《函数的单调性》PPT课件 (2)

(4)确定f’(x)在各个小开区间内的符号，根 据f’(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开 区间内的单调性.
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课前热身
1.下列函数中，在区间(-∞，0)上
是增函数的是( B )
(A)f(x)=x2-4x+8
(B)g(x)=ax+3(a≥0)
(C)
h(x)
x
2 1
(D) s(x)log1(x)
证明函数f(x)在区间M上具有单调性的 步骤：
(1)取值：对任意x1,x2∈M，且x1＜x2；
(2)作差：f(x1)-f(x2)； (3)判定差的正负；
(4)根据判定的结果作出相应的结论.
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4.复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律 如下：
F x
1 f (x)
在(-∞，0)上是增函数
还是减函数?
【解题回顾】本题最容易发生的错误，是受 已知条件的影响，一开始在(0，+∞)内任取
x1＜x2， 展 开 证 明 . 这 样 就 不 能 保 证 - x1，-x2
在(-∞，0)上的任意性而导致错误.
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3.设 fx 1 lg1x
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5．求函数 f(x)log1(x23x2) 的单调
区间；
2
解 ： f(x)的 单 调 增 区 间 为 ： （ 2， + ） ， f(x)的 单 调 减 区 间 为 ： （ - ， 1） .
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6．已知 f(x)82xx2, g(x)f(2x2)
若试确定 g ( x ) 的单调区间和单调性．
间上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1＜ x2 时 ， 都 有 f(x1)＞f(x2)， 那 么 就 说 f(x) 在 这
个区间上是减函数.
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2
要点·疑点·考点
函数是增函数还是减函数.是对定 义域内某个区间而言的.有的函数在一 些区间上是增函数，而在另一些区间 上可能是减函数，例如函数y=x2，当 x∈[0，+∞)时是增函数，当x∈(-∞， 0)时是减函数.
D.[3/2，2）
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能力·思维·方法
1.讨论函数 f xxa(a0) 的单调
性
x
【解题回顾】含参数函数单调性的判定， 往往对参数要分类讨论.本题的结论十分重 要，在一些问题的求解中十分有用，应予 重视.
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2.已知y=f(x)是奇函数，它在(0，
+∞)上是增函数，且f(x)＜0，试问
x2 1x
①试判断函数f(x)的单调性并给出证明；
②若f(x)的反函数为f-1(x)，证明方程
f-1(x)=0有惟一解；
③解关于x的不等式 f [x(x 1)] 1
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【解题回顾】原函数及其反函数的单调性是一致 的.函数的单调性有着多方面的应用，如求函数的 值域、最值、解不等式等，但在利用单调性时， 不可忽略函数的定义域.
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要点·疑点·考点
1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为 M ： 如果对于属于定义域 M 内某个区间上
的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1＜x2时， 都 有 f(x1)＜f(x2)， 那 么 就 说 f(x) 在 这 个 区 间
上是增函数.如果对于属于定义域I内某个区
4.函数 f x 1 x
1 x
的减区间是
__(_-∞__，__-_1_）____________；
函数 f x
1 x 1 x
的减区间是
__(-_1_，__1_]______
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5.函数 fxlog1(x23x2)的减
区间是( D)
2
A.(-∞，1)
B.(2，+∞)
C.（1，3/2）
解 ： g ( x ) 8 2 ( 2 x 2 ) ( 2 x 2 ) 2 x 4 2 x 2 8 g(x)4x34x 令 g (x ) o 得 ： x 1 或 o x 1
令 g (x ) o 得 ： x 1 或 - 1 x 0
g(x)的 单 调 增 区 间 为 ： （ - ， - 1 ） ， （ 0 ， 1 ） g(x)的 单 调 减 区 间 为 ： （ - 1 ， 0 ） ， （ 1 ， + ）
函数
单调性
u=g(x)
增
增
y=f(u)
增
减
y=f[g(x)]
增
减
减
减
增
减
减
增
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间
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要点·疑点·考点
5.求可导函数单调区间的一般方法和步骤： (1)确定函数的定义区间；
(2)求f’(x),令f’(x)=0，求出它在定义区间内 的一切实根；
(3)把f(x)的定义区间分成若干个小区间；
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3
要点·疑点·考点
2.单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间是增函 数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性，这一区 间叫做y=f(x)的单调区间.在单调区间上 增函数的图象是上升的，减函数的图 象是下降的.
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4
要点·疑点·考点
3.用定义证明函数单调性的步骤
其中成立的是(D )
(A)①与④
(B)②与③
(C)①与③
(D)②与④
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3.如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间
(-∞，4]上是减函数，那么实数a的取值
范围是( B)
(A)(-∞，-3)
(B)(-∞，-3)
(C)(-3，+∞)
(D)(-∞，3)
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2.定义在区间(-∞，+∞)的奇函数f(x)为增函数， 偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合，
设a＜b＜0，给出下列不等式：
①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b);
③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a)
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4 . 是 否 存 在 实 数 a， 使 函 数
f(x)=loga(ax2-x)在区间[2，4]上是增函 数?
【解题回顾】本题主要是考查复合函数的单 调性，当内外函数的增减性一致时，为增函 数；当内外函数的增减性相异时，为减函数 .另外，复合函数的单调区间一定是定义域 的子区间，在解题时，要注意这一点.