2020年中考数学压轴题精讲答案
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变式 1： 2 2 7
由题知：过 P、Q 分别向 OA、OB 作对称，对应点分别为 P'、Q' ，过点 Q 作 QH⊥OP 于点 H，连接 PM、P' M、QN、Q' N、P'Q'、OP'、OQ' ； ∵ OQ 2 3，OP 4，POQ 30，QH OP ；
∴在 Rt△OQH 中， QH 3，OH 3 ； ∴在 Rt△QHP 中， QP 1，PQ 2 为定值； 由对称性知识可知： P'OQ' 2BOP POQ 2QOA 90 ；
25 题解图(4) 作出弧 BC 的圆心 O，连接 AO，与弧 BC 交于 P，P 点即为使得 PA 最短的点 ∵AB＝6km，AC＝3km，∠ BAC＝60°，∴∆ABC 是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3 3 BC 所对的圆心角为 60°，∴∆OBC 是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝3 3 ∴∠ABO＝90°，AO＝3 7，PA＝3 7－3 3 ∠P´AE ＝ ∠EAP ， ∠PAF＝ ∠FAP＂ ， ∴∠P´AP ＂ ＝ 2∠ABC ＝ 120°， P´A ＝ AP ＂ ， ∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30° ∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝ 3P´A＝3 21－9 所以 PE＋EF＋FP 的最小值为 3 21－9km．
∴ P'Q' (2 3)2 42 2 7 。
∴四边形 PMQN 最小周长为 2 7 2 。 拓展：
由题知：过 P、Q 分别向 OA、OB 作对称，对应点分别为 P'、Q' ，过点 Q 作 QH⊥OP 于点 H，过点 Q' 作 Q' S P'O 交 P'O 延长线于点 S；
连接 PM、P' M、QN、Q' N、P'Q'、OP'、OQ' ； ∵ OQ 2 3，OP 4，POQ 30，QH OP ；
25 题解图(3)
(3)假设 P 点即为所求点，分别作出点 P 关于 AB、AC 的对称点 P´、P＂连接 PP´、P´E，
PE，P＂F，PF，PP＂
由对称性可知 PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且 P´、E、F、P＂在一条直线
上，所以 P´P＂即为最短距离，其长度取决于 PA 的长度
第一讲:
P5 例 1: 8
拓展
82
83
P6 变式 1：如图，点 P、Q 为∠AOB 内任意两点，点 M 和点 N 分别是射线 OB 和射线 OA
上的动点，AOB 60，POQ 30，OP 4，OQ 2 3 ，则四边形 PMNQ 周长最小值
Βιβλιοθήκη Baidu
为__________.
拓展：若 AOB 90 ，其他条件不变，则四边形 PMNQ 周长最小值为___________. （提示：构造直角三角形）
P9 变式 7： 112 例 1： 5 1 P10 变式 1： 2 变式 2： 13 P11
例 2： 4 变式 3： 13
2
例 3： 13 2
例 1： 2 10 2 B' D DE B' E 2 10 2(当且仅当E、B'、D三点共线时取等号) 变式 1.1： 2 7 - 2 A'C MC A' M 2 7 2(当且仅当M、A'、C三点共线时取等号) 例 2： 3 AC' AB BQ QC' AB BC 3(当且仅当Q、B两点重合时且QP恰好平分ABC时取等号) 变式 2.1： 4 3 - 4 BA' BC CN NA' BC CA 4 3 4(当且仅当B、N、C、A'四点共线时取等号) P12 变式 2.2： 3 5 - 6 DP BD BE A' E BD AB 3 5 6(当且仅当B、A'、D三点共线时取等号) 变式 2.3 1 x 3 当点 P 和点 B 重合时， BA' 最大为 3； 当点 Q 和点 D 重合时， BA' 最小为 1； 练习 1： 2 13
2 即 EF 7 。
例 3:
10
由菱形知识可知：F、D 两点关于线段 AE 对称，最短距离为 BD； 过点 D 作 DH AB 于 H 点，过点 E 作 EM AB 于 M 点，连接 BD； 设 DH x ； 则 AH 3x，AD DE 2x，EM MB x ；
AB (3 3)x 3 3 ； ∴ x 1； 即在 Rt△DHB 中， DH 1，BH 10 ； ∴ BD 10 ；
P14 练习 3： （1） 5
（2）18
（3） 3 21 - 9
解：(1)R＝AB＝AC＝5；
(2)如 25 题解图(2)所示，连接 MO 并延长交⊙O 于 N，连接 OP
显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝ 132－122＝5，MN＝18
∴PM 的最大值为 18；
25 题解图(2)
∴在 Rt△OQH 中， QH 3，OH 3 ； ∴在 Rt△QHP 中， QP 1，PQ 2 为定值； 由对称性知识可知： P'OQ' 2BOP POQ 2QOA 150 ； 在 Rt△ OSQ' 中， OQ' OQ 2 3，Q'OS 30
∴ OQ' 3，OS 3
在 Rt△ P' SQ' 中， PS OP OS 7，SQ' 3
即 PF PB 的最短距离为 10 。
P7 例 1： 4 2
变式 1： 5
变式 2： 2 7
变式 3： 6
P8 变式 4： 4 变式 5： 5 （当且仅当 EC=AF 时取到最值，此时四边形 AECF 为菱形，得出 AE CF 5 ）
2 变式 6： 2 10 2 （同例 2，看成相对运动或者直接认为 BD BE 时取到最值）
∴ P'Q' ( 3)2 72 2 13 。
∴四边形 PMQN 最小周长为 2 13 2 。
例 2:
7
∵DE 均在直线 AB 上运动，而点 C 固定； 相当于 DE 固定，点 C 在平行于 AB 的直线上（计作 l）运动；
作点 D 关于直线 l 作对称点 F，连接 DF，交直线 l 于点 G； 过 C 作 CH BD 于 H 点； 易知 BC 1，CH 3 ，DE AB 2，DF 2DG 3 ；
解析：延长 BA、CD 交于点 H，易知 BHC 30 过点 P 分别向 AB、CD 作对称点，对应点分别为 M '、M '' 由对称特性可知： M ' HM '' 60，△M ' HM '' 为等边三角形 ∴ M ' M '' HP HM ' HM '' HM (当且仅当M、P两点重合时取等号) 在 Rt△HBM 中， BM 2，HB BC tanC 4 3 ∴ HM 2 13 P13 练习 2：
由题知：过 P、Q 分别向 OA、OB 作对称，对应点分别为 P'、Q' ，过点 Q 作 QH⊥OP 于点 H，连接 PM、P' M、QN、Q' N、P'Q'、OP'、OQ' ； ∵ OQ 2 3，OP 4，POQ 30，QH OP ；
∴在 Rt△OQH 中， QH 3，OH 3 ； ∴在 Rt△QHP 中， QP 1，PQ 2 为定值； 由对称性知识可知： P'OQ' 2BOP POQ 2QOA 90 ；
25 题解图(4) 作出弧 BC 的圆心 O，连接 AO，与弧 BC 交于 P，P 点即为使得 PA 最短的点 ∵AB＝6km，AC＝3km，∠ BAC＝60°，∴∆ABC 是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3 3 BC 所对的圆心角为 60°，∴∆OBC 是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝3 3 ∴∠ABO＝90°，AO＝3 7，PA＝3 7－3 3 ∠P´AE ＝ ∠EAP ， ∠PAF＝ ∠FAP＂ ， ∴∠P´AP ＂ ＝ 2∠ABC ＝ 120°， P´A ＝ AP ＂ ， ∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30° ∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝ 3P´A＝3 21－9 所以 PE＋EF＋FP 的最小值为 3 21－9km．
∴ P'Q' (2 3)2 42 2 7 。
∴四边形 PMQN 最小周长为 2 7 2 。 拓展：
由题知：过 P、Q 分别向 OA、OB 作对称，对应点分别为 P'、Q' ，过点 Q 作 QH⊥OP 于点 H，过点 Q' 作 Q' S P'O 交 P'O 延长线于点 S；
连接 PM、P' M、QN、Q' N、P'Q'、OP'、OQ' ； ∵ OQ 2 3，OP 4，POQ 30，QH OP ；
25 题解图(3)
(3)假设 P 点即为所求点，分别作出点 P 关于 AB、AC 的对称点 P´、P＂连接 PP´、P´E，
PE，P＂F，PF，PP＂
由对称性可知 PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且 P´、E、F、P＂在一条直线
上，所以 P´P＂即为最短距离，其长度取决于 PA 的长度
第一讲:
P5 例 1: 8
拓展
82
83
P6 变式 1：如图，点 P、Q 为∠AOB 内任意两点，点 M 和点 N 分别是射线 OB 和射线 OA
上的动点，AOB 60，POQ 30，OP 4，OQ 2 3 ，则四边形 PMNQ 周长最小值
Βιβλιοθήκη Baidu
为__________.
拓展：若 AOB 90 ，其他条件不变，则四边形 PMNQ 周长最小值为___________. （提示：构造直角三角形）
P9 变式 7： 112 例 1： 5 1 P10 变式 1： 2 变式 2： 13 P11
例 2： 4 变式 3： 13
2
例 3： 13 2
例 1： 2 10 2 B' D DE B' E 2 10 2(当且仅当E、B'、D三点共线时取等号) 变式 1.1： 2 7 - 2 A'C MC A' M 2 7 2(当且仅当M、A'、C三点共线时取等号) 例 2： 3 AC' AB BQ QC' AB BC 3(当且仅当Q、B两点重合时且QP恰好平分ABC时取等号) 变式 2.1： 4 3 - 4 BA' BC CN NA' BC CA 4 3 4(当且仅当B、N、C、A'四点共线时取等号) P12 变式 2.2： 3 5 - 6 DP BD BE A' E BD AB 3 5 6(当且仅当B、A'、D三点共线时取等号) 变式 2.3 1 x 3 当点 P 和点 B 重合时， BA' 最大为 3； 当点 Q 和点 D 重合时， BA' 最小为 1； 练习 1： 2 13
2 即 EF 7 。
例 3:
10
由菱形知识可知：F、D 两点关于线段 AE 对称，最短距离为 BD； 过点 D 作 DH AB 于 H 点，过点 E 作 EM AB 于 M 点，连接 BD； 设 DH x ； 则 AH 3x，AD DE 2x，EM MB x ；
AB (3 3)x 3 3 ； ∴ x 1； 即在 Rt△DHB 中， DH 1，BH 10 ； ∴ BD 10 ；
P14 练习 3： （1） 5
（2）18
（3） 3 21 - 9
解：(1)R＝AB＝AC＝5；
(2)如 25 题解图(2)所示，连接 MO 并延长交⊙O 于 N，连接 OP
显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝ 132－122＝5，MN＝18
∴PM 的最大值为 18；
25 题解图(2)
∴在 Rt△OQH 中， QH 3，OH 3 ； ∴在 Rt△QHP 中， QP 1，PQ 2 为定值； 由对称性知识可知： P'OQ' 2BOP POQ 2QOA 150 ； 在 Rt△ OSQ' 中， OQ' OQ 2 3，Q'OS 30
∴ OQ' 3，OS 3
在 Rt△ P' SQ' 中， PS OP OS 7，SQ' 3
即 PF PB 的最短距离为 10 。
P7 例 1： 4 2
变式 1： 5
变式 2： 2 7
变式 3： 6
P8 变式 4： 4 变式 5： 5 （当且仅当 EC=AF 时取到最值，此时四边形 AECF 为菱形，得出 AE CF 5 ）
2 变式 6： 2 10 2 （同例 2，看成相对运动或者直接认为 BD BE 时取到最值）
∴ P'Q' ( 3)2 72 2 13 。
∴四边形 PMQN 最小周长为 2 13 2 。
例 2:
7
∵DE 均在直线 AB 上运动，而点 C 固定； 相当于 DE 固定，点 C 在平行于 AB 的直线上（计作 l）运动；
作点 D 关于直线 l 作对称点 F，连接 DF，交直线 l 于点 G； 过 C 作 CH BD 于 H 点； 易知 BC 1，CH 3 ，DE AB 2，DF 2DG 3 ；
解析：延长 BA、CD 交于点 H，易知 BHC 30 过点 P 分别向 AB、CD 作对称点，对应点分别为 M '、M '' 由对称特性可知： M ' HM '' 60，△M ' HM '' 为等边三角形 ∴ M ' M '' HP HM ' HM '' HM (当且仅当M、P两点重合时取等号) 在 Rt△HBM 中， BM 2，HB BC tanC 4 3 ∴ HM 2 13 P13 练习 2：