人教课标版高中数学必修2《圆的一般方程》提升训练

《圆的一般方程》提升训练

一、选择题

1.[2018江西九江一中高一月考]若{}2,0,1,3a ∈-,则方程

22253102

x y ax ay a a +++++-=能表示圆的个数为( ) A.0

B.1

C.2

D.3

2.[2018四川绵阳中学高一期末考试]若圆22230x y ax by +-+=的圆心位于第三象限，则直线0x ay b ++=一定不经过( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

二、填空题

3.[2017山东烟台二中月考]圆22:20C x x y ++=关于y 轴对称的圆的一般方程是___.

4.[2017浙江金华一中高一（上）月考]如果圆的方程为22220x y kx y k ++++=，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为___.

三、解答题

5.[2017重庆一中月考]在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为()()()3,0,2,0,0,4A B C --，经过这三个点的圆记为M .

(1)求BC 边的中线AD 所在直线的一般式方程；

(2)求圆M 的方程.

6.[2018黑龙江大庆一中高一月考]已知圆22:4O x y +=上的一定点()2,0A ，点()1,1B 为圆内一点，,P Q 为圆上的动点.

(1)求线段AP 中点的轨迹方程；

(2)若90PBQ ∠=,求线段PQ 中点的轨迹方程.

7.[2017广东惠州一中期末考试]已知以点C 为圆心的圆经过点()1,0A -和()3,4B ，且圆心C 在直线3150x y +-=上.设点P 在圆C 上，求PAB ∆的面积的最大值.

参考答案

一、选择题

1.

答案：C

解析：由()222534102a a a a ⎛⎫+-+-> ⎪⎝⎭

，得1a <，满足条件的a 只有-2与0，所以方程22253102

x y ax ay a a +++++-=能表示圆的个数为2. 2.

答案：D

解析：圆22230x y ax by +-+=的圆心为3,2a b ⎛⎫- ⎪⎝

⎭，则0,0a b <>.直线0x ay b ++=化为1b y x a a =--，则斜率10k a =->，在y 轴上的截距0b a

->,所以直线一定不经过第四象限.

二、填空题

3.

答案：2220x y x +-=

解析：圆2220x x y ++=,即()2

211x y ++=.由于圆心()1,0-关于y 轴对称的点为()1,0，故圆22:20C x x y ++=关于y 轴对称的圆的方程为()

2211x y -+=，即

2220x y x +-=. 4.

答案：()0,1-

解析：12r k ==当0k =时，r 最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为2220x y y ++=,即()2211x y ++=,圆心坐标为()0,1-.

三、解答题

5.

答案：见解析

解析：⑴方法一、由()()2,0,0,4B C -，知BC 的中点D 的坐标为()1,2-. 又()3,0A -,所以直线AD 的方程为

032013y x -+=--+，即中线AD 所在直线的一般式方程为230x y ++=.

方法二、由题意，得||||5AB AC ==，则ABC ∆是等腰三角形，所以AD BC ⊥. 因为直线BC 的斜率2BC k =,所以直线AD 的斜率12AD k =-

，由直线的点斜式方程，得直线AD 的方程为()103,2

y x -=-+即直线AD 的一般式方程为230x y ++=.

(2)设圆M 的方程为220x y Dx Ey F ++++=.将()()()3,0,2,0,0,4A B C --三点的

坐标分别代入方程,得930420,1640D F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得

15.26

D E F =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩所以圆M 的方程是225602

x y x y +++

-=. 6. 答案：见解析

解析：⑴设AP 的中点为(),,M x y 则点P 的坐标为()22,2x y -.因为点P 在圆224x y +=上，所以()()222224x y -+=,整理,得()2

211x y -+=.故线段AP 中点的轨迹方程为()2211x y -+=.

⑵设PQ 的中点为(),N x y .在Rt PBQ ∆中，||||PN BN =.连接ON ,则ON PQ ⊥, 所以22222||||||||||OP ON PN ON BN =+=+,所以()()2222114x y x y ++-+-=,即2210x y x y +---=.故线段PQ 中点的轨迹方程为2210x y x y +---=. 7.

答案：见解析 解析：线段AB 的中点为()1,2，直线AB 的斜率为1,∴线段AB 的垂直平分线的

方程为()21y x -=--,即3y x =-+.联立33150y x x y =-+⎧⎨+-=⎩，解得3,6

x y =-⎧⎨=⎩即圆心C

为()3,6-，则半径r ==.又||AB =

=，

∴圆心C 到AB 的距离d ==∴点P 到AB 的距离的最大

值为d r +=，PAB ∴∆的面积的最大值为(1

162⨯=+.