恒定磁场的基本方程
恒定磁场基本方程的微分形式为
恒定磁场基本方程的微分形式引言恒定磁场是指磁场中磁感应强度、磁场强度、磁场偏转角等参数在时间和空间上均保持不变的情况。
恒定磁场具有许多重要应用，例如电动机、发电机、磁共振成像等。
为了深入了解恒定磁场的基本方程，需要进行微分形式的推导和讨论。
恒定磁场基本方程在恒定磁场中，我们可以根据安培定律推导出磁场的基本方程。
安培定律表明，在闭合回路中，电流周围的磁场的环绕方向是闭合回路上的电流方向，其磁感应强度大小与电流大小成正比。
根据安培定律，我们可以得到恒定磁场的基本方程的微分形式：1. 电流元在磁场中受到的磁场力表达式为：dF =I (dl ×B )，其中dF 表示电流元受力的微元，I 表示电流，dl 表示电流元的微元长度，B 表示磁感应强度。
2. 根据叉乘的性质，可以得到上式的分量形式：{dF x =I(B z dy −B y dz)dF y =I (B x dz −B z dx )dF z =I(B y dx −B x dy)3. 利用矢量分析中的散度和旋度概念，可以进一步将上述方程转化为微分形式：{ ∂B x ∂x +∂B y ∂y +∂B z ∂z =0∂B x ∂t =0∂B y ∂t =0∂B z ∂t =0上述方程描述了恒定磁场的基本特性，其中第一个方程表示磁场的无源性，即磁感应强度的散度为零；后三个方程表示磁场随时间不变，即磁感应强度对时间的偏导数为零。
恒定磁场中的应用和意义恒定磁场具有许多重要的应用和意义，下面将从以下几个方面进行讨论：1. 电动机和发电机在电动机和发电机中，恒定磁场被用于产生磁场，从而实现电动机的旋转和发电机的电能转换。
利用恒定磁场的基本方程，可以对电动机和发电机的性能进行分析和优化。
2. 磁共振成像磁共振成像（MRI）是一种利用恒定磁场和变化磁场的共同作用原理进行医学影像诊断的技术。
MRI利用恒定磁场对人体组织中的原子核进行定向，然后通过应用变化磁场使原子核进入共振状态，进而通过检测共振信号获得影像信息。
电磁场 恒定磁场
工程电磁场导论：恒定磁场
2）无外场时，各分子环流无规取向，总体磁矩为零，此时无宏观 磁场。有外场时，这些微磁矩受到力矩
的作用，趋于沿外场方向排列（
）。此时，出现
的有
序分布，总磁场不再为零，宏观上呈现磁性。这个过程，称为物 质（媒质）的磁化。 3）磁化的后果，就是媒质产生附加的磁场，叠加于外磁场之上， 空间的磁场，由二者共同决定。
（沿 R 方向）那么前者对后者的磁场作用力可表示为
eR方向由施力者指向
受力者
其中 ，称为真空磁导率。
工程电磁场导论：恒定磁场
• 这个规律没有官方的名称，但常常称为 Ampere 定律，
其在磁场中的地位与 Coulomb 定律在电场中的地位相
当。因此，对于真空中的两个载流回路 的作用力 和 ， 对
工程电磁场导论：恒定磁场
•
也可以定义磁力线（ B 线），其微分方程：
工程电磁场导论：恒定磁场
【例3－1】有限长直线电流的磁场问题。
•
考虑对称性，选取柱坐标，导线中点为坐标原点，导线与 z 轴重 合。显然，磁场与 维度无关。
取元电流
在 z′处，其在 P
点产生的元磁场
其中
工程电磁场导论：恒定磁场 因此
故
工程电磁场导论：恒定磁场
工程电磁场导论：恒定磁场
• 各向同性线性磁介质，有本构方程
称为磁化率，是一个无量纲的纯数。此时有
其中
为相对磁导率，
为磁导率。
工程电磁场导论：恒定磁场 一些磁介质的性能
工程电磁场导论：恒定磁场
• 对于铁磁介质，情况十分复杂。
等式 仍然成立，但是
不成立。 M～H 间没有线性关系。
工程电磁场导论：恒定磁场
真空恒定磁场基本方程
真空中恒定磁场的基本方程
积分形式 微分形式
S
B dS 0
C
B dl 0 I
B 0 B 0 J
0 I1dl1 R ] dF21 I 2dl2 [ 3 4 R
I1dl1 产生的磁场对它的作用, 电流元 I 2 dl2 受的作用实际是电流元 即电流元 I1dl1 在电流元 I dl 处产生的磁场 dB1 为 2 2 0 I1dl1 R dB1 4 R3
§ 2.3 真空中恒定磁场的基本规律
2.3.1 安培力公式
1 安培力公式
磁感应强度
安培力的实验定律指出： 在真空中载有电流I 1的回
路C1上任一线元 I dl 对 1 1
另一载有电流I2的回路C2
上任一线元 I 2 dl2的作用
力为 0 I1dl1 R 0 I 2 dl2 ( I1dl1 R) dF21 I 2 dl2 [ ] 3 3 4 R 4 R
C
B dl ( B) dS
S
I ห้องสมุดไป่ตู้
S
S
J dS
S
( B) dS 0 J dS
S
( B) dS 0 J dS
S
因上式的积分区域S是任意的， 因而有
B 0 J
上式就是熟知的毕——萨定律 对于整个线电流产生的磁感应 强度为
B
C
2、磁感应强度：
0 Idl R dB 叠加原理 3 C 4 R
3-4 磁介质中恒定磁场的基本方程
体积元
A m
1
意义 磁介 质中单位体积内 分子的合磁矩.
单位（安/米）
若 P m 是体积 V 中的平均磁矩，N 是分子密度，则磁
化强度也可表示为
M N Pm
3–4 介质中恒定磁场的基本方程 第三章恒定电流的电场和磁场 3 磁化电流 介质磁化后，介质中的分子电流合起来可在介质体内 和介质表面产生净束缚电流（亦称磁化电流），磁化电 流产生的磁场等效于所有的磁偶极子产生的磁场的总和. 等效的体磁化电流密度和面磁化电流密度分别为：
(
B
C
0
M )dl
I
磁场强度 H
B
0
M
磁介质中的安培环路定律
H dl
l
I
利用斯托克斯定律有 H dl H d S
C S
I
J d S
S
1
顺磁质
r
1 1
抗磁质
铁磁质 （非常数）
B 0 rH H
磁介质的本构关系
3–4 介质中恒定磁场的基本方程 第三章恒定电流的电场和磁场 例 有两个半径分别为 R 和 r 的“无限长”同 轴圆筒形导体，在它们之间充以相对磁导率为 r 的 磁介质.当两圆筒通有相反方向的电流 时，试 求 I （1）磁介质中任意点 P 的磁感应强度的 大小;（2）圆柱体外面一点 Q 的 磁感强度. I
积分路径是任意的
H J
3–4 介质中恒定磁场的基本方程 第三章恒定电流的电场和磁场
（磁化率） 各向同性磁介质 M m H m B B B 0 (1 m ) H H M mH 0 0
恒定磁场的基本方程及分界面上的衔接条件
电工基础教研室 由佳欣
恒定磁场的基本方程
微分形式：
H
JC
B 0
恒定磁场是有旋场，电流密度是磁场 的涡旋源
恒定磁场是无源场，磁感应线是无头无尾 的闭合曲线，没有磁荷的存在
积分形式：
l
H
dl
I
S B dS 0
恒定磁场的环路线积分等于与积分路径 相交链的所有自由电流代数和
磁通连续性定理，由任一闭合面穿出的 净磁通等于零
物性方程： B H
各向同性、线性介质的构成方程。
分界面上的衔接条件
1. 磁场强度的切向分量
由场量闭合曲线S I
场量切向分量的衔接关系
n12
H dl l
l2 H2 dl
l1 H1 dl
H dl
取一闭合柱面，上下面分别位于介质1、2 中，且平行于界面，令 d 趋于0
ld
l
H2 t2l H1 t2l
媒质2
d
t2
t1
分界面
(H1 H2 ) t2l
媒质1
取一闭合曲线，上下边分别位于介质1、2中且平行于 界面，令高度 d 趋于0
分界面上的衔接条件
1. 磁场强度的切向分量
由场量闭合曲线的积分方程
场量切向分量的衔接关系
n12
S JCdS K t1l K (t2 n12 )l t2 (n12 K )l
由场量闭合曲面的积分方程
场量法相分量的衔接关系
S B dS 0
n12
左面=
S2 B2 dS
S1 B1 dS
B dS
S3
S2
B2 n12S B1 n12S (B2n B1n )S 右面 0
第二章静电场恒定电场和恒定磁场
介质中的高斯定理表示为 式中电位移矢量为
在线性的各向同性的电介质中
例2.1在空气中放入一个带电量为Q、半径为a的球体，该球体的 相对介电常数为εr。求该球体内、外任意一点的电场强度。
解（1） 球内任意一点，设到球心距离为r,做高斯面为以r为半径的球面， 如图2.2所示。
由电场的对称性可知，E和D的方向为er,所以
大小、它们之间的距离和周围的电介质，即可以不用电容器。
例2.10同心金属球与球壳系统如图2.12所示，内导体球半径为a，外导体 球壳的内外半径分别为b和c，导体球与导体球壳带有等量异号电荷，它
们之间充满相对介电常数为 r 的电介质，球外为空气。求该导体系统
的电容。
解:根据高斯定理不难求出空间各点的电场强度，设导体球和导体球壳的 带电量分别是q和-q，则导体和导体球壳之间的电场强度的大小为
电场能为
WeΒιβλιοθήκη 1 2dVv
（2） 对于多导体系统
We
1 2
dV
v
例2.12半径分别为a和b的同轴线，外加电压为U，内圆柱体电荷量为正，外圆柱 面单位长度上的电荷量与内圆柱体等值异号。如图2.16(a)所示，两电极间在θ1的 角度内填充介电常数为ε的电介质，其余部分为空气，求同轴线单位长度上储存 的电场能量。
示，求在l长度上的外电感。
图2.25例2.20用图
例2.21一个半径为a的无限长直导线，在导线均匀流过的电流为I，求这个导线
在单位长度上的内电感，如图2.26所示（设导体内部的磁导率近似为μ0）。 解:截面上的磁通并没有与全部电流I交链，而只是与一部分电流交链，交链的总 磁链为
图2.26
2. 互 有两感个回路l1和l2，如图2.27所示。
《电磁波与电磁场》4-恒定磁场
外加磁场时，磁场力使带电粒子的运动方向发生变化或产生 新的电流，使磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这 种现象称为磁化。
媒质磁化 B
B
B'
磁化结果出磁偶现极的子 合成磁矩产生二次磁场BS，这种二次 磁场影响外加磁场Ba，导致磁化状态发生改变，从而又使J’S
Chapter 4 恒定磁场
磁场是由运动电荷或电流产生的；当产生磁场 的电流恒定时，它所产生的磁场不随时间变化， 这种磁场称为恒定磁场。
4.1 磁感应强度 4.3 磁场的基本方程 4.5 电感 4.7 磁路
4.2 安培环路定律 4.4 磁场位函数 4.6 磁场能量
第4章 恒定磁场
1. 磁场是由运动电荷或电流产生的。 2. 运动电荷或载流导线在磁场中要受到磁场的作用力。 3. 检验磁场是否存在的一种方法是改变载流导线在磁
抗磁性。媒质正常情况下，原子中的合成磁矩为零。当外 加磁场时，电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场 的方向相反，导致媒质中合成磁场减弱。如银、铜、铋、 锌、铅及汞等属抗磁性媒质。 顺磁性。媒质在正常情况下，原子中的合成磁矩并不为零， 只是由于热运动结果，宏观的合成磁矩为零。在外加磁场的 作用下，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动。使合 成磁场增强。如铝、锡、镁、钨、铂及钯等属顺磁性媒质。
但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象均很微弱，因此，可 以认为它们的相对磁导率基本上等于1。铁磁性媒质的磁化现象非常 显著，其磁导率可以达到很高的数值。值得注意的是，近年来研发的 新型高分子磁性材料，其相对磁导率可达到与介电常数同一数量级。
媒质 金 银 铜
恒定磁场基本方程的微分形式为
恒定磁场基本方程的微分形式为恒定磁场基本方程的微分形式为什么重要？磁场是物理学中的一个重要概念，它与电场一起构成了电磁场。
在恒定磁场中，磁感线是直线或圆弧，而且磁感线的密度相等。
恒定磁场的基本方程可以用来描述磁场的性质和行为，因此它是理解和应用磁场相关知识的基础。
一、什么是恒定磁场？恒定磁场指在空间某个区域内，时间不变或者时间变化很缓慢，且空间各点处的磁感应强度大小、方向都不随时间改变或者改变很小。
在这种情况下，我们可以使用静电学类比来处理问题。
二、什么是恒定磁场基本方程？1. 定义根据安培环路定理（又称安培第二定律），在任何闭合回路上，通过该回路的电流总和等于该回路所包围区域内的总电流。
在恒定磁场中，该定理可以表示为：∮B·dl = μ0I其中B表示磁感应强度（单位：特斯拉），l表示回路的长度，I表示通过该回路的电流（单位：安培），μ0表示真空中的磁导率（单位：亨利/米）。
2. 微分形式根据斯托克斯定理，一个闭合曲线所包围的面积内的旋度等于该曲线沿着法向方向的环流密度。
在恒定磁场中，该定理可以表示为：∇×B = 0其中∇表示偏微分算子，×表示向量积运算。
将斯托克斯定理应用于一个无限小的闭合回路上，则有：∮B·dl = ∫(∇×B)·dS其中dS表示曲面元素面积。
由于恒定磁场中磁感应强度不随时间变化，因此我们可以将上式简化为：∇×B = 0这就是恒定磁场基本方程的微分形式。
三、为什么恒定磁场基本方程的微分形式重要？1. 描述磁场性质恒定磁场基本方程的微分形式可以用来描述恒定磁场的性质和行为。
它告诉我们，在恒定磁场中，任何一个点处的旋度等于零。
这意味着在任何一点处，磁场的方向是唯一的，因为不存在旋转的磁场线。
这也意味着磁场是无源场，即不存在产生磁场的电荷或电流。
2. 解决问题恒定磁场基本方程的微分形式可以用来解决一些与恒定磁场相关的问题。
4.6 恒定磁场基本方程应用举例
第 4 章恒定磁场4.2 真空中恒定磁场的基本方程应用举例半径为 a 的无限长直导体圆柱均匀通过电流 I ，计算导体内外的B 。
解： ⑴ 电流分布具有轴对称性，选柱坐标⑵ 分析磁场的分布 zaI⑶ 沿磁感应线取B 的线积分沿ϕ 方向 ∑⎰==∙I B c02d μπρl B ρ ≤ a 时222aIJ I ρπρ==∑2022022aI a I B πρμρπρμϕ==∴ρ ≥ a 时πρμϕ20IB =II =∑例1两相交圆柱，半径同为a ,轴线相距 c ，通过强度相等方向相反的电流 I ，因而相交部分J = 0。
证明相交区域是匀强磁场。
证： ⑴ 两圆柱单独存在时，均具有轴对称性，选两套柱坐标 ⑵ 计算相交区域任取一场点P 的磁感应 22101d a Icρμ=∙⎰l B 201221101221a I a I z πμρπρμϕρa a B ⨯==22202d aIcρμ=∙⎰l B2022222022)(22aI a I z πμρπρμϕρa a B ⨯-=-=202020*******)(a Ica I a I yz z πμπμπμa c a ρρa B B B =⨯=-⨯=+=例2 O 1 O 2 Pρ1 ρ2 ⊗ ⊙ I Iz x无限大平面上均匀分布面电流J s ，求距此平面 r 处的磁感应B 。
解： ⑴ 电流分布具有平面对称性，选直角坐标。
设J s = a z J s⑵ x >0，磁场方向沿 +y 轴；x <0，磁场方向沿 –y 轴⑶ 在xOy 上选取图示矩形回路lJ l B cs 02d μ==∙⎰l B 2s0J B μ=例 0, 20>x J y sa μ0, 20<-x J y sa μ=B z xy J zz xy J zl。
恒定磁场的基本方程
21:08:49
8
5.2 真空中磁场的基本方程
四、空间磁场的求解
1、利用安培环路定律求解
当电流呈轴对称分布时，可利用安培环路定律求解
空间磁场分布。 l B dl 0I
若存在一闭合路径C，使得在其上 B dl 整段或分段
为定值，则可以用安培环路定律求解。
例 求电流面密度为 JS ez JS0的无限大电流薄板产生的B 。
R
RR
已知： J (r) 0
B 0 ( J (r))dV '
4 V '
R
对上式两边分别取旋度，得
B 0 ( J (r))dV '
4 v'
R
21:02:30
4
5.2 真空中磁场的基本方程
B 0 ( J (r))dV '
4 v'
R
A ( A) 2 A
V AdV S A dS
B（r）= 0J（r） 恒定磁场的旋度反映了恒定磁场漩涡源（电流） 的分布情况 空间任意点磁场的旋度只与当地的电流密度有关 恒定电流是恒定磁场的旋涡源，电流激发旋涡状 的恒定磁场，并决定旋涡源的强度和旋涡方向
磁场旋度与磁场是不同的物理量，它们的取值没
有必然联系。没有电流分布的地方，磁场旋度为零，
R
利用矢量恒等式： (A B) B A A B
[J (r)( 1 ) ( 1 ) J (r) J (r) ( 1 )
RR
R
已知： ( 1 ) 0
R
和
J (r) 0
B 0 磁场散度定理微分形式
由高斯散度定理，有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
SB d S V BdV 0 磁通连续性定律（积分形式）
恒定磁场的基本方程和边界条件
恒定磁场的基本方程和边界条件1. 嘿，你知道恒定磁场不？它的基本方程就像一把神奇的钥匙呢。
就好比你要打开一扇神秘的门，这方程就是开锁的关键。
高斯定理说通过任意闭合曲面的磁通量恒等于零。
比如说，你想象一个完全封闭的盒子，磁场线就像一些调皮的小虫子，它们进进出出这个盒子，但总体数量不会有变化，既不会凭空多出来，也不会无端消失。
这多有趣呀，感觉磁场就像一个有秩序的小世界。
2. 恒定磁场的安培环路定理也很厉害哦。
这就像在一个迷宫里找路，磁场强度沿着闭合路径的线积分等于穿过这个路径所围面积的电流的代数和的μ₀倍。
打个比方，假如电流是一群奔跑的小怪兽，磁场强度就是跟着它们跑的小尾巴。
你看那些电线里的电流在流动的时候，周围就会产生磁场，这个磁场就按照安培环路定理的规则存在着。
你说神奇不神奇？3. 那恒定磁场的边界条件又是怎么回事呢？这就像两个不同的国家之间的边境规则。
在两种不同磁介质的分界面上，磁场强度的切向分量是连续的。
就好像两个人在边境上握手，虽然两边的情况可能有些不同，但这握手的力度（切向分量）是一样的。
比如说，一块铁和空气的交界处，磁场强度的切向部分不会突然变个样。
4. 再说说磁感应强度的法向分量吧。
在两种磁介质的分界面上，磁感应强度的法向分量满足一定的关系。
这就像两个相邻的池塘，水面高度（类比法向分量）有一定的关联。
假如一个池塘里的水涨一点，另一个池塘也会受到影响。
就像在磁介质中，一边的磁感应强度的法向分量改变了，另一边也会跟着有相应的变化。
这是不是很像一种默契呢？5. 你可别小瞧这些恒定磁场的方程和边界条件啊。
它们就像魔法咒语一样，掌控着磁场这个神秘的魔法世界。
你想啊，如果没有这些规则，磁场就像一群没头的苍蝇，到处乱撞。
就像一个没有交通规则的城市，汽车到处乱开，那可就乱套了。
而这些方程和条件就是磁场世界的交通规则，让一切井井有条。
6. 我跟你讲，理解这些就像解开一个超级有趣的谜题。
就像玩拼图，每一块都很重要。
21-恒定磁场的基本方程与媒质分界面衔接条件
消去相互抵消部分，得 2xH2 et 2xH1 et =2xK e
2019/10/3
华北电力大学电气与电子工程学院
6
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
l = 2 x 趋近于 0，但不等于 0，因此得
(H2 H1) et =K e
由图 可知 et e en ， et e en
华北电力大学电气与电子工程学院
4
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
先讨论磁场强度的分界面衔接条件：
如下图所示，围绕分界面上一点 P
做一个小矩形闭合曲线
abcdefa 。
en 分界面法线方向
et 是选定的切线方向
e 是与 et 垂直
另一个切线方向的单位矢量
2019/10/3
华北电力大学电气与电子工程学院
3
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
3．媒质分界面衔接条件
在不同磁媒质的分界面上，存在磁化面电流。
这造成分界面两侧场矢量不连续。
微分形式的基本方程在分界面处遇到困难。 因此必须研究场矢量的分界面衔接条件， 以弥补只考虑体电流造成的不足。
下面根据积分形式的基本方程 推导不同磁媒质分界面衔接条件。
2019/10/3
5
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
根据安培环路定理，磁场强度的闭合线积分
H dl I
l
在小矩形各边长趋近于 0 时，可以设在 abcd 上 H2 为常矢量，
在 defa 上 H1 为常矢量；自由面电流分布在分界面上, 面电流密度 K 为常矢量。分段积分可得
yH2 en +2xH2 et yH2 en yH1 en 2xH1 et yH1 en =2xK e
电磁场导论 第三章]
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恒定磁场
2) 1 2
得到
B dl 2πB 0 I l 0 I B e 2 π
3) 2 3,
2 32 2 2 2 I I I 2 I 2 2 2 3 2 3 2
图3.2.10 同轴电缆
0 I ( 32 2 ) l B dl 2πB 32 22
根据
B A
A
z Az
B
0 I l
2 2 32
4π ( z )
e
0 I l
4πr
sin e
第 三 章
恒定磁场
例 应用磁矢位 A，试求空气中长直载流细导线产生 的磁场。
A Aez 解: 定性分析场分布，
A
0 I
L
0 I L dz 4π L r
第 三 章
恒定磁场
例
真空中有一载流为 I，半径为R的圆环， 解：元电流 Idl 在 P 点产生的 B 为
试求其轴线上 P 点的 磁感应强度 B 。
0 Idl e r ( Idl dB 2
4 πr
dB
图3.1.3 圆形载流回路
er )
2 4π( R 2 x 2 )
0 Idl sin
图3.3.3 铁磁媒质与空 气分界面
与分界面近似垂直，铁磁媒质表面
近似为等磁面。
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第 三 章
恒定磁场
磁矢位及其边值问题
1. 磁矢位 A 的引出 由
B 0 A 0 B A
A 磁矢位
Wb/m（韦伯/米）。
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恒定磁场的基本方程
3
r
)dV
B 0 4
s
K(
r)( r r r3
r
)
dS
例1 试求无限长直载流导线产生的磁感应强度。
解 采用圆柱坐标系，取电流Idl
Z' dl
R
O
θ P dB
ρ
dl = dzez eR sinez + cose
dl eR dz cose R2 2 z2
反之，
tan2
0 1
tan1
1
r
tan1
0
2 0
它表明只要铁磁物质侧的B不与分界面平行，那么
在空气侧的B 可认为近似与分界面垂直。
实际上，如果铁磁物质侧的B与分界面平行，由
H2t
ห้องสมุดไป่ตู้
H1t ， B2
B2t
0H1t
0
B1t
1
B1
r
0 。既然B2＝0，
也就无所谓垂直或平行了。因此不管什么情况，
总可以认为：铁磁物质表面，空气侧的B 近似与分 界面垂直。
在分析磁场时，上述规律对于确定边界条件十 分有用。
直观感觉： 实验结果：
dB
Idl R?
dB
k
Idl eR R2
大小：
Idl k R2
方向：
I (r')
. R(r - r') dB P (r)
r'
dl eR
r
.
O(0, 0, 0)
磁感应强度 B
B 0 4
I 'dl eR l R2
恒定磁场基本方程的微分形式
恒定磁场基本方程的微分形式
恒定磁场基本方程的微分形式是指表达磁场变化率的一种方程形式，其中包括了磁场的旋度和磁场随时间变化的导数。
在电磁学领域中，磁场是一种非常重要的物理量，它与电场一起构成了电磁场，是电磁学理论的基础之一。
恒定磁场指的是磁场在时间上不发生改变的情况，因此可以将磁场看做是一个恒定的场。
对于恒定磁场，其基本方程可以表示为：
∇×B = μ0J
其中，B是磁场，J是电流密度，μ0是真空中的磁导率，∇×表示旋度运算符。
这个方程表达了磁场的旋度与电流密度之间的关系，可以通过旋度运算符来求解。
旋度运算符是一个矢量运算符，用于计算一个矢量场的旋度。
它将一个矢量场的偏导数进行了组合，并给出了一个新的矢量场。
在这个方程中，磁场的旋度表示了磁场的变化率，而电流密度则表示了磁场的来源。
这个方程告诉我们，如果我们知道了磁场的变化率和电流密度，就可以求解出磁场的分布情况。
如果我们考虑磁场随时间的变化，那么可以将上述方程进行扩展，得到恒定磁场基本方程的微分形式：
∇×E = -∂B/∂t
其中，E是电场，B是磁场，∂/∂t表示对时间的偏导数。
这个方程表示了电场的旋度与磁场随时间变化的导数之间的关系。
它告诉我们，如果我们知道了磁场随时间的变化率和电场的旋度，就可以求解出电场的分布情况。
恒定磁场基本方程的微分形式是电磁学中非常重要的一个方程形式。
它将磁场的变化率和电流密度联系起来，以及将电场的旋度和磁场随时间的变化联系起来，为电磁学理论的研究提供了重要的基础。
恒定磁场基本方程
2-2-5稳恒磁场基本方程因磁场也是矢量场，在第一章中，我们知道，矢量场的基本性质可由它的散度和旋度方程描述。
下面我们导出磁场的基本方程。
对于电流密度分布为J 在空间P (r )点产生的磁通密度为：3(()d 4V V Rμπ'')⨯='⎰J r RB r (2-2-20)用戴尔算符∇点乘上式两边，注意到积分是对源坐标变量，而戴尔算符是对场变量运算。
因此，我们有：0333d d d 444V V V V V V RRRμμμπππ''''⨯'⨯∇=∇'=∇'='∇⨯'⎰⎰⎰J R J RR B J又因为31()0RR∇⨯=∇⨯-∇≡R因此，()0∇=B r(2-2-21a)上式称为磁场中的高斯定理微分形式。
上式表明磁场的散度总是为零，即磁场不存在散度源。
磁场是一无散场。
磁通密度B 通过一有向面积s 的通量称为磁通，记为ψ。
则d sψ=⎰B s磁通的单位为韦伯(Wb)。
正因为此定义，B 称为磁通密度。
由散度定理，式(2-2-21a)的积分形式为：d 0s=⎰ B s (2-2-21b)上式称为磁场中的高斯定理积分形式。
上式说明，稳恒磁场通过任一封闭面的总磁通总是零，即磁场是一管量场。
或说，磁场线总是闭合的，没有起点和终点。
此称为磁通连续性原理。
取式(2-2-20)的旋度得：3(()d 4V V Rμπ'')⨯∇⨯=∇⨯'⎰J r RB r注意积分和算符∇的运算是对不同的变量，上式右边：3322(d d 441()d 4()d 4[()]d 41[()]d 4V V V V V V V V RRV R V RV R RV RRμμππμπμπμπμπ''''''')⨯'⨯∇⨯'=∇⨯'=∇⨯-'⨯∇''=∇⨯∇⨯'''=∇∇-∇'1=∇'∇-'∇'⎰⎰⎰⎰⎰⎰J r R J R J J J J J J因为R = r – r '及11RR∇=-∇'、214()Rπδ∇=-R ，我们得：300(d ()d d 4441()d d ()44V V V V V V V V RRV V R Rμμμπδπππμμμππ'''''')⨯1∇⨯'=∇-'∇''+'4(-')''=∇-∇''+∇∇'''+⎰⎰⎰⎰⎰ J r R J J r r J J J r上式右边第一项可转为封闭面积分，因电流是局限在s '包围的体积V '内，此面积分为零。
第四章作业解答
ρS
J1n = J 2 n
σ 1 E1n = σ 2 E2 n
ε1 ε 2 ε1 ε2 ρ S = D1n − D2 n = ε 1 E1n − ε 2 E2 n = J1n − J 2 n = − J n σ σ σ1 σ2 2 1
特殊情况
ε1 ε 2 − =0 σ1 σ 2
v ∇× E = 0 v ∇⋅D = 0 v v D = εE
v ∇× E = 0 r ∇• J = 0 r r J = σE
E1t = E2t
D1n = D2 n
E1t = E2t
J1n = J 2 n
ε ⇔σ
of Information
r r E⇔E
r r D⇔J
Nanjing University
推广
r r J = σE
Nanjing
University
of
Information
Science
&
Technology
第四章 恒定电场与恒定磁场 电导率为无限大的导体称为理想导电体。由上式可见， 电导率为无限大的导体称为理想导电体。由上式可见，在理想 理想导电体 导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流， 导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流， 从而产生无限大的能量。但是，任何能量总是有限的。 从而产生无限大的能量。但是，任何能量总是有限的。 电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为理想介质。 电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为理想介质。 理想介质 媒 质 电导率(S/m) 电导率 媒 质 电导率(S/m) 电导率 4
第四章 恒定电场与恒定磁场
第四章 恒定电场与恒定磁场
《电磁场与电磁波》恒定磁场
分界面磁化电流: Km (M1 M2 ) en
Im
M dl
l
安培环路定理
1.真空中的安培环路定理
l B dl 0 I
真空磁场中，磁感应强度沿任意回路的 环路积分等于真空的磁导率乘以穿过该 回路所限定面的电流的代数和；
2.一般形式的安培环路定理
l B dl 0 ( I Im )
H dl H dl I
PaQ
PbQ
c
I
闭合回路PaQcP：
Q
H dl 2I PaQcP
H dl H dl 2I
PaQ
PcQ
规定:积分路径不穿过电流回路所限定的面。
2.标量磁位的边值问题 微分方程
B 0
H 0
H m
m 0
m m 0 均匀媒质：=0
2m 0 标量磁位的微分方程
Sd
（1）常磁链系统：
Wm
1 2
H BdV
V
V
B2 dV
20
B2Sd
2d
20 20S
f
Wm g
k const
2 20 S
吸力：F 2 f
3.虚位移法举例
例：分析电磁铁吸力，气隙截面积S，长d
1. 恒定磁场基本方程 恒定磁场的性质可由下面一组基本方程描述：
磁通连续性定理 SB dS 0 安培环路定理 l H dl I
各向同性线性媒质的构成方程
B 0 H J
B H
恒定磁场的性质：有旋无散。
2.分界面的衔接条件
B 的衔接条件
2
B2n B2
S h
1 B1
B1n
SB dS 0
B1nS B2nS 0 B1n B2n
恒定磁场的基本方程及分界面上的衔接条件
S JCdS K t1l K (t2 n12 )l t2 (n12 K )l
(H1 H2 ) t2l (n12 K) t2l
H1 H2 n12 K
l
媒质2
t2
d
t1
分界面
媒质1
n12 (H1 H2 ) n12 n12 K n12(n12 K) (n12 n12)K K n12 (H2 H1 ) K
恒定磁场的环路线积分等于与积分路径 相交链的所有自由电流代数和 磁通连续性定理，由任一闭合面穿出的 净磁通等于零
各向同性、线性介质的构成方程。
分界面上的衔接条件
1. 磁场强度的切向分量 由场量闭合曲线的积分方程
H dl l
S JC dS I
场量切向分量的衔接关系
n12
HHale Waihona Puke dl ll2 H2 dl
l1 H1 dl
H dl
ld
l
H2 t2l H1 t2l
媒质2
t2
d
t1
分界面
(H1 H2 ) t2l
媒质1
取一闭合曲线，上下边分别位于介质1、2中且平行于 界面，令高度 d 趋于0
分界面上的衔接条件
1. 磁场强度的切向分量
由场量闭合曲线的积分方程
场量切向分量的衔接关系
S1
媒质1
n12 (B2 B1) 0
取一闭合柱面，上下面分别位于介质1、2 中，且平行于界面，令 d 趋于0
4.6 恒定磁场的基本方程及 分界面上的衔接条件
电工基础教研室 由佳欣
恒定磁场的基本方程
微分形式：
H
JC
B 0
积分形式：
l H dl I
S B dS 0
恒定磁场基本方程
arr sin )d
坐标变换
17
av (avz cos avr sin)
(ar x
sin
avy
cos)
[ar z
cos
r (ax
cos
avy
sin
)
sin
]
r
B
0 Ia 4 R2
2
0
r a
(ar z
cos
ar r
sin )d
avz
0 4
Ia R2
g2
gsin
avz
0 Ia2
2R3
avz
直接求解. B
dB
0
Idl
a
(I
a
Sd
)
4
R az R cos ar R sin
C
I源dl源 R源2 场
aR
闭合 环路C
z
P(0,0,z)
R
a
R R 源点到场点＝ z 2 a2
y
单位矢量aR ?
x
Idl
aavvBrr电磁场4av与xa0v电RIcx磁aos2波isn02 aravavyy(scarionz scos
联想：
r
• D ——静电场散度方程的微分形式
静电场是有源场
电磁场与电磁波
14
6. 恒定磁场散度方程的积分形式
v Q•B 0
vv
v
ÑS B • dS V ( • B)dV 0
vv
B • dS -----磁通量 S
磁场中通过任何闭合曲面的磁通量恒等于0
v
•B 0 vv
磁通连续性原理、
ÑS B • dS 0 磁场中的高斯定理
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C
21:09:12 9
99
5.2
B 0 J
真空中磁场的基本方程
两边取旋度
2
2、建立方程直接求解
B 0 J
( B) 2 B 0 J
0
B ( B) B
2 B 0 J
直接求解法在理论上可以求出空间磁场分布，但一般 不采用此法(难于求解)，而利用辅助函数求解。 10
例 求电流面密度为 J S ez J S 0 的无限大电流薄板产生的 B 。
解：分析场的分布，取安培环路如图
根据对称性，有 B1 B2 B ，故
0 J S 0 ey x0 2 B e 0 J S 0 x 0 y 2
C
B dl B1l B2l 0 J S 0l
1
5.2
0 B 4
真空中磁场的基本方程
1 v' [ J (r) ( R )]dV
利用矢量恒等式： ( A B) B A A B 1 1 1 [ J (r ) ( ) ( ) J (r ) J (r ) ( ) R R R
B dl B d S J d S I
l S S 0 0
若电流分布为体电流分布，有 I
21:06:52
C
B dl 0 J dS
S
S
J dS
6
5.2
真空中磁场的基本方程
B （r） = 0 J （r）
恒定磁场的旋度反映了恒定磁场漩涡源（电流） 的分布情况 空间任意点磁场的旋度只与当地的电流密度有关
BdS 0
S
B dl I
l 0
小结：恒定磁场性质
B 0 无源场。磁力线无头无尾且不相交
B 0 J
有旋场。电流是磁场的旋涡源，磁力 线构成闭合回路
8
21:08:49
5.2
真空中磁场的基本方程
四、空间磁场的求解
1、利用安培环路定律求解 当电流呈轴对称分布时，可利用安培环路定律求解 空间磁场分布。 l B dl 0 I 若存在一闭合路径C，使得在其上 B dl 整段或分段 为定值，则可以用安培环路定律求解。
3
5.2
真空中磁场的基本方程
0 J (r ) R 0 1 B dV J (r ) ( )dV 3 4 v ' R 4 v ' R J (r ) 1 1 根据恒等式 ( ) J (r ) ( ) J (r )
可得，
1 J (r ) 1 ( ) J (r ) ( ) J (r ) R R R
1 已知： ( ) 0 和 J (r ) 0 R
磁场散度定理微分形式 由高斯散度定理，有
B 0
B d S BdV 0
S V
磁通连续性定律（积分形式）
2
20:28:09
5.2
S V
真空中磁场的基本方程
磁通连续性定律（积分形式）
B d S BdV 0
恒定磁场的散度处处为零，说明恒定磁场是无源场， 不存在磁力线的扩散源和汇集源（自然界中无孤立磁
荷存在）
由磁通连续性定律可知：磁力线是连续的
二、B 的旋度和环流
0 B 4
21:00:58
J (r ) R 0 v' R3 dV 4
1 v' J (r) ( R )dV
21:10:01
5.2
真空中磁场的基本方程
恒定磁场是由恒定电流产生的，它是在电流周围 形成的一个特殊的矢量场分布。通过对磁感应强度的 散度和旋度进行分析，可以全面地了解空间磁场分布 的特性，进而得出恒定磁场的一般性质。 一、 B 的散度和通量 设恒定电流分布在体积V内，电流密度为 J ( r )，空间任 意点 r 的磁感应强度为
R R R
已知： J (r ) 0
0 B 4
J (r ) V ' ( R )dV '
J (r ) v ' ( R )dV '
4
对上式两边分别取旋度，得
0 B 4
21:02:30
5.2
真空中磁场的基本方程
A dS
J (r ) v ' ( R )dV ' A ( A) 2 A V AdV
1 v ' J (r ) ( R )dV
2
1 2 1 ( ) (r r ') 4 R B 0 {0 J (r)[4 (r r ')]dV '} 0 J (r ) v' 4
将上式在空间的任意面积S上积分，S的边界为C，并利 用斯托克斯公式可得
恒定电流是恒定磁场的旋涡源，电流激发旋涡状
的恒定磁场，并决定旋涡源的强度和旋涡方向
磁场旋度与磁场是不同的物理量，它们的取值没
有必然联系。没有电流分布的地方，磁场旋度为零，
但磁场不一定为零
21:08:087来自5.2积分形式
真空中磁场的基本方程
微分形式
B 0
B 0 J
三、真空中磁场的基本方程
0 B 4
0 J (r ) 2 J (r ) B {[ ( )] ( )}dV ' v ' 4 R R 0 J (r ) 2 1 { ( )dV ' J (r ) ( )dV '} v ' v' 4 R R 0 J (r ) 2 1 { d S ' J (r ) ( )dV '} S ' v' 4 R R
S
S面是限定电流分布区域的表面，不会有电流穿过，即 J (r )总是与其法线相垂直，故有
J (r ) S ' R d S ' 0
21:05:29
B
0 4
2 1 J ( r ) ( )dV v ' R
5
5.2
0 B 4
真空中磁场的基本方程
0 B 4
v'
1 R 3 0 J (r ) R R R B dV 3
R
1 J (r ) ( )dV 4 v ' R
对上式两边分别取散度，有 0 1 B [ J (r ) ( )]dV 20:23:52 4 v ' R