人教课标版高中数学必修2《圆的一般方程》提升训练
高中数学 第26课时 圆的一般方程综合刷题增分练 新人教A版必修2
(2)求圆M的方程．
解：(1)方法一：由B(2,0)，C(0，－4)，知BC的中点D的坐标为(1，－2)．
又A(－3,0)，所以直线AD的方程为 ＝ ，
即中线AD所在直线的一般式方程为x＋2y＋3＝0.
方法二：由题意，得|AB|＝|AC|＝5，则△ABC是等腰三角形，所以AD⊥BC.
答案：D
解析：由题意，知圆(x＋2)2＋(y－1)2＝9的圆心为(－2,1)，半径r＝3.圆心(－2,1)到坐标原点的距离为 ＝ ，故x2＋y2的最大值为(3＋ )2＝14＋6 .
4．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为 的圆的方程为()
A．x2＋y2－2x＋4y＝0
B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0
D．x2＋y2－2x－4y＝0
答案：C
解析：令a＝0，a＝1得方程组
解得 所以C(－1,2)．
则圆C的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.
5．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是()
A．(－∞， ) B．(－∞，0)
解：(1)设点M(x，y)，依题意， ＝ ＝2，
化简得x2＋y2＝4，即曲线C的方程为x2＋y2＝4.
(2)由(1)知曲线C的方程为x2＋y2＝4，
令y＝0得x＝±2，不妨设E(－2,0)，F(2,0)．
设P(－1，y0)，S((x＋2)，
由 得(y ＋1)x2＋4y x＋4y －4＝0，
第26课时 圆的一般方程
课时目标
1.会用待定系数法求圆的一般方程．
2．会用配方法对圆的标准方程和一般方程进行互化．
2017-2018学年高中数学必修2：课下能力提升二十二 圆
课下能力提升(二十二) 圆的一般方程1．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5m ＝0不表示圆，则m 的取值范围是________．2．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，且圆的面积为π，则圆心坐标为________．3．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋2y ＋F ＝0与x 轴相切于原点，则D ＝________，F ＝________.4．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是________．5．已知点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，则a ＝________，b ＝________.6．等腰三角形ABC 的底边一个端点B 的坐标为(1，－3)，顶点A 的坐标为(0,6)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．7．求经过A (4,2)，B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．8．已知A (－2,0)，B (0,2)，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx －2y ＝0上两个不同的点，P 是圆上的动点，如果M ，N 两点关于直线x －y －1＝0对称．(1)求圆心坐标及半径；(2)求△P AB 面积的最大值．答案1．解析：由42＋(－2)2－4×5m ≤0得m ≥1.答案：m ≥12．解析：因为圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0的面积为π，所以圆的半径为1，而半径r ＝12 k 2＋22－4k 2＝12 4－3k 2＝1，所以k ＝0，此时圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)3．解析：方程化为(x ＋D 2)2＋(y ＋1)2＝D 24＋1－F 由于圆与x 轴相切于原点，所以－D 2＝0，D 24＋1－F ＝1，故D ＝0，F ＝0. 答案：0 04．解析：将圆方程化为(x ＋1)2＋y 2＝1，故C (－1,0)，由题意，所求直线方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝05．解析：点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，所以2a ＋b ＋1＝0.点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，所以圆心(－a,2)在直线x ＋y －3＝0上，即－a ＋2－3＝0，解得a ＝－1，b ＝1.答案：－1 16．解：由题意得CA ＝AB ，则点C 到定点A 的距离等于定长AB ，所以C 的轨迹是圆． 又AB ＝(1－0)2＋(－3－6)2＝82，C 的轨迹方程为x 2＋(y －6)2＝82(因为A ，C ，B 不能共线，则需除去点(－1,15)和点(1，－3))，即C 的轨迹形状是以点A (0,6)为圆心，半径为82的圆，除去点(－1,15)及(1，－3)．7．解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.①∵圆经过A (4,2)，B (－1,3)两点，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，1＋9－D ＋3E ＋F ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0， ②D －3E －F －10＝0. ③ 令①中的x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－E .令①中的y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－D .由于所求圆在两坐标轴上的四个截距之和为2，从而有x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝2， 即－E －D ＝2，也就是D ＋E ＋2＝0.④由②③④可得到⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝0，F ＝－12.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.8．解：(1)因为M ，N 两点关于直线x －y －1＝0对称，故圆心(－k 2，1)在直线x －y －1＝0上， 则－k 2－1－1＝0，k ＝－4， 则圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5，所以圆心坐标为(2,1)，半径为 5.(2)直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，则圆心到直线AB 的距离为|2－1＋2|2＝322，故圆上的点到AB 的最大距离为322＋5＝32＋252， 又|AB |＝22，所以△P AB 面积的最大值为S ＝12|AB |×32＋252＝12×22×32＋252＝3＋10.。
人教新课标A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程同步训练1(II)卷
人教新课标A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程同步训练1（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016高一下·西安期中) 圆x2+y2﹣4x+2y+4=0的半径和圆心坐标分别为（）A . r=1；（﹣2，1）B . r=2；（﹣2，1）C . r=1；（2，﹣1）D . r=2；（2，﹣1）2. （2分）要使与x轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有A . ,且F<0B . D<0,F>0C .D . F<0·3. （2分） (2016高二上·射洪期中) 过点P（﹣1，0）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程是（）A . x2+（y﹣1）2=2B . x2+（y﹣1）2=1C . （x﹣1）2+y2=4D . （x﹣1）2+y2=14. （2分） (2018高二上·鹤岗期中) 过点且与圆，相切的直线有几条（）A . 0条B . 1条C . 2 条D . 不确定5. （2分） (2018高二下·泸县期末) 的焦点到渐近线的距离为（）A .B . 2C . 1D .6. （2分）若圆C与圆关于原点对称，则圆C的方程是（）A .B .C .D .7. （2分）已知直线l过点（﹣1，2）且与直线y=x垂直，则直线l的方程是（）A . 3x+2y﹣1=0B . 3x+2y+7=0C . 2x﹣3y+5=0D . 2x﹣3y+8=08. （2分）(2020·银川模拟) 已知圆关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .9. （2分）(2018高二上·哈尔滨月考) 若点满足，点在圆上，则的最大值为（）A .B .C .D .10. （2分）过点（2,1）的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦最长的直线的方程是（）A . 3x－y－5＝0B . 3x＋y－7＝0C . 3x－y－1＝0D . 3x＋y－5＝0二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2017高一下·赣榆期中) 圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的面积为________．12. （1分）(2017·南通模拟) 在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：．若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是________．13. （1分） (2016高二上·邗江期中) 过圆（x﹣1）2+y2=1外一点（3，0）作圆的切线，则切线的长为________14. （1分）(2020·随县模拟) 已知抛物线的焦点为，准线与轴相交于点 .若以为圆心、为半径的圆与抛物线相交于点，，则 ________.三、解答题 (共4题；共40分)15. （10分） (2016高二上·忻州期中) 已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y ﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）试求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．16. （10分） (2018高一上·深圳月考) 已知圆C过点M（0，-2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．17. （15分） (2019高二下·上海月考) 现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）.在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）.在直角坐标平面内，我们定义，两点间的“直角距离”为： .（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标.（格点指横、纵坐标均为整数的点）（2）求到两定点、的“直角距离”和为定值的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹.（在以下三个条件中任选一个做答）① ，，；② ，，；③ ，， .（3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）.①到，两点“直角距离”相等；②到，两点“直角距离”和最小.18. （5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心C在直线l上；若动点M满足：|MA|=2|MO|，且M的轨迹与圆C有公共点．求圆心C的横坐标a的取值范围．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共4题；共40分) 15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、。
人教版高中数学必修二第四章圆与方程课后提升作业二十五 4.1.2 含解析
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课后提升作业二十五圆的一般方程(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.以圆x2+2x+y2=0的圆心为圆心，半径为2的圆的方程为( )A.(x+1)2+y2=2B.(x+1)2+y2=4C.(x-1)2+y2=2D.(x-1)2+y2=4【解析】选B.圆x2+2x+y2=0的圆心坐标为(-1，0)，所以所求圆的方程为(x+1)2+y2=4.2.方程x2+y2-2ax+2=0表示圆心为C(2，0)的圆，则圆的半径r= ( )A. B.2 C. D.4【解析】选A.方程配方得(x-a)2+y2=a2-2，由于圆心C(2，0)，所以a=2，因此r==.3.(2016·聊城高一检测)两圆x2+y2-4x+6y=0和x2+y2-6x=0的圆心连线方程为( )A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=0【解析】选 C.两圆的圆心分别为(2，-3)，(3，0)，直线方程为y=(x-3)，即3x-y-9=0.【延伸探究】本题条件不变，则两圆的圆心连线的垂直平分线方程是________.【解析】两圆的圆心为A(2， -3)与B(3，0)，AB的中点为，故AB的垂直平分线方程为y+=-，即2x+6y+4=0.所以x+3y+2=0. 答案：x+3y+2=04.方程x2+y2+2ax-b2=0表示的图形是( )A.一个圆B.只有当a=0时，才能表示一个圆C.一个点D.a，b不全为0时，才能表示一个圆【解析】选D.(2a)2+4b2=4(a2+b2)，当a=b=0时，方程表示一个点；当a，b不全为0时，方程表示一个圆.5.(2016·兰州高一检测)如果圆x2+y2+ax+by+c=0(a，b，c不全为零)与y轴相切于原点，那么( )A.a=0，b≠0，c≠0B.b=c=0，a≠0C.a=c=0，b≠0D.a=b=0，c≠0【解析】选B.符合条件的圆的方程为+y2=，即x2+y2+ax=0. 所以b=0，a≠0，c=0.6.若直线3x+y+a=0始终平分圆x2+y2+2x-4y=0的周长，则a的值为( )A.-1B.1C.3D.-3【解题指南】直线平分圆的周长，说明直线一定过该圆的圆心，把圆心坐标代入直线方程即可求出a的值.【解析】选B.因为圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为(-1，2)，所以3x+y+a=0过点(-1，2)，即-3+2+a=0，所以a=1.7.当点P在圆x2+y2=1上运动时，它与定点Q(3，0)连接的线段PQ中点的轨迹方程是( )A.x2+y2+6x+5=0B.x2+y2-6x+8=0C.x2+y2-3x+2=0D.x2+y2+3x+2=0【解题指南】设出PQ中点的坐标(x，y)，然后用x，y表示出点P的坐标，将P点坐标代入圆的方程即可.【解析】选C.设PQ中点坐标为(x，y)，则P (2x-3，2y)，代入x2+y2=1，得4x2+4y2-12x+8=0，即x2+y2-3x+2=0.8.(2016·北京高一检测)若方程x2+y2+(λ-1)x+2λy+λ2=0表示圆，则λ的取值范围是( )A.(0，+∞)B.C. D.R【解析】选C.D2+E2-4F=(λ-1)2+4λ2-5λ2>0，解不等式得λ<.二、填空题(每小题5分，共10分)9.圆x2+y2+2x-4y+m=0的直径为3，则m的值为________.【解析】因为(x+1)2+(y-2)2=5-m，所以r==，所以m=.答案：10.(2016·北京高一检测)已知圆C：x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l：x-y+2=0的对称点都在圆C上，则圆心为________，半径为________.【解析】由题意可得圆C的圆心在直线x-y+2=0上，将代入直线方程得-1-+2=0，解得a=-2.故圆C的方程为x2+y2+2x-2y-3=0.即(x+1)2+(y-1)2=5，因此圆心为(-1，1)，半径为.答案：(-1，1)三、解答题(每小题10分，共20分)11.(2016·长沙高一检测)已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆心在直线x+y-1=0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程.【解析】圆心C，因为圆心在直线x+y-1=0上，所以---1=0，即D+E=-2.①又因为半径长r==，所以D2+E2=20.②由①②可得或又因为圆心在第二象限，所以-<0，即D>0.则故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.12.点A(2，0)是圆x2+y2=4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点的轨迹方程.(2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点的轨迹方程.【解析】(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为(2x-2，2y).因为点P在圆x2+y2=4上，所以(2x-2)2+(2y)2=4，故线段AP的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4，故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.【能力挑战题】已知圆C：x2+y2-4x-14y+45=0，及点Q(-2，3).(1)P(a，a+1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率.(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值.【解析】(1)因为点P(a，a+1)在圆上，所以a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0，所以a=4，P(4，5)，所以|PQ|==2，k PQ==.(2)因为圆心C坐标为(2，7)，所以|QC|==4，圆的半径是2，点Q在圆外，所以|MQ|max=4+2=6，|MQ|min=4-2=2.【拓展延伸】解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合，根据圆的知识探求最值时的位置关系，解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面：(1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.(2)研究图形的形状、位置关系、性质等.关闭Word文档返回原板块附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
【提高练习】《412圆的一般方程》(数学人教A版高中必修2).docx
经全Cl 中小学級材审定委员会284年初谢連过《4・1・2圆的一般方程》提高练习本课时编写：成都市第二十中学付江平一、选择题1. 若点(2°, 6/-1)在圆d+(.y+l)2=5的内部，则Q 的取值范围是()A. (-00, 1]B. (-1,1)C. (2,5)D. (1, +.00) 2. 在圆x 2+/-2x-6y=0内，过点E(0,l)的最长弦和最短弦分別为AC 和BD,则四边 形ABCD 的面积为()A. 5^2B. l(h/2 …C. 15^2D. 20\(2 3. 圆C ： x 2+b+兀一6y+3=0上有两个点P 和Q 关于直线kx~y+4 = 0对称，贝以=4. 当d 取不同的实数时，由方程jc+y^+lax+lay — 1 = 0可以得到不同的圆，贝lj()A.这些圆的圆心都在直线y=x 上B.这些圆的圆心都在直线—兀上C.这些圆的圆心都在直线)，=兀或y= -x 上D.这些圆的圆心不在同一条直线上二、填空题5. 已知圆C ： x 2+/+2x+a.y —?>=0(6/为实数)上任意一点关于直线/： x~y+2=0的对( )A. 2 B ，¥ D.不存在 普通高中课程标准实验教科书人爪教育出收社课程穀材研究听编年中学数学课用敦材研究开发中心称点都在圆C上，则口= _________________ .6.________________________________________________________ 若实数x, y 满足x2+.y2+4x—2y—4=0,则寸/+),的最大值是______________________________ .7.已知圆C经过A(5,l), B(l,3)两点，圆心在兀轴上，则C的方程为__________________ .8.圆过点4(1, 一2\, B(—l,4),求周长最小的圆的方程为_____________________ .三、解答题9.已知圆经过点(4,2)和(一2, -6),该圆与两坐标•轴的四个截距之和为一2,求圆的方程.10.己知方程/+)? 一2(加+3床+2( 1 — 4w2)y + 16方1+9=0表示一个圆.(1)求实数加和圆的半径r的取值范围；(2)求圆心C的轨迹方程.参考答案一、选择题1.B【解析】点(2d, a-1)在圆x2+(y+l)2=5的内部，则(2^)2+tz2<5,解得-l<a<l.2.B【解析】圆%2+y2—2x—6y=0化成标准方程为(兀一l)?+(y—3)?= 1(),则圆心坐标为M(l,3), 半径长为帧.由圆的丿Lf可性质可知：过点E的最长弦AC为点E所在的直径，则|AQ = 2帧).BD是过点E的最短眩，则点E为线段BD的屮点，且AC丄BD, E为AC与BD的交点，则由垂径定理|BD|=2#|BM|2—|M£]2=2 二—斗—二—= 2书.从而四边形ABCD的面积为||ACW|=*x2"VTbx2^ = 10Vl.3.AI k【解析】由题意得直线也一歹+4=0经过圆心C(—扌，3),所以一号一3+4=0,解得k=2. 故选A.4.A【解析】圆的方程可化为(x+a)2+(y+a)2=2cr+1,圆心为(一a, —a),在直线y=x上.二、填空题5.-2【解析】由题意可知直线/：x~y+2=Q过圆心，・・・一1+号+2=0, ・・・d=—2.6.^/5+ 3【解析】关键是式子启曰的意义.实数x, y满足方程x2+/+4x-2y-4=0, 所以(兀，)，)为方程所表示的曲线上的动点.寸*+)?= ~~x~ —~y—",表示动点(x, y)到原点(0,0)的距离.对方程进行配方，得(兀+2)2+©—1尸=9,它表示以C(—2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点的圆内.连接CO交圆于点M, N,由圆的儿何性质可知，MO的长即为所求的最大值.7.x~ + y - ~4x—6 = 0【解析】设所求圆C的方程为(x~.a)2+y2=r2f把所给两点坐标代入方程得& x2 + y2-2)?-9 = 0所以所求圆C的方程为X2 + y2-4x-6 = 0.【解析】当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小.即AB中点(0,1)为圆心，半径 r =~^AB\ =-\/To.则圆的方程为：+ y**—2y —9 = 0. 三、解答题9.圆的方程为?+/-2x+4y-20=0.【解析】设圆的一般方程^x 2+y r+Dx+Ey+F=0.4D+2E+F+20=0,① •••圆经过点(4,2)和(-2, -6),代入凰的-般方程，得2“6—40=0.② 设圆在兀轴上的截距为小兀2，它们是方程X 2+D X +F= 0的两个根，得X X +X 2=-D. 设圆在y 轴上的截距为刃、乃，它们是方程y 2+Ey+F=0的两个根，得y x +y 2=-E. 由已知，得一£)+(—£)=—2,即 D+E —2=0.③ 由①②③联立解得D=—2, E=4, F=—20. ・・・所求圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0. 10. (1) 0V 圧字.(2)圆心「C 的轨迹方程为(兀一3)2=*)；+1)(学V 兀V4).【解析】(1)要使方程表示圆,贝J 4(/n+3)2+4(l-4/n 2y 2-4(16m 4+9)>0, 即 4加$+24m+36+4—32m 2+64屛—64/n 4—36 > 0, 整理得7〃,一6加一1V0,解得一y</w< 1.・・・0S 芈x=/n+3⑵设圆心坐标为(X, y),贝9(y=4777—1 消去加可得(X —3)2=*)+1)・T —*V M V1,・••学<兀<4.1 20 故圆心C 的轨迹方程为(兀一3)2=才0，+ l)Cy VxV4). 16=yl — 7 tv 2+6m+1—3 m —j。
人教新课标版数学高一-人教A版必修2 课时提升 4.1.1 圆的标准方程2
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课时提升作业(二十四)圆的标准方程一、选择题(每小题3分,共18分)1.以(2,-1)为圆心,4为半径的圆的方程为( )A.(x+2)2+(y-1)2=4B.(x+2)2+(y+1)2=4C.(x-2)2+(y+1) 2=16D.(x-2)2+(y-1)2=16【解析】选C.由题意知圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=16.2.方程(x-a)2+(y-b)2=0表示的图形是( )A.以(a,b)为圆心的圆B.以(-a,-b)为圆心的圆C.点(a,b)D.点(-a,-b)【解析】选C.由题意知,需满足x-a=0且y-b=0,即x=a且y=b,故方程表示点(a,b).3.(2014·锦州高一检测)若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C的方程是( )A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y+2)2=1D.(x+1)2+(y-2)2=1【解析】选A.圆心(-2,1)关于原点的对称点为C(2,-1),半径相等,r=1,所以圆C的方程是(x-2)2+(y+1)2=1.4.若原点在圆(x-1)2+(y+2)2=m的内部,则实数m的取值范围是( )A.m>5B.m<5C.-2<m<2D.0<m<2【解析】选A.依题意,得1+4<m,所以m>5.5.如图,ACB为一弓形,且A,B,C的坐标分别为(-4,0),(4,0),(0,2),那么弓形所在圆的方程为( )A.x2+y2=16B.x2+y2=4C.x2+(y+2)2=20D.x2+(y+3)2=25【解析】选 D.如图,设圆的圆心为P,半径为r,在△OBP 中,(r-2)2+42=r2,r=5,圆心P(0,-3),圆的方程为x2+(y+3)2=25.故选D.6.(2013·重庆高考)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为( )A.6B.4C.3D.2【解题指南】|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径. 【解析】选B.|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.圆心(3,-1)到直线x=-3的距离为6,半径为2,所以|PQ|的最小值为6-2=4. 【变式训练】圆(x-1)2+y2=1的圆心到直线y=x的距离是( ) A. B. C.1 D.【解析】选A.先求得圆心坐标(1,0),再依据点到直线的距离公式求得距离为.二、填空题(每小题4分,共12分)7.圆C:(x-1)2+(y+2)2=4,点P(x0,y0)在圆C内部,且d=(x0-1)2+(y0+2)2,则d的取值范围是.【解析】因为点P在圆C内部,所以(x0-1)2+(y0+2)2<4,即0≤d<4.答案:0≤d<4【举一反三】圆C:(x-1)2+(y+2)2=d2(d>0),若点P(2,0)在圆外,则d 的取值范围是什么?【解析】由于点P在圆外,故(2-1)2+(0+2)2>d2,即d2<5,故0<d<.8.(2014·保定高一检测)圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程是.【解题指南】线段AB的中垂线经过圆心.【解析】线段AB的中垂线方程为y=-3,代入2x-y-7=0,得x=2,故圆心坐标为(2,-3),再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=,所以圆的方程是(x-2)2+(y+3)2=5.答案:(x-2)2+(y+3)2=59.(2014·山东高考)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得的弦的长为2,则圆C的标准方程为. 【解题指南】本题考查了直线与圆的位置关系,可利用圆心到直线的距离、弦长一半、半径构成直角三角形求解.【解析】设圆心,半径为a.由勾股定理得+=a2,解得a=2.所以圆心为,半径为2,所以圆C的标准方程为+=4.答案:+=4.三、解答题(每小题10分,共20分)10.求满足下列条件的圆的方程:(1)经过点P(5,1),圆心为点C(8,-3).(2)经过点P(4,2),Q(-6,-2),且圆心在y轴上.【解析】(1)圆的半径r=|CP|==5,圆心为点C(8,-3),所以圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25.(2)设所求圆的方程是x2+(y-b)2=r2,因为点P,Q在所求圆上,依题意有解得所以所求圆的方程是x2+=.11.(2014·盐城高一检测)已知圆C的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).(1)若点M(6,9)在圆上,求a的值.(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3),线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点,求a的取值范围.【解析】(1)因为点M在圆上,所以(6-5)2+(9-6)2=a2,又由a>0,所以a=.(2)由两点间的距离公式可得,|PC|==,|QC|==3,因为线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点,即P,Q两点一个在圆内,另一个在圆外,由于3<,所以3<a<,即a的取值范围是(3,).一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·潍坊高一检测)圆C:(x-)2+(y+)2=4的圆心坐标以及面积等于( ) A.(-,),π B.(-,),2πC.(,-),4πD.(,-),8π【解析】选C.由圆的标准方程可知圆心坐标为(,-),半径r==2,则面积S=πr2=4π.2.方程y=表示的曲线是( )A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆【解析】选D.方程y=可化为x2+y2=9(y≥0),所以方程y=表示圆x2+y2=9位于x轴及其上方的部分,是半个圆.3.(2014·南昌高一检测)点P(2,-1)为圆C:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为( )A.x-y-3=0B.2x+y-3=0C.2x-y-5=0D.x+y-1=0【解析】选A.由题意知圆心坐标为C(1,0),故k PC==-1,故直线AB的斜率k AB=1,故直线AB的方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.4.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是( )A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1【解析】选A.设圆的方程为x2+(y-b)2=1,由条件知圆过点(1,2),故b=2,所以圆的方程为x2+(y-2)2=1.【变式训练】过点C(-1,1),D(1,3),圆心在x轴上的圆的方程为( )A.x2+(y-2)2=10B.x2+(y+2)2=10C.(x+2)2+y2=10D.(x-2)2+y2=10【解析】选D.由圆心在x轴上可排除A,B,将C(-1,1)的坐标代入C,D 检验知,选D.二、填空题(每小题5分,共10分)5.圆(x-a)2+(y-b)2=r2过原点,则a,b,r满足的关系式为. 【解析】将(0,0)代入(x-a)2+(y-b)2=r2,得a2+b2=r2.答案:a2+b2=r26.(2014·梅县高一检测)圆心在x轴上,半径为5,且过点A(2,-3)的圆的方程为.【解析】设圆的方程为(x-a)2+y2=25,将点A(2,-3)代入得,(2-a)2+(-3)2=25,解得a=-2或a=6,故所求圆的方程为(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25.答案:(x+2)2+y2=25,(x-6)2+y2=25【举一反三】本题若圆心改为在y轴上,其余条件不变,又如何求解? 【解析】设圆的方程为x2+(y-b)2=25,将点A(2,-3)代入得,22+(-3-b)2=25,解得b=-3+或b=-3-,故所求圆的方程为x 2+(y+3+)2=25或x2+(y+3-)2=25.三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·保定高一检测)△ABC的三个顶点为A(-1,2),B(2,1),C(3,4).(1)求△ABC外接圆的标准方程.(2)求BC边中线所在直线截其外接圆的弦长.【解析】(1)设其外接圆方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2,因为顶点在圆上,则:⇒a=1,b=3,r=,所以△ABC外接圆的标准方程为:(x-1)2+(y-3)2=5.(2)BC的中点D,k AD=,所以直线AD为:x-7y+15=0,圆心(1,3)到直线AD的距离d=,又因为半径为,所以半弦长为:=,所以弦长为3.【一题多解】本题(1)的另解:可以判断k BC·k AB=-1,所以边AC为直径,中点为圆心,圆心(1,3),半径r=,所以△ABC外接圆的标准方程为:(x-1)2+(y-3)2=5.8.已知x,y满足(x-1)2+y2=1,求S=的最小值.【解题指南】把S中被开方数配方,等价转化成圆上的动点到定点的距离.【解析】因为S==,又点(x,y)在圆(x-1)2+y2=1上运动,即S表示圆上的动点到定点(-1,1)的距离.如图所示:显然当定点(-1,1)和圆心(1,0)共线时取到最值,且最小值为-1=-1.所以S=的最小值为-1.关闭Word文档返回原板块。
最新人教版高中数学必修二阶段提升课 第四课 圆 与 方 程
阶段提升课 第四课 圆 与 方 程题组训练一 求圆的方程1．已知直线()a －1 x －y ＋a ＋1＝0()a ∈R 恒过定点C ，则以点C 为圆心，以1为半径的圆的标准方程为________．【解析】由直线方程得a(x ＋1)－x －y ＋1＝0，所以当x ＝－1时y ＝2，即定点C(－1，2)， 所以以1为半径的圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1. 答案：(x ＋1)2＋(y －2)2＝12．求圆心在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32 2 ＋y 2＝2上，且与x 轴和直线x ＝－12 都相切的圆的方程．【解析】设圆心坐标为(a ，b)，半径为r ，因为圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32 2 ＋y 2＝2在直线x ＝－12 的右侧，且所求的圆与x 轴和直线x ＝－12 都相切，所以a ＞－12.所以r ＝a ＋12 ，r ＝|b|.又圆心(a ，b)在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32 2 ＋y 2＝2上，所以⎝⎛⎭⎪⎫a －32 2 ＋b 2＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧r ＝a ＋12，r ＝|b|，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋b 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝12，r ＝1，b ＝±1.所以所求圆的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 2 ＋(y －1)2＝1或⎝⎛⎭⎪⎫x －12 2 ＋(y ＋1)2＝1.1．求圆的方程的方法求圆的方程主要是联想圆的标准方程和一般方程，依据题设条件选择恰当的方法． 2．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤 (1)选择圆的方程的某一形式．(2)由题意得a, b, r(或D, E, F)的方程(组). (3)解出a, b, r(或D, E, F). (4)代入圆的方程．题组训练二 直线与圆的位置关系1．直线 3 x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m 等于( ) A ． 3 或－ 3 B ．－ 3 或3 3 C ．－3 3 或 3 D ．－3 3 或3 3【解析】选 C.圆的方程变形为(x －1)2＋y 2＝3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径⇒|3＋m|（3）2＋12＝ 3 ⇒| 3 ＋m|＝2 3 ⇒m ＝ 3 或m ＝－3 3 .2．直线x －2y ＋3＝0与圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF(O 是原点)的面积为( )A ．2 5B ．655C ．32D ．34【解析】选B.圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝9的圆心为(－2，3)，半径r ＝3，所以圆心(－2，3)到直线x －2y ＋3＝0的距离d ＝|－2－2×3＋3|5 ＝ 5 ，弦长|EF|＝2r 2－d 2 ＝29－5 ＝4，原点到直线的距离l ＝35＝355 ，所以△EOF 的面积为S ＝12 ×4×355 ＝655 .直线与圆的位置关系(1)位置关系的判断：一般利用几何法判断，即判断圆心到直线的距离与半径的关系． (2)弦长公式：直线与圆相交时，圆的弦长l ，半径r ，弦心距d 之间满足r 2＝d 2＋l 24.题组训练三 圆与圆的位置关系1．圆x 2＋y 2－2x ＝0和圆x 2＋y 2＋4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切【解析】选C.圆x 2＋y 2－2x ＝0的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为(1，0)，半径为1，圆x 2＋y 2＋4y ＝0的标准方程为x 2＋(y ＋2)2＝4，圆心为(0，－2)，半径为 2.所以圆心距d ＝（1－0）2＋（0＋2）2 ＝ 5 <1＋2＝3，且 5 >2－1＝1，所以两圆相交． 2．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0. (1)证明圆C 1与圆C 2相切，并求过切点的两圆公切线的方程． (2)求过点(2, 3)且过C 1，C 2的切点的圆的方程．【解析】(1)把圆C 1与圆C 2都化为标准方程形式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，(x －4)2＋(y ＋2)2＝13.圆心与半径长分别为C 1(－2，2)，r 1＝13 ； C 2(4，－2)，r 2＝13 .因为|C 1C 2|＝（－2－4）2＋（2＋2）2 ＝213 ＝r 1＋r 2， 所以圆C 1与圆C 2相切．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0，两式相减得12x －8y －12＝0，即3x －2y －3＝0就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为 x 2＋y 2＋4x －4y －5＋λ(3x －2y －3)＝0.点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝43.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋43 (3x －2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋8x －203y －9＝0.1．关于两圆的位置关系一般利用代数法判断两圆的位置关系，即判断圆心距与两圆半径的和差的关系，另外注意圆的位置关系与其公切线的条数是对应的，可以利用位置关系判断公切线的条数，反之亦然．2．两圆的公共弦长将两圆的方程作差，即可得到公共弦的方程，再利用其中一个圆，构造弦长、半径、圆心距的关系求弦长．题组训练四与圆有关的最值问题1．已知点A是圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝5上一点，点B在直线l：3x－4y－8＝0上，则|AB|的最小值为( )A．3 5 B．3＋ 5 C．3－ 5 D．3【解析】选C.如图，圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝5的圆心到直线l：3x－4y－8＝0的距离d＝|－3－4－8|32＋（－4）2＝3.所以|AB|的最小值为3－ 5 .2．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3).(1)若P(a，a＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率．(2)求|MQ|的最大值和最小值．(3)若M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．【解析】(1)由点P(a，a＋1)在圆C上，可得a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，解得a＝4，所以P(4，5).所以|PQ|＝（4＋2）2＋（5－3）2＝210 ，kPQ ＝3－5－2－4＝13.(2)圆的方程变为(x－2)2＋(y－7)2＝8.所以圆心C坐标为(2，7)，半径r＝2 2 . 可得|QC|＝（2＋2）2＋（7－3）2＝4 2 ，因此|MQ|max＝4 2 ＋2 2 ＝6 2 ，|MQ|min＝4 2 －2 2 ＝2 2 .(3)可知n－3m＋2表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为：y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，则n－3m＋2＝k，由直线MQ与圆C相切时，|2k－7＋2k＋3|1＋k2＝2 2 ，可得k＝2＋ 3 或k＝2－ 3 ，所以2－ 3 ≤k≤2＋ 3 ，所以n－3m＋2的最大值为2＋ 3 ，最小值为2－ 3 .与圆有关的最值问题常见的类型(1)求圆O上一点到圆外一点P的最大、最小距离：dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r.(2)求圆上的点到与圆相离的某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmax ＝m＋r，dmin＝m－r.(3)已知某点的运动轨迹是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求yx，y－mx－n，x2＋y2等式子的最值，一般运用几何法求解．题组训练五空间中点的坐标与距离公式在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)关于yOz平面对称的点的坐标为( )A．(－3，4，5) B．(－3，－4，5)C．(3，－4，－5) D．(－3，4，－5)【解析】选A.关于yOz平面对称的点的特点为横坐标互为相反数，纵、竖坐标相同．故点P(3，4，5)关于yOz平面对称的点的坐标为(－3，4，5).求空间中坐标及两点间距离的方法及注意点(1)求空间两点间的距离：一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．(2)确定点的坐标：一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．。
人教课标版(B版)高中数学必修2拔高练习-圆的一般方程
2.3.2圆的一般方程【巩固教材——稳扎马步】1. 圆22226430x y x y ++--=的圆心坐标和半径分别为（ ）A. 319,124⎛⎫ ⎪⎝⎭－和 B .()322－C.3,122⎛⎫- ⎪⎝⎭D.3,122⎛⎫ ⎪⎝⎭－和 2.已知圆()2222210x y ax y a +--+-=（0<a <1）,则原点O 在（ ）A.圆内B.圆外C.圆上D.圆上或圆外3.方程 2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是（ ）A.a <-2或 a ＞23B.23-＜a ＜2 C.2-＜a ＜0D.2-＜a ＜23- 4.若圆M 在x 轴与y y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是（ ）A.0x y -=B.0x y +=C.022=+y xD.022=-y x【重难突破——重拳出击】5.若22(1)20x y x y λλλ++-++=表示圆，则λ的取值范围是：（ ）A.0λ>B.115λ≤≤C.1λ>或15λ< D.R λ∈ 6.在方程220x y Dx Ey F ++++=中，若224D E F =>，则圆的位置满足：（ ）A.截两坐标轴所得弦的长度相等；B.与两坐标轴都相切；C.与两坐标轴相离；D.上述情况都有可能。
7.如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是：（ ）A.1[0,]2B.[0,2]C.[0,1]D.1[0,]28.圆22420x y x y F +-++=与y 轴交于A .B 两点，圆心为C ，若2ACB π∠=，则F 的值等于：（ ）A.-B.C.3D.－39.已知曲线220x y Dx Ey F +-+-=(224D E F +-＞0)关于直线0x y +=对称，则（ ）A.0D E -=B.0D E +=C.0D F +=D.0D E F ++=10.两圆222430x y x y ++-+=与224230x y x y +-++=上的点的最短距离是（ ）A. C.2 11.曲线x 2+y 2+22x －22y =0关于（ ）A.直线x =2轴对称B.直线y =－x 轴对称C.点（－2，2）中心对称D.点（－2，0）中心对称 12.对于任意实数k ，方程()022222=--+++k y k kx y x 所表示的曲线恒过定点（ ） A.32()55-， ,()20， B.42()55， ,()20， C.42()55， ,()02， C.42()55，- ,()02， 【巩固提高——登峰揽月】13.已知圆的方程为：22220x y ax y a ++++=，一定点(1,2)A ，要使过定点(1,2)A 作圆的切线有两条，求a 的取值范围。
高中数学 第四章 4.1.2 圆的一般方程课时提升卷(含解析)新人教A版必修2
圆的一般方程（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是( )A.一个点B.一个圆C.一条直线D.不存在2.(2013·吉安高二检测)圆的方程为(x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0,则圆心坐标为( ) A.(1,-1) B.(,-1)C.(-1,2)D.(-,-1)3.设A,B是直线3x+4y+2=0与圆x2+y2+4y=0的两个交点,则线段AB的垂直平分线的方程是( )A.4x-3y-2=0B.4x-3y-6=0C.3x+4y+6=0D.3x+4y+8=04.(2013·大同高二检测)设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,则P点的轨迹方程是( )A.(x-1)2+y2=4B.(x-1)2+y2=2C.y2=2xD.y2=-2x5.(2013·成都高二检测)直线l把圆x2+y2-4y=0的面积平分,则它被这个圆截得的弦长为( )A.8B.2C.2D.4二、填空题(每小题8分,共24分)6.圆C:x2+y2+2x-2y-2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是.7.由方程x2+y2+x+(m-1)y+m2=0所确定的圆中,最大面积是.8.关于方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆,下列叙述中:①圆心在直线y=-x上;②其圆心在x轴上;③过原点;④半径为 a.其中叙述正确的是(要求写出所有正确的序号).三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·宿州高二检测)已知方程x2+y2+2(m+3)x-2(2m-1)y+5m2+2=0(m∈R)表示一个圆.(1)求m的取值范围.(2)求该圆半径r的取值范围.10.点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点的轨迹方程.(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点的轨迹方程.11.(能力挑战题)已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,及点Q(-2,3).(1)P(a,a+1)在圆上,求线段PQ的长及直线PQ的斜率.(2)若M为圆C上任一点,求|MQ|的最大值和最小值.答案解析1.【解析】选A.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0,可化为x2+y2-2x+4y+5=0,即(x-1)2+(y+2)2=0,所以方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示点(1,-2).2.【解析】选D.圆的方程(x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0可化为x2+y2+x+2y-10=0,所以圆心坐标为(-,-1).3.【解析】选B.将x2+y2+4y=0化为x2+(y+2)2=4.可知圆心的坐标为(0,-2).又由题意知,所求直线与已知直线AB垂直,故其斜率k=,从而所求直线方程为y+2=x,即4x-3y-6=0.4.【解题指南】由于切线长、半径和点P到圆心的距离构成直角三角形,故可利用勾股定理求解.【解析】选B.由题意知,圆心(1,0)到P点的距离为,所以点P在以(1,0)为圆心,以为半径的圆上,所以点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2,故选B.5.【解析】选D.将圆的方程化为x2+(y-2)2=4,其半径为2,由题意知,直线l过圆心,此时被截得的弦为直径,长为4.【变式备选】(2013·绍兴高二检测)如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)关于直线y=x对称,则有( )A.D+E=0B.D=EC.D=FD.E=F【解析】选B.由圆的对称性知,圆心在直线y=x上,故有-=-,即D=E.6.【解析】因为圆心坐标为(-1,1),所以圆心到直线3x+4y+14=0的距离为=3.答案:37.【解析】所给圆的半径长为r==.所以当m=-1时,半径r取最大值,此时最大面积是.答案:8.【解析】将圆的方程化为标准方程可知圆心为(-a,a),半径为|a|,故①③正确.答案:①③9.【解析】(1)依题意:4(m+3)2+4(2m-1)2-4(5m2+2)>0,即8m+32>0,解得:m>-4,所以m的取值范围是(-4,+∞).(2)r===>0,所以该圆半径取值范围为r>0.10.【解析】(1)设线段AP的中点为M(x,y),由中点公式得点P坐标为P(2x-2,2y).因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设线段PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.11.【解析】(1)因为点P(a,a+1)在圆上,所以a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0,所以a=4,P(4,5),所以|PQ|==2,k PQ==.(2)因为圆心C坐标为(2,7),所以|QC|==4,圆的半径是2,点Q在圆外,所以|MQ|max=4+2=6,|MQ|min=4-2=2.【拓展提升】解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合,根据圆的知识探求最值时的位置关系,解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面:(1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.(2)研究图形的形状、位置关系、性质等.。
人教新课标版数学高一B版必修2优化训练 2.3.2 圆的一般方程
1．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 满足的条件是( )A ．m <12 B ．m <10C ．m >12D ．m ≤12解析：选A.由D 2＋E 2－4F ＝1＋1－4m >0，得m <12.2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)表示的曲线关于直线y ＝x 对称，那么必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F 答案：A3．已知圆C ：x 2＋y 2＋2Dx ＋2Ey ＋D 2＝0，下面给出的点中一定位于圆C 外的是( ) A ．(0,0) B ．(1,0) C ．(D ，－E ) D ．(D ，E ) 答案：D 4．已知圆x 2－4x －4＋y 2＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是________．解析：由x 2－4x －4＋y 2＝0得(x －2)2＋y 2＝8，即圆心为P (2,0)，故P 到直线x －y －1＝0的距离为|2－1|2＝22.答案：225．若直线4ax －3by ＋6＝0(a ，b ∈R )始终平分圆x 2＋y 2＋6x －8y ＋1＝0的周长，则a ，b 满足的条件是________．答案：2a ＋2b －1＝01．已知圆的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3,2)( ) A ．在圆心 B ．在圆上 C ．在圆内D ．在圆外解析：选C.∵(3－2)2＋(2－3)2＝2<4， ∴点P 在圆内．2．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称C ．关于直线x －y ＝0对称D ．关于直线x ＋y ＝0对称解析：选 D.圆的方程化为(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2，圆心(－a ，a )．由圆心坐标易知圆心在x ＋y ＝0上，∴圆关于x ＋y ＝0对称．3．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形是( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b ) D ．点(－a ，－b ) 解析：选D.由题意配方得(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，所以方程表示点(－a ，－b )．4．设A 、B 是直线3x ＋4y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＋4y ＝0的两个交点，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．4x －3y －2＝0B ．4x －3y －6＝0C ．3x ＋4y ＋6＝0D ．3x ＋4y ＋8＝0 解析：选B.此题实际上是求过圆心(0，－2)且与直线3x ＋4y ＋2＝0垂直的直线方程，即y ＋2＝43x ，整理，得4x －3y －6＝0.5．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x解析：选B.由题意知，圆心(1,0)到P 点的距离为2，所以点P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2，故选B.6．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析：选C.圆心为(2,2)， 则圆心到直线距离为d ＝|2＋2－14|2＝52，R ＝3 2.∴圆上点到直线的距离最大值为d ＋R ＝82，最小值为d －R ＝2 2.∴(d ＋R )－(d －R )＝82－22＝6 2.故选C.7．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是________．解析：所给圆的半径长为r ＝1＋(m －1)2－2m 22＝12－(m ＋1)2＋3.所以当m ＝－1时，半径r 取最大值32，此时最大面积是3π4.答案：3π48．圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外有一点P (x 0，y 0)，由点P 向圆引切线，则切线的长为________．解析：易知圆心坐标为C (－D 2，－E2)，半径r ＝D 2＋E 2－4F2.设切线长为d ，则有d 2＋r 2＝PC 2，故d 2＝PC 2－r 2＝(x 0＋D 2)2＋(y 0＋E 2)2－D 2＋E 2－4F 4＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ， 即d ＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F . 答案：x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F9．若直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是________．解析：由题意知，l 过圆心(1,2)，又不过第四象限，结合图形知0≤k ≤2.答案：10．已知A (3,5)，B (－1,3)，C (－3,1)为△ABC 的三个顶点，O 、M 、N 分别为边AB 、BC 、CA 的中点，求△OMN 的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径．解：∵点O 、M 、N 分别为AB 、BC 、CA 的中点且A (3,5)，B (－1,3)，C (－3,1)， ∴O (1,4)，M (－2,2)，N (0,3)． ∵所求圆经过点O 、M 、N ，∴法一：设△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 把点O 、M 、N 的坐标分别代入圆的方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧12＋42＋D ＋4E ＋F ＝0(－2)2＋22－2D ＋2E ＋F ＝002＋32＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝7E ＝－15F ＝36.∴△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，圆心为⎝⎛⎭⎫－72，152，半径r ＝12130. 法二：设△OMN 外接圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 把点O 、M 、N 的坐标分别代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(4－b )2＝r 2(－2－a )2＋(2－b )2＝r 2(0－a )2＋(3－b )2＝r2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－72b ＝152r 2＝652.∴△OMN 外接圆的方程为(x ＋72)2＋(y －152)2＝652，圆心为(－72，152)，半径r ＝12130.11．等腰三角形ABC 的底边一个端点B (1，－3)，顶点A (0,6)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．解：由题意得|CA |＝|AB |，则点C 到定点A 的距离等于定长|AB |， 所以C 的轨迹是圆． 又|AB |＝(1－0)2＋(－3－6)2＝82，∴C 的轨迹方程为x 2＋(y －6)2＝82(除去点(－1,15)和点(1，－3))，即C 的轨迹形状是以点A (0,6)为圆心，半径为82的圆，除去点(－1,15)和(1，－3)． 12．已知Rt △AOB 中，|OB |＝3，|AB |＝5，点P 是△AOB 内切圆上一点，求以|PA |、|PB |、|PO |为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值．解：如图，建立直角坐标系，使A ，B ，O 三点的坐标分别为A (4,0)、B (0,3)、O (0,0)．设内切圆半径为r ，则有2r ＋|AB |＝|OA |＋|OB |，∴r ＝1. 故内切圆的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝1， 化简为x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0.①又∵|PA |2＋|PB |2＋|PO |2＝(x －4)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＋x 2＋y 2＝3x 2＋3y 2－8x －6y ＋25.② 由①可知x 2＋y 2－2y ＝2x －1，将其代入②，则有|PA |2＋|PB |2＋|PO |2＝3(2x －1)－8x ＋25＝－2x ＋22.∵x ∈，故|PA |2＋|PB |2＋|PO |2的最大值为22，最小值为18，三个圆面积之和为π⎝⎛⎭⎫|PA |22＋π⎝⎛⎭⎫|PB |22＋π⎝⎛⎭⎫|PO |22＝π4(|PA |2＋|PB |2＋|PO |2)，π4×22＝11π2，π4×18＝92π，∴所求面积的最大值为11π2，最小值为9π2.。
高一数学(人教A版)必修2能力强化提升：4-1-2 圆的一般方程.doc
一、选择题1．两圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和x 2＋y 2－6x ＝0的圆心连线方程为( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0[答案] C[解析] 两圆的圆心分别为(2，－3)、(3,0)，直线方程为y ＝0＋33－2(x －3)即3x －y －9＝0，故选C.2．若方程x 2＋y 2＋(λ－1)x ＋2λy ＋λ＝0表示圆，则λ的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 C ．(1，＋∞)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15 D ．R[答案] C[解析] D 2＋E 2－4F ＝(λ－1)2＋4λ2－4λ>0解不等式得λ<15或λ>1，故选C.3．过三点A (－1,5)，B (5,5)，C (6，－2)的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋4x －2y －20＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0C ．x 2＋y 2－4x －2y －20＝0D ．x 2＋y 2＋4x ＋4y －20＝0[答案] C[解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，分别代入(－1,5)，(5,5)(6，－2)得⎩⎪⎨⎪⎧ －D ＋5E ＋F ＝－265D ＋5E ＋F ＝－506D －2E ＋F ＝－40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4E ＝－2F ＝－20故选C.4．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线是以(－2,3)为圆心，4为半径的圆，则D 、E 、F 的值分别为( )A ．4，－6,3B ．－4,6,3C ．－4,6，－3D ．4，－6，－3 [答案] D[解析] 圆心为(－D 2，－E 2)，∴－D 2＝－2，－E 2＝3，∴D ＝4，E ＝－6，又R ＝12D 2＋E 2－4F 代入算得F ＝－3.5．与圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0同圆心，且过(1，－1)的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＋6y －8＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0C ．x 2＋y 2＋4x －6y －8＝0D ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋8＝0[答案] B[解析] 圆心为(2，－3)，半径R ＝(2－1)2＋(－3＋1)2＝ 5.6．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．F ＝ED ．D ＝E ＝F[答案] A[解析] 圆心(－D 2，－E 2)在直线y ＝x 上，所以D ＝E ，故选A.7．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0[答案] C[解析] 令a ＝0，a ＝1，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋1＝0，－y ＋2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以定点C 的坐标为(－1,2)． 则圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.8．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A. 5B ．5C ．2 5D ．10[答案] B[解析] 由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.二、填空题 9．圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为________．[答案] x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0[解析] 只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．10．圆x 2＋2x ＋y 2＝0关于y 轴对称的圆的一般方程是________．[答案] x 2＋y 2－2x ＝0[解析] 已知圆的圆心为C (－1,0)，半径r ＝1，点C 关于y 轴的对称点为C ′(1,0)，则已知圆关于y 轴对称的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.11．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是________．[答案] x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0[解析] 设M (x ，y )，A (2，－1)，则P (2x －2,2y ＋1)，将P 代入圆方程得：(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.12．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.[答案] －2[解析] 由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心，∴－1＋a 2＋2＝0，∴a ＝－2.三、解答题13．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．[分析] 本题可直接利用D 2＋E 2－4F >0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．[解析] 解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，因此，当m ＝2时，D 2＋E 2－4F ＝0，它表示一个点，当m ≠2时，D 2＋E 2－4F >0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m－2|.解法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点，当m ≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|.规律总结：(1)形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D 2＋E 2－4F 是否为正．若D 2＋E 2－4F >0，则方程表示圆，否则不表示圆．②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．(2)在书写本题结果时，易出现r ＝5(m －2)的错误结果，导致这种错误的原因是没有理解对一个数开偶次方根的结果为非负数．14．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．[分析] 根据圆心、半径满足的条件列出关系式，从而求出参数D 与E 的值．[解析] 圆心C (－E 2，－E 2)，∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2， ①又r ＝D 2＋E 2－122＝2， ∴D 2＋E 2＝20， ②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2. 又圆心在第二象限，∴－D 2<0即D >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2E ＝－4，∴圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.规律总结：在求解过程中，要注意圆心在第二象限这一限定条件，避免增解．15．自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①点A (4,0)是定圆外一点；②过A 的直线交圆于B ，C 两点．解答本题可先设出动点P 的坐标(x ，y )，然后由圆的几何性质知OP ⊥BC ，再利用k OP ·k AP ＝－1，求出P (x ，y )满足的方程．也可由圆的几何性质直接得出动点P 与定点M (2,0)的距离恒等于定长2，然后由圆的定义直接写出P 点的轨迹方程．[解析] 方法一：(直接法)设P (x ，y )，连接OP ，则OP ⊥BC ，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·y x －4＝－1， 即x 2＋y 2－4x ＝0. ①当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．方法二：(定义法)由方法一知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝12|OA |＝2，由圆的定义知，P 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内的部分)． 规律总结：针对这个类型的题目，常用的方法有(1)直接法，(2)定义法，(3)代入法，其中直接法是求曲线方程最重要的方法，它可分五个步骤：①建系，②找出动点M 满足的条件，③用坐标表示此条件，④化简，⑤验证；定义法是指动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后据定义直接写出动点的轨迹方程；代入法，它用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可．16．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．[解析] 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)，代入圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0， ①2D ＋6E －F －40＝0. ② 设圆在x 轴上的截距为x 1、x 2，它们是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D .设圆在y 轴上的截距为y 1、y 2，它们是方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两个根，得y 1＋y 2＝－E .由已知，得－D ＋(－E )＝－2，即D ＋E －2＝0. ③由①②③联立解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.规律总结：在涉及圆的方程中，若已知圆心和半径之一，设标准方程较方便；若已知圆过定点，则设一般方程较方便．。
2018人教A版数学必修二 《 4-1-2 《圆的一般方程》能力强化提升
2018高中数学 4-1-2 圆的一般方程能力强化提升 新人教A 版必修2一、选择题1．两圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和x 2＋y 2－6x ＝0的圆心连线方程为( ) A ．x ＋y ＋3＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．3x －y －9＝0 D ．4x －3y ＋7＝0[答案] C[解析] 两圆的圆心分别为(2，－3)、(3,0)，直线方程为y ＝0＋33－2(x －3)即3x －y －9＝0，故选C.2．若方程x 2＋y 2＋(λ－1)x ＋2λy ＋λ＝0表示圆，则λ的取值范围是( ) A ．(0，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 C ．(1，＋∞)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15 D ．R [答案] C[解析] D 2＋E 2－4F ＝(λ－1)2＋4λ2－4λ>0 解不等式得λ<15或λ>1，故选C.3．过三点A (－1,5)，B (5,5)，C (6，－2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋4x －2y －20＝0 B ．x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0 C ．x 2＋y 2－4x －2y －20＝0 D ．x 2＋y 2＋4x ＋4y －20＝0 [答案] C[解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 分别代入(－1,5)，(5,5)(6，－2)得 ⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＝－265D ＋5E ＋F ＝－506D －2E ＋F ＝－40，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4E ＝－2F ＝－20故选C.4．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线是以(－2,3)为圆心，4为半径的圆，则D 、E 、F 的值分别为( )A ．4，－6,3B ．－4,6,3C ．－4,6，－3D ．4，－6，－3[答案] D[解析] 圆心为(－D 2，－E 2)，∴－D 2＝－2，－E2＝3，∴D ＝4，E ＝－6，又R ＝12D 2＋E 2－4F 代入算得F ＝－3.5．与圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0同圆心，且过(1，－1)的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2－4x ＋6y －8＝0 B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0 C ．x 2＋y 2＋4x －6y －8＝0 D ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋8＝0 [答案] B[解析] 圆心为(2，－3)， 半径R ＝－2＋－3＋2＝ 5.6．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．F ＝ED ．D ＝E ＝F[答案] A[解析] 圆心(－D 2，－E2)在直线y ＝x 上，所以D ＝E ，故选A.7．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0 [答案] C[解析] 令a ＝0，a ＝1，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，－y ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以定点C 的坐标为(－1,2)．则圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5， 即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.8．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．10[答案] B[解析] 由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)， 则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5， 所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5. 二、填空题9．圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为________． [答案] x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0[解析] 只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程． 10．圆x 2＋2x ＋y 2＝0关于y 轴对称的圆的一般方程是________． [答案] x 2＋y 2－2x ＝0[解析] 已知圆的圆心为C (－1,0)，半径r ＝1，点C 关于y 轴的对称点为C ′(1,0)，则已知圆关于y 轴对称的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.11．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中点M 的轨迹方程是________．[答案] x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0[解析] 设M (x ，y )，A (2，－1)，则P (2x －2,2y ＋1)，将P 代入圆方程得：(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.12．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.[答案] －2[解析] 由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心， ∴－1＋a2＋2＝0，∴a ＝－2.三、解答题13．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．[分析] 本题可直接利用D 2＋E 2－4F >0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．[解析] 解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，因此，当m ＝2时，D 2＋E 2－4F ＝0，它表示一个点，当m ≠2时，D 2＋E 2－4F >0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|. 解法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点，当m ≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|.规律总结：(1)形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D 2＋E 2－4F 是否为正．若D 2＋E 2－4F >0，则方程表示圆，否则不表示圆．②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．(2)在书写本题结果时，易出现r ＝5(m －2)的错误结果，导致这种错误的原因是没有理解对一个数开偶次方根的结果为非负数．14．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．[分析] 根据圆心、半径满足的条件列出关系式，从而求出参数D 与E 的值． [解析] 圆心C (－E 2，－E2)，∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E2－1＝0，即D ＋E ＝－2， ①又r ＝D 2＋E 2－122＝2，∴D 2＋E 2＝20， ②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又圆心在第二象限，∴－D2<0即D >0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2E ＝－4，∴圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.规律总结：在求解过程中，要注意圆心在第二象限这一限定条件，避免增解． 15．自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程． [分析] 由题目可获取以下主要信息：①点A (4,0)是定圆外一点； ②过A 的直线交圆于B ，C 两点．解答本题可先设出动点P 的坐标(x ，y )，然后由圆的几何性质知OP ⊥BC ，再利用k OP ·k AP＝－1，求出P (x ，y )满足的方程．也可由圆的几何性质直接得出动点P 与定点M (2,0)的距离恒等于定长2，然后由圆的定义直接写出P 点的轨迹方程．[解析] 方法一：(直接法) 设P (x ，y )，连接OP ，则OP ⊥BC ， 当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·yx －4＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0. ①当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)． 方法二：(定义法)由方法一知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝12|OA |＝2，由圆的定义知，P 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内的部分)．规律总结：针对这个类型的题目，常用的方法有(1)直接法，(2)定义法，(3)代入法，其中直接法是求曲线方程最重要的方法，它可分五个步骤：①建系，②找出动点M 满足的条件，③用坐标表示此条件，④化简，⑤验证；定义法是指动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后据定义直接写出动点的轨迹方程；代入法，它用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可．16．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．[解析] 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)，代入圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0， ①2D ＋6E －F －40＝0. ②设圆在x 轴上的截距为x 1、x 2，它们是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D .设圆在y 轴上的截距为y 1、y 2，它们是方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两个根，得y 1＋y 2＝－E .由已知，得－D ＋(－E )＝－2，即D ＋E －2＝0. ③由①②③联立解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.规律总结：在涉及圆的方程中，若已知圆心和半径之一，设标准方程较方便；若已知圆过定点，则设一般方程较方便．。
高一数学(人教A版)必修2能力强化提升：4-1-1 圆的标准方程
一、选择题1．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为()A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4B．(x＋2)2＋(y－1)2＝4C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16[答案] C2．一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为()A．(1,0)，4 B．(－1,0)，2 2C．(0,1)，4 D．(0，－1)，2 2[答案] D3．方程(x－a)2＋(y－b)2＝0表示的图形是()A．以(a，b)为圆心的圆B．以(－a，－b)为圆心的圆C．点(a，b)D．点(－a，－b)[答案] C4．圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝4的面积等于()A．π B．2πC．4π D．8π[答案] C[解析]半径r＝4＝2，则面积S＝πr2＝4π.5．(2012～2013·安徽“江南十校”高三联考)若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0[答案] D[解析] 圆心C (3,0)，k PC ＝－12，又点P 是弦MN 的中点，∴PC ⊥MN ，∴k MN k PC ＝－1，∴k MN ＝2，∴弦MN 所在直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.6．已知A (－4，－5)、B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝116 [答案] B[解析] 圆心为AB 的中点(1，－3)，半径为|AB |2＝12(6＋4)2＋(－1＋5)2＝29，故选B.7．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离是( ) A.12 B.32 C ．1 D. 3[答案] A[解析] 先求得圆心坐标(1,0)，再依据点到直线的距离公式求得A答案．8．方程y＝9－x2表示的曲线是()A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆[答案] D[解析]方程y＝9－x2可化为x2＋y2＝9(y≥0)，所以方程y＝9－x2表示圆x2＋y2＝9位于x轴上方的部分，是半个圆．二、填空题9．圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则a、b、r满足的关系式为________．[答案]a2＋b2＝r2[解析]代入(0,0)得a2＋b2＝r2.10．圆C：(x＋4)2＋(y－3)2＝9的圆心C到直线4x＋3y－1＝0的距离等于________．[答案]8 5[解析]C(－4,3)，则d＝|－16＋9－1|42＋32＝85.11．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是________．[答案](x－2)2＋(y＋1)2＝1[解析]圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(－2,1)，半径r＝1，则点M关于原点的对称点为C(2，－1)，圆C的半径也为1，则圆C 的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.12．以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为__________．[答案] x 2＋(y －4)2＝20或(x －2)2＋y 2＝20 [解析] 令x ＝0得y ＝4，令y ＝0得x ＝2，∴直线与两轴交点坐标为A (0,4)和B (2,0)，以A 为圆心过B 的圆方程为x 2＋(y －4)2＝20，以B 为圆心过A 的圆方程为(x －2)2＋y 2＝20. 三、解答题13．求过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心C 在直线x ＋y －2＝0上的圆的标准方程．[解析] AB 的中垂线方程是x －y ＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即圆心C (1,1)，则半径r ＝|AC |＝2，所以圆的标准方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4.14．圆过点A (1，－2)，B (－1,4)，求 (1)周长最小的圆的方程；(2)圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．[解析] (1)当AB 为直径时，过A 、B 的圆的半径最小，从而周长最小．即AB 中点(0,1)为圆心，半径r ＝12|AB |＝10.则圆的方程为：x 2＋(y －1)2＝10.(2)解法1：AB 的斜率为k ＝－3，则AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x .即x －3y ＋3＝0由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0. 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.即圆心坐标是C (3,2)．r ＝|AC |＝(3－1)2＋(2＋2)2＝2 5. ∴圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20. 解法2：待定系数法设圆的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.则⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－2－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(4－b )2＝r 2，2a －b －4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，r 2＝20.∴圆的方程为：(x －3)2＋(y －2)2＝20.[点评] ∵圆心在直线2x －y －4＝0上，故可设圆心坐标为C (x 0,2x 0－4)，∵A ，B 在圆上，∴|CA |＝|CB |可求x 0，即可求得圆的方程，自己再用此思路解答一下．15．(2012～2013·台州高一检测)已知圆N 的标准方程为 (x －5)2＋(y －6)2＝a 2(a >0)． (1)若点M (6,9)在圆上，求a 的值；(2)已知点P (3,3)和点Q (5,3)，线段PQ (不含端点)与圆N 有且只有一个公共点，求a 的取值范围．[解析] (1)因为点M 在圆上， 所以(6－5)2＋(9－6)2＝a 2， 又由a >0，可得a ＝10； (2)由两点间距离公式可得 |PN |＝(3－5)2＋(3－6)2＝13， |QN |＝(5－5)2＋(3－6)2＝3，因为线段PQ 与圆有且只有一个公共点，即P 、Q 两点一个在圆内、另一个在圆外，由于3<13，所以3<a <13.即a 的取值范围是(3，13)．16．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在的直线上．(1)求AD 边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD 外接圆的方程．[解析] (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为－3.又因为点T (－1,1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，解得点A 的坐标为(0，－2)．因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)． 所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心． 又|AM |＝(2－0)2＋(0＋2)2＝22，从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.。
最新人教版高中数学必修2第四章《圆的方程》优化训练
第四章 圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程4.1.2 圆的一般方程5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.若方程x 2+y 2-x+y+m=0表示圆，则实数m 的取值范围是( )A.m ＜21 B.m ＜10 C.m ＞21 D.m≤21 解析:12+12-4m ＞0⇒m ＜21. 答案：A2.(2006上海高考,理)已知圆x 2-4x-4+y 2=0的圆心是点P ，则点P 到直线x-y-1=0的距离是______________．解析:由x 2-4x-4+y 2=0,得(x-2)2+y 2=8,即圆心为(2,0).根据点到直线的距离公式可得222|12|=-. 答案：22 3.圆心为C(-3,4),半径长是5的圆的方程是______________.解析:所求圆的方程为(x+3)2+(y-4)2=5.答案：(x+3)2+(y-4)2=510分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2=1的内部，则实数a 的取值范围是( )A.｜a ｜＜1B.｜a ｜＜51 C.｜a ｜＜121 D.｜a ｜＜131 解析:当点P 在圆的内部时，有点P 到圆心的距离小于该圆的半径，即有(5a)2+(12a)2＜1⇒a 2＜131||1312<⇒a . 答案：D2.已知圆的方程是x 2+y 2-2x+6y+8=0，则通过圆心的一条直线方程是( )A.2x-y-1=0B.2x+y+1=0C.2x-y+1=0D.2x+y-1=0解析:由圆的一般方程x 2+y 2-2x+6y+8=0,得标准方程为(x-1)2+(y+3)2=2，即圆心为(1,-3)，代入选项可得答案为B.答案：B3.过点P(-8,-1)、Q(5,12)、R(17,4)三点的圆的圆心坐标是( )A.(5,1)B.(4,-1)C.(5,-1)D.(-5,-1)解析:三角形外接圆的圆心为各边中垂线的交点.求得PQ 的中垂线的方程为x+y-4=0，ＰＲ的中垂线的方程为5x+y-24=0，解得两条直线的交点为(5,-1)，即圆心为(5,-1).答案：C4.已知圆心为C(8,-3)，圆上有一点为A(5,1)，则该圆的标准方程为________________. 解析:由题意知圆的半径为5，根据圆的定义知所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25. 答案：(x-8)2+(y+3)2=255.动圆x 2+y 2-6mx-2(m-1)y+10m 2-2m-24=0的圆心轨迹方程是_________________. 解析:圆的方程可化为(x-3m)2+［y-(m-1)］2=25.不论m 取何实数,方程都表示圆.设动圆圆心为(x 0,y 0),则⎩⎨⎧-==.1,300m y m x 消去参变量m,得x 0-3y 0-3=0,即动圆圆心的方程为x-3y-3=0.答案：x-3y-3=030分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.（经典回放）圆（x-1）2+y 2=1的圆心到直线y=x 33的距离是( ) A.21 B.23 C.1 D.3 解析:先解得圆心的坐标为（1，0），再依据点到直线距离的公式求得A 答案．答案：A2.过点C(-1,1)和D(1,3)，圆心在x 轴上的圆的方程是( )A.x 2+(y-2)2=10B.x 2+(y+2)2=10C.(x+2)2+y 2=10D.(x-2)2+y 2=10解析:依据题意知圆心为CD 的垂直平分线与x 轴的交点.由已知可得CD 的垂直平分线的方程为x+y-2=0，即圆心为(2,0)，所以半径为101)12(2=++，故所求圆的方程为(x-2)2+y 2=10.答案：D3.若两直线y=x+2k 与y=2x+k+1的交点P 在圆x 2+y 2=4的内部，则k 的范围是( ) A.51-＜k ＜-1 B.51-＜k ＜1 C.31-＜k ＜1 D.-2＜k ＜2 解析:两直线y=x+2k 与y=2x+k+1的交点P 的坐标为(k-1,3k-1)，依据圆的定义，当点P 在圆的内部时，有点P 到圆心的距离小于该圆的半径，即(k-1)2+(3k-1)2＜4⇒5k 2-4k-1＜0⇒51-＜k ＜1.答案：B4.已知圆C 与圆(x-1)2+y 2=1关于直线y=-x 对称，则圆C 的方程为( )A.(x+1)2+y 2=1B.x 2+y 2=1C.x 2+(y+1)2=1D.x 2+(y-1)2=1解析:已知圆的圆心为（1,0），半径为1.由题意知,所求圆的圆心为（0，-1），半径为1，即所求圆的方程为x 2+(y+1)2=1.答案：C5.已知圆的方程为x 2+y 2-2by-2b 2=0，则该圆的半径r=_______________.解析:将圆的一般方程x 2+y 2-2by-2b 2=0化为标准方程,得x 2+(y-b)2=3b 2,即该圆的半径为3｜b ｜. 答案：3｜b ｜6.过点A(3,1)和B(1,3)，圆心在直线2x-y=0上的圆的方程为________________.解析:根据圆的几何性质，圆心除了在已知直线2x-y=0上，还在线段AB 的垂直平分线y=x 上，容易求出圆心是(0,0)，故圆的方程为x 2+y 2=10.答案：x 2+y 2=107.直线y=x-1上的点到圆x 2+y 2+4x-2y+4=0的最近距离是_______________.解析:圆的标准方程及点到直线的距离公式.圆x 2+y 2+4x-2y+4=0⇒ (x+2)2+(y-1)2=1，圆心为(-2,1)，半径是1.圆心到直线的距离是22，故所求的最近距离是122-. 答案：122-8.若实数x 、y 满足方程x 2+y 2+8x-6y+16=0，则x 2+y 2的最大值是_______________.解析:x 2+y 2+8x-6y+16=0⇒(x+4)2+(y-3)2=9，表示以（-4，3）为圆心，以3为半径的圆；x 2+y 2表示点P(x,y)到原点的距离的平方.由圆心（-4，3）到原点的距离为5知点P(x,y)到原点距离的最大值为8，故x 2+y 2的最大值是64.答案：649.已知圆的方程x 2+y 2-8x-ky+k 2=0，一定点为(1,2)，要使过点(1,2)所作该圆的切线有两条，求k 的取值范围．解：把圆的方程化为标准形式,得(x-4)2+(y-2k )2=16+43164222k k k -=-. 由圆的性质,知点(1,2)在此圆的外部，即⎪⎩⎪⎨⎧>-<<<-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->-+.31,338338.04316,4316)22(9222k k k k k k 或解得 故k ∈(1,338--)∪(338,3). 10.设AB 是圆x 2+y 2=1的一条直径，以AB 为直角边、B 为直角顶点,逆时针方向作等腰Rt △ABC.当AB 变动时，求C 点的轨迹.解：设C(x,y)、B(x 0,y 0),当x 0、y 0≠0时，则(x-x 0)2+(y-y 0)2=4，10000-=∙--x y x x y y ，由x 02+y 02=1消去x 0、y 0得轨迹方程x 2+y 2=5.显然当x 0=0或y 0=0时，方程也适合.故C 点的轨迹为以原点为圆心，以5为半径的圆.。
高中数学 4.1.2 圆的一般方程能力提升(含解析)新人教A
【优化方案】2013-2014学年高中数学 4.1.2 圆的一般方程能力提升（含解析）新人教A 版必修21．若使圆x 2＋y 2＋2x ＋ay －a －12＝0(a 为实数)的面积最小，则a ＝________. 解析：由已知得圆的半径：r ＝12 22＋a 2－4(－a －12) ＝12 4＋a 2＋4a ＋48＝12 (a ＋2)2＋48， ∴当a ＝－2时，r min ＝1248＝23， 即此时圆的面积最小．答案：－22．已知圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0，则x 2＋y 2的最大值是________．解析：圆的方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心坐标是(2,0)，半径为1.由于x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )到原点的距离，故其最大值为2＋1＝3，从而x 2＋y 2的最大值是9. 答案：93．(1)已知点M 与两个定点A (4,2)、B (－2,6)的距离的比值为1，探求点M 的轨迹，然后求出它的方程；(2)已知点M 与两个定点A (4,2)、B (－2,6)的距离的比值为12时，M 点的轨迹又是什么？求出它的方程．解：设M (x ，y )，(1)因为点M 与两个定点A (4,2)、B (－2,6)的距离的比值为1，所以(x －4)2＋(y －2)2(x ＋2)2＋(y －6)2＝1，化简得3x －2y ＋5＝0，所以M 的轨迹是直线，它的方程是3x －2y ＋5＝0.(2)因为点M 与两个定点A (4,2)、B (－2,6)的距离的比值为12， 所以(x －4)2＋(y －2)2(x ＋2)2＋(y －6)2＝12， 化简得(x －6)2＋(y －23)2＝2089， 故此时M 的轨迹是以(6，23)为圆心， 半径为4313的圆， 它的方程是(x －6)2＋(y －23)2＝2089. 4．已知圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0，在圆上求一点M 使它到点P (1,1)的距离最大？圆上哪一点到P 点的距离最小呢？解：如图所示，将方程配方得(x －4)2＋(y －1)2＝5，方程表示以(4,1)为圆心，5为半径的圆．根据图形可知连接PO1并延长分别交圆于N、M两点，显然|PM|为圆上的点和P点连线的距离的最大值，即|PM|＝|PO1|＋R＝(4－1)2＋(1－1)2＋5＝3＋5，N点为圆上的点和P点连线的距离最小的点，由图形知N点纵坐标为1，故令圆的方程中y＝1，得(x－4)2＝5.解得x1＝4＋5，x2＝4－ 5.故点M(4＋5，1)为圆上到点P距离最大的点，点N(4－5，1)为圆上到点P距离最小的点．。
人教版高中数学必修二成长训练：4.1圆的方程
主动成长历基达标2t 21t 21.点 P( 1 , 2 ) 与圆 x 2+y 2=1 的地点关系是 ()t1 tA. 在圆内B.在圆外C.在圆上D.与 t 的值相关分析： ( 2t2 )21 t2 ) 21(2.1 t1 t∴P 在圆 x 2+y 2=1 上 答案： C2.方程 x(x 2+y 2-1)=0 和 x 2+(x 2+y 2-4)2 =0，它们表示的图形 ( )A. 都是两个点B.是一条直线和一个圆C.前者表示两个点，后者是一条直线和一个圆D.前者是一条直线和一个圆，后者表示两个点分析： 前者变形为 x=0 或 x 2+y 2-1=0.后者变成x 2 0x2y24答案： D3.已知动点 M 到定点 (8，0)的距离等于 M 到(2，0)的距离的 2 倍，那么点 M 的轨迹方程是 ()A.x 2+y 2=32B.x 2 +y 2=16C.(x-1) 2+y 2=16D.x 2+(y-1) 2=16分析： 设 M(x,y), 则 ( x 8)2y 22 ( x 2)2 y 2 ,整理得 x 2 +y 2=16.答案： B4.过点 C(-1 ， 1)和 D(1 ， 3)，圆心在 x 轴上的圆的方程是 ()A.x 2+(y-2) 2=10B.x 2 +(y+2) 2=10C.(x+2) 2 +y 2=10D.(x-2) 2+y 2=10分析： 线段 CD 的垂直均分线方程为 y-2=-x, 即为 y=-x+2. 令 y=0，得 x=2，即圆心为 (2， 0).由两点间的距离公式，得r1 3210 .∴合适题意的圆的方程为 (x-2) 2+y 2=10. 答案： D5.若圆 C 与圆 (x+2) 2+(y-1) 2=1 对于原点对称，则圆 C 的方程是()A.(x-2) 2+(y+1) 2 =1B.(x-2) 2+(y-1) 2=1C.(x-1) 2+(y+2) 2=122D.(x+1) +(y-2) =1分析：圆C 与圆 (x+2) 2+(y-1) 2=1 对于原点对称，则圆心C(2 ， -1) ，故圆 C 的方程为(x-2) 2+(y+1) 2=1. 答案： A6.已知圆 C 的方程为 f(x ， y)=0，点 A(x 0， y 0)是圆外的一点，那么方程f(x ， y)-f(x 0， y 0)=0表示的曲线是 ()A. 与圆 C 重合的圆B.过点 A 与圆 C 订交的圆C.过点 A 且与圆 C 齐心的圆D.可能不是圆分析： 设 f(x,y)=x 2+y 2+Dx+Ey+F=0, 设 f(x 0,y 0)=x 2 0+y 2 0+Dx 0+Ey 0+F>0.进而 f(x,y)-f(x 0,y 0)=x 22+Dx+Ey-x 22过点 A 且与圆 C 圆心.+y 0-y 0-Dx 0-Ey 0=0答案：C7.如图，设P(x，y)是曲线x2+(y+4) 2=4 上随意一点，则( x1) 2( y1) 2的最大值为()A. 262B.26C.5D.6分析：(x1) 2( y 1) 2表示圆周上的点到A(1 ，1)的距离 .其最大值为 |PA|max =|PC|+|CA|=2+ (01) 2( 41) 2226答案： A8.台风中心从 A 地以每小时 20千米的速度向东北方向挪动，离台风中心30 千米内的地域为危险区，城市B在A的正东40 千米处， B 城市处于危险区内的时间为 ()A.0.5 小时B.1 小时C.1.5 小时D.2 小时分析：如右图，圆 B 是半径为30 千米的圆，当台风中心处于弦CD 之间 (包含端点 )时城市 B 处在危险区，利用圆的性质可求得CD 的长为 20 千米，故城市 B 处于危险区的时间为 1 小时.答案： B9.圆 C 的圆心坐标为 (s,t)，且圆心到直线x-y=0 的距离是 3 ，则s、t的关系是_________.分析：由点到直线的距离公式| s t |3 d2即 s-t ±6 =0答案： s-t ±6=010.过圆 x2+y2 -6x+4y-3=0的圆心，且平行于x+2y+11=0的直线方程是 _________.分析：将圆化为标准形：(x-3)22+(y-2) =16答案： x+2y+1=011.圆 x2+y2+x-6y+3=0 上两点 P、 Q 对于直线 kx-y+4=0对称，则 k=______.分析：圆心 (1kx-y+4=0 ，得 k=2. ,3)的直线上，代入答案： 2212.已知 P(1，2) 为圆 x2+y 2=9 内必定点，过P 作两条相互垂直的随意弦交圆于点B、 C，则BC 中点 M 的轨迹方程为分析： 如图， Rt △ OMC________.中， |MP|=1[]2|BC|(直角三角形斜边上的中线是斜边的一半).1|BC|=|MC|=OC 2OM 2.故所求轨迹方程为x 2+y 2 -x-2y-2=0.2答案： x 2+y 2-x-2y-2=013.方程 ax 2+ay 2 -4(a-1)x+4y=0 表示圆，务实数 a 的取值范围，并求出此中半径最小的圆的方 程.分析： 原方程可化为 [ x2(a 1)] 2( y 2) 2 4( a 2 2a2) .aaa 22∴当 a ≠0且 a ∈R 时，原方程表示圆.又因为 4( a 2 2a 2)2( a 2 4a 4)∵a -2a+2>0,a2a222(a 2) 2 2 ，当且仅当 a=2 时取等号 .∴当 a=2 时，圆的半径最小，它的方程a 2 2为(x-1) 2+(y+1) 2=2.14.已知圆经过点 A(2 ， -1)，圆心在直线 2x+y=0 上且与直线 x-y-1=0 相切，求圆的方程 . 分析： 若选择圆的一般形式： x 2+y 2 +Dx+Ey+F=0 ，此中 D 、E 、 F 为三个待定系数，则需依题意，成立起三个独立方程求解 .设圆的方程为 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 ，其圆心为 ( D , E) . ∵圆过点 A(2 ， -1)，∴ 5+2D-E+F=0 2 2①又圆心在直线 2x+y=0 上，∴2(D)( E) 0 ，即 2D+E=0②2 2将 y=x-1 代入圆方程得22x +(D+E-2)x+(1-E+F)=0=(D+E-2) 2-8(1-E+F)=0. ③ 将①②代入③中，得 (-D-2) 2-8(1-2D-5)=02即 D +20D+36=0 ，∴ D=-2 或 D=-18.D2 D 18 代入①②，得 E4 或 E 36 F3F67故所求圆的方程为x 2+y 2-2x+4y+3=0 或 x 2+y 2-18x+36y+67=0.15.如下图，一座圆拱桥，当水面在如图地点时，拱顶离水面 2 米，水面宽 12 米，当水面降落 1 米后，水面宽多少米？分析：以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱极点的竖直直线为为 C，水面所在弦的端点为 A 、B ，则由已知得 A(6 ， -2) 设圆的半径为 r，则 C(0， -r) ，即圆的方程为y 轴，成立直角坐标系，设圆心2 2 2x +(y+r)=r .(1)将点 A 的坐标 (6， -2)代入方程 (1) ，解得 r=10.2 2∴圆的方程 x +(y+10) =100.(2)当水面降落 1 米后，可设点 A′的坐标为 (x0,-3)(x 0＞0)，将 A′的坐标 (x 0,-3)代入方程 (2) ，求得 x0=51 .∴水面降落 1米后，水面宽为2x0= 2 51≈ 14.28米 .走近高考22)16.已知圆 C 与圆 (x-1) +y =1 对于直线 y=-x 对称，则圆 C 的方程 (A.(x+1) 2+y 2=1B.x2+y 2=1C.x2+(y+1) 2=1D.x 2+(y-1) 2=1分析： (点轴对称法 )因为圆对于直线对称，其半径不变，只求出新的圆心即可.而对于直线y=-x 对称，则横、纵坐标互换地点，并取相反数.由圆 (x-1) 2+y 2=1的圆心为 (1，0) ，知对称圆的圆心为 (0，-1) ，应选 C.答案： C17.圆心在直线2x-y-7=0上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0 ，-4) 、 B(0 ， -2)，则圆 C 的方程为__________.分析：直线 AB 的中垂线方程为y=-3，代入2x-y-7=0 ，得 x=2，故圆心的坐标为C(2， -3) ，再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|= 5 ，∴ 圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.答案： (x-2) 2+(y+3) 2=518.已知圆 x2-4x-4+y 2 =0 的圆心是点P，则点 P 到直线 x-y-1=0 的距离是 ___________.分析：圆的方程为 (x-2) 2+y 2=8，∴圆心P(2,0).由点到直线的距离公式得d|201|2.22答案：2219.(经典回放 )已知圆知足：①截y 轴所得弦长为2；②被 x 轴分红两段圆弧，其弧长的比为3∶ 1；③圆心到直线 l:x-2y=0的距离为5，求该圆的方程 . 5分析：设圆的方程为(x-a)2+(y-b) 2=r2.令 x=0 ，得 y2-2by+b 2+a2-r 2=0.|y1-y2|=( y1y2 ) 2 4 y1 y2 2 r 2 a 2 2 ，得r2=a2+1.①222 2令 y=0 ，得 x -2ax+a +b -r =0.|x 1-x 2|=(x 1 x 2 ) 2 4x 1 x 2 2 r 2 b 22r ，得 r 2=2b 2.②由①②，得 2b 2-a 2=1.又因为 P(a,b)到直线 x-2y=0| a 2b |5 得 d5，即5综上可得2b 2 a 21, a 2b或1a 1, a 1, 解得或b 1,b1于是 r 2 =2b 2=2.的距离为5，5a-2b= ±1.2b 2 a 2 1,a 2b1,因此所求圆的方程为(x+1) 2222+(y+1) =2 或 (x-1) +(y-1) =2.。
人教课标版高中数学必修2《圆的标准方程》提升训练
《圆的标准方程》提升训练一、选择题1.[2017宁夏银川一中月考]设圆C 的方程是()()()22110+++=≠x a y a ，则原点与圆C 的位置关系是（ ） A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.不能确定2.[2018江西吉安一中高一月考]若直线=+y ax b 经过第一、二、四象限，则圆()()221+++=x a y b 的圆心位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.[2018安徽蚌埠二中高一月考]方程1-=x ） A.—个圆 B.两个圆 C.半个圆 D.两个半圆 二、填空题4.[2018江苏太仓高二（上）期中考试]已知圆心为()23-，，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是 .5.[2017四川成都树德中学高一（上）月考]已知圆O 的方程为()()223425-+-=x y ，则点()2,3M 到圆上的点的距离的最大值为 .三、解答题6.[2017福建福州一中质检]已知圆P 过点()()1,0,4,0A B .(1)若圆P 还过点()6,2-C ，求圆P 的标准方程； (2)若圆心P 的纵坐标为2，圆P 的标准方程.7.[2017山东省实验中学高一（上）月考]已知圆C 的圆心坐标为()00,x x ，且过点()4,2P .(1)求圆C 的标准方程（用含0x 的方程表示）.(2)当0x 为何值时，圆C 的面积最小？并求出此时圆C 的标准方程.8.[2017江苏南京一中期中考试]已知圆()()221:314++-=C x y ，直:148310+-=l x y ，求圆1C 关于直线l 对称的圆2C 的方程.参考答案一、选择题 1. 答案：B解析:由已知得圆心坐标为(),1C a --，则1OC =>，所以原点在圆外，故选B. 2. 答案：D解析：由题意，知(),a b --为圆()()221x a y b +++=的圆心.由直线y ax b =+ 经过第一、二、四象限，得0,0a b <>，即0,0a b ->-<，故圆心位于第四象限. 3. 答案：D解析：由题意，知110x x ⎧-=⎪⎨-≥⎪⎩()()()()222211111111x y x y x x ⎧⎧-+-=++-=⎪⎪⎨⎨≥≤-⎪⎪⎩⎩或，所以原方程表示两个半圆. 二、填空题 4.答案：()()222313x y -++=解析：方法一、因为直径所对的圆周角是直角，所以圆恰好过原点，所以半径为()()222313x y -++=.方法二、设直径的两个端点的坐标分别为()()0,,,0A a B b ，则由中点坐标公式，得02=2032ba +⎧⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩，解得64ab =-⎧⎨=⎩，所以圆的半径12r ==，所以圆的方程为()()222313x y -++=.5.答案：5解析：由题意,知点M 在圆O 内，MO 的延长线与圆O 的交点到点()2,3M 的距离55=+三、解答题 6.答案：见解析解析：(1)设圆P 的标准方程是()()222x a y b r -+-=，则()()()()2222222221462a b r a b r a b r ⎧-+=⎪⎪-+=⎨⎪-+--=⎪⎩，解得5272a b r ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，故圆P 的标准方程为225729.222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)由圆的对称性，可知圆心P 的横坐标为145=22+，故圆心5,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，故圆P 的半径52r ==，故圆P 的标准方程为()22525224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.7.答案：见解析解析：(1)由题意，设圆C 的标准方程为()()()222000x x y x r r -+-=>. 圆C 过点()4,2P ，()()22222000042,21220.x x r r x x ∴-+-=∴=-+∴圆C 的标准方程为()()222000021220.x x y x x x -+-=-+(2)()()()22220000021220=232x x y x x x x -+-=-+-+，∴当0=3x 时，圆C 的半径最小，即面积最小，此时圆C 的标准方程为()()22332x y -+-=. 8.答案：见解析解析：设圆2C 的圆心坐标为(),m n .因为直线l 的斜率74k =-，圆()()221314C x y ++-=的圆心坐标为()3,1-，半径2r =，所以，由对称性知14373114831022n m m n -⎧=⎪⎪+⎨-++⎪⨯+⨯-=⎪⎩，解得45m n =⎧⎨=⎩.所以圆2C 的方程为()()22454x y -+-=.。
2019年秋高一数学(人教A版)必修2能力强化提升：4-1-2 圆的一般方程【精校】.doc
一、选择题1．两圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和x 2＋y 2－6x ＝0的圆心连线方程为( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0[答案] C[解析] 两圆的圆心分别为(2，－3)、(3,0)，直线方程为y ＝0＋33－2(x －3)即3x －y －9＝0，故选C.2．若方程x 2＋y 2＋(λ－1)x ＋2λy ＋λ＝0表示圆，则λ的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 C ．(1，＋∞)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15 D ．R[答案] C[解析] D 2＋E 2－4F ＝(λ－1)2＋4λ2－4λ>0解不等式得λ<15或λ>1，故选C. 3．过三点A (－1,5)，B (5,5)，C (6，－2)的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋4x －2y －20＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0C ．x 2＋y 2－4x －2y －20＝0D ．x 2＋y 2＋4x ＋4y －20＝0[答案] C[解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，分别代入(－1,5)，(5,5)(6，－2)得⎩⎪⎨⎪⎧ －D ＋5E ＋F ＝－265D ＋5E ＋F ＝－506D －2E ＋F ＝－40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4E ＝－2F ＝－20故选C.4．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线是以(－2,3)为圆心，4为半径的圆，则D 、E 、F 的值分别为( )A ．4，－6,3B ．－4,6,3C ．－4,6，－3D ．4，－6，－3 [答案] D[解析] 圆心为(－D 2，－E 2)，∴－D 2＝－2，－E 2＝3，∴D ＝4，E ＝－6， 又R ＝12D 2＋E 2－4F 代入算得F ＝－3. 5．与圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0同圆心，且过(1，－1)的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＋6y －8＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0C ．x 2＋y 2＋4x －6y －8＝0D ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋8＝0[答案] B[解析] 圆心为(2，－3)， 半径R ＝－2＋－3＋2＝ 5.6．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．F ＝ED ．D ＝E ＝F[答案] A[解析] 圆心(－D 2，－E 2)在直线y ＝x 上，所以D ＝E ，故选A. 7．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0[答案] C[解析] 令a ＝0，a ＝1，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋1＝0，－y ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2，所以定点C 的坐标为(－1,2)．则圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.8．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A. 5B ．5C ．2 5D ．10[答案] B[解析] 由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.二、填空题 9．圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为________．[答案] x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0[解析] 只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．10．圆x 2＋2x ＋y 2＝0关于y 轴对称的圆的一般方程是________．[答案] x 2＋y 2－2x ＝0[解析] 已知圆的圆心为C (－1,0)，半径r ＝1，点C 关于y 轴的对称点为C ′(1,0)，则已知圆关于y 轴对称的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.11．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中点M 的轨迹方程是________．[答案] x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0[解析] 设M (x ，y )，A (2，－1)，则P (2x －2,2y ＋1)，将P 代入圆方程得：(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.12．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.[答案] －2[解析] 由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心，∴－1＋a 2＋2＝0，∴a ＝－2. 三、解答题 13．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．[分析] 本题可直接利用D 2＋E 2－4F >0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．[解析] 解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，因此，当m ＝2时，D 2＋E 2－4F ＝0，它表示一个点，当m ≠2时，D 2＋E 2－4F >0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|. 解法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点，当m ≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|.规律总结：(1)形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D 2＋E 2－4F 是否为正．若D 2＋E 2－4F >0，则方程表示圆，否则不表示圆．②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆． (2)在书写本题结果时，易出现r ＝5(m －2)的错误结果，导致这种错误的原因是没有理解对一个数开偶次方根的结果为非负数．14．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．[分析] 根据圆心、半径满足的条件列出关系式，从而求出参数D 与E 的值．[解析] 圆心C (－E 2，－E 2)，∵圆心在直线x ＋y －1＝0上， ∴－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2， ① 又r ＝D 2＋E 2－122＝2，∴D 2＋E 2＝20， ②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，E ＝2.又圆心在第二象限，∴－D 2<0即D >0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2E ＝－4，∴圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.规律总结：在求解过程中，要注意圆心在第二象限这一限定条件，避免增解．15．自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①点A (4,0)是定圆外一点；②过A 的直线交圆于B ，C 两点．解答本题可先设出动点P 的坐标(x ，y )，然后由圆的几何性质知OP ⊥BC ，再利用k OP ·k AP ＝－1，求出P (x ，y )满足的方程．也可由圆的几何性质直接得出动点P 与定点M (2,0)的距离恒等于定长2，然后由圆的定义直接写出P 点的轨迹方程．[解析] 方法一：(直接法)设P (x ，y )，连接OP ，则OP ⊥BC ，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·y x －4＝－1， 即x 2＋y 2－4x ＝0. ①当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．方法二：(定义法)由方法一知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝12|OA |＝2， 由圆的定义知，P 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内的部分)． 规律总结：针对这个类型的题目，常用的方法有(1)直接法，(2)定义法，(3)代入法，其中直接法是求曲线方程最重要的方法，它可分五个步骤：①建系，②找出动点M 满足的条件，③用坐标表示此条件，④化简，⑤验证；定义法是指动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后据定义直接写出动点的轨迹方程；代入法，它用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可．16．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．[解析] 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)，代入圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4D ＋2E ＋F ＋20＝0， ①2D ＋6E －F －40＝0. ②设圆在x 轴上的截距为x 1、x 2，它们是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D .设圆在y 轴上的截距为y 1、y 2，它们是方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两个根，得y 1＋y 2＝－E .由已知，得－D ＋(－E )＝－2，即D ＋E －2＝0. ③由①②③联立解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.规律总结：在涉及圆的方程中，若已知圆心和半径之一，设标准方程较方便；若已知圆过定点，则设一般方程较方便．。
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《圆的一般方程》提升训练
一、选择题
1.[2018江西九江一中高一月考]若{}2,0,1,3a ∈-,则方程
22253102
x y ax ay a a +++++-=能表示圆的个数为( ) A.0
B.1
C.2
D.3
2.[2018四川绵阳中学高一期末考试]若圆22230x y ax by +-+=的圆心位于第三象限，则直线0x ay b ++=一定不经过( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
二、填空题
3.[2017山东烟台二中月考]圆22:20C x x y ++=关于y 轴对称的圆的一般方程是___.
4.[2017浙江金华一中高一（上）月考]如果圆的方程为22220x y kx y k ++++=，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为___.
三、解答题
5.[2017重庆一中月考]在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为()()()3,0,2,0,0,4A B C --，经过这三个点的圆记为M .
(1)求BC 边的中线AD 所在直线的一般式方程；
(2)求圆M 的方程.
6.[2018黑龙江大庆一中高一月考]已知圆22:4O x y +=上的一定点()2,0A ，点()1,1B 为圆内一点，,P Q 为圆上的动点.
(1)求线段AP 中点的轨迹方程；
(2)若90PBQ ∠=,求线段PQ 中点的轨迹方程.
7.[2017广东惠州一中期末考试]已知以点C 为圆心的圆经过点()1,0A -和()3,4B ，且圆心C 在直线3150x y +-=上.设点P 在圆C 上，求PAB ∆的面积的最大值.
参考答案
一、选择题
1.
答案：C
解析：由()222534102a a a a ⎛⎫+-+-> ⎪⎝⎭
，得1a <，满足条件的a 只有-2与0，所以方程22253102
x y ax ay a a +++++-=能表示圆的个数为2. 2.
答案：D
解析：圆22230x y ax by +-+=的圆心为3,2a b ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，则0,0a b <>.直线0x ay b ++=化为1b y x a a =--，则斜率10k a =->，在y 轴上的截距0b a
->,所以直线一定不经过第四象限.
二、填空题
3.
答案：2220x y x +-=
解析：圆2220x x y ++=,即()2
211x y ++=.由于圆心()1,0-关于y 轴对称的点为()1,0，故圆22:20C x x y ++=关于y 轴对称的圆的方程为()
2211x y -+=，即
2220x y x +-=. 4.
答案：()0,1-
解析：12r k ==当0k =时，r 最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为2220x y y ++=,即()2211x y ++=,圆心坐标为()0,1-.
三、解答题
5.
答案：见解析
解析：⑴方法一、由()()2,0,0,4B C -，知BC 的中点D 的坐标为()1,2-. 又()3,0A -,所以直线AD 的方程为
032013y x -+=--+，即中线AD 所在直线的一般式方程为230x y ++=.
方法二、由题意，得||||5AB AC ==，则ABC ∆是等腰三角形，所以AD BC ⊥. 因为直线BC 的斜率2BC k =,所以直线AD 的斜率12AD k =-
，由直线的点斜式方程，得直线AD 的方程为()103,2
y x -=-+即直线AD 的一般式方程为230x y ++=.
(2)设圆M 的方程为220x y Dx Ey F ++++=.将()()()3,0,2,0,0,4A B C --三点的
坐标分别代入方程,得930420,1640D F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得
15.26
D E F =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩所以圆M 的方程是225602
x y x y +++
-=. 6. 答案：见解析
解析：⑴设AP 的中点为(),,M x y 则点P 的坐标为()22,2x y -.因为点P 在圆224x y +=上，所以()()222224x y -+=,整理,得()2
211x y -+=.故线段AP 中点的轨迹方程为()2211x y -+=.
⑵设PQ 的中点为(),N x y .在Rt PBQ ∆中，||||PN BN =.连接ON ,则ON PQ ⊥, 所以22222||||||||||OP ON PN ON BN =+=+,所以()()2222114x y x y ++-+-=,即2210x y x y +---=.故线段PQ 中点的轨迹方程为2210x y x y +---=. 7.
答案：见解析 解析：线段AB 的中点为()1,2，直线AB 的斜率为1,∴线段AB 的垂直平分线的
方程为()21y x -=--,即3y x =-+.联立33150y x x y =-+⎧⎨+-=⎩，解得3,6
x y =-⎧⎨=⎩即圆心C
为()3,6-，则半径r ==.又||AB =
=，
∴圆心C 到AB 的距离d ==∴点P 到AB 的距离的最大
值为d r +=，PAB ∴∆的面积的最大值为(1
162⨯=+.。