光纤通信第五版-第5章-光纤波导的场

2、分离变量
令
(x, y, z) (x, y)eiz
代入亥姆赫兹方程
2(x, y, z) k 2(x, y, z) 0
得到
t2(x ,y ) 2(x ,y ) 0
————即光纤中的波导场方程
其中：横向拉普拉斯算符 横向传播常数 纵向传播常数
简并模——标量模——波导场方程的标量解
LP模（Linearly Polarized mode），即线性偏振模的意 思。

如果波的电场矢量空间取向不变，即其端点的轨迹为 一直线时，就把这种极化称为直线极化，简称为线极
弱导波光纤可认为它的横向场是线极化波，以LP表示。 在这种特定条件下传播的模式，称为标量模，表示为
┋
导波截止的临界条件为：V=Vc
Vc 0 2.4048 3.8317 5.1356 5.5201 ┋
3、模可导条件
V ak0 n12 n22 Vc
当光纤参数和工作波长确定了，V也就确定了。 能在光纤中传播的模式必须满足上式。 HE11模在任何光纤中都能传输，因为归一化频率 是大于0的常数。
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图5.25 阶跃折射率光纤中的波导色散
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比较图3.8 和图5.25 在800nm 到900nm 的波长范围内波导色散比材料
色散要小得多 在第一传输窗口，可以忽略系统的波导脉冲展宽 在 1260nm 到1675nm 范围内，波导色散
和材料色散 在同一个量级，不能忽略
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材料色散和波导色散引起的脉冲展宽均正比于光源的线宽， 使用窄线宽的半导体激光器可以使其最小化。但是模式失真 通常在多模阶跃射率光纤中占主导地位，使得半导体激光器 减小脉冲展宽的效果并不明显。
亥姆霍兹方程+边界条件可求出波导中光波场的场分布。
用波动理论研究光纤中的电磁波行为，通常有两种解 法：
矢量解法
标量解法。
矢量解法是一种严格的传统解法，求满足边界条件的 波动方程的解。
标量解法是将光纤中传输的电磁波近似看成是与光纤 轴线平行的，在此基础上推导出光纤中的场方程、特 征方程并在此基础上分析标量模的特性。
导波模 纵向传播常数 模式分布 横向传播常数 相速度与群速度
一、 导波模
导波光是一种特定的电磁场分布，其传输必须满足一定条 件，称这种特定的电磁场分布为“模”。
导波模式分类：
x
H
E
yz
E
H
芯层 包层
E H
H E
芯层 包层
TE横电模 EZ=0
TM横磁模 HZ=0
导波模式分类：
HZ的解答式
二、矢量解法
1、理论计算的三大步骤：
①、利用圆柱坐标系（r,φ,z）中的亥姆霍兹方程求出Ez、 Hz
②、由Ez和Hz利用麦克斯韦方程组求出Er、Eφ、Hr、
Hφ ③、利用Eφ、 Hφ在纤芯和包层交界处连续的特点，即
在r=a处Eφ1＝Eφ2、 Hφ1＝ Hφ2求出导波特征方程。
2、矢量解法的结果
Ez

AJ m(Ur )e jm CK m(Wr )e jm
e j(t z ).......(r e j(t z ).......(r

a) a)
Hz

BJ m(Ur )e jm DK m(Wr )e jm
e j(t z ).......(r e j(t z ).......(r
t2
2

2 z 2
2 n2k02 2
nk0 cosz
波矢与z轴的夹角
3．标量波导场方程解的推导思路
（1）首先求出横向场Ey的亥姆霍兹方程 （2）将其在圆柱坐标系中展开
（3）用分离变量法求解横向场Ey
（4）根据麦氏方程中E和H的关系可得出横向磁场Hx的解答式 （5）根据电场和磁场的横向分量可用麦氏方程求出轴向场分量EZ、
色散的大小用时延差来表示。
① 时延 时延即指信号传输单位长度时，所需要的时间，
用τ表示。
② 时延差 不同速度的信号，传输同样的距离，需要不同的时间，即各信号
的时延不同，这种时延上的差别，称为时延差，用Δτ表示。 时延差可由不同的频率成分引起，也可由不同的模式成分引起。
信号的时延差与信号源的相对带宽Δf成正比，光源的相对带宽 越窄，信号的时延差就越小，则引起的色散就越小。
（1）什么是光纤的色散
光纤中传送的信号是由不同的频率成分和不同的模式成分构 成的，它们有不同的传播速度，将会引起脉冲波形的形状发生 变化。也可以从波形在时间上展宽的角度去理解，也就是光脉 冲在光纤中传输，随着传输距离的加大，脉冲波形在时间上发 生了展宽，这种现象称为光纤的色散。
（2）光纤色散的表示方法
B 0
•磁场是无源的
D
•电场是有源的
光纤中不存在电流和自由电荷，则有：
2．电磁波的波动现象
电场和磁场之间就这样互相激发，互相支持。 光在光导纤维中的传播，正是电磁波的一种传播现
象。 在光纤中传播的电磁场满足边界条件：磁场与电场
的切向和法向分量均连续，即：
E1t E2t H1t H 2t B1n B2n D1n D2n
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光纤中的脉冲畸变和信息速率
功率受限系统
当损耗是系统的主要限制因素时
带宽受限系统
在一些线路中,虽然信号功率足够,但信号波形的严重畸 变影响了传输信号的准确还原
光纤的色散特性
光纤色散是光纤通信的另一个重要特性。光纤的 色散会使输入脉冲在传输过程中展宽，产生码间干扰， 增加误码率，这样就限制了通信容量。
3．简谐时变场的波动方程——亥姆霍兹 方程
光在光波导中传播应满足的亥姆霍兹方程式：
2E(x, y, z) k 2E(x, y, z) 0 2H (x, y, z) k 2H (x, y, z) 0
其中k＝k0n为折射率为n的介质中的传播常数（也叫波数）。 k0为真空中的波数。
波导色散：光纤中同一模式在不同的频率下传输时，其 相位常数不同，这样引起的色散称为波导色散。
材料色散和波导色散都属于频率色散。在多模光纤中， 频率色散和模式色散都存在；而在单模光纤中，只存在频率 色散（包括材料色散和波导色散）。
① 单模光纤中的色散
由于单模光纤中只有基模传输，只有材料色散和波导色散。 而这两种色散都是由相位常数随频率变化而引起的
a
n12 n22 k0an1
2
V越大，允许存在的导模数就越多。 模式数量与光纤直径和数值孔径成正比，和波长成反比。
2、导模截止条件
允许存在的导波模式与归一化截止频率Vc的对应关系
导波模式（矢量模） HE11
TE01、TM01、HE21 EH11、HE12、HE31
EH21、HE41 TE02、TM02、HE22
当波长约在1.31μm附近时，材料色散和波导色散相互 抵消，使光纤中总色散为零，因此称其为零色散波长。
② 多模光纤的色散
当光纤的单模传输条件被破坏，将有多个导波模 式传输，这样，除了材料色散和波导色散以外，还有 模式色散。在多模光纤中，一般模式色散占主要地位。
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阶跃折射率光纤中的畸变
阶跃折射率光纤中 由于存在材料色散 波导色散 多模脉冲展宽 而导致信号的畸变
HE21,TE01,TM01 HE31,EH11 HE1n
TE0n,TM0n,HE2n EHm-1,n;HEm+1,n
三、模式分布
1、模式数量：光纤的结构参数决定了光纤中允许存在的
导模数量。

M

g （2 g
2）V
2
其中g为折射率分布参数
光纤的结构参数由归一化频率V表征：
V


2 0
a) a)
其中，定义了
U k02n12 2 ,W 2 k02n22
Jm(Ur)是m阶第一类标准贝塞尔函数，Km(Wr)是m阶第二类修正贝塞尔 函数。常数A、B、C、D由边界连续条件确定。
V U 2 W 2 a ak0 n12 n22
2.4 模式及其基本性质
在多模阶跃折射率光纤系统中通常使用较为便宜的LED 光源
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单模光纤中畸变
单模光纤中只有 材料色散 波导色散
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色散位移光纤
[ps/(nm×km)]
色 散
常规单模光纤
光线
E B
混合模： EH
Ez>Hz
HE
Hz>Ez
二、纵向传播常数
对应于每一阶贝塞尔函数（m取某一确定整数），都存在多个解（以 n＝1，2，…表示）,记为βmn。
每一个βmn值对应于一个能在光纤中传输的光场的模式。
根据不同的m与n的组合，光纤中将存在许多模式,记为HEmn或 EHmn。
3．简谐时变场的波动方程—— 亥姆霍兹方程
分离电磁矢量得到只与E或H有关的矢量波动方程
利用光纤介电常数变化极为缓慢的条件简化方程为标量波动方 程
设光纤中传播的电磁场随时间作简谐变化，分离时空坐标，得 到的波动方程就称为亥姆霍兹（Helmholtz
推导这个方程的条件是：无源空间，介质是理想、均匀、各向 同性而且电磁场是简谐的。
因此可得出结论：时延并不代表色散的大小，色散的程度应 用时延差表示，时延差越大，色散就越严重。时延差的单位用 PS/km·nm表示。
（3）光纤中的色散
模式色散：光纤中的不同模式，在同一波长下传输，各 自的相位常数不同，它所引起的色散称为模式色散。
材料色散：由于光纤材料本身的折射指数n和波长λ呈非 线性关系，从而使光的传播速度随波长而变化，这样引起的 色散称为材料色散。
LPmn模。
标量模与矢量模的对应关系
标量模与矢量模的对 应关系如右表。
标量模可认为是矢量 模的线性叠加，所以 标量模是简并模。
下标m、n分别表示 相应模式在光纤截面 上圆周和半径方向光 场出现最大值的个数。
LP模 LP01 LP11 LP21 LP0n LP1n LPmn(m≥2)
矢量模 HE11
2.1 麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程
1．电磁场的基本方程式 2．电磁波的波动现象 3．简谐时变场的波动方程——亥姆霍兹方程
1．电磁场的基本方程式
麦克斯韦方程式的微分形式
H

D t
J
•时变磁场可以产生时变电场
E B
•时变电场可以产生时变磁场
t D 0, J 0
TEM00
TEM10
TEM20
TEM03
TEM11
（2）旋转对称 TEMmn m－暗直径数；n－暗环数(半径方向)
TEM31
TEM00
(3) 简并模
TEM01
TEM02
TEM10
TEM20
TEM30
TEM10
TEM01
LP11
由上图可看出，横模阶数越高，光强分布图案越复杂。相反，阶数最低的
基模，其光强分布图案最简单。
标量解法 矢量解法
一、标量解法
1．标量近似
在弱导波光纤中，光线几乎与光纤轴平行。因此其中的E和H几
乎与光纤轴线垂直。
横电磁波（TEM波）：把E和H处在与传播方向垂直的横截面上
的这种场分布称为是横电磁波，即TEM波。
因此可把一个大小和方向都沿传输方向变化的空间矢量E变为沿
传输方向其方向不变（仅大小变化）的标量E。
结论
①HE11模式在任何光纤中都存在（因为任何光纤都有V>0）， HE11模称为基 模。
②满足0 V 2.4048条件的光纤，仅含基模，称为单模光纤，此条件称为单
模工作条件。反之，V>2.4048条件的光纤，称为多模光纤，此条件称为多 模条件。 ③纤芯越细，高阶模数量越少，反之，高阶模数量越多。 ④工作波长越长，高阶模数量越少，反之，高阶模数量越多。 ⑤光纤端面临界入射角φ0越小，高阶模数量越少，反之，高阶模数量越多。
m表示导波模式的场分量沿纤芯沿圆周方向出现最大值的个数，n表 示沿径向出现最大值的个数。
光线的传播角从零到临界角，传播角越小模式级别越低，沿中心轴传播的模式为 零级，临界传播角模式级别最高；
横模－横向场分布（表现为不同光斑花样）
（1）x, y 轴对称 TEMmn m－X向暗区数 n－Y向暗区数
光纤波导的基本方程
麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程 程函方程与射线方程 波导场方程 模式及其基本性质
Biblioteka Baidu动光学理论
用几何光学方法虽然可简单直观地得到光线在光纤中 传输的物理图象，但由于忽略了光的波动性质，不能 了解光场在纤芯、包层中的结构分布及其它许多特性。
采用波动光学的方法，把光作为电磁波来处理，研究 电磁波在光纤中的传输规律，可得到光纤中的传播模 式、场结构、传输常数及截止条件。