函数与几何综合题的解题方法

函数与几何综合题的解题方法

函数与几何综合题主要有两类,一类是几何元素间的函数关系问题,简称“几函”问题，其特点是根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例）建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质去解决几何图形中的问题。另一类是函数图像中的几何图形的问题，简称“函几”问题，其特点是根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题。

下面，笔者就上述两类典型试题为例，谈谈函数与几何综合题的解题策略。

一、综合使用分析法和综合法

就是从条件与结论出就是从条件与结论出发进行联想、推理，“由已知得可知”，“从要求到需求”，通过对问题的“两边夹击”，使它们在中间的某个环节上产生联系，从而使问题得以解决。如本文例5中的第（2）、（3）问的解答就使用了此种方法。

【例1】已知二次函数y=x2+bx+c的顶点在直线y=-4x上，并且图象经过点A（-1，0）。

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设此二次函数与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，求经过M、B、C三点的⊙O′的直径长；

（3）设⊙O′与y轴的另一个交点为N，经过P（-2，0）、N两点的直线为l则圆心O′是否在直线l上，请说明理由请说明理由。

二、运用方程的思想

就是寻找要解决的问题中量与量之间的等量关系，建立已知量与未知量间的方程，通过解方程从而使问题得到解决；在运用这种思想时，要注意充分挖掘问题的的隐藏条件，寻找等量关系建立方程或方程组；如本文例2中的第（2）个问题的解决就用到了此种思想。

【例2】如图所示，已知A、B两点的坐标分别为（28，0）和（0，28），动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平移（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于E、F点，连结FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒。

（1）当t=1时，求梯形OPFE的面积。t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？

（2）当梯形OPFE的面积等于三角形APF的面积时，求线段PF的长。

（3）设t的值分别取t1、t2时，（t1≠t2），所对应的三角形分别是Δ AF1P1

和Δ AF2P2，试判断这两个三角形是否相似；请证明你的判断。

三、注意使用分类讨论的思想

函数与几何结合的综合题中往往注意考查学生的分类讨论的数学思想，因此在解决这类问题时，一定要多一个心眼儿，多从侧面进行缜密地思考，用分类讨论的思想探讨出现结论的一切可能性，从而使问题的解答完整无遗。如本文例3中的第（2）、（3）问，要从直角的顶点的位置、矩形的第四个顶点的位置进行讨论，例3第（2）问中，求面积S与x间的函数关系式时，也要分直线l在点C 的左边和右边两种情况来讨论，千万不能一蹴而就。

【例3 】已知二次函数的图象如图所示，（1）求二次函数的解析式及抛物线的顶点M的坐标；（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线段BM上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使ΔPAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将ΔOAC补成矩形，使ΔOAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边的对边上，试直接写出矩形的未知顶点的坐标（不需要计算过程）。

四、运用数形结合的思想

在中学数学中，“数”与“形”不是孤立的，它们的辩证统一表现在：“数”可以准确地澄清“形”的模糊，而“形”能直观地启迪“数”的计算；使用数形结合的思想来解决问题时，要时刻注意由图形联想其性质，由性质联想相应的图形，从而使问题得以简化；如本文中的例4，在解决y与x间的函数关系时，首先根据图形的性质，建立起线段间的关系式，然后再利用线段间的关系，建立y 与x间的函数关系；在求自变量x的取值围时，把自变量所对应的几何元素推到两个极端的位置，求出相应的值，再结合几何量的实际意义和题目中的已知条件加以确定。

【例4】如图，AB为半圆的直径，O为圆心，AB＝6，延长BA到F，使FA ＝AB，若P为线段AF上的一个动点（不与

A重合），过P点作半圆的切线，切点为C，

过B点作 BE⊥PC交PC的延长线于E．设

AC＝x，AC＋BE＝y，求y与 x的函数关系

式及x的取值围。

评析：这是一道集圆、直角三角形、相似三角形与函数的综合题，由于已知条件中有切线，因此可以联想切线的性质、切割线定理、弦切角定理、切线长定理；又因为有直径这一已知条件，又可联想构造直径所对的圆周角。因此，连

结BC，构造出“双直角三角形”和弦切角定理的典型图形，然后利用两对相似三角形中的一对建立比例式，再结合勾股定理解决问题。

五、运用转化的思想

转化的数学思想是解决数学问题的核心思想，由于函数与几何结合的问题都具有较强的综合性，因此在解决这类问题时，要善于把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”化为“已知”，把“抽象”的问题转化为“具体”的问题，把“复杂”的问题转化为“简单”的问题，上面所有各例，都用到了转化的数学思想，可以大胆地说，不掌握转化的数学思想，就很难正确而全面地解决函数与几何结合的综合问题。

一、函数与几何问题的综合题的分类和特点

1．几何元素间的函数关系问题

这类问题的特点是：

2．函数图像中的几何图形的问题

这类问题的特点是：

二、函数与几何综合题例析

（一）几何元素间的函数关系问题

1．线段与线段之间的函数关系

（1）观察几何图形的特征。

（2）依据相关图形的性质（如直角三角形的性质、特殊四边形的性质、平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的性质、圆的基本性质、圆中的比例线段等等）找出几何元素之间的联系。

（3）将它们的联系用数学式子表示出来，并整理成函数关系式，在此函数关系式的基础上再来解决其它的问题；解决此类问题时，要特别注意自变量的取