全等三角形分级练习 第六级 截长补短法
全等三角形的截长补短(含答案)
全等三角形的截长补短板块一、截长补短【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交 于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明． D O E C B A 4321F D OEC B A【解析】 BE CD BC +=，理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ，利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆，∴12∠=∠，∵60A ∠=︒，∴1901202BOC A ∠=+∠=，∴120DOE ∠=， ∴180A DOE ∠+∠=，∴180AEO ADO ∠+∠=，∴13180∠+∠=，∵24180∠+∠=，∴12∠=∠，∴34∠=∠，利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+.【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)， 作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?N E B M A DG NEB M A D【解析】 猜测DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =又∵120ADM DMA +∠=∠，120DMA NMB +=∠∠∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠，∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．【例3】 如图2-9所示．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点， 且∠BAE =2∠DAM ．求证：AE =BC +CE ．【解析】 分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(BC CE +)，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．(2)通过添辅助线先在求证中长线段(AE )上截取与线段中的某一段(如BC )相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段(CE )相等．我们用(1)法来证明． 证 延长AB 到F ，使BF CE =，则由正方形性质知AF AB BF BC CE =+=+下面我们利用全等三角形来证明AE AF =．为此，连接EF 交边BC 于G ．由于对顶角BGF CGE ∠=∠，所以()Rt ΔBGF CGE AAS ∆≌， 从而12BG GC BC FG EG ===，，BG DM = 于是()Rt ΔRt ΔABG ADM SAS ≌， 所以12BAG DAM BAE EAG ∠=∠=∠=∠，AG 是EAF ∠的平分线 过G 引GH AE ⊥于H ．因为AG 是∠EAF 的平分线，所以GB =GH ，从而Rt △GBF≌Rt △GHE (HL )，所以∠F =∠HEG ，则 AF =AE (底角相等的三角形是等腰三角形)，即 AE =BC +CE ．说明 我们也可以按分析(2)的方法来证明结论，为此可先作∠BAE 的平分线AG 交边BC 于G ，再作GH ⊥AE 于H ，通过证明△ABG ≌△AHG 知AB =AH =BC ．下面设法证明HE =CE 即可，请同学们自证．【例4】 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°， 则AB 的长为 ( )A . aB . kC . 2k h + D . hM DC B A E MD CBA【解析】 过点D 作BC 的垂线，垂足为E .∵∠AMD =75°，∠BMC =45° ∴∠DMC =60°∵DM =CM ∴CD =DM∵AD ⊥AB ，DE ⊥BC ，CB ⊥AB ，∠AMD =75°∴∠ADM =∠EDC∴△ADM ≌△CDE∴AD =DE故ABED 为正方形，AB =AD =h ，选D .【例5】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .FE D C B A MF E DC B A【解析】 延长CB 至M ，使得BM =DF ，连接AM .∵AB =AD ，AD ⊥CD ，AB ⊥BM ，BM =DF∴△ABM ≌△ADF∴∠AFD =∠AMB ，∠DAF =∠BAM∵AB ∥CD∴∠AFD =∠BAF =∠EAF +∠BAE =∠BAE +∠BAM =∠EAM∴∠AMB =∠EAM∴AE =EM =BE +BM =BE +DF .【例6】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三 角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．NMD C BA E AB C D M N【解析】 如图所示，延长AC 到E 使CE BM =.在BDM ∆与CDE ∆中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=，BM CE =，所以BDM CDE ∆∆≌，故MD ED =.因为120BDC ∠=，60MDN ∠=，所以60BDM NDC ∠+∠=.又因为BDM CDE ∠=∠，所以60MDN EDN ∠=∠=.在MND ∆与END ∆中，DN DN =，60MDN EDN ∠=∠=，DM DE =，所以MND END ∆∆≌，则NE MN =，所以AMN ∆的周长为2.【例7】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三 角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．DN MC B AF E A B C M N D E A B C D M N【解析】 如图所示，过D 作DE 交BC 于E ，使得BE BM =；过D 作DF 交BC 于F ，使得CF CN =.因为120BDC ∠=︒，BDC ∆为等腰三角形，所以30DBC ∠=，又因为ABC ∆为正三角形，所以60ABC ∠=︒.注意到DBC MBD ∠=∠，BM BE =，BD BD =，所以DBE ∆≌DBM ∆，可知AM CE =.同理，DCF DCN ∆∆≌，AN BF =.则有DE DM =，DF DN =，M DB EDB ∠=∠，NDC FDC ∠=∠.又因为60MDN ∠=，120BDC ∠=，则180MDB NDC ∠+∠=.而120120EDC EDB MDB ∠=︒-∠=︒-∠，120120BDF FDC NDC ∠=︒-∠=︒-∠， 故24060EDC BDF MDB NDC ∠+∠=︒-∠-∠=︒，因此60FDE ∠=︒，则FDE NDM ∆∆≌，MN EF =，进而可知AMN ∆的周长为1.另解：如图所示，在AB 上取一点E ，使得BE AN =.在DAN ∆和DBE ∆中，DA DB =，AN BE =，DAN DBE ∠=∠，因此DAN DBE ∆∆≌，从而DN DE =.在DMN ∆和DME ∆中，DN DE =，MD MD =，60MDN ∠=，()180MDE DEM DME ∠=-∠+∠()()180EBD EDB MAD MDA =-∠+∠+∠+∠⎡⎤⎣⎦()()1803030EDB MDA =-︒+∠+︒+∠⎡⎤⎣⎦120EDB MDA =-∠-∠()12060EDB NDA =-∠--∠()1206060EDB EDB =-∠--∠=.因此DMN DME ∆∆≌，从而MN ME =，进而可知AMN ∆的周长为1．【例8】五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDEC ED B A AB DEFC【解析】 延长DE 至F ，使得EF =BC ，连接AC .∵∠ABC +∠AED =180°，∠AEF +∠AED =180° ∴∠ABC =∠AEF∵AB =AE ，BC =EF ∴△ABC ≌△AEF∴EF =BC ，AC =AF∵BC +DE =CD ∴CD =DE +EF =DF∴△ADC ≌△ADF ∴∠ADC =∠ADF即AD 平分∠CDE .板块二、全等与角度【例9】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.D C B AE D CB A【解析】 如图所示，延长AB 至E 使BE BD =，连接ED 、EC .由AC AB BD =+知AE AC =，而60BAC ∠=，则AEC ∆为等边三角形.注意到EAD CAD ∠=∠，AD AD =，AE AC =，故AED ACD ∆∆≌.从而有DE DC =，DEC DCE ∠=∠，故2BED BDE DCE DEC DEC ∠=∠=∠+∠=∠.所以20DEC DCE ∠=∠=，602080ABC BEC BCE ∠=∠+∠=+=.ED C B A【另解】在AC 上取点E ，使得AE AB =，则由题意可知CE BD =.在ABD ∆和AED ∆中，AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =，则ABD AED ∆∆≌，从而BD DE =，进而有DE CE =，ECD EDC ∠=∠，AED ECD EDC ∠=∠+∠=2ECD ∠.注意到ABD AED ∠=∠，则：1318012022ABC ACB ABC ABC ABC BAC ∠+∠=∠+∠=∠=-∠=， 故80ABC ∠=︒.【点评】由已知条件可以想到将折线ABD “拉直”成AE ，利用角平分线AD 可以构造全等三角形.同样地，将AC 拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.【例10】在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.DE C B A D EC B A【解析】 如图所示，连接DC .因为AD BD =，AC BC =，CD CD =，则ADC BDC ∆∆≌，故30BCD ∠=.而DBE DBC ∠=∠，BE AB BC ==，BD BD =，因此BDE BDC ∆∆≌，故30BED BCD ∠=∠=.练习1、点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD =DC ，∠BDC =120°，∠MDN =60°，求证MN =MB +NC ．21E ABC M N NMC B A【解析】 (旋转、等腰三角形、等边三角形、线段证明)延长NC 至E ，使得CE =MB∵ △BDC 是等腰三角形，且∠BDC =120°∴∠DBC =∠DCB =30°∵ △ABC 是等边三角形．∴∠ABC =∠ACB =∠BAC =60°∴∠MBD =∠ABC +∠DBC =∠ACB +∠DCB =∠DCN =∠DCE =90°在Rt △DBM 和Rt △DCE 中，BD =DC ，MB =CE ，∴ Rt △DMB ≌Rt △DCE .∴ DE =DM ， ∠1=∠2.又∵ ∠1+∠NDC =60°∴ ∠2+∠NDC =∠END =60°.在△MDN 与△EDN 中，ND =ND ，∠MDN =∠EDN =60°，DE =DM∴ △MND ≌△END∴ MN =EN =NC +MB2、如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的 平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？N C D E B M A NCD EB M A【解析】 猜测DM MN =.在AD 上截取AG AM =，∴DG MB =，∴45AGM =∠∴135DGM MBN ==︒∠∠，∴ADM NMB =∠∠，∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．。
全等三角形之截长补短法
全等三角形模型之截长补短法若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑“截长补短法“”，构造全等三角形.（1）截长法：在较长线段中截取一段等于另两条较短线段中的一条，然后证明剩下部分等于另一条.即证明“短1＋短2＝长”，“截长法”是在“长”线段上截取一条和“短1”相等长度的线段，再证明剩下的部分和“短2”等长.（2）补短法：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段.即证明“短1＋短2＝长”，“补短法”是将“短1”线段延长，延长的长度等于“短2”的长度，再证明新线段与“长”线段长度相等.【典型例题】1．【模型分析】当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC．截长法：在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明CE＝BD即可．补短法：延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，证明BF＝BD即可．请结合【模型分析】证明结论．求证：AB+BD＝AC．【截长法】【补短法】2．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB+CD．3．课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论．（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF＝BD，连接DF．请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD ＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．请你解答小芸提出的这个问题；（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．4．阅读：探究线段的和差倍分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．【小试牛刀】1．如图，△ABC中，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB＝CD+BC．（用两种方法）2．如图，△ABC中，∠B＝2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC＝16，BC＝9，则BD的长为．3．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝AC，（1）若BC＝AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度数？（3）若∠A＝100°，求证：BC＝BD+DA．4．已知：如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，O是CD上一点，且AO平分∠BAD，BO 平分∠ABC．（1）求证：AO⊥BO；（2）若AO＝3，BO＝4，求四边形ABCD的面积．5．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD，则∠DCB的度数是．。
数学全全等三角形截长补短知识点及练习题含答案
数学全全等三角形截长补短知识点及练习题含答案一、全等三角形截长补短1．数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD AE =，求证ABE ACD ∠=∠；在此问题的基础上，老师补充：过点A 作AF BE ⊥于点G 交BC 于点F ，过F 作FP CD ⊥交BE 于点P ，交CD 于点H ，试探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，AFB ∠与HFC ∠有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：（1）求证ABE ACD ∠=∠；（2）猜想AFB ∠与HFC ∠的数量关系，并证明；（3）探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并证明．2．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．感悟与应用：（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒；②求AB 的长．3．如图，△ABC 中，，AD 是BC 边上的高，如果，我们就称△ABC 为“高和三角形”．请你依据这一定义回答问题： （1）若，，则△ABC____ “高和三角形”（填“是”或“不是”）； （2）一般地，如果△ABC 是“高和三角形”，则与之间的关系是____，并证明你的结论4．在四边形ABDE 中，C 是BD 边的中点．（1）如图（1），若AC 平分BAE ∠，90ACE ∠=︒，则线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分BAE ∠，EC 平分AED ∠，若120ACE ∠=︒，则线段AB 、BD 、DE 、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．5．已知等边三角形ABC ，D 为△ABC 外一点，BDC 120∠=︒，BD=DC ，MDN 60∠=︒，射线DM 与直线AB 相交于点M ，射线DN 与直线AC 相交于点N ． （1）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，直接写出BM 、NC 、MN 之间的数量关系；（2）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM ≠DN 时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明；（3）当点M 、N 在边AB 、CA 的延长线上时，请画出图形，并求出BM 、NC 、MN 之间的数量关系．6．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，E 为菱形ABCD 内对角线BD 左侧一点，连接BE 、CE 、DE ．（1）若AB ＝6，求菱形ABCD 的面积；（2）若∠BED ＝2∠A ，求证：CE ＝BE+DE ．7．（1）方法选择如图①，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==，求证：BD AD CD =+．小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM ……小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN AD =……请你选择一种方法证明．（2）类比探究探究1如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，若BC 是⊙O 的直径，AB AC =，试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论． 探究2如图③，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是⊙O 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．8．如图，ABC 是边长为2的等边三角形，BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以点D 为顶点作60MDN ∠=︒，点M 、N 分别在AB 、AC 上．（1）如图①，当//MN BC 时，则AMN 的周长为______；（2）如图②，求证：BM NC MN +=．9．如图，在正方形ABCD中，点F是CD的中点，点E是BC边上的一点，且AF平分DAE∠，求证：AE EC CD=+．10．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=AD，E为对角线AC上一点，∠BEC=∠BAD=2∠DEC，探究AB与BC的数量关系．某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：小柏：“通过观察和度量，发现∠ACB=∠ABE”；小源：“通过观察和度量，AE和BE存在一定的数量关系”；小亮：“通过构造三角形全等，再经过进一步推理，就可以得到线段AB与BC的数量关系”．……老师：“保留原题条件，如图2， AC上存在点F，使DF=CF=k AE，连接DF并延长交BC于点G，求ABFG的值”．（1）求证：∠ACB =∠ABE ；（2）探究线段AB 与BC 的数量关系，并证明；（3）若DF =CF =k AE ，求AB FG的值（用含k 的代数式表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）见解析；（2）HFC BFA ∠=∠，证明见解析；（3）BP AF PF =+，证明见解析【分析】（1）利用SAS 证明ABE ACD ≅可得结论；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，推出=45BFA x ∠︒+，=45HFC x ∠︒+，即可证明HFC BFA ∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，证明△ABE ≌△CAM ，得出BE AM =和M BEA ∠=∠，从而证明△NFC ≌△MFC ，得到FM FN =和M FNC ∠=∠，可得PN=PE ，从而得出BP=AF+PF.【详解】解：（1）∵在△ABE 和△ACD 中，==AB AC A A AE AD ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，ABE ACD ∴∆≅∆（SAS ），ABE ACD ∴∠=∠；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，AF BE ⊥，90BAF x ∴∠=︒-，()=9045=45BFA x x ∴∠︒-︒-︒+，ACD x ∠=，45HCF x ∴∠=︒-，FP CD ⊥，()9045=45HFC x x ∴∠=︒-︒-︒+，HFC BFA ∴∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，90BAF FAC ∠+∠=︒，90BAF ABG ∠+∠=︒，FAC ABG ∴∠=∠，在△ABE 和△CAM 中，===BAE ACM AB AC ABE CAM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ABE CAM ∴∆≅∆（ASA ），BE AM ∴=，M BEA ∠=∠，BFA MFC NFC ∠=∠=∠，FC FC =，45ACB BCM ∠=∠=︒，NFC MFC ∴∆≅∆（ASA ），FM FN ∴=，M FNC ∠=∠，FNC BEA ∴∠=∠，PN PE ∴=，∴BP BE PE AM PE AF FM PE =-=-=+-AF FN PN AF PF =+-=+.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度. 2．（1）BC−AC ＝AD ；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14【分析】（1）在CB 上截取CE ＝CA ，连接DE ，证△ACD ≌△ECD 得DE ＝DA ，∠A ＝∠CED ＝60°，据此∠CED ＝2∠CBA ，结合∠CED ＝∠CBA ＋∠BDE 得出∠CBA ＝∠BDE ，即可得DE ＝BE ，进而得出答案；（2）①在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，先证△ADC ≌△AMC ，得到∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ，结合CD ＝BC 知CM ＝CB ，据此得∠B ＝∠CMB ，根据∠CMB ＋∠CMA ＝180°可得； ②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，由CB ＝CM 知BN ＝MN ＝a ，CN 2＝BC 2−BN 2＝AC 2−AN 2，可得关于a 的方程，解之可得答案．【详解】解：（1）BC−AC ＝AD ．理由如下：如图（a ），在CB 上截取CE ＝CA ，连接DE ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠ECD ，又CD ＝CD ，∴△ACD ≌△ECD （SAS ），∴DE ＝DA ，∠A ＝∠CED ＝60°，∴∠CED ＝2∠CBA ，∵∠CED ＝∠CBA ＋∠BDE ，∴∠CBA ＝∠BDE ，∴DE ＝BE ，∴AD ＝BE ，∵BE ＝BC−CE ＝BC−AC ，∴BC−AC ＝AD ．（2）①如图（b ），在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠MAC ，∵AC ＝AC ，∴△ADC ≌△AMC （SAS ），∴∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ＝12，∵CD ＝BC ＝12，∴CM ＝CB ，∴∠B ＝∠CMB ，∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°，∴∠B ＋∠D ＝180°；②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，∵CB ＝CM ＝12，∴BN ＝MN ＝a ，在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝， 则22221216(8)a a --+＝， 解得：a ＝3，即BN ＝MN ＝3，则AB ＝8+3+3=14，∴AB=14．【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．3．（1）是（2）；见解析【解析】【分析】（1）在BC上截取，根据，可得△ABE为等边三角形，，问题得解；（2）在△ABC中，在DC上截取，由AD是BC边上的高且，进而证明，△ABD≌△AED（SAS）就可以得到结论.【详解】解：（1）如图，Rt△ABC中，，，，在BC上截取，则△ABE为等边三角形，∴，∵，，∴，∴，∴∵，且△ABE为等边三角形，∴∴，∴是高和三角形．（2）;证明：如上图，在△ABC中，在DC上截取．∵，∴，∵AD是BC边上的高且，∴，△ABD≌△AED（SAS），∴，，∴.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形，理解“高和三角形”的定义是解题关键.4．（1）AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ，证明见解析． 【分析】（1）在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ，由三角形全等的判定可证得△ACB ≌△ACF ，根据全等三角形的性质可得BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ，根据三角形全等的判定证得△CEF ≌△CED ，得到EF ＝ED ，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ，根据全等三角形的判定证得△ACB ≌△ACF 和△ECD ≌△ECG ，由全等三角形的性质证得CF ＝CG ，进而证得△CFG 是等边三角形，就有FG ＝CG ＝12BD ，从而可证得结论． 【详解】解：（1）如图（1），在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ．∵C 是BD 边的中点，∴BC ＝CD ．∴CF ＝CD ．∵∠ACE ＝90°，∴∠ACB ＋∠DCE ＝90°，∠ACF ＋∠ECF ＝90°．∴∠ECF ＝∠ECD ．在△CEF 和△CED 中，CF CD ECF ECD CE CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△CEF ≌△CED （SAS ）．∴EF ＝ED ．∵AE ＝AF ＋EF ，∴AE ＝AB ＋DE ．故答案为：AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ． 证明：如图（2），在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ． ∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．同理可证：△ECD ≌△ECG∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．∵CB ＝CD ，∴CG ＝CF ．∵∠ACE ＝120°，∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．∴∠FCG ＝60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG ＝FC ＝12BD ． ∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ， ∴AE ＝AB ＋DE ＋12BD ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．5．（1）BM+NC=MN ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）NC-BM=MN ，证明见解析．【分析】（1）由DM=DN ，∠MDN=60°，可证得△MDN 是等边三角形，又由△ABC 是等边三角形，CD=BD ，易证得Rt △BDM ≌Rt △CDN ，然后由直角三角形的性质，即可求得BM 、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ；（2）在CN 的延长线上截取CM 1=BM ，连接DM 1．可证△DBM ≌△DCM 1，即可得DM=DM 1，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN ≌△M 1DN ，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在CN 上截取CM 1=BM ，连接DM 1，可证△DBM ≌△DCM 1，即可得DM=DM 1，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN ≌△M 1DN ，则可得NC-BM=MN ．【详解】解（1）BM 、NC 、MN 之间的数量关系：BM+NC=MN ．证明如下：∵BD=DC ，DM=DN ，MDN 60∠=︒∴∠BDC=∠DCB=180302BDC ，△MDN 为等边三角形， ∴MN=MD=DN ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=90°，∴Rt △BDM ≌Rt △CDN （HL ），∴∠BDM =∠CDN=302BDC MDN ， ∴11,22BM DM NC DN , ∴BM+NC=MN ． （2）猜想：结论仍然成立．证明：在CN的反向延长线上截取CM1=BM，连接DM1．∵∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，∠MBD=∠M1CD，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠M1DN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，（3）证明：在CN上截取CM1=BM，连接DM1．与（2）同理可证△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，与（2）同理可证∠CDN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN=M1N，∴NC-BM=MN．【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．6．（1）3；（2）见解析【分析】（1）过点B作BH⊥AD于H，由直角三角形的性质可求BH的长，由菱形的面积公式可求解；（2）延长DE至M，使ME＝BE，连接MB，由题意可证△ABD是等边三角形，△BCD是等边三角形，△BEM是等边三角形，可得∠CBD＝∠ABD＝60°＝∠MBE，AB＝BD＝BC，BM ＝BE，由“SAS”可证∴△MBD≌△EBC，可得MD＝EC，即可得结论．【详解】解：（1）如图，过点B作BH⊥AD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝6，∵∠A＝60°，BH⊥AD，∴∠ABH＝30°，∴AH＝12AB＝3，BH＝3AH＝33，∴菱形ABCD的面积＝AD×BH＝6×33＝183；（2）如图，延长DE至M，ME＝BE，连接MB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∠A＝60°＝∠BCD，∴△ABD是等边三角形，△BCD是等边三角形，∴∠CBD＝∠ABD＝60°，AB＝BD＝BC，∵∠BED＝2∠A＝120°，∴∠BEM＝60°，又∵BE＝ME，∴△BEM是等边三角形，∴BM＝BE，∠MBE＝∠DBC＝60°，∴∠MBD＝∠EBC，∴△MBD≌△EBC（SAS），∴MD＝EC，∴CE＝BE+DE．【点睛】本题主要考查了菱形的性质应用，结合等边三角形的性质是解题的关键．7．（1）见解析；（2）①2BD CD=+，见解析，②c a BD CD ADb b=+【分析】（1）根据题中所给的截长法或补短法思路解题，利用全等三角形的性质解题即可．（2）探究1 要求AD 、BD 、CD 之间的数量关系，结合（1）中所给方法，在BD 上截取BM CD =，再利用全等三角形及等腰直角三角形的性质进行求解．探究2 要求AD 、BD 、CD 之间的数量关系，以AD 为边构造直角三角形，再利用相似的性质求解．【详解】（1）截长法 证明：如图①-1，在DB 上截取DM AD =，连接AM ，AB BC AC ==，ABC ∴是等边三角形，60ABC ACB BAC ∴∠=∠=∠=︒．60ADB ACB ∴∠=∠=︒，DM AD =，AMD ∴△是等边三角形，60MAD ∴∠=︒，AM AD =．BAM CAD ∴∠=∠，()BAM CAD SAS ∴△≌△，BM CD ∴=，BD DM BM AD CD ∴=+=+；补短法 证明：如图①-2，延长CD 至点N ，使得DN AD =，DAN DNA ∴∠=∠．AB AC BC ==，ABC ∴为等边三角形，60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒．60ADB ACB ∴∠=∠=︒，60BDC BAC ∠=∠=︒，18060ADN BDC ADB ∴∠=︒-∠-∠=︒，ADN ∴为等边三角形，AD AN =，60DAN ∠=︒．BAD CAN ∴∠=∠．在BAD 和CAN △中，AB AC BAD CAN AD AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAN SAS ∴△≌△，BD CN ∴=，又CN CD DN CD AD =+=+，BD CD AD ∴=+．（2）探究1 解：2BD AD CD =+； 证明：如图②，在BD 上截取BM CD =，连接AM ，BC 是O 的直径，AB AC =，90BAC ∴∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒．45ADM ACB ∴∠=∠=︒，在BAM 和CAD 中，,AB AC ABM ACD BM CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAM CAD SAS ∴△≌△，AM AD ∴=，BAM CAD ∠=∠．45AMD ADM ∴∠=∠=︒，90MAD ∠=︒．AMD ∴△是等腰直角三角形，2MD AD ∴=．BD MD BM =+，2BD AD CD ∴=+；探究2 解：c a BD CD AD b b=+． 如图③，过点A 作AM AD ⊥交BD 于点M ，BC 是O 的直径，90BAC ∴∠=︒，BAC MAD ∴∠=∠，BAM CAD ∴∠=∠，ABM DCA ∠=∠，BAM CAD ∴△∽△，BM AB c CD AC b ∴==，c BM CD b ∴=， 又ADM ACB ∠=∠，MAD BAC ∠=∠，ADM ACB ∴△∽△，DM BC a AD AC b ∴==，a DM AD b∴=， BD BM MD =+，c a BD CD AD b b∴=+．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练运用图形的性质是解题的关键．8．（1）4；（2）见解析【分析】（1）首先证明△BDM ≌△CDN ，进而得出△DMN 是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM=12DM=12MN ，即可解决问题； （2）延长AC 至点E ，使得CE BM =，连接DE ，首先证明BDM CDE △≌△，再证明MDN EDN △≌△，得出MN NE =，进而得出结果即可．【详解】解：（1）∵ABC 是等边三角形，//MN BC ，60AMN ABC ∴∠=∠=︒，60ANM ACB ∠=∠=︒∴AMN 是等边三角形，AM AN ∴=，则BM NC =，∵BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，30DBC DCB ∴∠=∠=︒，90DBM DCN ∴∠=∠=︒，在BDM 和CDN △中， ,,,BM CN MBD DCN BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDM CDN SAS ∴△≌△，DM DN ∴=，BDM CDN ∠=∠，∵60MDN ∠=︒，∴DMN 是等边三角形，30BDM CDN ∠=∠=︒， 1122NC BM DM MN ∴===，MN MB NC ∴=+， ∴AMN 的周长4AB AC =+=．（2）如图，延长AC 至点E ，使得CE BM =，连接DE ，∵ABC 是等边三角形，BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，60ABC ACB ∴∠=∠=︒，30DBC DCB ∠=∠=︒，90ABD ACD ∠∴∠==︒，90DCE ∴∠=︒，在BDM 和CDE △中， ,,,BD CD MBD ECD BM CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDM CDE SAS ∴△≌△，MD ED ∴=，MDB EDC ∠=∠，120120MDE MDB EDC ∴∠=︒-∠+∠=︒，∵60MDN ∠=︒，60NDE ∴∠=︒，在MDN △和EDN △中，,60,,MD ED MDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()MDN EDN SAS ∴△≌△．MN NE ∴=，又∵NE NC CE NC BM =+=+，BM NC MN ∴+=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定，等边三角形及等腰三角形的性质是解题的关键．9．见解析【分析】过F 作FH ⊥AE 于H ，得出FH=FD ，然后证明△FHE ≌△FCE ，再通过等价转换可证得AE=EC+CD ．【详解】证明：过F 作FH ⊥AE 于H ，如图，∵AF 平分∠DAE ，∠D=90°，FH ⊥AE ，∴∠DAF=∠EAF ，FH=FD ，又∵DF=FC=FH ，FE 为公共边，∴△FHE ≌△FCE （HL ）．∴HE=CE ．∵AE=AH+HE ，AH=AD=CD ，HE=CE ，∴AE=EC+CD ．【点睛】本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，也考查了等量代换的思想，属于比较典型的题目．10．（1）见解析；（2）CB=2AB ；（3）23AB k FG = 【分析】（1）利用平行线的性质以及角的等量代换求证即可；（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE ，可证明△ABH ≌△DAE ，△ABE ∽△ACB ，利用相似三角形的性质从而得出结论；（3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K ，得出12AD DK CB DB ==，通过证明△ADK ∽△DBC 得出∠BDC=∠AKD=90°，再证DF=FQ ，设AD=a ，因此有DF=FC=QF=ka ，再利用相似三角形的性质得出AC=3ka ，3AB ka =，1122FG DF ka ==，从而得出答案．【详解】解：（1）∵∠BAD=∠BEC∠BAD=∠BAE+∠EAD∠BEC=∠ABE+BAE∴∠EAD=∠ABE∵AD∥BC∴∠EAD=∠ACB∴∠ACB=∠ABE（2）在BE边上取点H，使BH=AE ∵AB=AD∴△ABH≌△DAE∴∠AHB=∠AED∵∠AHB+∠AHE=180°∠AED+∠DEC=180°∴∠AHE=∠DEC∵∠BEC=2∠DEC∠BEC=∠HAE+∠AHE∴∠AHE=∠HAE∴AE=EH∴BE=2AE∵∠ABE=∠ACB∠BAE=∠CAB∴△ABE∽△ACB∴EB AE CB AB=∴CB=2AB；（3）连接BD交AC于点Q，过点A作AK⊥BD于点K ∵AD=AB∴12 DK BD=∠AKD=90°∵12AB AD BC ==∴12AD DK CB DB == ∵AD ∥BC∴∠ADK=∠DBC∴△ADK ∽△DBC∴∠BDC=∠AKD=90°∵DF=FC∴∠FDC=∠DFC∵∠BDC=90°∴∠FDC+∠QDF=90°∠DQF+∠DCF=90°∴DF=FQ设AD=a∴DF=FC=QF=ka∵AD ∥BC∴∠DAQ=∠QCB∠ADQ=∠QBC∴△AQD ∽△CQB ∴12AD QA BC CQ== ∴AQ=ka=QF=CF∴AC=3ka∵△ABE ∽△ACB ∴AE AB AB AC= ∴AB =同理△AFD ∽△CFG12DF AF FG FC == ∴1122FG DF ka ==AB FG = 【点睛】本题是一道关于相似的综合题目，难度较大，根据题目作出合适的辅助线是解此题的关键，解决此题还需要较强的数形结合的能力以及较强的计算能力．。
全等三角形~截长补短
1 2截长补短截长补短”是几何证明题中十分重要的方法， 通常用来证明几条线段的数量关系， 即若 题目条件或结论中含有 a b c ”的条件，需要添加辅助线时可以考虑截长补短”的方法。
另外的较短线段。
补短法: ①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等 于较长线段。
即延长a ，得到b ，证：a b①延长较短线段中的一条， 使延长后的线段等于较长线段, 一条较短线段。
即延长a ，得到c ,证：b c-a 。
例1.已知：如图，在 △ ABC 中，△仁△Z, △ B=2AC .求证:1.补短法:证明：如图，延长 AB 到E ,使BE=BD ，连接DE .△ △ABD 是 △BDE 的一个外角△ △ABDME + △BDEABE=BD △ △EMBDE△ △ABD=2 △E△ △ABD=2 △C△ △EMC在 AADE 和 AADC 中△ △ADE △△ADC (AAS )截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段,再设法证明较长线段的剩余线段等于 然后证明延长出来的部分等于另AC=AB+BD.ADAD1 2证明：如图，在 CD 上截取CF=CB .△CE 平分△CBD在△CFE 和 △CBE 中△AE=AC△AC=AB + BE=AB + BD2.截长法:证明：如图，在 AC 上截取AF=AB ，连接DF .在△ABD 和△AFD 中AB AFAD AD△ △ABD △△AFD ( SAS )△ ABMAFD , BD=FD△ △B=2 △C△ △AFD =2 △C△ △AFD 是^DFC 的一个外角△ △AFD me + 舉DC△ AFDCmCADF=FCABD=FC△AC=AF+FC=AB+BD例2.如图，在四边形 ABCD 中，△ A=AB=90，点E 为AB 边上一点，且 DE 平分△ ADC ，CE 平分△ BCD .求证：CD=AD+BC.CF CBCE CE△ △CFE △△CBE (SAS)△ △CFEMB△ △B=90△ △CFEMDFE =90△ △A=90 °△ △DFE=AA△DE 平分△ADC在△DEF和△DEA中DFE ADE DE△ △DEF △△DEA (AAS )ADF=AD△CD = DF + CF =AD + BC例3.已知：如图，在正方形ABCD中，AD =AB ,/ B= / D= / BAD =90° E, F 分别为CD , BC 边上的点，且/ EAF=45°,连接EF.求证：EF=BF+DE .证明：如图，延长FB到G,使BG=DE，连接AG . △ △D=^ABC=90△ △ABG = ^D=90在AABG和AADE中AB=ADABG= DBG=DE△ △ABG△△ADE ( SAS)△AG=AE, △ 1 = △△ △BAD=90 △EAF =45△ △ 2+ △ 3=45△ △ 1 = △+△2△ △ 1 = △+△2DB DE△ △ABD △△AED ( SAS )△ △B=2 △C△ △ 1=20△ △1是AAEC 的一个外角△AE=CE△CD=CE+ED=AE+BD=AB+BD△ △ 1 + △ 3=45即△GAF =45°△ △GAFMEAF在△AGF 和 AAEF 中AG AEGAF EAFAF AF△ △AGF △△AEF (SAS )△GF=EF△GF=BF+BGAEF=BF+DE例4.在△ABC 中，AD △BC 于 D , △B=2AC .求证：CD=AB+BD.证明：如图，在线段 DC 上截取DE=BD ，连接AE .△AD △BC△ △ADB = AADE=90在 AABD 和 AAED 中 AD ADADB ADE例5.如图，在△ABC 中，AB>AC , △ 1=A2, P 为AD 上任意一点，连接 BP , CP .求证：AB-AC > PB-PC .1.截长法：证明：如图，在 CF 上截取CM=BA ，连接DM .证明：如图，在线段 AB 上截取AE=AC ，连接PE .贝U AB-AC=AB-AE=EB在MEP 和MCP 中AE ACAP AP△ △\EP^mCP (SAS)APE=PC在APEB 中, PB PE<EBAPB-P C<EB△AB-AC > PB-PC例6.如图，在梯形ABCD 中，ADABC , CEAAB 于E , ABDC 为等腰直角三角形, ABDC=90° BD=CD ，CE 与 BD 交于 F ，连接 AF .求证：CF=AB+AF.△ △BDC 为等腰直角三角形，BD=CD△ △仁△CB=45°△CEAAB, ABDC=90°△ △CEB=^BDC=90°△ △ 2=A3△ △ 4=^5在△ABD 和△MCD 中△ △ABD ^^MCD (SAS )ADA=DM ，△ 6=^7 △AD^BC△ △ ?=△ 1=45°△ △ 6=45°△ △ 8=45°△ △ 7=^8在△ADF 和△MDF 中△ △ADF △△MDF ( SAS )△AF=MF△CF=CM+MF =AB+AF补短法：证明：如图，延长BA 交CD 的延长线于点G . △ △BDC 为等腰直角三角形△ △GDBMBDCrgO 。
三角形全等之辅助线——截长补短经典习题
三角形全等之截长补短之老阳三干创作
创作时间：二零二一年六月三十日
一、知识点睛
截长补短：
题目中呈现线段间的和差倍分时,考虑截长补短；截长补短的目的是把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．
二、精讲精练（可以检验考试用多种方法）
1.已知：如图,在△ABC中,∠1=∠2,∠B=2∠C．求证：
AC=AB+BD．
2.已知：如图,在正方形ABCD中,AD=AB,
∠D=∠ABC=∠BAD=90°,E,F分别为DC,BC边上的点,且∠
EAF=45°,连接EF．求证：EF=BF+DE．
3.已知：如图,在△ABC中,∠ABC=60º,△ABC的角平分线AD,CE
交于点O．求证：AC=AE+CD．
4.已知：如图,在△ABC中,∠A=90º,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥
1BD．
BD交BD的延长线于点E．求证：CE=
2
5.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,CE⊥AB于E,△BDC为等腰直角
三角形,∠BDC=90°,BD CD,CE与BD交于F,连接AF．求
证：CF=AB+AF．
6.如图,△ABC中,AM是BC边上的中线,求证：
创作时间：二零二一年六月三十日。
数学全全等三角形截长补短知识点及练习题及答案
数学全全等三角形截长补短知识点及练习题及答案一、全等三角形截长补短1．如图，已知B (-1, 0)，C (1, 0)，A 为y 轴正半轴上一点，AB =AC ，点D 为第二象限一动点，E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F ，且∠BDC =∠BAC .（1）求证：∠ABD =∠ACD ；（2）求证：AD 平分∠CDE ；（3）若在D 点运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？2．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝ 60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH ＝120°，且AF＝HF，∠HGF ＝120°，求证：HG＋BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为．3．已知：线段AB 及过点A 的直线l ，如果线段AC 与线段AB 关于直线l 对称，连接BC 交直线l 于点D ，以AC 为边作等边△ACE ，使得点E 在AC 的下方，作射线BE 交直线l 于点F ，连接CF ．（1）根据题意将图1补全；（2）如图1，如果∠BAD ＝α（30°＜α＜60°）．①∠BAE=_______，∠ABE=_______（用含有α代数式表示）； ②用等式表示线段FA ，FE 与FC 的数量关系，并证明．（3）如图2，如果60°＜α＜90°，直接写出线段FA ，FE 与FC 的数量关系，不证明．4．如图①，ABC 和BDC 是等腰三角形，且AB AC =，BD CD =，80BAC ∠=︒，100∠=︒BDC ，以D 为顶点作一个50︒角，角的两边分别交边AB ，AC 于点E 、F ，连接EF ．（1）探究BE 、EF 、FC 之间的关系，并说明理由；（2）若点E 、F 分别在AB 、CA 延长线上，其他条件不变，如图②所示，则BE 、EF 、FC 之间存在什么样的关系？并说明理由．5．通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．（解决问题）如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，试说明理由．证明：延长CD 到G ，使DG BE =，在ABE △与ADG 中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ABE ADG ≌理由：（SAS ）进而证出：AFE △≌___________，理由：（__________）进而得EF BE DF =+．（变式探究）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足等量关系________________时，仍有EF BE DF =+．请证明你的猜想．（拓展延伸）如图，若AB AD =，90≠︒∠BAD ，45EAF ∠≠︒，但12EAF BAD ∠=∠，90B D ∠=∠=︒，连接EF ，请直接写出EF 、BE 、DF 之间的数量关系．6．在△ABC 中，AB =AC ，点D 与点E 分别在AB 、AC 边上，DE //BC ，且DE =DB ，点F 与点G 分别在BC 、AC 边上，∠FDG 12=∠BDE ． （1）如图1，若∠BDE =120°，DF ⊥BC ，点G 与点C 重合，BF =1，直接写出BC = ； （2）如图2，当G 在线段EC 上时，探究线段BF 、EG 、FG 的数量关系，并给予证明； （3）如图3，当G 在线段AE 上时，直接写出线段BF 、EG 、FG 的数量关系：_____________．7．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD ，以D 为顶点作MDN ∠，交边AC ，BC 于点M ，N ．（1）如图（1），若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，当MDN ∠绕点D 旋转时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，若将M ，N 分别改在CA ，BC 的延长线上，完成图（3），其余条件不变，则AM ，MN ，BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）．8．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，E 为菱形ABCD 内对角线BD 左侧一点，连接BE 、CE 、DE ．（1）若AB ＝6，求菱形ABCD 的面积；（2）若∠BED ＝2∠A ，求证：CE ＝BE+DE ．9．如图，//AD BC ，点E 在线段AB 上，DE 、CE 分别是ADC ∠、BCD ∠的角平分线，若3AD =，2BC =，求CD 的长．10．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB =AD ，E 为对角线AC 上一点，∠BEC =∠BAD =2∠DEC ，探究AB 与BC 的数量关系．某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：小柏：“通过观察和度量，发现∠ACB =∠ABE ”；小源：“通过观察和度量，AE和BE存在一定的数量关系”；小亮：“通过构造三角形全等，再经过进一步推理，就可以得到线段AB与BC的数量关系”．……老师：“保留原题条件，如图2， AC上存在点F，使DF=CF=k AE，连接DF并延长交BC于点G，求ABFG的值”．（1）求证：∠ACB=∠ABE；（2）探究线段AB与BC的数量关系，并证明；（3）若DF=CF=k AE，求ABFG的值（用含k的代数式表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BAC的度数不变化．∠BAC=60°．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理等量代换可得结论；（2）作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，证明△ACM≌△ABN即可；（3）用截长补短法在CD上截取CP=BD，连接AP，证明△ABD≌△ACP，由全等性质可知△ADP是等边三角形，易知 BAC 的度数.【详解】（1）∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD；（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．则∠AMC=∠ANB=90°．∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACM≌△ABN （AAS）∴AM=AN．∴AD平分∠CDE．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（3）∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP=BD，连接AP．∵CD=AD+BD，AD=PD．∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP．∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】本题考查了三角形的综合，主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的证明和性质，等腰等边三角形的性质和判定，采用合适的方法添加辅助线构造全等三角形是解题的关键. 2．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD．【分析】（1）先利用角的和差证明∠BCD=∠EAC，然后利用AAS即可证明△AEC≌△CDB；（2）在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，依次证明△AEC≌△CDB和△HGF≌△FEA即可得出结论；（3）在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，依次证明△ACE≌△CBM和△HGF≌△FEA即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠BCD+∠ACE=120°，∵∠AEC=60°，∴∠ACE+∠EAC=120°，∴∠BCD=∠EAC，在△AEC和△CDB中∵60 AEC BDCBCD EACAC BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，由（1）知：△AEC≌△CDB，∴BD=CE，∵∠AEC=60°，∴∠AEF =120°，∵∠AFH ＝120°，∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°，∴∠FAE=∠GFH，∵∠HGF=∠AEF=120°，AF=FH，∴△HGF≌△FEA（AAS），∴GH=EF，∴CF=EF+CE=HG+BD；（3）解：HG=CF+BD，理由是：如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，∵∠BDC=60°，∴△BDM是等边三角形，∴∠BMD=60°，∵∠AED=60°，∴∠AEC=∠CMB=120°，∵∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°，∴∠CAE=∠BCE，∵AC=BC，∴△ACE ≌△CBM （AAS ），∴CE=BM=BD ，由（2）可证△HGF ≌△FEA （AAS ），∴GH=FE ，∵EF=CF+CE∴HG=CF+BD ．故答案为：HG=CF+BD ．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．3．（1）作图见解析；（2）①260α-︒，120α︒-；②FA=FC +FE ，证明见解析；（3）AF=FC-EF ．【分析】（1）先根据轴对称的性质作出线段AC ，再分别以A 、C 为圆心，AC 长为半径画弧，两弧交于点E ，可得等边△ACE ，最后根据题意画出图形即可；（2）①根据轴对称的性质可得∠BAC=2∠BAD=2α，根据等边三角形的性质可知∠EAC=60°，根据角的和差关系即可表示出∠BAE ；根据轴对称的性质和等边三角形的性质可得AB=AE ，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可表示出∠ABE ；②在FA 上截取FG=EF ，连接EG ，利用三角形内角和定理可得∠AFB=60°，即可证明△EFG 是等边三角形，根据角的和差故选可得∠AEG=∠CEF ，利用SAS 可证明△AEG ≌△CEF ，即可得出AG=CF ，根据线段的和差关系即可得结论；（3）由60°＜α＜90°可知点E 在直线l 右侧，根据题意画出图形，在FA 上截取FG=EF ，根据轴对称的性质可得AF ⊥BC ，BF=CF ，根据（2）中结论可得∠FBC=∠FCB=30°，利用三角形外角性质可得∠GFE=60°，可证明三角形EFG 是等边三角形，利用SAS 可证明△AEF ≌△CEG ，可得FA=CG ，根据线段的和差关系即可得答案．【详解】（1）补全图形如下：（2）①260α-︒，120.α︒-①∵AB、AC关于直线l对称，∴∠BAD=∠CAD，AB=AC，∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC=EC，∵∠BAD=α，∴∠BAC=BAD+∠CAD=2∠BAD=2α，∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=2α-60°．∵AB=AC，AC=AE，∴AB=AE，∴∠ABE=12（180°-∠BAE）=120°-α．故答案为：2α-60°，120°-α②数量关系是FA =FC +FE，证明如下：在FA上截取FG=EF，连接EG，由①得，∠ABE=120°-α，∠BAD=α，∴∠AFB=180°-∠ABE-∠BAD=60°，∴△EFG为等边三角形，∴EG=FE=FG，∠GEF=60°，∵△AEC是等边三角形，∴∠AEC=60°，AE=CE，∴∠AEC=∠GEF=60°，∴∠AEC-∠GEC=∠GEF-∠GEC，即∠AEG=∠CEF，在△AEG和△CEF中，EG EFAEG CEF AE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEG≌△CEF，∴AG=FC∴FA=AG+FG=FC+FE，（3）AF=FC-EF．∵60°＜α＜90°，∴如图所示，点E在直线l右侧，在FA上截取FG=EF，连接EG，∵AB、AC关于直线l对称，点F在直线l上，∴AF⊥BC，BF=CF，∴∠ABC=∠ACB=90°-α，由（2）可知∠ABE=120°-α，∴∠FBC=∠FCB=120°-α-（90°-α）=30°，∴∠EFG=∠FBC+∠FCB=60°，∴△EFG是等边三角形，∴∠FEG=60°，∵∠AEC=60°，∴∠AEF+∠AEG=∠CEG+∠AEG=60°，∴∠AEF=∠CEG ，在△AEF 和△CEG 中，EF EG AEF CEG AE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△CEG ，∴AF=CG ，∴AF=FC-EF ．【点睛】本题考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据轴对称的性质正确得出对应边并熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．4．（1）EF=BE+FC ；（2）EF=FC-BE ．【分析】（1）由等腰三角形的性质，解得50ABC ACB ∠=∠=︒，40DBC DCB ∠=∠=︒，延长AB 至G ，使得BG=CF ，连接DG ，进而证明GBD △()FCD SAS ≅，再根据全等三角形对应边相等的性质解得DG FD =，再结合等腰三角形的性质可证明DEF ()DGE SAS ≅，最后根据全等三角形的性质解题即可；（2）在CA 上截取CG=BE,连接DG ，由等腰三角形的性质，可得50ABC ACB ∠=∠=︒，40DBC DCB ∠=∠=︒，进而证明BED ≅()CGD SAS 得到DG DE =，据此方法再证明EDF ≅()GDF SAS ，最后根据全等三角形的性质解题即可．【详解】 （1）ABC 和BDC 是等腰三角形， ABC ACB ∴∠=∠DBC DCB ∴∠=∠80BAC AB AC ∠=︒=，50ABC ACB ∴∠=∠=︒100BDC BD CD ∠=︒=，40DBC DCB ∴∠=∠=︒90ABD ACD DCF ∴∠=∠=︒=∠延长AB 至G ，使得BG=CF ，连接DG18090GBD ABD ∠=︒-∠=︒在GBD △和FCD 中，BG=CF ，GBD DCF BD FD ∠=∠=，∴GBD △()FCD SAS ≅，DG FD ∴=BDG CDF ∴∠=∠50100EDF BDC ∴∠=︒∠=︒，50BDE CDF ∴∠+∠=︒50GDE BDG BDE CDF BDE ∠=∠+∠=∠+∠=︒在DEF 和DGE △中，DE=DE ，EDF GDE DF GD ∠=∠=，∴DEF ()DGE SAS ≅，EF EG BE GB BE CF ∴==+=+（2）在CA 上截取CG=BE,连接DGABC 是等腰三角形，80BAC ∠=︒50ABC ACB ∴∠=∠=︒100BDC BD CD ∠=︒=，40DBC DCB ∴∠=∠=︒90EBD GCD ∴∠=∠=︒CG BE BD CD ==，在BED 和CGD △中，CG=BE ，EBD GCD BD CD ∠=∠=，BED ∴≅()CGD SASDG DE ∴=在EDF 和GDF 中，FD=FD ，GDF EDF ED GD ∠=∠=，EDF ∴≅()GDF SASEF FG FC CG FC BE ∴==-=-【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．5．（1）AFE AFG △≌△，理由：SAS ；（2）180B D ∠+∠=︒，证明见解析；（3）BE+DF=EF ．【分析】（1）在前面已证的基础上，得出结论AE AG =，进而证明AFE AFG △≌△，从而得出结论；（2）利用“解决问题”中的思路，同样去构造AFE AFG △≌△即可；（3）利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可．【详解】（1）ABE ADG ≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（2）满足180B D ∠+∠=︒即可，证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，180B ADF ∠+∠=︒，180ADF ADG ∠+∠=︒，B ADG ∴∠=∠，在ABE △与ADG 中，AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（3）BE+DF=EF ．证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，在ABE △与ADG 中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴≌，,AE AG BAE DAG ∴=∠=∠，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，12EAF BAD ∠=∠，12FAG EAD FAE ∴∠=∠=∠， 在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；．【点睛】本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问题的关键．6．（1）4；（2）FG=BF+EG，见解析；（3）FG=BF-EG【分析】（1）解直角三角形分别求出DF，CF即可解决问题．（2）如图2中，结论：FG=BF+EG．在EA上截取EH，使得EH=BF．利用两次全等，证明FG=GH即可解决问题．（3）如图3中，结论：FG=BF-EG．在射线EA上截取EH，使得EH=BF．利用两次全等，证明FG=GH即可解决问题．【详解】（1）∵DE∥BC，∴∠BDE+∠ABC=180°，∵∠BDE=120°，∴∠ABC=60°，∵DF⊥BF，∴∠BFD=90°，∴DF=BF•tan60°133==∵∠CDF1=∠BDE=60°，∠DFC=90°，2==，∴CF=DF•tan60°333∴BC=BF+CF=1+3=4；（2）如图2中，结论：FG=BF+EG．理由：在EA上截取EH，使得EH=BF．∵AB=AC ，∠B=∠C ，∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∴∠ADE=∠AED ，∴∠DEH=∠B ，在△DBF 和△DEH 中，BF EH B DEH BD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBF ≌△DEH （SAS ），∴DF=DH ，∠BDF=∠EDH ，∵∠FDG 12=∠BDE ， ∴∠BDF+∠EDG=∠EDH+∠EDG=∠GDH 12=∠BDE ， ∴∠GDF=∠GDH ，在△DGF 和△DGH 中，DF DH GDF GDH DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DGF ≌△DGH （SAS ），∴FG=HG ，∵HG=EG+HE=EG+BF ，∴FG=BF+EG ；（3）如图3中，结论：FG=BF-EG ．理由：在射线EA 上截取EH ，使得EH=BF ．∵AB=AC ，∠B=∠C ，∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∴∠ADE=∠AED ，∴∠DEH=∠B ，在△DBF 和△DEH 中，BF EH B DEH BD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBF ≌△DEH （SAS ），∴DF=DH ，∠BDF=∠EDH ，∴∠BDE=∠FDH ，∵∠FDG 12=∠BDE 12=∠FDH ， ∴∠GDF=∠GDH ，在△DGF 和△DGH 中，DF DH GDF GDH DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DGF ≌△DGH （SAS ），∴FG=HG ，∵HG=HE-GE=BF-EG ，∴FG=BF=-EG ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．7．（1）AM BN MN +=；证明见解析；（2）AM BN MN +=；证明见解析；（3）补图见解析；BN AM MN -=；证明见解析．【分析】（1）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（2）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（3）在CB 截取BE=AM ，连接DE ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可．【详解】（1）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒，90A EBD ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．MDN ADC BDC ∠=∠=∠，ADM NDC BDE ∴∠=∠=∠，MDC NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=；（2）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒，90A DBE ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=，ADC CDB ∠=∠．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．90MDN ACD ∠+∠=︒，90ACD ADC ∠+∠=︒，ADC CDB ∠=∠，NDM ADC CDB ∴∠=∠=∠，ADM CDN BDE ∴∠=∠=∠，CDM NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=；（3）补充完成题图，如图所示．BN AM MN -=．证明如下：如上图，在CB 上截取BE=AM ，连接DE ．90CDA ACD ∠+∠=︒，90MDN ACD ∠+∠=︒，MDN CDA ∴∠=∠，MDA CDN ∴∠=∠．90B CAD ∠=∠=︒，90B DAM ∴∠=∠=︒．在DAM △和DBE 中，AM BE DAM DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE ADM CDN ∴∠=∠=∠，DM DE =．ADC BDC MDN ∠=∠=∠，ADN CDE ∴∠=∠，MDN EDN ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BN BE BN AM =-=-，BN AM MN ∴-=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．（1）3；（2）见解析【分析】（1）过点B作BH⊥AD于H，由直角三角形的性质可求BH的长，由菱形的面积公式可求解；（2）延长DE至M，使ME＝BE，连接MB，由题意可证△ABD是等边三角形，△BCD是等边三角形，△BEM是等边三角形，可得∠CBD＝∠ABD＝60°＝∠MBE，AB＝BD＝BC，BM ＝BE，由“SAS”可证∴△MBD≌△EBC，可得MD＝EC，即可得结论．【详解】解：（1）如图，过点B作BH⊥AD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝6，∵∠A＝60°，BH⊥AD，∴∠ABH＝30°，∴AH＝1AB＝3，BH＝3AH＝33，2∴菱形ABCD的面积＝AD×BH＝6×33＝183；（2）如图，延长DE至M，ME＝BE，连接MB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∠A＝60°＝∠BCD，∴△ABD是等边三角形，△BCD是等边三角形，∴∠CBD＝∠ABD＝60°，AB＝BD＝BC，∵∠BED＝2∠A＝120°，∴∠BEM＝60°，又∵BE＝ME，∴△BEM是等边三角形，∴BM＝BE，∠MBE＝∠DBC＝60°，∴∠MBD＝∠EBC，∴△MBD≌△EBC（SAS），∴MD＝EC，∴CE＝BE+DE．【点睛】本题主要考查了菱形的性质应用，结合等边三角形的性质是解题的关键．9．5【分析】如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，先证明ADE FDE △≌△，得到AE EF =，5A ∠=∠，然后证明CEF CEB △≌△，得到CF BC =，即可求出答案．【详解】解：如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，DE 是ADC ∠的角平分线，12∠∠∴=，在△ADE 和△FDE 中，,12,,AD DF DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE FDE SAS ∴△≌△，AE EF ∴=，5A ∠=∠，//AD BC ，180A B ∴∠+∠=︒，56180∠+∠=︒，6B ∴∠=∠， CE 是BCD ∠的角平分线，34∴∠=∠，在CEF △和CEB △中，6,34,,B CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CEF CEB AAS ∴△≌△，CF BC ∴=，325CD DF CF AD BC ∴=+=+=+=．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明ADE FDE △≌△是解题关键．10．（1）见解析；（2）CB=2AB ；（3）23AB k FG k = 【分析】（1）利用平行线的性质以及角的等量代换求证即可；（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE ，可证明△ABH ≌△DAE ，△ABE ∽△ACB ，利用相似三角形的性质从而得出结论；（3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K ，得出12AD DK CB DB ==，通过证明△ADK ∽△DBC 得出∠BDC=∠AKD=90°，再证DF=FQ ，设AD=a ，因此有DF=FC=QF=ka ，再利用相似三角形的性质得出AC=3ka ，3AB ka =，1122FG DF ka ==，从而得出答案．【详解】解：（1）∵∠BAD=∠BEC∠BAD=∠BAE+∠EAD∠BEC=∠ABE+BAE∴∠EAD=∠ABE∵AD ∥BC∴∠EAD=∠ACB∴∠ACB=∠ABE（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE∵AB=AD∴△ABH ≌△DAE∴∠AHB=∠AED∵∠AHB+∠AHE=180°∠AED+∠DEC=180°∴∠AHE=∠DEC∵∠BEC=2∠DEC∠BEC=∠HAE+∠AHE∴∠AHE=∠HAE∴AE=EH∴BE=2AE∵∠ABE=∠ACB∠BAE=∠CAB∴△ABE ∽△ACB ∴EB AE CB AB= ∴CB=2AB ； （3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K∵AD=AB∴12DK BD =∠AKD=90°∵12AB AD BC == ∴12AD DK CB DB == ∵AD ∥BC∴∠ADK=∠DBC∴△ADK ∽△DBC∴∠BDC=∠AKD=90°∵DF=FC∴∠FDC=∠DFC∵∠BDC=90°∴∠FDC+∠QDF=90°∠DQF+∠DCF=90°∴DF=FQ设AD=a ∴DF=FC=QF=ka∵AD ∥BC∴∠DAQ=∠QCB∠ADQ=∠QBC∴△AQD ∽△CQB∴12AD QA BC CQ == ∴AQ=ka=QF=CF∴AC=3ka∵△ABE ∽△ACB∴AE AB AB AC= ∴AB =同理△AFD ∽△CFG12DF AF FG FC == ∴1122FG DF ka ==AB FG k=． 【点睛】本题是一道关于相似的综合题目，难度较大，根据题目作出合适的辅助线是解此题的关键，解决此题还需要较强的数形结合的能力以及较强的计算能力．。
三角形全等之截长补短(整理)
三角形全等之截长补短(整理)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（三角形全等之截长补短(整理)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为三角形全等之截长补短(整理)的全部内容。
12三角形全等之截长补短（讲义）一、知识点睛截长补短:题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是____________________________________ ___________________________________________________．二、精讲精练1. 已知：如图,在△ABC 中,∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AC =AB +BD ．2. 如图,在四边形ABCD 中，∠A =∠B =90°,点E 为AB 边上一点，且DE 平分21D CB A 21D CB A 21D B A3∠ADC ,CE 平分∠BCD ． 求证:CD =AD +BC ．3. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠B =∠D =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC 边上的点，且∠EAF =45°,连接EF ．E DCA F EDCB A4求证:EF =BF +DE ．4. 已知：如图，在△ABC 中,∠ABC =60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点O ．求证：AC =AE +CD ．OED CBA F EDCB A55. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ．求证:CE =BD ．21OED BEDCB A。
全等三角形问题中常见的辅助线——截长补短法
全等三角形问题中常见的辅助线——截长补短法例1、如图，ABC 中，AB=2AC AD平分BAC，且AD=BD求证：CD丄AC例2、如图，AD// BC AE, BE分别平分/DAB,/ CBA CD过点E,求证;AB = AD+BCBAC ,例3、如图，已知在VABC内，BAC 60 , C 400, P, Q分别在BC, CA上,并且AP, BQ分别是ABC的角平分线。
求证：BQ+AQ=AB+BP例4、如图，在四边形ABCD中，BO BA,A» CD, BD平分ABC , 求证：A C 180求证;AB —AC> PB- PC例5、如图在厶ABC中, AB>AC, / 1 = Z 2, P为AD上任意一点,例6、已知ABC中，A 60°, BD、CE分别平分ABC和.ACB , BD、CE交于点O ,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.例7、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作DMN 60，射线MN与/ DBA外角的平分线交于点N , DM与MN 有怎样的数量关系？变式练习如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN DM且与/ ABC外角的平分线交于点N , MD与MN有怎样的数量关系？上一点，且/ 例&如图所示.已知正方形ABCD中, M为CD的中点，E为MCBAE=2/ DAM 求证：AE=BC+CEDME例9、已知：如图，ABCD是正方形，/ FAD=/ FAE.求证：BE+DF=AE.例10、如图所示，ABC是边长为2的正三角形, BDC是顶角为120°的等腰三角形, D为顶点作一个60°的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长.变式练习如图所示，ABC是边长为4的正三角形，BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长.例11、五边形ABCDE K AB=AE BC+DE=CD / ABC+Z AED=180 ,求证：DA平分/ CDE例12、如图，在四边形ABCD中, AD// BC,点E是AB上一个动点，若/ B=60°, AB=BC且/ DEC=60,判断AD+AE 与BC的关系并证明你的结论。
《全等三角形》中“中线倍长法”和“截长补短法”练习题(超经典)
全等三角形中“中线倍长法”和“截长补短法”练习题在希翼和憧憬中，最重要的是脚踏实地。
学习就像登山，必须一步一个脚印。
不要以粗心为借口原谅自己，全心全意朝着目标前进，全世界都会为你让路。
1.如图，△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 是BC 边上中线，求AD取值范围（7分）2.如图，四边形ABCD 是正方形，CF 是∠BCD 的外角平分线（1）E 是BC 上一动点，EF ⊥AE 交CF 于F ，求证：AE=EF （4分）（2）若(1)中的E 点运动到BC 的延长线上，(1)中的结论是否仍然成立，试说明理由（4分）。
（3）若(1)中的E 点运动到BC 的反向延长线上，试画出图形，并判断(1)中的结论是否成立（画图3分，结论1分）(39)FEDCB A(40)F E D C B A (41)C B A E F M D3、如图，已知△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且B E ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝E F4、如图，已知D 为△ABC 边BC 的中点，D E ⊥DF ，则B E ＋C F （ ）A 、大于EFB 、小于EFC 、等于EFD 、与EF 的大小关系无法确定5、如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过M 作ME ∥AD 交BA 的延长线于E ，交AC 于F 。
求证：BE ＝CF ＝21（AB ＋AC ）(42)C D B A (43)A B D C (44)D C B A (45)Q P C B A6、如图,在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC 于D ，且AB ＋BD ＝DC ，那么∠C 的度数是7、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B ＝2∠C ，求证：AB ＋BD ＝CD.8、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB ＋BD ＝AC ，则∠B ︰∠C 的值为9、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ ＋AQ ＝AB ＋BP 。
全等三角形辅助线的做法-截长补短
全等三角形辅助线的做法一：截长补短月日姓名【知识要点】1.遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法.(1)截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；(2)补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段.2.角平分线问题的作法角平分线具有两条性质：(1)对称性，作法是在一侧的长边上截取短边；(2)角平分线上的点到角两边的距离相等，作法是从角平分线上的点向角两边作垂线段.【典型例题】例1. 如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.例2. 已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC.求证：BC=AB+DC.例3. 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD. DCBADAE CB12ACD例4．△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=21BD ，求证：BD 平分∠ABC.例5．已知：△ABC 为等边三角形，AE=BD.求证：EC=DE.【考点突破】1. 如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 和∠ADE ，求证：AD=AB+CD.EEEDC2. 已知：CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD.3. 已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC.求证：△ABC是直角三角形. 4．已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC⊥AC. AEB D CCABAB D C1 2CBA5．已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD.6．已知：四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=60°，∠BCD=120°.求证：AC=BC ＋CD.课后作业月 日 姓 名 成 绩1. 如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。
(完整版)三角形全等之截长补短(整理)
三角形全等之截长补短（讲义）一、知识点睛截长补短：题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是_______________________________________________________________________________________．二、精讲精练1. 已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AC =AB +BD ．2. 如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠B =90°，点E 为AB 边上一点，且DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ．求证：CD =AD +BC ．21D C B A 21DC B A21D C B A C3. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠B =∠D =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC 边上的点，且∠EAF =45°，连接EF ． 求证：EF =BF +DE ．EDA4. 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点O ．求证：AC =AE +CD ．OED BF ED C B A5. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ． 求证：CE 21BD ．OE DBEDB AEA【参考答案】【知识点睛】线段间的和差倍分；把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．【精讲精练】1.补短法：证明：如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE．∵∠ABD是△BDE的一个外角∴∠ABD=∠E＋∠BDE∵BE=BD∴∠E=∠BDE∴∠ABD=2∠E∵∠ABD=2∠C∴∠E=∠C在△ADE和△ADC中E21D C BAFA BD1212E C AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ADC （AAS ） ∴AE =AC ∴AC =AB ＋BE=AB ＋BD 截长法：证明：如图，在AC 上截取AF =AB ，连接DF ． 在△ABD 和△AFD 中12AB AF AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△AFD （SAS ） ∴∠B =∠AFD ，BD =FD ∵∠B =2∠C ∴∠AFD =2∠C∵∠AFD 是△DFC 的一个外角 ∴∠AFD =∠C +∠FDC ∴∠FDC =∠C ∴DF =FC ∴BD =FC∴AC =AF +FC=AB +BD2. 证明：如图，在CD 上截取CF =CB ．∵CE 平分∠CBD ∴∠1=∠2在△CFE 和△CBE 中12CF CB CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△CBE （SAS ） ∴∠CFE =∠B ∵∠B =90°∴∠CFE =∠DFE =90° ∵∠A =90° ∴∠DFE =∠A ∵DE 平分∠ADC4321FE D CA321G CDB A EF 8765421O D BE ∴∠3=∠4在△DEF 和△DEA 中34DFE A DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△DEA （AAS ） ∴DF =AD∴CD =DF +CF =AD +BC3. 证明：如图，延长FB 到G ，使BG =DE ，连接AG ．∵∠D =∠ABC =90°∴∠ABG =∠D =90° 在△ABG 和△ADE 中AB=AD ABG= D BG=DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABG ≌△ADE （SAS ） ∴AG =AE ，∠1=∠2 ∵∠BAD =90°，∠EAF =45° ∴∠2+∠3=45° ∴∠1+∠3=45° 即∠GAF =45° ∴∠GAF =∠EAF 在△AGF 和△AEF 中AG AE GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AGF ≌△AEF （SAS ） ∴GF =EF ∵GF =BF +BG ∴EF =BF +DE4. 证明：如图，在AC 上截取AF =AE ，连接OF ．∵AD ，CE 为△ABC 的角平分线∴∠1=∠2，∠3=∠4 在△AEO 和△AFO 中12AE AFAO AO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩54321FE D C B A ∴△AEO ≌△AFO （SAS ） ∴∠5=∠6 ∵∠ABC =60°∴∠1+∠2+∠3+∠4=180︒-∠B =180︒-60︒ =120︒ ∴∠2+∠3=60︒ ∴∠AOC =180°-60︒ =120°∴∠5=∠6=∠7=∠8=60° 在△OFC 和△ODC 中8734OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△OFC ≌△ODC （ASA ） ∴CF =CD ∴AC =AF +FC =AE +CD5. 证明：如图，延长CE ，交BA 的延长线于点F ．∵CE ⊥BD∴∠BEF =∠BEC =90° ∵∠BAC =90° ∴∠CAF =∠BAD =90°∵∠3=∠4 ∴∠1=∠5在△BAD 和△CAF 中 15AB ACBAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌△CAF （ASA ） ∴BD =CF∵BE 平分∠ABC ∴∠1=∠2在△BEF 和△BEC 中12BE BEBEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BEF ≌△BEC （ASA ） ∴EF =EC∴CE=12CF∴CE=12BD三角形全等之截长补短每日一题1.（4月28日）在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C．求证：CD=AB+BD．2.（4月29日）如图，在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点，连接BP，CP．求证：AB-AC>PB-PC．DBA21PD C BA3. （4月30日）已知：如图，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，∠A +∠C =180°． 求证：BD =AB +CD ．4. （5月2日）如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边上任意一点，AF 平分∠DAE ，连接EF ． 求证：AE =BE +DF ．【参考答案】1. 证明：如图，在线段DC 上截取DE =BD ，连接AE ．21N PBAFEDCBAE21A B CD∵AD ⊥BC∴∠ADB =∠ADE =90° 在△ABD 和△AED 中AD AD ADB ADE DB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△AED （SAS ） ∴∠B =∠1，AB =AE ∵∠B =2∠C ∴∠1=2∠C∵∠1是△AEC 的一个外角 ∴∠1=∠C +∠2 ∴∠C =∠2 ∴AE =CE∴CD =CE +ED=AE +BD =AB +BD（如果延长DB 到点F ，使BF =AB ，连接AF 也可进行证明） 2. 证明：如图，在线段AB 上截取AE =AC ，连接PE ．E A BCDP12则AB -AC =AB -AE =EB 在△AEP 和△ACP 中12AE AC AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEP ≌△ACP （SAS ） ∴PE =PC在△PEB 中，PB -PE <EB ∴PB -PC <EB ∴AB -AC >PB -PC（延长AC 到点F ，使AF =AB ，连接PF ，也可证明结论） 3. 证明：如图，在BC 上截取BE =BA ，连接PE ．43E21N PD CA在△ABP 和△EBP 中12BA BE BP BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABP ≌△EBP （SAS ） ∴∠A =∠3∵∠A +∠C =180°，∠3+∠4=180° ∴∠4=∠C ∵PD ⊥BC∴∠PDE =∠PDC =90° 在△PDE 和△PDC 中4C PDE PDC PD PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PDE ≌△PDC （AAS ） ∴DE =DC∴BD =BE +ED=AB +CD（过点P 作PF ⊥BA 于F ，也可进行证明）4. 证明：如图，延长EB 到点G ，使BG =DF ，连接AG ．54321G FEDCBA∵四边形ABCD 为正方形∴AB =AD ，∠D =∠ABC =∠BAD =90° ∴∠ABG =∠D =90° 在△ABG 和△ADF 中AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△ADF （SAS ） ∴∠1=∠2，∠5=∠G ∵AF 平分∠DAE ∴∠1=∠3 ∵∠1+∠5=90° ∴∠3+∠G =90° ∵∠1+∠3+∠4=90° ∴∠2+∠3+∠4=90° ∴∠2+∠4=∠G ∴AE =EG ∵EG =BE +BG ∴AE =BE +DF三角形全等之截长补短（随堂测试）6. 已知：如图，在四边形ABCD 中，BC >AB ，AD =DC ，∠C =60°，BD 平分∠ABC ．求证：BC =AB +AD ．DC BA【参考答案】1. 证明略提示：在BC 上截取BE =AB ，证明△ABD ≌△EBD ，再证明 CE =AD ．三角形全等之截长补短（作业）1. 如图，在△ABC 中，∠BAC =60°，∠ABC =80°，AD 是∠BAC 的平分线．求证：AC =AB +BD ．AD AAB CD2. 如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，∠B +∠D =180°．求证：AE =AD +BE ．CD BAECD E3.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，连接EC．求证：BC=AB+CE．BE ADCBE ADC4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CE ⊥AB 于E ，△BDC 为等腰直角三角形，∠BDC =90°，BD =CD ，CE 与BD 交于F ，连接AF ． 求证：CF =AB +AF ．A DECFBA DECFB87654321MAD E CF B【参考答案】1. 证明略提示：方法一：在AC 上截取AE =AB ，连接DE ，证明△ABD ≌△AED ， 再证明CE =DE ；方法二：延长AB 到E ，使BE =BD ，证明△ADE ≌△ADC ． 2. 证明略提示：在AE 上截取AF =AD ，证明△CDA ≌△CF A ，再证明 BE =FE ． 3. 证明略提示：在BC 上截取BF =BA ，连接DF ，证明△ABD ≌△FBD ， 再证明△DFC ≌△DEC ． 4. 截长法：证明：如图，在CF 上截取CM=BA ，连接DM ． ∵△BDC 为等腰直角三角形，BD=CD ∴∠1=∠DCB =45° ∵CE ⊥AB ，∠BDC =90° ∴∠CEB =∠BDC =90° ∵∠2=∠3 ∴∠4=∠5在△ABD 和△MCD 中45AB MC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△MCD （SAS ） ∴DA =DM ，∠6=∠7 ∵AD ∥BC ∴∠7=∠1=45° ∴∠6=45° ∴∠8=45° ∴∠7=∠8在△ADF 和△MDF 中78DA DM DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△MDF （SAS ） ∴AF =MF ∴CF =CM+MF=AB+AF 补短法：证明：如图，延长BA 交CD 的延长线于点G ． ∵△BDC 为等腰直角三角形 ∴∠GDB =∠BDC=90°，∠5=45° ∵CE ⊥AB∴∠CEB =∠BDC =90° ∵∠1=∠2 ∴∠3=∠4在△GBD 和△FCD 中34GDB FDC DB DC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GBD ≌△FCD （ASA ）∴BG =CF ，DG =DF ∵AD ∥BC ∴∠6=∠5=45° ∴∠7=45° ∴∠6=∠7在△GDA 和△FDA 中76DG DF DA DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△GDA ≌△FDA （SAS ） ∴AG =AF ∵BG =AB +AG ∴CF =AB +AF1234567G A DE F B。
全等三角形-截长补短法
CDBD AB BD AB DE CE CD CEAB CE AE CAE C CAE C AEB C2AEB C2B B AEB AB AE BC AD =++=+=∴=∴=∴∠=∠∴∠+∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴=∴⊥即又 证法二：如图2，延长CB 到F ，使BF=AB 。
连结AF则F 2ABC =∠CDBD AB BD AB BD BF DF DFCD CF AD ACF AFAC F C C 2ABC =+∴+=+==∴⊥∆∴=∴∠=∠∴∠=∠ 为等腰三角形【能力提升】3、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .证明:延长CB 到M,使BM=DF,则ME=BE+BM=BE+DF.连接AM.AB=AD,BM=DF,∠ABM=∠D,则:⊿ABM ≌ΔADF(SAS).2、提示二：采取补短法构造全等三角形△ACD ≌△AFD 来证明AB ＋BD ＝CDFEDCBA故:∠MAB=∠FAD;又AF平分∠EAD,则:∠MAB=∠EAF;则∠M=∠AFD=∠BAF=∠BAE+∠EAF=∠BAE+∠MAB=∠MAE,得AE=ME.所以,AE=ME=BE+DF.【思考题】4、如图，已知△ABC中，∠A＝90º，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BD 于E，求证：CE=BD.•分别延长CE,BA，交与一点F因为BE⊥ECBE平分∠ABC∠FEB=∠BEC=90°∠ABD=∠DBCBE=BE△BFE全等于△BEC (以上结论也可以由等腰三角形三线合一证明)FE=EC 即 FC=2EC又AB=AC∠BAC=90°∠ABD+∠ADB=180°∠ADB=∠EDC，故∠ABD+∠EDC=90°又∠DEC=90°∠EDC+∠ECD=90°∠FCA=∠DBC=∠ABD 3、提示：要证BE+DF=AE.就要构造全等三角形，延长CB到M,证⊿ABM≌ΔADF,这就需要连接AM。
三角形全等之截长补短
三角形全等之截长补短（讲义）一、知识点睛截长补短：题目中出现时，考虑截长补短；截长补短的作用是____________________________________．二、精讲精练 A1. 已知：如图，在△ ABC 中，∠ 1=∠2，∠ B=2∠C．1 2求证： AC=AB+BD．CB DA21CB DA21B D C2.如图，在四边形 ABCD 中，∠ A=∠B=90°，点 E 为 AB 边上一点，且 DE 均分∠ ADC，CE 均分∠ BCD．C 求证： CD=AD+BC．3.已知：如图，在正方形 ABCD 中， AD=AB，∠ B=∠ D=∠ BAD=90°，E，F 分别为 CD， BC 边上的点，且∠ EAF=45°，连结EF．求证： EF=BF+DE．DAEA DEB F C4.已知：如图，在△ ABC 中，∠ ABC=60°，△ ABC 的角均分线 AD，CE 交于点 O．求证： AC=AE+CD．BDEOA CBDEOA C5.已知：如图，在△ ABC 中，∠ A=90°，AB=AC，BD 均分∠ ABC，CE⊥BD 交 BD 的延伸线于点E．1求证： CEBD． 2AEDB CAE【参照答案】【知识点睛】线段间的和差倍分；把几条线段间的数目关系转为两条线段的等量关系．【精讲精练】1.补短法：证明：如图，延伸 AB 到 E，使∵∠ ABD 是△ BDE 的一个外角∴∠ ABD=∠ E＋∠ BDE∵ BE=BD∴∠ E=∠BDE∴∠ ABD=2∠E∵∠ ABD=2∠C B∴∠ E=∠C 在△ ADE 和△ ADC 中E BE=BD，连结 DE．A12D CE C1 2AD AD∴△ ADE≌△ ADC（AAS ）∴AE=AC∴AC=AB＋BE=AB ＋BD截长法：证明：如图，在 AC 上截取 AF=AB，连结 DF ．在△ ABD 和△ AFD 中AAB AF1 21 2F AD AD∴△ ABD≌△ AFD （SAS）B D C∴∠ B=∠AFD， BD=FD∵∠ B=2∠ C∴∠ AFD=2∠C∵∠ AFD 是△ DFC 的一个外角∴∠ AFD=∠ C +∠FDC∴∠ FDC=∠ C∴ DF=FC∴ BD=FC∴ AC=AF+FC=AB+BD2. 证明：如图，在 CD 上截取 CF=CB．∵ CE 均分∠ CBDC∴∠ 1=∠ 2F 1 2在△ CFE 和△ CBE 中 D CF CB3 41 2CE CE A E B ∴△ CFE≌△ CBE（SAS）∴∠ CFE=∠ B∵∠ B=90°∴∠ CFE=∠ DFE =90 °∵∠ A=90°∴∠ DFE=∠ A∵DE 均分∠ ADC∴∠ 3=∠ 4在△ DEF 和△ DEA 中DFE A34DE DE∴△ DEF ≌△ DEA （AAS ）∴ DF=AD∴ CD=DF+CF=AD+BC3. 证明：如图，延伸 FB 到 G ，使 BG=DE ，连结 AG ．∵∠ D=∠ABC=90° AD∴∠ ABG=∠ D=90°2 1 3在△ ABG 和△ ADE 中EAB=ADABG= DBG=DE G B F ∴△ ABG ≌△ ADE （SAS ）∴ AG=AE ，∠ 1=∠2∵∠ BAD=90°，∠ EAF=45° ∴∠ 2+∠ 3=45° ∴∠ 1+∠ 3=45° 即∠ GAF=45° ∴∠ GAF=∠ EAF 在△ AGF 和△ AEF 中 AG AE GAF EAFAFAF∴△ AGF ≌△ AEF （SAS ） ∴ GF=EF ∵ GF=BF+BG ∴ EF=BF+DE4. 证明：如图，在 AC 上截取 AF=AE ，连结OF ． ∵ AD ， CE 为△ ABC 的角均分线C∴∠ 1=∠ 2，∠ 3=∠ 4B 在△ AEO 和△ AFO 中AE AF ED1 2 5 O 7AOAO1684∴△ AEO ≌△ AFO （SAS ） ∴∠ 5=∠ 6 ∵∠ ABC=60°∴∠ 1+∠ 2+∠3+∠4=180 ∠B=180 60 =120∴∠ 2+∠ 3=60 ∴∠ AOC=180° 60 =120°∴∠ 5=∠ 6=∠7=∠8=60° 在△ OFC 和△ ODC 中∠ 8 ∠7 OC OC ∠ 3 ∠4∴△ OFC ≌△ ODC （ASA ）∴ CF=CD∴ AC=AF+FC=AE+CD5. 证明：如图，延伸 CE ，交 BA 的延伸线于点 F ．∵ CE ⊥ BD∴∠ BEF=∠BEC=90°F∵∠ BAC=90° A∴∠ CAF=∠ BAD=90°D E∵∠ 3=∠ 434∴∠ 1=∠ 515 在△ BAD 和△ CAF 中B2 C1 5AB ACBAD CAF ∴△ BAD ≌△ CAF （ASA ）∴ BD=CF∵ BE 均分∠ ABC∴∠ 1=∠ 2在△ BEF 和△ BEC 中12 BE BE BEF BEC∴△ BEF ≌△ BEC （ASA ） ∴ EF=EC∴ CE= 1 CF2∴ CE= 1BD2三角形全等之截长补短每天一题1. （ 4 月 28 日）在△ ABC 中， AD ⊥ BC 于 D ，∠B=2∠C ．求证： CD=AB+BD ．AB DC2. （ 4 月 29 日）如图，在△ ABC 中， AB>AC ，∠ 1=∠2，P 为 AD 上随意一点，连结 BP ，CP ．求证： AB AC>PB PC ．A1 2PB D C3.（4 月 30 日）已知：如图，∠ 1=∠2，P 为 BN 上一点，且PD⊥BC 于点 D，∠A+∠C=180°．求证：BD=AB+CD．NAP12B D CA D4. （ 5 月 2 日）如图，在正方形 ABCD 中， E 为 BC 边上随意一点，AF 均分∠ DAE，连结 EF．求证： AE=BE+DF ．FB E C【参照答案】1. 证明：如图，在线段DC 上截取 DE=BD，连结 AE．10A21B D E C∵AD⊥ BC∴∠ ADB=∠ ADE=90°在△ ABD 和△ AED 中AD ADADB ADEDB DE∴△ ABD≌△ AED（SAS）∴∠ B=∠1，AB=AE∵∠ B=2∠ C∴∠ 1=2∠C∵∠ 1 是△ AEC 的一个外角∴∠ 1=∠ C+∠ 2∴∠ C=∠2∴AE=CE∴CD=CE+ED=AE+BD=AB+BD（假如延伸 DB 到点 F，使 BF=AB，连结 AF 也可进行证明）2. 证明：如图，在线段AB 上截取 AE=AC，连结 PE．A1 2PEB D C则AB AC=AB AE=EB在△ AEP 和△ ACP 中AE AC1 2AP AP∴△ AEP≌△ ACP（SAS）∴PE=PC在△ PEB 中， PB PE<EB∴PB PC<EB∴AB AC>PB PC（延伸 AC 到点 F，使 AF=AB，连结 PF，也可证明结论）3.证明：如图，在 BC 上截取 BE=BA，连结 PE．NAP13 42B E DC在△ ABP 和△ EBP 中BA BE1 2BP BP∴△ ABP≌△ EBP（ SAS）∴∠ A=∠3∵∠ A+∠C=180°，∠ 3+∠4=180°∴∠ 4=∠ C∵PD⊥ BC∴∠ PDE=∠ PDC=90°在△ PDE 和△ PDC 中4 CPDE PDCPD PD∴△ PDE≌△ PDC（AAS ）∴DE=DC∴BD=BE+ED=AB+CD（过点 P 作 PF⊥BA 于 F，也可进行证明）4.证明：如图，延伸 EB 到点 G，使 BG=DF ，连结 AG．A D132 45FG B E C∵四边形 ABCD 为正方形∴AB=AD，∠ D=∠ABC=∠BAD=90°∴∠ ABG=∠ D=90°在△ ABG 和△ ADF 中AB ADABG ADFBG DF∴△ ABG≌△ ADF （SAS）∴∠ 1=∠ 2，∠ 5=∠ G∵AF 均分∠ DAE∴∠ 1=∠ 3∵∠ 1+∠ 5=90°∴∠ 3+∠ G=90°∵∠ 1+∠ 3+∠4=90°∴∠ 2+∠ 3+∠4=90°∴∠ 2+∠ 4=∠G∴AE=EG∵EG=BE+BG∴AE=BE+DF三角形全等之截长补短（随堂测试）6.已知：如图，在四边形 ABCD中， BC>AB， AD=DC，∠ C=60°，BD 均分∠ABC．求证： BC=AB+AD．ADB C【参照答案】1.证明略提示：在 BC 上截取 BE=AB，证明△ ABD≌△ EBD，再证明CE=AD．三角形全等之截长补短（作业）1.如图，在△ ABC 中，∠ BAC=60°，∠ ABC=80°， AD 是∠ BAC 的均分线．求证： AC=AB+BD．AB D CAB D CA2.如图， AC 均分∠ BAD，CE⊥AB 于 E，∠B+∠D=180°．求证： AE=AD+BE．D AD A CE B CE B3.如图，在△ ABC 中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD 是∠ ABC 的均分线，延伸 BD 至 E，使 DE=AD，连结 EC．求证： BC=AB+CE．AEDB CAEDB C4.如图，在梯形 ABCD 中， AD∥BC，CE⊥AB 于 E，△ BDC 为等腰直角三角形，∠ BDC=90°，BD=CD，CE 与 BD 交于 F，连结AF．求证： CF=AB+AF．A DEFB CA DEFB C【参照答案】1.证明略提示：方法一：在 AC 上截取 AE=AB，连结 DE，证明△ ABD≌△ AED，再证明 CE=DE；方法二：延伸 AB 到 E，使 BE=BD，证明△ ADE≌△ ADC．2.证明略提示：在 AE 上截取 AF=AD，证明△ CDA≌△ CFA，再证明BE=FE．3.证明略提示：在 BC 上截取 BF=BA，连结 DF ，证明△ ABD≌△ FBD，再证明△ DFC≌△ DEC．4.截长法：证明：如图，在 CF 上截取 CM=BA ，连结DM ．∵△ BDC 为等腰直角三角形， BD=CD∴∠ 1=∠ DCB=45° A D∵ CE⊥ AB，∠ BDC=90°7E 86∴∠ CEB=∠ BDC=90° 2 3F∵∠ 2=∠ 34 M∴∠ 4=∠ 551C在△ ABD 和△ MCD 中B AB MC4 5BD CD∴△ ABD≌△ MCD （SAS）∴DA=DM ，∠ 6=∠ 7∵AD∥ BC∴∠ 7=∠ 1=45°∴∠ 6=45°∴∠ 8=45°∴∠ 7=∠ 8在△ ADF 和△ MDF 中DA DM78DF DF∴△ ADF ≌△ MDF （SAS）∴AF=MF=AB+AF 补短法：证明：如图，延伸 BA 交 CD 的延伸线于点 G ． ∵△ BDC 为等腰直角三角形∴∠ GDB=∠ BDC= 90°，∠ 5=45° ∵ CE ⊥ AB∴∠ CEB=∠ BDC=90°G∵∠ 1=∠ 2 A 7 D ∴∠ 3=∠ 4E6在△ GBD 和△ FCD 中 21FGDB FDC34DB DC5C3 B4∴△ GBD ≌△ FCD （ASA ） ∴ BG=CF ，DG=DF ∵ AD ∥ BC ∴∠ 6=∠ 5=45° ∴∠ 7=45° ∴∠ 6=∠ 7在△ GDA 和△ FDA 中 DG DF76 DA DA∴△ GDA ≌△ FDA （SAS ） ∴ AG=AF ∵ BG=AB+AG ∴ CF=AB+AF。
全等三角形~截长补短
截长补短“截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有“c b a =+”的条件，需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段。
补短法：①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等于较长线段。
即延长a ，得到b ，证：c b a =+。
①延长较短线段中的一条，使延长后的线段等于较长线段，然后证明延长出来的部分等于另一条较短线段。
即延长a ，得到c ，证：a c b -=。
例1. 已知：如图，在△ABC 中，△1=△2，△B=2△C ．求证：AC=AB+BD ．1. 补短法：证明：如图，延长AB 到E ，使BE =BD ，连接DE ． △△ABD 是△BDE 的一个外角 △△ABD =△E ＋△BDE △BE =BD △△E =△BDE △△ABD =2△E △△ABD =2△C △△E =△C在△ADE 和△ADC 中12E CAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADE △△ADC （AAS ）21D CB A E21D CB AFA BCD12△AE =AC△AC =AB ＋BE=AB ＋BD 2. 截长法：证明：如图，在AC 上截取AF =AB ，连接DF ． 在△ABD 和△AFD 中12AB AF AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABD △△AFD （SAS ） △△B =△AFD ，BD =FD △△B =2△C △△AFD =2△C△△AFD 是△DFC 的一个外角 △△AFD =△C +△FDC △△FDC =△C △DF =FC △BD =FC△AC =AF +FC =AB +BD例2. 如图，在四边形ABCD 中，△A=△B=90°，点E 为AB 边上一点，且DE 平分△ADC ，CE 平分△BCD ．求证：CD=AD+BC ．证明：如图，在CD 上截取CF =CB ． △CE 平分△CBD △△1=△2在△CFE 和△CBE 中12CF CB CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩E DCB A 4321FE D CBA321G CDB A EF △△CFE △△CBE （SAS ） △△CFE =△B △△B =90°△△CFE =△DFE =90° △△A =90° △△DFE =△A △DE 平分△ADC △△3=△4在△DEF 和△DEA 中34DFE A DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△DEF △△DEA （AAS ） △DF =AD△CD =DF +CF =AD +BC例3. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠B =∠D =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC 边上的点，且∠EAF =45°，连接EF ． 求证：EF =BF +DE ．证明：如图，延长FB 到G ，使BG =DE ，连接AG ． △△D =△ABC =90° △△ABG =△D =90° 在△ABG 和△ADE 中AB=AD ABG= D BG=DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩△△ABG △△ADE （SAS ） △AG =AE ，△1=△2 △△BAD =90°，△EAF =45° △△2+△3=45°FEDC BAE21A B CD△△1+△3=45° 即△GAF =45° △△GAF =△EAF 在△AGF 和△AEF 中AG AE GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AGF △△AEF （SAS ） △GF =EF △GF =BF +BG △EF =BF +DE例4. 在△ABC 中，AD △BC 于D ，△B =2△C ．求证：CD =AB +BD ．证明：如图，在线段DC 上截取DE =BD ，连接AE ．△AD △BC△△ADB =△ADE =90° 在△ABD 和△AED 中AD AD ADB ADE DB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABD △△AED （SAS ） △△B =△1，AB =AE △△B =2△C △△1=2△C△△1是△AEC 的一个外角 △△1=△C +△2 △△C =△2 △AE =CE△CD =CE +ED =AE +BD =AB +BDD CAEA B C D P12例5. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，△1=△2，P 为AD 上任意一点，连接BP ，CP ．求证：AB -AC > PB -PC ．证明：如图，在线段AB 上截取AE =AC ，连接PE ． 则AB -AC =AB -AE =EB 在△AEP 和△ACP 中12AE AC AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AEP △△ACP （SAS ）△PE =PC在△PEB 中，PB PE <EB △PB -PC <EB△AB -AC > PB -PC例6. 如图，在梯形ABCD 中，AD △BC ，CE △AB 于E ，△BDC 为等腰直角三角形，△BDC =90°，BD =CD ，CE 与BD 交于F ，连接AF ．求证：CF =AB +AF ．1. 截长法：证明：如图，在CF 上截取CM=BA ，连接DM ．21PD A A DE CF B87654321MA D E CF B△△BDC 为等腰直角三角形，BD=CD △△1=△DCB =45°△CE △AB ，△BDC =90° △△CEB =△BDC =90° △△2=△3 △△4=△5在△ABD 和△MCD 中45AB MC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABD △△MCD （SAS ） △DA =DM ，△6=△7 △AD △BC △△7=△1=45° △△6=45° △△8=45° △△7=△8在△ADF 和△MDF 中78DA DM DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADF △△MDF （SAS ） △AF =MF△CF =CM+MF =AB+AF补短法：证明：如图，延长BA 交CD 的延长线于点G ． △△BDC 为等腰直角三角形△△GDB =△BDC=90°，△5=45° △CE △AB△△CEB =△BDC =90°△△1=△2 △△3=△4 在△GBD 和△FCD 中1234567G A DE CF B34GDB FDC DB DC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△GBD △△FCD （ASA ） △BG =CF ，DG =DF △AD △BC △△6=△5=45° △△7=45° △△6=△7在△GDA 和△FDA 中76DG DF DA DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△GDA △△FDA （SAS ） △AG =AF △BG =AB +AG △CF =AB +AF。
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全等三角形分级练习（第六级/共六级）
全等三角形分级训练要求：
第六级：能够利用三角形的全等证明3个线段之间的大小关系，本阶段还会贯彻作辅助线等解题技巧。
在此等级知识中，让我们回到全等的起点—平移、旋转、翻折平时我们通常利用全等三角形只能证明2个线段相等，但是如果给出3个线段问它们之间的大小关系，那么思考就不能仅仅局限于全等了。
1. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，
BE⊥MN于E。
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ACD≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量
图1
图2
图3
2. （2012年探究九年级第7页的第8题）例1、如图，在梯形ABCD中，AD//BC
，AE
、BE平分∠DAB和
∠ABC交CD于点E，∠AEB=90°求证：AB=AD+BC 3. (2012年探究九年级第15页第9题)
如图7，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=45°
求证：EF=BE+DF
4. 已知：如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD.
5.已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC. 求证：∠BAD+∠BCD=180°。