高中数学—复数

(A) ad+bc=0 (B) ac+bd=0 (C) ac=bd (D) ad=bc
(2)
复数
5 i-2
的共轭复数是
(
B
)
i
5 -2
=
-2-
i.
(A) i+2 (B) i-2 (C) -2-i (D) 2-i
(3)
当
2 3
m
1
时,
点位于 ( D )
复数 m(3+i)-(2+i) 在复平面内对应的
=(3m-2)+(m-1)i. >0 <0
C 叫做复数集.
a+bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d.
3. 复数的几何意义 (1) 任一复数可用复平面上的点表示, 如: 点 Z(3, -2) 表示复数 z=3-2i. (2) 任一复数可用复平面上的向量表示, 如: 向量 OZ = (3, - 2) 表示复数 z=3-2i. 实轴上的点表示实数, 虚轴 (除原点) 上的
解: 将根代入方程得
(1+ 2i)2 + b(1+ 2i)+ c = 0,
1+ 2 2i - 2+ b+ 2bi + c = 0,
(-1+ b+ c)+(2 2 + 2b)i = 0, 得 -1+b+c=0, 解得 b= -2, c=3.
2 2 + 2b = 0.
例5. 若1+ 2i是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0
x1
=
-
b 2a
+
4ac 2a
b2
i,
x2
=
-
b 2a
-
4ac 2a
b2
i.
x1+x2=
-
b a
,
x1x2=
(-
b 2a
)2
-
(
-b =1+ 2i +1c = (1+ 2i)(1-
4ac 2a
b2
)2
i
2
=
c a
.
2i, 2i).
补充 练习
共8 题
返回目录
1.
复数
z
=
-3+i 2+i
的共轭复数是
7. 共轭复数
实部相等, 虚部互为相反数的两个复数叫 做互为共轭复数. 复数 z 的共轭复数记着
z 如: z=a+bi,
z = a -bi. 一对共轭复数的积是一个实数:
(a+bi)(a-bi)=a2+b2.
8. 复数的除法
复数除法的基本思想是分母实数化.
即分子分母同乘以分母的共轭复数.
a+ c+
的一个复数根, 则 ( B )
(A) b=2, c=3
(B) b= -2, c=3
(C) b= -2, c= -1
(D) b=2, c= -1
附: 对于实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0,
若△=b2-4ac<0,
则方程的根为
x
=
-b
i
4ac- b2 2a
.
即有一对共轭虚根
(根据这一结论解此题)
这一表示形式叫做复数的代数形式. 其中的 a 与 b 分别叫做复数 z 的实部与虚部.
返回目录
2. 复数的包含关系
{实数}∪{虚数}={复数}, {实数}∩{虚数}=; {实数} {复数}; {虚数} {复数};
复数集 虚数集
实数集 纯虚数集
{纯虚数} {虚数}.
复数包含实数和虚数, 全体复数所成的集合
得 2a+b=11, 解得 a=3, b=5. -a+2b=7,
则 z=3+5i.
3. 把复数 z 的共轭复数记作 z, i 为虚单位, 若 z=1+i, 则 (1+z)·z 等于 ( A )
(A) 3-i (B) 3+i (C) 1+3i (D) 3
解: z=1+i, z =1-i, (1+ z)z =(2+ i)(1-i) =2-2i+i-i2 =3-i.
点表示纯虚数. (3) 向量的模就是复数的模:
|z| = |a + bi| = a2 + b2 .
4. 复数的加减法 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 实部相加为实部, 虚部相加为虚部. (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 实部相减得实部, 虚部相减得虚部.
4. 已知 0<a<2, 复数 z 的实部变 a, 虚部为 1, 则 |z| 的取值范围是 ( ) (A) (1, 5) (B) (1, 3) (C) (1, 5) (D) (1, 3)
5. i 是虚数单位, (1i -+1i )5 等于
.
6. a 为正实数,
i 为虚数单位,
|
a
+ i
i
|=
2,
则 a 等于(Leabharlann Baidu
(A) p2, p3 (B) p1, p2 (C) p2, p4 (D) p3, p4
1.
复数z
=
-3+i 2+i
的共轭复数是
(
D
)
(A) 2+i (B) 2-i (C) -1+i (D) -1-i
解:
z
=
(-3+ i)(2- i) (2+ i)(2- i)
=
-
6
+
3i + 2i 4+1
-
i
2
=
-1+i.
z = -1-i.
2. 若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i (i 为虚单位), 则 z 为(A )
(A) 3+5i (B) 3-5i (C) -3+5i (D) -3-5i
解: 设 z=a+bi. 则 z(2-i)=(a+bi)(2-i)
=2a-ai+2bi-bi2 =(2a+b)+(-a+2b)i.
(
)
(A) 2+i (B) 2-i (C) -1+i (D) -1-i
2. 若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i (i 为虚单位), 则 z 为 ( ) (A) 3+5i (B) 3-5i (C) -3+5i (D) -3-5i
3. 把复数 z 的共轭复数记作 z, i 为虚单位, 若z=1+i, 则 (1+z)·z 等于 ( ) (A) 3-i (B) 3+i (C) 1+3i (D) 3
2a+b-1=5, 2b-2-a=0.
解得 a=2, b=2.
捷径: 共轭复数的积为实数, 则 z-i=2+i, z=2+2i.
例2. i 为虚单位,
1 i
+
1 i3
+
1 i5
+
1 i7
等于
(
A
)
(A) 0 (B) 2i (C) -2i (D) 4i
分析: 先计算 in, 即可化为同分母.
i3=i2i = -i. i5=i3i2 = -i(-1) =i.
bi di
=
(a + (c +
bi)(c -di) di)(c -di)
=
ac
-
adi + bci c2 +d2
-
bdi2
=
(ac
+
bd ) + (bc c2 +d2
-
ad
)i
=
ac c2
+ +
bd d2
+
bc c2
+
ad d2
i.
返回目录
例1. 复数 z 满足 (z-i)(2-i)=5, 则 z= ( D ) (A) -2-2i (B) -2+2i (C) 2-2i (D) 2+2i
分析: 常规思考: 设出复数 z 的代数形式, 代入题
设等式的左边进行乘法运算, 使运算结果的实部为 5,
虚部为 0. 解: 设 z=a+bi,
则 (z-i)(2-i)=(a+bi-i)(2-i)
=[a+(b-1)i](2-i)
=2a-ai+2(b-1)i-(b-1)i2
=(2a+b-1)+(2b-2-a)i.
|z| = (-1)2 +(-1)2 = 2.
z2=(-1-i)2 =1+2i-1 =2i.
z = -1+ i. z 的虚部为-1.
复习参考题
返回目录
A组
1. 选择题: (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
(1) 复数 a+bi 与 c+di 的积是实数的充分条件是 ( A )
.
解:
(1i -+1i )5
=
(i -1)(1(1+ i)(1-
i i
) )
5=i5
=i2i2i
=i.
6. a 为正实数,
i 为虚数单位,
|
a
+ i
i
|=
2,
则a等
于( B )
(A) 2 (B) 3
(C) 2
(D) 1
解:
|
a
+ i
i
|
=
|
ai + i2 i2
|
= |1-ai|
= 1+ a2 =2,
)
(A) 2 (B) 3
(C) 2
(D) 1
7. 复数 z=1+i, z 为 z 的共轭复数, 则 z z-z-1 等于 ( )
(A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i
8.
下面是关于复数
z
=
2 -1+
i
的四个命题:
p1: |z|=2, p2: z2=2i, p3: z 的共轭复数为1+i, p4: z 的虚部为-1. 其中真命题为 ( )
4. 已知 0<a<2, 复数 z 的实部变 a, 虚部为 1,则 |z| 的取值范围是 ( C )
(A) (1, 5) (B) (1, 3) (C) (1, 5) (D) (1, 3)
解: z=a+i, |z| = a2 +1 ∵ 0<a<2, ∴ 0<a2<4,
则 1 a2 +1 5.
5. i 是虚数单位, (1i -+1i )5等于 i
y
Z
|z| |y|
O
x
|x|
两边之和大于第三边.
当且仅当点 Z 在实轴或虚轴上时, 等号成立.
例5. 若1+ 2i是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0
的一个复数根, 则 ( B )
(A) b=2, c=3
(B) b= -2, c=3
(C) b= -2, c= -1
(D) b=2, c= -1
的四个命题:
p1: |z|=2, p2: z2=2i, p3: z 的共轭复数为1+i, p4: z 的虚
部为-1. 其中真命题为 ( C )
(A) p2, p3 (B) p1, p2 (C) p2, p4 (D) p3, p4
解:
z
=
2 -1+
i
=
2(-1- i) (-1)2 - i2
=
-1-i.
本章内容
3.1 数系的扩充和复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算
第三章 小结
本章小结
知识要点 例题选讲 补充练习 复习参考题 自我检测题
1. 复数 形如 a+bi (a, bR) 的数叫做复数. i 叫虚单位, i2= -1. 当 b=0 时, a+bi=a 是实数. b0 时, a+bi 是虚数. a=0, b≠0 时, a+bi=bi 叫纯虚数. 复数通常用字母 z 表示, 即 z=a+bi (a, bR),
则 z= -2i 时, (z+2)2-8i 是纯虚数.
i7=i5i2 = i(-1) = -i.
1 i
+
1 i3
+
1 i5
+
1 i7
=
1 i
-
1 i
+
1 i
-
1 i
=0.
例3.
已知复数
z
=
3 (1-
+i 3i)2
,
则 |z| 等于 ( B )
(A)
1 4
(B)
1 2
(C) 1 (D) 2
分析: 先计算复数, 再求模.
z= 3+i = 3+i =- 3+i (1- 3i)2 1- 2 3i - 3 2(1+ 3i)
= - ( 3 + i)(1- 3i) 2(1+ 3i)(1- 3i)
=
-
2 3 - 2i 2(1+ 3)
=-
3 4
+
1 4
i.
则 |z| =
(-
3 4
)2
+
(14
)2
=
1 2
.
例4. 对任意复数 z=x+yi (x, yR), i 为虚数单位,
则下列结论正确的是 ( D )
(A) |z-z|=2y
(B) z2=x2+y2
(C) |z-z|≥2x
(D) |z|≤|x|+|y|
分析: |z - z | = |(x + yi)-(x - yi)| = |2yi|.
y<0 时, A 选项不成立. x>|y| 时, C 选项不成立. z2 可能是个虚数, x2+y2 为实数, B 选项不成立, 则只有 D 选项正确. D 选项的几何意义如图:
解得 a = 3.
7. 复数 z=1+i, z 为 z 的共轭复数, 则 z z-z-1 等 于( B )
(A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i
解: z z - z -1=(1+ i)(1-i)-(1+ i)-1 =1+1-1-i-1 = -i.
8.
下面是关于复数
z
=
2 -1+
i
5. 复数加减法的几何意义
复数加减法的几何意义是向量加减法的几 何运算.
z1 = OZ1 = a + bi, z2 = OZ2 = c + di.
z1 + z2 = OZ1 + OZ2 = OZ.
y Z2
z1 - z2 = OZ1 -OZ2 = Z2Z1 = OZ.
O
Z
Z1 x
Z
6. 复数的乘法 (a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi2 = (ac-bd)+(ad+bc)i. 类似于实数的二项式与二项式相乘. 注意: i2= -1. 复数的乘法也满足: 交换律、结合律、分配律, 乘法公式: (a+bi)2=a2+2a(bi)+(bi)2 =a2+2abi-b2. (a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2.
(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(4)
复数
(
1 2
+
3 2
i)3
的值是
(
C
)
(A) -i
(B) i
(C) -1
(D) 1
2. 已知复数 z 与 (z+2)2-8i 都是纯虚数, 求 z.
解: 设 z=bi, 则 (bi+2)2-8i 是纯虚数, 计算得 (4-b2)+(4b-8)i, 需 4-b2=0, 且 4b-8≠0, 解得 b= -2.