刚体转动惯量的测定

刚体转动惯量的测定

转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，是研究和描述刚体转动规律的一个重要物理量，它不仅取决于刚体的总质量，而且与刚体的形状、质量分布以及转轴位置有关。对于质量分布均匀、具有规则几何形状的刚体，可以通过数学方法计算出它绕给定转动轴的转动惯量。对于质量分布不均匀、没有规则几何形状的刚体，用数学方法计算其转动惯量是相当困难的，通常要用实验的方法来测定其转动惯量。因此，学会用实验的方法测定刚体的转动惯量具有重要的实际意义。 【实验目的】

学习用转动惯量仪测定物体的转动惯量。

【实验仪器】

JM-3转动惯量实验仪及其附件（砝码，金属圆柱、圆盘及圆柱）, JM-3通用电脑计时器.

【实验原理】

根据刚体的定轴转动定律

dt d J

J M ω

β==，

只要测定刚体转动时所受的合外力矩及该力矩作用下刚体转动的角加速度β，则可计算出该刚体的转动惯量，这是恒力矩转动法测定转动惯量的基本原理和设计思路。 一、转动惯量J 的测量原理

砝码盘及其砝码是系统转动的动力。分析转动系统受力如图2所示：

当砝码钩上放置一定的砝码时，若松开手，则在重力的作用下，砝码就会通过细绳带动塔轮加速转动。当砝码绳脱离塔轮后，系统将只在摩擦力矩的作用下转动。

图1 转动系统受力图

本实验中待测试件放在实验台上，随同实验台一起做定轴转动。设空实验台（未加试件）转动时，其转动惯量为

0J ，

加上被测刚体后的转动惯量为J ，由转动惯量的叠加原理可知，则被测试件的转动惯量

被测

J 为

0J J J -=被测 或 被测物J J J +=0

实验时，先测出系统支架（空实验台）的转动惯量

0J ，然后将待测物放在支架上，测

量出转动惯量为J ，利用上式可计算出待测物的转动惯量。

未加试件及外力时（0=m ，0=T ），即外力矩为零时，若使系统以某一初角速度开

始转动，则系统将在摩擦力矩M 的作用下，作匀减速转动，设角加速度为1β，则由刚体的转动定律有

10βJ M =- （1）

其中

r

rf M = （2）

加外力后（即有外力矩）时，设系统的角加速度为2β，则：

20βJ r f Tr r =- （3）

而

ma T mg =- （4）

2βr a =

其中 m —砝码质量 ，g —重力加速度， T —绳的张力 联立式（1），（2），（3）,（4）得：

)(2βr g m ma mg T -=-=

202)(ββJ M r r g m =--

2

1

22120mr mgr J βββββ---=

（5）

测出1β，以及加外力矩mgr 后的2β，由（5）式即可得0J ，以及将0J 代入（1）试附

带可得出摩擦力矩M 。

同理，加试件后有

3βJ M =-

44)(ββJ M r r g m =--

2

3

4434mr mgr

J βββββ---= （6）

以上1β、

3β是由摩擦力矩产生的角加速度，其值为负，因此（5）

、（6）式中的分母实

为相加。测β的实验顺序可以是1β、2β、3β、4β，也可以是1β、3β、2β、4β，更可

以是（2β，1β），再（4β，

3β）

，测量方法见后。

二、角加速度β的测量原理

21,ββ的测量采用如下方法：

实验中直接测量的是时间和角位移，β可由下列计算间接得出。 设转动体系的初角速度为

0w ，t=0时的角位置为0，则t 时刻角位移θ为

2

02

1t t w βθ+= （7）

数字毫秒计从t=0开始计时，这时的计时次数为k=0,0=θ;1t t =时 k=1，πθ=；t 时刻，计时次数为k ，角位移πθk =。

若测得与21,θθ相应的时间为21,t t ，计时次数为21,k k ，则：

2

1101121t t w k βπθ+== （8） 2

2

202221t t w k βπθ+== （9）

联立式（8），（9）得：

2211222112)

(2t t t t t t --=

θθβ （10）

即： ()22

112221122t t t t t k t k --=

πβ （n k n

=） （11） 可以选两组2211,,,t k t k 值计算β的值，也可以选多组计算几个β值求平均；或者多次直

接测量β值。本实验采用配套的ZKY-J1通用电脑计时器，计时和记录角位移。 三、J 的“理论”公式

设待测的圆盘（或圆柱）质量为m 、半径为R ，则圆盘、圆柱绕几何中心轴的转动惯量理论值为

221

mR J =

待测的圆环质量为m ，内外半径分别为内R 、

外

R ，圆环绕几何中心轴的转动惯量理论

值为

)(22

2内外R R m J +=

【实验仪器介绍】

转动惯量仪：由十字型承物台、绕线塔轮、遮光细棒和小滑轮组成,如图3所示。承物台转动时固定在载物台边缘并随之转动的遮光细棒，每转动半圈（πθ=）遮挡一次固定在底座圆周直径相对两端的光电门，即产生一个光电脉冲送入光电计时计数仪，计数器将计下时间和遮挡次数。计数器从第一次挡光（第一个光电脉冲发生）开始计时、计数，并且可以连续记录，存储多个脉冲时间。塔轮上有五个不同半径的绕线轮，中间一个的半径为2.5cm ，其余每相邻两个塔轮之间的半径相差0.5cm 。砝码钩上可以放置一定数量的砝码，重力矩作为外力矩，结构如图2.

●仪器使用方法：

1.通电后，显示PP-HELLO,3秒后进入模式设定状态F 0164.

2.点击OK 键后显示88-888888进入待测状态，当第一个光电脉冲通过时即开始计时，，测量完毕即显示EE 。

3.按t 键，提取时间，显示01H 后按OK 键显示第一个脉冲的起始时间。

4.F 键是软启动键，表示继续使用上次设定的模式进行测量。