人教版高中数学必修四《三角函数的平移问题》
高中数学人教A版必修4第一章正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像平移及解析式的求法
正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像平移及解析式的求法【知识点梳理及分析】一、有关正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)基础知识1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下： 4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k∈Z)成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z)成中心对称图形． 二、图像的平移转换图像的平移转换遵循左加右减，上加下减原则 1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像变换（1）左右平移：由y ＝sinx 的图象向左或向右平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象.（2）胖瘦变换：由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω倍，得到y ＝sin ω x 的图象.（3）高矮变换：由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象.2.两种变换方法注意：左侧为先平移后伸缩，右侧为先伸缩后平移 三、正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)解析式的求法1.表达式的化简（主要利用辅助角公式）（1）辅助角公式sin cos a b αα+22)a b αϕ++(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,2222sin tan ba ab a b ϕϕϕ===++ ，该法也叫合一变形).（2）所涉及到公式① 两角和与差的正弦、余弦公式： (1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ (2）βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- (3）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (4）βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-②二倍角公式（1）a a a cos sin 22sin =（2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a③降幂公式：（1）22cos 1cos 2a a += （2） 22cos 1sin 2aa -=注：表达式的化简攻略可化简的表达式多种多样，很难靠举例一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来进行操作，主要有以下几个特征：（1）观察式子：主要有三点①系统：整个表达式是以正余弦为主，如果有正切需要切化弦进行统一 ②确定研究对象：是以x 作为角来变换，还是以x 的表达式看做一个角来进行变换③式子是否齐次：式子要做到齐次统一，利用所涉及到三角函数恒等式的公式进行转换，把同一角转换为齐二次式或是齐一次式在使用辅助角公式，使结果成为y ＝A sin(ωx ＋φ)（2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂（注意平方降幂）.2. 求解A 、ω、φ以及确定解析式 (1)A 的求解A 的求解：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2（2）ω的求解结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω①如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的两条对称轴为x=a ，x=b （a<b ），则T=2(b-a).②如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的两个对称中心为（a ，0）、（b ，0）（a<b ），则T=2(b-a).③如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的对称轴与对称中心分别为x=a ，（b ，0）则T=4a -b .注意：在y ＝Asin(ωx ＋φ)中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价.（3）φ的求解①代入法：把图上已知点代入即可. ②五点法确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”（即图像上升时与x 轴交点）为ωx ＋φ=0；“第二点”（即图像的“峰点”）为ωx ＋φ=π2；“第三点”（即图像下降时与x 轴交点）为ωx ＋φ=π；“第四点”（即图像的“谷点”）为ωx ＋φ=3π2；“第五点”为ωx ＋φ=2π.（4）y ＝Asin(ωx ＋φ)+B 中“B ”的确定 B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2补充：函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：①b x a y +=sin （或)cos b x a +型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论②x b x a y cos sin +=型：引进辅助角化成)sin(22ϕ++=x b a y 再利用有界性③c x b x a y ++=sin sin 2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束④dx c bx a y ++=sin sin 型：反解出x sin ，化归为1sin ≤x 解决⑥c x x b x x a y +⋅++=cos sin )cos (sin 型：常用到换元法：x x t cos sin +=，但须注意t 的取值范围：2≤t 。
高中人教A版数学必修4：第14课时 平移变换、伸缩变换 Word版含解析
掌握y y ＝A sin(ωx ＋φ)y ＝sin x 1：y ＝sin(x ＋φ)；C 1上各点的横坐标缩小(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1)到原来的1ω倍(纵坐标不变)得C 2：y ＝sin(ωx ＋φ)；C 2上各点纵坐标伸长(当A >1时)或缩小(0<A <1)到原来的A 倍得到C 3：y ＝A sin(ωx ＋φ)(Δ>0，ω>0)．一、选择题1．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向右平移π6个单位长度 答案：C解析：因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，所以将函数y ＝sin2x 的图象上所有点向左平移π6个单位长度，就可得到函数y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 2．把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所对应的函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 答案：C解析：把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．3．将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数是( )A ．y ＝cos2xB ．y ＝1＋cos2xC ．y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos2x －1答案：B解析：将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数为y ＝1＋cos2x .4．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π3个单位长度 答案：B解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝cos2⎝⎛⎭⎫x －π3. 5．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C ．0D ．－π4答案：B解析：y ＝sin(2x ＋φ)――→左移π8个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ 若为偶函数，则π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z 经验证当k ＝0时，φ＝π4. 6．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位长度，得到的图象对应的解析式是( ) A ．y ＝sin 12x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 答案：C解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的图象y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图象，故所求解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6. 二、填空题7．如果将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－4x 的图象向左平移φ个单位后正好与原函数的图象重合，那么最小正数φ＝______________.答案：π2解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－4x ――→向左平移φ个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤π6－4(x ＋φ)＝sin ⎣⎡⎦⎤π6－4x －4φ 若与原函数图象重合，则需满足－4φ＝2k π，k ∈Z ，当k ＝－1时，最小正数φ＝π28．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象可以看作把函数y ＝12sin2x 的图象向________平移________个单位长度得到的．答案：右 π8解析：∵y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝12sin2⎝⎛⎭⎫x －π8，∴由y ＝12sin2x 的图象向右平移π8个单位长度便得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 9．先将函数y ＝sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，再作所得图象关于y 轴的对称图形，则最后所得图象的解析式是________．答案：y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 解析：向右平移π3个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3， 关于y 轴对称则y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x －2π3＝ －sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 三、解答题10．用五点法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，并指出函数的单调区间． 解：(1)列表 列表时由2x ＋π3的取值为0，π2，π，3π2，2π，再求出相应的x 值和y 值．(2)描点．(3)用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得的简图向左、向右扩展，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )的简图(图略)． 可见在一个周期内，函数在⎣⎡⎦⎤π12，712π上递减，又因函数的周期为π，所以函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )．同理，递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－512π，k π＋π12(k ∈Z )． 11．先将函数y ＝sin x 的图象向右平移π5个单位，再变化各点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为2π3的函数y ＝sin(ωx ＋φ)(其中ω>0)的图象，求ω和φ. 解：将函数y ＝sin x 的图象向右平移π5个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π5的图象，再变化y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π5的图象各点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为23π的函数y ＝sin(ωx ＋φ)(其中ω>0)的图象，得到ω＝2πT ＝2π23π＝3，所以ω＝3，φ＝－π5.12．要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位 B ．向右平移π8个单位 C ．向左平移π4个单位 D ．向右平移π4个单位 答案：A 解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8. 13．函数y ＝sin x 的图象可由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象经过怎样的变化而得到？ 解：∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝ sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6. ∴y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6 y ＝sin2x――→横坐标变为原来的2倍纵坐标不变y ＝sin x .。
_学年高中数学第一章三角函数第14课时平移变换、伸缩变换课时作业新人教A版必修4.docx
第14 课时平移变换、伸缩变换课时目标掌握y＝sin x 与y＝A sin( ωx＋φ) 图象之间的关系，会用“五点法”和变换法作y ＝A sin( ωx＋φ) 的图象，并会由函数的图象与性质求y＝A sin( ωx＋φ) 的解析式．识记强化y＝sin x 图象上所有点向左( φ>0) 或向右( φ<0) 平移| φ| 个单位得C1 ：y＝sin( x＋φ) ；C1 上各点的横坐标缩小( 当ω>1 时) 或伸长( 当0<ω<1) 到原来的1ω倍( 纵坐标不变) 得C2：y＝sin( ωx＋φ) ；C2 上各点纵坐标伸长( 当A>1 时) 或缩小(0<A<1) 到原来的A倍得到C3：y＝A sin( ωx＋φ)( Δ>0，ω>0) ．课时作业一、选择题1．要得到函数y＝sin 2x＋π3 的图象，只要将函数y＝sin2 x 的图象( )A．向左平移π个单位长度 B ．向右平移3π3个单位长度C．向左平移答案：C π个单位长度 D ．向右平移6π6个单位长度解析：因为y＝sin 2x＋π3π＝sin2 x＋6，所以将函数y＝sin2 x 的图象上所有点向左平移π6个单位长度，就可得到函数y＝sin2 x＋ππ6 ＝sin 2x＋3 的图象．2．把函数y＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1( 纵坐标不变) ，得到的图象所对应的函数是( ) 2πA．y＝sin 2x－3B ．y＝sinx2＋π6πC．y＝sin 2x＋答案：C3D ．y＝sin 2x＋2π3解析：把函数y＝sin x 的图象上所有点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y＝πsin x＋3的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到函数y＝πsin 2x＋3的图象．3．将函数y＝sin2 x 的图象向左平移π个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得到4的图象对应的函数是( )1A．y＝cos2x B．y＝1＋cos2xC．y＝1＋sin 2x＋D．y＝cos2x－1答案：B π4解析：将函数y＝sin2 x 的图象向左平移π个单位长度，得到函数y＝sin2 x＋4π4的图π象，即y＝sin 2x＋数为y＝1＋cos2 x.2＝cos2x 的图象，再向上平移 1 个单位长度，所得到的图象对应的函4．为了得到函数y＝sin 2x－π6的图象，可以将函数y＝cos2x 的图象( )A．向右平移π个单位长度6B．向右平移π个单位长度3C．向左平移π个单位长度6D．向左平移答案：B π个单位长度3解析：y ＝sin 2x－π6＝cosπ2π－2x－6＝cos2π3－2x ＝cos 2x－2π3＝πcos2 x－3.5．将函数y＝sin(2 x＋φ) 的图象沿x 轴向左平移π个单位后，得到一个偶函数的图象，8则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C．0 D ．－答案：B π4左移解析：y＝sin(2 x＋φ) ―个―单→位y＝sin 2 x ＋π8π8＋φ＝sin 2x＋π4＋φ若为偶函数，则ππ＋φ＝4 2＋kπ，k∈Zπ经验证当k＝0 时，φ＝4.6．将函数y＝sin x－π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍( 纵坐标不变) ，再将所得的图象向左平移π3个单位长度，得到的图象对应的解析式是( )A．y＝sin 12x B ．y＝sin1x－2π22C．y＝sin 答案：C 1πx－2 6D ．y＝sin 2x－π6解析：y ＝sin x－π3横坐标伸长到原来的2倍的图象――→y ＝sin12x－π3的图象y＝sin 12πx＋3π－3＝sin 12x－π6的图象，故所求解析式为y＝sin1πx－2 6.二、填空题7．如果将函数y＝sin π－4x 的图象向左平移φ个单位后正好与原函数的图象重合，6那么最小正数φ＝______________.答案：π2解析：y＝sin π向左平移－4x ――→6φ个单位y＝sinπ6－x＋φ＝sinπ6－4x－4φπ若与原函数图象重合，则需满足－4φ＝2kπ，k∈Z，当k＝－1 时，最小正数φ＝28．函数y＝12πsin 2x－4 的图象可以看作把函数y＝12sin2 x 的图象向________平移________个单位长度得到的．答案：右π81π解析：∵y＝sin 2x－2 4＝12sin2 x－π8，∴由y＝12sin2 x 的图象向右平移π8个单位长度便得到y＝12sin 2x－π4的图象．9．先将函数y＝sin2 x 的图象向右平移π个单位长度，再作所得图象关于y 轴的对称图3形，则最后所得图象的解析式是________．2π答案：y＝－sin 2x＋3解析：向右平移2ππ个单位长度得到y＝sin 2x－3 3，2π关于y 轴对称则y＝sin －2x－3＝－sin 2x＋2π3.三、解答题π10．用五点法画出函数y＝2sin 2x＋解：(1) 列表3的图象，并指出函数的单调区间．x －π6π12π37π125π6π2x＋30π2π3π22πy 0 2 0 －2 03π列表时由2x＋3的取值为0，π，π，23π2，2π，再求出相应的x 值和y 值．(2) 描点．(3) 用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得的简图向左、向右扩展，得到y＝2sin 2x＋π3 ( x∈R)的简图( 图略) ．可见在一个周期内，函数在7π，12π上递减，又因函数的周期为π，所以函数的递12减区间为kπ＋7ππ，kπ＋12 12( k∈Z) ．同理，递增区间为kπ－5π，kπ＋12π12( k∈Z)．11．先将函数y＝sin x 的图象向右平移π5个单位，再变化各点的横坐标( 纵坐标不变) ，得到最小正周期为2π的函数y＝sin( ωx＋φ)( 其中ω>0) 的图象，求ω和φ .3解：将函数y＝sin x 的图象向右平移ππ个单位，得到y＝sin x－5 5的图象，再变化y＝sin x－π5的图象各点的横坐标( 纵坐标不变)，得到最小正周期为23π的函数y＝sin( ωx2π＋φ)( 其中ω>0) 的图象，得到ω＝＝T 2π2π3＝3，所以ω＝3，φ＝－π5.能力提升12．要得到函数y＝cos 2x－π4的图象，只要将y＝sin2 x 的图象( )A．向左平移π个单位8B．向右平移π个单位8C．向左平移π个单位4D．向右平移答案：A π个单位4解析：y＝cos 2x－π4＝cosπ4－2x＝sin π－2ππ－2x ＝sin 2x＋4 44＝sin 2 x＋π8.13．函数y＝sin x 的图象可由y＝cos 2x－π6的图象经过怎样的变化而得到？解：∵y＝cos 2x－π6 ＝cosπ6－2x ＝sin π－2π6－2x＝sin 2x＋π3＝sin2 x＋π6.∴y＝cos 2x－π6＝sin2 x＋π6y横坐标变为原来的2倍＝sin2 x 纵坐―标―不→变y＝sin x.5。
高中数学三角函数图像平移变换最难题型技巧轻松解，颠覆你的认知
高中数学三角函数图像平移变换最难题型技巧轻松解，颠覆你的认知三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。
三角函数让一些同学真的是很头痛的知识点，它不仅变化多端，而且技巧性很强。
有时候你稍微不注意，没有弄清楚题目的变化，题目可能就要全军覆没。
在考研备考复习过程中，三角函数这块知识点也是必不可少的。
考研涉及的关于三角函数的知识点考查形式很多，比如有关三角函数的等价无穷小代换、万能公式代换积分、涉及三角函数的微分方程……今天先给大家分享一些结论性的三角函数积分知识。
今天讲这个专题有三个元素量：第一个是初始函数，第二个是变换过程，第三个是目标函数。
这三个元素量组合成三种题型，它是知二求一，就是说任意两个是已知的，让你求第三个。
所说它分三个题型：①已知初始函数和变换过程，求目标函数;②已知变换过程和目标函数，求初始函数;③已知初始函数和目标函数，求变换过程。
我告诉大家，前两个题型非常简单，我今天不给大家讲，我前面有讲《2句话搞定三角函数图像平移变换问题》，只要看过我这篇文章或者视频课，把这个点领悟透彻，这两题非常容易就做出来了。
我给大家答案，大家可以自己去做一下，第一题答案是：A;第二题答案：B。
今天就主要来讲一讲如何搞定第三种题型：已知初始函数和目标函数，求变换过程。
它为什么难度比较大呢，就是因为它给的两个函数的名称不一样，你首先是要统一名称，而且是唯一的，你如果统一成cosx就有可能有正确的先期，如果统一成sinx可能就没有正确选项。
所以这类题只能出选择题，不能出填空题。
为什么?因为填空它的答案不唯一!!所以一般不会出填空题。
为方便大家能将这个知识点理解透彻，我用常规方法解一道题讲原理，最后给大家讲秒杀方法，那么这种题目就可以10秒出答案!常规方法解例1：首先我统一成cosx看能不能选出答案。
三角函数的平移知识点和练习
三⾓函数的平移知识点和练习三⾓函数图象的作法：1．y=Asin(ωx+φ)的图象：①⽤五点法作图:五点取法由ωx +?=0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图.②图象变换：先平移、再伸缩两个程序③A---振幅 ?π2=T----周期πω21==Tf ----频率相位--+?ωx 初相--?2、函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ?，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三⾓函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换⽅法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ?=+的图象()ωωω→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变得sin()y x ω?=+的图象()A A A >→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0)k k k >得sin()y A x k ?=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωωω>个单位得sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0)k k k >得sin()y A x k ω?=++的图象．注意：利⽤图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现⽆论哪种x ? ? ? ?ω+x2ππ23ππ2)sin(?ω+=x A y0 A0 -A 0变形，请切记每⼀个变换总是对字母x ⽽⾔，即图象变换要看“变量”起多⼤变化，⽽不是“⾓变化”多少。
高中数学课程：三角函数图像的平移
高中数学课程：三角函数图像的平移
最新考纲要求:
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性. 考情定向分析:
以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.
现就三角函数图像的平移问题作出总结
例如：如何画出Y=2sin(2x+π/4)函数图像
方法一：
由y=sinx----→横坐标缩为原来的1/2倍：得y=sin2x----→再向左平移π/8个单位：得y=sin2(x+π/8).----→然后纵坐标伸长为原来的2倍：得y=2sin(2x+π/4）。
方法二：
由y=sinx----→向左平移π/4个单位：得y=sin（x+π/4）----→再将横坐标缩为原来的
1/2倍：得y=sin(2x+π/4).----→然后纵坐标伸长为原来的2倍：得y=2sin(2x+π/4).
思考：形如y=Αsin（wx+ψ）的图像两种不同的方法变换，其结果是一致的。
方法一：先变换三角函数的周期T=2π/w，再平移|φ|/w个单位（此处不得直接平移|φ|个单位，平移时的单位必须是X前面系数变为1，即y=Αsinw[ x+（ψ/w）]，平移只针对的是自变量X。
再变换振幅为A倍。
方法二：先平移|φ|的个位（此是的自变量X前系数为1），再变
换三角函数的周期T=2π/w，再变换振幅为A倍。
三角函数图像平移的几种方法讲稿
必修4－系列微课讲稿三角函数图像平移的几种方法大家好，本节微课内容是“三角函数图像平移的几种方法”，主要讲三角函数图像平移的多种方法，达到深刻理解三角函数图像之间的关系的目的。
首先， 我们一起来看下面的例题： 函数cos(2)3y x π=+的图像可由函数sin(2)6y x π=-的图像经过怎样的变换得到？ 分析一：大家不难发现这两个三角函数的名称不一样，一般都会怎么想？。
将这两个函数变为同名三角函数，再考虑平移变换.我们考虑将余弦变正弦，应该用哪个诱导公呢？ 大家容易想到诱导公式(1)cos sin()2x x π=-；可得cos(2)sin(2)36x x ππ+=-，由于出现了-2x,这显然不利于平移； 所以我们应当用诱导公式(2)cos sin()2x x π=+；可得5cos(2)sin(2)36x x ππ+=+ 下面看解答过程： 方法一：解：由诱导公式（2）可将cos(2)3y x π=+ 化为5sin(2)6y x π=+,下面待定系数法即可. 设：52()266x x ππα+-=+，解得：2πα= 所以，函数cos(2)3y x π=+ 的图像可由函数sin(2)6y x π=-的图像向左平移 2π个单位得到.请同学们自己完成将正弦变余弦的情况.分析二：我们是否可以从化归的角度来分析呢？请大家看化归路径：sin(2)sin 2cos 2cos(2)63y x y x y x y x ππ=-→=→=→=+； 请看解答过程： 方法二： 解：将函数sin(2)6y x π=- 的图像向左平移12π个单位得到sin 2y x =的函数的图像; 将所得图像向左平移4π个单位得到函数cos 2y x =的图像; 再将所得图像向左平移6π个单位得到cos(2)3y x π=+函数的图像; 所以,函数cos(2)3y x π=+的图像可由函数sin(2)6y x π=-图像向左平移 12462ππππ++=个单位得到.分析三：注意到两个函数的ω都等于2，我们还可以从两个函数图像的最大值点的位置关系，得出第三种解法.方法三： 解：令sin(2)16x π-=，解得,()3x k k Z ππ=+∈ 令：cos(2)13x π+=解得：,()6x k k Z ππ=-+∈ 当k=0时，知相邻两个最大值点的横坐标相差2π个单位,结合位置关系， 可知，函数cos(2)3y x π=+的图像可由 函数sin(2)6y x π=- 的图像向左平移2π单位得到. 小结：方法一的思路是化为同名三角函数；方法二的思路是化归思想；方法三是特殊值法；思维的角度不同，得出的解决方案也不同.希望大家多加体会与练习，培养自己的发散思维能力.谢谢！。
20200324[必修4]三角函数中的平移问题(左右)
![20200324[必修4]三角函数中的平移问题(左右)](https://img.taocdn.com/s3/m/5e9db2ae2af90242a995e512.png)
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【变式】要得到函数 y sin4x 的图象，只需要将函数 y sin(4x ) 的图象（A ）
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（A）向左平移 个单位 （B）向右平移 个单位（C）向左平移 个单位 （D）向右平移 个单位
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数学 ·人例教题A版讲·解必修2
3.为了得到函数 y＝sin2x－π6的图象，可以将函数 y＝cos 2x 的图象( )
2
42
当 k 0 时， x ，故选 B
4Байду номын сангаас
数学 ·人例教题A版讲·解必修2
2【高考山东】要得到函数 y sin(4x ) 的图象，只需要将函数 y sin4x 的图象（B）
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（A）向左平移 个单位 （B）向右平移 个单位（C）向左平移 个单位 （D）向右平移 个单位
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则所得图象的对称轴可以为（B ）
A． x B． x C． x D． x
6
【解析】将函数
y
f
(
x)
4 sin(2x
)
3
的图象向右平移
2
个单位长度，
3
6
得到 y
f
(x
6
)
sin
2( x
6
)
3
即 y sin 2x
令 2x k , k Z ，得对称轴 x k , k Z
解析：
y cos 2x sin(2x )
2
sin
2( x
4
)
y
sin(2x
6
)
sin
2(
x
12)
人教版数学高一-人教A版必修四1.4《三角函数的图象和性质-图象平移伸缩》文字素材4
三角函数图象的平移和伸缩函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π8a =-． 所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．。
高中人教A版数学必修4：平移变换、伸缩变换 Word版含解析
三角函数平移变换、伸缩变换一、选择题1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度2．把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所对应的函数是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π33．将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数是( )A ．y ＝cos2xB ．y ＝1＋cos2xC ．y ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4D ．y ＝cos2x －14．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度5．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C ．0D ．－π46．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位长度，得到的图象对应的解析式是( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6二、填空题7．如果将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x 的图象向左平移φ个单位后正好与原函数的图象重合，那么最小正数φ＝______________.8．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象可以看作把函数y ＝12sin2x 的图象向________平移________个单位长度得到的．9．先将函数y ＝sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，再作所得图象关于y 轴的对称图形，则最后所得图象的解析式是________．三、解答题10．用五点法画出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，并指出函数的单调区间．10解：(1)11．先将函数y ＝sin x 的图象向右平移π5个单位，再变化各点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为2π3的函数y ＝sin(ωx ＋φ)(其中ω>0)的图象，求ω和φ.能力提升题12．要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位13．函数y ＝sin x 的图象可由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象经过怎样的变化而得到？参考答案与解析1答案：C解析：因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以将函数y ＝sin2x 的图象上所有点向左平移π6个单位长度，就可得到函数y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．2答案：C解析：把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． 3答案：B解析：将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数为y ＝1＋cos2x .4答案：B解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.5答案：B解析：y ＝sin(2x ＋φ)――→左移π8个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ若为偶函数，则π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z经验证当k ＝0时，φ＝π4. 6答案：C解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图象，故所求解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.7答案：π2解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x ――→向左平移φ个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－4(x ＋φ)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－4x －4φ 若与原函数图象重合，则需满足－4φ＝2k π，k ∈Z ，当k ＝－1时，最小正数φ＝π28答案：右 π8解析：∵y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝12sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8，∴由y ＝12sin2x 的图象向右平移π8个单位长度便得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象．9答案：y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3解析：向右平移π3个单位长度得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，关于y 轴对称则y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x －2π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.列表时由2x ＋π3的取值为0，π2，π，3π2，2π，再求出相应的x 值和y 值．(2)描点．(3)用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得的简图向左、向右扩展，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的简图(图略)．可见在一个周期内，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，712π上递减，又因函数的周期为π，所以函数的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )．同理，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－512π，k π＋π12(k ∈Z )．11解：将函数y ＝sin x 的图象向右平移π5个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的图象，再变化y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的图象各点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为23π的函数y ＝sin(ωx ＋φ)(其中ω>0)的图象，得到ω＝2πT ＝2π23π＝3，所以ω＝3，φ＝－π5.12答案：A解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8.13解：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝ sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∴y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 y＝sin2x ――→横坐标变为原来的2倍纵坐标不变y ＝sin x .。
三角函数的平移知识点和练习
三角函数图象的作法：1．y=Asin(ωx+φ)的图象：的图象：①用五点法作图①用五点法作图::五点取法由ωx +j =0=0、、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图描点作图. .②图象变换：先平移、再伸缩两个程序③A---A---振幅振幅振幅 vp2=T--------周期周期周期 pw 21==T f --------频率频率频率 相位--+j w x 初相--j2、函数sin()y A x k w j =++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k w j ，，，来相互转化．A w ，影响图象的形状，k j ，影响图象与x 轴交点的位置．轴交点的位置．由由A 引起的变换称振幅变换，引起的变换称振幅变换，由由w 引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由j 引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 sin y x =的图象j j j <¾¾¾¾¾¾¾®向左向左((>0)>0)或向右或向右或向右((0)平移个单位长度得sin()y x j =+的图象()w w w¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾®®横坐标伸长横坐标伸长(0<(0<<1)<1)或缩短或缩短或缩短((>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x w j =+的图象()A A A >¾¾¾¾¾¾¾¾¾®纵坐标伸长纵坐标伸长((1)1)或缩短或缩短或缩短(0<(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x w j =+的图象(0)(0)k k k ><¾¾¾¾¾¾¾®向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k j =++的图象．的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<¾¾¾¾¾¾¾¾¾®纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变横坐标不变))得sin y A x =的图象(01)(1)1()w w w<<>¾¾¾¾¾¾¾¾¾®横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x w =的图象(0)(0)j j j w><¾¾¾¾¾¾¾®向左或向右平移个单位得sin ()y A x x w j =+的图象(0)(0)k k k ><¾¾¾¾¾¾¾®向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k w j =++的图象．的图象．注意：利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种x ? ? ? ? j w +x2p p23pp 2)sin(j w +=x A yA 0 -A 0变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳
三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角 的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角 同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。
人教版高中数学必修四课件：1.5 三角函数图像平移伸缩变换(共22张PPT)
x
sin x 2sin x 1 sin x 2
y
2
1
o
-1 -2
0
2
3
2
2
0
1
0
-1 0
0
2
0
-2 0
0
1
2
0
1 2
0
y=2sinx y=sinx
y= 12sinx
2
3
2
2
x
小结1 函数 y Asin x, x R 的图象
（其中A 0且 A 1）
可以看作把正弦曲线上所有点的
纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当
0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）
而得到． A的作用
引起值域 改变
纵向伸缩
函数 y Asin x, x R 的值域是 A, A
问题2
在同一坐标系中作出函数y=sin2x 及图y象=间sin的12关x的系简。图，并指出它们y=sinx
x
0
4
• 再把所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当
0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）, 得到
y=Asin( x+ )。
变换2:
函数y=Asin(x+ )(其中A>0, >0)的
图象，可看作由下面方法得到：
• 把y=sinx图象上所有点的横坐标缩短(当
>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的 1 倍
函数y Asin(x )的图像
复习：
2．用五点法作函数 y sin x, x 0,2
高中三角函数的平移变换 讲解+习题
三角函数图像平移变换由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
1.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象（ D ） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位3.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ）(A)向右平移6π个单位长度 (B)向右平移3π个单位长度 (C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3π个单位长度4.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是( C )A sin(2)3y x π=-，x R ∈B sin()26x y π=+，x R ∈C sin(2)3y x π=+，x R ∈D sin(2)32y x π=+，x R ∈5.为了得到函数的图像，只需把函数的图像( B )（A ）向左平移个长度单位 （B ）向右平移个长度单位 （C ）向左平移个长度单位 （D ）向右平移个长度单位 6.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象( A )A 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度7.函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于( B ) .(,2)6A π-- .(,2)6B π-.(,2)6C π- .(,2)6D π8.将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6x π-的图象，则ϕ等于（ D ） A ．6π B ．56π C. 76π D.116π9.若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为( D )A ．16B.14C.13D.1210.设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于C （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）911.将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ C ） A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π12.将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3π平移得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4x π=,则θ的一个可能取值是( A )A. π125B. π125-C. π1211D. 1112π-13.把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ C ） A ．（1－y ）sin x +2y －3=0 B ．（y －1）sin x +2y －3=0 C ．（y +1）sin x +2y +1=0D ．－(y +1)sin x +2y +1=0解析：将原方程整理为：y =x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π个单位和1个单位，因此可得y =)2cos(21π-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。
(完整版)三角函数专题——函数图像的平移
三角函数专题——函数图像的平移（敖 东）三角函数图像的平移问题是高考考试中的一个重要考点，在历年高考中几乎都出现了，同样对于广大考生来说也是一个必须重点掌握的内容，那么我们要任何才能完全掌握这一类型的考题呢！下面我们把此类问题做归纳以下三种类型：类型一：简单→复杂 即由最基本的x A y sin =（或者x A y cos =）的函数图像，如何平移到b x A y ++=)sin(ϕω（或者b x A y ++=)cos(ϕω）的函数图像。
例1 1)32sin(+-=πx y 的函数图像，需要由x y sin =如何平移的到？解：（方法一）由x y sin =先向右平移6π得到)6sin(π-=x y ，再横向压缩到原来得到21倍得到)32sin(π-=x y ，再将图像向上平移1个单位，即得1)32sin(+-=πx y 。
（方法二）由x y sin =先横向压缩到原来的21倍得到x y 2sin =，再向右平移6π得到)32sin(π-=x y ，再将图像向上平移1个单位，即得1)32sin(+-=πx y 。
例2.(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A.cos 2y x = B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =【解析】:将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos 22cos y x x =+=,故选B.类型二：复杂→简单即由b x A y ++=)sin(ϕω（或者b x A y ++=)cos(ϕω）的函数图像，如何平移到x A y sin =（或者x A y cos =）的函数图像。
例3、x y sin =的函数图像，需要由1)32sin(+-=πx y 如何平移的到？方法就是例1中反方向平移，其中左移、右移相应的改为右移、左移，向上平移改为向下平移，压缩改为伸长。
人教版高中数学必修四《三角函数的平移问题》共22页
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
人教版高中数学必修四《三角函数的 平移问题》
6
、
露
凝
无
游
氛，Leabharlann 天高风景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
高中数学.docx三角函数图像平移变换问题满满的干货两句话搞定!
高中数学，三角函数图像平移变换问题满满的干货两句话搞定！
同学们今天给大讲一下，有关三角函数图像平移变换问题。
这个题型极容易出现错误，那么我今天给大讲两句话，你们只要把这两句话领悟透彻。
那么我在讲这两句话之前我让大家先思考一个问题。
方法一：先左右，再周期
方法二：先周期，再左右
那么同学再看一下，我先周期，再左右呢？
那么同学你看到没？我两种方式都给你讲完，先左右再周期，还是先周期再左右。
你心中都要有你的答案。
那么你如果完全能懂你才能掌握的。
那么如果给同学们讲了两句话，这两句话你完全能领悟清楚。
那么这种题型完全难不住你！
首先第一句话：
第二句话：
平移和放缩都是在给a本身做变化。
好了，同学如果你能懂上面那两句话。
那么接下来看一下思考题做为练习题。
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A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变， π 再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， π 再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
12 6
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变， π 2 再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
第一类：已知平移长度
例1.已知 w > 0 ，将 f (x) cos wx 的图象
向右平移
的图象则 w 的最小值
π π 个单位后得 g(x) sin(wx 4 ) 2
3 （A） （B）3 （C）4 （D）2 2 3 3
方法：利用
y
y cos wx
π y sin(wx ) 4 π 2
x
π 函数 y cos wx 与 y sin(wx ) 4 的图象间的变化关系.
y
y cos wx
π y sin(wx ) 4
O
x
π 函数 y cos wx 与 y sin(wx ) 4 的图象间的变化关系.
y cos wx
π 2
π y sin(wx ) 4
5.根据平移前后两点间的距离=定值 画图、设点、列式、相减
横坐标缩短（或伸长）到原来的倍 6. y sin( wx+ ) y sin(
横坐标扩大（或缩小）只影响
x 前的系数
w x+ )
纸上得来终觉浅， 绝知此事要躬行。
——陆游
x1
x2
x
总结：利用最高点间的距离 步骤：画图、设点、列式、相减
π 函数 y cos wx 与 y sin(wx 4 )
的图象间的变化关系.
练习：利用零点间的距离
y cos wx
π 2
π y sin(wx ) 4
x1
x2
x
练习1.为了得到 g(x) sin 2 x 的图象，
总结提升，课堂效果最大化
谈一谈你在本节课的收获
数学思想 1.数形结合 2.整体的思想 （ 1）口诀：左加右减，上加下减 1.定方向 （ 2）单个 x 的平移 三定 2.定同名 3.定次数 （ 3）同系数 4）诱导公式 （
小结
（ 1）最高（或最低）点间的平移 4.特殊点间的平移 （ 2）平衡点间的平移 注意是上坡点还是下坡点） （
1
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 2倍，纵坐标不变， π 再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
12
1
y
2π y sin(2 x ) 3 1 y = cos 2 x
先伸缩再平移
y = cos x
π π π O 2 3 4
π 4
2π 3π
2
3 4
3π 2
x
-1
5 例3. （唐山市一模）为了得到函数 y sin( π x) 6 的图象，可以将函数 y sin x 的图象( ) π （A）向右平ห้องสมุดไป่ตู้ 个单位长度 3 π （B）向右平移 个单位长度 6 π 个单位长度 3 π （D）向左平移 个单位长度 6
（C）向左平移
5 y cos ( π x) 变式1.为了得到函数 的图象， 6 可以将函数 y cos x的图象( ) 5π （A）向右平移 个单位长度 6 π （B）向右平移 个单位长度 6 5π 个单位长度 6 π （D）向左平移 个单位长度 6
5 y c os ( π 2 x) 的图象可以 变式4.为了得到函数 6 将函数 y sin x 的图象做怎样的变换？
变式5. 已知 w 0 ，将函数 y sin wx 的图像
π 5 y sin ( π wx ) 向左平移 3 个单位后得到函数 6 5 y cos( π wx) 的图象， 则 w 的最小值是 6
只需将函数 f (x) cos(2 x φ) 的图像上
所有点向右平移
可能取值是
π （A）2
π 个单位，则 2
的一个
π （B） （C） π （D）π 2
函数
y cos (2 x ) 与 y = sin 2 x
总结：利用最高点间的平移
的图象间的变化关系.
y cos( 2 x ) y π
（C）向左平移
5 变式2.为了得到函数 y sin( π x)的图象 6 可以将函数 y cos x 的图象( ) π （A）向右平移 个单位长度 3 π （B）向右平移 个单位长度 6 π （C）向左平移 个单位长度 3 π （D）向左平移 个单位长度 6
5 y sin ( π 2 x) 的图象可以 变式3.为了得到函数 6 将函数 y sin x 的图象做怎样的变换？
2
y = sin 2 x
O
x
函数
y cos (2 x ) 与 y = sin 2 x
总结：利用平衡点间的平移 注意是上坡点还是下坡点
的图象间的变化关系.
y cos( 2 x ) y
y = sin 2 x
π 2
O
x
第二类：求平移长度
2 3
y cos x，C2： y sin(2 x π ) 例2. (2017全国Ⅰ)已知曲线C1：