重要研究课题，可以使它ｗｅｂ文档集中相关联的文档聚集在一起，成类形簇，同类簇中的文档之问具有较大的相似性，不相而
ＬＩＹａｎｎＵｒｉｇ，ＭＡＨＵｕＬｉ，ＳＨｉ
（．ｃｌｆｃｎｕｅｄｎｅａｄＴｃｎｇＸｉａ１ＳｌＣ￣ｐｔｒＳｅｃｎｅｈｄｏｙ， ’ｎＵｎｖｒｉｏＰｓｎｄ￣￣ｏｏｉｅｓｙｆｏｔａｄＴｔｓｃｆｎ Ⅺ ’ｌ７０２，ｉａａｏｓ，ａｌ１１１Ｃｈｎ；ｉ
基于后缀树的文本聚类算法
刘亚明，马力，舒惠
（．１西安邮电学院计算机学院，陕西西安７０２；２西安邮电学院信息中心，陕西西安７０２）１１１．１１１
摘要：出一种基于后缀树的文本聚类算法以实现中文文本的多主题聚类。先介绍基于后缀树的英文多主题聚类提的主要流程。再分析中、英文语言的差异，并以中文词和短语为单位构造后缀树模型，随后构造基类关联图实现中文多主题聚类。实验分析表明，该方法能快速、准确的实现中文文本的多主题聚类。较
２１０２年１月第１卷第１７期
西安邮电学院学报ＪＵＲＯＮＡＬＯＩＡＮＵＮＩＲＩＯＴＤＥＥＸＭＭＵＮＩＡＴＩＦＸ ’ ＶＥＳＴＹＯＦＰＳＳＡＮＴＬＣ）ＣＯＮＳ

基于概率后缀树的移动对象轨迹预测

ＷＡＮＧＸｉｎｇ ’ ，ＪＩＡＮＧＸｉｎｈｕａ一，ＬＩＮＪｉｅ，ＸＩＯＮＧＪｉｎｂｏ
（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＣｅｎｔｒａｌＳｏｕｔｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ＣｈａｎｇｓｈａＨｕｎａｎ４１００７５，Ｃｈｉｎａ；２．ＦａｃｕｌｔｙｏｆＳｏｔｗｆａｒｅ，ＦｕｊｉａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｅｒｖｓｉｔｙ，ＦｕｚｈｏｕＦｕｊｉａｎ３５０１０８，Ｃｈｉｎａ；３．ＲｅｓｅａｒｃｈＣｅｎｔｅｒｆｏｒＮｅｘｔ — ＧｅｎｅｒａｔｉｏｎＩｎｔｅｒｎｅｔＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙａｄｎＡｐｐｌｗａｔｏｎｉｓ，ＦｕｊｉａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｆｏＴｅｃｈｏｌｎｏｇｙ，ＦｕｚｈｏｕＦｕｉｆａｎ３５０１０８，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｅｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｏｆｍｏｖｉｎｇｏｂｊｅｃｔｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ，ｃｏｎｃｅｎｉｒｎｇｔｈｅｌｏｗａｃｃｕｒａｃｙｒａｔｅｏｆｌｏｗｏｒｄｅｒＭａｒｋｏｖｍｏｄｅｌａｎｄ

前缀树与后缀树高效处理字符串匹配问题的数据结构

前缀树与后缀树高效处理字符串匹配问题的数据结构字符串匹配问题是计算机科学领域中的重要研究方向之一。

在许多应用中，我们需要快速有效地判断一个字符串是否出现在另一个长字符串中，或者找到所有出现的位置。

为了解决这个问题，计算机科学家们提出了许多数据结构和算法，其中前缀树和后缀树被广泛用于高效处理字符串匹配问题。

一、前缀树前缀树，也称为Trie树或字典树，是一种特殊的多叉树结构，用于存储和检索字符串数据集。

它的特点是每个节点表示一个字符，从根节点到叶子节点的路径组成的字符串即为该节点所代表的字符串。

通过构建前缀树，我们可以快速查找某个字符串是否存在，以及找到以某个字符串为前缀的所有字符串。

在构建前缀树时，我们从根节点开始，逐个字符插入。

如果当前字符已经存在于当前节点的子节点中，则继续向下遍历；否则，我们创建一个新的节点并将其插入到当前节点的子节点中。

通过这种方式，我们可以在O(m)的时间复杂度内插入一个长度为m的字符串。

在搜索字符串时，我们从根节点开始，逐个字符匹配。

如果当前字符存在于当前节点的子节点中，则继续向下匹配；如果不存在，则结束搜索。

如果搜索过程中遇到叶子节点，表示匹配成功，可以返回结果。

通过这种方式，我们可以在O(m)的时间复杂度内完成字符串的查找。

二、后缀树后缀树是一种特殊的前缀树，用于高效处理字符串匹配问题。

与前缀树不同，后缀树存储的是原始字符串的所有后缀。

通过构建后缀树，我们可以快速查找某个字符串是否是原始字符串的子串，并找到所有出现的位置。

构建后缀树的过程相对复杂一些。

首先，我们需要将原始字符串的所有后缀插入到后缀树中。

为了避免生成冗余节点，我们可以使用路径压缩的方式，在插入过程中合并相同前缀的节点。

通过这种方式，我们可以在O(n)的时间复杂度内构建后缀树，其中n为原始字符串的长度。

在搜索字符串时，我们从根节点开始，逐个字符匹配。

如果当前字符存在于当前节点的子节点中，则继续向下匹配；如果不存在，则结束搜索。

后缀树简介

该讲稿耗时约1.5小时。

1. 后缀树Gusfield : 关于字符串，树和序列的算法Weiner 73“线性模式匹配算法”IEEE 自动控制及转换会议McCreight 76 “一种节约空间的后缀树构造算法”JACM23(2) 1976Chen 和 Seifras 85“高级高效的后缀树构造”Apostolico/Galil 《关于单词的组合算法》其它的用于字符串的“查找”结构基本问题：“模式”（长度为）到“文本”（长度为）匹配m n z 目标：判断给定的字符串（“模式”）是否是文本的子串z 可能以连接短字符串的形式产生，比如报纸z 在IR 方面的应用，还有在计算生物学方面的应用（DNA 序列）z 如果模式比文本可靠，可以构造DFA ，其运行时间与文本长度成线性关系z 如果文本比模式可靠，可以构造后缀树，其运行时间与模式长度成线性关系 z 在计算生物学中的应用第一种想法：基于字符串的二叉树。

因为对模式进行多次重复操作故而效率低下。

z 分散层叠？z 意识到每个节点只需要一个字符！Tries:z 类似桶堆的办法：用有限字母表∑。

z以前的方法：字符串字典 z树中的孩子均通过“字母表”索引 z搜索与要查找的字符串长度相等的字符串所需要的时间 z重复插入 z最优化，因为哈希需要时间。

z但是没有“哈希函数”，所以需要更好的算法 z 空间是个问题– 采用数组会增加大小为∑的存储消耗– 采用基于字母表的二叉树会增加log ∑的搜索时间– 对于“常字母表”可行– 如果真的很繁琐，可以在每个节点用哈希表z 最差情况下的大小：单词长度的总和（漂亮地解决了“字典”问题）但是子串呢？z 想法：包含所有的个子字符串的trie2n z 等价于包含所有个后缀的trien z 在末尾添上“记号”，所以其它子串没有后缀（否则，某些后缀可以是一个内部节点，被其它后缀段“隐藏”）z 意味着每个后缀一个叶子z 原始创建方法：插入每个后缀z 基本算法：– 文本1...n a a– 定义...i i s a a =n |– for =1 toi n – 插入i s z 时间，空间()O n 更好的构造方法：z 注意到trie 的大小可以变得更小：.aaaaaaa z 时间复杂度为的算法()O n z 想法：避免“存储”带来的重复操作z 还可以采用少量指针搜索树的办法——使用引用定位z 假设只插入aw z 接着插入饿是w z 的大前缀可能已经存在于trie 中w z 避免遍历：跳到前缀的末尾后缀连接：z Trie 中的任何一个节点对应字符串z 将代表的节点指向代表x 的节点ax z 假设只要插入aw z 上溯树直到找到后缀连接z 跟随后缀连接（将你带到代表的路径上）w z 沿着树向下走（增加节点）插入的剩余部分w 存储：（保存你的工作）z 可以为我们走过的所有节点增加后缀连接z （因为走完串的时候，正好走到w ）aw z 实施计划：上溯一个节点以创建后缀链接z 向上遍历也适用于（相同长度的）向下遍历z 一旦节点有了后缀链接，不会再次经过z 因此，所有用于向上/下遍历所花费的时间等于后缀链接的数目z 每个节点一个后缀链接，因此时间为(||)O T 至此演讲进行了半个小时。

一种有效的后缀树建立方法

’ ｌＴＪ、－一ｕ干帚０硒常ｕ删
ＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＳｃｉ．＆Ｔｅｃｈ．／Ｏｃｔ．１５．２０１３
一
种有效的后缀树建立方法
黄影
７１００６８）
（西安文理学院数学与计算机工程学院，陕西西安
出了一种后缀树建立算法，其最坏情况下的时间复杂度为Ｏ（ｎｌｏｇｎ）。文献［２］提出过一种时间复杂度为
定义２
是由字母表中的字符和特殊字符￥组
成的字符串，也就是说Ｔ＝￥。
可以在线性时间构建后缀树，但由于都引入了后缀链的概念，造成了“ 内存瓶颈 ” 问题Ｊ。本文基于前人的理论思想提出一种称为分步建立后缀树的方法，这种建立后缀树的方法继承了前面提到的自顶向下建立后缀树的思想，无需借助后缀链就可以在线性时间构建后缀树，这样就可以使 “ 内存瓶颈 ” 问题在某种程度上
ＡｂｓｔｒａｃｔＡｔｏｐ・ｄｏｗｎｍｅｔｈｏｄｏｆｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｆｏｒｓｕｆｉｘｆｔｒｅｅｓｓｔｅｐｂｙｓｔｅｐｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ａｌｌｔｈｅｓｕｆｉｘｆｅｓｏｆａｓｔｒｉｎｇａｙｅｓｏｒｔｅｄｂｙｓｏｒｔｉｎｇａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｌｅｘｉｃｏｇｒａｐｈｉｃａｌｏｒｄｅｒ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｔｈｅｌｏｎｇｅｓｔｃｏｍｍｏｎｐｒｅｉｘｆｅｓｏｆａｌｌｐａｉｒｓ

后缀树与后缀数组

• 显然， LCP(Suffix(i+1), Suffix(j+1)) = max(h[k]-1,0);
i i+1
j j+1
• 设i+1在sa中位置为t,sa[t+1] = p 即h[t] = LCP(suffix(i+1),suffix(p)) • 由suffix(i) < suffix (j) => suffix(i+1) < suffix(j+1) • 而suffix(p) 在sa数组中的位置紧贴着suffix(i+1)，所以有 suffix(i+1) < suffix(p) <= suffix(j+1) • 而LCP(suffix(i+1),suffix(j+1)) = max(h[k]-1,0) 下标：1 2 3 4 5 Sa数组
– 当i超过字符串的长度，可以认为s[i] = -oo。
• 后缀：指从某个位置i开始到整个串结束的一个特殊子串。字符串S的从i个字符开始的后缀记为 Suffix(i)。
– 显然，Suffix(i) = S[i..len(S)]，记为S(i)
• 字符串的大小比较：例如串S与串T，从小到大枚举i，如果s[i] < t[i] => S < T, 如果s[i] > t[i] => S > T。两个串完全匹配则S== T
• 名次数组：名次数组Rank[i]保存的是 Suffix(i) 在所有后缀中从小到大排列的“名次”。可以视为大小
– 简单来说，名次数组就是问“你排第几”
• 显然，两者只要知道一个，就可以推出另外一个
下标：1
2

后缀树构造方法讲义

后缀树讲义1.基本定义a. 后缀：一个长度为m 的序列m s s s s S .....321=，记m i i i s s s S .....1+=为S 的第i 个后缀，显然1S ＝S 。

b. 后缀树：一个长度为m 的序列S 的后缀树是一个有根定向树，别且满足下面条件① 它刚好有m 个叶节点。

② 除了根节点之外的每一个内节点至少有两个子节点，并且每条边都对应S 的一个非空子序列。

③ 任何从一个内节点出发的两条边对应的子序列的第一个字符都不同。

④ 每一条从根节点出发到叶子节点的路径对应序列S 的一个后缀。

第四个条件是后缀树的主要特征。

图1：序列xabxa$对应的后缀树c. 路径的标签：我们称一个路径对应的序列叫路径的标签。

d. 一个节点的标签：从根节点到这个节点的路径对应的序列。

注：并不是所有的序列都对应有后缀树，比如序列xabxa 就没有后缀树因为后缀xa 刚好是后缀xabxa 的前缀，因此标签为序列xa 的路径并不是叶节点，此时xabxa 没有后缀树，为了解决这一问题，通常我们在序列末尾加上一个$字符（不同于序列中出现的任何字符）以解决这个问题，因为此时任何一个后缀都不可能是另外一个后缀的前缀。

e. 隐含后缀树：序列S 的隐含后缀树指的是，序列S$的后缀树去掉那些有$的边上的$符号，然后将空白的边去掉得到的树。

图2：xabxa 的隐含后缀树。

2．后缀树的构造后缀树的构造方法有很多种，其中Ukkonen ’s 算法是最容易理解的而且其时间和空间复杂度都是线性的，这里我们只讲这种算法。

该算法根据S 的前缀i s s s s .....321构建一个隐含后缀树i Γ，当I ＝m 的时候m Γ就是S 的后缀树，因此Ukkonen ’s 算法可以被分成m 个阶段，在第I+1个阶段，根据i Γ构建树1+Γi ，而每一个阶段又被分成I ＋1个扩展，其中的第j 个扩张确认S[j,j+1…I +1],11+≤≤i j ,即].....1[i S 序列的第j 个后缀在树中。

后缀树的构造方法-Ukkonen详解

最近在学习后缀树的构造，在网上找了好久发觉国内详解它的构造的文章胜少，在苦苦寻觅了许久，终于发现了一个网友翻译的一篇文章，很好，于是我转帖出来，希望能有更多的人受益，也希望国内多一些英文高手多翻译一些国外的技术文章，好让我们这些英文很烂的人受益，呵呵！后缀树Fast String Searching With Suffix Trees原著Mark Nelson. Fast string searching with suffix trees. 1996.构造法E. Ukkonen. On-line construction of suffix trees. 1995.翻译3xian / 三鲜in GDUT三鲜序原来是打算翻译SartajSahni的Suffix tree, 并专注地进行了一周, 连复习备考的时间也不惜占去. 我希望给国产的同好者提供更通俗易懂的资料, 在翻译的同时对原文进行了删改, 并加入了许多自己的心得. 然而后来发现了Mark Nelson的这篇文章, 相比之下更有亲和力, 于是老实地尽弃前功来翻译这篇. 更重要一个原因是, Mark Nelson介绍的是Ukkonen的构造法O(n), 它比SartajSahni的构造法O(nr), r为字母表大小在时间上更有优势. 但我们不能说SartajSahni的算法慢, 因为r往往会很小, 因此实际效率也接近线性, 两种构造法在思想上均有可取之处.本文偏重于阐述后缀树的构造过程, 而并没有直接介绍后缀树除了匹配以外还能做什么. 其实后缀树是一种功能非常强大的数据结构, 你可以去搜索引擎了解一下它还有多少功能, 当然我最希望的是你在阅读本文之后已经足以体会后缀树的妙处, 日后遇到诸多问题的时候都能随心随意地用上.最后唠叨一句. 我所见过的各种介绍后缀树的论文都难免使初学者陷入混乱, 本文估计也好不到哪里去. 这在一定程度上说明了后缀树的原理是不太浅显的, 理解它需要在整体上把握, 建议希望读者先不要纠结于细节, 思路不清则反复阅读.问题的来源字符串匹配问题是程序员经常要面对的问题. 字符串匹配算法的改进可以使许多工程受益良多, 比如数据压缩和DNA排列. 这篇文章讨论的是一种相对鲜为人知的数据结构--- 后缀树, 并介绍它是如何通过自身的特性去解决一些复杂的匹配问题.你可以把自己想象成一名工作于DNA排列工程的程序员. 那些基因研究者们天天忙着分切病毒的基因材料, 制造出一段一段的核苷酸序列. 他们把这些序列发到你的服务器里, 指望你在基因数据库中定位. 要知道, 你的数据库里有数百种病毒的数据, 而一个特定的病毒可以有成千上万的碱基. 你的程序必须像C/S工程那样实时向博士们反馈信息, 这需要一个很好的方案.很明显, 在这个问题上采取暴力算法是极其低效的. 这种方法需要你在基因数据库里对比每一个核苷酸, 测试一个较长的基因段基本会把你的C/S系统变成一台古老的批处理机.直觉上的解决方法由于基因数据库一般是不变的, 通过预处理来把搜索简化或许是个好主意. 一种预处理的方法是建立一棵Trie. 我们通过Trie引申出一种东西叫作后缀Trie. (后缀Trie离后缀树仅一步之遥.) 首先, Trie是一种n叉树, n为字母表大小, 每个节点表示从根节点到此节点所经过的所有字符组成的字符串. 而后缀Trie的“后缀” 说明这棵Trie包含了所给字段的所有后缀(也许正是一个病毒基因).图1BANANAS的后缀Trie图1展示了文本BANANAS的后缀Trie. 关于这棵Trie有两个地方需要注意. 第一, 从根节点开始, BANANAS的每一个后缀都插入到Trie中, 包括BANANAS, ANANAS, NANAS, ANAS, NAS, AS, S. 第二, 鉴于这种结构, 你可以通过从根节点往下匹配的方式搜索到单词的任何一个子串.这里所说的第二点正是我们认为后缀Trie优秀的原因. 如果你输入一个长度为N的文本并想在其中搜索一个长度为M的串, 传统的暴力匹配需要进行N*M次字符对比, 而一些改进过的匹配技术, 比如像Boyer-Moore算法, 可以在O(N+M)的时间开销内解决问题, 平均效率更是令人满意. 然而, 后缀Trie亮出了O(M)的牌子, 彻底鄙视了其他算法的成绩, 后缀Trie对比的次数仅仅相当于被搜索串的长度!这确实是可圈可点的威力, 这意味着你能通过仅仅7次对比便在莎士比亚所有作品中找出BANANAS. 但有一点我们可不能忘了, 构造后缀Trie也是需要时间的.后缀Trie之所以没有家喻户晓正是因为构造它需要O(n2)的时间和空间. 平方级的开销使它在最需要它的领域--- 长串搜索中被拒之门外.横空出世直到1976年, Edward McCreigh发表了一篇论文, 咱们的后缀树问世了. 后缀Trie的困境被彻底打破.后缀树跟后缀Trie有着一样的布局, 但它把只有一个儿子的节点给剔除了. 这个过程被称为路径压缩, 这意味着树上的某些边将表示一个序列而不是单独的字符.图2BANANAS的后缀树图2是由图1的后缀Trie转化而来的后缀树. 你会发现这树基本还是那个形状, 只是节点变少了. 在剔除了只有一个儿子的节点之后, 总节点数由23降为11. 经过证明, 在最坏情况下, 后缀树的节点数也不会超过2N (N为文本的长度). 这使构造后缀树的线性时空开销成为可能.然而, McCreight最初的构造法是有些缺陷的, 原则上它要按逆序构造, 也就是说字符要从末端开始插入. 如此一来,便不能作为在线算法, 它变得更加难以应用于实际问题, 如数据压缩.20年后, 来自赫尔辛基理工大学的EskoUkkonen把原算法作了一些改动, 把它变成了从左往右. 本文接下来的所有描述和代码都是基于EskoUkkonen的成果.对于所给的文本T, EskoUkkonen的算法是由一棵空树开始, 逐步构造T的每个前缀的后缀树. 比如我们构造BANANAS的后缀树, 先由B开始, 接着是BA, 然后BAN, … . 不断更新直到构造出BANANAS的后缀树.图3逐步构造后缀树初窥门径加入一个新的前缀需要访问树中已有的后缀. 我们从最长的一个后缀开始(图3中的BAN), 一直访问到最短的后缀(空后缀). 每个后缀会在以下三种节点的其中一种结束.l 一个叶节点. 这个是常识了, 图4中标号为1, 2, 4, 5的就是叶节点.l 一个显式节点. 图4中标号为0, 3的是显式节点, 它表示该节点之后至少有两条边.l 一个隐式节点. 图4中, 前缀BO, BOO, 或者非前缀OO, 它们都在某条表示序列的边上结束, 这些位置就叫作隐式节点. 它表示后缀Trie中存在的由于路径压缩而剔除的节点. 在后缀树的构造过程中, 有时要把一些隐式节点转化为显式节点.图4加入BOOK之后的BOOKKEEPER(也就是BOOK的后缀树)如图4, 在加入BOOK之后, 树中有5个后缀(包括空后缀). 那么要构造下一个前缀BOOKK的后缀树的话, 只需要访问树中已存在的每一个后缀, 然后在它们的末尾加上K.前4个后缀BOOK, OOK, OK和K都在叶节点上结束. 由于我们要路径压缩, 只需要在通往叶节点的边上直接加一个字符, 而不需要创建一个新节点.在所有叶节点更新之后, 我们还需要在空后缀后面加上K. 这时候我们发现已经存在一条从0节点出发的边的首字符为K, 没必要画蛇添足了. 换句话说, 新加入的后缀K可以在0节点和2节点之间的隐式节点中找到. 最终形态见图5.图5加入BOOKK之后的BOOKKEEPER相比图4, 树的结构没有发生变化如果你是一位敏感的读者, 可能要发问了, 如果加入K我们什么都不做的话, 在查找的时候如何知道它到底是一个后缀呢还是某个后缀的一截? 如果你同时又是一位熟悉字符串算法的朋友, 心里可能马上就有答案了--- 我们只需要在文本后面加个字母表以外的字符, 比如$或者#. 那我们查找到K$或K#的话就说明这是一个后缀了.稍微麻烦一点的事情从图4到图5这个更新过程是相对简单的, 其中我们执行了两种更新: 一种是将某条边延长, 另一种是啥都不做. 但接下来往图5继续加入BOOKKE, 我们则会遇到另外两种更新:1. 创建一个新节点来割开某一隐式节点所处的边, 并在其后加一条新边.2. 在显式节点后加一条新边.图6先分割, 再添加当我们往图5的树中加入BOOKKE的时候, 我们是从已存在的最长后缀BOOKK开始, 一直操作到最短的后缀空后缀. 更新最长的后缀必然是更新叶节点, 之前提到了, 非常简单. 除此之外, 图5中结束在叶节点上的后缀还有OOKK, OKK, KK. 图6的第一棵树展示了这一类节点的更新.图5中首个不是结束在叶节点上的后缀是K. 这里我们先引入一个定义:在每次更新后缀树的过程中, 第一个非叶节点称为激活节点. 它有以下性质:1. 所有比激活节点长的后缀都在叶节点上结束.2. 所有在激活节点之后加入的后缀都不在叶节点上结束.后缀K在边KKE上的隐式节点结束. 在后缀树中我们要判断一个节点是不是非叶节点需要看它是否有跟待加入字符相同的儿子, 即本例中的E.一眼可以看出, KKE中的第一个K只有一个儿子: K. 所以它是非叶节点(这里同时也是激活节点), 我们要给他加一个儿子来表示E. 这个过程有两个步骤:1. 在第一个K和第二个K之间把边分割开, 于是第一个K(隐式节点)成了一个显式节点, 如图6第二棵树.2. 在刚刚变身而来的显式节点后加一个新节点表示E, 如图6第三棵树. 由此我们又多了一个叶节点.后缀K更新之后, 别忘了还有空后缀. 空后缀在根节点(节点0)结束, 显然此时根节点是一个显式节点. 我们看一下它后面有没有以E开头的边---没有, 那么加入一个新的叶节点(如果存在以E开头的边, 则不用任何操作). 最终如图7.图7归纳, 反思, 优化借助后缀树的特性, 我们可以做出一个相当有效的算法. 首先一个重要的特性是: 一朝为叶, 终生为叶. 一个叶节点自诞生以后绝不会有子孙. 更重要的是, 每当我们往树上加入一个新的前缀, 每一条通往叶节点的边都会延长一个字符(新前缀的最后一个字符). 这使得处理通往叶节点的边变得异常简单, 我们完全可以在创建叶节点的时候就把当前字符到文本末的所有字符一股脑塞进去. 是的, 我们不需要知道后面的字符是啥, 但我们知道它们最终都要被加进去. 因此, 一个叶节点诞生的时候, 也正是它可以被我们遗忘的时候. 你可能会担心通往叶节点的边被分割了怎么办, 那也不要紧, 分割之后只是起点变了, 尾部该怎么着还是怎么着.如此一来,我们只需要关心显式节点和隐式节点上的更新.还要提到一个节约时间的方法. 当我们遍历所有后缀时, 如果某个后缀的某个儿子跟待加字符(新前缀最后一个字符)相同, 那么我们当前前缀的所有更新就可以停止了. 如果你理解了后缀树的本质, 你会知道一旦待加字符跟某个后缀的某个儿子相同, 那么更短的后缀必然也有这个儿子. 我们不妨把首个这样的节点定义为结束节点. 比结束节点长的后缀必然是叶节点, 这一点很好解释, 要么本来就是叶节点, 要么就是新创建的节点(新创建的必然是叶节点). 这意味着, 每一个前缀更新完之后, 当前的结束节点将成为下一轮更新的激活节点.好了, 现在我们可以把后缀树的更新限制在激活节点和结束节点之间, 效率有了很大的改善. 整理成伪代码如下:PLAIN TEXTC:1. Update( 新前缀)2. {3. 当前后缀= 激活节点4. 待加字符= 新前缀最后一个字符5. done = false;6. while ( !done ) {7. if ( 当前后缀在显式节点结束) {8. if ( 当前节点后没有以待加字符开始的边)9. 在当前节点后创建一个新的叶节点10. else11. done = true;12. } else {13. if ( 当前隐式节点的下一个字符不是待加字符) {14. 从隐式节点后分割此边15. 在分割处创建一个新的叶节点16. } else17. done = true;18. if ( 当前后缀是空后缀)19. done = true;20. else21. 当前后缀= 下一个更短的后缀22. }23. 激活节点= 当前后缀24. }后缀指针上面的伪代码看上去很完美, 但它掩盖了一个问题. 注意到第21行, “下一个更短的后缀”, 如果呆板地沿着树枝去搜索我们想要的后缀, 那这种算法就不是线性的了. 要解决此问题, 我们得附加一种指针: 后缀指针. 后缀指针存在于每个结束在非叶节点的后缀上, 它指向“下一个更短的后缀”. 即, 如果一个后缀表示文本的第0到第N个字符, 那么它的后缀指针指向的节点表示文本的第1到第N个字符.图8是文本ABABABC的后缀树. 第一个后缀指针在表示ABAB的节点上. ABAB的后缀指针指向表示BAB的节点. 同样地, BAB也有它的后缀指针, 指向AB. 如此这般.图8加上后缀指针(虚线)的ABABABC的后缀树介绍一下如何创建后缀指针. 后缀指针的创建是跟后缀树的更新同步的. 随着我们从激活节点移动到结束节点, 我把每个新的叶节点的父亲的路径保存下来. 每当创建一条新边, 我同时也在上一个叶节点的父亲那儿创建一个后缀指针来指向当前新边开始的节点. (显然, 我们不能在第一条新边上做这样的操作, 但除此之外都可以这么做.)有了后缀指针, 就可以方便地一个后缀跳到另一个后缀. 这个关键性的附加品使得算法的时间上限成功降为O(N).参考文献E.M. McCreight. A space-economical suffix tree construction algorithm. Journal of the ACM, 23:262-272, 1976.E. Ukkonen. On-line construction of suffix trees.Algorithmica, 14(3):249-260, September 1995.来源：/lazy_p/blog/static/13510721620108139476816/。

数据结构中子串的名词解释

数据结构中子串的名词解释在计算机科学中，数据结构是指组织和存储数据的方式。

而子串则是指一个字符串中连续的一段字符序列。

在本文中，我们将解释数据结构中子串的概念和其在不同数据结构中的应用。

一、字符串在讨论子串之前，我们首先需要了解字符串的概念。

字符串是由字符构成的有限序列。

在计算机中，字符串通常被视为一个整体，而不是单独的字符。

字符串可以用来表示文本、数字、符号等不同类型的数据。

二、子串的定义子串是指从一个字符串中连续地截取出来的一段字符序列。

假设原始字符串为S，那么S的任意连续部分都可以被称为S的子串。

子串的长度可以从1到N，其中N是字符串S的长度。

三、子串的应用子串在计算机科学中有着广泛的应用。

下面我们将介绍一些常见的数据结构，以及在这些数据结构中子串的应用。

1. 数组数组是一种线性的数据结构，用于存储一组相同类型的元素。

在数组中，子串可以用来表示一个连续的片段。

例如，如果我们有一个长度为N的数组A，那么A中的子串可以是A的某个连续的片段。

我们可以通过指定起始位置和结束位置来表示一个子串。

2. 链表链表是一种非线性的数据结构，其中每个元素包含一个指向下一个元素的指针。

在链表中，子串可以用来表示链表中的一部分。

我们可以通过指定链表中起始节点和结束节点来表示一个子串。

子串在链表中的应用包括反转链表的一部分、删除链表中的一部分等。

3. 字符串匹配在字符串匹配算法中，子串是一个重要的概念。

字符串匹配是指在一个字符串S中查找给定的模式字符串P的过程。

在这个过程中，我们需要比较字符串中的子串和模式字符串来确定它们是否匹配。

常用的字符串匹配算法包括暴力匹配算法、KMP算法、Boyer-Moore算法等。

4. 后缀树后缀树是一种用于处理字符串的数据结构。

它的构造和应用都基于子串的概念。

后缀树是一个特殊的数据结构，用于高效地查找一个字符串的所有后缀。

通过存储字符串的所有后缀，后缀树可以在常量时间内确定一个给定的子串是否在原始字符串中出现。

从Trie树(字典树)谈到后缀树

从Trie树（字典树）谈到后缀树作者：v_JULY_v 来源：结构之法算法之道 2011-10-23 分享到：新浪微博腾讯微博豆瓣网人人网开心网QQ空间搜狐微博更多0引言咱们先来看一道面试题：一个文本文件，大约有一万行，每行一个词，要求统计出其中最频繁出现的前10个词，请给出思想，给出时间复杂度分析。

之前在此文：海量数据处理面试题集锦与Bit-map详解中给出的参考答案：用trie树统计每个词出现的次数，时间复杂度是O(n*le)（le表示单词的平均长度），然后是找出出现最频繁的前10个词。

也可以用堆来实现（具体的操作可参考第三章、寻找最小的k个数），时间复杂度是O(n*lg10)。

所以总的时间复杂度，是O(n*le)与O(n*lg10)中较大的哪一个。

本文第一部分，咱们就来了解了解这个Trie树，然后自然而然过渡到第二部分、后缀树，在此对这两种树权作此番阐述，以备不时之需，在需要的时候能手到擒来即可。

ok，有任何问题，欢迎不吝指正或赐教。

谢谢。

第一部分、Trie树什么是Trie树Trie树，又称单词查找树或键树，是一种树形结构，是一种哈希树的变种。

典型应用是用于统计和排序大量的字符串（但不仅限于字符串），所以经常被搜索引擎系统用于文本词频统计。

它的优点是：最大限度地减少无谓的字符串比较，查询效率比哈希表高。

Trie的核心思想是空间换时间。

利用字符串的公共前缀来降低查询时间的开销以达到提高效率的目的。

它有3个基本性质：1.根节点不包含字符，除根节点外每一个节点都只包含一个字符。

2.从根节点到某一节点，路径上经过的字符连接起来，为该节点对应的字符串。

3.每个节点的所有子节点包含的字符都不相同。

举例举个在网上流传颇广的例子，如下：题目：给你100000个长度不超过10的单词。

对于每一个单词，我们要判断他出没出现过，如果出现了，求第一次出现在第几个位置。

分析：这题当然可以用hash来解决，但是本文重点介绍的是trie树，因为在某些方面它的用途更大。

前缀树与后缀树了解前缀树和后缀树的应用与实现

前缀树与后缀树了解前缀树和后缀树的应用与实现前缀树与后缀树：了解前缀树和后缀树的应用与实现在计算机科学领域中，有两种重要的数据结构，即前缀树（Trie树）和后缀树，它们被广泛应用于字符串处理、搜索引擎和自然语言处理等领域。

本文将介绍前缀树和后缀树的定义、应用以及实现方式。

一、前缀树前缀树，又称为Trie树，是一种特殊的多叉树，用于存储和快速检索字符串数据集。

前缀树的每个节点代表一个字符，从根节点到叶节点的路径构成一个完整的字符串。

每个节点包含指向子节点的指针，并用于在树中快速确定特定字符串的存在。

前缀树的一个主要应用是前缀匹配，即根据前缀快速查找以该前缀开头的所有字符串。

这在自动补全、拼写检查和搜索引擎的关键字建议中起着重要作用。

前缀树的实现可以使用数组、链表或哈希表等不同的数据结构，根据实际情况选择最适合的方式。

二、后缀树后缀树是一种特殊的树型数据结构，用于处理字符串集合中的后缀匹配问题。

与前缀树不同的是，后缀树是输入字符串的后缀的一种压缩表示方式。

通过构建后缀树，可以快速地确定一个字符串在字符串集合中的出现次数、最长公共子串等信息。

后缀树的应用非常广泛，比如字符串匹配、模式搜索和基因组序列分析等。

其高效的存储和查询性能使得后缀树成为处理大规模文本的理想解决方案。

后缀树的构建算法较为复杂，主要有朴素算法和Ukkonen算法等。

通过合理选择算法和数据结构，可以在合理的时间和空间复杂度内构建高效的后缀树。

三、前缀树与后缀树的应用与实现1. 字符串搜索与匹配：前缀树和后缀树可以用于快速确定一个字符串是否存在于给定的字符串集合中，并且可以高效地进行模式匹配和搜索操作。

2. 自动补全和拼写检查：通过构建前缀树，可以实现自动补全和拼写纠错功能，提升用户体验。

例如，当用户输入部分关键字时，前缀树可以快速返回与该前缀相关的所有可能的完整词语。

3. 文本处理和搜索引擎：后缀树在搜索引擎中扮演着重要角色，能够快速检索出包含特定关键字的文档。

前缀树与后缀树处理字符串匹配和检索的高效结构

前缀树与后缀树处理字符串匹配和检索的高效结构前缀树和后缀树是计算机科学中一种高效处理字符串匹配和检索的数据结构。

它们通过将字符串存储在树形结构中，以便在大规模数据集中快速找到匹配的字符串或者进行模糊匹配。

一、前缀树前缀树（Trie树）是一种树形结构，用于存储字符串集合。

它的核心思想是利用共同的前缀来压缩存储空间，并提供高效的字符串匹配操作。

前缀树由根节点和一系列表示字符的子节点组成。

每个节点可以包含多个子节点，每个子节点对应一个字符。

每一条从根节点到叶子节点的路径表示一个完整的字符串。

前缀树的构建过程是逐个插入字符串的字符。

例如，将字符串"apple"插入前缀树中时，根节点的子节点中会有一个代表字符"a"的子节点，而该子节点的子节点中又会有一个代表字符"p"的子节点，以此类推。

最终，字符串"apple"的所有字符都会被插入到前缀树中。

使用前缀树进行字符串匹配时，可以通过从根节点开始逐个匹配字符的方式快速找到匹配的字符串。

例如，当需要查找前缀为"app"的所有字符串时，只需从根节点开始，按照"a"->"p"->"p"的顺序找到对应的子节点即可。

二、后缀树后缀树是前缀树的一种特殊形式，用于处理字符串的后缀匹配和模糊匹配。

它的构建过程与前缀树类似，不同之处在于后缀树存储的是字符串的所有后缀。

后缀树的构建过程是逐个插入字符串的后缀。

例如，对于字符串"apple"，其后缀为"apple"、"pple"、"ple"、"le"和"e"。

将这些后缀按照顺序插入后缀树中，就可以构建出完整的后缀树。

后缀树的一个重要应用是实现快速的字符串模糊匹配操作。

后缀树简介

后缀树一、字符串匹配1、字符串匹配问题的形式定义●文本（Text）是一个长度为n的数组T[1...n];●模式（Pattern）是一个长度为m且m≤n的数组P[1…m];●T和P中的元素都属于有限的字母表（alphabet）;●如果0≤s≤n-m，并且T[s+1…S+m]=P[1…m]，即对1≤j≤m，有T[s+j]=P[j]，则说模式P在文本T中出现且位移为s，且称s是一个有效位移（validshift）。

如上图中，目标是找出所有在文本T=abcabaabcabac中模式P=abaa的所有出现。

该模式在此文中仅出现一次，即在位移s=3处，位移s=3是一个有效位移。

2、解决字符串匹配问题的常见算法●朴素的字符串匹配算法（NativeStringMatchingAlgorithm）●Knuth-Morris-Pratt字符串匹配算法（即KMP算法）●Boyer-Moore字符串匹配算法字符串匹配算法通常分为两个步骤：预处理（Preprocessing）和匹配（Matching）。

所以算法的总运行时间为预处理和匹配的时间的总和。

下面描述了常见字符串匹配算法的预处理和匹配时间。

上述字符串匹配算法均是通过对模式（Pattern）字符串进行预处理的方式来加快搜索速度。

对Pattern进行预处理的最优复杂度为O（m），其中m为Pattern字符串的长度。

而后缀树（SuffixTree）是一种对Text进行预处理的字符串匹配算法。

二、字典树（Trie）1、字典树定义字典树（Trie）：是一种很特别的树状信息检索数据结构，如同其名，它的构成就像一本字典，可以让你快速的进行字符插入，字符搜索等。

字典树的核心思想是空间换时间，所以数据结构本身比较消耗空间。

但它利用了字符串的共同前缀（CommonPrefix）作为存储依据，以此来节省存储空间，并加速搜索时间。

Trie的字符串搜索时间复杂度为O（m），m 为最长字符串的长度，其查询性能与集合中的字符串的数量无关。

入侵检测中基于后缀树的多模式匹配算法

第２５卷第１０期
２００８年ｌ０月
计算机应用与软件
ＣｏｕｅｐｌａｉｎｓａｄＳｆｗａｅｍｐｔｒＡｐｉｔｏｎｏｔｒｃ
Ｖ０．５Ｎｏ．０１２１
０ｃ．２０ｔ０８
入侵检测中基于后缀树的多模式匹配算法
（ｃｏｌｆＣｍｕｅａｄＣｍｕｉｔｎＨｎｎＵｉｒｔ，ｈｎｓａ４０８ＨｎｎＣｉ）Ｓｈｏｏｏｐｔｎｏｍｎｃｉ，ｕａｎｖｓｙＣａｇｈ１０２，ｕａ，ｈｎｒａｏｅｉａ
Ａｂｓｒｃｔａｔ
Ｔｈｅｆｒａｃｆｐａｔｒｔｈｎｇａｇｒｔｍａｅｔｅｂｔｌｎｃｆｍｉｕｅｂｓｄｉｔｕｓｏｔｃｉｎｓｓｅ．ｓｆｘｔｅ — ｅｐｒｏｍｎｅｏｔｅｎｍａｃｉｌｏｈｈｓｂｅｎｈｏｔｅｅｋｏｓｓ－ａｅｎｒｉｎｄｅｅｔｏｙｔｍＡｕｒｅｉｉ
ＡＵＦＦＩＴＲＥＥ－ＳＸＢＡＳＥＤＵＬＴＩＰＡＴＴＥＲＮＡＴＣＨＩＭ．ＭＮＧＡＬＧｏＲＩＴＨＭＦｏＲＮＴＲＵＳｏＮｕｓｅｇＸｎＸｎｍｉＨａｇＨａｎＣａＣｅｙｎｈｎｈｎｕｉｇｎＹｇｕｎｕｊｈｉｈｎａｇｕ
ｂｓｄｍｕｔｐｔｒｔｈｎｌｏｔｍＳｉｐｅｅｔｄＡｓｆｘａｔｍａｏｓｃｎｔｃｅａｄｔｅｇｏｕｆｘｈｕｓｉｃａｉｍｓｄｉａｅｌ－ａｔｎｍａｃｉｇａｇｒｈＦＭｓｒｓｎｅｕｆｕｏｔｎｉｏｓｒｔｄ，ｎｏｄｓｆｅｒｔｍｅｈｎｓｉｕｅｎｉｅｉｉｕｈｉｉｃｓｐｔｒｔｈｎ．ｈｇｒｈｉｉｌｍｅｔｄｉｎｒ２４．．ｈｘｅｉｎｈｗｈｔｈｅｅｔｎｓｅｄｏｎｒｓｈｇｌｍｐｏｅａｔｎｍａｃｉｇＴｅａｏｔｍｓｍｐｅｎｅｎＳｏｔ．３ＴｅｅｐｒｍｅｔｓｏｓｔａｅｄｔｃｉｐｅｆＳｏｉｉｈｙｉｒｖｄ，ｅｌｉｔｏｔｍｅｎｈｌｒｍｏｉｃｎｕｄａｗｉｍｏｅｍｅ￣ｓｏｓｍｅ．ｅ

字符串匹配——字典树（Trie树）、后缀树（suffix

字符串匹配——字典树（Trie树）、后缀树（suffix tree）字典树(Trie树)：它的优点是：利⽤字符串的公共前缀来减少查询时间，最⼤限度地减少⽆谓的字符串⽐较，查询效率⽐哈希表⾼。

字典树的特点：根节点不包含字符，除根节点外每⼀个节点都只包含⼀个字符；从根节点到某⼀节点，路径上经过的字符连接起来，为该节点对应的字符串；每个节点的所有⼦节点包含的字符都不相同。

字典树的创建1. 从根节点开始⼀次搜索2. 取得要查找关键词的第⼀个字母，并根据该字母选择对应的⼦树并转到该⼦树继续进⾏检索3. 在相应的⼦树上，取得要查找关键词的第⼆个字母，并进⼀步选择对应的⼦树进⾏检索4. 迭代过程...5. 在某个节点处，关键词的所有字母已被取出，则读取附在该节点上的信息，即完成查找字典树的应⽤1、字典树在串的快速检索中的应⽤#define MAX 26 //字符集⼤⼩typedef struct TrieNode {int nCount;struct TrieNode *next[MAX]; //每个节点⽤⼀个数组存储⼦节点}TrieNode;TrieNode Memory[1000000];int allocp =0;TrieNode *CreateTrieNode() {int i;TrieNode *p;p = &Memory[allocp++];p->nCount = 1;for(i =0 ; i < MAX ; i++) {p->next[i] = NULL;}return p;}void InsertTrie(TrieNode * &pRoot , char*s) { //插⼊ & 建树int i, k;TrieNode *p;if(!(p = pRoot)) {p = pRoot = CreateTrieNode();}i = 0;while(s[i]) {k = s[i++] - 'a';if(p->next[k])p->next[k]->nCount++;elsep->next[k] = CreateTrieNode();p = p->next[k];}}int SearchTrie(TrieNode * &pRoot , char*s) { //查询单词的出现次数TrieNode *p;int i , k;if(!(p = pRoot)) {return 0;}i = 0;while(s[i]) {k = s[i++] -'a';if(p->next[k] == NULL) return 0;p = p->next[k];}return p->nCount;}2. 字典树在“串”排序⽅⾯的应⽤给定N个互不相同的仅由⼀个单词构成的英⽂名，让你将他们按字典序从⼩到⼤输出⽤字典树进⾏排序，采⽤数组的⽅式创建字典树，这棵树的每个结点的所有⼉⼦很显然地按照其字母⼤⼩排序。

关于广义后缀树（多串SAM）的总结

关于⼴义后缀树（多串SAM）的总结之前我们给的SAM的例题，基本上是⼀个串建SAM的就能做的如果要建多个串的SAM应该怎么做呢⾸先看题，bzoj2780我⼀开始的想法是SA以前的弄法，把串拼起来，中间加分隔符做SAM这题确实可以这么做，这样根据SAM能识别所有⼦串的性质⽽且每个节点都代表了唯⼀的⼀个串每个询问串我们都能找到最终转移到哪（找不到就是没出现过）问在多少个串出现过这就等价于在ST(s)的parent树的⼦树中，出现了多少种不同的权值这显然可以维护dfs序，⽤经典的离线做法来搞（更好的写法见⽂末UPD）1type node=record2 po,next:longint;3end;45var go:array[0..300010,1..27] of longint;6 d,mx,fa,l,r,p,c,wh,w,fir,next:array[0..300010] of longint;7 ans,a,b:array[0..60010] of longint;8 e:array[0..300010] of node;9 h,t,k,last,len,i,j,n,q,x:longint;10 s,ss:ansistring;1112function lowbit(x:longint):longint;13begin14 exit(x and (-x));15end;1617function cmp(a,b:longint):boolean;18begin19 exit(l[a]<l[b]);20end;2122procedure swap(var a,b:longint);23var c:longint;24begin25 c:=a;26 a:=b;27 b:=c;28end;2930procedure sort(l,r:longint);31var i,j,x:longint;32begin33 i:=l;34 j:=r;35 x:=a[(l+r) shr 1];36repeat37while cmp(a[i],x) do inc(i);38while cmp(x,a[j]) do dec(j);39if not(i>j) then40begin41 swap(a[i],a[j]);42 swap(b[i],b[j]);43 inc(i);44 dec(j);45end;46until i>j;47if l<j then sort(l,j);48if i<r then sort(i,r);49end;5051procedure build(x,y:longint);52begin53 inc(len);54 e[len].po:=y;55 e[len].next:=p[x];60var p,q,np,nq:longint;61begin62 p:=last;63 inc(t); last:=t; np:=t;64 w[np]:=x; mx[np]:=mx[p]+1;65while (p<>0) and (go[p,c]=0) do 66begin67 go[p,c]:=np;68 p:=fa[p];69end;70if p=0then fa[np]:=171else begin72 q:=go[p,c];73if mx[q]=mx[p]+1then fa[np]:=q 74else begin75 inc(t); nq:=t;76 mx[nq]:=mx[p]+1;77 go[nq]:=go[q];78 fa[nq]:=fa[q];79 fa[q]:=nq; fa[np]:=nq;80while go[p,c]=q do81begin82 go[p,c]:=nq;83 p:=fa[p];84end;85end;86end;87end;8889procedure dfs(x:longint);90var i:longint;91begin92 inc(h);93 l[x]:=h;94 d[h]:=w[x]; //dfs序95 i:=p[x];96while i<>0do97begin98 dfs(e[i].po);99 i:=e[i].next;100end;101 r[x]:=h;102end;103104procedure work(x:longint);105begin106while x<=t do107begin108 inc(c[x]);109 x:=x+lowbit(x);110end;111end;112113function ask(x:longint):longint;114begin115 ask:=0;116while x>0do117begin118 ask:=ask+c[x];119 x:=x-lowbit(x);120end;121end;122123begin124 readln(n,q);125for i:=1to n do126begin127 readln(ss);128 len:=length(ss);129for j:=1to len do //拼接130begin131 s:=s+ss[j];132 inc(t); wh[t]:=i;133end;134if i<>n then135begin136 s:=s+chr(97+26);137 inc(t);138end;139end;144145 len:=0;146for i:=2to t do //构建树147 build(fa[i],i);148149 dfs(1);150for i:=1to q do151begin152 readln(s);153 j:=1;154 len:=length(s);155for k:=len downto1do //每个询问串最终转移到哪156begin157 x:=ord(s[k])-96;158if go[j,x]=0then159begin160 j:=0;161 break;162end163else j:=go[j,x];164end;165 a[i]:=j;166 b[i]:=i;167end;168for i:=t downto2do //经典的离线做法169begin170 next[i]:=fir[d[i]];171 fir[d[i]]:=i;172end;173for i:=1to n do174if fir[i]<>0then work(fir[i]);175 sort(1,q);176 j:=1;177while a[j]=0do inc(j);178for i:=1to t do179begin180while (j<=q) and (l[a[j]]=i) do181begin182 ans[b[j]]:=ask(r[a[j]])-ask(i-1);183 inc(j);184end;185if d[i]<>0then186if next[i]<>0then work(next[i]);187end;188for i:=1to q do189 writeln(ans[i]);190end.2780然后我看到了bzoj3277 3473（双倍经验）⽤我刚才的做法似乎不好搞，因为这题问每个字符串有多少⼦串出现在⾄少k个⼦串中⽽刚才那种拼接，每个节点可接受的⼦串会搞出⼀堆不存在的⼦串这时，我膜拜了wyfcyx的构建⼴义后缀树的做法，显然这⾥每个串要反序建SAM（这样才能构造出原串的后缀树）他的做法是建完⼀个串的SAM后回到根，对下个串s先匹配如果转移到的节点在SAM中可接受的最长串长度=当前匹配s的长度，那么这个节点可以代表s否则的话就像SAM⼀样新开⼀个节点，感觉和可持久化的思想很像这样每个节点可能代表了多个串的⼦串，并且也没有多出来奇怪的⼦串⽽且每个节点可接受串出现在多少个串中依然=parent树的⼦树中，出现了多少种不同的权值这样我们可以像刚才⼀样，求出每个点出现次数，如果⼤于等于k，那么根据之前的性质，这个点p可接受串的长度为[max[fa[p]]+1,max[p]]那么点p能做出的贡献即为max[p]-max[fa[p]]，否则贡献为0由于⼦串是某个后缀的前缀，所以每个字符串的答案等于所有这个字符串的后缀节点的从根到该节点的权值和5var e,w,pr:array[0..400010] of node;6 go:array[0..400010,'a'..'z'] of longint;7 sa,r,h,q,p,c,d,cur,a,b,mx,fa:array[0..400010] of longint;8 g,ans:array[0..400010] of int64;9 n,k,l,ti,y,f,i,j,len,x,t,last:longint;10 s:ansistring;11 ch:char;1213function lowbit(x:longint):longint;14begin15 exit(x and (-x));16end;1718procedure swap(var a,b:longint);19var c:longint;20begin21 c:=a;22 a:=b;23 b:=c;24end;2526procedure ins(x,y:longint);27begin28 inc(len);29 e[len].po:=y;30 e[len].next:=p[x];31 p[x]:=len;32end;3334procedure add(c:char;x:longint);35var p,q,np,nq:longint;36begin37 p:=last;38 inc(t); last:=t; np:=t;39 mx[np]:=mx[p]+1;40while (p<>0) and (go[p,c]=0) do41begin42 go[p,c]:=np;43 p:=fa[p];44end;45if p=0then fa[np]:=146else begin47 q:=go[p,c];48if mx[q]=mx[p]+1then fa[np]:=q49else begin50 inc(t); nq:=t;51 mx[nq]:=mx[p]+1;52 go[nq]:=go[q];53 fa[nq]:=fa[q];54 fa[q]:=nq; fa[np]:=nq;55while go[p,c]=q do56begin57 go[p,c]:=nq;58 p:=fa[p];59end;60end;61end;62end;6364procedure change(c:char);65var p,np,q:longint;66begin67 p:=go[last,c];68if mx[p]=mx[last]+1then last:=p69else begin70 inc(t); np:=t;71 mx[np]:=mx[last]+1;72 go[np]:=go[p];73 fa[np]:=fa[p];74 fa[p]:=np;75 q:=last;76while go[q,c]=p do77begin78 go[q,c]:=np;79 q:=fa[q];80end;81 last:=np;82end;83end;8485procedure dfs(x:longint);89 sa[ti]:=x; //dfs序上对应哪个点90 b[x]:=ti;91 i:=p[x];92while i<>0do93begin94 dfs(e[i].po);95 i:=e[i].next;96end;97 r[x]:=ti;98end;99100procedure dfss(x:longint);101var i:longint;102begin103 g[x]:=g[x]+g[fa[x]];104 i:=p[x];105while i<>0do106begin107 dfss(e[i].po);108 i:=e[i].next;109end;110end;111112procedure work(x,w:longint);113begin114while x<=t do115begin116 inc(c[x],w);117 x:=x+lowbit(x);118end;119end;120121function ask(x:longint):longint;122begin123 ask:=0;124while x>0do125begin126 ask:=ask+c[x];127 x:=x-lowbit(x);128end;129end;130131procedure put(x,y:longint);132begin133 inc(len); //这个串x所有后缀所在的节点134 w[len].po:=y;135 w[len].next:=q[x];136 q[x]:=len;137 pr[len].po:=x; //节点代表了哪些串的后缀138 pr[len].next:=h[y];139 h[y]:=len;140end;141142function cmp(a,b:longint):boolean;143begin144 exit(r[a]<r[b]);145end;146147procedure sort(l,r:longint);148var i,j,x:longint;149begin150 i:=l;151 j:=r;152 x:=a[(l+r) shr 1];153repeat154while cmp(a[i],x) do inc(i);155while cmp(x,a[j]) do dec(j);156if not(i>j) then157begin158 swap(a[i],a[j]);159 inc(i);160 dec(j);161end;162until i>j;163if l<j then sort(l,j);164if i<r then sort(i,r);165end;166167begin168 readln(n,k);169 last:=1; t:=1;173 l:=length(s); last:=1;174for j:=l downto1do175begin176if go[last,s[j]]<>0then change(s[j]) //⼴义后缀树177else add(s[j],i);178 put(i,last);179end;180end;181 len:=0;182for i:=2to t do183 ins(fa[i],i);184185 dfs(1);186for i:=1to t do187 a[i]:=i;188 sort(1,t);189 j:=1; x:=a[1];190for i:=1to t do191begin192 f:=h[sa[i]];193while f<>0do //因为⼀个节点可能代表了多个穿，插⼊相对⿇烦194begin195 y:=pr[f].po;196if cur[y]<>0then work(cur[y],-1);197 cur[y]:=i;198 work(i,1);199 f:=pr[f].next;200end;201while (j<=t) and (r[x]=i) do202begin203 len:=ask(i)-ask(b[x]-1);204if len<k then g[x]:=0else g[x]:=mx[x]-mx[fa[x]];205 inc(j); x:=a[j];206end;207if j=t+1then break;208end;209 dfss(1);210for i:=1to n do211begin212 j:=q[i];213while j<>0do214begin215 x:=w[j].po;216 ans[i]:=ans[i]+g[x];217 j:=w[j].next;218end;219end;220for i:=1to n do221 write(ans[i],'');222 writeln;223end.View Codebzoj2806 第⼀道⼩强和阿⽶巴的题，解锁新成就构造出标准作⽂库的SAM后，L0不难想到⼆分答案吧然后我们可以求出以询问串每个位置i为结尾的最长⼦串长度P[i]不难得到f[i]到i最长熟悉 f[i]=max(f[i-1],f[j]+i-j) (i-j>=l0 且（i-j<=P[i])然后这个是明显的单调队列优化吧1var go:array[0..1200010*2,'0'..'1'] of longint;2 q,v,f:array[0..1200010] of longint;3 fa,mx:array[0..1200010*2] of longint;4 ans,mid,i,n,m,last,t,l,r,j:longint;5 s:ansistring;6 c:char;78function max(a,b:longint):longint;9begin10if a>b then exit(a) else exit(b);11end;1213procedure change(c:char);20 mx[np]:=mx[last]+1;21 go[np]:=go[p];22 fa[np]:=fa[p];23 fa[p]:=np;24 q:=last;25while go[q,c]=p do26begin27 go[q,c]:=np;28 q:=fa[q];29end;30 last:=np;31end;32end;3334procedure add(c:char);35var p,q,np,nq:longint;36begin37 p:=last;38 inc(t); last:=t; np:=t;39 mx[np]:=mx[p]+1;40while (p<>0) and (go[p,c]=0) do41begin42 go[p,c]:=np;43 p:=fa[p];44end;45if p=0then fa[np]:=146else begin47 q:=go[p,c];48if mx[q]=mx[p]+1then fa[np]:=q49else begin50 inc(t); nq:=t;51 mx[nq]:=mx[p]+1;52 go[nq]:=go[q];53 fa[nq]:=fa[q];54 fa[q]:=nq; fa[np]:=nq;55while go[p,c]=q do56begin57 go[p,c]:=nq;58 p:=fa[p];59end;60end;61end;62end;6364procedure match;65var i,j,l,t:longint;66begin67 j:=1; t:=0;68 l:=length(s);69for i:=1to l do70begin71if go[j,s[i]]<>0then72begin73 inc(t);74 j:=go[j,s[i]];75end76else begin77while (j<>0) and (go[j,s[i]]=0) do j:=fa[j]; 78if j=0then79begin80 t:=0;81 j:=1;82end83else begin84 t:=mx[j]+1;85 j:=go[j,s[i]];86end;87end;88 v[i]:=t;89end;90end;9192function cmp(i,j:longint):boolean;93begin94 exit(f[i]-i<f[j]-j);95end;9697function check(l0:longint):boolean;104for i:=l0 to n do105begin106while (h<=t) and (cmp(q[t],i-l0)) do dec(t);107 inc(t);108 q[t]:=i-l0;109 f[i]:=f[i-1];110while (h<=t) and (q[h]<i-v[i]) do inc(h);111if h<=t then f[i]:=max(f[i],f[q[h]]+i-q[h]);112end;113if f[n]/n>=0.89999999999then exit(true) else exit(false);114end;115116begin117 readln(n,m);118 t:=1;119for i:=1to m do120begin121 readln(s);122 last:=1;123 l:=length(s);124for j:=1to l do125if go[last,s[j]]<>0then change(s[j])126else add(s[j]);127end;128for i:=1to n do129begin130 readln(s);131 match;132 l:=0;133 r:=length(s);134while l<=r do135begin136 mid:=(l+r) shr 1;137if check(mid) then138begin139 ans:=mid;140 l:=mid+1;141end142else r:=mid-1;143end;144 writeln(ans);145end;146end.2806UPD:以前写的⼴义后缀树有点冗长，最近转c++重新写了⼀份感觉好多了……以我之前写的2780为例1 #include<iostream>2 #include<cstring>3 #include<cstdio>4 #include<stdlib.h>5 #include<algorithm>6 #include<vector>78using namespace std;9 vector<int> b[200010],q[10010];10//b[]记录每个节点是哪些串的⼦串，q[]记录每个串所有后缀所在的节点11struct way{int po,next;} e[200010];12struct node{int w,id;} a[60010];13int ans[60010],w[200010],go[200010][26],fa[200010],mx[200010],l[200010],r[200010],p[200010],c[200010]; 14int len,t,last,n,m;15char s[100010];1617bool cmp(node a,node b)18 {19return l[a.w]<l[b.w];20 }2122void work(int c) //⽐较优美的写法23 {29for (;p&&!go[p][c];p=fa[p]) go[p][c]=np;30 }31else np=0;32if (!p) fa[np]=1;33else {34 q=go[p][c];35if (mx[q]==mx[p]+1) fa[np]=q;36else {37 nq=++t;38 mx[nq]=mx[p]+1;39 memcpy(go[nq],go[q],sizeof(go[q]));40 fa[nq]=fa[q]; fa[q]=fa[np]=nq;41for (;go[p][c]==q;p=fa[p]) go[p][c]=nq;42 }43 }44 last=go[last][c];45 }4647void build(int x,int y)48 {49 e[++len].po=y;50 e[len].next=p[x];51 p[x]=len;52 }5354void dfs(int x)55 {56 l[x]=++t; w[t]=x;57for (int i=p[x];i;i=e[i].next)58 {59 dfs(e[i].po);60 }61 r[x]=t;62 }6364void add(int x,int w)65 {66for (int i=x;i<=t;i+=i&-i) c[i]+=w;67 }6869int ask(int x)70 {71int s=0;72for (int i=x;i;i-=i&-i) s+=c[i];73return s;74 }75int main()76 {77 scanf("%d%d",&n,&m);78 t=last=1;79for (int i=1; i<=n; i++)80 {81 scanf("%s",s+1); len=strlen(s+1);82 last=1;83for (int j=1; j<=len;j++)84 {85 work(s[j]-'a');86 b[last].push_back(i);87 }88 }89 len=fa[0]=0;90for (int i=2; i<=t; i++) build(fa[i],i);91 t=0; dfs(1);92for (int i=1; i<=m; i++)93 {94 scanf("%s",s+1); len=strlen(s+1);95int j=1;96for (int k=1;k<=len;k++)97 {98if (!go[j][s[k]-'a']) {j=0;break;}99 j=go[j][s[k]-'a'];100 }101 a[i].w=j; a[i].id=i;102 }103 sort(a+1,a+1+m,cmp);104 vector<int>::iterator k;105for (int i=1;i<=t;i++)106for (k=b[w[i]].begin();k!=b[w[i]].end(); k++) q[*k].push_back(i); 107 vector<int>::iterator cur[10010];108for (int i=1; i<=n; i++)113int j=1;114while (!a[j].w) j++;115for (int i=1; i<=t; i++)116 {117for (;l[a[j].w]==i; j++) ans[a[j].id]=ask(r[a[j].w])-ask(l[a[j].w]-1); 118for (k=b[w[i]].begin();k!=b[w[i]].end(); k++)119 {120int x=*k;121if (cur[x]!=q[x].end()) {add(*cur[x],1); cur[x]++;}122 }123 }124for (int i=1; i<=m; i++) printf("%d\n",ans[i]);125 system("pause");126return0;127 }2780（c++更新版）。

后缀树和后缀数组

后缀树和后缀数组基本概念子串:字符串S的子串S[i..j]，i?j，表示S串中从i到j这一段，也就是顺次排列S[i],S[i+1],...,S[j]形成的字符串。

字符集:一个字符集Σ是一个建立了全序关系的集合，也就是说，Σ中的任意两个不同的元素α和β都可以比较大小，要么α<β，要么β<α(也就是α>β)。

字符集Σ中的元素称为字符。

字符串:一个字符串S是将n个字符顺次排列形成的数组，n称为S的长度，表示为len(S)。

S的第i个字符表示为S[i]。

子串:字符串S的子串S[i..j]，i?j，表示S串中从i到j这一段，也就是顺次排列S[i],S[i+1],...,S[j]形成的字符串。

后缀:后缀是指从某个位置i开始到整个串末尾结束的一个特殊子串。

字符串S 的从i开头的后缀表示为Suffix(i)，也就是Suffix(i)=S[i..len(S)] 例如S = mississippi，那么它的所有后缀为:Suffix(1) = mississippi = SSuffix(2) = ississippiSuffix(3) = ssissippiSuffix(4) = sissippiSuffix(5) = issippiSuffix(6) = ssippiSuffix(7) = sippiSuffix(8) = ippiSuffix(9) = ppiSuffix(10) = piSuffix(11) = iSuffix(12) = (empty)不难发现，S的任意一个子串一定是某一个后缀的前缀。

字符串的大小比较:指通常所说的“字典顺序”比较，也就是对于两个字符串u、v，令i从1开始顺次比较u[i]和v[i]，如果u[i]=v[i]则令i加1，否则若u[i]<v[i]则认为u<v，u[i]>v[i]则认为u>v(也就是v<u)，比较结束。

如果i>len(u)或者i>len(v)仍比较出结果，那么若len(u)<len(v)则认为u<v，若len(u)=len(v)则认为u=v，若len(u)>len(v)则u>v。

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一个后缀树
下图是序列S=xabxa$对应的后缀树
后缀树的标签
1.路径的标签：我们称一个路径对应的序列叫路径的标签。 2.一个节点的标签：从根节点到这个节点的路径对应的序列。比如上图中路径Rw4对应的标签是 ‘xa$’,而节点w对应的标签是‘xa’
隐含后缀树
1.序列xabxa就没有后缀树因为后缀xa刚好是后缀xabxa的前缀 2. 因此标签为序列xa的路径并不是叶节点，此时xabxa没有后缀树 3. 为了解决这一问题，通常我们在序列末尾加上一个$字符（不同于序列中出现的任何字符）以解决这个问题
简单Ukkonon 算法
Ukkonon 算法的实现
对简单的UKKonon的算法经过改进，构造算法可以达到线性
后缀树的用途
1.序列比对 2. 聚类分析 3. 建立索引
后缀树代码
/download/mast erluo/670335 /downloads144/ebo ok/detail627054.html
隐含后缀树（续）
序列S的隐含后缀树指的是，序列S$的后缀树去掉那些有$的边上的$符号，然后将空白的边去掉得Naï algorithm ve Weiner’s algorithm McCreight’s algorithm Ukkonon’s algorithm
什么是后缀
后缀树定义
一个长度为m的序列S的后缀树是一个有根定向树，别且满足下面条件 1. 它刚好有m个叶节点。 2. 除了根节点之外的每一个内节点至少有两个子节点，并且每条边都对应S的一个非空子序列。 3. 任何从一个内节点出发的两条边对应的子序列的第一个字符都不同。 4. 每一条从根节点出发到叶子节点的路径对应序列S的一个后缀。