理论力学13—动能定理

因此T在整个过程中所作的功为
WT T cos a d x 20
0 0
20
20
20 x (20 x) 15
2 2
d x 200 N cm
T
再计算F的功： 由题意：
A
B
20 cm
2.5 d1 5cm 0.5
15 cm
d 2 5 20 25cm
因此F在整个过程中所作的功为
F k (r l0 )r0
W12 F dr = k (r l0 )r0 dr
A 1 A 1 A2 A2
常见力的功
因为
r 1 1 2 r0 dr dr d(r r ) dr dr r 2r 2r
于是
W12
或
r2
r1
1 2 2 k (r l0 )dr k ( r l ) ( r l ) 1 0 2 0 2
3 TA Mv 2 4
I 为AB杆的瞬心
v

A
v IA
1 2 l 1 2 J I ml m ml 12 2 3
2

v l sin
TAB
2 1 mv 1 1 2 2 2 J I AB mv T 9 M 4 m v 总 12 2 6sin 2 3
• 光滑铰支座和固定端约束，其约束力也不作功。
12.3 动能定理
于是得
d T δWi
质点系动能的微分，等于作用在质点系上 所有力所作的元功之和。
对上式积分，得
T2 T1 W12
质点系在某一运动过程中，起点和终点的 动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在 这一过程中所作的功之和。
12.3 动能定理
3. 理想约束及内力作功
• 对于光滑固定面和一端固定的绳索等约束，其约束力 都垂直于力作用点的位移，约束力不作功。
2 2 1 P r 2 d T d m vr sin 2 a d r 2 2 gl
dr B A

杆OA的动能是
2 2 P 2 r 2 Pl 2 T dT sin a d r sin 2 a 0 0 2 gl 6g l l
例4 求椭圆规的动能，其中OC、AB为均质细杆，质量为m和 2m，长为a和2a，滑块A和B质量均为m，曲柄OC的角速度为 ，j = 60°。
ds dr
M'
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F
M2
W F cos ds
0
s
上式称为自然法表示的功的计算公式。
12.1 力的功
上两式可写成矢量点乘积形式
δW F dr
在直角坐标系中
W
M2
M1
F dr
称为矢径法表示的功的计算公式。
F Fx i Fy j Fz k , dr dxi dy j dz k
2 2 1 T1 mv J C 2 2 C 2 2 2 1 2 2 1 1 1 m ( v l l v cos j ) ( ml ) A A 2 4 2 12 2 1 2 2 1 m ( v A 2 3 l l v A cos j )
12.3 动能定理
1 2 d( mv ) δW 2
积分上式，得

或
v2
v1
1 2 d( mv ) W12 2
1 2 1 2 mv 2 mv1 W12 2 2
在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量 等于作用于质点的力作的功。
12.3 动能定理
2. 质点系的动能定理 设质点系由n个质点组成，第i个质点的质量为mi， 速度为vi，根据质点的动能定理的微分形式，有 1 d( mi vi2 ) δWi 2 式中dWi表示作用在第i个质点上所有力所作的元功之 和。对质点系中每个质点都可以列出如上的方程，将 n个方程相加，得 1 d( mi vi2 ) δWi 2 1 2 d ( mi vi ) δWi 2
δW Fxdx Fy dy Fz dz
W
M2
M1
( Fxdx Fy dy Fz dz)
上式称为直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功 的解析表达式。
12.1 力的功
12.1.3 常见力的功 1) 重力的功
设质点的质量为 m ，在重力 作用下从M1运动到M2。建立如图 坐标，则 z M1 z1 O M mg M2 z2 y
第十二章 动能定理
• • • • • •
力的功 质点和质点系的动能 动能定理 功率· 功率方程· 机械效率 势能 机械能守恒 普遍定理的综合应用举例
引言
以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改 变和力的功之间的关系，即动能定理。
机械运动与其它形式运动之间的联系。
12.1力的功
12.1.1 常力的功 设物体在常力F作用下沿直线走过路程s，如图， 则力所作的功W为
例3 长为l，重为P的均质杆OA由球铰链 O固定，并以等角速度 绕铅直线转动， 如图所示，如杆与铅直线的交角为 a ， 求杆的动能。
解：取出微段dr到球铰的距离为r，该微段的速度是
O
a
C P
O1
r
微段的动能
vr O1B r sin a P 1 d m d r 微段的质量 l g
W F cos s F s
功是代数量。
SI：J (焦耳), 1J＝1 N· m。
12.1 力的功
12.1.2 变力的功 设质点M在变力F的作用下沿曲线运动，如图。 力 F 在微小弧段上所作的功称为力的元功 , 记为 d W , 于是有
δW F cos d s
力在全路程上作 的功等于元功之和 M M1
1 1 2 2 2 2 WF k (d1 d 2 ) 0.5(5 25 ) 150 N cm 2 2
因此所有力的功为
W WT WF 200 150 50 N cm
12.2 质点和质点系的动能
1. 质点的动能 设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为
1 2 T mv 2
1. 质点的动能定理 取质点运动微分方程的矢量形式 dv m F dt 在方程两边点乘dr，得 dv m d r F d r dt
因dr＝v dt，于是上式可写成
mv d v F d r
或
1 2 d( mv ) δW 2
质点动能的增量 等于作用在质点 上的力的元功。
12.3 动能定理
2 2
vC
C

j
vB
B
vB O1B AB 2a sin j 3a
1 3ma 2 TB mB vB 2 2
2 2
O
对于曲柄OC：
J O mOC a 2 ma 2 TOC J O
2
1 3
vA A O1
1 2
1 ma 2 2 6
规尺作平面运动，用绕速度瞬心转动的公 式求动能：
由此可见，重力的功仅与重心的始末位置有关，而与 重心走过的路径无关。
常见力的功
2) 弹力的功 物体受到弹性力 的作用 , 作用点的轨 迹为图示曲线A1A2, 在弹簧的弹性极限内 , 弹性力的大小与其变 形量d 成正比。设弹 簧原长为 l 0 , 则弹性 力为
A1 r1 l0 F
d
A0
A dr
r r0 O r2 A2
1 2 7 ma 2 2 2 3 2 1 6 4 3
例5 滑块A以速度vA在滑道内滑动，其上铰接一质量 为m，长为l的均质杆AB，杆以角速度 绕A转动，如 图。试求当杆AB与铅垂线的夹角为j 时，杆的动能。 解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为
A
vA
j
l

B vA
vC v A vCA
1 2 1 T mv C J C 2 2 2
平面运动刚体的动能等于随质心平动的动能与绕 质心转动的动能的和。
牢记均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能:
C
vC
1 2 1 T mvC J C 2 2 2
1 J C mR 2 , vC R 2
3 2 T mvC 4
例2 均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上，下 端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相 连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为v，杆与水平线的 夹角=45o，求该瞬时系统的动能。 I B 解： T总 TA TAB C
AB
vC
J O1 J C mAB O1C 2
1 2m (2a)2 12
C
2m a
2
8 ma 2 3
TAB J O1AB
2
1 2
4 ma 2 2 3

j
vB B
系统的总动能为：
O
T TA TB TOC TAB ma 2 2 ma 2 2 ma 2 2 ma 2 2
动能是标量，在国际单位制中动能的单位是焦耳(J)。
2. 质点系的动能 质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动 能，即
1 2 T mi vi 2
12.2 质点和质点系的动能
刚体是工程实际中常见的质点系，当刚体的运动 形式不同时，其动能的表达式也不同。 (1) 平动刚体的动能
1 1 2 1 2 2 T mi vi vC mi Mv C 2 2 2
解：滑块在任一瞬时受力如图。由于 P 与 N 始终垂直于滑块位移，因此，它们 所作的功为零。所以只需计算 T 与F的功。 先计算T 的功： 在运动过程中， T 的大小不变，但 方向在变，因此T 的元功为
T A B
20 cm
15 cm
P F N
T
a
δWT T cosa d x
cos a (20 x) (20 x) 2 15 2
ds Rdj
Fb O1 Fn r O

A
Ft
R 为力作用点 A 到轴的垂距。力 F 的元 功为
δW F dr = Ft d s Ft Rdj M z dj
力F在刚体从角j1转到j2所作的功为
W12 M z dj
j1
j2
Mz可视为作用在刚体上的力偶
例1 如图所示滑块重P＝9.8 N，弹 簧刚度系数k＝0.5 N/cm，滑块在A 位置时弹簧对滑块的拉力为2.5 N， 滑块在20 N的绳子拉力作用下沿光 滑水平槽从位置A运动到位置B，求 作用于滑块上所有力的功的和。
速度合成矢量图如图。由余弦定理
2 2 2 vC vA vCA 2v AvCA cos(180 j ) 2 2 vA (1 l ) 2vA 1 2 2 l cos j 2 2 2 vA 1 l 4 l v A cos j
A
j
vCA v C vA

B
则杆的动能
Fx 0, Fy 0, Fz mg
代入功的解析表达式得
x
W12 (mg )dz mg ( z1 z2 )
z1
z2
常见力的功
对于质点系，其重力所作的功为
W12 mi g ( zi1 zi 2 ) ( mi zi1 mi zi 2 ) g ( MzC1 MzC 2 ) g Mg ( zC1 zC 2 )
(2) 定轴转动刚体的动能
1 1 2 2 2 T mi vi mi ri 2 2 1 2 1 2 mi ri J z 2 2 2
12.2 质点和质点系的动能
(3) 平面运动刚体的动能 1 T J P 2 2 2 因为JP＝JC + md 所以 C

P
1 1 1 2 2 2 T ( J C md ) J C m(d ) 2 2 2 2 因为d· ＝vC ,于是得
1 2 2 W12 k (d 1 d 2 ) 2
弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有 关，与力的作用点A的轨迹形状无关。
常见力的功
3) 定轴转动刚体上作用力的功
设作用在定轴转动刚体上A点的力为F, 将该力分解为Ft、Fn和Fb，
当刚体转动时，转角j与弧长s的关系为
z F
Ft F cos
解：在椭圆规系统中滑块 A和B作平动，曲柄 OC作定轴转动，规尺AB作平面运动。首先对 运动进行分析，O1是AB的速度瞬心，因: A
vA
AB
O1
vc O1C AB OC AB vA O1 A AB 2a cos j a
1 ma 2 TA mAvA 2 2